Lista de Trigonometria – Arcos e Ângulos

1. Complete a tabela.

GRAUS RADIANOS GRAUS RADIANOS

0º 180º

30º 210º

45º 225º

60º 240º

90º 270º

120º 300º

135º 315º

150º 360º

2. Expresse em graus: a) rad

9

10

b) rad

8

11

c) rad

9

d) rad

20

e)

rad3

4

3. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.

4. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de 12

radianos, que arco ponteiro maior percorre? 5. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º. 6. (CEFET–MG) Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min? 7. (PUC) Um relógio foi acertado exatamente às 6h. Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º? 8. (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas

dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira rad.72 , uma

engrenagem que compõe o velocímetro gira rad.2 . Quando a roda gira rad.

5

18

, essa

COLÉGIO SHALOM

Ensino MÉDIO – 2º ANO

Profº:RONALDO VILAS BOAS COSTA

Disciplina: MATEMÁTICA

Aluno (a): __________________________. No. _____

TRABALHO DE

RECUPERAÇÃO

VALOR 12,0

INSTRUÇÕES:

1. LEIA com atenção cada questão;

2. PROCURE compreender o que está sendo pedido;

3. ELABORE respostas completas;

FAÇA uma letra legível;

Respostas a lápis não terão direito à revisão;

Não é permitido o uso de corretivo e nem rasuras.

engrenagem gira quantos graus? 9. Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha de custos para uma

obra e um dos itens a ser resolvido é quantos metros de cerca de

arame farpado devem ser comprados para cercar o terreno.

Sabe-se que o terreno tem a geometria da figura. O preço por

metro de cerca é de R$ 3,00. Quanto será gasto nessa cerca?

Dados: 4,12

, 7,13

, 2,25

e 3 .

10. Determine.

a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o

ângulo central correspondente mede 20°.

b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo

que ela tem raio de 20cm.

c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15°

corresponde a um arco de 30cm.

11. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000

voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?

12. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas

pelas rodas quando o automóvel percorre 9.891 km. Adote 14,3 .

13. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.

a) 1300º b) 1440º c) 170º d) rad

2

11

e) rad

5

43

f) –

1200º

14. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:

a) 1700º b) – 700º c) rad

4

49

d) rad.11 e)

rad8

33

15. Marque um “X” nos pares que representam arcos côngruos.

( ) 740º e 1460º ( ) 400º e 940º ( ) rad

3

38

e rad

3

26

( ) rad

5

74

e rad

5

19

16. Os arcos da forma º30.)1(º180. kk , Zk , têm extremidades em que quadrantes?

17. Determine os valores de:

a) º180º902º540cos3 tgseny b) º720secº630cos2º9004 seny

18. Determine os valores máximos e mínimos das expressões:

a) 3

1cos4

xy

b) 5

52 senxy

c) 23 2 xseny

19. Que valores de m satisfarão a ambas as condições: msenx 3 e 1cos mx .

20. Determine o valor positivo de m que satisfaz simultaneamente às condições: 12sec mx e 42 mtgx

.

21. Sendo x um arco do 2º quadrante e 5

3senx

, determine: a) xcos b) tgx c) xsec

22. (U. F. VIÇOSA-MG) Sabendo que 3

1senx

e

x

2 , o valor de 1cot

secseccos

gx

xx

é:

( ) 4

23

( ) 3

22

( ) 4

23

( ) 3

22

( ) 3

23. (F. M. Triângulo Mineiro – MG) Se x0 e 3cos3 senxx , pode-se afirmar que:

( ) 1tgx ( ) 2

11 tgx

( ) 2

1

2

1 tgx

( )

12

1 tgx

24. Relacione.

(a) º5240cos (b) º1200sen (c) )º210(sen (d) º330cosº1202º150 sentg

( ) 2

1

( ) º20cos ( ) 6

3

( ) º30cos

25. (UF-AL) A expressão )º120cos(º540

º3001

tg

sen

é igual a:

( ) 3

3

( ) 4

3

( ) 4

32

( ) 32 ( ) 32

1- Qual o comprimento de uma circunferência de raio 5 cm?

2- Os ponteiros de um relógio 11 horas e 45 minutos. O menor ângulo entre os ponteiros é de:

a) 60°30’

b) 72º

c) 82°30’

d) 60º

e) 85º

3- Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nos seguintes instantes:

a) 10h30min b) 2h15min c)13h35min d) 14h25min e)3h42min

4- Reduzir ao primeiro quadrante:

a) sen 120° b) cos 240° c) tg315° d) sen 225° e)cos 135°

5-Calcular, por redução ao primeiro quadrante:

a) sen 150° b) sen 225° c) sen 330° d) sen 3/4 e) cos 11/6 f) tg 5/3

g) cos 5/4 h) sen 11/6 i) cos 5/6 j) tg 35/4 k) tg 15/4

6- (UFRGS) Considere que a espiral representada na figura abaixo é formada por oito semicírculos

cujos centros são colineares. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais

semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior.

Qual é o comprimento dessa espiral?

7- Determine o valor numérico das expressões, para x :

a) xxtgxsenxy 8sec224cos

b)

)4(sec2

)2cos(2

cot2

)(

xsenxx

sen

xx

gsenx

xf

Lista de exercícios de Trigonometria Professor Jayme

1 – Num triângulo retângulo sabe-se que o cosseno de um ângulo vale 5/13. Determine as possíveis medidas dos três lados do triângulo. 2 – Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo da figura, sabendo que AB = 10 e cos x = 3/5.

3 – Uma circunferência tem 20 cm de raio. Qual o comprimento de um arco de 72º? 4 –Transforme em graus as seguintes medidas de arcos em radianos.

a) 4

3 b)

6

7 c)

6

d)

3

16 e) 1 rad f)

3

2 g)

4

7

5 –Transforme em radianos as seguintes medidas de arcos em graus. a) 30º b) 300º c) 1080º d) 135º e) 330º f) 20º g) 150º 6 – Complete, nas figuras, as medidas dos arcos trigonométricos correspondentes.

7 – Calcule o valor de x na figura abaixo:

8 –Indique no ciclo trigonométrico as extremidades que correspondem na circunferência aos seguintes arcos

a) 6

5 b)

5

6 c)

4

d)

2

3

9 –Quais os menores valores não negativos côngruos aos seguintes arcos: a) 1125º b) 1035º c) -840º d) -300º e) 410o 10 – Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante e que sen x = 0,8 , determine cos x e tg x.

11 – Sabendo que 00 270180 x e que sen x = 0,6 , determine cos x e tg x. 12 – Calcule o valor de: a) sen 150o b) sen 120o c) sen 300o d) sen 270o 13 – Calcule o valor de: a) cos 150o b) cos 120o c) cos 300o d) cos 270o 14 – Calcule o valor de: a) tg 150o b) tg 120o c) tg 300o d) tg 270o

Exercícios de Trigonometria

1º(JAMBO/PV) A medida de um ângulo é 225º. Em radianos, a medida do mesmo ângulo é:

1. 5

4

2. 4

5

3. 4

3

4. 4

7

5. 3

2

2º(JAMBO/PV) O valor de sen

4

cos 4

cos

42

é:

2

2

2

2

23

2 2

n.r.a 3º(JAMBO/PV) O domínio e o conjunto imagem da função definida por y = tg 2x, sendo D o domínio e I o conjunto imagem, são representados por:

a) D = { x IR / x 4

} e I = IR*

b) D = { x IR / x 4

e x 4

3

} e I = IR* c) D = IR e I = IR

d) D = { x IR / x 2

K

4

, K Z} e) D = IR* e I = IR

4º(JAMBO/PV) O valor de log

4

5tg

é: a) -2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

5º(JAMBO/PV) Seja a função f, de IR em IR definida por f(x) = 1 + 4 sen x. O conjunto imagem dessa função é o intervalo:

a) 5,3

b) 5,3

c) 4,3

d) 4,3

e) 1,1 6º(JAMBO/PV) O conjunto imagem da função f : IR IR, definida por f(x) = 2 sen x – 3, é o intervalo:

[-1, 1]

[-5, 5]

[-5, 1]

[-1, 5]

[-5, -1]

7º(JAMBO/PV) O período da função dada por y = sen

42

x

é:

a)

b) 2

c) 4

d) 2

e) 8

8º(JAMBO/PV) O período da função: f(x) = 4cos

3

4

1x

é:

a) 8

b) 7

c) 6

d) 3

e) 2 9º(JAMBO/PV) Calcular os valores de k que verificam simultaneamente as igualdades:

sen x = k – 1 e cos x = 23 k

1. 1 2. 0

3. 2

3

4. 2 5. –1

10º(JAMBO/PV) O domínio da função f(x) = sec

X

2

é: a) IR

b)

k2

x

c) Zk,kx

d) {x -1 ou x 1} e) n.r.a.

11º(JAMBO/PV) O valor da expressão

xtgx

xsen 2

2

2

cos

2

é: (a) -1 (b) –2 (c) 2 (d) 1 (e) 0

12º(JAMBO/PV) A função trigonométrica equivalente a xx

xsenx

cosseccos

sec

é: a) sen x b) cotg x c) sec x d) cossec x e) tg x

13º(JAMBO/PV) No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 5

3

e encontra-se no segundo quadrante. A tangente deste ângulo vale:

1) 4

3

2) 3

4

3) –1

4) 4

3

5) 3

4

14º(JAMBO/PV) Se sec x = 3 e tg x < 0, então sem x vale:

a) 3

22

b) 2

23

c) 3

22

d) 2

23

e) 2

2

15º(JAMBO/PV) O valor da expressão x =

21

2

tg

tg

quando cos 7

3

e tg < 0 é:

a) 31

104

b) 31

1012

c) 15

102

d) 7

103

e) n.r.a.

16º(JAMBO/PV) A expressão:

xtgx

xxsen

2cos

2cos

vale: 1. -2 2. –1 3. 0 4. 1 5. 2

17º(JAMBO/PV) Simplificando a expressão y =

xsenxsen

xx

2)(

)cos()2cos(

, temos: 1. y = tg x 2. y = cotg x

3. y = sen x cos x 4. y = - sen x 5. y = - cos x

18º(JAMBO/PV) Simplificando-se a expressão )cos()cos(

)()(

baba

basenbasen

resulta: 1. cotg a 2. tg a 3. tg b 4. cotg (a + b) 5. n.r.a.

19º(JAMBO/PV) cos(75º) é igual a:

1. 2

3

2

2

2. 2

2

2

3

3. 2

1

2

3

4. 4

2

4

6

5. 4

2

4

6

20º(JAMBO/PV) Sendo , então cos ( ) vale:

1. sen

2. cos

3. –sen

4. –cos 5. n.r.a.

Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes

6. Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. 7. Construa as seguintes matrizes:

A = (aij)3x3 tal que aij =

ji ,0

ji ,1

se

se

B = (bij)3x3 tal que bij =

ji se 3j,-i

ji se2j, i

8. Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij =

ji ,

ji ,1

2 sei

se

9. Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij =

ji ,22

ji ,

ji

seji

, então a22 + a34 é igual a:

10. Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.

11. Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3.

12. Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij =

ji ,.

ji ,

seji

seji

, determine a soma dos elementos a23 +a34.

13. Seja a matriz A = (aij)5x5

tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz.

14. Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.

15. Determine a e b para que a igualdade

7 10

b 4 3a

=

7 10

b 2a

seja verdadeira.

16. Sejam A =

2 0

1- 4

3 2

e B =

5 8

1- 7

0 2

, determine (A + B)t.

17. Dadas as matrizes A =

2- 4

1 3

e B =

2- 1

y- xyx

, determine x e y para que A = Bt.

18. Resolva a equação matricial:

2 2 4

3 5 1

2 5 3

2- 1- 1

7 2 0

5 4 1

= x +

5 9 1

3- 1- 8

2 7 2

.

19. Determine os valores de x e y na equação matricial:

4 3

2 1.2

5 7

4- 4

3

x2

y.

20. Se o produto das matrizes

1

2 0 1

1- 1 0.

1 1

0 1y

x

é a matriz nula, x + y é igual a:

21. Se

2

1.4.

3 1

1- 3

y

x

, determine o valor de x + y.

22. Dadas as matrizes A =

,5- 2

3 0

B =

1- 0

4 2

e C =

0 6

2 4

, calcule:

a) A + B b) A + C c) A + B + C

23. Dada a matriz A =

2- 1 0

4 3 2

0 1- 1

, obtenha a matriz x tal que x = A + At.

24. Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.

25. Determine os valores de m, n, p e q de modo que:

5 1

8 7

3q-

n-n

p

2m

qp

m

.

26. Determine os valores de x, y, z e w de modo que:

5- 8

0 1

1- 4

3 2

w

y

z

x

.

27. Dadas as matrizes A =

4 3

1 2

, B =

5 2

1- 0

e C =

1 6

0 3

, calcule:

a) A – B b) A – Bt – C

28. Dadas as matrizes A =

8 2 6

2- 4 0

, B =

0 6- 12

9 6 3

e C =

2 1- 1

0 1- 0

, calcule o resultado das seguintes operações:

a) 2A – B + 3C b)

CBA

3

1

2

1

29. Efetue:

a)

2

3.

4 1

3- 5

b)

3 0

1- 2.

4 1

2 5

c)

2 1 2

2 2 1

1 2 2

.

1 1 0

0 1 1

0 0 1

30. Dada a matriz A =

1 0 0

0 0 1

0 1- 2

, calcule A2.

31. Sendo A =

1 5

2 3

e B =

0 2

1- 3

e C =

4

1

, calcule: a) AB b) AC c) BC

32. Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i

– 3j. Sabendo que C A + B, determine C2.

33. Calcule os seguintes determinantes:

a)

3- 1

8 4-

b)

7- 3

3 8

c)

8 3 1

6 4 3-

9- 6 4-

34. Se a = 4 3

1 2

, b =

1 3

7 21

e c =

3 5

2- 1-

, determine A = a2 + b – c2.

35. Resolva a equação x5

x x

= -6.

36. Se A =

4 3

3 2

, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.

37. Sendo A =

33 b

b a

a, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor

numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.

38. Calcule o valor do determinante da matriz A =

3 1 2

6 7 5

0 1- 4

39. Resolva a equação

2-

1 4

2- 1 3

5 1

3 2 1

xx

x

40. Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.

41. Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso

médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: 3

2 2 0

x- 0 3

1 1- 1

, com base na fórmula p(x) = det A, determine:

o peso médio de uma criança de 7 anos

a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.

42. Calcule o valor do determinante da matriz A=

sen x- x cos

xcos- x sen

.

43. Resolva a equação 1- 1 -

1 3

x= 3.

44. Se A =

5 4

1- 2

, calcule o valor do determinante de

A

A2

7

2

.

45. Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 2x1 e 21 i .

Determine o determinante de A.

46. Determine o determinante da seguinte matriz 1 2 0

x1- 3

1 2x

.

47. Dada a matriz A = 2 1 0

5 4 1-

3 2 1

e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?

48. Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.

49. Calcule os determinantes das matrizes A =

7- 1- 2

4 3 1-

2 0 1

e B =

7- 6- 1

2 4- 3

0 0 1

, usando o teorema de Laplace.

50. Resolva as equações:

a) 7 5

2x x

= 0 b) x5

x x

= 0 c) 1- x1

5 3x

= 0

51. Sabendo – se a = 1 5

2 3-

e b =

10 4

6 2

, calcule o valor de 3a + b2.

52. Dada a matriz A = 3 1

4 2

, calcule: a) det A b) det A2

53. Determine o valor de cada determinante:

a) 4 3 2

3 1 4

5 2 3

b) 5 2- 4

1 3 2-

0 3 0

c) 0 3 4

1 1 1

0 2 2

54. Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P =

2 2 0

1- 1 2

1 1- 2

.

55. Na matriz

9 3- 1

4 2 1

x x1 2

, calcule: f)seu determinante g) os valores de x que anulam esse determinante

56. Determine em IR a solução da equação: 2 1 3

1- 2- 1-

x x 2

= 8 – log84.

57. Sabendo que a = 2 2

3 1

e b = 3 1 1

1 2 2

1 3 1

, efetue a2 – 2b.

58. Determine a solução da equação: x- 2

8 x 3

= 0.

59. Determine o determinante da matriz

sen x 2 x 2

xcos sen x

co.

60. Resolver a equação 4 4

4 x x

xx x

x= 0

61. Resolva as equações:

a) 2 1 3

x4 2

1 4 2

= 0 b) 3- x 2

x 1 0

2- 3 2

= 2 c) 1- x2

1 x 3

x3 1

x

x

= 0

1ª LISTA DE GEOMETRIA ANALÍTICA II

1-) Escreva a matriz A=

3x2ija, onde ija

=2i+3j

2-) Escreva a matriz B=

3x3ijb, onde ijb

= j

i

.

3-) Escreva a matriz C=

1x4ijc, onde

jic 2

ij .

4-) Escreva a matriz D=

3x1ijd, onde ijd

= i – j.

10-) Dadas as matrizes A=

3a

21

e

3b

3xB

, determinar a, b e x para que

A=tB .

11-) Determinar os valores de a e b, tais que:

3a

2b

3b

1a2

12-) Determine x e y na igualdade:

5-) Escreva a matriz A=

3x4ija, onde

jise,1

jise,2a ij

6-) Escreva a matriz A=

3x3ija, onde

jise,0

jise,jia ij

7-) Escreva a matriz A=

3x2ija, onde

jise,ji

jise,ji2a ij

8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A =

101

532

102

Be34

21

.

9-) Dada a matriz A=

41

21

, determinar: a-) a transposta de A b-) a oposta de A

5

9

4

5

y

xlog2

3

13-) Seja A=

3x2ija, onde ija

=i + j. Determine m, n e p em B=

5p2m1n

43nm

a fim de que tenhamos A=B. 14-) Determine a, b, x e y, tais que:

.11

23

yx2ba

yxba

15-) Determine x e y, tais que:

a-)

.

64

5

3

x

y

xlog

2

2

b-)

.y2x51

05

71

0y3x2

CONSTRUÇÃO DE MATRIZES

1) Escreva a matriz A=(a ij)2x3, em que aij = 2i 3j.

2) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2 – j

3) Escreva a matriz B=(b ij)3x3, em que b ij = j

i. Que elementos pertencem às diagonais principal

e secundária de B? 4) Escreva as matrizes C=( c ij)4x1, em que c ij = i² = j, e D=(d ij)1x3, em que d ij = i-j. Que matrizes especiais são essas? 5) Escreva a matriz A=(a ij)4x3, em que a ij = 2, se i ≥ j -1, sei < j

6) Escreva a matriz A=(a ij)3x3, em que a ij = i + j, se i = j

0, se i ≠ de j.

Forneça os elementos que pertencem às diagonais principal e secundária de A.

-2, se i > j

7) Determine a matriz B = (bij)3x3 tal que bij= 1, se i = j 3, se i < j

8) Escreva a matriz B = (bij) nos seguintes casos: a) B e uma matriz do tipo 3 x 4 com: bij = -1 para i = 2j bij = a para i ≠ 2j aij = 0 para i+j = 4 b) A é uma matriz quadrada de 4a ordem com: aij = -1 para i+j ≠ 4 c) A é uma matriz quadrada de 3a ordem com aij = 2i +3j – 1

2ª PARTE : IGUALDADE DE MATRIZES OPERAÇÕES COM MATRIZES

6. Sejam as matrizes:

A= 1 2 3

B= -2 0 1

C=

-1

D=

2 -1 1 3 0 1 2 2 -1

4 Calcule:

f) A + B g) 2A - 3B h) AC i) BC j) CD k) DA l) DB m) 3AD n) D(2A + 3D)

2 x2 2. Seja A= Se A = At encontre o valor de x. 2x-1 0 3. Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Quando uma afirmativa for falsa, tente consertá-la para que se torne verdadeira. a) (-A)t = - (At).

b) (A+B)t = Bt + At. c) (-A) (-B) = - (AB) d) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA. e) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. 4. Dadas

1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 - 2

A= 2 1 -3 B= 2 1 1 1 C= 3 -2 -1 -1

4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0

Mostre que AB = AC. 5. Dadas

2 -3 -5 -1 3 5 2 -2 -4

A= -1 4 5 B= 1 -3 -5 C= -1 3 4

1 -3 -4 -1 3 5 1 -2 -3

a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C. b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 – B2 = (A–B) (A+B) e (A + B)2 = A2 + B2. c) Calcule o determinante de cada matriz pela regra de Sarrus. 6) Sejam X e Y matrizes de mesma ordem, determine a, a R para que X = Y.

7) Calcule x e y em cada caso, para que as matrizes A e B sejam iguais: a) A = x + y e B = 2 2x – y 4

2

x 0 3 4 0 3

b) A = e B = 5 4 1 5 5 + y 1 x + y 2 4 2 c) A = e B = 4 8 4 x – y

2x + 3y 2 d) A = e B = 3x – y 3 8) Dadas as matrizes: A = 1 2 B = 1 0 e C = 1 -1.

. 3 4 2 3 0 1 teste as propriedades:

a) A . (B+C) = AB + AC b) A.(B.C) = (A.B).C

6) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j.

7) Construa as seguintes matrizes:

A = (aij)3x3 tal que aij =

ji ,0

ji ,1

se

se

B = (bij)3x3 tal que bij =

ji se 3j,-i

ji se2j, i

8) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij =

ji ,

ji ,1

2 sei

se

9) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij =

ji ,22

ji ,

ji

seji, então a22 + a34 é igual

a:

10) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.

11) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos

da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3.

12) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij =

ji ,.

ji ,

seji

seji, determine a soma dos

elementos a23 +a34.

13) Seja a matriz A = (aij)5x5 tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos

elementos da diagonal principal dessa matriz.

14) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.

15) Determine a e b para que a igualdade

7 10

b 4 3a=

7 10

b 2aseja

verdadeira.

16) Sejam A =

2 0

1- 4

3 2

e B =

5 8

1- 7

0 2

, determine (A + B)t.

17) Dadas as matrizes A =

2- 4

1 3e B =

2- 1

y- xyx, determine x e y para

que A = Bt.

18) Resolva a equação matricial:

2 2 4

3 5 1

2 5 3

2- 1- 1

7 2 0

5 4 1

= x +

5 9 1

3- 1- 8

2 7 2

.

19) Determine os valores de x e y na equação matricial:

4 3

2 1.2

5 7

4- 4

3

x2

y.

20) Se o produto das matrizes

1

2 0 1

1- 1 0.

1 1

0 1y

x

é a matriz nula, x + y é

igual a:

21) Se

2

1.4.

3 1

1- 3

y

x, determine o valor de x + y.

22) Dadas as matrizes A = ,5- 2

3 0

B =

1- 0

4 2e C =

0 6

2 4, calcule:

a) A + B b) A + C c) A + B + C

23) Dada a matriz A =

2- 1 0

4 3 2

0 1- 1

, obtenha a matriz x tal que x = A + At.

24) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.

25) Determine os valores de m, n, p e q de modo que:

5 1

8 7

3q-

n-n

p

2m

qp

m.

26) Determine os valores de x, y, z e w de modo que:

5- 8

0 1

1- 4

3 2

w

y

z

x.

27) Dadas as matrizes A =

4 3

1 2, B =

5 2

1- 0e C =

1 6

0 3, calcule:

a) A – B b) A – Bt – C

28) Dadas as matrizes A =

8 2 6

2- 4 0, B =

0 6- 12

9 6 3e C =

2 1- 1

0 1- 0,

calcule o resultado das seguintes operações:

a) 2A – B + 3C b)

CBA

3

1

2

1

29) Efetue:

a)

2

3.

4 1

3- 5 b)

3 0

1- 2.

4 1

2 5 c)

2 1 2

2 2 1

1 2 2

.

1 1 0

0 1 1

0 0 1

30) Dada a matriz A =

1 0 0

0 0 1

0 1- 2

, calcule A2.

31) Sendo A =

1 5

2 3 e B =

0 2

1- 3e C =

4

1, calcule:

a) AB b) AC c) BC 32) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij =

3i + 4j e bij = -4i – 3j. Sabendo que C A + B, determine C2. 33) Calcule os seguintes determinantes:

a)

3- 1

8 4- b)

7- 3

3 8 c)

8 3 1

6 4 3-

9- 6 4-

34) Se a = 4 3

1 2

, b =

1 3

7 21

e c =

3 5

2- 1-, determine A = a2 + b – c2.

35) Resolva a equação x5

x x= -6.

36) Se A =

4 3

3 2, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.

37) Sendo A =

33 b

b a

a, calcule o valor do determinante de A e em seguida

calcule o valor numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.

38) Calcule o valor do determinante da matriz A =

3 1 2

6 7 5

0 1- 4

39) Resolva a equação 2-

1 4

2- 1 3

5 1

3 2 1

xx

x

40) Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.

41) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo

de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo

determinante da matriz A, em que:

3

2 2 0

x- 0 3

1 1- 1

, com base na fórmula p(x) = det

A, determine:

f) o peso médio de uma criança de 7 anos g) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.

42) Calcule o valor do determinante da matriz A=

sen x- x cos

xcos- x sen.

43) Resolva a equação 1- 1 -

1 3

x= 3.

44) Se A =

5 4

1- 2, calcule o valor do determinante de

A

A2

7

2

.

45) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para

2x1 e 21 i . Determine o determinante de A.

46) Determine o determinante da seguinte matriz

1 2 0

x1- 3

1 2x

.

47) Dada a matriz A =

2 1 0

5 4 1-

3 2 1

e a = det A, qual o valor de det (2A) em

função de a?

48) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.

49) Calcule os determinantes das matrizes A =

7- 1- 2

4 3 1-

2 0 1

e B =

7- 6- 1

2 4- 3

0 0 1

, usando o teorema de Laplace.

50) Resolva as equações:

a) 7 5

2x x = 0 b)

x5

x x= 0 c)

1- x1

5 3x = 0

51) Sabendo – se a = 1 5

2 3-

e b =

10 4

6 2, calcule o valor de 3a + b2.

52) Dada a matriz A = 3 1

4 2, calcule:

a) det A b) det A2 53) Determine o valor de cada determinante:

a)

4 3 2

3 1 4

5 2 3

b)

5 2- 4

1 3 2-

0 3 0

c)

0 3 4

1 1 1

0 2 2

54) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P =

2 2 0

1- 1 2

1 1- 2

.

55) Na matriz

9 3- 1

4 2 1

x x1 2

, calcule:

f) seu determinante g) os valores de x que anulam esse determinante

56) Determine em IR a solução da equação:

2 1 3

1- 2- 1-

x x 2

= 8 – log84.

57) Sabendo que a = 2 2

3 1e b =

3 1 1

1 2 2

1 3 1

, efetue a2 – 2b.

58) Determine a solução da equação: x- 2

8 x 3

= 0.

59) Determine o determinante da matriz

sen x 2 x 2

xcos sen x

co.

60) Resolver a equação

4 4

4 x x

xx x

x

= 0

61) Resolva as equações:

a)

2 1 3

x4 2

1 4 2

= 0 b)

3- x 2

x 1 0

2- 3 2

= 2 c)

1- x2

1 x 3

x3 1

x

x

= 0

Questões:

01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.

02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 eAt sua transposta, determine A,

tal que A = 2 .At.

03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A

= AT e é dita anti-simétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de A.

Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas

afirmações:

(01) A + AT é uma matriz simétrica

(02) A - AT é uma matriz anti-simétrica

04. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz anti-

simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:

Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:

a) -4, -2 e 4

b) 4, 2 e -4

c) 4, -2 e -4

d) 2, -4 e 2

e) 2, 2 e 4

a) x = y = 0

b) x = y = m = n = 0

c) x = y e m = n

d) y = -2x e n = -2m

e) x = -2y e m = -2n

06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões

grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela

tabela:

Camisa A Camisa B Camisa C

Botões p 3 1 3

Botões G 6 5 5

O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho,

é dado pela tabela:

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B 50 100

Camisa C 50 50

Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e

junho.

07. Sobre as sentenças:

I. O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.

II. O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2.

III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2

É verdade que:

a) somente I é falsa;

b) somente II é falsa;

c) somente III é falsa;

d) somente I e III são falsas;

e) I, II e III são falsas.

08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:

a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;

b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;

c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;

d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;

e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

a) 3

b) 14

c) 39

d) 84

e) 258

10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes

transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:

a) (A = B) . C = A . C + B . C

b) (A + B)t = At + Bt

c) (A . B)t = At . Bt

d) (A - B)C = AC - BC

e) (At)t = A

Resolução:

01.

02.

03. (01) verdadeira

(02) verdadeira

04. B

05. E

06.

Maio Junho

Botões p 500 400

Botões G 1100 1050

07. B 08. C 09. D 10. C

9) Dada a matriz A = 5 2 , temos At + 2A será: 7 -3 a) 15 11 b) 7 1 c) 44 11 d) 15 6 e) 5 7 16 -9 2 -4 16 20 21 -9 2 -3

10) Dada a matriz A = -1 0 , temos A . At é a matriz: 1 2 a) 1 0 b) 1 -1 c) 2 2 d) 1 1 e) 0 -2

0 4 - 1 5 2 4 4 1 -2 4

14) (UFRS) A matriz fornece em reais o custo das porções de arroz, carne e salada usadas num restaurante: Arroz carne salada 1 arroz 1 2 1 P1

C= 3 carne P = 1 2 1 P2

2 salada 2 2 0 P3

A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante: A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos tipo P1, P2 e P3 é: 7 4 9 2 2

f) 9 b) 4 c) 11 d) 6 e) 2 8 4 4 8 4 2 3 -1 2 15) (FECILCAM-2010) Sejam as matrizes A = 4 5 e B = 7 -5 A alternativa correta é

(f) A matriz transposta de (A - B) é (A - B)t = 10 3 1 3

(g) O produto de A - B é igual ao produto de B - A; (h) c) O determinante da matriz A é igual ao determinante da matriz B;

0 1/11

(i) A matriz inversa de (A+B) é (A+B)-1 = 1/5 - 1/55

(j) A soma de (A+B) é igual a soma de (A + ( - B)).

16) Calcule os determinantes das matrizes abaixo:

(a) A

2 4 0

0 2 1

3 0 2

(b) A

21

00

21

42

1

2

2

4

0

1

1

1

(c) A=

2

2

22

11

01

x

x

x

ATENÇÃO!!!!!!! É obrigatório constar TODOS os cálculos no trabalho a ser entregue.

GABARITO DE TRIGONOMETRIA 1. B 2. B 3. D 4. C 5. A 6. E 7. A 8. A 9. C 10. C 11. C 12. E 13. A 14. C 15. B 16. E 17. B 18. B 19. E 20. D