1

COMPORTAMENTO EM SERVIÇO DE ZONAS DE DESCONTINUIDADE DE BETÃO ESTRUTURAL

NUNO J. NUNES Est. Mestrado IST Lisboa nnunes@jsj.pt

MIGUEL S. LOURENÇOEst. Doutoramento IST Lisboa mlourenco@jsj.pt

JOÃO F. ALMEIDA Prof. Associado IST, ICIST Lisboa jalmeida@jsj.pt

SUMÁRIO Apresenta-se um estudo de aplicação de uma metodologia de análise não linear de elementos de betão estrutural integralmente baseada em modelos de campos de tensões. A aplicação é feita a vigas parede e os resultados são validados com ensaios experimentais e comparados com os provenientes de modelos de elementos finitos não lineares. A análise é desenvolvida com particular realce para a avaliação do comportamento em serviço, sendo apresentados estudos paramétricos associados à selecção e avaliação de modelos. Palavras-chave: zonas de descontinuidade, modelos de campos de tensões, análise não linear, estruturas adaptativas. 1. INTRODUÇÃO Os modelos de campos de tensões (Stress Field based Models - SFM) são actualmente reconhecidos como uma potente ferramenta para o desenvolvimento de métodos consistentes de dimensionamento e pormenorização de zonas de descontinuidade (zonas D) de betão estrutural. Nomeadamente, os mais recentes documentos técnicos e normativos de dimensionamento de estruturas de betão referem a aplicação de modelos de escoras e tirantes (Strut and Tie Models - STM) ao dimensionamento ao Estado Limite Último (ELU) de diversos casos tipo. No entanto, o comportamento não linear das zonas D não é, em geral, explicitamente considerado. É normalmente assumido que o bom comportamento em serviço pode ser indirectamente assegurado através de uma selecção apropriada do modelo, conjuntamente com regras de pormenorização adequadas. Para estas zonas, os modelos de elementos finitos (Finite Element Models - FEM) convencionais são frequentemente referidos como método de análise do comportamento não linear.

2

Este trabalho apresenta uma nova vertente da análise não linear e do dimensionamento de zonas de descontinuidade totalmente baseada nos SFM e na aplicação do conceito de estruturas adaptativas aos campos de tensões. São estabelecidas as relações cinemáticas e a geometria dos nós para a definição dos campos de tensões e são consideradas relações constitutivas não lineares. Os resultados numéricos obtidos dos SFM são comparados com os resultantes de FEM não lineares, elaborados com o programa ATENA©, e validados com ensaios experimentais. A análise é desenvolvida com particular realce para a avaliação do comportamento em serviço das zonas de descontinuidade, nomeadamente vigas parede, sendo apresentados estudos paramétricos e regras de aplicação prática. 2. BASES DA METODOLOGIA 2.1. Introdução Os modelos de escoras e tirantes (Strut and Tie Models – STM), baseados no equilíbrio e na teoria da plasticidade, pretendem reproduzir as trajectórias de tensões [11, 12], mostrando o caminho das forças através de uma região de betão. O refinamento dos STM pode ser visto como a base para a definição dos SFM [7], importantes para muitas situações de análise e dimensionamento. A avaliação das propriedades mecânicas das escoras e tirantes pode ser feita através da aplicação de critérios energéticos [1, 2, 8, 9, 13]. As equações de equilibrio e compatibilidade podem ser formuladas segundo as técnicas gerais de análise estrutural, introduzindo as relações constitutivas dos materiais. 2.2. Critério Energético - Stress Field Model Follows Energy A presente abordagem da análise não linear de regiões de descontinuidade com modelos de campos de tensões é baseada na aplicação do conceito de estruturas adaptativas [10], em particular no critério energético, a sistemas de campos de tensões. A energia de deformação é dada pela Eq. (1).

dVdUV∫ ∫ εσ= (1)

onde, V é o domínio de integração, e σσσσ e εεεε são, respectivamente, a tensão e a extensão do elemento. A metodologia proposta consiste em minimizar a energia de deformação, satisfazendo as condições de equilíbrio e compatibilidade. U depende, como se verá adiante, da configuração do campo de tensões. Deve ser realçado que mesmo que se considerem relações constitutivas lineares, o sistema governativo de modelos adaptativos é, na maioria dos casos, não linear. A não linearidade resulta da variação de geometria do modelo.

3

Análise Elástica Os métodos energéticos podem ser aplicados na selecção de modelos de escoras e tirantes, como se mostra em [2]. Se forem consideradas relações constitutivas elásticas para os materiais, a energia de deformação, indicada na Eq. (1), pode ser escrita de acordo com a Fig. 1.

cc

2

AELC

21

U =

⋅

−=

ci

cj

cicjc

2

AA

ln)AA(E

LC21U ss

2

AELT

21

U = ou de forma geral

smTL21

U ε=

Fig. 1. Energia de deformação elástica para escoras e tirantes.

Onde, C, T – forças de compressão e tracção, respectivamente Ac – área da secção transversal da escora prismática Aci, Acj – áreas das secções inicial e final Ec, Es – módulo de Young do betão e do aço, respectivamente L – comprimento da escora ou do tirante εsm – deformação média do tirante Análise Não Linear É possível aplicar o conceito de modelos adaptativos aos SFM com comportamento não linear dos materiais. Neste caso, tem-se um sistema totalmente não linear. De entre as diversas leis conhecidas [6], foram adoptadas as relações constitutivas do betão e do aço em varão do Model Code 90 [3], conforme se apresenta na Fig. 2. A energia de deformação de cada elemento pode ser calculada pela Eq. (1), usando integração numérica de Gauss. Para minimizar dificuldades de convergência, as funções σσσσ - εεεε podem ser “arredondadas” junto aos pontos de derivada descontínua, passando a funções de classe C1 em todo o seu domínio.

Es1

σsr

σs

ε s

σsr1.3

σsy

σsu

Et1

ε c

σc

fc

ε c1ε cuε sy ε su

Eci1

Aço em varão

Betão

não fendilhado

abertura de fendas

fendilhação estabilizada

pós cedência

Fig. 2. Relações constitutivas do betão e do aço.

4

3. COMPARAÇÃO COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS 3.1. Introdução A presente metodologia é validada com os ensaios experimentais de Leonhardt e Walther a vigas parede [5]. Foram analisadas duas vigas parede simplesmente apoiadas, WT2 e WT3, euma viga parede contínua de dois vãos, DWT2. Foram desenvolvidos para o presente trabalho modelos não lineares de elementos finitos no programa ATENA© das vigas parede referidas e comparados alguns resultados. 3.2. Vigas Parede Simplesmente Apoiadas Nas Figs. 3 e 4 é representada a geometria, o carregamento e a disposição de armaduras das vigas parede WT2 e WT3, respectivamente. Os ensaios experimentais mostraram uma grande capacidade interna de redistribuição das tensões devida à fendilhação. Em [2] apresenta-se uma metodologia prática de selecção de STM baseada em príncipios energéticos aplicados aos SFM.

1.28

1.60

0.16 1.28 0.16

1.44

Ø8 (As=214 mm )2

0.02

5

Ø5

Ø5

0.03

Ø5

0.100

p

1.28

1.60

0.16 1.28 0.16

1.44

Ø8 (As=428 mm )2

0.02

5Ø5

Ø5

3x0.

06

Ø5

0.100

p

Fig. 3. Geometria e carregamento da viga WT2.

Fig. 4. Geometria e carregamento da viga WT3.

Os SFM não lineares desenvolvidos simulam todas as armaduras distribuidas ao longo da alma das vigas (Fig. 5). A Fig. 6 ilustra a configuração inicial e final do modelo para o primeiro passo de carga da análise da viga WT2, mostrando o ajustamento geométrico dos campos de tensões.

5

P/2 P/2

P/2 P/2

Refined Model

x (coordenadas horizontais dos nós)

(variáveis adaptativas)

Fig. 5. SFM desenvolvido.

P/2 P/2

P/2 P/2

min U

P/2 P/2

P/2 P/2

P=100 kN P=100 kN

TN+F=0+T =0∆ Tδ( )

Configuração inicial do STM Configuração de energia mínima do STM

39.1

0.0

0.0

0.0

-39.1

0.0

0.0

-107

.4-1

07.4

-107

.4-1

07.4

-100.0-100.0

-100.0

12

34

1

-107.4

-107.4

-107.4

-107.4-100.0

23.7

9.4

4.0

-5.6

-9.5

-12.9

-9.0

-102

.8-1

05.3

-106

.7-1

04.8

-102

.4-1

00.4

-102.8

-105.3

-106.7

-104.8

-102.4-100.4

Fig. 6. Viga Parede WT2 – Configuração inicial e final do modelo para o primeiro passo de carga.

Nas Fig. 7 e 8 apresentam-se os FEM não lineares desenvolvidos, respectivamente para as vigas WT2 e WT3.

Fig. 7. FEM desenvolvido para a viga WT2. Fig. 8. FEM desenvolvido para a viga WT3.

As Figs. 9 e 10 apresentam os resultados da análise não linear dos SFM para as vigas parede WT2 e WT3 e a sua comparação com os FEM e ensaios experimentais.

6

10.5

7.8

-0.1

-3.4

-4

-6.4

-4.8

-51 .

2-5

3.3

-53.

3

-52.

2-5

1.3

-50.

3

-51 .2

-53. 3

-53 .3

- 52.2

-51.3-5 0. 3

P/2=50 kN P/2=50 kN

P/2=50 kN P/2=50 kN

P/2=150 kN P/2=150 kN

P/2=150 kN P/2=150 kN

37.2

9.3

8.2

-6.7

-14.8

-20

-13.7

-154

.6-1

57.1

-159

.8- 1

57.6

-153

.8- 1

5 0. 7

-154 .6

- 157.1

-1 59.8

-157.6

-153 .8- 15 0. 7

P/2=250 kN P/2=250 kN

P/2=250 kN P/2=250 kN

49.4

11.6

9.3

10.3

6.2

-44.3

-42.9

-254

.9- 2

57.4

-259

.8-2

62. 8

- 264

.8-2

53. 7

-254.9

- 257.4

-259.8

- 262.8

-264 .8

-253. 7

P/2=350 kN P/2=350 kN

P/2=350 kN P/2=350 kN

69.7

10.6

9.3

9.3

9.3

-5.3

-103.3

-356

.9-3

59.1

-361

.4-3

63.8

- 366

.5-3

65

-3 56.9

-3 59.1

-361.4

-363.8

-366.5

-365

P/2=450 kN P/2=450 kN

P/2=450 kNP/2=450 kN

11.6

91.3

-459

.2

-0.5

-136.1

11.8

10.6

10.9

-461

.8

-467

.3

- 464

.5

- 470

.2

-470

.3

-45 9.2

-46 1.8

-464 .5

- 467.3

-470.3

-470.2

P/2=550 kN

P/2=550 kN

P/2=550 kN

P/2=550 kN

-559 .4

-571.5

- 579.2

101.8

21.2

16.7

15.2

9.8

-181.5

16.4

-563

.6

-55 9

.4

-56 7

. 5-5

71.5

-574

.2-5

79. 2

-5 63 . 6

-5 67 . 5

-574.2

200

400

600

800

1000

1200

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

wk [mm]

P [kN]

1.0

(1.28)SFM

200

400

600

800

1000

1200

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0

P [kN]

smε [% ]0

200

400

600

800

1000

1200

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

P [kN]

δ [mm]

Abertura Máxima de FendasExtensão Média do Tirante InferiorDeslocamento

Cargavs

Cargavs

Cargavs

Ensaio

SFMEnsaio

SFM

FEM

FEM

Ensaio

FEM

Fig. 9. Viga Parede WT2 – Resultados numéricos e experimentais. P/2=50 kN P/2=50 kN

P/2=50 kN P/2=50 kN

10.9

5.3

2.2

-1.2

-3.6

-3

-6.1

-4.9

-51.

2- 5

2.6

-53 .

4

-53

-51.

9-5

1.2

-50.

3

-51 .2- 52.6

-53.4

-53

-51.9

-51 .2-5 0 .3

P/2=150 kN P/2=150 kN

P/2=150 kN P/2=150 kN

33.9

15.8

6.3

-4.5

-11.2

-7.9

-18.1

-14.7

-153

.8- 1

58.1

-160

.2-1

58. 7

-155

.4-1

53.6

-15 0

. 8

-15 3.8- 158.1

-1 60 .2

-1 58.7

-155.4

-15 3.6- 15 0 .8

P/2=250 kN P/2=250 kN

P/2=250 kN P/2=250 kN

50.3

32.7

9.7

-5.4

-18.4

-14.6

-30.6

-24.2

-255

.1-2

63.5

-266

.8

-26 5

-259

.5-2

5 6-2

51.2

-25 5.1-26 3.5

-266.8

-2 65

- 259.5

-256-2 5 1. 2

P/2=350 kN P/2=350 kN

P/2=350 kN P/2=350 kN

55.8

55.8

9.7

7.7

-21.6

-29.8

-45.8

-32.3

-35 4

.5- 3

67.5

-370

.6-3

73.2

- 366

.3-3

5 8.6

-35 1

.5

- 354. 5-367.5

-37 0.6

-373. 2

-366.3

-3 58 .6-3 51 .5

P/2=450 kN P/2=450 kN

P/2=450 kN P/2=450 kN

78.1

62.8

12.2

11

-22.8

-41.4

-58.8

-41.6

-456

. 8-4

71. 6

-475

.4-4

7 9.1

- 471

.8-4

6 1.1

-452

-456. 8-471.6

-4 75.4

-47 9.1

- 471.8

-4 61 .1- 45 2

P/2=550 kN P/2=550 kN

P/2=550 kN P/2=550 kN

91.5

66

14.2

16.7

10.7

-68

-79.8

-51.7

-557

. 6-5

72.2

- 576

.3- 5

81.5

-585

.1- 5

65.5

- 55 2

.5

- 557.6-572.2

-576.3

- 581. 5

-585 .1

-565 .5- 55 2 .5

200

400

600

800

1000

1200

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16wk [mm]0.18

P [kN]

Ensaio

200

400

600

800

1000

1200

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

smε [% ]0

P [kN]

200

400

600

800

1000

1200

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4δ [mm]

P [kN]

SFM

Ensaio

Abertura Máxima de FendasExtensão Média do Tirante InferiorDeslocamento

Cargavs

Cargavs

Cargavs

FEM

SFM

FEM

EnsaioSFM

FEM

Fig. 10. Viga Parede WT3 – Resultados numéricos e experimentais.

7

Nos ensaios foram atingidas as cargas últimas de Pu=1195kN e Pu=1290kN, respectivamente para as vigas WT2 e WT3 (Figs. 11 e 12). Na rotura, WT2 apresenta cedência da armadura inferior e tensões máximas de compressão nos apoios de cerca de 1.06fcu. Para a WT3, foram medidas tensões na armadura inferior de cerca de 370MPa e tensões de compressão nos apoios de cerca de 1.2fcu. Neste caso, a pormenorização das armaduras na zona dos nós, onde se adoptaram laços em U, melhorou o confinamento do betão, conduzindo a tensões resistentes de compressão no betão mais elevadas. Os resultados numéricos aproximam-se razoavelmente bem dos resultados experimentais nos diversos passos de carga. Nas Figs. 11 e 12 apresentam-se os padrões de fendilhação para a carga última de ambas as vigas.

Ensaio Experimental (Pu=1195 kN) SFM FEM

Fig. 11. Padrão de fendilhação para a carga última da viga WT2.

Ensaio Experimental (Pu=1290 kN) SFM FEM

Fig. 12. Padrão de fendilhação para a carga última da viga WT3.

É de salientar que a redução de rigidez relacionada com a fendilhação dos sucessivos tirantes conduz a uma redistribuição de tensões significativa, evidente nas configurações dos modelos de campos de tensões (Figs. 9 e 10) e na variação do braço resultante (z/L) (Fig. 13). Este aspecto é particularmente relevante para a viga WT2, onde a ductilidade disponível permite o aproveitamento da totalidade da altura da viga. Uma última nota em relação ao comportamento em serviço: apesar da importante redistribuição interna, as tensões no aço em serviço e as aberturas de fendas observadas e obtidas numericamente mantêm-se num nível satisfatório. Considerando uma carga de serviço de Pserv=600kN, têm-se valores de wk=0.04mm (WT3) ewk=0.06mm (WT2).

3.3. Viga Parede Contínua A Fig. 14 ilustra a geometria e o carregamento da viga parede contínua ensaiada DWT2.

Ø5

Ø5

6Ø60.36

P P P P0.56 0.48 0.48 0.48 0.48 0.56

0 200 400 600 800 1000 1200

P [kN]8.4

9.7

0.9

1.9

2.8

3.7

4.5

5.2

Pcr (WT2) PuPcr (WT3)

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

z/Lθ[degrees]

L

hz

θ

SFM WT2

SFM WT3

Fig. 13. Resultados numéricos para as vigas parede WT2 e WT3 – Variação do braço resultante (z/l).

8

1.60

0.16 1.28 0.16

1.44

Ø8 (As=2.14 cm )2

0.02

5

Ø5

0.03

0.10

0.161.28

1.44

Ø6

Fig. 14. Geometria e carregamento da viga DWT2.

9

A Fig. 15 mostra a comparação entre os resultados numéricos (SFM) e experimentais, onde é observada uma razoável aproximação. O espessamento do apoio central ao longo de toda a altura da viga não foi simulado no modelo numérico, resultando numa estrutura mais flexível. Contudo, o comportamento em fase elástica deste é muito aproximado ao obtido com FEM lineares (ver Fig. 16).

4P=1400 kN

-270

.4

-272

. 2

-276

.3

-281

.1

- 286

.2

-291

. 3

- 92.0

-102.3

-99.5

-99.3

-98.4

-99.9

-381.4

-368.8

-36 3.4

-358. 5

-359. 3

-359. 6

-12.3

21.8

16.2

16.4

10.1

-65.6

50.3

8.8

16.8

15.9

14.6

12.9

-138.0

22.8

40.5

36.2

13.0

8.8

16.8

350 kN 350 kN

350 kN 350 kN

4P=1400 kN

-270. 4

-272. 2

-276 .3

-281.1

-286.2

- 291.3

- 92.

0

-102

.3

-99.

5

-99.

3

-98.

4

-99.

9

-381

.4

-368

.8

-36 3

.4

-358

.5

-359

. 3

-359

. 6

-12.3

21.8

16.2

16.4

10.1

-65.6

50.3

8.8

16.8

15.9

14.6

12.9

-138.0

22.8

40.5

36.2

13.0

8.8

16.8

350 kN350 kN

350 kN350 kN

4P=1800 kN

-353

.4

-357

.1

-36 1

.5

- 365

.8

-370

.8

- 376

.2

-11 4.7

-125.8

-122.3

-121.0

-120.8

-121.4

-489.7

-473 .4

-4 68 .5

-462. 3

-461. 7

-461.0

-5.5

23.0

16.8

15.3

13.2

-83.1

69.7

16.7

16.6

14.2

14.9

14.3

-172.6

40.6

39.5

41.0

17.9

16.8

16.8

450 kN 450 kN

450 kN 450 kN

4P=1800 kN

-353. 4

-357.1

-3 61 .5

-365.8

- 370.8

- 376.2

-11 4

.7

-125

.8

-122

.3

-121

.0

-120

.8

-121

.4

- 489

.7

-473

.4

-46 8

.5

-462

. 3

-461

. 7

-461

. 0

-5.5

23.0

16.8

15.3

13.2

-83.1

69.7

16.7

16.6

14.2

14.9

14.3

-172.6

40.6

39.5

41.0

17.9

16.8

16.8

450 kN450 kN

450 kN450 kN

-449.

9

-453

.9

-45 8

.3

-463

.6

-469

.5

-476

.3

-123 .6

-12 2.0

-131.3

-131.5

-132.8

-133.0

-593.5

-585.0

-5 70 .8

-564. 3

-563 .9

-564 .5

21.0

-2.4

17.3

15.4

18.2

-108.8

95.2

17.2

16.8

17.6

17.8

18.4

-183.7

44.6

44.4

43.5

17.5

15.3

18.4

4P=2200 kN

550 kN 550 kN

550 kN 550 kN

-449.9

-453.9

-4 58 .3

-463.6

-469.5

- 476.3

-123

. 6

-12 2

.0

-131

.3

-131

.5

-132

.8

-133

.0

-593

.5

-585

.0

-57 0

.8

-564

. 3

-563.

9

-564

. 5

21.0

-2.4

17.3

15.4

18.2

-108.8

95.2

17.2

16.8

17.6

17.8

18.4

-183.7

44.6

44.4

43.5

17.5

15.3

18.4

4P=2200 kN

550 kN550 kN

550 kN550 kN

Fig. 15. Padrão de fendilhação observado nos ensaios e obtido da análise com SFM.

10

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

400 300 200 100 0 100 200 300 400 500σvão [MPa]

4P[kN]

500

P P P P

σvão

P P P P

σapoio

Deslocamento

Cargavs

EnsaioEnsaio

SFM

SFM

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5δ

[mm]

4P[kN]

Ensaio

SFM

Tensões nas armaduras

Cargavs

Tensões nas armaduras

Cargavs

σapoio[MPa]

FEM linear(com espessamento

vertical do apoio central)

FEM linear(sem espessamentovertical do apoio central)

de reforço no apoio central inferiores no vão

Fig. 16. Tensões nas armaduras e deslocamentos – Modelos numéricos e ensaios experimentais.

4. SELECÇÃO E AVALIAÇÃO DE MODELOS – COMPORTAMENTO EM SERVIÇO 4.1. Introdução A ductilidade e o comportamento em serviço são frequentemente referidos como limitações dos métodos de dimensionamento baseados nos campos de tensões. Estes aspectos são abordados de seguida como uma extensão dos resultados apresentados anteriormente. 4.2. Vigas Parede Simplesmente Apoiadas Consideram-se dois modelos distintos de escoras e tirantes estaticamente admissíveis (Fig. 17): o primeiro é baseado na distribuição elástica de tensões frequentemente aplicada (θd=68.2º) e o segundo com uma significativa redistribuição de tensões interna, considerando θd=75.1º. Para a carga de dimensionamento Psd=1000kN, são obtidas áreas de armadura considerávelmente diferentes, As=408mm2 eAs=276mm2 (fsyd=435MPa, fcd=23.3MPa e fct=2.5MPa). Foi adoptada a armadura de alma mínima usual de aproximadamente ρ=0.2%. As dforma a evitar o esmagamento do betão nas zoapresentados nas Figs. 18 e 19.

500 kN 500 kN

500 kN 500 kN

L=1.44

1.60

z=1.

00

68.2°

500 kN 500 kN

500 kN 500 kN

L=1.44

1.60

z=1.

50

75.1°

STMθ=68.2º STMθ=75.1ºd d

Fig. 17. Modelos de escoras e tirantes analisados.

imensões dos apoios foram definidas de nas dos nós. Os resultados obtidos são

11

69

70

71

72

73

74

75

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800P[kN]

θ[graus]

0.72

0.81

1.03

0.91

z/L

SFMAs=4080 mm2

SFMAs=2760 mm2

PsdCarga de ServiçoPfend

L

hz

θ

θ =75.1º

θ =68.2º

d

d

Fig. 18. Evolução do braço resultante (z/L). São obtidas tensões nas armaduras, na zona de serviço, de cerca de 150-230MPa (As=408mm2) a200-280MPa (As=276mm2). Em ambos os casos, as respectivas aberturas de fendas indiciam um bom comportamento em serviço. Estes resultados são observados a partir do momento em que se inicia a redistribuição imediatamente depois da fendilhação. O braço resultante z, ou a inclinação do campo diagonal de compressões θ, aumenta de forma significativa, conduzindo a tensões no aço considerávelmente inferiores que os correspondentes valores para uma análise linear. De facto, no presente caso, seria ligeiramente conservativo analisar as tensões nas armaduras em serviço com o mesmo modelo usado para o dimensionamento ao ELU (θserv.≤θd). Por outro lado, seria pouco correcto analisar as mesmas tensões usando o modelo elástico (linhas a tracejado na Fig. 19). 4.3. Vigas Parede Contínuas Foram desenvolvidos três modelos distintos (A, REF e B) de escoras e tirantes estaticamente admissíveis (Fig. 20) que, para a carga de dimensionamento psd=800kN/m, originam quantidades de armadura diferentes no vão e no apoio central conforme se ilustra na Fig. 21. Estes valores foram obtidos para as grandezas de dimensionamento fsyd=435MPa, fcd=26.7MPa e fct=3.5MPa, tendo sido adoptada a armadura de alma mínima de ρ=0.2%. Da mesma forma que para as vigas simplesmente apoiadas, as dimensões dos apoios foram definidas de forma a evitar o esmagamento do betão nas zonas dos nós.

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30100200300400 [mm]wk

P[kN]

[MPa]σs

As=4080 mm 2

deSe

rviç

oCa

rga

SFM θ=68.2º

As=2760 mm 2

SFM θ=75.1º

As=4080 mm 2

SFM θ=68.2º

As=2760 mm 2

SFM θ=75.1º

Fig. 19. Tensões na armadura inferior e abertura de fendas.

12

A solução de referência traduz a distribuição elástica de tensões, que se apresenta na Fig. 22 através das trajectórias de tensões principais. Os resultados obtidos são apresentados na Fig. 23.

Fig. 22. Trajectórias de tensões principais.

A - Solução com menos armadura no apoio central REF - Solução de referência B - Solução com mais

armadura no apoio central

Fig. 20. Modelos considerados.

A - Solução com menos armadura no apoio central REF - Solução de referência B - Solução com mais

armadura no apoio central

Fig. 21. Distribuições de armaduras.

13

São obtidas tensões nas armaduras, na zona de serviço, entre cerca de 50-250MPa no apoio e de 50-330MPa no vão. Entre os modelos A e B, regista-se uma diferença máxima das tensões de 70MPa no apoio, enquanto que no vão verifica-se uma diferença máxima de 80MPa (para p=700kN/m). Estes valores são observados a partir do momento em que se inicia a redistribuição do vão para o apoio, imediatamente depois da fendilhação que ocorre no primeiro. Os resultados indiciam um bom comportamento em serviço em geral para as três soluções.

200

600

800

1000

1200

400 300 200 100 0 100 200 300 400 500σvão [MPa]

p[kN/m]

500

Tensões nas armaduras

Cargavs

Tensões nas armaduras

Cargavs

σapoio[MPa]

no apoio central inferiores no vão

600 600

REF

A

BREF

A

B

deSe

rviç

oCa

rga

400

Fig. 23. Tensões nas armaduras no apoio e no vão.

5. CONCLUSÕES Este trabalho refere a aplicação de modelos de campos de tensões ao estudo do comportamento não linear de zonas de descontinuidade de betão estrutural. Os resultados obtidos e a sua comparação com os resultados experimentais, mostram a adequação desta metodologia para a análise não linear de zonas D, constituindo uma alternativa preferêncial ao método convencional de elementos finitos não lineares. A ductilidade e o comportamento em serviço, frequentemente referidos como problemas importantes nas aplicações de modelos de campos de tensões, foram abordados. Os resultados experimentais e numéricos realçam a significativa ductilidade disponível das regiões tipo vigas parede. Por outro lado, um desvio significativo em relação a modelos de dimensionamento baseados na teoria da elasticidade não parece afectar de forma significativa os aspectos relacionados com o comportamento em serviço.

14

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