Controle Servo e Regulatório - professores.uff.br · Sistema de mistura de correntes Relembrando...

Outros Processos de Separação

Profa Ninoska Bojorge

Controle Servo e

Regulatório

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF

1

� Objetivo de controle: regular a composição x no tanque,

ajustando w2.

� Variável perturbação: composição na entrada, x1

� Suposições:

� w1 é constante,

� Inicialmente o sistema está no estado estacionário,

� Ambas as composições de alimentação e de saída

são diluídas,

� Vazão de alimentação é constante

� Na corrente 2 é um material puro

2

Exemplo 3: Tanque de mistura

Relembrando Exemplo da aula anterior

Exemplo 3: Modelo do Processo

)(1

21 wwwdt

dV−+=

ρ

3

)()( 22

11 xx

V

wxx

V

w

dt

dx−+−=

ρρ

{ { { {0

2

0.1

22111

→

−+−= xwxwxwxwdt

dxV

ww

ρ

21 wwxwxdt

dxV +−=ρ

Balanço de massa

Balanço por componente

Relembrando

210 wxwxw +−=

4


21wxwxw

dt

xdV ′+′−′=

′ρ

21 wKxxdt

xd′+′−′=

′τ

{ {21

1w

wxx

dt

xd

w

V

K

′+′−′=′

τ

ρ

No estado de equilíbrio:

Em termo de variável desvio:

Logo:

Re-lembrando

1)(

)(

)(

1

1)(

)(

)(

)()()1)((

)()()())0()((

2

2

1

1

21

21

0

+==

′

′

+==

′

′

′+′=+′

′+′−′=′−′

=

s

KsG

sW

sX

ssG

sX

sX

sWKsXssX

sWKsXsXXsXs

τ

τ

τ

τ321

5


Aplicando transformada de Laplace Re-lembrando

)(1 sX′

)(2 sW′ )(sX

1

1

+sτ

1

2

+s

K

τ

6


Representação em Diagrama de Bloco Re-lembrando

Assume-se que o comportamento dinâmico do sensor- transmissor da composição pode ser aproximado por uma função de

transferência de primeira ordem;

quando, pode ser assumido como sendo igual a zero.

1)(

)(

+=

′

′

s

K

sX

sX

m

mm

τ

mm τττ ,⟩⟩

)(sX ′mX ′

mK

7

Modelo do elemento de medição

( )

++=

+=

+=

=

ss

KsE

sC

sKsE

sC

sK

sE

sC

KsE

sC

D

I

C

DC

I

C

C

ττ

τ

τ

11

)(

)´(

1)(

)´(

11

)(

)´(

)(

)´( Controle proporcional

Proporcional-integral

Proporcional derivativo

Proporcional-integral -derivativo

8

Modelos do controlador

Assumese um conversor linear com um ganho em estado de

equilibrio KIP.

IPt K

sC

sC=

)(

)(

)(sC )(´ sC tIPK

9

Conversor de Corrente a pressão (I/P)

Assumindo um comportamento de primeira

ordem para a válvula dá:

1)(

)(´

2

+=

′

s

K

sC

sW

v

v

t τ

10

Válvula de Controle

)(sX d′

)(sXu′

)(sXsp′

)(~

sX sp′

Mudança na composição de saída devido à mudança na

composição de entrada X´1(s)

Mudança na composição de saída devido a uma mudança na

composição de entrada W´2(s)

Set-point da composição (fração massa)

set-point da composição como um sinal de corrente elétrica

equivalente.

11

As variáveis de estado

12

Gc GV GP

GH

KI/P

Exemplo 3: Representação da malha de controle

X1, w1

X, w1

X2, w2

AT AC

I/P

xsp

13

PIDKm%

massa

mA [mA] [mA]

E(s))(´

sX sp )(

´~

sX sp

IPK

)(sC

[PSI]

1+s

K

v

v

τ

)(´ sCt

[Kg/min]

mKmX ′

)(2

sW ′

)(1 sX′

)(sX

1

1

+sτ

1

2

+s

K

τ

%

massa

%

massa

% massa

Diagrama de bloco completo para o sistema de controle de composição no tanque de mistura

14

Km%

massa

mA [mA]

+

sK

I

Cτ

11

[mA]

E(s))(´

sX sp )(

´~

sX sp

IPK

)(sC

[PSI]

1+s

K

v

v

τ

)(´

sCt

[Kg/min]

mKmX ′

)(2

sW ′

)(1 sX′

)(sX

1

1

+sτ

1

2

+s

K

τ

%

massa

%

massa

% massa

X1, w1

X, w1

X2, w2

AT AC

I/P

xsp

Sistema de mistura de correntes

Relembrando Exemplo da aula anterior

Perturbação

Setpoint

Saída

Problemas típicos de Controle

1) Controle Regulatório

– A tarefa é compensar os efeitos de perturbações externas,

a fim de manter a saída no seu ponto de ajuste constante

(rejeição de distúrbios)

2) Controle Servo

– O objetivo é fazer com que a saída para controlar a

mudança de set-point

Em ambos os casos, uma ou mais variáveis são

manipuladas pelo sistema de controle.15

Exemplo

� Processo de mistura

16

Variações na composição de saída são detectados pelo sensor do transmissor

de composição e enviada para o controlador fazendo com que o sinal de saída

do controlador varie. Isto é, por sua vez faz com que a posição da válvula de

controle e, consequentemente, o fluxo do fluido da corrente 2 mude. As

variações no fluxo de corrente faz variar a composição de saída, completando

assim o ciclo.

[Kg/min]

)(2 sW ′

)(1

sX′

)(sX

1

1

+sτ

1

2

+s

K

τ

%

massa

%

massa

% massa+

+

X1, w1

X, w1

X2, w2

AT AC

I/P

xsp

Exemplo: O sistema trocador de calor

17

Diagrama de Blocos do tanque de mistura

Diagrama de Blocos da malha de controle da Composição no tanque

Função de Transferência - Malha fechada

18

Analisando a malha fechada, temos:

)()( sCXKsE spSP −=

)()()( sEsGsM C=

)()()(2 sMsGsW V=

)()()()()( 12 sXsGsWsGsX DP +=

)()()( sXsHsC =


19


)()( sCXKsE spSP −=

)()()( sEsGsM C=

)()()(2 sMsGsW V=

)()()()()( 12 sXsGsWsGsX DP +=

)()()( sXsHsC =)()()()()( 12 sXsGsWsGsX DP +=

)()()()()()(1

sXsGsMsGsGsX DvP +=

)()()]()()[()()()( 1 sXsGsXsHXKsGsGsGsX DSPspCvP +−=

)()()()()]()()()(1[ 1 sXsGsXKsXsHsGsGsG DSPspCvP +=+


20

Considerando, variação no Set-point

Então:

i. e, X1(s) = 0

)()()()(1

)()()(

)(

)(

sGsGsGsH

sGsGsGK

sX

sX

CVp

CVpsp

sp +=

)()()()()]()()()(1[1

sXsGsXKsXsHsGsGsG DSPspCvP +=+

massa

TO

%

%

Função de Transferência malha fechada... cont.

21

Considerando, variação na Carga

Assim,

Observa-se que na equação característica:

= Adimensional

0=SPX

)()()()(1

)(

)(

)(

1 sGsGsGsH

sG

sX

sX

CVp

D

+=

=)()()()( sGsGsGsH CVp

min/

%

Kg

massa

TO

CO

%

%

CO

Kg

%

min/

Função de Transferência da Malha Fechada– Contin.

No caso geral, a resposta:

)()()()()(1

)()(

)()()()(1

)()()()( 1 sX

sGsGsGsH

sGsX

sGsGsGsH

sGsGsGKsX

CVp

Dsp

CVp

CVpsp

++

+=


23

fZi

Z

π

π

+=

1 Z = Variável de saída Zi= Variável de Entrada

Π= produto no caminho de Zi a Z

Πl= produto de cada função de transferência na malha de retroalimentação

A função de transferência malha fechada (Regra de Mason)


)()()()()(1

)()()()( sX

sGsGsGsH

sGsGsGKsX sp

CVp

CVpsp

+=

fZi

Z

π

π

+=

1

)()()()()(1

)()(

1sX

sGsGsGsH

sGsX

CVp

D

+=

Exemplo

Processo:

No alimentador tem:

ρ = 68 lb /ft3, Cp= 0,8 BTU/lbºF

V=120ft3 (constante)

U= 2,1 BTU/min.ft2

F= 15 ft3/min

Ti = 100 ºF (constante)

Tsp = 15 0 ºF

CM: Capacitância de calor do metal

Sensor de Temperatura:

Faixa: 100 a 200ºF e τT=0,75min

Válvula: Igual Porcentagem, α= 50, τV=0,20 min

Fonte: (Smith e Corripio. P. 181)25

Dados das condições de projeto:

Exemplo – Cont.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tTctftTtTUAtTctfdt

dTcV psipp ρρρ −−+=

Solução:

Balanço de energia no Reservatório

(eq 1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tTtTUAtTctftTctfdt

dTmc spipiip −+−= ρρ

( ) ( ) )()( tWtQtHtHdt

dHsin ++−=

)( refTTmCpH −=∆

[ ]min

BTUou

Exemplo – Cont.

27

Balanço de energia na serpentina

( ) ( ) ( )[ ]tTtTUAtwdt

dTC s

sM −−= λ (eq2)

[ ]F

BTUº

[ ]min

º F [ ][ ]lb

BTUlbmin

[ ][ ]FftFft

BTU ººmin

2

2

⋅

Exemplo – Cont.

28

Linearizando termos não lineais.

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )tTctftTtTUAtTctfdt

dTcV psipp ρρρ −−+=

Solução:

Balanço de energia no Reservatório

(eq 1)

))(())(( i

ssi

ii

ssi

ipilin TtTiT

fftf

f

fTcff −

∂

∂+−

∂

∂+= ρ

ifcTcTcff Tf ipipipilin

ΛΛ

++= ρρρ

Retomando eq.1

Exemplo – Cont.

[ ] TcfTTUATcf psip ρρ −−+=0

29

Solução:

Balanço de energia no Reservatório no estado estacionário

Balanço de energia na serpentina no estado estacionário

[ ]TTUAw s −−= λ0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tUAtUAtWdt

dC

tUAcftUAtFTTcdt

dcV

ss

M

psipp

Γ+Γ−=Γ

Γ+−Γ+−=Γ

λ

ρρρ

(eq 3)

(eq 4)

Em termo de variáveis desvio:

(eq 5)

(eq 6)

Exemplo – Cont.

( ) ( ) ( )ss

KsF

s

Ks s

sF Γ+

++

=Γ11 ττ

30

Aplicando Transformada de Laplace nas eqs (5) e (6) e rearranjando:

( ) ( ) ( )sWs

Ks

ss

c

w

cs

11

1

++Γ

+=Γ

ττ

P

PMc

CfUA

CV

UA

C

ρ

ρττ

−

+

== ;

onde:

P

PFw

CfUA

TTiCK

UAK

ρ

ρλ−

−

+

−==

)(;

PCfUA

UAKs

ρ−

+

=

Solução...cont.:

(7)

(8)

Exemplo – Cont.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sGsWsGsF

s

K

ss

s

KsW

s

KsF

s

K

s

KsFs

sF

s

cc

wF

ss

F

+=

+

+Γ+

++

+=

+Γ+

+=Γ

11

1

11

11

ττττ

ττ

31

Em termo de diagrama de blocos o modelo do processo do aquecedor com agitação:

Exemplo – Cont.

( )F

STK

s

KsG T

T

TT

º

%1

100200

0100;

1=

−

−=

+=

τ

32

( ) ( )100

ln;

1)(

)( α

τ

wK

s

K

sM

sWsG v

v

vv =

+==

A função de transferência da válvula de igual porcentagem com ∆P cte, (pg 154):

Dinâmica da válvula

Sensor-transmissor

Exemplo – Cont.

33

A seguinte tabela fornece os valores numéricos de todos os parâmetros nas F. T,

calculados a partir dos dados fornecidos no enunciado do problema:

Exemplo – Cont.

34

Assim, os diagramas de blocos da malha de controle:

Função de Transferência Malha Fechada - Contin.

( ) ( ) ( )sGsGsG svCR =π

35

A partir da fig. 6.1.7, a transformada da malha fechada da temperatura de saída do transmissor é, então:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )sFsGsGsGsG

sGsR

sGsGsGsG

sGsGsGsC

Tsvc

F

Tsvc

svC

)(1)(1 ++

+=

( ) ( ) ( ) )(sGsGsGsG TsvCf =π

( )sGFF =π

Exemplo – Cont.

36

Assim, vimos como a partir dos princ. básicos de engenharia de processos, realiza-se a análise da malha de controle feedback. E a partir das FTs da malha fechada podemos calcular a resposta da malha fechada a varias funções de entrada.

Exemplo: o sistema trocador de calor

Diagrama de Blocos da malha de controle da Temperatura no trocador de calor

Diagrama de blocos do trocador de calor (Fonte: Fig. 6..1.2, Cap. 6- Smith & Corripio)

37

Supondo que Ti(s) é constante, pelo que

omitisse no diagrama.

Função de Transferência Malha Fechada


38

( ) =+ )()()()()(1 0 sTsGsGsGsH cvs

( ) )()()()()()( 0 sWsGsTsGsGsGK wsp

cvssp +

Eliminando todas as variáveis intermediarias através da combinação das eqs

anteriores, temos:


Considerando, variação no Set-point e

Então:

39

Considerando, variação na carga e , temos:

∴∴∴∴

Pela Regra de Mason)

fZi

Z

π

π

+=

1

40


Resposta da malha fechada no estado estacionário

41

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

OL

svcsp

svcT

svcsp

svc

svcsp

seto

o

svc

svcsp

seto

o

K

KKKK

KKKK

KKKK

GGGH

GGGK

T

T

sGsGsGsH

sGsGsGK

sT

sT

+=

+=

+=

∆

∆

+=

∆

11

00001

000

0

0

1

Aplicando o teorema do valor final à FT da malha fechada entre a Tsaída e

o SP.

Calculo do erro residual ou off-set

Quanto menor é o erro residual (∆Tosp - ∆To) mais alto o ganho do controlador

)(lim)(lim ssFtfost →∞→

=


( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

OL

w

svcT

w

svc

wo

svc

wo

K

K

KKKK

K

GGGH

G

W

T

sGsGsGsH

sG

sW

sT

+=

+=

+=

∆

∆

+=

11

00001

0

0

0

1

42

Aplicando o teorema do valor final à FT da malha fechada entre a Tsaída e o fluxo

do fluido do processo:

� Calculo do erro residual

o erro residual (∆Tosp - ∆To) diminui à medida que o ganho do controlador, Kc,

aumenta.

� Para o trocador de calor, calcule as proporções para o erro estacionário na temperatura de saída para

� Variação no fluxo do processo

� Variação no setpoint

As condições operacionais do processo e especificações dos instrumentos são:

43


Fluxo do fluido do processo w = 120 kg/s

Temperatura de entrada Ti = 50 ºC

Setpoint Tsp = 90ºC

Capacidade calorifica do fluido , Cp = 3.75 KJ/KgºC

Calor latente do vapor λ = 2250 kJ/kg

Capacidade da válvula ws, max = 1,6 kg/s

Faixa do transmissor 50 – 150 ºC

Exemplo: Novo estado estacionário do tanque de aquecimento

44

1. Controle Servo com Kc=1; ∆Tset=1

2 1.652 1.183 3.90860.7963

1 1 2 1.652 1.183 4.9086

1

150 1 150.7963

c v s

set c v s

set

K K KT

T K K K

T

T T

∆ × ×= = = =

∆ + + × ×

∆ =

= + × ∆ =

2. Controle Regulatório com ∆ F = 1

3.34 -3.34-0.6804

1 1 2 1.652 1.183 4.9086

150 149.3196

F

c v s

KT

F K K K

T T

∆ −= = = =

∆ + + × ×

= + ∆ =

Resposta malha fechado do nível de líquido num tanque

45

� Processo: O processo tem duas entradas e uma

saída. Uma entrada pode ser manipulado enquanto que

Fd é a perturbação. A saída Fo varia proporcionalmente com a raiz quadrada do nível do líquido no tanque como,

o balanço de massa em torno do tanque dá-se o seguinte modelo:

Odi FFFdt

dhA −+=

hCFF di −+=

Linearizando e reescrevendo em termos de variáveis desvios:

46


)(

12

2

)(

12

2

)(

__

sF

sc

hA

c

h

sF

sc

hA

c

h

sH Di

Λ

−

Λ

−

Λ

+

+

+

=

)()()()( sFGsFsGsH DDiP

ΛΛΛ

+=

47

Sensor de Nível : célula de Pressão diferencial (DP) é um dispositivo de medição que

mede a pressão diferencial (∆P) entre duas extremidades. Neste exemplo, a célula DP mede a altura do nível do líquido no tanque através da comparação da pressão exercida pelo líquido numa extremidade contra a pressão atmosférica no outro. A pressão exercida

pelo líquido na célula DP é linearmente proporcional à altura do líquido, daqui:


� Controlador PI:

48

� Válvula de controle, assumindo dinâmica de 1ra ordem :


49

Mecanismo do controle Feedback

Processo

Diagrama Esquemático da configuração do controle malha

fechada do nível do líquido no tanque de armazenamento

Resposta malha fechada do nível de líquido num tanque

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