Derivada de Funções
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Derivada de Funções
. Derivada de uma função do 1.º grau
A derivada de uma função do 1.° grau é igual ao coeficiente de x.
f(x) = ax + b →f’(x) = a
4. Derivada da função potência
A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico “n", é verificada pela definição de
derivadas e pelo binômio de Newton.
f(x) = xn→ f’(x) = n . xn-1
5. Derivada do produto de função por uma constante
A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada
da função.
g(x) = K . f(x) →g(x) = K . f (x)
6. Derivada da soma de funções
A derivada de uma soma de unções é igual à soma das derivadas dessas funções.
f(x) = u(x) + v(x)→ f(x) = u(x) + v(x)
7. Derivada da função potência
Sendo u uma função real de x, e sendo n um número real, então a derivada da função y = un é dada por y
= un→ y’ = n . un-1 . u’ onde u’ é a derivada de u em relação a x.
8. Derivada do produto de funções
Sendo u e v funções de x, a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de uma
das funções pela derivada da outra.
y = u . v →y = uv + uv
onde u e v são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.
9. Derivada do quociente de funções
Sendo u e v funções reais de x, a derivada do quociente destas funções é dada pela relação:
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onde u’ e v’ são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.
10. Derivada da função exponencial
Sendo “a” um número real ( a > 0 e a 1) e “u” uma função de x, então a derivada da função y = ax é dada
por
y = au →y’ = au . lna . u’
Importante:
Como conseqüência desta relação, obtém-se a seguinte fórmula: y = eu →y’ = eu . u’
11. Derivada da função logarítmica
A derivada de uma função logarítmica é dada pela fórmula:
12. Derivada da função seno
A derivada da função seno de um arco u, onde u é a função de x, é:
y = sen u→ y’ = u’ . cos u
13. Derivada da função co-seno
A derivada da função co-seno de um arco u, onde u é uma função de x, é:
y = cos u→ y’ = – u’ . sen u
14. Derivada da função tangente
A derivada da função tangente de um arco u, onde u é uma função de x, é:
y = tg u →y’ = u’ . sec2 u
Importante:
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y = sen x →y’ = cos x
y = cos x →y’ = – sen x
Interpretação Geométrica
Estudo das Derivadas
Interpretação Geométrica
O valor numérico da derivada de uma função
y = f(x) no ponto de coordenadas (x0 ; y0) é o coeficiente angular da reta tangente à curva obtida pela
função dada neste ponto, ou seja,
y - y0 = m . (x - x0) ou y - y0 = f’(x0) . (x - x0)
Verificação:
Portanto a equação da reta tangente no ponto de abscissa x0 é:
y - y0 = m . (x - x0) ou
y - y0 = tg . (x - x0) ou
y - y0 = f’(x0) . (x - x0)
Derivada de uma Função
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Uma função f diz-se derivável em um certo intervalo aberto, se for derivável em todos os pontos desse
intervalo. A função derivada de f, representada por f’, é obtida pelo limite.
Aplicação
Encontrar a equação da reta tangente à curva
y = x2 - 2x + 1, no ponto de abscissa igual a –2.
Solução:
f(-2) = (–2).(–2) – 2(–2) +1 = 4 + 4 + 1 = 9
y’= 2x – 2
f’(–2) = (–2) – 2 = –4
y – f(–2) = f’(–2).(x + 2) y – 9 = –4(x + 2) r: y = –4x + 1
Regras de Derivação
Por meio da definição, dada anteriormente, da derivada de uma função, provam-se as seguintes regras
de derivação.
1. Derivada de uma constante
Sendo K um número real qualquer, tem-se:
f(x) = K→ f’(x) = 0
2. Derivada da função identidade
A derivada da função identidade é igual à unidade.
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f(x) = x →f’(x) = 1
Máximos ou Mínimos Relativos
Máximos ou Mínimos Relativos
A partir do sinal da derivada de Segunda ordem de uma função f, além da concavidade, podem-se obter pontos de máximo ou mínimos, relativos a um certo intervalo desta função. Sendo o gráfico a seguir de uma função qualquer, tem-se:
x1= abscissa de um ponto de máximo local.
x2= abscissa de um ponto de mínimo local.
x3= abscissa de um ponto de máximo local.
As retas tangentes r1, r2 e r3 nos pontos de abscissas x1, x2 e x3, respectivamente, são paralelas ao eixo x, logo, a derivada de f anula-se para x1, x2 e x3, ou seja, f’(x1) = f’(x2) = f’(x3) = 0.
Observação:
Nos pontos de mínimo ou máximo relativo, a derivada primeira anula–se.
Teste da derivada de 2.ª ordem
A fim de verificar se um ponto, que anula a derivada primeira de uma função, representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja:
a) deriva-se a função;
b) iguala-se a derivada primeira a zero;
c) faz-se o teste da derivada de 2.ª ordem para a raiz da derivada primeira.
f’(x0) = 0 →x0 anula a derivada primeira.
f’(x0) = 0 →x0 é abscissa de um mínimo local.
f’(x0) = 0 →x0 é abscissa de um máximo local
Ponto de inflexão
Se f’(x0) = 0 e f’(x0) 0, então x0 é abscissa de um ponto de inflexão.
Regra de L’Hospital
Ao resolvermos exercícios relacionados com limites, é muito freqüente o aparecimento de
indeterminações do tipo:
Tais indeterminações podem ser levantadas pela Regra de L’Hospital, ou seja, deriva-se separadamente o numerador e o denominador da função dada, tantas vezes quantas necessárias.
Aplicando a Regra de L’Hospital
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Observação:
A Regra de L’Hospital só pode ser utilizada quando o limite existir e a indeterminação for
Variação de uma Função
Aplicação
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Variação de uma Função
Ao introduzirmos o conceito sobre derivadas, observamos a interpretação geométrica do valor da derivada de uma função em um ponto: coeficiente angular da reta tangente neste ponto.
A partir dessa interpretação geométrica, podemos analisar a variação de uma função quanto ao seu crescimento.
1. Função Constante
y = k →y’= 0
2. Função Crescente y = ax + b→ y’= a, para a > 0º
3. Função Decrescente
y = ax + b→ y’= a, para a < 0º
Conclusão:
a) Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto, e f’(x) > 0 para todo x neste intervalo, então a função é crescente (no intervalo).
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b) Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto, e f’(x) < 0 para todo x neste intervalo, então a função é decrescente (no intervalo).
c) Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto, e f’(x) = 0 para todo x neste intervalo, então a função é constante (no intervalo).
Concavidade de uma Função
A concavidade da curva de uma função f pode ser determinada pelo sinal da derivada de segunda ordem de f, ou seja, f’(x)>0 concavidade voltada para cima.
f’(x)<0 →concavidade voltada para baixo.
(Num certo intervalo aberto).
http://www.colegioweb.com.br/matematica/derivada-de-funcoes.html
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