CENTRO DE ENSINO MÉDIO 03 DO GAMAPROFESSOR: RONALDO LUIZ - DEPENDÊNCIA DE 2ª SÉRIE - 2008

CRONOGRAMA DE ATIVIDADESRecebimento do trabalho Entrega do trabalho e

realização da provaAula de retirada de

dúvidasTRABALHO I 13/06 01/08 29/07TRABALHO II 01/08 29/08 26/08TRABALHO III 29/08 19/09 16/09TRABALHO IV 19/09 17/10 14/10

CONTEÚDOSTRAB. I – Função exponencial e logarítmicaTRAB. II – TrigonometriaTRAB. III – Matrizes e DeterminantesTRAB. IV – Geometria Espacial

OBSERVAÇÕES

1) O regime de dependência estará sendo cumprido de forma indireta, onde o aluno é responsável por estudar o assunto especificado, fazer as atividades especificadas e fazer as provas estabelecidas;

2) A aprovação no regime de dependência depende de obtenção de média igual ou superior a 5,0 (cinco) pontos;3) Os trabalhos correspondem a 30% da média (3,0 pontos) e as provas correspondem a 70% da média (7,0

pontos);4) Cada trabalho, será colocado à disposição na data da entrega do anterior e da realização da prova referente a

este, na xerox da escola e no site www.exatascem03.xpg.com.br;5) É importante lembrar que, conforme o regimento de ensino das escolas públicas do Distrito Federal, a

aprovação na série cursada depende de aprovação nas disciplinas cursadas no regime de dependência;6) A entrega dos trabalhos e realização das provas acontecerão nas datas marcadas, sempre às 11:00 horas, na

sala 25;7) As aulas de retirada de dúvidas acontecerão nas datas marcadas, sempre às 14:30 horas, na sala que estiver

disponível.8) O trabalho não poderá ser entregue na mesma folha de perguntas e deverá ser decentemente feito, com

capa, digitado ou com letra legível, etc.

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Disc: Matemática FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMICA

DEPENDÊNCIA DA 2ª SÉRIE – TRABALHO I 3ª série Turma: Data: / / Aluno(a): Pontuação:

01) O tempo de circulação de sangue (em segundos) de um mamífero (o tempo médio que todo o sangue leva para circular uma vez e voltar ao coração) é proporcional à raiz quarta do “peso” do corpo do mamífero, isto é:

Para uma cliente cujo “peso” é de 5184 quilos, o tempo foi estimado em 150 segundos. Julgue os itens: ( ) A constante de proporcionalidade k deve ser 30. ( ) Um mamífero de 64 quilos tem o tempo de circulação superior a 1 minuto. ( ) um elefante de 1024 quilos tem o tempo de circulação igual a 100 segundos. ( ) A constante de proporcionalidade k deve ser 40.

02) Julgue os itens a seguir:

( )

( )

( )

( ) A inversa da função é a função .

03) Determine o domínio da função .

04) O gráfico ao lado ilustra o número de assinantes residenciais da Internet no Brasil, em milhares, nos últimos cinco anos. A partir desses dados, é importante obter um modelo matemático capaz de estimar o número de assinantes residenciais da Internet no Brasil em datas diferentes das fornecidas. Para isso, aproxima-se o número anual de assinantes, em

milhares, por uma função exponencial do tipo , em

que t é o ano, e = 2,718... é a base do sistema neperiano de logaritmos, A e k são constantes a serem determinadas. Considerando que F(1998) = 1600 e F(1999) = 2000, CALCULE, em centenas de milhares, a estimativa do número de assinantes no ano de 2003, desprezando a parte fracionária, caso exista.

05) Determine valor de

06) Suponha que o crescimento populacional de duas cidades, A e B, seja descrito pela equação , em

que: P0 é a população no início da observação; k é a taxa de crescimento populacional; t é o tempo medido em anos; o número e é a base do logaritmo natural; P(t) é a população t anos após o início da observação. Se no início de nossa observação a população da cidade A é o quíntuplo da população da cidade B, e se a taxa de crescimento populacional de A permanecer em 2% ao ano e a de B em 10% ao ano, em quantos anos, aproximadamente, as duas cidades possuirão o mesmo número de habitantes? Considere ln 5 = 1,6.

07) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é

plantada, segundo o modelo matemático: , com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas

árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte foi de:

a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2

08) Sendo a e b números reais positivos tais que e , calcule o valor de

09) Determine a solução da equação

10) Sabendo-se que log 2 = a e log 3 = b , então determine o valor de x na equação 16x = 81.

11) Um automóvel vale hoje R$ 20.000,00. Estima-se que seu valor (y) daqui a x anos seja dado pela função exponencial . Sabendo-se que o valor estimado para daqui a 3 anos é R$ 15.000,00 : a) Qual é o valor estimado para daqui a 6 anos?

b) Um outro automóvel tem um valor estimado (y) daqui a x anos, dado por . Daqui a quantos anos o

valor deste veículo se reduzirá à metade? Dado: log 2 = 0,3.

Número de assinantes

residenciais – em mil.

12) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 3 gramas por litro logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula

, na qual t é o tempo medido em horas, a partir do momento em que o nível foi constatado.

Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo se o limite permitido de álcool no sangue, para dirigir com segurança, é de 0,9 grama por litro? (dado: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)

13) O conjunto solução da equação é:

a) –1 e 2 b) –2 e 1 c) –2 d) 1 e)

14) Julgue os itens a seguir:

( 1 ) É correto afirmar que é igual a , pois

( 2 ) É correto afirmar que é igual a 6.

( 3 ) É correto afirmar que , x é igual a 4

( 4 ) É correto afirmar que na equação , apesar de o logaritmando ser negativo existe solução para

ela, que é igual a –100.

15) Julgue os itens abaixo:

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 ) Se , então 0 x 1.

16) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) b) 5 + c)

17) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido a desintegração radiativa.

Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por . Nessa sentença, M(t) é a

massa (em gramas) no tempo t (em anos), é a massa inicial e k é uma constante real. Determine o valor de k,

sabendo que após 66 anos tem-se apenas da massa inicial.

18) Escreva no parêntese a soma dos itens corretos.(01) x = y (08) x y

(02) x = y (16) x y , para todo a, a e a 1

(04) x y

soma dos itens corretos ( )

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Prof.: Ronaldo Luiz Disc: Matemática TRIGONOMETRIA

DEPENDÊNCIA DA 2ª SÉRIE – TRABALHO II 3ª série Turma: Data: / / Aluno(a): Pontuação:

01) Sabendo que , x , calcule senx e tgx.

02) Calcule o valor de

03) Uma curva, numa linha férrea, deve ser traçada em círculo. Qual a medida r do raio que deve ser dada ao círculo para que os trilhos medem 15º de direção numa distância de 157 m?

04) Se , então é igual a:

a) –2 b) 0 c) ½ d) 2 e) 4

05) Sabendo que , e que x 2 , calcule o valor de

06) Um observador estando L metros da base de uma torre, vê seu topo sob um ângulo de 60º. Afastando-se 100

metros em linha reta, passa a vê-lo sob um ângulo de 30º. Determine: , onde h é a altura da torre.

07) Se 0 x , julgue os itens:

1) ( )

2) ( ) cos ( - x) = cos x 3) ( ) sen ( + x) = - sen x 4) ( ) cos ( + x) = sen x

08) Sendo sen x = ½ , x Q , o valor da expressão cos2x . sec2x + 2.senx é: a) 0 b) 1 c) 3/2 d) 2

09) Julgue os seguintes itens: 1) ( ) Qualquer que seja o ângulo agudo , cos sen .

2) ( ) Se

3) ( ) Existe agudo, tal que cos = 1,5.

4) ( ) Existe , tal que

10) Julgue os itens seguintes:

1) ( ) se , então 1 cos

2) ( ) O valor da expressão , para cotg x = -1 e x 2 é y = 2.

3) ( ) Os valores reais de x para os quais sen x + cos x = 1 são , k Z.

4) ( ) se 0 e sen x = , então

11) Julgue os itens:

1) ( ) , para todo x onde a expressão está definida.

2) ( ) Se cos = 0,3 , então

3) ( )

4) ( )

12) Se sen x = , onde 0º x 90º então o valor da expressão é:

13) Julgue os itens a seguir: 1) ( ) sen 1º = cos 89º 2) ( ) tg 12º = cotg 88º 3) ( ) sen2x = sen x2 4) ( ) ( cos x )2 = cos x2

14) Se e são medidas de arcos trigonométricos tais que = 180º - , então julgue os itens a seguir: 1) ( ) A extremidade do arco de medida é um ponto do 1º quadrante e a do arco de medida é um ponto do 2º

quadrante. 2) ( ) As extremidades dos arcos de medidas e são simétricas em relação ao eixo das ordenadas. 3) ( ) As extremidades dos arcos de medidas e são simétricas em relação ao eixo das abscissas. 4) ( ) As extremidades dos arcos de medidas e são simétricas em relação à origem do plano cartesiano.

15) Qual é o sinal da expressão

16) Qual das expressões abaixo é idêntica a

a) sen x b) cos x c) tg x d) cossec x e) sec x f) cotg x

17) Se x pertence ao 4º quadrante e , então determine o valor da expressão

18) A expressão é equivalente a:

a) b) c) d) e)

19) Se x está no intervalo 0, e satisfaz , então o valor da tangente de x é:

a) b) c) d) e) f)

20) Calcule:

a) b)

21) Sendo e x , determine cos x .

22) Sabendo que 6.cos x - 1 = 4 , com x 2 .

23) Dado , 0 x , determine tg x .

24) Numa prova olímpica de lançamento de dardo, a trajetória descrita é representada graficamente por uma

parábola. A distância atingida é dada por: em que é o ângulo de lançamento, v é a velocidade

inicial, x, a distância em relação à horizontal e g, o valor da gravidade (considere g =10 m/s 2 ). Com uma velocidade inicial de 20 m/s, qual a maior distância obtida em três lançamentos consecutivos, sabendo-se que os ângulos de lançamento foram 30º, 45º e 60º?

25) Sabendo que sen x - cos x = a , calcule:a) sen x . cos x b)

26) Dado que tg x = -2 , calcule o valor de

27) Simplifique a expressão y =

28) O valor numérico de

29) Assinale a alternativa falsa:

a)

30) Calcule o valor da expressão , sendo x um arco do 2º quadrante e .

31) Verifique as seguintes identidades:

a) d)

b) e)

c)

32) Simplificando a expressão , obtém-se:

a) y = 2.cotg x b) y = 2.sen x c) y = 2.cos x d) y = 2.tg x e) y = 2.cossec x

33) A expressão:

a) 2.sen x b) 2.cos x c) 2.cossec x d) 2.tg x e) 2.sec x

34) Sabendo que e que x está no 1º quadrante, o valor de cotg x é:

a) e)

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Disc: Matemática

MATRIZES E DETERMINANTES

DEPENDÊNCIA DA 2ª SÉRIE – TRABALHO III 3ª série Turma: Data: / / Aluno(a): Pontuação:

MATRIZES1 – DEFINIÇÃO Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela pode ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.

Exemplos: 9 4 Matriz A Matriz B Matriz Ca) A3x2 = 5 6 do tipo b) B2x2 = 5 -4 do tipo c) C1x3 = || 4 -1 5 || do tipo 1 -3 3 x 2 3 -6 2 x 2 1 x 3

2. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA Uma matriz qualquer do tipo m x n pode ser representada da seguinte maneira:

a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n

Am x n = : : : : : : : : am1 am2 am3 ... amn

Como o quadro A é bastante extenso, a matriz m x n será representada abreviadamente por A = (aij)mxn , onde aij são os elementos da matriz A, onde i representa a linha e j a coluna, às quais cada elemento aij pertence.

3 – MATRIZES ESPECIAIS3.1 – Matriz quadrada

É toda matriz cujo número de linha é igual ao número de colunas. Diagonal secundária

a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33

Diagonal principalNuma matriz quadrada de ordem n, os elementos ai j tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e

os elementos ai j tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.3.2 – Matriz Identidade

1, se i = j In = (aij)mxn , tal que ai j = 0, se i ≠ jToda matriz identidade de ordem maior que 1 terá todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e todos

os demais elementos iguais a zero.Exemplo: 1 0 0

I3 = 0 1 0 0 0 1

3.3 – Matriz TranspostaSe A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A, a matriz de ordem n x m obtida trocando-se

ordenadamente as linhas pelas colunas. Indica-se transposta de A por At.

Exemplo: 1 2 1 -3 √2 A = -3 5 e At = √2 0 3x2 2 5 0 2x3

Podemos indicar At como:At = (bij)mxn , tal que bi j = ai j , i, j, e .

3.4 – Outras matrizes especiais Matriz Linha e Matriz Coluna – possui apenas uma linha ou apenas uma coluna, respectivamente.

Exemplo: 1A = 2 e B = ( 6 0 11 12 13 ) 1x5

3 3x1

Matriz Diagonal – é a matriz quadrada em que todos os elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos.Exemplo: 1 0 0

A = 0 4 0 0 0 5

Matriz Triangular – é a matriz quadrada em que todos os elementos situados em um mesmo lado da diagonal principal são iguais a zero.Exemplo: 1 0 0

A = 3 4 0 -7 2 5

Matriz Nula – é uma matriz m x n onde todos os elementos são nulos.Exemplo: 0 0 0

A = 0 0 0 0 0 0

4 – IGUALDADE DE MATRIZESDiz-se que Am x n = Bm x n quando A e B tiverem todos os seus elementos correspondentes iguais.Exemplo: 1 4 1 4

2 5 = 2 5 e 1 3 1 93 6 3 6 2 9 2 3

5 – OPERAÇÕES COM MATRIZES5.1 – Adição: Se duas matrizes A e B são de mesma ordem, denomina-se C = A + B cujos elementos de C são iguais à soma dos elementos correspondentes de A e B.

Exemplo:1 3 1 9 1+1 3+9 2 122 9 2 3 2+2 9+3 4 12

5.2 – Subtração: A – B = A +(-B)

≠

+ = =

Exemplo:1 3 1 9 1 3 -1 -9 0 -62 9 2 3 2 9 -2 -3 0 6

5.3 – Multiplicação de um número real por uma matriz – O produto de um K ∈ ℝ por uma matriz M é nova matriz onde cada elemento de M é multiplicado por K.

Exemplo: 1 4 4 16 4. 2 5 = 8 20

3 6 12 24

5.4 – Multiplicação de matrizes – Dadas as matrizes A = (aik)mxk e B = (bkj)kxn o produto de A por B é a matriz C =

(cij)mxn , tal que cada elemento cij é igual ao produto da linha i de A pela coluna j de B.OBS: So há produto de matrizes se o nº de colunas na primeira for igual ao nº de linhas de segunda.

Exemplo: 9 7 1 2 3 9.1+7.4 9. 2+7. 5 9. 3+7. 6 37 53 69 0 8 4 5 6 0.1+8.4 0. 2+8. 5 0. 3+8. 6 32 40 48

5.5 – Matrizes inversíveis ou invertíveis – Quando A.B = B.A = In dizemos que A e B são inversas, ou seja, B = A -1

e A = B-1. Portanto:A. A-1 = A-1.A = In

Se não existir a inversa, dizemos que a matriz não é invertível, ou seja, uma matriz singular.

DETERMINANTES

OBS: Só existe determinante de matriz quadrada.

1 – DETERMINANTE DE MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 1Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11].Por definição, o determinante de A é igual ao número a11.Indicamos assim: det A = a11.Exemplo: Dadas as matrizes A = [4] e B = [-2], escrevemos det A = 4; det B = -2; det A + det B = 4+(-2)=2.

2 – DETERMINANTE DE MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 2Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o produto dos elementos da

diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.Dada a matriz A = a11 a12 , indicamos seu determinante assim: a21 a22 det A = a11 . a22 - a12 . a21 ou a11 a12 a11 . a22 - a12 . a21 a21 a22

Exemplo: O determinante da matriz A (det A), sendo A = 6 3 , é dada por: 2 -4

det A = 6 3 = 6 . (-4) – 2 . 3 = -24 – 6 = - 30 2 -4

3 – DETERMINANTE DE MATRIZ QUADRADA DE ORDEM 3 (REGRA DE SARRUS) a11 a12 a13

Consideremos a matriz genérica de ordem 3: A = a21 a22 a23 . a31 a32 a33

Acompanhe como aplicamos a regra de sarrus: 1º Passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

a11 a12 a13 a11 a12 det A = a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32 2º Passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

+ + + a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 + ( a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21. a32 ) a31 a32 a33 a31 a32

Diagonal

- = =+

. = =

=

Principal Paralelas 3º Passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

- - - a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 - ( a13 . a22 . a31 + a11 . a23 . a32 + a12 . a21. a33 ) a31 a32 a33 a31 a32

Diagonal Secundária ParalelasAssim:

+ + + - - - a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22 + ( a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21. a32 ) a31 a32 a33 a31 a32

= - ( a13 . a22 . a31 + a11 . a23 . a32 + a12 . a21. a33 ) + ( a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21. a32 )

EXERCÍCIOS01 – Identifique o tipo ou a ordem das seguintes matrizes:

1 3 0 2 -6 2

a) 4 6 b) 5 4 1 c) ½ 1 5 10 -1 -3 -√2

0 0 -1 5

02 – Observe a matriz seguinte e responda:10 0 1 a) De que tipo ou ordem é a matriz dada ?√2 -3 4 b) Quais são os números da 1ª linha ? 1 6 √5 c) E os da 3ª coluna ?

d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª coluna ?e) E na 3ª linha e na 1ª coluna ?f) E na 1ª linha e na 3ª coluna ?

03 – Escreva as matrizes:a) A = (aij)2x3 tal que aij = i2+j2

b) M = (aij), com e tal que aij = 3i + 2j –5c) X = (aij)4x2 de modo que aij = 2i2-jd) A = (aij)4x4 tal que aij = 0 para i = j

aij = 1 para i ≠ j

04 – Considere a matriz quadrada 3 6 . Calcule a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o 2 10 produto dos elementos da diagonal secundária.

05 – Sabendo que a+b b+c 9 -1 , determine a, b, c e d. 2b 2a-3d 6 18

x 3 1006 – Determine y -1 -4

z 5 5

1 4 1 1 1 407 – Dadas as matrizes A = 0 -1 , B = 2 0 e C = -1 3 , determine:

a) 3A – 2B + C b) 2(A - B) - 4Cc) 3B – I2 d) 3(A – B) – 2(B – C)e) 2A – C + 2(A + B – C) f) A – B + 3I2

2 1 1 508 – Sendo A = 3 2 e B = 2 -2 , determine:

a) At + B b) 3 . At c) A + Bt d) (5A – B)t e) (3A)t – 3At f) – ( At + Bt)

09 – Determine os produtos: 1a) 6 5 2 4 b) 1 6 3 5 c) 3 ( 2 5 0 ) 1 0 1 3 -2 1 -1 2 6

10- Determine, se existir, a inversa de cada uma das seguintes matrizes:

1 3 5 10 1 2a) A = 0 2 b) B = 2 4 c) C = 1 3

11 – Calcule os determinantes:

=

+ =

. . .

a) 6 2 b) -3 -8 c) a a+1 d) sen x cos x 4 3 1 2 b b+1 -sen y cos y

3 2 -1 2 1 -2 a 0 0 2 2 0 e) 5 0 4 f) 3 -1 0 g) 0 b a h) 1 1 1

2 -3 1 4 1 -3 0 1 1 4 3 0

12 – Resolva as equações: x – 2 6 x + 3 5 2 3 -2 a) = 2 b) = 0 c) 0 1 x = 2

3 5 1 x – 1 2 x -3

x x x 5 x d) x x 3 = x 4 2 x2 -1

13 – O quadro abaixo registra os resultados obtidos por quatro times em um torneio em que todos se enfrentaram uma vez:

VITÓRIAS EMPATES

DERROTAS

AMÉRICA 0 1 2BOTAFOGO 2 1 0NACIONAL 0 2 1COMERCIAL 1 2 0

a) Represente a matriz A = (aij) correspondente.b) Qual é a ordem da matriz A ?c) O que representa o elemento a23 da matriz A ?d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitória do Comercial ?e) Considerando que um time ganha três pontos na vitória e um ponto no empate, calcule quantos pontos fez

cada time.f) Qual foi a classificação final do torneio ?

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Geometria Espacial

DEPENDÊNCIA DA 2ª SÉRIE – TRABALHO IV 3ª série Turma: Data: / / Aluno(a): Pontuação:

GEOMETRIA ESPACIAL

1. As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são 4 cm, 6 cm e 8 cm. Calcule:a) a medida de sua diagonalb) sua área lateralc) sua área totald) o seu volume

2. A diagonal da base de um prisma quadrangular regular mede 8 cm e sua altura tem 16 cm. Calcule:

a) a medida de uma diagonal desse sólido;b) a medida das diagonais das faces laterais;c) a sua área lateral;d) a sua área total;e) o seu volume.

3. A diagonal de um cubo mede 5 cm. Calcule o seu volume e a sua área total.

4. Quanto de papelão se gasta (em cm²) para fazer uma caixa de bombons, cuja forma e medidas estão na figura abaixo?

10 cm 2 cm 12 cm 25 cm5. Quantos m² de azulejo são necessários para revestir até o teto as quatro paredes de uma cozinha, com as

dimensões da figura abaixo? Sabe-se, também, que cada porta tem 1,60 m² de área e a janela tem uma área de 2 m².

2,70 m

3 m

4 m

6. Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule, aproximadamente, quantos m² de papelão serão necessários.

20 cm 20 cm 14 cm 40 cm 40 cm 14 cm 7. Quantos cm² de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10 cm de aresta?

10 cm

8. Calcule o volume e a área total de uma peça de metal cuja forma e medidas estão na figura abaixo:

8 cm

25 cm

20 cm

9. A aresta da base de uma pirâmide regular quadrangular mede 5 cm e sua altura, 4 cm. Determine:a) o apótema da base;b) o apótema da pirâmide;c) a área lateral;d) a área total;e) o volume.

10. O apótema de uma pirâmide triangular regular mede 5 cm e a área lateral dessa pirâmide é 15 cm². Determine:a) a medida da aresta da base;b) a medida da aresta lateral;c) a área total;d) a altura da pirâmide;e) o volume.

13. O apótema da base de um tetraedro regular mede cm. Ache:

a) sua aresta; b) seu apótema; c) sua altura; d) sua área lateral; e) sua área total; f) seu volume.

14. A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande Pirâmide do Egito. Sua base tem aproximadamente 230 m de aresta e sua altura é de 147 m. Qual o volume dessa pirâmide?

15. A altura de um cilindro reto é 12 cm e o raio de sua base mede 5 cm. Calcule:a) a área lateral;b) a área total;c) o volume.

16. Sabe-se que a área da base de um cilindro eqüilátero é 9π cm². Determine:a) sua área lateral; b) sua área total; c) seu volume.

17. A base de um cilindro reto tem 4 cm de diâmetro. A altura do cilindro é, também, 4 cm. Calcule:a) a área das bases;b) a área lateral;c) a área total;d) o volume.

18. Duas latas têm forma cilíndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da outra, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro da lata mais baixa.

Em qual das duas latas se utiliza menos material?

19. Um galão de vinho de forma cilíndrica tem o raio da base igual a 2,5 m e sua altura é 2 m. Se apenas 40% do seu volume está ocupado por vinho, qual é a quantidade de vinho existente na pipa, em litro? (obs.: 1 dm³ = 1 litro)

20. Uma indústria produz latas com a forma de paralelepípedo cujas medidas estão na figura I. Deseja-se modificar a forma das latas, passando-se a fabricar latas cilíndricas cujas medidas estão na figura II. Qual das duas embalagens utiliza menos material? Qual delas tem maior capacidade?

30 cm 30 cm

20 cm 20 cm 20 cm

21. A geratriz de um cone circular reto mede 10cm e sua área total é 96π cm². Calcule, para este cone:a) o raio da base;b) a altura;c) a área lateral;d) a área total;e) o volume.

22. A área da base de um cone eqüilátero é 16π cm². Determine, para este cone:a) a altura; c) o raio;b) a geratriz;c) a área lateral;d) a área total;e) o volume;f) a área da secção meridiana.

23. Um bar da cidade, em ser reveillon, ofereceu a seus brincantes um barril de chope que foi servido em tulipas:O barril tinha formato de um cilindro circular reto com 20 cm de raio (R) e 30 cm de altura (H);A tulipa tinha formato de um cone reto com 3 cm de raio (R) e 10 cm de altura (h).Com base nesses dados, pergunta-se:

a) Qual o volume do barril?b) Qual o volume da tulipa?c) Quantas tulipas foram servidas desse barril, admitindo-se que não houve perda?

H h

24. Sabendo que a circunferência de um círculo máximo de uma esfera tem comprimento 16π cm, calcule:a) a área da superfície esférica;b) o volume da esfera.

25. O diâmetro de uma esfera mede 10dm. Determine:a) a área de sua superfície;b) a área de um círculo máximo;c) o volume.