Universidade Estadual do Maranhão

Centro de Ciências Tecnológicas

Curso Engenharia de Produção

Disciplina Mecânica dos Sólidos

Professor Carlos Marinho

DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS

Ana Paula Mendes

Cód.: 101k129

Bernardo Gonçalves Júnior

Cód.: 101k228

Emanoel Marques

Cód.: 091k214

Marcelo Pestana

Cód.: 101k128

Michel de Oliveira

Cód.: 111K110

São Luís – MA

2012

2

Ana Paula Mendes

Cód.: 101k129

Bernardo Gonçalves Júnior

Cód.: 101k228

Emanoel Marques

Cód.: 091k214

Marcelo Pestana

Cód.: 101k128

Michel de Oliveira

Cód.: 111K110

DEFLEXÃO DE VIGAS E EIXOS

Trabalho desenvolvimento

para obtenção da 3a nota da

disciplina Mecânica dos Sólidos,

ministrada pelo prof. Carlos

Marinho.

São Luís – MA

2012

3

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 4

2. LINHA ELÁSTICA .................................................................................................. 4

3. RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA ................................................................. 6

4. INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA INTEGRAÇÃO

DIRETA ....................................................................................................................... 8

5. MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO ........................................................................... 13

6. MÉTODO DAS FUNÇÕES DE DESCONTINUIDADE ........................................ 17

7. CONCLUSÃO ........................................................................................................ 22

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 22

4

1. INTRODUÇÃO

Normalmente é preciso estabelecer limites para o valor da deflexão que uma

viga ou um eixo podem suportar quando submetidos a cargas. O interesse da

determinação da deflexão, em uma viga sujeita a um determinado carregamento, está no

fato de que as especificações do projeto de uma viga incluem um valor máximo

admissível para esta deflexão.

A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga em relação a

sua posição inicial. Devido a isto, deve-se freqüentemente limitar os valores de deflexão

de maneira a impedir desalinhamentos em elementos de máquinas, e deflexões

excessivas de vigas em prédios na construção civil. A determinação da máxima

deflexão flexional e inclinação em eixos são de extrema importância, visto que a

excessividade das mesmas pode resultar na falha do sistema mecânico.

Existem diversos métodos para determinar a deflexão e a inclinação em pontos

específicos de vigas e eixos. Os métodos analíticos incluem o método da integração

direta, método da superposição e o uso de funções de descontinuidade. O objetivo deste

trabalho é apresentar estes métodos.

2. LINHA ELÁSTICA

O diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada

área da seção transversal da viga é denominado linha elástica. Ao fazer o digrama é

necessário saber como os vários tipos de apoio limitam a inclinação ou deslocamento.

Em geral, os apoios que resistem a forças, como um pino, limitam o deslocamento e os

que resistem a momento, como uma parede, limitam a rotação ou a inclinação, bem

como o deslocamento. Na Figura 1 tem-se dois exemplo típicos de linhas elásticas de

vigas (ou eixos) com carga.

Figura 1

5

Caso a linha elástica da viga seja difícil de traçar, sugere-se desenhar

primeiramente seu diagrama de momento fletor. A convenção de sinal estabelecida é

mostrada na Figura 2 abaixo, o momento fletor interno positivo tende a curvar a viga

com a concavidade para cima (Figura 2a), enquanto que o momento fletor negativo

tende a curvá-la com a concavidade para baixo (Figura 2b).

Figura 2

Dessa forma, se o diagrama de momento fletor for conhecido, será mais fácil

construir a linha elástica; por exemplo, considere a viga da Figura 3a e seu diagrama de

momento fletor, mostrado na Figura 3b abaixo. Devido aos apoios de rolete e de pino, o

deslocamento em B e D deve ser nulo. Na região de momento negativo, AC (Figura 3b),

a linha elástica deve ser côncava para baixo; n região de momento positivo, CD, ela

deve ser côncava para cima. Portanto, deve haver um ponto de inflexão no ponto C,

onde a curva muda a concavidade de cima para baixo, uma vez que se trata de um ponot

em que o momento fletor é nulo. Com base nesses fato, a linha elástica da viga é

desenhada em escala exagerada na Figura 3c.

Figura 3

6

Deve ser observado que os deslocamento ∆A e ∆E são especialmente críticos. No

ponto E a inclinação da curva elástica é nula, logo a deflexão da viga deve ser máxima.

O fato de ∆E ser realmente maior que ∆A ou não, depende das intensidade de P1 e P2 e

da localização do rolete em B.

3. RELAÇÃO MOMENTO-CURVATURA

Primeiramente, para deduzir a relação entre o momento fletor interno da viga e o

raio de curvatura ρ da linha elástica em um determinado ponto requer o uso de três

coordenadas. Como mostra a Figura 4a, a o eixo x e positivo para a direita, ao longo do

eixo longitudinal da viga, incialmente reto; ele é usado para localizar o elemento

infinitesimal que tem largura não deformada dx. O eixo v é positivo para cima a partir

do eico x; ele mede o deslocamento do centróide da área da seção transversal do

elemento. Finalmente uma coordenada y é usada para especificar a posição de uma fibra

no elemento da viga; ela é positiva para cima a partir do eixo neutro, como mostra a

Figura 4b.

Figura 4

Em seguida, limita-se a análise a um caso bem comum: uma viga incialmente

reta deforma-se elasticamente pelas cargas aplicas perpendicularmente ao seu eixo x,

localizado no plano de simetria x–v da área da seção transversal. Devido ao

carregamento, a deformação da viga é provocada tanto pela força de cisalhamento

interna como pelo momento fletor. Se a viga tiver comprimento muito maior que sua

7

altura a maior deformação será provocada pela flexão e, portanto, concentra-se a

atenção em seus efeitos.

Quando o momento fletor interno M deforma o elemento da viga, o ângulo entre

as seções transversais torna-se dθ (Figura 4b). O arco dx representa a parte da linha

elástica que intercepta o eixo neutro em cada seção transversal. O raio de curvatura

desse arco é definido como a distância ρ, medida do centro de curvatura O´ para dx.

Qualquer outro arco do elemento estará sujeito a uma deformação normal. Por exemplo,

a deformação no arco ds, localizado a uma distância y do eixo neutro, é ϵ = (ds´ –

ds)/ds. No entanto, ds = dx = ρdθ e ds´ = (ρ – y)dθ, assim, ϵ = [(ρ – y)dθ – ρdθ] / ρdθ,

ou:

Se o material é homogêneo e comporta-se de maneira linear-elástica, aplica-se a

lei de Hooke (ϵ = σ/E). Além disso, aplica-se a fórmula da flexão, σ = -My/I.

Combinando essas duas equações e substituindo-as na Eq. (1), tem-se:

Em que M é o momento fletor interno da viga no pronto em que ρ deve ser

determinado; E é o módulo de elasticidade do material; e I é o momento de inércia da

viga calculado em torno do eixo neutro.

O produto EI na Eq. (2), denominado rigidez à flexão, é sempre uma quantidade

positiva. O sinal de ρ depende, portanto, da direção do momento fletor. Como mostra a

Figura 5, quando M é positivo, ρ prolonga-se para cima da viga, isto é, na direção

positiva de v; quando M é negativo, ρ prolonga-se para baixo da viga, ou na direção

negativa de v.

Figura 5

8

4. INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO PELO MÉTODO DA INTEGRAÇÃO

DIRETA

A linha elástica de uma viga é expressa matematicamente como v = f(x). Para

obter essa equação, deve-se primeiro representa a curvatura (1/ρ) em termo de v e x.

Segundo os livros de cálculo, essa relação consiste em:

Substituindo na Eq. (2), tem-se:

A Eq. (3) representa uma equação infinitesimal não-linear de segunda ordem.

Sua solução, denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica, admitindo-se,

naturalmente, que as deflexões da viga ocorram somente devido à flexão. Por meio da

matemática superior, foram obtidas soluções da elástica apenas para casos simples de

geometria e carregamento de vigas.

A fim de facilitar a solução de um número maior de problemas de deflexão, a

Eq. (4) pode ser modificada. A maioria das normas de projeto da engenharia especifica

os limites de tolerância e estética das deflexões e, como resultado, as deflexões da

elástica para a maioria das vigas e dos eixos formam uma curva rasa.

Consequentemente, a inclinação da curva elástica determinada por dv/dx é muito

pequena e seu quadrado desprezível em comparação com a unidade. Portanto, a

curvatura pode ser aproximada por 1/ρ = d2v/dx

2. De acordo como essa simplificação, a

Eq. (4) pode ser escrita como:

Também é possível escrevê-la de duas formas alternativas. Se diferenciarmos

cada lado da equação em relação a x e substituirmos V = dM/dx (cisalhamento em cada

ponto = declive do diagrama de momento em cada ponto), tem-se:

(

)

Diferenciando novamente e usando –w = dV/dx (–intensidade da carga

distribuída em cada ponto = declive do diagrama de cisalhamento em cada ponto), tem-

se:

9

(

)

Na maioria dos problemas, a rigidez à flexão é constante ao longo do

comprimento da viga. Logo, os resultados anteriores podem ser reordenados da seguinte

forma:

A solução de qualquer uma dessas equações requer integrações sucessivas para

se obter a deflexão v da linha elástica. Em cada integração é preciso introduzir uma

„constante de integração‟ e depois resolver todas as constantes para obter a solução

única de um problema em particular.

Ao aplicar as Eq. (8), (9) e (10), é importante usar os sinais adequados para M,

V e w, como estabelecido pela convecção de sinal usada na dedução dessas equações

(ver Figura 6a). Além disso, lembre-se de que a deflexão positiva v é para cima e, como

consequência, a inclinação positiva do ângulo θ é medida no sentido anti-horário a partir

do eixo x, que, por sua vez, é positivo para a direita. A razão de tal condição é mostrada

na Figura 6b; neste caso, os aumentos positivos dx e dv em x e v dão origem ao

aumento de θ no sentido anti-horário. Por outro lado, se x positivo for orientado para a

esquerda, então θ será positivo no sentido horário (Figura 6c).

Figura 6

10

As constantes de integração são determinadas pelo cálculo das funções de

cisalhamento, momento fletor, inclinação ou deslocamento em certo ponto da viga no

qual o valor de tal função seja conhecido. Esses valores são chamados condições de

contorno. Várias condições de contorno possíveis usadas com frequência para resolver

problemas de deflexão de vigas (ou eixos) estão relacionadas na Tabela 1 abaixo.

Tabela 1

Se uma única coordenada x não puder ser usada para expressar a equação da

inclinação ou da linha elástica, então devem ser usadas condições de continuidade para

calcular algumas constantes de integração.

Portanto, para determinar a inclinação e a deflexão da viga (ou do eixo) pelo método

da integração direta, usa-se o seguinte procedimento:

1. Lina Elástica

a. Desenhar uma vista exagerada da linha elástica da viga. Lembrar que

ocorrem inclinação e deslocamento nulos em todos os apoios fixos e

ocorre deslocamento nulo em todos os apoios de pino e de rolete.

11

b. Estabelecer os eixos de coordenadas x e v. O eixo x deve ser paralelo à

viga sem deflexão e pode ter origem em qualquer ponto ao longo dela,

com sentido positivo tanto para a direita como para a esquerda.

c. Se estiverem presentes diversas cargas descontínuas, estabelecer

coordenadas x que sejam válidas para cada região da viga entre as

descontinuidades. Escolher as coordenadas de modo que simplifiquem o

trabalho algébrico subsequente.

d. Em todo os casos, o eixo v associado positivo deve ser orientado para

cima.

2. Função do Carregamento ou do Momento Fletor

a. Em cada região em que haja uma coordenada x, expressar a carga w ou o

momento fletor M em função de x.

b. Em particular, supor que M sempre atua na direção positiva ao aplicar a

equação de equilíbrio de momento fletor para determinar M = f(x).

3. Inclinação e Linha Elástica

a. Desde que EI seja constante, aplicar tanto a equação de carga, Eq. (8),

que requer quatro integrações para obter v = v(x), como a equação de

momento, Eq. (10), que exige apenas duas integrações. É importante

incluir em cada integração uma constante de integração.

b. Calcular as constantes usando as condições de contorno para os apoios e

as condições de continuidade que se aplicam à inclinação e ao

deslocamento nos pontos em que as duas funções se encontram. Uma vez

que as constantes estejam determinadas e substituídas nas equações da

inclinação e da deflexão, podem-se determinar a inclinação e o

deslocamento em pontos específicos da linha elástica.

c. Verificar graficamente os valores numéricos obtidos comparando-os com

o desenho da linha elástica. Observar que os valores positivos da

inclinação serão no sentido anti-horário se a direção do eixo x for

positiva para a direita, e no sentido horário se a direção do eixo x for

positiva para a esquerda. Em qualquer caso, o deslocamento positivo é

para cima.

Exemplo:

A viga em balanço mostrada na Figura 7 está submetida a uma carga vertical P

na exterminada. Determinar a equação da linha elástica. EI é constante.

12

Figura 7

Solução:

Linha Elástica – A carga tende a defletir a viga como mostra a figura acima. Por

inspeção, tem-se que o momento fletor interno pode ser representado em toda a

viga por meio de uma única coordenada x.

Função do Momento Fletor – Pelo diagrama de corpo livre, com M atuando na

direção positiva (Figura 8), tem-se:

M = – Px

Figura 8

Inclinação e Linha Elástica – Aplicando a Eq. (10) e integrando duas vezes, tem-

se:

Para condições de contorno dv/dx = 0 em x = L e v = 0 em x = L, as Eq. (b) e (c)

tornam-se:

13

Assim, C1 = PL2/2 e C2 = –PL

3/3. Substituindo esses resultados nas Eq. (b) e (c)

com θ = dv/dx, tem-se:

5. MÉTODO DA SUPERPOSIÇÃO

A equação diferencial Eq. (8) satisfaz os dois requisitos necessários para a

aplicação do princípio da superposição de efeitos, ou seja, a carga w(x) relaciona-se

linearmente à deflexão v(x) e supõe-se que ela não altere significativamente a geometria

original da viga ou do eixo. Como resultado, as deflexões de uma série de cargas

separadas que atuam sobre uma viga podem ser superpostas. Por exemplo, se v1 for a

deflexão de uma carga e v2 a deflexão de outra, a deflexão total para ambas as cargas

atuando juntas é a soma algébrica v1 + v2. Usando resultados tabelados para vários

carregamentos de viga, como os mostrados nas tabelas 2 e 3 abaixo, ou aqueles

encontrados em vários manuais de engenharia, é possível determinar a inclinação e o

deslocamento em um ponto de uma viga sujeita a diversos carregamentos diferentes

adicionando algebricamente os efeitos de seus vários componentes.

14

Tabela 2

15

Tabela 3

Exemplo: Determinar o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga

mostrada na Figura 9. Considerar EI constante.

16

Figura 9

Solução:

O carregamento pode ser separado em duas partes como mostra a Figura 10

abaixo.

Figura 10

Assim, determina-se o deslocamento em C e a inclinação em A aplicando as

tabelas acima a cada parte.

Para a carga distribuída:

Para a força concentrada de 8kN:

17

O deslocamento total em C e a inclinação em A são as somas algébricas desses

componentes. Então:

6. MÉTODO DAS FUNÇÕES DE DESCONTINUIDADE

As funções de singularidade são excelentes para manejar descontinuidades,

sendo que sua aplicação é uma simples extensão do método da superposição. Podem

simplificar bastante os problemas estaticamente indeterminados.

O método das funções de singularidade consiste em criar uma equação global de

momento fletor para a viga, e a partir dela determinar a deflexão e a inclinação da viga.

Primeiro, adota-se uma origem, que deve ser fixa, e todas as equações de momento

devem partir dela. No último ponto, a equação de momento inclui todos os termos, e

esta equação é que será utilizada. Assim obtém-se uma equação diferencial que

relaciona momento fletor e deflexão. Depois, integra-se a equação diferencial uma vez

para obter a equação da inclinação, e duas vezes para obter a deflexão (a inclinação é a

derivada primeira da deflexão em relação a posição).

Considere o exemplo da Figura 11: uma viga de comprimento L, biapoiada,

submetida a um carregamento qualquer. Define-se a equação de momento fletor para a

viga, com a origem em “a”.

Figura 11

18

Trecho ab:

2

².. 1

1

xqxRM ; 0 ≤ x ≤ L

A partir da equação de momento basta utilizarmos a equação diferencial

conhecida para determinarmos a deflexão y em qualquer x da viga, sabendo que as

condições de contorno são obtidas fazendo y = 0 nos apoios.

Mdx

ydIE

²

²..

Porém, há uma restrição na determinação desses parâmetros: Conforme as

funções de singularidade, deve-se utilizar corretamente os termos obtidos, pois foi

utilizada uma única equação, que por sua vez se originou de vários termos, que por sua

vez tinham restrições.

Por exemplo, considere a viga e o carregamento a seguir (Figura 12):

Figura 12

Para este carregamento, podemos desenvolver as seguintes equações:

Trecho ab:

xRM .1 ; 0 ≤ x ≤ 2

Trecho bc:

)2.(. 11 xPxRM ; 2 ≤ x ≤ 5

Trecho cd:

)5.()2.(. 211 xPxPxRM ; 5 ≤ x ≤ 7

Observe que a terceira equação (do último trecho) engloba as equações do

primeiro e do segundo trechos. Assim, podemos considerá-la como a equação global de

momento fletor da viga, com a ressalva de utilizarmos, no cálculo da deflexão, o

19

segundo termo apenas para valores de x maiores do que 2 e o terceiro termo apenas para

valores de x maiores do que 5, conforme as funções de singularidade.

A equação do primeiro trecho vale para todos; a equação do segundo trecho só

não vale para o primeiro, e assim por diante. Por isso, quando há carga distribuída no

início da viga, é necessário completar o carregamento até o final, pois o termo que o

carregamento distribuído gera deve valer até o final. Observe o exemplo (Figura 13):

Figura 13

Para este carregamento, temos as equações (origem em a):

Trecho ab:

2

².. 11

xqxRM ; 0 ≤ x ≤ 4

O carregamento distribuído acaba em x = 4m, porém este termo valerá até o final

dos cálculos, por ser o primeiro trecho. Assim, deve-se completar o carregamento até o

final da viga, e deve-se também colocar o carregamento oposto ao que foi adicionado,

para que o resultado do carregamento seja equivalente ao original, ou seja, adiciona-se e

retira-se a mesma carga como artifício de cálculo.

Trecho bc:

2

)²4(.

2

².. 111

xq

xqxRM ; 4 ≤ x ≤ 6

Trecho cd:

)6.(2

)²4(.

2

².. 1111

xP

xq

xqxRM ; 6 ≤ x ≤ 8

Esta última equação é a que representa o momento fletor para este carregamento,

claro que obedecendo as restrições das funções de singularidade. Obedecendo essas

restrições, basta substituir x nas equações de deflexão e inclinação para determiná-las.

20

Exemplo: Para a viga de 10 m submetida a uma força F=100 kgf, determinar as

deflexões nas seções A, B (seção de entalhe) e C, assim como seus ângulos de

inclinação, sabendo que 4

1 1,0 mI e 4

2 2,0 mI .

Dados ²/10.1,2 6 cmkgfE

Figura 14

Solução:

Reações de apoio no engaste: a força vertical é igual a F = 100 kgf e M = 1000

kgf.m

Equação de momento fletor: há uma única para a viga:

1000.100 xM [kgf.m]

Como I varia com x, precisamos determinar a função xI

M, para então

podermos utilizar a relação xI

M

dx

ydE

²

².

Trecho AB:

5000.5002,0

1000100

x

x

I

M; 0 ≤ x ≤ 5

Trecho BC:

10000.10001,0

1000.100

x

x

I

M; 5 ≤ x ≤ 10

Existe uma descontinuidade no ponto x=5, como podemos ver no gráfico.

Necessita-se, então, expressar de forma única essa função, utilizando funções de

singularidade:

21

Figura 15

00 )5.(7500)5.(1000)5.(5000)5.(5005000.500 xxxxxI

M

)5.(500)5.(25005000.500 0 xxxxI

M

Resolvendo a equação diferencial:

)5.(500)5.(25005000.500²

². 0 xxxx

I

M

dx

ydE

1)²5.(250)5.(25005000².250. Cxxxxdx

dyE (1)

Mas como 00 10

C

dx

dyx

23

)³5.(250)²5.(1250².2500

3

³.250)(. C

xxx

xxyE

(2)

Mas como 00)0( 2 Cy

Substituindo os valores de x de B e C nas equações 1 e 2 :

myB 0248,0 ; radB

310.929,8

myC 089,0 ; radC

310.881,14

22

7. CONCLUSÃO

No presente trabalho foi mostrado alguns dos diversos métodos para

determinação da deflexão flexional e inclinação para eixos escalonados sujeitos há um

ou mais carregamentos.

Em projetos de eixos, dentre as diversas restrições que são impostas para que o

eixo possa trabalhar nas condições de operação necessárias, uma delas é a relação da

máxima deflexão flexional admitida e também para a máxima inclinação permitida para

o eixo. Por esses motivos que se torna necessário a determinação da deflexão flexional e

da inclinação do eixo.

Através da utilização dos métodos da energia, superposição e singularidade,

chegamos aos mesmos resultados, verificando-se assim que qualquer um dos métodos

pode ser aplicado, e que, dependendo da situação, um método em particular será de

mais fácil utilização.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais. 3.º Ed., Makron

Books, 1995.

HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 5.º Ed., Editora Pearson Prentice Hall,

2004.

PROENÇA, A. R.; OLIVEIRA, G. A. e GOULART, G.R. Métodos de determinação

de deflexão flexional e inclinação: Aplicação em viga escalonada. Uberlândia, 2010.