RESOLUÇÕES

COLEÇÃODARLANMOUTINHO

VOL. 02

RESOLUÇÃO

Me taFUNÇÕESQUADRÁTICAS

01 RESPOSTA 02 + 04 + 08 = 14

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática][01] Falsa Nas extremidades das artérias o valor de x = 0, logo:V(0) = C . 0 (2R - 0) = 0

[02] Verdadeira V(R) = C . R . (2R - R) = C . R²

V R = C . R 2R - R = C . R . 3R = C . 3R² = 0,75 . C . R² = 0,75 . V(R)

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Física][04] VerdadeiraV cm

x cm

R cm

V(x) = C . x (2R - x)

cm = C . [cm] . ([cm])

C . [cm] . ([cm]) = cm

[Resposta do ponto de vista da disciplinade Biologia][16] Falsa As hemácias dos mamíferos são células anucleadas, desprovidas de organelas, circulares e bicôncavas. São produzidas no tecido conjuntivo hematopoético da medula óssea vermelha, durante 90 a 120 dias e são removidas no baço, fígado e na medula óssea vermelha.

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Me taFUNÇÕESQUADRÁTICAS

2

s

42( ((

s[ ]

s[ ]

(2 2 2

[ ]C = scm

[cm]²

C = cms. [cm]²

C = 1s. [cm]

C = cm . s ¹¹

LETRA BFazendo h = 1875, temos:

1875 = -5t2 + 200t

5t2 - 200t + 1875 = 0

t2 - 40t + 375 = 0

t = t = 15 ou t = 25

Como foi pedido o menor intervalo de tempo, temos t = 15s.

f(x) = ax2 + bx + c

b=0 parábola simétrica ao eixo y

Pontos da parábola do gráfico (0,4) e (-39,30)

f(0) = c c = 4

f(-39) = 30 a . (-39)2 + 4 = 30 a = =

02 LETRA CBasta calcularmos o deslocamento vertical das parábolas utilizando as diferenças da segunda coordenada de seus vértices em modulo, isto é:

( )Vg = = = = (4; -16);-b2a

-∆4a ( ) );8

2 ( ;82

261521

2117

40 ± √ 1002

- (64)4

-(b2 - 4ac)4a

( )Vf = = = (1; -4) = (4; -16)

|-16| - |-4| = 12

;-b2a

-∆4a ( );2

2-(b2 - 4ac)

4a

04

LETRA BCalculando:

C0 = 15

8 dias n = 2

C(1) = 15 . q

C(2) = 15 . q2

15 . q2 + 15 . q + 15 = 195 q2 + q - 12 = 0

∆ = 12- 4 . 1 . -12 = 49

q = -1 ± √ 492

q = -4 (não convém)

q = 3

0503 LETRA BCalculando:

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a) Considerando que x a medida de cada lado da horta, podemos escrever que:3x = 120 x = 40m

Portanto a área a da horta será dada por:A = 402 = 1.600 m2

b) Considerando que x seja a medida de dois de seus lados e120 - 2x a medida do terceiro lado, podemos escrever que a área da Horta em função de x, poderá ser dada por:A(x) = (120 - 2x) . xA(x) = -2x2 + 120x

A área máxima será dada pela ordenada do vértice da função da área, portanto:

Amáx = - = - = 1.8000 m2

LETRA BPara determinar os pontos de intersecção entre os gráficos de duas funções devemos resolver um sistema com as suas leis de formação.

2x = -x2 x2 + 2x = 0 x = 0 ou x = -2

x = -2 y = -4

x = 0 y = 0

Portanto, os pontos em que os gráficos se intersectam são: (0,0) ou (-2, -4)

a

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V=

Logo, = 2,5 horas

= =

06 LETRA DReescrevendo a lei de f sob a forma canônica, vem

f(x) = - (x2 - 24x) + 10 = - (x - 12)2 + 22

Portanto, segue que a temperatura máxima é atingida após 12 horas, correspondendo a 22°C.

08

LETRA DObservando que está função quadrática possui o valor a < 0 ou seja, o valor que acompanha t2 é negativo, basta calcular a primeira coordenada o vértice desta função, que é dado por:

07

( );-b2a

-∆4a ( ) )

;;

-5-2 ( 5

2

∆4 . a 4 . (-2)

1202

112

09

112

52

254

-(25-0)-4

Hortax x

120 - 2x

LETRA B

Sabendo que o lucro é o faturamento menos o custo temos:

f(x) - c(x) = -x2 + 3.800x - 200x - 3200 =

-x2 + 3600x - 3200

Sabendo que o ponto de Máximo lucro pode ser calculado com o vértice da função onde a primeira entrada representa o número de peças e a segunda o lucro, basta obtermos o valo da primeira entrada do vértice da função. Logo:

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10 LETRA E11

xv = =-b2a

xv = -12

-(-1)2 . (-1)

yv = -

f(x) = -x2 - x + 2

D(0, yD)

B (xB, 2) 2 = -x2 - x + 2 -x .(x+1) = 0 B (-1, 2)

f(0) = -02 - 0 + 2 = 2 D (0, 2)

A (-2,0) e E (1,0)x = 1

x = -2

C - ,

yv =+ 2--12(

() -1

294

12

94

( )

S = 2 . S = 4. 2 +18

1,5 + 0,52

0,5 . 0,252([( [)

} )

=;( -b2a

-Δ4a )

=

=

;( -b-2

-(b2-4ac)4a )

;(-3600-2

-(12960000 - 4 . (3200))

(1800; 3236800)

-4 )

Logo, o número de peças éde 1.800 peças.

}

2

OA

BC

D

E

x

2

0,5

0,51

0,25

y

Agora, basta substituir a primeira coordenada xv na função p:

p = 100 - x p = 100 - 50p = 50

LETRA A12

Pelo gráfico, o pássaro começa a cair a partir do ponto (2, 4) que é o vértice da parábola.

LETRA A14

A receita é dada por:R(p) = y . pR(p)= (90 - 20p) . p

Fazendo R(p) = 0, temos:90 - 20p = 0 p = 9 ou p = 0

Assim,

LETRA C13

Sabendo que a receita r é dada por:receita = preço . quantidade, temos:

r = p. xr = (100 - x) . xr = 100x - x2

Como a função r é de segundo grau e o argumento a que acompanha a variável x2 é negativo, basta obtermos o vértice dessa função.Calculando o vértice temos:

;( -b2a

2

-Δ4a )V = (xv; yx) =

94

P = P = 2,25

92

2P =+ 0

;( -1002 . (-1)

-10000-4 )V = = (50; 2500)

Δ = b2 - 4 . a . c

Δ = 1000 - 4 . (-1) . (0)

Δ = 1000

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15 A medida do lado do triângulo equilátero é igual a 6 = 2cm. Logo, sua altura é 2 . √3 = √3.

Além disso, o retângulo de base xcm determina um triângulo equilátero de lado igual a xcm com 0 < x < 2. Por conseguinte, da semelhança dos triângulos equiláteros, vem

16

Desde que x = -10 e x = 50 são as raízes da função L, podemos afirmar que o maior lucro possível será obtido para x gual a -10 + 50 = 20

A área, A, do retângulo é dada porA = x . y

Desde que a área é máxima, temos

LETRA D

17

Todos os retângulos cujo perímetro é 40 podem ser representados pela figura abaixo:

O valor de x, para que a área seja máxima, será a abscissa do vértice da parábola representada pela equação acima. Então,

Portanto, o retângulo de maior área será um quadrado de lado 10 cm. Calculando o volume do cilindro formado pela rotação deste retângulo em torno de um de seus lados.

A função que nos dá a área A desse retângulo em função de x será dada por:A(x) = (20 - x) . xA(x) = -x2 + 20 . x

LETRA E

2

2

2

2

x= x =

3

√3 - y

√3

2 . (√3 - y)

√3

= . y2 . (√3 - y)

√3

xv = - = 1020

2 . (-1)

= y --√32

√3

y = e x = 1.2√3

2

2√3( )

20 - x

x

10 cm

10 cm

V = π . r2 . h = π . 102 . 10 = 1000 . π cm3

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18 a) Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem C(t) = 40. Assim, temos

19

Supondo um eixo vertical y dividindo a parábola verticalmente e um eixo x passando por A e B pode-se deduzir que as coordenadas do vértice serão (0, 10) e as coordenadas dos pontos A eB serão (-4, 0) e (4, 0) respectivamente.

A equação geral da parábola é dada por: ax2 + bx + c = y.

Sabendo que a coordenada x do vértice é zero, então b = 0 pois xvértice = -b/2a = 0 b = 0.

Assim, a equação da parábola em questão terá a forma ax2 + c = y.

Substituindo os pontos conhecidos da parábola na equação, tem-se:

V(0, 10) a . 02 + c = 10 c = 10B(4, 0) a . 42 + c = 10 -16a = c

A equação final da parábola será:

Os pontos M e N têm coordenadas y conhecidas: M(-x, 6,4) e N(x, 6,4). Substituindo os valores do ponto N na equação da parábola, tem-se:

A distância entre M e N é o dobro do valor de x ou seja, 4,8 metros.

b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo após

A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez às 11 + 10 = 21h da segunda-feira.

Portanto, o médico deverá prescrever a segunda dose para as 20 = (24 - 11) = 7 horas da terça-feira.

LETRA D

- 0,05t2 + 2t + 25 = 40 (t - 20)2 = 100

t = 10h ou t = 30h

- = 20 horas 2

2 . (-0,05)a = -

58

- x2 + 10 = 6,458

- x2 = 6,4 - 1058

x2 = 3,658

- x2 + 10 = y58

x = 2,4

23

A receita R(x) da loja será dada por:R(x) = x.(600 – 10x)R(x) = 600x – 10x2

LETRA E

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20

Calculando os vértices da parábola:

Assim, a bolinha descreve uma parábola

simétrica de altura igual a 3 √ 3 unidades e largura (“base”) igual a 6 unidades. Pode-se inscrever nessa parábola um triângulo isósceles de mesmas medidas. Este triângulo pode ser dividido exatamente ao meio, passando pelo vértice da parábola, em dois triângulos

retângulos de catetos 3 √ 3 e 3. Assim, o ângulo de incidência (ângulo entre a trajetória e o eixo da parábola) será:

LETRA A 21

a) C(t) = 50 + 30. (20t - t2) C(t) = -30t2 + 600t + 50

b) 2300 = -30t2 + 600t + 50 Dividindo por 30, temos: 30t2 - 600t + 2250 = 0 t2 - 20 . t + 75 = 0

Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h.

LETRA A

22

20 = 0,05(t1)2

(t1)2 = 400

t1 = ±20 (como t1 > 0)t1 = 20meses

LETRA D

( )-2 √ 3

-√ 32.

. 32 + 2√ 3 . 3 yv = 3 √ 3

3

( )-√ 33

xv =

yv =

3√ 33

√ 31

tag α = α = 30o=

xv = 3

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Fazendo R(x) = 5000, temos:5000 = 600x – 10x2

10x2 – 600x + 5000 = 0 x = 10 ou x = 50

Temos, então, dois valores para p, p = 600 – 10.10 = 500 ou p = 600 – 10.50 = 100.Então, 500 + 100 = 600.

Fazendo R(x) = 5000, temos:5000 = 600x – 10x2

10x2 – 600x + 5000 = 0 x = 10 ou x = 50

Temos, então, dois valores para p, p = 600 – 10.10 = 500 ou p = 600 – 10.50 = 100.Então, 500 + 100 = 600.

Utilizando semelhança de triângulos temos:

Calculando a função da área, temos:

Determinando o x do vértice, temos:

Logo, as dimensões do jardim são 2m e 4,5m.

Portanto, x = 2 e y =25

A receita R(x) da loja será dada por:R(x) = x.(600 – 10x)R(x) = 600x – 10x2

LETRA A

24

a) h = y(0) = 2,5m y(5) = 0 - 0,5 . 52 + 5.b + 2,5 = 0 5b = 12,5 – 2,5 5b = 10 b= 2

b) A altura máxima será calculada através do yv (y do vértice).

LETRA E

4 . a

Δ

4 . (-0,5)

22 - 4 . (-0,5) . 2,5yv = -

4

4 - x

9

y= y =

= 4,5m= -

y4 - x

x4

9

Amáxima

A

xxv

4

-9x + 36

A(x) = x . y A(x) = x . 4

-9x + 36 A(x) = x . 4

-9x2 + 36x

xv = = 2

-4

36

( )92. -4

36 - 9.24

= 4,5