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Demonstração Algébrica das Fórmulas de Soma e Subtração dos Arcos Trigonométricos.

Rodrigo R. Gonçalez

ABSTRACT: Due to the great difficulty by the students of Basic Education in understanding the demonstration of such relationships by rotating the Cartesian Axes, thought to be important to conduct such a demonstration using tools that are simpler and principle common to High School students: Law of Cosines and the Pythagorean Theorem. Here's the proposal.

1. Introdução. Devido à grande dificuldade por parte dos alunos da educação básica em compreender a demonstração de tais relações mediante a rotação dos eixos cartesianos, pensei ser importante realizar tal demonstração utilizando ferramentas que a princípio são mais simples e comuns a alunos do Ensino Médio: Lei dos Cossenos e o Teorema de Pitágoras. Eis a proposta. 2. O Ciclo Trigonométrico e Relações Algébricas em Triângulos.

Seja o ciclo trigonométrico de raio unitário 1OA OB , conforme figura abaixo.

Figura 1.

2

Temos as seguintes relações:

; cos ; ( ) ; cos( ) ( )sen b a sen d c I

Seja o triângulo OAB conforme a figura abaixo. Vemos claramente que se trata de um

triângulo isósceles, pois 1OA OB . Chamemos o segmento AB x . Vamos aplicar a Lei dos Cossenos a esse triângulo em relação ao ângulo .

Figura 2.

( )² ( )² ( )² 2 ( ) ( ) cos

² 1² 1² 2.1.1.cos

² 2 2.cos ( )

AB OA OB OA OB

x

x II

Tomemos agora o triângulo CAB , o qual é retângulo em C . Pela figura, observamos que a hipotenusa do triângulo é x , e os catetos medem respectivamente,

AC a c e BC d b :

3

Figura 3. Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras neste triângulo:

( )² ( )² ( )²

² ( )² ( )²

² ² 2. . ² ² 2. . ²

² ² ² ² ² 2. . 2. .

AB AC BC

x a c d b

x a a c c d b d b

x a b c d a c b d

De (I), podemos fazer:

² ² ² ² ² 2. . 2. .

² cos² ² cos²( ) ²( ) 2.cos .cos 2. .

: ² cos² 1

² [cos² ² ] [cos²( ) ²( )] 2.cos .cos( ) 2. .

x a b c d a c b d

x sen sen sen sen

Da relação fundamental da trigonometria sen

x sen sen sen s ( )

² 1 1 2.cos .cos( ) 2. . ( )

² 2 2.cos .cos( ) 2. . ( ) ( )

en

x sen sen

x sen sen III

Agora, basta fazermos a intercessão de (II) e (III):

4

2 2.cos 2 2.cos .cos( ) 2. . ( )

12.cos 2.cos .cos( ) 2. . ( ) .

2

cos cos .cos( ) . ( )

cos cos ( ).

( ) ( ). :

cos [ ( )] cos .cos( )

sen sen

sen sen

sen sen

Sabemos que

Seja Logo

sen . ( )

. :

(1) cos( ) cos .cos .

sen

Podemos fazer e Então

sen sen

Eis a primeira relação. Para encontrarmos as demais relações, vamos apenas fazer algumas substituições nos próprios ângulos dados. 3. Obtendo as demais relações por substituição de arcos. Substituindo em (1) por , temos: cos[ ( )] cos .cos( ) . ( )

cos( ) cos ( ) . :

(2) cos( ) cos .cos .

sen sen

Sabemos que e sen sen Então

sen sen

Vamos, agora, substituir em (1) por 2

. Temos:

5

cos cos .cos .2 2 2

, :

cos cos2 2

.

:

cos2

sen sen

Mas sabemos que

sen e sen

Essas relações são facilmente demonstradas em triângulos retângulos

Fazendo

cos ( ) cos ( ) ( )2 2

:

(3) ( ) .cos .cos

sen

Então

sen sen sen

Agora, basta substituirmos em (3) por :

.cos( ) ( ).cos

, cos( ) cos ( ) . :

(4) ( ) .cos .cos

sen y sen sen

Novamente temos que e sen sen Logo

sen sen sen

Eis, assim, as quatro relações em termos do seno e do cosseno da soma e da diferença de dois arcos:

(1) cos ( ) cos cos

(2) cos ( ) cos cos

(3) ( ) cos cos

(4) ( ) cos cos

sen sen

sen sen

sen sen sen

sen sen sen

6

Podemos, através dessas quatro relações, obter todas as demais. Por exemplo, a tangente da soma e a tangente da diferença dos arcos.

( ) .cos .cos( )

cos( ) cos .cos .

sen sen sentg

sen sen

Dividindo o numerador e o denominador por cos .cos :

.cos .cos

cos .cos cos .cos cos cos( )

cos .cos . 1 .1 .cos .cos cos .cos cos cos

( )1 .

, :

( )1

sen sen sen sen

tg tgtg

sen sen sen sen tg tg

tg tgtg

tg tg

Da mesma forma obtemos

tg tgtg

t

.g tg

BIBLIOGRAFIA CARMO, Manfredo P., MORGADO, Augusto C., WAGNER, Eduardo. Trigonometria e os Números Complexos. Coleção do Professor de Matemática, 3 ed.. Rio de Janeiro. Sociedade Brasileira de Matemática, 1993.