CONE

Chamamos de cone circular, ou apenas cone, a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto de C.

Vamos considerar um círculo C, de centro O e de raio r, em um plano , e um ponto V não pertencente ao plano . 

Cone

Elementos do cone

se o eixo não é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é oblíquo

(h < ).

se o eixo é

perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é reto

(h = ). 

Classificação dos cones O cone pode ser classificado de acordo com a inclinação do eixo em relação ao plano que contém a base: 

cone reto cone oblíquo

Observações

Um cone circular reto também é denominado cone de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície triangular, determinada por um triângulo retângulo, em torno de uma reta que contém um de seus catetos. A medida desse cateto será igual à altura do cone, e a medida do outro cateto será igual à medida do raio da base do cone.

Secção meridiana de um cone Uma secção meridiana de um cone é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha seu eixo.

Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do raio da base (g = 2r), ele é chamado de cone equilátero.

Observações

Se um cone é equilátero, então sua secção meridiana é uma triângulo equilátero

Secção transversal de um cone

Uma secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um plano paralelo ao plano da base e que não passe por seu vértice.

Planificações da superfície de um cone reto

Planificações da superfície de um cone reto

Relações entre os elementos de um cone reto

Alateral = rg

Atotal = r(r + g)

Abase = r2

Área da superfície e volume de um cone reto

Vcone = r2h

1. Calcular o comprimento da circunferência da base e a altura de um cone reto cuja geratriz mede 13 cm e cujo raio mede 5 cm. ResoluçãoO comprimento da circunferência da base é dado por C = 2r. Sabemos que o cone tem raio de medida r = 5 cm. Assim: C = 2 ∙ ∙ 5 ⇒ C = 10 ⇒ C ≃ 31,4Portanto, o comprimento da circunferência da base é aproximadamente 31,4 cm.

Exercícios

Sabendo que o cone é reto, podemos obter a altura por meio de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a geratriz e as medidas dos catetos são a altura e o raio da base do cone. Assim:

Portanto, a altura do cone é 12 cm. 

Exercícios

Resolução:Como r2 + h2 = g2, temos: r2 + 102 = g2. Logo: g2 – r2 = 100 (I) Como : , temos: 150º= (II)  

2. Um cone reto de altura 10 cm tem por planificação da superfície lateral um setor circular de ângulo medindo 150º. Determinar o raio da base e a medida da geratriz do cone. 

De (I) e (II), concluímos que: ⇒ ⇒

Portanto, o raio da base do cone mede aproximadamente 4,58 cm.Como , o comprimento da geratriz mede aproximadamente 11 cm.

Exercícios3. Calcule a área lateral de um cone reto cuja altura é 16 cm e cujo raio da base mede 12 cm.

Resolução:Inicialmente vamos obter o comprimento da geratriz do cone: Portanto, o comprimento da geratriz do cone é 20 cm. A área lateral do cone é:Alateral = rg ⇒ Alateral = ∙ 12 ∙ 20 ⇒ Alateral = 240 ⇒ ⇒ Alateral ≃ 753,6Logo, a área lateral do cone é 240 cm2 ou aproximadamente, ≃ 753,6 cm2.

Exercícios4. Determinar a área total da superfície de um cone equilátero de

geratriz g. 

Resolução:Vamos considerar um cone equilátero de raio da base r, comprimento da geratriz g e altura h. Sabemos que, no cone equilátero, g = 2r; portanto: r = Logo:Atotal = Alateral + Abase

Atotal = ∙ r ∙ g + ∙ r2  Atotal = ∙ ∙ g + ∙ = ∙ ∙ g2

Portanto: Atotal = g2  

6. (Fuvest – SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura.