CÁLCULO I · 2018. 5. 19. · Cálculo I Aula n o 18 com essa propriedade é a função...

CÁLCULO IProf. Marcos Diniz | Prof. André Almeida | Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. Emerson Veiga | Prof. Tiago Coelho

Aula no 18: Crescimento e Decrescimento de Funções. Teste da Primeira Derivada.

Objetivos da Aula

• De�nir funções crescentes e decrescentes;

• Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função;

• Apresentar e utilizar o teste da primeira derivada para determinar extremos relativos.

1 Funções Crescentes e Decrescentes

Segue a de�nição abaixo:

De�nição 1. Sejam f : A→ B uma função e x1, x2 ∈ Df . De�nimos que f é uma

(i) função não-decrescente se x1 < x2 implica que f(x1) ≤ f(x2);

(ii) função crescente se x1 < x2 implica que f(x1) < f(x2);

(iii) função não-crescente se x1 < x2 implica que f(x1) ≥ f(x2);

(iv) função decrescente se x1 < x2 implica que f(x1) > f(x2);

Seguem abaixo alguns exemplos.

Figura 1: Exemplo de uma função não-decrescente.

1

Cálculo I Aula no 18

Figura 2: Exemplo de uma função crescente.

Figura 3: Exemplo de uma função não-crescente.

Figura 4: Exemplo de uma função decrescente.

Existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou seja, uma função

pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte. Um exemplo de função

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com essa propriedade é a função quadrática, dada por f(x) = x2 +1

2; note que para x < 0 a função é

decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no grá�co de f .

2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento

Uma das aplicações do Teorema do Valor Médio é demonstrar o teorema que nos permite obter os

intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função. Tal resultado nos diz que podemos determinar

esses intervalos apenas analisando o sinal de sua derivada.

Teorema 1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no aberto (a, b), então:

(a) se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em (a, b).

(b) se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em (a, b).

Exemplo 1. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x2 +1

2.

Solução: Derivando a função, temos f ′(x) = 2x. Como f ′(x) = 2x > 0 para todo x > 0, então f(x)cresce no intervalo (0,+∞). De forma análoga, como f ′(x) = 2x < 0 para todo x < 0, então f(x)decresce no intervalo (−∞, 0).

�

Exemplo 2. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x3.

Solução: Derivando a função, temos f ′(x) = 3x2. Como x2 ≥ 0 para todo x, o intervalo de crescimento

é R = (−∞,+∞). Desta forma não temos intervalo de decrescimento.

�

Exemplo 3. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 3x4−4x3−12x2+5.

Solução: Derivando a função, temos:

f ′(x) = 12x3 − 12x2 − 24x = 12x(x− 2)(x+ 1).

Para fazer o estudo do sinal, utilizamos o seguinte quadro



Desse modo, f é decrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 2) e crescente em (−1, 0) ∪ (2,+∞).Observe gra�camente:

Figura 5: Grá�co da função f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5

�

Exemplo 4. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 2 cosx + cos2 x,x ∈ [0, 2π].

Solução: Note que

f ′(x) = −2 sen(x)− 2 cos(x) sen(x)



Para estudar o sinal de f ′, podemos determinar os pontos em [0, 2π] tais que

f ′(x) > 0

−2 sen(x)− 2 cos(x) sen(x) > 0

sen(x) + cos(x) sen(x) < 0

sen(x)(1 + cos(x)) < 0

Note que 1 + cos(x) ≥ 0 para todo x ∈ [0, 2π], logo, para que f ′(x) < 0, devemos obter os pontos nos

quais o seno de x é negativo. Dessa forma,

f ′(x) > 0 se π < x < 2π

Analogamente, obtermos que

f ′(x) < 0 se 0 < x < π

E assim, temos que f é decrescente em (0, π) e crescente em (π, 2π), como pode ser mostrado no grá�co

abaixo:

�

Exemplo 5. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 4x2 +1

x.

Solução: Note que

f ′(x) = 8x− 1

x2=

8x3 − 1

x2

Como x2 > 0 para todo x ∈ R então o sinal de f ′ é determinado pela função que está no numerador.

Fatorando, temos que

8x3 − 1 = (2x)3 − 13 = (2x− 1)(4x2 + 2x+ 1)

Como o segundo fator é um polinômio irredutível de grau 2 e com concavidade para cima, então podemos

concluir que 4x2 + 2x + 1 > 0 para todo x ∈ R. Logo, o sinal de f ′ é determinado pelo fator 2x − 1

que pode ser entendido como uma reta que passa pelos pontos (0,−1) e(1

2, 0

). Logo, o sinal de f ′ e os

intervalos de crescimentos são dados pelo quadro abaixo:



Sendo assim, a função f decresce no intervalo (−∞, 0) ∪(0,

1

2

)e cresce no intervalo

(1

2,+∞

).

Observe gra�camente:

Figura 6: Grá�co da função f(x) = 4x2 +1

x

�

3 Teste da Primeira Derivada

Mostramos anteriormente que se f tem um máximo ou mínimo local em x = c, então c deve ser um

número crítico de f , mas nem todo número crítico dá origem a um máximo ou mínimo. Consequentemente,

necessitamos de um teste que nos diga se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um certo ponto

crítico.

Teorema 2. Suponha que c seja um número crítico de uma função derivável f .

1. Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em x = c, então f tem um máximo local em x = c.

2. Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em x = c, então f tem um mínimo local em x = c.

Exemplo 6. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 36xe seus extremos relativos.

Solução: Derivando f , obtemos f ′(x) = 6x2 + 6x− 36 = 6(x− 2)(x+ 3). Os números críticos ocorrem

quando f ′(x) = 0, logo x = 2 e x = −3. Fazendo o estudo do sinal de f ′:



obtemos então que:

• f é crescente no intervalo (−∞,−3) ∪ (2,+∞)

• f é decrescente no intervalo (−3, 2)

Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, podemos concluir que x = −3 é um máximo relativo de fe x = 2 é um mínimo relativo. Os valores da função nestes pontos, isto é, f(−3) = 81 é dito um valor

máximo relativo de f e f(2) = −44 um valor mínimo relativo. Veja um esboço do grá�co de f abaixo:

Figura 7: Grá�co da função f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x

�

Exemplo 7. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x2e−x e seusextremos relativos.

Solução: Calculando f ′, temos que

f ′(x) = (x2)′e−x + x2(e−x)′ = 2xe−x − x2e−x = (2− x)xe−x

Logo, como f ′ está de�nida para todo x ∈ R, então os seus pontos críticos são os zeros da sua derivada.

Desse modo, como e−x > 0 para todo x ∈ R, apenas o fator (2 − x)x determinará o sinal de f ′. Logo,

utilizando o quadro abaixo:



Desse modo,

• f é decrescente no intervalo (−∞, 0) ∪ (2,+∞)

• f é crescente no intervalo (0, 2)

Pelo Teste da Primeira Derivada segue que x = 0 é mínimo local e x = 2 é máximo local. Gra�camente,

Figura 8: Grá�co da função f(x) = x2e−x

�

Exemplo 8. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = xx2+1

e seusextremos relativos.

Solução: Derivando f , temos que

f ′(x) =(x)′(x2 + 1)− x(x2 + 1)′

(x2 + 1)2=x2 + 1− 2x2

(x2 + 1)2=

1− x2

(x2 + 1)2

Antes de estudarmos o sinal de f ′, notamos que (x2 + 1)2 > 0 para todo x ∈ R. Logo, apenas a função

g(x) = 1− x2 determinará o sinal de f ′. Dessa forma, utilizando o quadro abaixo:



obtemos que

• f é decrescente no intervalo (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

• f é crescente no intervalo (−1, 1)

Pelo Teste da Primeira Derivada segue que x = −1 é mínimo local e x = 1 é máximo local. Gra�camente,

Figura 9: Grá�co da função f(x) =x

x2 + 1

�

Exemplo 9. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) =√x e seus extremos

relativos, se existirem.

Solução: Note que

f ′(x) =1

2√x

Agora, note que em x = 0 a função f ′ não está de�nida, porém,a função f está, pois f(0) = 0. Logo, x = 0é um ponto crítico da função f . E, observe que f ′(x) > 0 para todo x > 0. Logo, a função f é estritamente

crescente para x > 0. Como o teste da primeira derivada necessita do sinal de f ′ antes e depois do ponto

crítico, não podemos aplicá-lo nesse exemplo. Mas perceba que se a função f é estritamente crescente,

então para todo x > 0 teremos que f(x) > f(0) e assim, constatamos que x = 0 é mínimo global da

função f . Gra�camente, podemos veri�car esse fato no grá�co da função raiz quadrada:



Figura 10: Grá�co da função f(x) =√x

�

Resumo

Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.

Aprofundando o conteúdo

Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 262-264 do livro texto.

Sugestão de exercícios

Resolva os exercícios das páginas 269-271 do livro texto.


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