Atividade 5

1. Pesquisa sobre o tema "Congruência de Triângulos", destacando:

a) o conceito de congruência de triângulos (definição);

b) os casos de congruência des triângulos (condições mínimas que garantem a congruência).

2. Com base nos casos de congruência pesquisados, retomar as construções de mediatriz de um segmento e de bissetriz de um ângulo e tentar

justificar, ou seja, descrever a última etapa da construção (o por quê).

1 - Congruência de Triângulos

A ideia de congruência entre segmentos, ângulos e triângulos formou-se intuitivamente, levando-se em conta que dois segmentos

congruentes, dois ângulos congruentes e dois triângulos congruentes podem ser superpostos por meio de um deslocamento conveniente.

O conceito abstrato de congruência entre triângulos é definido da seguinte maneira:

Dois triângulos são denominados congruentes se tem ordenadamente congruentes os três lados e os três ângulos.

Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes.

Observação:

Em dois triângulos congruentes, são congruentes entre si:

a) os lados opostos a ângulos congruentes;

b) os ângulos opostos a lados congruentes.

Casos de congruência

A definição de congruência de triângulos dá 5 (cinco) condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes.

Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. Estas condições são denominadas casos ou critérios de congruência.

1º Caso (LAL)

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre esses dois lados, então eles são congruentes.

Este caso é normalmente dado como postulado e indica que se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo

compreendido entre estes dois lados, então o lado restante e os dois ângulos também são ordenadamente congruentes.

Exemplo: Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura são congruentes pelo caso LAL.

Os demais casos serão teoremas que inicialmente vamos apresentá-los.

Alguns desses casos serão provados e alguns serão deixados como exercícios.

Como foi dito anteriormente: “Alguns desses casos serão provados e alguns serão deixados como exercícios.”

No caso 5º o Esquema de Aplicação foi desenvolvido por mim (Sergio Eric):

Esquema de Aplicação:

Fonte: http://www.professores.uff.br/dirceuesu/GBaula2.pdf

Prova/Justificativa da Mediatriz e da Bissetriz

A – Construir a Mediatriz de um segmento e justificar.

Construções feitas no Geogebra e estão anexadas no portfólio como construção da mediatriz.ggb e prova da mediatriz.ggb

I - Dados: Segmento de Reta AB.

Pedido: Mediatriz do Segmento de Reta AB

II – Descrição:

- Com o compasso em A traçar a circunferência C1 de raio AB;

- Com o compasso em B traçar a circunferência C2 de raio BA;

- Marcar os pontos C e D nas intersecções das circunferências A e B;

- Traçar a reta s que passa pelos pontos C e D.

- A reta s é a mediatriz do segmento AB.

III-Prova/Justificativa:

- Antes de provarmos que a reta s é a mediatriz do segmento AB devemos definir Losango.

Losango:

Definição: É o paralelogramo que possui dois lados consecutivos congruentes.

Nota: O losango tem os quatro lados congruentes.

De fato: , pois são raios da circunferência C1 e são raios da circunferência C2, logo podemos

concluir que a figura formada pela ligação dos pontos A, C, B e D é um paralelogramo que possui lados consecutivos concorrentes e por terem

lados congruentes essa figura é um losango.

Teorema

a) as diagonais são perpendiculares

b) as diagonais são bissetrizes dos ângulos opostos

Prova: Seja ACBD o losango formado na construção anterior.

Traçadas as diagonais CD e AB que se cortam no ponto E, pontos médios de ambas

, é equilátero e AE é mediana

relativa a base AB, então EC é a altura e a bissetriz em relação a essa base. Portanto, CD é perpendicular a AB (o que prova o item a) e CD é a

bissetriz do ângulo (o que prova o item b). De modo análogo, sejam o triângulo equilátero DAB e os triângulos isósceles CAD e CBD, então

CD é bissetriz do ângulo , AB bissetriz dos ângulos e .

- Da definição de losango podemos concluir que a reta s é a mediatriz do segmento AB.

fonte: http://www.professores.uff.br/dirceuesu/GBaula5.pdf

B – Construir a Bissetriz do ângulo e justificar.

Construções feitas no Geogebra e estão anexadas no portfólio como construção da bissetriz.ggb e prova da bissetriz.ggb

I - Dados: ângulo

II – Descrição:

- Traçar as semi-retas e ;

- Traçar a circunferência C1 com centro em O e raio OB;

- Marcar o ponto C na intersecção da circunferência C1 com a semi-reta OA;

- Traçar a circunferência C2 com centro em B e raio BC;

- Traçar a circunferência C3 com centro em C e raio CB;

- Marcar os pontos E e D na intersecção da circunferência C2 e circunferência C3;

- Traçar a semi-reta ;

- A semi-reta é a bissetriz entre as semi-retas e .

III-Prova/Justificativa:

- Ocultei alguns objetos da construção da bissetriz para fazer a prova, mantendo apenas a bissetriz e os pontos B, C e E marcados (conforme

figura seguinte);

- ;

- Tracei retas perpendiculares as semi-retas e ;

- Com isso conseguimos os triângulos OBF e OCG que são iguais, pois possuem o ângulo em comum, os lados , os lados e

os lados , portanto os triângulos OBF e OCG são congruentes e os triângulos OGH e OFH também o são. Daí resulta que

provando que a semireta é a bissetriz das semi-retas e .

Fonte: http://issuu.com/livrariavestseller/docs/165-geometriamarista (Página 12)