Universidade do Vale do Rio dos Sinos

Cincias Exatas e Tecnolgicas

Matemtica Para Computao

Prof. Marcelo Maximiliano Danesi

1 Noes Bsicas de Conjuntos

1.1 Conjuntos

O conceito de conjunto aparece em todos os ramos da matemtica. intuitivamente, um conjunto qualquercoleo (ou lista) de objetos bem definida. Denotaremos conjuntos por letras maisculas: A,B,C,X, Y, . . ..Os objetos que constituem o conjunto so chamados elementos (ou membros) e sero notados por letrasminsculas: a, b, x, y, . . ..A afirmao a um elemento de A equivalente a afirmao o elemento a pertence ao conjunto A e podeser representada por

a A.

A negao de a A escrita como a / A toda a vez que o elemento a no pertence ao conjunto A.Existem duas maneiras de especificar um conjunto particular. Uma maneira, se h essa possibilidade, listando todos os seus elementos criando uma chamada lista explcita de elementos. Por exemplo,

A = {a, e, i, o, u}

significa que o conjunto A formado pelas letras a, e, i, o e u. Observe que os elementos so separados porvrgulas e esto listados entre chaves {}.Uma outra maneira definindo as propriedades que caracterizam os elementos no conjunto. Por exemplo,

B = {x;x um inteiro, x > 0}

l-se B o conjunto dos x tais que x inteiro e x maior que zero. Uma letra, comumente x, usada paradenotar um elemento genrico (ou arbitrrio) do conjunto; o dois pontos lido como tal que e a vrgulacomo e. O conjunto B acima definido pode tambem ser escrito como

B = {x| x um inteiro e x > 0}.

A barra | tambem equivalente tal que.Exemplos:

1. Se A = {2, 3, 5}, ento 2 A, 0 / A, 1 / A e pi / A.

2. Intervalo aberto de a at b:(a, b) := {x; a < x < b}

3. Intervalo fechado de a at b:[a, b] := {x; a 6 x 6 b}

4. Intervalo aberto-fechado de a at b:

(a, b] := {x; a < x 6 b}

5. Intervalo fechado-aberto de a at b:

[a, b) := {x; a 6 x < b}

1

Pergunta: Considerando os conjuntos

E = {x; x2 3x+ 2 = 0} (1)

F = {2, 1} (2)

G = {1, 2, 2, 1} (3)

Temos uma igualdade E = F = G? Por estarem descritos de forma diferente significa que temos conjuntosdiferentes?

Definio 1 (Igualdade de Conjuntos). Dados A e B conjuntos, dizemos que A igual a B (ou A = B) seeles possuem os mesmos elementos, isto , cada elemento de A um elemento de B e, reciprocamente, cadaelemento de B pertence A.

A negao de A = B escrita como A 6= BAssim, usando a definio, podemos justificar que de fato E = F = G e que um conjunto no depende damaneira como seus elementos so dispostos nele e o conjunto o mesmo se os seus elementos so repetidosou rearranjados.

1.2 Subconjuntos

Denotaremos, de agora em diante,

N = conjunto dos nmeros naturais = {1, 2, 3, 4, . . .} (4)

Z = conjunto dos nmeros inteiros = {0,+1,1,+2,2,+3,3,+4,4, . . .} (5)

Q = conjunto dos nmeros racionais ={mn; m Z, n N

}(6)

R = conjunto dos nmeros reais (7)

Definio 2 (Subconjuntos). Dados A e B conjuntos, dizemos que A est contido em B se cada elementode A um elemento de B. Nesse caso escrevemos essa relao como A B. Se A B, mas A 6= B, dizemosque A um subconjunto prprio de B.

Adicionalmente, se A B, podemos dizer que A subconjunto de B ou A uma parte de B.Exemplos:

1. Considere os conjuntos

A = {1, 3, 5, 7, 9, . . .} (8)

B = {x; primo e x > 2} (9)

C = {3, 6, 9, 12, 15, . . .} (10)

Observe que todo elemento de A elemento de N. Isso significa que A est contido no conjunto N edenotamos esse fato por A N. A negao de A N escrita como A 6 N. No presente exemplo,observe que B A, C N e C 6 N. Note tambm que C um subconjunto de N, mas no igual aN. Nesse caso, dizemos que C um subconjunto prprio de N.

2. Da definio podemos afirmar imediatamente que

N Z Q R.

NOTA: Observe que A B no exclui a possibilidade de A = B. De fato, podemos definir a igualdade entredois conjuntos como:

A = B se, e somente se, A B e B A.

NOTA: Assim como A B significa que o conjunto A est contido no conjunto B, a expresso B A l-seo conjunto B contm o conjunto A.

1.3 O Conjunto Universal

Em qualquer aplicao da teoria dos conjuntos, todos os conjuntos em discusso so subconjuntos de umconjunto fixo. Chamamos este conjunto de conjunto universal ou universo e o denotamos por U .Exemplos:

1. Quando estudamos a geometria plana, o conjunto universo o conjunto de todos os pontos do plano.

2. Quando estudamos a aritmtica dos inteiros, o conjunto Z o conjunto universal.

1.4 O Conjunto Vazio

A princpio estranho que o conceito de conjunto aponte para a noo de coleo, agrupamento, ajuntamentoe, no entanto, se fale em conjunto vazio.Definimos o conjunto vazio como

:= { }.

Observe que B = {} no o conjunto vazio, pois B tem um elemento, que o . Nesse caso, B umconjunto unitrio cujo elemento o conjunto vazio!Exemplos:

1. O conjunto A = {x R; x2 = 0} possui apenas um elemento, pois existe apenas um nmero real quemultiplicado por ele mesmo resulta em zero. Logo, A = {0} um conjunto unitrio.

2. O conjunto B = {x R;x2 = 2} no possui elemento, pois nenhum nmero real multiplicado por elemesmo resulta em nmero negativo. Logo, B = {} um conjunto vazio.

1.5 Conjunto das Partes

No conjunto das retas, cada reta um conjunto de pontos. No conjunto de planos do espao tridimensional,cada plano um conjunto de retas. Ou seja, podemos falar de conjuntos cujos elementos so conjuntos.Dado um conjunto A, a coleo de todos os subconjuntos de A chamado de conjunto das partes de A e denotado por P(A); isto :

P(A) = {B; B A}

Exemplo: Se A = {a, b, c} ento

P(A) = {A, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, }.

Curiosidade: se A um conjunto finito com n elementos ento P(A) possui 2n elementos.

1.6 Operaes com Conjuntos

Dados dois conjuntos podemos operar esses conjuntos a fim de obter um novo conjunto. As operaes maiscomuns entre dois conjuntos so: unio, interseo, diferena e complementar.

Definio 3 (Unio). A unio de dois conjuntos A e B, denotada por A B, o conjunto de todos oselementos que pertencem A ou pertencem B, isto ,

A B := {x; x A ou x B}.

Definio 4 (Interseo). A interseo de dois conjuntos A e B, denotada por AB, o conjunto de todosos elementos que pertencem a A e B, ou seja, AB a coleo dos elementos que pertencem simultaneamente A e B, isto ,

A B := {x; x A e x B}.

NOTA: Se A B = , dizemos que A e B so disjuntos.

Definio 5 (Diferena). A diferena de B com respeito a A, ou simplesmente diferena de A e B, denotadapor A \B, o conjunto dos elementos que pertencem A mas no pertencem B, isto ,

A \B := {x, x A e x / B}

NOTA: Sob qualquer hiptese, A \B e B so disjuntos.

Definio 6 (Complementar). O complementar de um conjunto A relativamente ao conjunto universal U ,ou simplesmente complementar de A, denotado por AC , igual a diferena U \A, isto ,

AC := {x; x U e x / A}

Os diagramas mostrados a seguir, chamados diagramas de Venn, ilustram as operaes definidas acima. Osconjuntos so representados por reas planas e U , o conjunto universal, pela rea do retngulo que envolveos conjuntos.

Figura 1: Da esquerda para a direita, A B, A B, A \B e AC .

John Venn (1834-1923) lgico e filsofo ingls empregou esses diagramas em 1876 num artigo sobre o sistemalgico de Boole e tambm em 1894 em seu famoso livro Symbolic Logic.

1.7 Propriedades

As operaes entre conjuntos definidas acima satisfazem vrias propriedades. Sejam A,B,C conjuntos e Uconjunto universo, ento:

i) A A = A (idempotncia da unio)

ii) A A = A (idempotncia da interseco)

iii) A B = B A (comutatividade da unio)

iv) A B = B A (comutatividade da interseo)

v) (A B) C = A (B C) (associatividade da unio)

vi) (A B) C = A (B C) (associatividade da interseco)

vii) (A B) C = (A C) (B C) (distributividade da interseo sobre a unio)

viii) (A B) C = (A C) (B C) (distributividade da unio sobre a interseo)

ix) A U = U

x) A U = A

xi) (AC)C = A

xii) (A B)C = AC BC

1.8 Diagramas de Venn

Uma maneira de enxergarmos as propriedades descritas na seo anterior ou deduzir novas equivalncias atravs dos j mencionados diagramas de Venn.Mostramos anteriormente os diagramas que ilustram as operaes bsicas entre dois conjuntos.

A B

Claro que, se precisamos compreender as relaes entre 3 ou mais conjuntos, precisamos de diagramas quecompreendam todas as possiveis regies entre esses conjuntos. No caso de trs conjuntos usamos o seguintediagrama:

A B

C

Exemplo: Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostraremos a equivalncia

A \ (B C) = (A \B) (A \ C)

usando diagramas. Para isso, vamos quebrar essa igualdade em conjuntos (parcelas) mais simples e desenvolve-los separadamente.

As figuras acima revelam, da esquerda para a direita e de cima para baixo, os conjuntos B C, (A \ B) e(A \ C). O ltimo conjunto mostra que a unio dos conjuntos (ii) e (iii) combina com a diferena entre oconjunto A e o conjunto (i).Por curiosidade, apresentamos alguns diagramas para representao de quatro conjuntos,

cinco conjuntos,

e seis conjuntos.

1.9 Aplicaes

Definio 7 (Nmero de Elementos). Para qualquer conjunto finito A, denotaremos por #A o nmero deelementos de A.

Problema:

Numa empresa foi realizado um concurso escrito constitudo de 2 problemas. Como resultado 340 candidatosacertaram somente um problema, 300 acertaram o segundo, 120 acertaram os dois e 250 erraram o primeiro.Quantos candidatos fizeram a prova?Resoluo: Vamos apelar aos diagramas novamente. Suponha que o conjunto A representa os candidatosque acertaram a primeira questo e o conjunto B representa os candidatos que acertaram a segunda questo.

A B

Ao dividirmos o diagrama em 4 regies disjuntas (AB)C , A\B, AB e B\A, podemos dizer explicitamenteem qual regio est cada candidato.

A \ BA B

B \ A

(A B)C

1. O conjunto A B contm todos os candidatos que acertaram ambas as questes, logo #A B = 120.

2. O conjunto B contm todos os candidatos que acertaram a segunda questo, logo #B = 300 e#(B \A) = 180.

3. O conjunto dos candidatos que acertaram somente um problema (A\B)(B\A), como#(B\A) = 180,podemos dizer quer #(A \B) = 160.

4. O conjunto dos candidatos que erraram o primeiro problema (B\A)((AB)C), como#(B\A) = 180,podemos dizer quer #((A B)C) = 70.

De posse desses dados, no corremos o risco de contar um candidato mais de uma vez, logo o nmero totalde candidatos foi de 70 + 160 + 120 + 180 = 530.

2 Noes Bsicas de Funes

Definio 8 (Funo). Sejam A e B conjuntos. Uma funo f : A B uma lei que associa cadaelemento do conjunto A, um (nico) elemento de B.

Nessas condies, dizemos que A o domnio da funo f e B o contra-domnio de f .

Definio 9 (Imagem). Se f : A B uma funo, ento definimos por imagem da funo f , o conjunto

Imf = {y B; y = f(x) e x A}

Exemplo:

Seja A = {1, 2, 3} B = {100, 200, 300} e f : A B uma funo tal que

f(1) =200

f(2) =100

f(3) =100.

Ento, o domnio e imagem de f so respectivamente os conjuntos Domf = A e Imf = {100, 200}.Exemplo:

Seja A = {1, 2, 3} B = {100, 200, 300} e g : A B uma funo tal que

g(x) = 100 + 100(x 2)2.

Ento, o domnio e imagem de f so respectivamente os conjuntos Domg = A e Img = {100, 200}, contudo,nesse caso as relaes entre entrada e sada seriam descritas por:

g(1) =200

g(2) =100

g(3) =200.

2.1 Produto Cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, denotada por AB e o conjunto de todos os pares ordenadosdo tipo (x, y) onde x A e y B, isto ,

AB := {(x, y); x A e x B}.

Exemplo:

Seja A = {1, 2, 3} B = {100, 200, 300} ento

AB =

(1, 300) (2, 300) (3, 300)(1, 200) (2, 200) (3, 200)(1, 100) (2, 100) (3, 100)

Observe que AB 6= B A!

2.2 Grfico de uma funo

Dados A e B conjuntos e uma funo f : A B, podemos definir o conjunto Graf f de forma que

Graf f = {(x, y);x A e y = f(x)}.

Nesse caso, Graf f AB.Exemplo:

Levando em considerao os exemplos anteriores para os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {100, 200, 300} e asfunes f, g : A B, podemos escrever que essas funes definem em AB os conjuntos

Graf f = {(1, 200); (2, 100); (3, 100)}

Graf g = {(1, 200); (2, 100); (3, 200)}.