BASES MATEMATICAS

Enunciado: Prove que |x + y| ≤ |x|+ |y|.

Pela definicao de valor absoluto

|x| ={

x se x ≥ 0−x se x < 0

|y| ={

y se y ≥ 0−y se y < 0

entao

|x|+ |y| =

x + y se x ≥ 0 e y ≥ 0x− y se x ≥ 0 e y < 0−x + y se x < 0 e y ≥ 0−x− y se x < 0 e y < 0

e

|x + y| ={

x + y se x + y ≥ 0−x− y se x + y < 0

Estudando todos os casos:

1o caso) |x + y| ≤ x + y se x ≥ 0 e y ≥ 0Se x ≥ 0 e y ≥ 0 entao x + y ≥ 0. Logo, a comparacao a ser feita e com |x + y| = x + y.Portanto, e trivial que x + y ≤ x + y.

2o caso) |x + y| ≤ x− y se x ≥ 0 e y < 0Neste caso nao e possıvel saber qual a condicao de |x + y| deve ser analisada, portanto, analisemosambas.i) x + y ≤ x− y ⇒ y ≤ 0ii) −x− y ≤ x− y ⇒ x ≥ 0No primeiro caso a desigualdade e valida caso y ≤ 0 sem depender do valor de x. No segundo caso adesigualdade e valida caso x ≥ 0 sem depender do valor de y. Portanto, ambos os casos sao validosno dominio {x ≥ 0 e y < 0} e |x + y| ≤ x− y.

3o caso) |x + y| ≤ −x + y se x < 0 e y ≥ 0Neste caso nao e possıvel ter certeza sobre a condicao de |x + y| a ser analisada, portanto, analisemosambas.i) x + y ≤ −x + y ⇒ x ≤ 0ii) −x− y ≤ −x + y ⇒ y ≥ 0No primeiro caso a desigualdade e valida caso x ≤ 0 sem depender do valor de y. No segundo caso adesigualdade e valida caso y ≥ 0 sem depender do valor de x. Portanto, ambos os casos sao validosno dominio {x < 0 e y ≥ 0} e |x + y| ≤ −x + y.

4o caso) |x + y| ≤ −x− y se x < 0 e y < 0Se x < 0 e y < 0 entao x + y < 0. Logo a comparacao a ser feita e com |x + y| = −x− y.Portanto, e trivial que −x− y ≤ −x− y.

Apos demonstrar a veracidade da propriedade em todos os casos possıveis, conclui-se que |x + y| ≤|x|+ |y|.

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Outra forma de demonstrar a propriedade

E facil notar que |x| ≥ x e |y| ≥ y. Somando, entao, membro a membro essas desigualdade obtemosque |x| + |y| ≥ x + y. De forma analoga, podemos escrever |x| ≥ −x e |y| ≥ −y, donde resulta,efetuando a soma membro a membro, que |x| + |y| ≥ −(x + y). Daı, podemos afirmar, com todacerteza que |x| + |y| e maior ou igual a max{x + y,−(x + y)}. Mas, por definicao de valor absoluto,|x + y| = max{x + y,−(x + y)}. Portanto, |x|+ |y| ≥ |x + y|.

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