DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE 2009 - … · algoritmos nada mais são que respostas adquiridas para...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

Ficha para Catálogo de Produção Didático - Pedagógi ca

Professor PDE/2009

Título A resolução de problemas favorecendo a compreensão das quatro operações com números naturais.

Autor

Marlene aparecida Lopes dos Santos

Escola de Atuação

Escola estadual Sagrada Família-E. F.

Município da escola

Siqueira Campos

Núcleo Regional de Educação

Ibaiti

Orientador

Jonis Jecks Nervis

Instituição de Ensino Superior

Universidade Estadual Norte Pioneiro - UENP

Área do Conhecimento

Matemática

Produção Didático-Pedagógica Esta produção didático-pedagógica representa uma Unidade Didática caracterizada como um OAC.

Relação Interdisciplinar

Matemática e Língua Portuguesa

Público alvo Discentes de quinta série/ 6º ano do Ensino Fundamental da Escola Estadual Sagrada Família.

Localização

Rua Quintino Bocaiúva - nº 1376 - Bairro: Centro CEP: 84940-000

Apresentação: Em sala de aula, ainda encontramos as operações sendo trabalhadas isoladamente como exercícios repetitivos e mecânicos, priorizando a técnica dos algoritmos deixando de possibilitar aos alunos, a compreensão dessas operações. Esse OAC tem como objetivo buscar maneiras de proporcionar o desenvolvimento matemático dos alunos no entendimento, uso e aplicação das quatro operações básicas com números naturais, de forma significativa e reflexiva, através da prática em sala de aula da resolução de diversos tipos de problemas.

Palavras-chave

Operações. Algoritmos. Problemas.

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL

MARLENE APARECIDA LOPES DOS SANTOS

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS FAVORECENDO A

COMPREENSÃO DAS QUATRO OPERAÇÕES COM NÚMEROS

NATURAIS.

Jacarezinho 2010

MARLENE APARECIDA LOPES DOS SANTOS

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS FAVORECENDO A

COMPREENSÃO DAS QUATRO OPERAÇÕES COM NÚMEROS

NATURAIS.

Material didático apresentado ao Departamento de Matemática da Universidade Estadual do Norte Pioneiro e à equipe PDE/SEED/PR. Orientador: Profo Jonis Jecks Nervis

Jacarezinho

2010

Problematização

Operações Básicas com Números Naturais - Um conteúd o que

precisa ser compreendido e ter significado para os alunos.

Nossos alunos vivem cercados por números, muitos realizam cálculos

mentais e resolvem situações-problemas cotidianas com grande facilidade, porém

na escola alguns destes não obtêm o mesmo resultado satisfatório. Não conseguem

entender a matemática utilizada na escola, não vêem relação da matemática escolar

com a matemática da vida que utilizam em seu dia-a-dia.

Em sala de aula, encontramos ainda as operações sendo propostas

isoladamente como exercícios repetitivos e mecânicos, priorizando a técnica dos

algoritmos deixando de possibilitar aos alunos, a compreensão das mesmas. Isso

requer uma reflexão por parte dos professores sobre sua prática docente.

A mudança na postura do professor, tendo como objetivo fundamental

melhorar e ou minimizar as dificuldades enfrentadas pelos alunos no domínio das

quatro operações básicas com Números Naturais nos leva a buscar respostas à

questão: De que maneira essas operações podem ser apresentadas e

desenvolvidas com os alunos para que favoreça a sua aprendizagem de forma

reflexiva e crítica, despertando o interesse e a motivação em sua resolução?

Referências PARANÁ. Diretrizes curriculares para o Ensino Fundamental . Curitiba: SEED, 2006.

Investigação disciplinar

A resolução de problemas favorecendo a compreensão das quatro

operações com números naturais.

Ao repensar a prática docente e tendo em vista algumas dificuldades

enfrentadas pelos alunos na resolução das quatro operações, nas séries finais do

Ensino Fundamental, mais especificamente pelos alunos da quinta série ou sexto

ano, faz-se necessário uma mudança de postura frente ao ensino desse conteúdo.

Esse Objeto de Aprendizagem Colaborativa - OAC tem como objetivo buscar

maneiras de proporcionar o desenvolvimento matemático dos alunos no

entendimento, uso e aplicação das quatro operações básicas com números naturais,

de forma significativa e reflexiva.

Um dos desafios do ensino da matemática consiste em dar significado ao

conteúdo estudado para que este tenha sentido para o aluno, pois aprender

matemática segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do

Paraná:

...é mais que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990, p.66) in PARANÁ (2008, p.46).

Diante disso, as operações com números naturais, desenvolvidas desde as

séries iniciais até as quintas séries ou sexto ano das séries finais, merecem um

tratamento diferenciado, para minimizar possíveis dúvidas ou dificuldades ainda

encontradas.

Para desenvolver esse conhecimento faz-se necessário oferecer condições

para que o aluno construa o conceito de adição, subtração, multiplicação e divisão e

compreenda os diferentes significados de cada uma delas, as relações entre elas e

seus algoritmos, propiciando as condições necessárias para que os mesmos tenham

acesso aos diferentes tipos de cálculos como: exato e aproximado, mental e escrito.

Também o uso de material concreto como o ábaco ou o material dourado poderá

ajudar na compreensão dessas operações.

Antes de ensinar o algoritmo breve (curto) das operações, o professor poderá

demonstrar outras formas de resolvê-las, servindo como etapas para a apropriação

do algoritmo breve, assim possibilitará ao aluno a “compreensão dos processos

nelas envolvidos, utilizando a calculadora para verificar e controlar resultados”.

Giovanni Júnior (2009, p.46).

Para ensinar as operações básicas, não basta ensinar os algoritmos isolados,

sobre isso Pereira (1998, p.21) nos relata que: “Isolados de seu contexto, os

algoritmos nada mais são que respostas adquiridas para perguntas futuras; servirão

para resolver problemas, mas ninguém sabe de que problema se trata.”

Sendo assim, para que essas quatro operações realmente sejam

compreendidas, os alunos devem ser expostos a variadas situações-problema, para

que então possam utilizá-las em seu desenvolvimento e soluções.

Os problemas ou as situações-problema a serem utilizados devem ser

escolhidos cuidadosamente pelo professor; não podendo ser muito fáceis, pois

assim não representaria desafio algum, bem como não devem ser muito difíceis a

ponto de levar o aluno a desistir da busca de sua solução.

Outro cuidado que o professor deve ter é de não propor problemas logo após

a apresentação do conteúdo, pois possibilita ao aluno descobrir qual a operação que

deverá utilizar, sem refletir sobre o enunciado e seus dados. Atualmente, se

quisermos formar alunos capazes de resolver problemas de forma reflexiva,

precisamos estar conscientes de que:

é preciso propor tipos variados de problemas, incluindo, por exemplo, problemas sem solução, problemas com mais de uma solução, problemas com excesso de dados, problemas cuja resolução envolva mais de uma operação e problemas que possam ser resolvidos pela combinação de diferentes operações. FOLLADOR apud PARANÁ, (2005, p.16).

Segundo, essa autora os problemas propostos pelo professor serão mais

interessantes se for permitido que estes sejam resolvidos de várias formas e que

suas resoluções sejam discutidas entre eles. Com este tipo de prática o professor

poderá discutir os erros e acertos, compreendendo o raciocínio dos alunos e suas

dificuldades.

Carvalho (2005, p. 17) nos afirma que ao possibilitar ao aluno resolver um

problema utilizando diversas estratégias como “desenhos, gráficos, tabelas,

esquemas, apoio de materiais concretos e, se for o caso, aplicando a operação”

estamos permitindo que este use os seus conhecimentos e a sua criatividade, bem

como estaremos possibilitando o “rompimento de um trabalho linear no ensino da

matemática.”

Os alunos poderão também, refletir sobre o seu modo de pensar e o modo de

pensar de seus colegas, fortalecendo sua autonomia e contribuindo para uma

melhor aprendizagem.

Segundo Giovanni Júnior (2009, p.11) “Com a prática da resolução de

problemas nas aulas de Matemática, os alunos têm a oportunidade de desenvolver e

sistematizar os conhecimentos matemáticos, dando significação aos conteúdos

trabalhados.”

Além da necessidade de ter significado, os conteúdos devem ser

organizados segundo Melão (2005, p.14) privilegiando a integração entre eles. A

melhor forma de fazer essa integração é “estudar matemática a partir da resolução

de problemas.” Sobre os problemas ele nos relata que:

Os problemas devem representar um ponto de partida na busca pelo conhecimento e não um fim, não apenas um recurso para aplicação de métodos e técnicas. É o problema que vai puxar o fio do conteúdo e, a partir do que a criança já sabe, vai possibilitar encontrar caminhos para a construção de novos conhecimentos. Esses novos conhecimentos passam a ser ferramentas para solução de outros problemas e assim por diante. MELÃO (2005, p.14).

O uso e o domínio dos algoritmos das operações básicas representam um

conhecimento importante na resolução de problemas e estes dão sentido a

utilização dos mesmos.

Para que a resolução dos algoritmos não seja repetitiva e enfadonha, estes

podem ser apresentados aos alunos de forma diferente e interessante, como os

quadrados mágicos, estrelas e triângulos com números, e outras atividades que

despertem o interesse e a motivação na busca das soluções. O professor pode

propor essas atividades fazendo questionamentos sobre o enunciado, sua resolução

e estratégias. Com o tempo os próprios alunos assumem essa prática de reflexão,

na busca de um melhor entendimento da atividade desenvolvida.

Veja o exemplo abaixo:

Um quadrado é mágico, quando a soma ou produto dos números em cada

linha horizontal, vertical e nas duas diagonais é o mesmo. Complete o quadrado

mágico com algarismos de 1 a 9, sem repeti-los. A soma nas horizontais, verticais e

diagonais deverá ser igual a 15:

A partir da solução encontrada o professor poderá fazer várias perguntas

como: Esta solução é a única? Como ela foi encontrada? Qual é a característica que

ela apresenta? É possível construir outros quadrados mágicos com outros números?

Socialize com os alunos as diferentes escritas encontradas, desde que

estejam corretas.

Atividades como essa e outras, interessantes para os alunos, podem

favorecer a compreensão da abordagem dada ao conteúdo trabalhado, estimular a

aprendizagem, fazer a verificação, a complementação e a fixação desses conteúdos.

Assim, deve-se propiciar aos alunos o desenvolvimento dos conteúdos com

variados textos e representações dessas operações, para que os alunos saibam que

os conhecimentos e suas representações estão em constante aperfeiçoamento.

REFERÊNCIAS

CARVALHO, M. Problemas? Mas que Problemas?!. Petrópolis, RJ: Editora Vozes, 2005. FOLLADOR, D. Educação Matemática Nos Anos Iniciais Do Ensino Fundamental . Orientações Pedagógicas – Matemática Ciclo Básico de Alfabetização. Curitiba: SEED, 2005. GIOVANNI JÚNIOR.J.R.; CASTRUCCI, B. Sumário: A conquista da matemática, 6º ano.São Paulo:FTD, 2009. MELÃO, W. S. A Matemática Escolar como Instrumento de Educação. ? In: SEED - Orientações Pedagógicas – Matemática: Sala de Apoio à Aprendizagem. Curitiba: SEED, 2005. PARANÁ. Diretrizes curriculares para o Ensino Fundamental . Curitiba: SEED, 2006.

_______ Ensinar e Aprender – Impulso Inicial. (Projeto de C orreção de Fluxo) Matemática. Curitiba: CENPEC, 1998.

PEREIRA.J.F.; TAHAN. S. P. A Natureza da Divisão. In: Cadernos da TV Escola: PCN na Escola/ Coordenação Geral ARANTES. V. M. Matemática 2. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação a Distância. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília, 1998, 64 p.

Perspectiva interdisciplinar Interdisciplinaridade: Matemática e Língua Portugue sa

A interdisciplinaridade é muito importante para que o aluno não tenha a visão

fragmentada. A interdisciplinaridade é muito importante para que o aluno não tenha

a visão fragmentada do conteúdo. Segundo Castro (2005) as disciplinas de

Matemática e Língua Portuguesa são imprescindíveis na formação do cidadão.

É preciso que o ensino dessas disciplinas colabore para a formação do

cidadão possibilitando o uso consciente da linguagem e os conceitos matemáticos.

Como essas disciplinas estão presentes no cotidiano dos alunos, o professor

pode desafiar os mesmos a refletir e encontrar soluções para os problemas que

enfrentam no dia a dia. Fazendo operações, interpretando e compreendendo textos,

fazendo compras ou escrevendo relatos de suas experiências, os alunos utilizam

raciocínio lógico e a linguagem.

O professor deve mostrar aos alunos que a resolução de problemas é uma

atividade não só da escola e apenas das aulas de matemática, mas que pode ser

desenvolvida em todas as disciplinas, pois necessita de leitura e interpretação nos

diferentes contextos.

A verdadeira integração dos conteúdos leva a formação de um aluno crítico,

capaz de estabelecer relações entre todas as áreas do conhecimento humano.

Referência

CASTRO, L. C. Português e Matemática: É Possível haver interdisciplinaridade? Disponível em: http://www.psicopedagogia.com.br/artigos/artigo.asp?entrID=704 acessado em: 27jul.2010.

Contextualização

A Matemática no orçamento familiar .

Atualmente é grande o apelo ao consumismo pelos meios de comunicação. O

dinheiro faz parte do nosso cotidiano, compramos, vendemos, pagamos, recebemos

nosso salário, etc. Assim é importante sabermos como administrá-lo. Essa noção

deve começar logo na infância, para que as crianças aprendam a utilizar o dinheiro

de forma consciente. Sendo assim e estar dentro do contexto social à escola tem

como dever auxiliar neste processo de conscientização. O professor poderá

desenvolver um planejamento de orçamento familiar em sala de aula, que poderá

ser utilizado no dia a dia dos alunos e famílias. Um exemplo de organização do

orçamento familiar é exposto pelo professor Fabio Gallo Coimbra, no globo repórter

Edição do dia 23/07/2010.

Saiba como se organizar, com o orçamento do ABCD.

O professor Fabio Gallo Coimbra, da Fundação Getúlio Vargas (FGV), em São Paulo, explica como a pessoa deve priorizar os gastos.

Duas em cada três famílias brasileiras gastam, em média, mais do que ganham. Ao todo, 68,4% estão com dívidas, segundo a pesquisa mais recente sobre orçamento familiar. Mas esse problema tem solução. Especialistas dão dicas bem práticas.

O conselho número 1 vem do professor Fabio Gallo Coimbra, da Fundação Getúlio Vargas (FGV), em São Paulo: “saber o que ganha e o que gasta".

O economista explica como organizar um orçamento que dá certo. Basta seguir as letras ABCD.

A – Alimentar B – Básico: conta de água, luz, telefone, escola de filhos. C – Contornável: aquilo que faz a vida melhor e, em uma eventualidade, você corta. D – Desnecessário: por exemplo, ter cinco cartões de crédito.

Disponível em: http://g1.globo.com/globo-reporter/noticia/2010/07/saiba-como-se-organizar-com-o-orcamento-do-abcd.html . Acessado em 26/07/2010.

Sítios

Título do Sítio: Racha Cuca Não quebre a cabeça, rache a cuca

Título do sítio: Somatemática - Portal Matemático Disponível em: http://www.somatematica.com.br Acessado em: Julho / 2010. Comentários: Este é um portal matemático para professores, estudantes e aqueles que se

interessam por matemática, podendo aprender e se divertir com as seções de

entretenimento, seção de desafios que são muito interessantes. Outras como a

comunidade, os fóruns e os jogos. Apresenta também serviços, material de apoio e

uma série de produtos educacionais de qualidade, incluindo CDs com conteúdos

matemáticos e DVDs com vídeoaulas. Certamente, utilizando este site poderemos

aprimorar o nosso conhecimento e enriquecer nossa prática pedagógica. Sabendo

da importância de se diversificar os tipos de problemas matemáticos propostos aos

alunos, pode-se também ter acesso a uma lista de desafios matemáticos que

poderão ser selecionados e utilizados em sala de aula. Os desafios podem ser

encontrados em http://www.somatematica.com.br/desafios.php#

Título do sítio: Racha Cuca – Não quebre a cabeça, rache a cuca Disponível em: http://rachacuca.com.br/ Acessado em: Julho / 2010. Comentários: Este é um sítio muito interessante para quem gosta de Matemática e até para quem

não gosta muito. Apresenta várias categorias como jogos, lógica, quiz e testes. Os

jogos podem ser de lógica, matemática, quebra-cabeças e raciocínio. Também há

problemas de lógica, sudoku e quizzes sobre diversos assuntos para testar seus

conhecimentos e testes de inteligência. Após trabalhar problemas do tipo “travessia

de rio” e “encher jarros com água” onde os alunos têm que pensar numa estratégia e

descrever tentativas de soluções, o professor poderá levar seus alunos no

laboratório de informática para que estes participem online, dos problemas e jogos

de raciocínio seguindo as instruções que aparecem. O professor também poderá

fazer o caminho inverso, partindo da atividade online que é motivadora e

interessante para a forma descritiva no caderno.

Proposta de atividades

Problema Processo ou Heurístico Comentários:

O problema processo ou heurístico também chamado de problema não-

convencional por alguns autores apresenta maior complexidade para o aluno, pois

de acordo com Carvalho (2005, p.30) “as operações não estão evidenciadas no

enunciado”. Estes problemas permitem ao aluno o desenvolvimento de um processo

de resolução de problemas chamado processo científico, pois leva o aluno a fazer

tentativas, suposições, testar e provar a solução encontrada para o referido

problema, exige do mesmo um pouco de iniciativa e criatividade. Através

das orientações do professor, o aluno irá conhecer algumas estratégias como

tentativa e erro, transformar os dados do problema em desenhos e símbolos, fazer

gráficos, entre outras estratégias.

O arquivo em anexo traz sugestões de problemas e estratégias de resolução que

poderão ser utilizados no desenvolvimento do conteúdo de resolução de problemas.

1. Problema Processo ou Heurístico

1.1 - Tipo de atividade: Sugestões de estratégias que podem ser utilizados na

Resolução de Problemas Processo ou Heurístico.

1.2 - Objetivos:

- Proporcionar ao professor a reflexão de sua prática na possibilidade do uso da

sequencia de passos de Polya para orientar a compreensão dos alunos na

resolução de problemas.

- Propor ao professor estratégias que levem os alunos a interpretar e refletir sobre os

problemas, utilizando-se da sequencia de passos de Polya.

- Propor problemas que possibilitem ao aluno o desenvolvimento de sua criatividade,

sua iniciativa e seu espírito explorador.

1.3 - Recursos Utilizados: Problemas impressos a ser distribuídos aos alunos,

quadro de giz.

1.4 - Método Utilizado: Resolução de problemas em grupos.

1.5 - Desenvolvimento

Esse trabalho pode ser desenvolvido com turmas de quinta série (sexto ano)

com 35 a 40 alunos organizados em grupos de 2 ou 3 alunos.

Inicialmente o professor chamará a atenção dos alunos de forma a

sensibilizar os mesmos quanto às vantagens de aprimorarem seus conhecimentos a

respeito da resolução de problemas e a importância de participarem com dedicação,

realização de um contrato didático para o desenvolvimento das atividades.

Será apresentado um quadro com um resumo do esquema de POLYA (apud

DANTE, 1998, p. 29) com os passos que os alunos deverão seguir para apoiar o

entendimento e a resolução dos diversos tipos de problemas. Cada aluno receberá

uma tabela para seu uso particular com esses passos. Será proposto pelo professor,

alguns exemplos de problemas, enfatizando as soluções diferentes e criativas.

A partir daí uma série de problemas serão aplicados, distribuindo-se um

problema de cada vez para cada aluno, porém para ser resolvido em grupo, com o

acompanhamento do professor no desenvolvimento das atividades, realizando as

devidas interferências e dando um tempo para os alunos pensarem e estabelecerem

um plano de ação. Através das orientações e exemplos dados pelo professor,

o aluno irá aos poucos tendo conhecimento de algumas estratégias que poderão ser

usadas em outros problemas semelhantes como: transformar os dados do problema

em desenhos, fazer tabelas, esquemas, apoio de materiais concretos, simulação da

situação ou tentativa e erro, escolhendo uma operação até verificar que a meta foi

alcançada.

No momento da correção haverá um compartilhamento de idéias e soluções.

Os alunos terão oportunidade de mostrar aos colegas seus procedimentos e

raciocínio na busca das soluções e o professor poderá chamar a atenção para as

peculiaridades de cada problema e a possibilidade de utilizar estratégias diferentes.

Exemplos dado pelo professor e resolvido junto com os alunos observando a

sequencia de passos de Polya:

1º Exemplo

Foram convidadas 38 crianças para o aniversário de Paulinho. O pai de Paulinho

precisa alugar mesas quadradas para fazer uma longa fila, colocando as mesas lado

a lado, uma encostada na outra. Qual é o menor número possível de mesas que ele

deverá alugar?

a) Compreendendo o problema

Dados:

Número de crianças: 38

Longa fila de mesas encostadas uma na outra.

Ocupação de cada lado disponível da mesa por uma única criança.

Número inteiro de mesas, pois não há “meia mesa”.

Objetivo:

Determinar o número de mesas necessárias.

Figura:

...

Quantas mesas?

b) Estabelecendo um plano

1ª estratégia

Transformar o problema em desenho, onde os dados possam ser contados.

2ª estratégia

Dividir 38 por 2, porque cabem 2 crianças em cada mesa. Em seguida, subtrair1,

porque as duas crianças da última mesa podem se sentar nas pontas da fila.

3ª estratégia

Subtrair 6 de 38, porque nas duas mesas terminais, juntas, cabem 6 crianças. Dividir

o resultado por 2, porque nas demais mesas cabem 2 crianças. A este último

resultado acrescentar 2, porque são duas as mesas terminais retiradas.

c) Executando o plano

1ª estratégia

Fazemos o desenho das mesas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Nesse caso, precisaríamos de 19 mesas. Mas não há ninguém sentado nas pontas.

Mas não há ninguém sentado nas pontas. Então, podemos diminuir 1 mesa, ficando

com 18. Assim:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 38

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

2ª estratégia

38 : 2 = 19 19 - 1 = 18

3ª estratégia

38 – 6 = 32 32 : 2 = 16 16 + 2 = 18

Portanto, o número mínimo de mesas a serem alugadas é 18.

d) Fazendo o retrospecto ou verificação

Dezenove mesas resolveriam o problema, mas este não é o menor número possível.

O menor número é 18, pois 18 x 2 = 36 e 36 + 2 = 38.

As três estratégias utilizadas aqui servem para qualquer número par de crianças.

Experimente.

Quando se trata de “números grandes”, a 1ª estratégia (desenho) não se aplica.

Resposta: Nas condições dadas, o menor número possível de mesas que ele deverá

alugar é 18.

Algumas extensões para esse problema:

• E se colocássemos as mesas em forma de U ou de L, qual seria o número

mínimo de mesas necessárias?

• E se fizéssemos duas filas de mesas?

• E se o número de crianças fosse ímpar, como se resolveria o problema?

2º Exemplo

Num quintal há galinhas e coelhos. Ao todo são 12 cabeças e 34 pés. Quantos

animais de cada espécie há no quintal?

Para a resolução desse problema pode-se seguir a mesma sequência utilizada no

problema anterior: Compreendendo o problema; Estabelecendo um plano;

Executando o plano e Fazendo o retrospecto ou verificação.

Estratégias de Resolução

1ª estratégia

Fazemos o desenho dos animais (representação gráfica)

12 animais

Utilizamos a classe de abrangência para a adição, ou seja, galinhas e coelhos fazem

parte da classe dos animais.

- Alguns animais possuem 2 pés ( galinhas) e outras 4 (coelhos).

Se todos os animais possuíssem 2 pés, teríamos, ao todo 24 pés. Mas, ao todo,

temos 34 pés, sobrando, portanto, 10 pés, que, 2 a 2, correspondem a 5 coelhos.

Logo, são 7 galinhas.

5 coelhos + 7 galinhas = 12 animais.

12 cabeças = 12 animais

24 pés

Sobraram: 10 pés

Logo:

5 animais possuem 4 pés = 5 coelhos

7 animais possuem 2 pés = 7 galinhas

2ª estratégia

Através da aritmética, temos:

12 animais = 12 cabeças

34 pés

34 – 12 = 22 22 – 12 = 10 2 pés por animal sobrará 10 pés

10 : 2 = 5 ( 5 animais com mais 2 pés = 4 pés por animal) coelho

12 – 5 = 7 galinhas

Entenda-se aqui que “animais” correspondem somente a classe de coelhos e

galinhas.

3ª estratégia

Para os alunos da 6ª série ou 7º ano poderá ser apresentado a resolução através da

Álgebra:

I - nº total de animais ( cabeças ) 12 animais.

X – nº de galinhas

Y _ nº de coelhos

II – nº total de pés 34 pés

2X – animais que possuem dois pés

4Y _ animais que possuem 4 pés

x + y = 12 ( I )

2x + 4y = 34 ( II )

Resolução:

x = 12 – y ( I )

2x + 4y = 34 ( II )

Substituindo I em II, temos :

2 (12 – y ) + 4y = 34

24 – 2y + 4y =34

2y = 34 – 24

2y = 10

y = 10 :2

y = 5 coelhos

Substituindo em I, temos:

X = 12 – y

X = 12 – 5

X = 7 galinhas

Problemas propostos para os alunos:

1. Numa reunião de equipe há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com

todos os outros, quantos apertos de mão teremos ao todo?

2. Num estacionamento há 14 veículos, entre motos e carros. Se o total de rodas é

44, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

3. Como é possível retirar de um rio exatamente 6 litros de água, se, para medir a

água, dispomos apenas de dois recipientes, um com 4 e outro com 9 litros de

capacidade?

4. Um homem que pesa 80 quilos e seus dois filhos, cada um deles pesando 40

quilos, querem atravessar um rio. Se eles tiverem apenas um bote com a

capacidade de carregar com segurança somente 80 quilos, de que modo eles

poderão atravessar o rio?

5. Júlia arrumou algumas garrafas de refrigerante colocando 4 garrafas na base da

pilha e uma a menos em cada camada. Quantas garrafas ela empilhou? E se a pilha

tivesse 6 garrafas na base?

6. Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou numa

caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas aranhas e quantas joaninhas ele

apanhou? Como bom estudante de Ciências ele sabe que uma aranha tem 8 patas e

uma joaninha 6.

7.Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o total de pés

desses bichos, calcule a diferença entre o número de patos e o número de

cachorros.

8. Numa festa restam ainda cinco pessoas. Se para se despedirem cada uma trocar

um aperto de mão com todas as outras, quantos apertos de mão teremos?

9. (Podemos mudar a pergunta) Houve 10 apertos de mão em uma festa. Sabe-se

que cada pessoa apertou a mão das demais uma só vez. Quantas pessoas estavam

na festa?

10. Algumas crianças estão sentadas em volta de uma mesa, e a mãe de Joãozinho

lhes dá um saquinho com 15 balas. Cada criança pega uma e passa o saquinho

adiante. Joãozinho pega a primeira e a última bala, e poderia pegar mais do que

essas duas. Quantas crianças poderiam estar sentadas em volta da mesa?

1.6 - Número de alunos: 35 a 40 alunos organizados em grupos de 2 ou 3 alunos.

1.7 - Avaliação

A avaliação será feita dia a dia mediante a observação na execução das atividades

propostas, bem como a anotação dos comentários, procedimentos e das

dificuldades encontradas pelos alunos para fazer as intervenções necessárias.

Soluções e/ou respostas dos problemas propostos:

Problema 1

R:15 apertos de mãos.

Algumas respostas que surgem dos alunos sem pensar muito são 12 ( 6 x 2 ), 36 (

6 x 6) e 30 ( 6 x 5), porém estão erradas. Esse problema pode ser solucionado com

diversas estratégias: fazendo uma lista dos nomes, diagramas e também simulando

o problema.

1ª estratégia: Solução através da representação (simulação) do problema.

Os seis alunos se cumprimentam de verdade e marcam a quantidade total de

apertos de mão. Assim, o primeiro aluno cumprimenta todos os outros e sai, são

cinco apertos de mão. O segundo aluno cumprimenta os quatro alunos que restam

fora ele, são mais quatro apertos. O terceiro aluno cumprimenta os três alunos que

restam fora ele, são mais três apertos. O quarto aluno precisa de dois apertos, pois

fora ele restam dois alunos. Agora só falta um aperto, pois temos apenas dois

alunos. Total: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 apertos de mão.

2ª estratégia: Construção de uma tabela de dupla entrada representando as seis

pessoas. Cada aperto de mão pode ser representado com um X ou O. Não podemos

esquecer de ressaltar que cada pessoa cumprimenta outra somente uma vez e não

cumprimenta a si próprio.

P1 P2 P3 P4 P5 P6

P1 X X X X X

P2 X X X X

P3 X X X

P4 X X

P5 X

P6

Resposta: Teremos um total de 15 apertos de mãos.

O professor deverá incentivar os alunos à esquematizarem a solução desse

problema de outras maneiras.

Problema 2

R: Há nesse estacionamento 8 carros e 6 motos ( A resolução é semelhante ao

segundo exemplo dado: coelhos e galinhas)

Problema 3

R: Encher a vasilha de 9 litros e despejar na de 4 litros, jogar fora essa água.( 9 – 4=

5). Encher a vasilha de 4 litros com a água que ficou na vasilha maior. E depois

jogar fora (5 – 4 = 1).Despeje esse 1 litro que sobrou na vasilha menor e agora não

jogue ( A vasilha grande ficou vazia e a pequena com 1 litro, faltando 3 para encher).

Encho a vasilha maior ( 9 litros) e completo a menor (1 litro + 3 litros), restando 6

litros na vasilha maior (9 – 3 = 6).

Para resolver esse problema os alunos também poderão fazer desenhos, simular a

situação ou outra estratégia.

Problema 4

R:Inicialmente vão os dois filhos para a outra margem. Um fica e outro volta. Na

segunda viagem, vai o pai e volta o filho que havia ficado. Finalmente, vão os dois

filhos.

Problema 5

R: Ela empilhou 10 garrafas. 21 garrafas.

Problema 6

R: 9 aranhas e 6 joaninhas.

Oscar Guelli, Jogando com a Matemática, pag. 47 e 48. (1995) Contando a História

da Matemática.

Problema 7

R: Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15 – 6= 9.

Problema 8

R: 10 apertos de mão

Problema 9

R: 5 pessoas

Problema 10

R: O objetivo é determinar o número de crianças que poderiam estar sentadas em

volta da mesa. Podem-se fazer desenhos e fazer uma contagem de modo

organizado, eliminando os números impossíveis ou procurar os números n, de modo

que 15 dividido por n deixe resto igual a 1.

1ª estratégia

É possível ter 2 crianças, pois Joãozinho pega a 1ª, 3ª, 5ª, 7ª, 9ª, 11ª, 13ª e a 15ª

balas.

Não é possível ter 3 crianças pois Joãozinho pega a 1ª e não pega a última (15ª).

Não é possível ter 4 crianças. Experimente.



É possível ter 7 crianças, pois Joãozinho pega a 1ª, a 8ª e a 15ª balas.

Não é possível ter 8, 9,10,11,12 ou 13 crianças.

É possível ter 14 crianças, pois Joãozinho pega a 1ª e a 15ª( última).

2ª estratégia

15 : 2 = 7 resto = 1

15 : 7 = 2 resto = 1

15 : 14 = 1 resto = 1

Resposta: A quantidade de crianças possível é 2 ou 7 ou 14.

Referências

DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática . São Paulo: Ática,1998. PARANÁ. Coleção Cadernos de Ensino Fundamental. Matemática: 5ª a 8ª série . Curitiba: SEED, 1994. GUELLI, O. Contando a História da Matemática. 5 Jogando com a Matemática . São Paulo: Ática, 1995. KRULIK, S. A; Reys, R. E. Resolução de Problemas na Matemática Escolar . São

Paulo: Atual, 1997.

Problemas de lógica

Comentários:

Os problemas de lógica são problemas sem dados numéricos e que exigem

raciocínio dedutivo e estratégias, como organização dos dados em uma tabela ou

diagrama, desenhos, dramatizações, etc. Para resolver esses problemas os alunos

precisam levantar hipóteses, checar essas hipóteses e esse raciocínio dedutivo será

muito importante para que o aluno estabeleça relações lógicas na organização de

seu pensamento. São geralmente problemas que desafiam os alunos.

1.1 - Tipo de atividade: Sugestões de estratégias que podem ser utilizados na

Resolução de Problemas de Lógica.

1.2 - Objetivos:




- Propor ao professor estratégias que poderão ser usadas pelos alunos na resolução

de problemas de lógica, utilizando-se da sequencia de passos de Polya para

interpretar e melhor refletir sobre os problemas.

- Propor problemas que possibilitem ao aluno o desenvolvimento de sua criatividade,

sua iniciativa e o trabalho com um raciocínio do tipo “se..., então...”, isto é o

raciocínio dedutivo.

1.3 - Recursos Utilizados: problemas impressos a ser distribuídos aos alunos e

quadro de giz.

1.4 - Método Utilizado: Resolução de problemas em grupos.


O desenvolvimento desse trabalho com problemas de lógica pode seguir os mesmos

passos dos Problemas Heurísticos: Exemplificação do professor e proposta de

problemas para os alunos. O professor poderá em outra ocasião propor um

problema curioso, e interessante ou de maior dificuldade no início da semana e

recolhe-lo ao final da mesma, realizando um trabalho de socialização e comentários

das soluções encontradas pelos alunos. O professor exemplificará um problema de

lógica e algumas estratégias de resolução para o entendimento dos alunos.

Problema exemplo.

Eu tenho dois irmãos, Paulo e Lucas. Cada um de nós tem um gato de estimação

que se chamam Daqui, Dali e Delá. Um dos gatos é branco, o outro é preto e o

terceiro é malhado.

• Delá não é branco e é o meu predileto.

• Paulo prefere o gato preto que não é Daqui.

• Lucas não gosta do gato malhado.

Descubra o dono de cada gato e a cor do meu gatinho.

Ilustração 1 e 2: Gatinhos Ilustração 3: Gato branco Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Gato Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:WhiteCat.jpg

Solução 1 : Esquema

O aluno poderá ir lendo as dicas e montando um esquema. Pode ser um traço sob o

correto e um X para o que for eliminado ou outra marca. Veja como exemplo:

1ª dica - Delá não é branco e é o meu predileto.

Então Delá é o gato do narrador e pode ser preto ou malhado (elimina o branco).

Daqui Dali Delá

Branco Branco Branco x

Preto Preto Preto

Malhado Malhado Malhado

Narrador

2ª dica - Paulo prefere o gato preto que não é Daqui

Percebe-se que o gato preto é de Paulo e não é Daqui. Delá é do narrador, então só

pode ser Dali (elimina Daqui e Delá), sobrando o Dali. Se o Dali é preto então

elimina preto para Daqui e Dela (marca um x). Para Delá só sobra: malhado. Para

Daqui só sobra o branco.

Daqui Dali Delá

Branco Branco x Branco x

Preto x Preto Preto x

Malhado x Malhado x Malhado

Paulo Narrador

3ª dica - Lucas não gosta do gato malhado.

Daqui Dali Delá

Branco Branco x Branco x

Preto x Preto Preto x

Malhado x Malhado x Malhado

Lucas Paulo Narrador

Elimina o gato malhado que Lucas não gosta e o preto que é de Paulo, sobrando o

branco para Lucas.

R: Delá é o gato do narrador e é malhado, Paulo tem o gato preto Dalí e Lucas tem o

gato branco Daqui.

Solução 2: Fazendo uma tabela para organizar os dados.

O aluno vai lendo as dicas e colocando um X na tabela para as negações e uma O

para as confirmações.

Daqui Delá Dali Branco Preto Malhado Narrador X O X X X O Paulo X X O X O X Lucas O X X O X X

Também poderia construir duas tabelas uma para os gatos e seus donos e outra

para os gatos e suas cores.


Os problemas apresentados a seguir poderão ser resolvidos da mesma forma

que o exemplo anterior, fazendo algumas adaptações ou deixando os alunos usarem

outra estratégia que leve ao resultado correto.

1. Mabel, Ruth e Laura moram na mesma rua, uma do lado da outra.

Leia as dicas com atenção e diga onde cada uma delas mora.

- Na casa da direita não há boneca.

- A menina que tem bicicleta não é vizinha da menina que tem patins.

- Na casa da Mabel não tem bicicleta nem patins.

- A bicicleta da Laura é diferente.

2. João, Ana, Cláudia, Elen e Rodrigo são irmãos. Sabemos que:

- João não é o mais velho;

- Cláudia não é a mais moça;

- João é mais velho que Cláudia;

- Ana é mais velha do que Elen;

- Rodrigo é mais velho que Cláudia e mais moço que João.

- Você pode descobrir em que ordem nasceram esses cinco irmãos?

3. Ana, Pedro, Carlos e Diná gostam de gêneros literários diferentes: humor,

mistério, esportes e aventuras. Um dos colegas de grupo de Ana gosta mais de livro

de mistério, enquanto Carlos e Diná não gostam de livrosde aventura. O gênero

favorito de Pedro é esportes. Diná gostava de livros de humor, mas acabou

mudando de gosto.

- Qual é o gênero de livro que Diná prefere?

- Invente um problema como esse envolvendo você e seus colegas.

4. Os meninos Huguinho, Luizinho e Zezinho montaram três barracas na praia:

- Na barraca da direita não há prancha.

-O menino que tem bóia não é vizinho do menino que tem prancha.

- Na barraca de Zezinho não tem bóia nem prancha.

A prancha de Luizinho é bonita.

Qual é a barraca de cada um dos meninos?

5. Lucas, Rubens e Fábio ganharam os presentes que queriam em diferentes datas.

Leia as dicas com atenção e diga quem ganhou determinado presente e em que

data.

-Lucas não ganhou presente de Páscoa.

-Fábio não ganhou patins nem autorama.

-No natal, Rubens adorou o presente.

-O menino que ganhou o par de patins de aniversário já saiu patinando pela casa.

6. Andréia, Bernardo, Carolina e Daniel tomavam o café da manhâ, que não era

necessariamente café para todos.

Você saberia dizer o que cada um tomava, se eu lhe contar que:

-à esquerda de Carolina tomavam chá;

-Bernardo estava em frente de quem tomava café;

-quem sentava à direita de Andréia tomava suco de laranja;

-quem tomava chocolate estava em frente de quem tomava suco de laranja.

7. Três homens e suas esposas ganharam juntos R$ 5400,00. As esposas

receberam juntas R$ 2400,00. Raquel tinha R$ 200,00 a mais que Renata, Lígia

tinha R$200,00 a mais que Raquel. Paulo recebeu metade do que sua esposa

recebeu, Beto o mesmo que sua esposa e Marcio recebeu duas vezes mais que

sua esposa.

Quem é casado com quem?


1.7 - Avaliação




Soluções e/ou respostas para os problemas propostos

Problema1

R: A casa de Laura é a da esquerda, a da Mabel a do centro e a da Ruth a da

direita.

Problema 2

R: Ana; João; Rodrigo; Cláudia e Elen.

Problema 3

R: O gênero preferido de Diná é mistério.

Problema 4

.R: Barraca de Luizinho, barraca de Zezinho, barraca de Huguinho.

Problema 5

R: Lucas ganhou o par de patins no aniversário, Rubens, o autorama no Natal e o

Fábio o CD Player na Páscoa.

Problema 6

R: Imaginemos uma mesa com quatro lugares numerados,1,2,3 e 4, raciocinemos

sempre no sentido horário.

Coloquemos Carolina no lugar 1 e ficamos sabendo que em 2 tomavam chá. Pela

segunda afirmação, sabemos que Bernardo não pode estar no lugar 4. Pela terceira,

sabemos que Andréia não pode estar no lugar 3, pois aí Carolina estaria tomando

café e suco de laranja ao mesmo tempo.

Resposta: Logo, Andréia tomava café, Daniel tomava suco de laranja, Carolina

tomava chocolate e Bernardo tomava chá.

Problema 7

R: Raquel e Paulo; Renata e Beto; Lígia e Márcio.

Referências

CARVALHO, M. Problemas? Mas que Problemas?! . Petrópolis, RJ: Editora Vozes, 2005. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática,1998. MATEMATICA. Programa Adequação Idade – Série: PAI-S . Caderno 1 Curitiba: SEED,1998. PARANÁ. Ensinar e Aprender – Impulso Inicial. (Projeto de Correção de Fluxo) Matemática. Curitiba: CENPEC, 1998.

________ Ensinar e Aprender 2 – (Projeto de Correção de Fluxo) Matemática. Curitiba: CENPEC, 1998.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas: Um novo aspecto do mé todo matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

POZO, J. I. A Solução de Problemas. Aprender a Resolver, Resolv er para Aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.

Problemas sem dados numéricos, com excesso ou falta de dados e

impossíveis de resolver.

Comentários:

Os alunos geralmente acreditam que todo problema tem solução, basta

utilizar as informações contidas no enunciado que se chegará à resposta.

Porém, há problemas cujas informações dadas são insuficientes para obter a

resposta, outros com dados que não são necessários para resolução do mesmo.

Para que os alunos se familiarizem com esses problemas, o professor pode

propor alguns problemas cuja resolução foge aos padrões convencionais, onde os

alunos precisem refletir sobre as informações contidas no enunciado e se elas são

necessárias ou não para sua resolução, superando as idéias de que todo problema

é numérico, sempre tem solução e que todos os dados que estão no enunciado

devem ser usados em sua resolução.

1.1 - Tipo de atividade: Sugestões de Problemas não convencionais: sem dados

numéricos, com falta de dados, com excesso de dados e impossíveis de resolver

que poderão ser propostos aos alunos.

1.2 - Objetivos:




- Propor problemas que possibilitem ao aluno refletir sobre o seu enunciado e seus

dados, sobre a finalidade adequação e utilização dos dados apresentados e

escolher apenas as informações necessárias para a sua resolução.

1.3 - Recursos utilizados: lista de problemas para cada aluno.

1.4 - Método Utilizado: Resolução de problemas individualmente.


O trabalho com esses problemas não convencionais pode ser realizado com a

classe toda. O professor apresentará aos alunos uma lista com 4 ou 5 problemas

para serem resolvidos individualmente. Este dará um tempo razoável para que os

alunos leiam, compreendam e busquem uma forma de resolver, sem que esse

tempo se transforme numa competição para ver quem é mais rápido. O professor

fará interferências mínimas, deve criar segundo Dante (1998, p.53) “um clima de

busca, exploração e descoberta, deixando claro que mais importante que obter a

resposta correta é pensar e trabalhar no problema durante o tempo que for

necessário para resolvê-lo.”

Enquanto os alunos estão trabalhando nos problemas, o professor percorre

as carteiras incentivando, dando pequenas dicas e sugestões. Depois que a maioria

dos alunos terminou de resolver, alguns alunos irão à lousa, explicar o que fizeram,

como fizeram, como pensaram essa resposta, confrontando suas respostas com as

demais respostas dos colegas. Finalmente, o professor confirma a resposta correta

ou as respostas corretas, chamando atenção para as peculiaridades de cada

problema e convidando-os a fazerem anotações de como cada um conseguiu

chegar a uma resposta, é a etapa do retrospecto e verificação sugeridas por Polya.

O professor poderá apresentar outros exemplos a serem resolvidos juntamente com

os alunos.

Exemplos para o professor utilizar em sala de aula.

a) Problemas sem dados numéricos :

De que dados necessito para saber se tive lucro ao vender uma bicicleta?

Nesse problema alguns alunos costumam dizer que não é possível resolver

por falta de número. O professor poderá fazer questionamentos que possibilite aos

alunos o entendimento do problema até chegar a resposta, que neste exemplo é o

preço de compra e o preço de venda da bicicleta que deve ser maior para se ter

lucro.

b) Problemas com falta de dados (basta tirar alguns dados de um problema

convencional).

Seu Manuel fez duas centenas de pães. Vendeu a metade do que produziu.

Quanto ele faturou?

Segundo Carvalho (2005, p. 40) ”É interessante que os alunos percebam que

o problema não tem solução porque falta dados.” Essa autora sugere que o

professor poderá pedir que os alunos reescrevam esse problema de modo que

possa ser resolvido, isto é acrescentando os dados necessários que neste caso é o

preço de cada pão.

c) Problema com excesso de dados (basta acrescentar alguns dados a um

problema convencional)

Manuel precisa emagrecer 20 quilos. Está pesando 90 quilos e já perdeu 7

quilos. Quantos quilos ele ainda deve emagrecer?

Para responder a questão do problema bastava fazer a diferença 20 – 7 = 13.

O peso não foi necessário para responder essa questão.

d) Problemas impossíveis de resolver a partir dos d ados :

Um prédio tem 7 andares com 6 janelas em cada andar. Qual a idade do

zelador?

É comum nesse tipo de problema os alunos usarem os números do problema

para fazer uma “conta” e dar uma resposta qualquer, sem refletir sobre a adequação

dos dados a pergunta solicitada. Alguns fariam 7 x 6 = 42, novamente cabe ao

professor fazer as devidas interferências e colocações sobre a necessidade de uma

análise mais cuidadosa sobre o enunciado dos problemas e seus dados.


1. Um menino subiu na cama e ficou da altura de seu pai.Qual a diferença entre a

altura do pai e do menino?

2. Quantos quilos de carne come por semana uma onça que pesa 90 quilos?

3. Paula levanta todos os dias às 6 horas da manhã e vai à padaria comprar 2 litros

de leite e 6 pãezinhos. Aos domingos, ela acorda às 8 horas e vai novamente à

padaria, onde compra o leite e a mesma quantidade de pãezinhos, e também um

grande pão doce. Quantos pãezinhos Paula comprará por mês?

4. Num estojo tem 12 lápis de cor, 3 canetas, 1 lápis preto, um apontador e uma

borracha. Qual o preço do estojo?

5.Existe algum número natural que, multiplicado por 4, resulte em 34? Se existe,

qual é ele? Se não, por que?

6. Um pedaço de madeira foi cortado em 3 partes: uma das partes mede 78 cm de

comprimento e as outras duas tem o mesmo comprimento. Qual a medida de cada

parte?


1.7 – Avaliação




Soluções e/ou respostas para os problemas propostos para os alunos na lista.

Problema 1

R: A diferença entre a altura do pai e do menino é a cama. Nesse problema alguns

alunos dizem que não é possível resolver pois faltam números.

Problema 2

R: Nesse problema falta de dados, pois para saber quanto a onça come de carne

por semana teria que por exemplo, saber quanto ela come por dia.

Problema 3

R: Paula compra 30 x 6 = 180 pãezinhos por mês. Esse problema apresenta muitos

dados que não são necessários a resposta, porém o professor pode pedir para que

os alunos criem outras perguntas para esse problema, utilizando os demais dados.

Problema 4

R: Impossível de resolver a partir dos dados.

Problema 5

R: Não existe pois 34 não é múltiplo de 4.

Problema 6

R: Problema com falta de dados. O professor poderá pedir aos alunos que

reescrevam esse problema acrescentando o dado necessário para responder a

questão.

Referências

CARVALHO, M. Problemas? Mas que Problemas?! . Petrópolis, RJ: Editora Vozes, 2005. DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática,1998. PARANÁ. Ensinar e Aprender – Impulso Inicial. (Projeto de Correção de Fluxo) Matemática. Curitiba: CENPEC, 1998. POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas: Um novo aspecto do mé todo matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

POZO, J. I. A Solução de Problemas. Aprender a Resolver, Resolv er para Aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.

Sugestões de leitura

Livro 1

Categoria: Livro Sobrenome: Polya Nome: George Título do livro: A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método matemático. Edição: 2 Local da publicação: Rio de Janeiro Editora: Interciência. Ano da Publicação: 1995. Comentários:

Este livro traz considerações muito importantes sobre a resolução de problemas.

Apresenta uma lista de indagações ou passos que os alunos podem seguir para

orientar a compreensão e a resolução de problemas mostrando os objetivos dessa

lista. Apresenta variados exemplos que nos orienta em como resolver um problema,

dando sugestões, indicações e soluções aos problemas apresentados.

Livro 2

Categoria: Livro Sobrenome: Dante Nome: Luiz Roberto Título do livro: Didática da Resolução de Problemas de Matemática. Edição: 10 Local da publicação: São Paulo Editora: Ática. Ano da Publicação: 1998. Comentários:

Esse livro traz importantes contribuições para a melhoria da prática na Educação

Matemática. Classifica os vários tipos de problemas, sugere vários exemplos e as

etapas envolvidas em sua resolução.

Livro 3

Categoria: Livro Sobrenome: Carvalho Nome: Mercedes Título do livro: Problemas? Mas que Problemas?! Estratégias de resolução de problemas matemáticos em sala de aula. Local da publicação: Petrópolis Editora: Vozes Ano da Publicação: 2005. Comentários:

A autora propõe, neste livro, a resolução de problemas como eixo norteador do

ensino de matemática e apresenta sugestões e possibilidades de trabalho com

problemas matemáticos. É uma obra de muita utilidade para todos os docentes da

disciplina.

Destaques

Tipos de Problemas e Etapas para a Resolução de Pro blemas.

Para que os alunos compreendam melhor as quatro operações básicas com

números naturais e que estas tenham significado para eles, pode-se apresentar

esse conteúdo por meio de problemas, que deverão ser variados, possibilitando o

desenvolvimento do pensamento reflexivo e a criatividade dos alunos. Como

destaque, apresento alguns tipos de problemas que poderão ser utilizados em sala

de aula e os passos de Polya como apoio ao entendimento e resolução dos

problemas sugeridos.

Tipos de problemas de acordo com Dante (1998, pag. 16 - 21):

Exercícios de reconhecimento : objetiva que o aluno reconheça, identifique ou

lembre um conceito, um fato específico, uma propriedade, etc. Exemplo: Dados os

números 2, 5, 10, 103, 156 e 207, quais são os pares?

Exercícios de algoritmos : seu objetivo é treinar a habilidade em executar um

algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores. Podem ser resolvidos passo a passo.

Exemplo: Calcule o valor de (12+ 7) x 5

Problemas-padrão : tem como objetivo recordar e fixar os fatos básicos através dos

algoritmos das quatro operações fundamentais, reforçando o vínculo existente entre

essas operações e seu emprego nas situações do cotidiano. São os tradicionais

problemas de final de capítulo nos livros didáticos e ”de um modo geral, eles não

aguçam a curiosidade do aluno nem o desafiam” Dante (1998, p.17). Exemplos:

Problemas-padrão simples : Numa classe há 17 meninos e 22 meninas.

Quantos alunos há na classe?

Problemas-padrão compostos : Luiz tem 7 anos a mais que o triplo da idade

de Felipe. Os dois juntos têm 55 anos. Qual a idade de cada um?

Problemas-processo ou heurísticos : não podem ser traduzidos diretamente para a

linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos,

pois exige do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, isto é, a

estratégia que poderá levá-lo à solução. Esse tipo de problema é “mais interessante

do que os problemas-padrão” Dante (1998, p.18) e para Carvalho (2005) também,

podem ser chamados de problema não convencional ou de lógica, pois desafiam os

alunos a usarem sua criatividade na elaboração de estratégias para a resolução:

desenhos, esquemas, gráficos, etc. Exemplo: Numa reunião de equipe há 6 (seis)

alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, quantos apertos

de mão terão ao todo?

Problemas de aplicação ou situações-problema : retratam situações reais do dia-

a-dia e que necessitam do uso da Matemática para serem resolvidos, isto é, através

de conceitos, técnicas e procedimentos, organizando dados em tabelas, traçando

gráficos, fazendo operações, etc. Dante (1998, p.20), coloca como exemplo o

seguinte problema:

Para fazer seu relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a fazer esses cálculos? Podemos levantar as seguintes questões: a) Quantos alunos comem a merenda por dia? E por mês? b) Quantos quilos de arroz, macarrão, tomate, cebola, sal etc. a escola

recebe por mês? c) Qual o preço atual, por quilo, de cada um desses alimentos? d) Qual o salário mensal da merendeira? e) Quanto se gasta de gás?

Problemas de quebra-cabeça : constituem geralmente a Matemática recreativa,

envolvem e desafiam grande parte dos alunos. “[...] e sua solução depende, quase

sempre, de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque, que é a

chave da solução” Dante (1998, p. 21). Exemplo: Com 24 palitos de fósforo, forme 9

quadradinhos. Como fazer para tirar apenas 4 palitos e deixar 5 quadradinhos?

Resumo do esquema de POLYA (apud DANTE, 1998, p. 29 ):

Compreender o problema a) O que se pede no problema? b) Quais são os dados e as condições do problema? c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? d) É possível estimar a resposta? Elaborar um plano a) Qual é o seu plano para resolver o problema? b) Que estratégia você tentará desenvolver? c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a

resolver este?

d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos. e) Tente resolver o problema por partes. Executar um plano a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo. b) Efetue todos os cálculos indicados no plano. c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de

resolver o mesmo problema. Fazer o retrospecto ou verificação a) Examine se a solução obtida está correta. b) Existe outra maneira de resolver o problema? c) É possível usar o método empregado para resolver problemas

semelhantes?

Referências:

DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática,1998. POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas: Um novo aspecto do mé todo matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.

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