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5/12/2018 compkexo - slidepdf.com
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Cálculo Avançado A - Números Complexos
1
LISTA DE EXERCÍCIOS DE NÚMEROS COMPLEXOS
1) Efetue as operações:
a) ( ) ( ) ( ) j1 j2 j1 −−+ b) j13
j1352
j32
j812 ++−
+c)
( )2 j1
j1
−
+
d)( )
( ) jzIm
zRe je)
( )( )
2
j35 j41
34
+−
f) ( )16 j1 −
2) Calcule as seguintes expressões:
a) ( )( )( )3 j2 j6 j43 −++
b) ( )( )
j64
j73 j1
+++
c)
( )( )
j67
1
j24
j24 j76
+−
+−+
3) Calcule as seguintes expressões usando a forma polar:
a) j333 j232 −+ b) j232
j388
+
+
c) ) j33(12
sin j12
cos2 +
π+
πd)
2
j22
j344
++
e) ( ) j j − f)
−−
+− j3
6
1
6
13
2
3 j
2
3g)
23
21 j
1
+−−
4) Calcule:
a)( )53 j44 + b) ( )6 j232 +
c)
6
j10310
j55
+
+d)
3
j66
j636−
++
5) Calcule as seguintes expressões:
a) 3 8z −= b) 3 jz −=
6) Encontre todas as raízes de 0192z3 6 =+ .
7) Encontre todos os valores reais de x de forma que ωseja um número imaginário puro, onde
( ) ( ) ). j43x( jx −+−=ω
8) Se 0a ≠ , b e c são números complexos, mostre, por substituição direta, que a equação
quadrática 0cbzaz 2 =++ é verificada por: .a2
ac4bbz
2 −+−=
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Cálculo Avançado A - Números Complexos
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9) Usando a fórmula acima, resolva a equação:
a) 03zj2z2 =++ , b) 0 j10z3 jz2 =+− ,
c) 016z17z 48 =+− , d) 03z2 jz2 =+− .
10) Encontre o valor de z tal que( )
( ) ( ) ( ).
j3 j2 j1
j22 j5z
−−−+=
11) Sendo22
22 j+ uma das raízes quartas de um número, determine as outras três.
12) Encontre todas as soluções complexas possíveis para as equações abaixo:
a) 0 je5 jz =+ b) ( ) 0 jzz j1z 35 =−−−
c) ( ) 03 jzhsen =+ d) 0z8z7z 47 =−−
e) ( ) ( ) 0z2cosh3z2senh =+ f) 0 j64z3 =+
g) 0 jee zz3 =+ − h) 08z7z 36 =−+
i) 0zsenh2zcosh =+ j) ( 064ze 62z =+−
k) 01e 3z =−− l) 0z729z 7 =+
m) 02z3z 24 =+− n) 0e je zz5 =+ −
o) ( )
( )( )08z jz j2z 32 =−−−+ p) 081z 4 =+
q) 0e2)zcosh( z =+ r) 01e3 1z2 =−−
13) Determine o módulo e o argumento de jzz42
e − .
14) Encontre ( ).zsenhRe
15) Encontre .eIm2z
16) Encontre Re(cosh z).
17) Encontre .eIm z / 1 :
18) Seja x um número real e w um número complexo. Encontre os valores reais de x e os valores
correspondentes de w de forma que ( ) ( )[ ] j43x jxw −+−= seja um número real.
Respostas:
Exercício 1: a) 24 − ; b) 1; c) j2
1
2
1+− ; d) j e) 2 ; f) 256 .
Exercício 2: a) 35; b) 2 ; c) 1.
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Cálculo Avançado A - Números Complexos
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Exercício 3: a) j12312 − ; b) j232 + ; c) ( )3 j123 + ; d) j434 + ; e) 1; f) 1; g) 3 j2
1
2
1+ .
Exercício 4: a) 3 j1638416384 − ; b) –4096; c) j512
1; d) j
4
1
4
1+ .
Exercício 5: a) ;3 j1z,2z,3 j1z 210 −=−=+= b) .2 j
23z,
23z, jz 22
j10 −=−−==
Exercício 6: j3z, j2z, j3z, j3z, j2z, j3z 543210 −=−=−−=+−==+= .
Exercício 7: .4xou1x −==
Exercício 9: a) A solução é: 3zez −== ; b) A solução é: j5ze2z −== ; c) A solução
é: z,1z,2z,2z ±=±=±=±= ; d) j12
6
2
2z, j1
2
6
2
2z
+−
−=
−+= .
Exercício 10: 1z −−= .
Exercício 11: 2
2
j2
2
z,2
2
j2
2
z,2
2
j2
2
z −=−−=+−= .
Exercício 12: a) 5ln jk 22
3z +π+
π= ; b) 1z,
2
2 j
2
2z,0z ±=
−±== ; c) 3k z +π= ;
d)2
3 j
2
1z,1z, j31z,2z,0z ±=−=±−=== ; e)
π
+π
+−=2
k
4 j2ln
4
1z ;
f) j232z, j4z −±== ; g)
π
+π
=2
k
8
3 jz ; h) 3 j1z,2z,
2
3 j
2
1z,1z ±=−=±−== ;
i) jk 3nl2
1z π+−= ; j) j2z, j3z, j3z ±=±−=±= ; k) π+= k 23z ;
l) ( ) ( ) j3z, j32
3z, j3
2
3z,0z ±=±−=±== ; m) 1z,2z ±=±= ; n)
π
+π
=3
k
4 jz ;
o)2
3
2
j1z, j31z,2z ±+−=±−== ; p) ( ) j1
2
23z ±±= ; q) π
+
+−=2
1k 2 j5lnz ;
r) π+−
= jk 2
3ln1z .
Exercício 13: yy4x4 jzz4 222
ee+−− = ; xxy8earg
jzz4 2
−=
− .
Exercício 14: ycosxsenh .
Exercício 15: ( )xy2sene22 yx − .
Exercício 16: ycosxcosh .
Exercício 17:
+
−+22 yx
ysene
2y
2x
x
.
Exercício 18:25
136,
5
3x −=ω−= .