Complexidade Computacional, Lógica e Teoria da Prova

Ago/2003 Topicos em Teoria de ComplexidadeProf. Edward Hermann Haeusler

TECMF

Complexidade Computacional, Lógica e

Teoria da Prova


TECMF

É mais fácil verificar uma solução do que calculá-la ???

f(x) = 02|x|

1 => Para se escrever 02 a partir de x se usa “tempo” exponencial. |x|

2 => Para, dados <x,y>, verificar-se se f(x) = y usa-se “tempo” polinomial

1 => Para se encontrar uma valoração que satisfaça uma fórmula booleana parece precisar-se de “tempo” exponencial.

2 => Dada uma fórmula e uma valoração, verifica-se em “tempo” polinomial se esta satisfaz a fórmula,.


TECMF

PVp = { f / f(a1,...,ak)= b é verificável em tempo poli para toda <a1,...,ak,b> }

PCp = { f / f(a1,...,ak) é calculável em tempo poli para toda <a1,...,ak>}

Teorema : PVp PCp se e somente se P = NP


TECMF

Qual a relação entre a Lógica e a Computação ?

- O que é a (Teoria da) Computação ?

- O que é Lógica ?

(Tentativa de) conceituação do Computável

(Tentativa de) conceituação do Razoável


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Razoável

Todo evento que é passível de uma explicação, na forma argumentativa,construída sobre fatos iniciais inquestionáveis.

Antes de 1879 ====>

Lógica Aristotélica e Escolástica (a partir de 300 a.c.)Álgebras Booleanas (Boole 1847)Álgebra Relacional (DeMorgan, Schroeder, C.S.Peirce XIX)


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Evolução da Lógica como assunto matemático

Frege (1879) estabele a lógica como um sistema formal que tem sua linguagem particular e distinta da natural. O conceito de prova matemática passa a ser formal.

Frege (1884) busca a fundamentação da aritmética em bases puramente lógicas , com a adição do conceito de pertinência () como primitivo.

===> Os paradoxos aparecem novamente !!

DeMorgan (1830) Observa que a álgebra não necessita lidar tão somente com conceitos numéricos.

Boole (1854) Descreve uma álgebra a partir de operações entre conjuntos e relações lógicas, confirmando DeMorgan.

===> Paradoxos associados ao axioma da escolha, etc


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Principais Resultados em Lógica/Metamatemática no início do século XX

- Teoria dos Tipos como solução ao paradoxo em Russell

- Presburger (1929) prova que a aritmética sem a multiplicação é decidível.

- Russell e Whitehead publicam o Principia Mathematica.

- Skolem (1931) prova que a aritmética sem a adição e o sucessor é decidível

- Herbrand (1931) prova a consistência de um fragmento fraco da aritmética (só o sucessor).

-Tarski (1930) formaliza a semântica adequada para a lógica de primeira ordem

- Gödel (1930) prova a completude do cálculo de primeira ordem

- Gödel (1931) introduz a idéia de aritmetizar (codificar na forma numérica) a linguagem de um sistema formal de forma que (meta) teoremas do sistema possam ser vistos como teoremas aritméticos e prova seu famoso teorema da incompletude. Obs: # é o código de .- Gödel (1931) prova a não-provabilidade da consistência.

- Gentzen (1936) prova a consistência da aritmética ( Haupsatz para o Cálculo de Sequentes)


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ComputávelToda tarefa que pode ser realizada

por um ser burro com um mínimode conhecimento/capacidade.

burro = Incapaz de Aprender

conhecimento = ?

Antes de 1900 d.c ====> Máquina de Raciocinar (Leibniz 1667)Máquina de Calcular de Pascal l (Pascal sec.XVII)Máquina de Babbage (Ch. Babbage sec. XIX)

.

.


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A Computação do ponto de vista das funções recursivas

1931 - Gödel define as funções prim. recursivas associando-as a provas em aritmética

1927/1928 - Ackermann define uma função que necessita de recursão simultânea

1934 - Rózsa Péter - Prova que as funções prim. recursivas formam a classe definida por recursão simples e “nested” a partir de funções iniciais constantes, identidade e a função sucessor. Prova que a função de Ackermann é na realidade definida por recursão em duas variáveis e não é portanto primitivamente recursiva, mas é computável.

1936 - A. Turing - Define uma máquina formal a partir de princípios simples (ler , apagar e escrever símbolos em uma fita) e define o conceito de Máquina Universal. Prova que não existe máquina capaz de verificar se outra máquina pára ou não. Desde o início a sua máquina com versão Não-Determinística

1936 - A. Church Define o -Calculus e mostra que este é capaz de definir todas as funções para as quais existe uma Máquina de Turing.

1938 - Kleene Define, aceitando que o computável inclui a parcialidade funcional, as funções parcialmente recursivas e lança a Tese de Church.1954 - Markov Estabele o conceito de computável com base em identificação de palavras e símbolos (algoritmos de Markov) e justifica o ponto de vista finitista da computação.


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Sxyz (xy)xz Kxy x Ix x (I SKK)

Tese de Church: f: N N é computável se e somente se existe um combinador FC1 C2... Cn tal que para todo nN (F:n: :m:) f(n) = m)

:0: I :1: P0K :2: P1K ..... :n: P:n-1:K ....

P

f é recursiva

existe uma máquina de Turing M , tal que M com 11.......111na fita de entrada M pára com 11.....11111 na saída sss f(n) = m

m

n

existe um algoritmo de Markov A , t.q. A lendo 11.......111pára e produz o string 11.....11111 na saída sss f(n) = m

m

n


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A Máquina de Turing

- Modelo determinístico

q

q’

’

- Modelo multi-cabeça (determinístico)

i1 i2 ik

qi1 qi2 qik

U(i,a) = Ti(a)Máquina Universal U


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M. Turing modelo multi-fita (determinístico)

qi1

i1

qik

qi2

1

2

k ik

i2


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algoritmo

Sequência de passos

Conjunto de sequência de passos

não-determinismo determinismoparalelismo paralelismo c/

sincronia

A partir da década de 50 (sec. XX).......


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A Máquina de Turing (cont.)

- Modelo não-determinístico

q

q1

q2

q3

q11

q12

q13


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Medindo a eficiência de algoritmos

- Escolha do modelo

- Recursos: Tempo x Memória

- Relacionando os algoritmos e os problemas que estes resolvem

- Computação de Funções- Problemas de otimização- Problemas de decisão,- Linguagens

- Classes de complexidade: Como defini-las ???


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Problemas de Decisão

x P ?x

sim

não

Prog.|x| *

1

0

Problemas de Decisão Linguagens Formais


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Algumas Definições

L DTime(f) sss m TuringDet t.q. (m decide L) e c, x Strings steps(m,x) cf(|x|)

L DSpace(f) sss m TuringDet t.q. (m decide L) e c, x Strings space(m,x) cf(|x|)

- Como medir espaço (memória) ???

- Qualquer tipo de função serve como parâmetro de medida ??


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Por que considerar classes assintóticas de funções ??

Teorema: (speedup linear) Se uma linguagem L é decidida em tempo f(n) então para qualquer > 0 existe uma M. Turing M que decide L em tempo .f(n) + n + 2.

Prova : Modificar o tamanho da “palavra” de memória

Consequências do seedup:

Se L é decidida em tempo f(n) = 165.nk + .... + 54.n + 657 então L é decidida em tempo f’(n) = nk

Obs: O mesmo teorema ( e técnica de prova) vale para função de medida e uso de espaço (número máximo de células visitadas)


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Funções de tempo construtivas

Fato: Existe f, tal que, DTime(f) = Dtime(2f)

Def. f é uma funçao de tempo construtível, sss, existe uma máquina de Turing M tal que para todo n, M(1n) = 1f(n) e steps(M, 1n) cf(n).

Propriedades :

- Para qualquer função computável g existe uma função de tempo constru- tível f tal que g < f.

- As funçoes polinomiais, exponencial e logaritmos (inteiros) são funções de tempo construtíveis


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As funções step e space

- space deve levar a entrada em consideração ?

- step deve levar a leitura da entrada em consideração ?

- O modelo (M.T.) tem alguma robustez com relação as medidas ?

- O que acontece quando modifica-se o número de cabeças ?

- O que acontece quando modifica-se o número de fitas ?

Fato: Se L é reconhecida em tempo O(f) em uma MT com mais de uma cabeça, então L é reconhecida em tempo O(f2) em uma MT com uma cabeça.

Fato: Se L é reconhecida em tempo O(f(|x|)) em uma MT com uma fita, então L é reconhecida em tempo O((1/2k)f(|x|)+ |x|) em uma MT com k fitas


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Algumas propriedades e definições:

Fato I: DTime(f) =coDTime(f)

Se f é de tempo construtível então :

coDTime(f) = { L / m TuringDet t.q. (m decide Lc) e x Strings steps(m,x) O(f(|x|)) }

Fato II: Se n f(n) e |L1L2| finito então L1 DTime(f) sss L1 DTime(f)

Fato III: DTime(f) é construtivamente enumerável, i.e., existe uma MT T tal que T(i,x) = Ti(x) e DTime(f) = {Li / Ti decide Li }.

Def. P = DTime(ni)iN

Def. EXP = DTime(2n )iN

i


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Teorema de Cantor

==> Seja B um conjunto, então |B| < |2B|

S = { x / x f(x) }

Prova: Suponha que |B| = |2B| então existe f: B 2B

f-1(S) S se e somente se f-1(S) S

Paradoxo do Barbeiro: Em uma cidade existe um barbeiro que faz a barba de todos os homens que não barbeiam a sí próprios e somente estes.

{A / A B}


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O método da diagonal de Cantor

a0= 0, aoo ao1 ao2 ao3 ao4....... aon..............a1= 0, a1o a11 a12 a13 a14....... a1n..............

an= 0, ano an1 an2 an3 an4....... ann..............

suponha que |(0,1)| = |N|

b = 0,b0 b1 b2 b3 b4....... bn.........

bj=

5 se ajj = 9

9 senão

|(0,1)| |N|


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Hierarquia própria de funções construtivas

Paraf = { <T,x> / T(x) pára no máximo em f(|x|) passos}

FatoI : Paraf DTime(f3)

FatoII : Paraf DTime(f(x/2))

Prova: Diagonalização

Corolário I : DTime(f(n)) DTime(f(2n+1)3)

Corolário II : P EXP


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Classes de Complexidade e algumas relações

Def. PSpace = DSpace(ni)iN

Def. NP = NTime(ni )iN

Def. NPSpace = NSpace(ni)iN

Def. Log = Space(log) e NLog = NSpace(log)

Log NLog P NP NSpace


TECMF

- DSpace(f(n)) NSpace(f(n)) e DTime(f(n)) NTime(f(n))

- NTime(f(n)) DSpace(f(n))

- NSpace(f(n)) DTime(klog n + f(n))

- Alcançabilidade Space(log2) NSpace(f) Space(f2)

(obs; Número de conf. + alcançabilidade)

- número de nós alcançavel Space(log) => NSpace(f) = coNSpace(f)


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P : Encontra solução em tempo polinomial

NP : Verifica solução em tempo polinomial

CoNP : Verifica que não é solução, em tempo polinomial

Sat NP Taut CoNP

Obs: Se CoNP NP então NP P

Verificação de Modelos Prova de Teoremas

A Ciência da Computação Hoje : NP = P ? (Cook 1971)


TECMF

Def. Seja C uma classe de problemas (linguagens). Diz-se que um problema (ling.) P é C-completo (a) se e somente se todo problema (ling) de C é redutível a P. Isto é resolver P é tão difícil quanto resolver qualquer outro problema em C.

- Saber se um programa pára (via outro programa) é Rec-Completo, onde Rec é o conjunto dos problemas (ling) recursivos.

Exemplos:

- Saber se dado uma solução para um problema esta é verificável em tempo polinomial é tão difícil quanto decidir se uma sentença da lógica proposicional é “verdadeira”. Sat é NP-completa.

O(n2)

O(n3)

O(n)

P

O(2n)

decidir se uma fórmula da lógica de predicados é Sat

decidir se uma fórmula da lógica prop é Sat

NPdecidir primalidade

decidir se uma 3CNF fórmula é Sat

decidir se uma 2CNF é Sat

decidir se uma cláusula de Horn prop é Sat

decidir se 2 cláusulas de Horn prop são equiv.

NPC ?

Obs: Supondo P NP


TECMF

Alguns Fatos Importantes :

Fato 1: Existe um oráculo B tal que PB = NPB

Fato 2: Existe um oráculo C tal que PC NPC

Prova: NPSPACE=PSPACE e B um problema NPSPACE completo


Discussão : Simulação e Diagonalização para provar P = NP ??


TECMF

Fato : Se PNP então NP-NPC .

Prova: Diagonalização Uniforme [Ladner 1975]


TECMF

Lema: Sejam C1 e C2 duas classes de Linguagens, tais que :

1- C1 e C2 são construtivamente enumeráveis

2- C1 e C2 são fechadas para variação finita

3-Existe L1 C1 e L2 C2

nestas condições existe L, tal que:

L C1 C2 e L L1 L2

Teorema: Se PNP, então Sat P e NPC então existe L P NPC



TECMF

A representação influencia a complexidade de um problema ??

Alfabetos ??

Teorema: Se alguma linguagem unária for NP-completa então P=NP.

Prova :


TECMF

Hierarquia de Kleene


TECMF

Hierarquia Polinomial


TECMF

Circuitos Booleanos=> Dígrafos acíclicos com nós AND, OR, NOT, nós iniciais (sem arco entrante) e um e somente um nó terminal (sem saída).

Exemplo: Circuito para computar alcançabilidade em grafos. Entrada = <Grafo, <1,n>>

Gij = matriz de adjacências de um dígrafo

1

2

3

4

5 12345101001200010310000400000510000

01001 00010 10000 00000 10000 direto

pass. por 1.

pass. por 1 ou direto.

pass. por 2(poss. por 1 tb)

pass. por 2,1 ou direto.

pass. por 5,4,3,2,1 ou direto.


TECMF

Obs: => Alcançabilidade tem circuitos de tamanho O(n3) e profundidade O(n)

Famílias de Circuitos Booleanos

Def. L é decidida por uma família (Ci)iN, sss, para todo string s, com |s| = n, Cn aceita s se e somente se s L.

Questão : O tamanho de um circuito tem a ver com a complexidade (em MT) do problema de decisão associado ???

Resp. : Prox. Slides

Conjectura: Todo problema de decisão com famílias de circuitos de tamanho polinomial é um problema que está em P ??


TECMF

Resp: NÃO

=> Problemas indecidíveis tem famílias polinomiais de circuitos booleanos

Exemplo: Seja D {1}* uma linguagem indecidível. e seja (Ai)iN a família de circuitos tal que

- se 1k D então Ak é o circuito só com portas AND e k fontes - se 1k D então Ak é o circuito com só portas AND e uma NOT ao final.


TECMF

Famílias Uniformes de Circuitos Booleanos

Fato: NLSpace P

Def. Uma família (Ci)iN de circuitos booleanos é uniforme, sss, existe uma MT (não determinística) que para entrada 1n gera o circuito Cn usando log(n) células da fita.

==> Alcançabilidade possui família uniforme de circuitos booleanos

(klog(n) = n)

- Dado n, existe uma MT para gerar Cn usando somente log(n) de espaço na fita de trabalho.

==> Gerar todos os circuitos de profundidade n com n2 nós fontese verificar se a forma é a requerida.


TECMF

Nova Conjectura: P = Linguagens aceitas por famílias uniformes de Circuitos booleanos de tamanho polinomial ??

Desta vez SIM.

Prova: Construção usada na prova que SAT é NP-completo e definição de família uniforme de Circuitos de tamanho polinomial.

() Trivial

() Seja L P, então existe uma MT det. M que decide L em tempo nk. Seja w L, tal que |w|=n. Da tabela de computação de M constrói-se um circuito Cn.


TECMF

Tabela de computação de M para a entrada w |w|=n

nk

s11 s12...... s1m s21 s22...... s2m s(n-1)1 s(n-1)2...... s(n-1)m sn1 s12...... snm

’1 ’2 ’p-1 ’p ....

a11 a12...... a1m a21 a22...... a2m a(p-1)1 a(p-1)2...... a(p-1)m at1 a12...... apmad1 ad2...... adm

qj’2

x-1 xx x+1

x

tempo ttempo t+1

A C ....

b11 b12...... b1m b21 b22...... b2m

E I T A

q01 2 n-1 n ....


TECMF

Observações:

1- O tamanho do circuito Pad só depende de M. Se = Est(M) Alfa(M) {,} e c = || então |Pad| = 3.c

2- w L, se e somente se, o circuito tem valor “true” quando “alimentado” com cod(w).

3- O construção de um circuito C|w| é feita a partir de M e |w| usando espaço de ordem log(|w|) na fita. Algoritmo imprime na fita de saída as diversas cópias de Pad (tamanho independente da entrada), com as respectivas junções de e/s que usam espaço de ordem log(|w|) .


TECMF

Proposição: Toda linguagem em P possui família uniforme de circuitos booleanosde tamanho polinomial.

Corolário: SE existe L NP é tal que toda família uniforme de circuitos que decide L não tem tamanho limitada por nenhum polinômio ENTÃO PNP

Um caminho para provar PNP :

==> Provar que algum problema NP-completo possui cota inferiorsuperpolinomial


TECMF

Circuitos x Circuitos monotônicos

Def. Uma função booleana f é monotônica, se e somente se, se a b então f(x1,...,a,...,xn) f(x1,...,b,...,xn).

Obs I: Todo circuito monotônico computa uma função monotônica

Exemplos:

- Circuitos monotônicos são aqueles construídos sem o uso da porta NOT.

Obs II: O circuito utilizado na demonstração da conjectura é monotônico, ou seja, o problema (P-completo) de avaliar um circuito é redutível via circuitos monotônicos. (Expressividade !!!!!)

- Alcançabilidade, circuito hamiltoniano e clique são monotônicos,

- Mochila e cobertura euleriana não são monotônicos


TECMF

Circuitos ingênuos monotônicos para computar CLIQUEn,k

1001010101 n 1 n100101010 100101010 100101010

1 n 1 n1 2 n-1 n

1001010101 n 1 n100101010 100101010

1 nvivi1 jvik

i1 ik i1 ik i1 ik

... ... ...

... ...

S = { ,....., }vi1vik


TECMF

Circuitos “ingênuos” monotônicos para computar CLIQUEn,k

1001010101 n 1 n100101010 100101010 100101010

1 n 1 n1 2 n-1 n

S1 Sj S( )n

k

ORTamanho = k2( )n

k

Obs: 2n < ( )2n n

Def. CC(S1, ..., Sm) é o circuito ingênuoconstruído a partir dos conjuntos S1, ..., Sm de vértices


TECMF

Teorema do Razborov

Teorema: Circuitos monotônicos para CLIQUEn,k , quando k = 4n, tem cota inferior :

82 ncO


TECMF

Esquema:

1 - Considerar um circuito monotônico qualquer C

2- Aproximar C via um circuito ingênuo CC(S1, ..., Sm) introduzindo um número pequeno (poli) de falsos positivos e de falsos negativos.

3- Cada aproximação é executada sobre uma porta (gate) do circuito.

4- Demonstra-se que o circuito ingênuo resultante da aplicação de “3” a todas as portas de C tem uma quantidade exponencial de falsos positivos e de falsos negativos.

5- Concluí-se que C só pode ter uma quantidade exponencial de portas.

=> Considerar tipos particulares de exemplos negativos e positivos para teste de clique (exemplos em quantidade exponencial)


TECMF

Exemplos positivos e exemplos negativos

Exemplo positivo:

- Um grafo simples com n vértices contendo um subgrafo completo de tamanho k

Exemplo negativo:

- Um grafo com n? vértices e (k-1) colorável

=> Existem ( ) exemplos positivos. nk

=> Existem (k-1)n exemplos negativos


TECMF

Lema de Erdös-Rado: Seja F uma família de com mais que M=(p-1)L.L! conjuntos, todos não vazios e todos com cardinalidademáxima L. Então F contêm um “girassol”.

Resultado de combinatória importante para o teorema

Z1

Z2

Z3

Zj

Z>M

Zi Zj Zk Zv = = Núcleo

Prova: Por indução em L


TECMF

Construção Indutiva do circuito aproximante para C.

Caso Base: C =gij , porta de entrada gij

Aprox(C)= CC({gij})

Casos Indutivos:

1- C = C1 OR C2

Obs: Manter a cardinalidade dos geradores do circuito ingênuo.

Aprox(C1)=CC(F1) e Aprox(C2)=CC(F2)

Aprox(C) = CC(F1F2)

- Se | F1F2| > M substituir os elementos do “girassol” pelo seu núcleo

Aprox(C) = CC(Nu(F1F2))

se usamos M=(p-1)L.L! => forçamos a existência de “girassois” com pétalasde tamanho L


TECMF

2- C = C1 AND C2

Aprox(C1) = CC(F1) , Aprox(C2) = CC(F2)

Aprox(C) = CC(Nu({XY: X F1, Y F2 e |X Y| L}))


TECMF

Lema I : Em cada aproximação são introduzidos no máximo M22-p(k-1)n

falsos positivos

Lema II: Cada aproximação introduz no máximo M2( ) falsos negativos

n-L-1k-L-1

Lema III: Todo circuito aproximante ou é idêntico ao circuito “falso” ou resulta em “verdadeiro” em pelo menos metade dos exemplos negativos.


TECMF

O que é introduzir falsos positivos ou falsos negativos ??

Obs: No caso base da construção do circuito aproximante (Aprox({gij}) = CC({gij}) , a aproximação é exata !!!!!

- Se C = C1 OR C2 , Aprox(Ci)=CC(Fi) , CC(Fi) retorna “verd” para algum i quando alimentado com um exemplo positivo G, e, Aprox(C) retorna “falso” quando alimentado com G.

- Se C = C1 OR C2 , Aprox(Ci)=CC(Fi) , CC(Fi) retorna “falso” para algum i quando alimentado com um exemplo negativo G, e, Aprox(C) retorna “verd” quando alimentado com G.

=> Aprox(C) introduziu um falso negativo

=> Aprox(C) introduziu um falso positivo

- Similar para C=C1 AND C2


TECMF

Lema I : Em cada aproximação são introduzidos no máximo M22-p(k-1)n

falsos positivos

- C = C1 OR C2 com Aprox(Ci)=CC(Fi) e Aprox(C) = CC(Nu(F1F2))

A introdução de falsos positivos é culpa do operador Nu.

=> Substituir (Z1,....,Zp) , um “girassol”, por Z, seu núcleo, em F1F2.

Z1

Z2

Z3

Zj

ZpZ2 Zj F1

Z1 Z3 Zp F2

Quantas cores diferentes pode haver no Núcleo ???

=> Qual a probabilidade de se colorir todos os vértices em G com repetição e o núcleo não ????

- G é falso positivo , então .......


TECMF

Rep(X) = Há cores repetidas em X.

prob(Rep(Z1) & ..... & Rep(Zp) & Rep(Z)) prob((Rep(Z1) & ..... & Rep(Zp))| Rep(Z)) =

prob( Rep(Z))

= prob(Rep(Zi)| Rep(Z)) prob(Rep(Zi)) p

i=1

p

i=1 2-p

Rep(Zi) =

| Zi |

2k-1

L

2k-1

L!(L-2)! 2!

k-1=

(n)!(n -2)! 2!n -1

8

8

4 1/2

Estimativa de falsos positivos 2-p.

colorações possíveis

por operação Nu (k-1)nna OR aproximação 2M/(p-1)

operações Nu


TECMF

2- C = C1 AND C2 Aprox(C1) = CC(F1) , Aprox(C2) = CC(F2)

Aprox(C) = CC(Nu({XY: X F1, Y F2 e |X Y| L}))

não introduz falsos positivos pode retirarpositivos mas nunca incluir falsos positivos

Pode incluir no máximo 2-p falsos positivos por operação de Nu

Estimativa de falsos positivos para a aproximação AND 2-p (k-1)n M2


TECMF

Lema II: Cada aproximação introduz no máximo M2( ) falsos negativos

n-L-1k-L-1

1 - A operação Nu não introduz falsos negativos.

=> A aproximação para OR não introduz falsos neg.

2- C = C1 AND C2

C1

C2G+

true

true

Aprox

CC({XY/X F2, Y F1 | XY| L})

Y1 YkY

X1XjX

..........

..... .....

G+ false

n-L-1k-L-1M2( )

pares poss. falsos neg.por retirada

Obs: L < |X Y|


TECMF

Aprox(C2) = CC(F2)

Aprox(C1) = CC(F1)

Aprox

G+

G+

true

trueX1

Y1

XjX

YkY

Aprox(C1 AND C2)

Y1 YkY

X1XjX

CC({XY/X F2, Y F1})

..... .....

..........

..........

..... .....

G+ true

Y1 YkY

X1XjX

CC({XY/X F2, Y F1 | XY| L})

..........

..... .....

G+ false


TECMF

Lema III: Todo circuito aproximante ou é idêntico ao circuito “falso” ou resulta em “verdadeiro” em pelo menos metade dos exemplos negativos.

ObsI: A operação de aproximação de um AND pode deletar todos os pares.

Se o circuito aproximante (ingênuo CC(X1,...,Xp)) aceita algum circuito

Algum Xi aceita os exemplos negativos (têm cliques)

Existem L | Zi |

2k-1

2k-1

L!(L-2)! 2!

k-1=

(n)!(n -2)! 2!n -1

8

8

4 1/2

exemplos de circuitos k-1 colorações em um circuito de L vértices

ObsII:


TECMF

Definição: P/Poly é a classe de linguagens aceita por circuitos booleanos de tamanho polinomial.

Colapso da hierarquia polinomial de complexidade


TECMF

Exemplo positivo de tamanho n

- Um grafo com ( ) arestas conectando k vértices de todas as formas possíveis

k2

Obs: Existem ( ) exemplos positivosnk


TECMF

Exemplo negativo de tamanho n

- Colorir os vértices com (k-1) cores diferentes e unir por uma aresta todos os pares de nós que são coloridos com cores diferentes.

Obs: Existem (k-1)n exemplos negativos (contando isomorfismo)


TECMF

A(PA = NPA)

A = { <T,w,1k> / w é aceita por T usando no máximo k células }

PA NPA (fácil)

NPA PA

wL

L

Tw

w0

wn

simp(|w|)

T’’wn,1kAp(|w|)

T’

w0

wn

sim

T’’wn,1kA

wn

1k

wskp’(|w|)

A: T’ w 1p’(|w|)

L


TECMF

C( PC NPC)NPC PC

- X um oráculo qualquer- enumeração construtiva de PX : {T0, T1,....., Tn,........}, tal que, - Para qualquer x e k, Tk(x) pára no máximo em |x|k + k

LX = {0n / x(x X e |x|=n} Obs: LX NPX

- Vamos definir C (um oráculo do tipo X) de forma a LC PC

- Obs: |x|k + k < 2|x| O quantidade de strings de tamanho |x| é maior que qualquer poli em |x|

- Qualquer Tk PC , calculando Tk(w) pode submeter no máximo |x|k + k strings de tamanho |x| ao oráculo C.


TECMF

Diagonalização em partes para definir C:

C(i) = {w / w C e |w| = i}

Objetivo. - Se Ti

C(i-1)(0i ) = “aceita” então C(i) = {}. - Se Ti

C(i-1)(0i ) = “rejeita” então C(i) = {min{w / |w| > ||C(i-1)||i-1 + i-1 e 2|w| > |w|i + i }}

C(0) = {}

||W|| = max{|w| / w W }

LC PC ==> existe Ti tal que LC é aceita por Ti ==>

Se TiC(0i ) = “aceita” então 0i C(i) = {}

Se TiC(0i ) = “rejeita” então 0i C(i) 0i

LC PC


TECMF

Pred(i,k) =true j 0 j i, w( |w| = i steps(Tj,w) k)

N(i) = |alfabetoj|ij=0,i

f(i) = 2 222

2

s-vezes

onde s N(i) e Pred(i, ) 222

2

s-vezes


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Suponha Paraf DTime(f(x/2))

Diagf (T) = se TParaf(T,T) = “sim” então “não” senão “sim” es

Diagf (Diagf ) = “sim” TParaf(Diagf,Diagf) = “não”

Diagf não aceita sua descriçao em tempo f(n)

Diagf “roda” em tempo f(2n+1/2) = f(n)

Diagf (Diagf ) = “não” TParaf(Diagf,Diagf) = “sim”

Diagf aceita sua descriçao em tempo f(n)


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C1 e C2 são construtivamente enumeráveis

Tji (i=1,2) (j N) tal que Tj

i decide Lji Ci

tal que G P e :Define-se G

j z * z Li Lji e z G

Li Ci

Fazendo L = (L1 G) (L2 Gc)

j z * z Li Lji e z G j z * z L Lj

i e z G


TECMF

Zi,n1 = menor palavra z com |z| >= n e z L1L1

i

Zi,n2 = menor palavra z com |z| >= n e z L2L2

i

Rk(n) = max{| |} + 1 Zi,nkin

L1C1 ===> L1L1i para todo i

C1 fechada por var. finita ====> para todo j e nj existe z L1L1j

R1 é total e computável

R é uma função de tempo construtível tal que R(n) max(R1(n), R2(n)).

G = { x / R2n(0) |x| R2n+1(0) e n 0}


TECMF

G P

T = Máquina de Turing que conta o tempo de R.

T(x) pára em exatamente R(|x|) passos

Algoritmo - Executar |x| passos de T(10) verificando se R(0) > |x| ==> R(0) > |x| > 0 Executar |x| passos de T(1R(0)) verificando se R(R(0)) > |x| ==> R(R(0)) > |x| > R(0)

Executar |x| passos de T(1R(0)) verificando se Rn(0) > |x| ==> Rn(0) > |x| > Rn-1(0)

n

até achar o intervalo e verificar se n é par ou impar


TECMF

Suponha L unária e NP-completa

Existe uma redução R polinomial, tal que, x SAT, sss R(x) L

Teorema: Se existe uma linguagem unária (L {1}*) NP-completa então NP = P

Notação: t {0,1} * => A[t] = fórmula A avaliada parcialmente por t (ordem nas letras)

Árvore de avaliação do valor verdade de AA

A[0] A[1]

A[00] A[01] A[10] A[11]

t .... f t t .. f f ... t t ... t

n = |A|


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Construção de um algoritmo poli para SAT

Verifica(A[t]) = Se |t| = n então Se A[t]{} então falso senão verdadeiro (A[t] verd) senão Verifica(A[t0]) or Verifica(A[t1])

Algoritmo I

Algoritmo II

Verifica(A[t]) = Se |t| = n então Se A[t]{} então falso senão verdadeiro (A[t] verd) senão Se Tabela(hash(t))=DEF então Tabela(hash(t)) senão Verifica(A[t0]) or Verifica(A[t1]); Insere_Resultado_emTabela;

1- Ter domínio pequeno (poli)2- Se hash(t)=hash(t’) então A[t] Sat sse A[t’] Sat

Propriedades desejáveis do hashing:

hash(t) = R(A[t])


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Estimativa de complexidade do Algoritmo II

1- Sendo C o número de chamadas recursivas então a complexidade é O(C.p(n)).

2- Existe uma sequência de avaliações parciais : {t1,..., tk} tal que - k C/2n - todas as chamadas associadas são recursivas - nenhum ti e préfixo de nenhum tj (i distinto de j)

Conclusão: O valor máximo de k é p(n), então

p(n) C/2n O(np2(n)) é uma cota para Algoritmo II


TECMF

Speedup Linear

Máquina M original a b c b

|Q| estados

|| símbolos

=> Seja m um inteiro (dependendo de e de M) m

Máquina Ma b c b

|| + ||m símbolos

c a

abcb. .ca

m

a c

ac......muito mais que |Q| estados


TECMF

Passos na simulação de M por M:

1- Copiar o string da fita de entrada nas n/m primeiras células da segunda fita

2- Simular cada m passos de M em 6 passos de M.

a b c b c a a c cm m

.......abc

bcaacc....

cb

bc........

- 4 (E,D,D,E) para “ler símbolos” relevantes , armazena nos estados- 2 (E,D ou D,E) para fazer as m substuições

3 - (1) gasta n+2 passos e 2 gasta 6.f(n)/m , total = 6.f(n)/m + n+2

4 - Fazendo m = 6/ obtem-se o resultado

Complexidade Computacional, Lógica e Teoria da Prova

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