Curso de Fenômenos de Transporte
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Capítulo 1: Princípios básicos • Equações de conservação: massa,
momentum, energia • Equações constitutivas • Condições de contorno • Objetivo: descrição do movimento de
fluidos sob a ação de uma força; transferência de calor por convecção em escoamentos não isotérmicos
Hipótese de contínuo • Fluido é modelado como sendo infinitamente
divisível, sem mudança de suas características
• Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares
• Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc …
Fundamentos
• Variáveis macroscópicas definidas como uma média da variável a nível molecular
• Média no volume:
• δ (micro-escala)<<V1/3<<L(macro-escala) €
u ≡ w ≡1V
wdVV∫
Consequências da hipótese de contínuo • Mecanismos de transporte:
– Transporte associado ao campo de velocidade macroscópico u
– Mecanismo de transporte “molecular”: contribuição de superfície nas eqs. momentum e energia.
• Na formulação contínua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular (incertezas)
• Incerteza nas condições de contorno
Ponto material • Vetor posição do ponto (partícula) material x0:
• Propriedade/variável associada a x0:
• Derivadas no tempo: – Euleriana (posição fixa) – Lagrangeana (ponto material fixo)
• Usando a regra da cadeia:
€
x = x(x0,t) ≡ x0 + u(τ ,x0)dτ0
t∫
€
B(x0,t) = B x(x0,t),t[ ]
€
∂∂t≡
∂∂t
x
DDt
≡∂∂t
x0
€
DBDt
=∂B(x0,t)
∂t
x 0
=∂B(x(x0,t), t)
∂t
x 0
=∂B∂xi
∂xi∂t
x 0
+∂B∂t
x
= ui∂B∂xi
+∂B∂t
Derivada em relação ao tempo seguindo o material
Derivada material ou convectada • Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um
certo número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superfície é zero:
• Derivada material ou convectada:
€
DBDt
=∂B∂t
+ u•∇B
€
DDt
ρdVVm ( t )∫[ ] = 0
Derivada no tempo da massa total associada a Vm
Sm(0), Us=u(x)
U(x) n
Vm(0)
Vm(t)
Sm(t)
n t
expressa a variação com o tempo seguindo uma partícula material
• Derivada parcial com relação ao tempo:
• Derivada total: €
∂B∂t
≡∂B∂t
z
expressa a variação com o tempo, numa posição fixa
€
DBDt
=∂B∂t
+ v•∇B expressa a variação com o tempo em relação a um “material” arbitrário
Conservação de massa (1)
• Balanço de massa num volume de controle arbitrário:
• Usando o Teorema da divergência, chega-se a Equação da continuidade:
€
∂ρ∂tV∫ dV
taxa de variação de massa em V
= − ρuA∫ •ndA
fluxo líquido de massa através da fronteira de V=- divu dV∫
€
∂ρ∂t
+∇ • ρu( ) = 0
V
A
u n
Teorema do Transporte de Reynolds • O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-D, quando ambos integrando e limites de integração variam
€
DDt
B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡
δt→0lim 1
δtB t + δt( )dV - B t( )dV
Vm ( t )∫Vm ( t+δt )
∫[ ]
Adicionando e subtraindo o termo:
€
B t + δt( )dVVm ( t )∫
€
DDt
B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡
δt→0lim 1
δtB t + δt( )dV - B t + δt( )dV
Vm ( t )∫Vm ( t+δt )
∫[ ]= lim 1
δtB t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ]
+1δt
B t + δt( )dV Vm ( t )∫ B t( )dV
Vm ( t )∫[ ]
≡∂B∂tdV
Vm( t )∫
€
DDt
B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] =
∂B∂t
+∇ • Bu( )
dV
Vm ( t )∫
€
lim 1δt
B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ]
= lim 1
δtB t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ]
= B t( )u•nδdAAm ( t )∫
Usando o teorema da divergêngia, chega-se a forma final para o Teorema de Transporte:
Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u:
€
D*
Dt*B x,t( )dV
V *m ( t )∫[ ] =∂B∂t
+∇ • Bu*( )
dV
V *m ( t )∫
D*
Dt*≡∂∂t
+ u* •∇
Equação de Conservação de Massa (2)
• A equação de conservação de massa (continuidade) pode ser também derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte:
€
DDt
ρdVVm ( t )∫[ ] =
∂ρ∂t
+∇ • ρu( )
dV
Vm ( t )∫ = 0
€
∂ρ∂t
+∇ • ρu( ) = 0 ou DρDt
+ ρ∇ • u( ) = 0
Casos particulares • Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa hipótese quando M=|u|/usom<<1)
• Obs: a validade da equação acima não implica na incompressibilidade do fluido
• Regime permanente: €
∇ •u ≡ div u = 0
€
∇ • ρu ≡ div ρu = 0
Exemplo: • Ache uma expressão para dh/dt
Função corrente • Escoamentos 2-D • Ex: fluidos incompressíveis, coord.
esféricas
€
vr = vr r,θ( ) vθ = vθ r,θ( ) vϕ = 01r2
∂∂r
r2vr( ) +1
rsinθ∂∂θ
vθ sinθ( ) = 0
∂∂r
r2vr sinθ( ) = −1
rsinθ∂∂θ
vθ sinθ( )
vr ≡1
r2 sinθ∂ψ∂θ
vθ ≡ −1
rsinθ∂ψ∂r
⇒∂ 2ψ∂r∂θ
=∂ 2ψ∂θ∂r
Taxa de deformação • A taxa de deformação no ponto de
interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas
Tensor taxa de deformação
€
Dij =taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = jmetade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j
D =12
∇v( ) + ∇v( )T[ ] parte simétrica de ∇v( )
∇v( ) =D+WW : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( ))
Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j
€
w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei =
12εijk
∂vk∂z j
−εijk∂v j
∂zk
ei = εijk
∂vk∂z j
ei = rot v( )vetor vorticidade: representação polar de W
• A direção de w é a do eixo de rotação do fluido • Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do
vetor vorticidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sentido da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra”
• Se podemos escrever
€
w = 0 esc. irrotacionalw ≠ 0 esc. rotacional
€
v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre
Tensor Taxa de Deformação:
€
D =12
˙ γ
Equação de conservação de momentum • Da Segunda Lei de Newton:
• Aplicando num volume material de fluido: €
taxa variação quantidademovimento linear num corpoem relação a um ref inercial
=
soma das forçasagindo sobre ocorpo
€
DDt
ρudVVm ( t )∫[ ] =
soma das forçasagindo em Vm (t)
Tipos de força • Forças de corpo: associadas a presença
de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional.
• Forças de contato ou de superfície: forças do material fora de Vm(t) sobre Vm(t)
Segunda Lei de Newton para Vm
• Vetor tensão t: força local de superfície por unidade de área
• Usando o Teorema do Transporte
€
DDt
ρdVVm ( t )∫[ ]
taxa variação QML em Vm
= ρgdVVm ( t )∫força gravitacional
+ tdAAm ( t )∫
força agindo sobre a superfície de Vm
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg
dVVm ( t )
∫ = tAm ( t )∫ dA
Tensor das tensões • Seja l a dimensão característica
de Vm. Quando l →0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim:
€
liml→0
tAm ( t )∫ dA→ 0 Princípio de equilíbrio
da tensão
Para a condição acima ser satisfeita, o vetor tensão em x tem que depender também da orientação da superfície que ele age. Usando esta equação e o tetraedro:
€
t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0
Mas Então:
€
ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3
€
t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0
No limite l →0:
€
t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ]Tensor das tensões T
t(x p ,n) = n•T(x p )
€
tAm ( t )∫ dA = n•T
Am ( t )∫ dA = ∇ •T( )
Vm ( t )∫ dV
Então:
Equação de momentum linear • A equação de momentum fica então:
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T
dVVm ( t )
∫ = 0
Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo:
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T
Combinando a eq. acima com a eq. continuidade:
€
ρ∂ u( )∂t
+ u•∇ u( )
= ρg +∇ •T Equação de
Cauchy
Equação de momento angular • Observando as equações de massa e
momentum, vemos que temos mais incógnitas (u, p, T) do que equações
• Generalização da Segunda Lei de Newton:
€
DDt
x × ρu( )dV = soma dos torques agindo sobre VmVm( t )∫
€
Taxa de variação de momento angular em Vm
€
DDt
x × ρu( )dV = x × n•T( ) + r[ ]Am ( t )∫
Torque forças superfície
Vm( t )∫ dA + x × ρg + ρc[ ]
Vm ( t )∫
Torque forças corpo
dV
Hipótese: torques devido a pares de forças nulos (r=0, c=0). Obs: fluidos ferrosos, c≠0. Aplicando o Teo Transporte (lado esquerdo) e o Teo divergência:
€
x ×∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T
+ ε T
dV
Vm ( t )∫ = 0
€
ε ijk =
+1 se (ijk) for permutação par de (123)-1 se (ijk) for permutação ímpar de (123)0 qualquer outro caso (algum índice igual)
Usando a Eq. momentum linear e considerando que Vm é arbitrário, chega-se a ε°T=0, e portanto: T=TT, i.e., o tensor das tensões tem que ser simétrico. Obs: se c≠0, ε°T-ρc=0, e T não é simétrico.
Assim:
Equação de conservação de energia
• u2: velocidade local do meio contínuo • ρe: energia interna (representa en.
cinética adicional a nível molecular) • Primeira Lei da Termodinâmica
€
DDt
ρu2
2
+ ρe
dV
Vm ( t )∫
taxa de variação de energia em Vm
=
Taxa de trabalhofeito sobre Vm pelas foraçs externas
+
Fluxo de energia interna através dasfronteiras de Vm
Equação de conservação de energia na forma diferencial
€
DDt
ρu2
2
+ ρe
dV
Vm ( t )∫ = t(n) •u[ ]dA
Am ( t )∫ + (ρg) •u[ ]dV − q•n[ ]dA
Am ( t )∫Vm ( t )
∫
q: vetor fluxo de calor (cruza a superfície de Vm). Positivo quando calor é transferido a Vm
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência:
€
ρDDt
u2
2+ e
= ρg•u+∇ • T•u( ) −∇ •q
• Balanço de Energia Mecânica: u•(eq. Cauchy)
• Balanço de Energia Térmico: substituindo a eq. acima na Eq. conservação energia
€
ρ2Du2
Dt= ρg( ) •u+ u• ∇ •T( )
€
ρ2DeDt
= T E + ∇ •q( )
€
E ≡ 12∇u+∇uT( )
∇u ≡ 12∇u+∇uT( )
parte simétrica
+12∇u−∇uT( )
parte anti-simétrica
= E +W
E:Tensor taxa de deformação
Ω: Tensor vorticidade
Análise da contribuição dos termos no balanço de energia, usando os balanços de energia mecânica e térmico
• T º E: contribuição para a energia interna pela presença de movimento - representa a conversão de en. cinética (Ec) em en. Interna (EI): dissipação de Ec em EI (geração de calor)
• Taxa de trabalho devido às forças de corpo e de superfície: contribuem diretamente na Ec, mas só alteram a EI através da dissipação
• Fluxo de calor contribui diretamente na variação da EI
• Usando a entalpia específica: h≡e+p/ρ o balanço de energia térmico fica:
• Novas incógnitas: e (ou h), q • Relações entre e (ou h) e θ e p podem ser
obtidas assumindo o equilíbrio termodinâmico:
€
ρ2DhDt
= T E − ∇ •q( ) +DpDt
+ p∇ •u
€
dh = CPdθ +1ρ−θ
∂ 1/ ρ( )∂θ
p
dp
⇒DhDt
= CPDθDt
+1ρ−θ
∂ 1/ ρ( )∂θ
p
DpDt
Equação de energia em termos da temperatura • A equação de balanço de energia
térmico fica:
€
ρCpDθDt
= T E + p∇ •udissipação viscosa
− ∇ •q( ) − θρ
∂ρ∂θ
p
DpDt
trabalho de compressão ≈ 0
Segunda Lei da Termodinâmica • Princípio da desigualdade de entropia
€
DDt
ρs( )Vm ( t )∫ dV +
n•qθAm ( t )
∫ dA ≥ 0
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência:
€
ρDsDt
+∇ •qθ
≥ 0
Usando relações termodinâmicas, chega-se a:
€
1θT E + p∇ •u( ) − q•∇θ
θ 2≥ 0
Comentários • A solução de problemas de mecânica dos fluidos
é obtida com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia
• A equação de mometo angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações constitutivas para T e q
• Incógnitas: u (3), T (9), q (3), θ e p (total:17) • Equações: Conservação de massa (1), momento
linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas Tij para 6).
• Temos então 14 incógnitas e 5 equações
⇒Equações constitutivas para T e q
Equações constitutivas • Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura
molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio contínuo
• Equações constitutivas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/temperatura)
Princípios que devem ser satisfeitos • Determinismo: A tensão em um corpo é
determinada pela história do movimento que o corpo descreveu
• Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma partícula não influencia a tensão nesta partícula
• Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações constitutivas) têm que ser indiferentes ao referencial
Tensor das tensões para o fluido estático
• Considerando o fluido isotérico e estacionário (u=0), a equação momentum fornece:
• A única força de superfície é a devida a pressão termodinâmica, e age na direção normal a superfície: t(n)=-np⇒T=-pI
• A equação de estática de fluidos é então obtida:
€
∇ •T+ ρg = 0
€
ρg −∇p = 0
Equação constitutiva para q: Lei de Fourier
• A equação foi proposta a partir da observação de que
• A equação é linear em • A equação satisfaz ao princípio de
objetividade (indiferença ao referencial) • Processo de troca de calor é considerado
instantâneo • Fluido é considerado homogêneo • A equação proposta foi validada
experimentalmente
€
q = − KTensor condutividadetérmica, > 0
•∇θ
€
∇θ
€
q = q ∇θ ,derivadas de θ de maior ordem( )
Lei de Fourier de condução de calor
• Para um fluido isotrópico, i.e., fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI):
• A Segunda Lei impõe que k>0
€
q = −k∇θ Lei de Fourier
E: parte simétrica de
Equação constitutiva para o tensor das tensões - Fluido Newtoniano
€
T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( )τ: tensão desviadora Considerando que τ satisfaz ao princípio de objetividade, é simétrico e depende apenas da história do movimento:
€
τ = τ E,...( )
€
∇u : 12∇u−∇uT( )Ω: parte anti-simétrica de
€
∇u : 12∇u+∇uT( )
Significado físico de E e Ω • Considere P e Q dois pontos materiais.
Usando série de Taylor:
€
u+ δu = u+ E +Ω( ) •δx +O δx 2( )δu = E•δx +Ω •δx +O δx 2( )δx = δx •δx( )1/ 2 δu =
D δx( )Dt
δx •δu = δx • E•δx +Ω •δx +O δx 2( )[ ]δx •Ω •δx = 0
⇒12DDt
δx 2( ) = δx •E•δx +O δx 2( )
Vel de Q relativa a P:
A taxa de variação da distância entre P e Q depende de E E: tensor taxa de defirmação
• A contribuição de Ω em δu é a mesma que o deslocamento devido a uma rotação de corpo rígido com velocidade angular ω/2, sendo ω=ε°Ω
• Ω representa a taxa de rotação (corpo-rígido) • O vetor é o vetor vorticidade • Hipótese: tensão τ indiferente ao referencial,
depende linearmente de E, fluido homogêneo. Então:
€
ω ,Ωu =ω ×u
€
τ =A EAijkl = A jikl
Equação constitutiva para Fluidos Newtonianos • Pode-se mostrar (usando análise tensorial)
que a forma mais geral para A é:
• Como A tem que satisfazer a condição de simetria, ν=0. Assim, a forma mais geral para T, consistente com as hipóteses anteriores é:
€
Aijpq = λδ ijδ pq + µ δ ipδ jq + δ iqδ jp( ) + ν δ ipδ jq −δ iqδ jp( )
δ ij =1 se i = j0 se i ≠ j
i, j =1,2,3
€
T = −p + λtrE( )I+ 2µE
Equação Constitutiva para Fluidos Newtonianos
• Se o fluido for também incompressível:
• A equação constitutiva é satisfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos moleculares
• Observa-se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é satisfeita por T e q
• A Segunda Lei é satisfeita se:
€
trE =∇ •u = 0T = −pI+ 2µE
€
λ +23
µ
viscosidade de bulk
≥ 0 , µ ≥ 0 , k ≥ 0
