Derivativos de Energia e Entropia não-Extensiva de...
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RONEY LEON THOMPSON Derivativos de Energia e Entropia não-Extensiva de Tsallis Dissertação apresentada ao curso de Mestrado em Economia, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre. Orientador: José Farjado Barbachan Rio de Janeiro (RJ) Agosto/2006
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RONEY LEON THOMPSON
Derivativos de Energia e Entropia não-Extensiva de Tsallis
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado em Economia, como requisito
parcial para obtenção do Grau de Mestre.
Orientador: José Farjado Barbachan
Rio de Janeiro (RJ)
Agosto/2006
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RONEY THOMPSON
Derivativos de Energia e Entropia não-Extensiva de Tsallis
Dissertação apresentada ao curso de
Mestrado em Economia, como requisito
parcial para obtenção do Grau de Mestre.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. José Fajardo Barbachan – Orientador Faculdades IBMEC
Prof. Dr. Osmani Teixeira de Carvalho Guillen Faculdades IBMEC
Prof. Dr. Caio Ibsen Rodrigues Faculdades IBMEC
Rio de Janeiro 2006
Aos meus amores
Fernanda, Eduardo e Claudia
AGRADECIMENTOS
Ao orientador Prof. José Fajardo Barbachan pela competente condução da
orientação deste trabalho.
Aos professores do curso de Economia do Ibmec pelos excelentes cursos
ministrados que tanto contribuiram para minha formação em uma nova área.
Ao meu sogro Carlos Infante Santos de Castro pelo suporte financeiro e
incentivo geral ao projeto como um todo.
Ao meu pai Carlos Alberto Thompson pelo seu constante interesse e incentivo
nos meus estudos em uma nova área.
À minha mãe Sandra Helena Bondarovsky pelo apoio incondicional a todos os
meus projetos e pelo suporte financeiro a este em particular.
À minha esposa Maria Claudia Infante de Castro Thompson, pelo amor, por
compreender a minha ausência em determinados momentos de dedicação ao curso e
pelo apoio geral e irrestrito.
Aos meus filhos Fernanda Infante de Castro Thompson e Eduardo Infante de
Castro Thompson, por não compreenderem a minha ausência e por me receberem
com tanto entusiasmo quando chego em casa tarde. O pai lhes ama!
Resumo
O mundo enfrenta um problema climático contundente demonstrado por fenômenos
de furacões, enchentes, degelo da calota polar, etc. Paralelamente, este mundo
enfrenta uma crise energética denunciada pelo aumento do preço do barril de petróleo,
a Guerra do Iraque e a crise relativa a Energia Nuclear envolvendo o Irã e a Coréia do
Norte. O efeito estufa e a destruição da camada de ozônio estão em níveis alarmantes
e ameaçam a própria sobrevivência da humanidade como a conhecemos. Estes graves
problemas, afetam, obviamente, inúmeros negócios direta e indiretamente
relacionados ao clima e meio ambiente, à produção, comercialização e utilização de
energia, etc. Como proteger-se do risco climático? Como proteger-se do risco
energético? O mercado financeiro, entidade que possui a vocação da gerência de
riscos da pós-modernidade, procura, de alguma forma, se posicionar diante de
questões tão pungentes. Derivativos derivados de ativos que não são ações, como
derivativos de clima, de energia, são exemplos de produtos financeiros responsáveis
por atender estas necessidades colocadas. A grande maioria deles se encontra em
estágios primários de desenvolvimento, inclusive em mercados financeiros de países
desenvolvidos e, portanto, é de se esperar uma evolução dos produtos e da maneira
com que são utilizados. Outro mercado que vem se tornando interessante e é
intrinsecamente relacionado com as questões climáticas e energéticas é o mercado de
créditos de carbono.
O formalismo de Tsallis, baseado na maximização de uma expressão para a
entropia que lhe confere um caráter não-extensivo, dá origem a um tipo de
distribuição que generaliza a distribuição gaussiana (advinda de uma entropia
extensiva) e que pode ser utilizado para modelar estes novos ativos. Esta base
contribui significativamente para o apreçamento de derivativos destes produtos e,
portanto, é interessante que se conduza uma investigação das consequências da
utilização desta distribuição nestes novos produtos financeiros.
O objetivo deste trabalho é verificar o quão bem descritos são os retornos
destes produtos de nova geração pela distribuição de Tsallis, apontar caminhos para o
apreçamento de derivativos e gerenciamento de risco relacionados com estes
produtos.
Índice
1) Introdução
1.1 – Ciência das Finanças
1.2 – Mercados Eficientes X Mercados Reais
1.3 – Risco e Retorno
1.4 – Produtos de Nova Geração
1.5 – O Mercado de Créditos de Carbono
1.6 – Derivativos de Clima
1.7 – Derivativos de Energia
2) Modelagem de Preços de Energia
2.1 – Apreçamento de derivativos em energia
2.2 – Passeio aleatório
2.3 – Passeio aleatório com reversão à média
2.4 – Passeio aleatório com reversão à média e difusão de saltos
3) O formalismo de Tsallis
3.1 – Entropia não-extensiva
3.2 – Distribuição de Tsallis
4) Resultados
4.1 – Base para ativos em energia
4.2 – Distribuição de Tsallis
5) Conclusão
6) Bibliografia
1) Introdução
1.1 – Ciência das Finanças
Há uma tendência cada vez mais intensa em se explicar o elevado número de
fenômenos financeiros sob uma ótica científica. Surge, portanto, a Ciência das
Finanças. Cada vez mais complexa, utilizando-se de uma Matemática cada vez mais
sofisticada, o comportamento do “Mercado” é modelado. O objetivo? Fazer previsões.
Esta ciência, no entanto, difere em essência das ciências ditas naturais. Nestas últimas,
o tempo de observação de um indivíduo (ou até da humanidade como um todo) é
pequeno em relação ao tempo em que uma determinada lei é válida (muitas leis são
consideradas sempre válidas). Por outro lado, a Ciência das Finanças, pode sofrer
transformações profundas em espaços de tempo pequenos. Não se trata apenas de um
sistema dinâmico, muito complexo em que as respostas sempre são transientes, mas,
talvez, haja uma mutação gradual das leis que regem os fenômenos financeiros.
Embora este fato seja relevante, o entendimento dos princípios básicos da regência
dos fenômenos de hoje, nos dará subsídios para a identificação de modelagens futuras.
Atenuando este efeito, no entanto, está a parte regulatória do sistema financeiro que
ganha cada vez mais atenção para garantir estabilidade nas transações do mercado e
contribuir para que os contratos financeiros sejam cumpridos e, portanto, o ambiente
de negócios seja mais convidativo.
Mesmo assim, parece que a Ciência de Finanças, possui a sina (e a beleza) de
estar um pouco defasada no tempo, na medida em que tentamos entender um algo
mutável no nosso tempo de observação. Algo que quando conseguimos compreender,
já se transfigura e se torna desconhecido. Dentro deste panorama de metamorfose se
encontram alguns produtos de nova geração, objetos de análise do presente estudo,
tais como: o mercado de créditos de carbono, derivativos de energia e clima, dentre
outros.
1.2 – Mercados Eficientes X Mercados Reais
Uma das bases na qual a Ciência de Finanças vem se construindo é a hipótese de
Mercado Eficiente. Basicamente, ela estabelece que os preços dos produtos
financeiros refletem as informações disponíveis. Uma consequência direta deste
conceito é que, se os mercados de capitais são suficientemente competitivos, os
investidores não podem esperar lucros anormais de suas estratégias de investimentos.
Esta teoria pressupõe algumas condições idealizadas tais como um ajuste instantâneo
das informações, uma simetria racional dos agentes financeiros envolvidos. Nestas
bases, não seria possível, na avaliação de séries temporais aparentemente caóticas, se
extrair, através de um processo matemático de filtragem de sinais, uma tendência para
o comportamento médio de ativos em projeções de longo prazo e o conjunto de séries
temporais estaria inserido na mesma categoria do problema clássico do bêbado e do
poste. Ou seja, o modelo do passo aleatório, se constitui uma base de sustentação da
teoria de eficiência de mercado.
Na prática, porém, os mercados não são 100% eficientes. Os principais fatores
que originam estas ineficiências são a iliquidez, os custos de transação e assimetria de
informação. Estes problemas são complexos em sua essência, na medida em que ainda
não há teoria consensual que os capturem satisfatoriamente. Estes fenômenos
manifestam-se invariavelmente de forma combinada, conferindo elevado grau de não-
linearidade aos mesmos.
A iliquidez de um ativo é observada no nível de dificuldade de sua negociação
e um parâmetro de fundamental importância nesta análise é a diferença no valor
pedido e ofertado de um determinado ativo que os intermediadores têm de
compatibilizar. Um vendedor poderia, em tese, agilizar suas transações vendendo pelo
preço ofertado. Da mesma forma, compradores poderiam comprar pelo preço pedido.
Nestes casos, haveria uma relaxação financeira em favor da agilidade. Portanto, a
liquidez tem um custo. A liquidez só é possível quando o preço de equilíbrio está
estabilizado. Novas informações, no entanto, afetam os preços de equilíbrio e esta
mudança pode ser abrupta. Nesta situação há um conflito entre liquidez e eficiência e
entre investidores informados e não-informados.
O reconhecimento da existência de assimetria de informações leva a uma
reformulação da hipótese de Mercados Eficientes estabelecendo níveis: fraco, semi-
forte e forte. A forma fraca da teoria de eficiência de mercado é que os preços
refletem completamente a informação contida na sequência de preços anteriores. A
forma semi-forte enuncia que os preços refletem toda a informação publicamente
disponível. Já a forma forte implica que toda a informação detida por algum
participante do mercado é refletida no preço de mercado.
1.3 – Risco e Retorno
Em grande parte das aplicações do mundo financeiro está a interação entre risco e
retorno. A Ciência das Finanças consiste, sob um determinado prisma, a busca da
solução de um dos dois problemas fundamentais duais: a maximização do retorno
dado um determinado risco ou a minimização do risco dado um certo retorno. Por esta
razão, a administração dos diversos riscos (legal, operacional, financeiro, etc) é de
importância estratégica para qualquer empresa moderna. Os riscos financeiros estão
ligados às oscilações de variáveis financeiras, como taxa de juros, câmbio, ativos e
derivativos do mercado. No caso de empresas não-financeiras, a exposição a riscos
financeiros pode ser otimizada de maneira cautelosa para que estas possam se
concentrar em sua área de expertise. Se diferentes carteiras de ativos possuem
diferentes retornos e diferentes riscos, a menos que exista uma que consiga o maior
retorno com o menor risco, devemos encontrar uma maneira de executar uma análise
de desempenho capaz de fornecer algum termo de comparação entre os diversos
investimentos. Visto que retorno elevado é algo positivo e risco baixo também, as
grandezas de análise de desempenho são construídas, em geral, por uma fração cujo
numerador representa uma medida de retorno e o denominador uma medida de risco.
Os mais utilizados pelo mercado são os índices de Sharpe, Treynor e Jansen. Além
destes índices, teoricamente, deve-se ter algum modelo que preveja o grau de aversão
ao risco do investidor, visto que, dois investimentos que possuam o mesmo índice,
atrairão investidores diferentes se eles forem associados a riscos diferentes. No caso
de derivativos, ou índices que possuam estrutura a termo com negociação no mercado
futuro, a avaliação de desempenho é fortemente necessária e certamente mais
complexa. No entanto, obedece aos mesmos preceitos de se buscar um indicador do
prêmio de risco daquele investimento, ou seja, do quanto você recebe de retorno para
correr uma unidade de risco.
As respostas às perguntas financeiras sobre o futuro estão sujeitas a um nível
de significância. Esta entidade representa um grau de precisão para previsões sobre a
probabilidade de que um evento ocorra. Ela também pode ser vista como o
complemento (em relação à unidade) da probabilidade de certeza de ocorrência deste
mesmo evento. Devido à característica não determinística dos eventos futuros, pode-
se atribuir um grau de incerteza maior a um futuro distante do que a de um futuro
breve.
Estas idéias permitem concluir que uma análise minimamente cuidadosa de
riscos envolve, necessariamente, pelo menos três entidades: a probabilidade que um
determinado evento ocorra, o nível de significância e a janela temporal à qual ela está
sujeita. Isto significa, em outras palavras, que uma pergunta do tipo: “Com esta
posição (financeira), qual é o máximo que posso perder?” é um problema mal posto.
Com que grau de incerteza? Em um horizonte de quanto tempo? Seriam as mínimas
perguntas, a mais, necessárias para um razoável equacionamento do problema. Este
entendimento criou condições para o desenvolvimento e a propagação de técnicas que
incluissem, na sua modelagem, espaço para estas variáveis citadas. A principal delas é
a “Value at Risk” (VaR), que surgiu em 1994 com a publicação RiskMetrics do banco
J.P. Morgan. Neste caso, o administrador de uma carteira de instrumentos financeiros
reúne condições para proferir a seguinte afirmação: “Há uma probabilidade de 1-a
(por exemplo 99%) de não perdermos mais do que VaR (por exemplo, R$ 100.000,00)
nos próximos N (por exemplo 10) dias”. A capacidade de se proferir tal frase permite
uma sensação de controle dos eventos em alguma esfera. A difusão desta metodologia
do J. P. Morgan para o mercado financeiro, fez com que os órgãos reguladores e
fiscalizadores também acompanhassem este movimento e adotassem este conceito
para o cáculo de exigências de capital de instituições financeiras para o risco de
mercado.
Apesar desta ampla difusão, diferentes instituições financeiras podem estimar
valores diferentes de VaR mesmo mantendo-se o horizonte de tempo e o nível de
significância. Esta diferença se dá pelas diferentes metodologias utilizadas para este
cálculo. Estas metodologias podem diferir em, basicamente, três etapas. A primeira
etapa é a escolha de um modelo que represente a distribuição desejada. A segunda
etapa é o modo com se estimam os parâmetros deste modelo. A terceira seria a técnica
utilizada para se medir o grau de aderência do modelo com os parâmetros escolhidos.
A motivação para a escolha da metodologia adotada é condicionada à solução de
compromisso entre esforço computacional e humano e acurácia das previsões.
Dependendo do tipo de problema, a economia no esforço através de uma abordagem
com uma hipótese simplificadora muito forte não compensa a consequente distância
em relação a resultados reais.
1.4 – Produtos de Nova Geração
A gerência de riscos é uma atividade que cresce em importância com o passar do
tempo. Devido a este fato, mecanismos de proteção contra risco são criados e o
mercado financeiro cria produtos inovadores promovendo o encontro daquele agente
que quer vender seu risco (hedgeador) com o quer comprar o risco (especulador).
Derivativos derivados de ativos que não são ações são exemplos de produtos
financeiros desta última geração. Muitos deles se encontram em estágios primários de
desenvolvimento, inclusive em mercados financeiros desenvolvidos e, portanto, é de
se esperar uma evolução dos produtos e da maneira com que são utilizados. Dentre
estes produtos de nova geração se destacam os derivativos de clima, de energia, de
seguro e de crédito. Outro mercado que vem se tornando interessante e é
intrinsecamente relacionado com as questões climáticas e energéticas é o mercado de
créditos de carbono.
O mercado de derivativos de clima é relativamente novo e negociado,
principal na Chicago Climate Exchange, mas tem atraído bastante atenção. Dois tipos
de medição, HDD e CDD, foram desenvolvidos para descrever a temperatura durante
um mês. Eles são usados para definir os retornos no mercado de balcão e na bolsa. As
previsões são que, conforme o desenvolvimento dos mercados de derivativos, serão
vistos contratos em chuvas, neve, tempestades e variáveis similares serão mais
comuns. No caso brasileiro, o índice pluviométrico parece ser o componente do clima
mais relacionado com a realidade nacional. Isto é devido a dois fatores básicos: a) o
agronegócio que vem puxando as exportações e a economia brasileira como um todo
é fortemente dependente do regime de chuvas e b) a matriz energética brasileira
relacionada a produção de energia elétrica é primordialmente advinda das
hidrelétricas que por sua vez dependem da chuva para manter os reservatórios em
níveis elevados.
Em mercados de energia nos Estados Unidos, derivativos de óleo foram
importantes por um certo tempo e desempenham um importante papel ajudando
produtores e consumidores gerenciarem seu risco. Derivativos de Gás Natural e de
eletricidade são relativamente novos. Eles se tornaram importantes nos Estados
Unidos e Europa quando os mercados relacionados a estas formas de energia foram
desregulamentados e o monopólio estatal desconstruído.
Derivativos de clima e de energia têm a interessante propriedade de que a
variação percentual destas variáveis possuem uma correlação com o retorno de
mercado desprezível. Esta propriedade permite que a precificação destes derivativos
seja realizada através de dados históricos para o cálculo dos retornos esperados e o
desconto desta expectativa à taxa livre de risco.
A avaliação do preço destes derivativos ainda é, devida a sua recente
utilização, objeto de estudo na área financeira. Existem basicamente dois tipos de
abordagem deste problema. A primeira precifica o derivativo calculando o retorno
esperado em um ambiente livre de risco e desconta este retorno esperado pela taxa de
desconto livre de risco. Este cálculo é baseado na hipótese de que o investidor é
neutro ao risco e vive em um mundo também com esta característica. A segunda
forma é chamada de abordagem acturial. Ela envolve a utilização de dados históricos
para calcular o retorno esperado que é descontado pela taxa livre de risco.
Uma questão bastante relevante neste contexto é a forma com a qual o
mercado mede risco. Alguns trabalhos vêm desenvolvendo formas de apreçamento de
risco dependente do modelo da evolução do preço do derivativo. Para tal, é necessário
se entender o processo que rege a trajetória deste preço identificando suas
propriedades e, com isto, verificando as possibilidades de aplicação dos métodos
existentes na literatura para a análise de desempenho do derivativo. Devido à pouca
maturidade dos estudos relacionados a derivativos de energia e clima, pode-se estar na
situação em que os métodos disponíveis não são adequados para precificação do
prêmio de risco abrindo-se, portanto, espaço para a elaboração de novos métodos.
1.5 – O Mercado de Créditos de Carbono
Desde a Revolução Industrial em 1750 as atividades econômicas e de obtenção de
energia vêm alterando de forma cada vez mais crescente a biosfera do nosso planeta.
Esta alteração se dá, além de outros fatores pelo aumento dos chamados Gases de
Efeito Estufa (GEE), tais como metano, gás carbônico, óxido nitroso entre outros.
Segundo previsões do Intergovernamental Panel on Climate Change (IPCC), este
aumento na concentração destes gases pode ocasionar uma elevação da temperatura
média do nosso planeta de 1,4 a 5,8 C nos próximos cem anos.
Na RioEco92, foi criada a Convenção Quadro das Nações Unidas em
Mudanças Climáticas para tratar dos problemas relacionados ao Efeito Estufa e suas
possíveis consequências sobre o meio ambiente e a humanidade. Foram realizados
eventos denominados Conferências das Partes que periodicamente reunem diversos
países em torno da questão. Na Conferência das Partes de Quioto, em 1997, foi
estabelecido um acordo criando metas definidas de redução de GEE para países que
foram considerados os grandes responsáveis pela elevada concentração daqueles
gases na biosfera terrestre, os países do chamado ANEXO I. Mais do que isto, foram
estabelecidos mecanismos de mercado para promover esta redução.
Este acordo ficou conhecido como Protocolo de Quioto. Este protocolo
estabelece que os países do ANEXO I, devem reduzir suas emissões em 5,2% dos
níveis observados em 1990 durante o período de 2008 a 2012. Além disto, o Protocolo
de Quioto criou o Mecanismo de Desenvolvimento Limpo (MDL), através do qual
viabiliza-se um instrumento de investimento financeiro realizado por países que
precisam atender às exigências de redução de emissões em países em
desenvolvimento que não possuam metas de redução. Este investimento em países em
desenvolvimento aconteceria em projetos que conseguissem uma diminuição da
quantidade de gás carbônico na atmosfera. Basicamente, este efeito pode ser obtido de
duas formas. A primeira delas estaria relacionada a projetos que promovam novos
processos menos poluentes que possam substituir processos que, atualmente,
provocam elevados níveis de poluição. A segunda forma seria através de projetos que
promovam algum mecanismo de sequestro do gás carbônico existente na biosfera.
A obrigatoriedade do cumprimento das metas de redução aliada ao elevado
custo em se realizar esta diminuição nestes países industrializados incentivaria o
investimento em processos mais limpos em países em desenvolvimento, sendo uma
fonte de recursos para este segundo grupo. Desta forma cumprem um duplo papel:
diminuem a quantidade de GEE na biosfera e promovem o desenvolvimento
sustentável em países em desenvolvimento. Para tal seria necessária uma
quantificação do impacto do projeto em relação ao resultado efetivo de diminuição da
poluição. Foram criados, para este fim os chamados Certificados de Emissão
Reduzida (CER), que seriam emitidos por empresas especializadas e que atestariam
que determinados projetos realmente reduziram uma quantidade específica de emissão
de gases ou realmente sequestraram uma quantidade específica de gases da atmosfera.
Estes certificados teriam, portanto, valor de mercado e poderiam ser transformados
em commodities ambientais.
1.6 – Derivativos de Clima
Muitas empresas se encontram em uma situação tal que seu desempenho pode ser
adversamente afetado pelo clima. Cadeias de supermercados, a indústria alimentícia e
de bebidas, empresas de serviço na área de saúde, companhias de turismo são
exemplos de empresas cujas atividades são intrisicamente relacionadas com o clima
Os dados do Departamento de Energia dos Estados Unidos indicavam que cerca de
um sétimo da economia americana está sujeita ao risco climático. Esta situação
motiva a que empresas diretamente afetadas pelas condições climáticas considerem a
realização de operações de hedge para se protegerem do risco climático da mesma
forma que ocorre em larga escala a proteção cambial ou da taxa de juros.
A primeira classe de derivativo climático a ser comercializada foi introduzida
em 1997. Esta classe é vinculada a um dos principais componentes do clima: a
temperatura. Ela é baseada em duas variáveis, HDD e CDD, que dão uma idéia do
grau em que a temperatura deve ser elevada, HDD (Heating degree days) ou do grau
em que a temperatura deve ser baixada, CDD (Cooling degree days). Chamando de A
a média da maior temperatura do dia com a menor, medida em graus celsius, o HDD
do dia e o CDD do dia são definidos da seguinte forma
]33.18,0max[
]33.18,0max[
−=−=
ACDD
AHDD
Pode-se perceber que estas variáveis só recebem valores não negativos e quando uma
é positiva a outra é necessariamente nula por construção. Este fato tem por objetivo
não classificar um dia como quente e frio ao mesmo tempo. Outro fato que se pode
perceber é que um dia considerado normal, nem quente nem frio é um dia com a
temperatura média de 18.33 C. Por exemplo, em dia com média de temperatura de
27C, o HDD do dia vale 0 e o CDD do dia vale 8.67.
Um típico produto seria um contrato de opção ou de futuro provendo um
retorno dependente de um HDD ou CDD cumulativo em um período. Em setembro de
1999 o Chicago Mercantile Exchange começou a comercializar futuros em clima e
opções européias em climas. Os contratos são baseados no HDD e CDD cumulativo
em um mês de observações em determinadas estações climáticas. Os contratos são
acertados em dinheiro logo após o mês em que o HDD e CDD são calculados.
1.7 – Derivativos de Energia
Empresas de energia estão entre os mais ativos e sifisticados usuários de derivativos.
Muitos produtos são negociados no mercado de balcão e no de bolsa de valores. Os
mais importantes derivativos relacionados com energia são o óleo cru, o gás natural e
a eletricidade.
• Óleo cru
Óleo cru é uma das principais commodities no mundo, com uma demanda global de
65 milhões de barris diários. Contratos de oferta de dez anos a preço fixo são comuns
no mercado de balcão por muitos anos. Estes são swaps em que óleo a preço fixo é
trocado por óleo a preço flutuante.
Na década de setenta, os preços de petróleo ficaram muito voláteis. As guerras
no Oriente Médio e a queda do Xá Reza Parlev no Irã fizeram os preços se elevarem
de forma substancial. Estes eventos mostraram a produtores e consumidores que
seriam necessários mecanismos de gerenciamento de risco ligado ao petróleo mais
sofisticados. Na década de oitenta, o mercado de balcão e o de bolsa criaram produtos
para satisfazer estas necessidades.
No mercado de balcão e em bolsas, pode-se dizer que há todos os tipos de
derivativos em ações ou índices que possuem o petróleo como ativo original. Swaps,
contratos futuros e opções são comuns. Os contratos algumas vezes requerem acordos
em dinheiro, outras em entrega do produto.
• Gás Natural
A indústria de Gás Natural está passando por um processo, em várias partes do
mundo, de desregulmentação e de eliminação dos monopólios estatais. Portanto, a
distribuição de Gás Natural não é realizada pela mesma empresa que o produz. As
distribuidoras têm de enfrentar o problema da demanda diária.
Um contrato típico de balcão é uma entrega de uma certa quantidade a taxas
relativamente regulares durante um mês. Contratos futuros, opções e swaps estão
disponíveis no mercado de balcão. O vendedor de gás é normalmente responsável
pelo movimento de gás natural por dutos até o lugar especificado.
No caso brasileiro houve uma importante incentivo dado pela Petrobrás no
sentido de fortalecer o gás natural na matriz energética. Isto se deu no setor industrial
de uma maneira geral e no setor automotivo em particular. Tal política sofreu um
significativo revés com a eleição do presidente boliviano Ivo Morales que tomou
atitudes arbitrárias com relação às empresas parceiras internacionais das exploradoras
de gás boliviano, inclusive quebrando contratos previamente estabelecidos.
• Energia Elétrica
Eletricidade não é uma commodity já que não é fácil de ser armazenada. A máxima
oferta de energia em uma dada região é determinada pela máxima capacidade de todas
as plantas de eletricidade daquela região. Nos Estados Unidos existem as chamadas
Áreas de Controle. Primeiramente, oferta e demanda são compatibilizadas dentro de
uma Área de Controle. É o excesso desta energia que alimenta o mercado de
eletricidade. A habilidade de venda de uma Área de Controle para outra depende da
capacidade de transmissão das linhas entre as áreas. O envio de energia envolve
custos de transmissão taxados pelo dono da linha e que envolvem perdas nas linhas
que transmitem esta energia.
Uma das utilizações principais de eletricidade são os condicionadores de ar.
Por esta razão, a demanda e, consequentemente os preços são muito mais elevados no
verão do que no inverno. A extrema dificuldade de armazenagem de energia causa
variações expressivas nos preços. Ondas de calor fazem crescer os preços de energia
em 1000% por curtos períodos de tempo.
Da mesma forma que o gás natural, o sistema de energia elétrica também
sofreu uma desregulamentação e o desfacelamento do monopólio estatal. Este
processo incentivou a criação de derivativos de energia. NYMEX comercializa
contratos futuros em preço de eletricidade e existe um mercado de balcão em
contratos futuros, opções e swaps bastante ativo. Um contrato típico envolve o
recebimento de uma quantidade de energia por um determinado período por um
determinado preço. Existem diferenças nos preços dos contratos em relação a entregas
em horário de pico (11:00h às 19:00h) e horários fora do pico (19:00h às 11:00h).
Contratos de opções possuem exercícios diários ou mensais.
1.8 – O mercado de energia elétrica no Brasil
A comercialização de energia é uma operação que teve início com o processo de
privatização do setor de energia elétrica. Com a desregulamentação do setor, as
empresas que se enquadraram nos requisitos especificados por lei passaram a ser
denominadas Clientes Livres. Elas podem escolher o seu fornecedor de energia,
considerando atributos como preços, produtos e qualidade dos serviços.
A Duke Energy, que opera no mercado brasileiro, foi escolhida como exemplo
de empresa de energia. Ela oferece um amplo conjunto de opções em serviços de
comercialização para atender às mais diversas necessidades, como por exemplo:
Contratos padronizados de venda de energia elétrica:
A Duke Energy realiza desde os mais simples até os mais complexos contratos
de compra e venda de energia, em operações padronizadas que permitem uma
sensível redução dos custos com a aquisição de energia elétrica para o cliente.
Contratos customizados de venda de energia elétrica:
Contratos que variam de acordo com o perfil de cada cliente, com análise
prévia de demanda, necessidades atuais e futuras. Propondo o tipo de
fornecimento mais adequado para as características exclusivas de cada cliente.
Contratos de venda de blocos futuros de energia elétrica:
Opção para a compra antecipada de energia elétrica, baseada em previsões de
consumo, visando garantir o fornecimento de energia elétrica ao cliente em um
determinado período de tempo e com preço definido.
Contratos de reapresentação e assessoria no mercado spot:
A Duke Energy coloca a inteira disposição de seus clientes todo o seu know
how para representação de clientes livres na comercialização de energia
excedente no Mercado Atacadista de Energia Elétrica.
O gerenciamento de riscos é mais um serviço da Duke Energy que tem como
objetivo proteger seus clientes das bruscas oscilações de preço da energia elétrica,
decorrentes das variações geradas pelo mercado SPOT. Dentre os principais
benefícios deste serviço destacamos:
Garantia de preço fixo:
Estabelecimento de um preço justo para a energia, que garanta o fornecimento
sempre a um custo estável.
Indexação a índice de interesse do cliente:
Processo que consiste em atrelar o preço da energia a um índice de interesse
da empresa, como, por exemplo, o preço de seu produto final. É mais uma
maneira de oferecer ao cliente segurança, garantia de fornecimento e
estabilidade.
Operações estruturadas para rentabilização da atividade do cliente:
Estudos exclusivos para otimizar as operações de compra e venda da energia
pelo cliente, analisando sua atividade, previsões de mercado e panorama
global.
Modalidades de comercialização de energia e derivativos disponibilizadas:
1. Energia de Base
É um bloco de energia disponibilizado para a venda com as seguintes características:
volume fixo sem modulação, período determinado e preço pré-estabelecido.
2. Opção sobre Energia de Base
É o direito adquirido pelo comprador, mas não a obrigação, de comprar um bloco de
energia com as seguintes características: volume fixo sem modulação, período
determinado e preço pré-estabelecido (valor do "Strike").
Variáveis:
- Período
- Valor do "Strike"
- Pagamento do Prêmio
3. Energia Modulada
É a energia ofertada com as seguintes características: patamar determinado (Leve,
Médio ou Pesado), período determinado e valor fixo pré-estabelecido.
4. Balanço de Carga
É a negociação realizada sobre uma quantidade de energia excedente ou faltante
referente ao mês anterior. A negociação respeita os cronogramas do MAE. O preço a
ser praticado corresponde ao Preço MAE acrescido de um percentual (Preço MAE +
X%).
5. Termo de Balanço de Carga
Assim como o Balanço de Carga o Termo busca o equilíbrio energético mensal, por
um período de meses pré-definido. O preço praticado corresponde ao Preço MAE
acrescido de um percentual fixo pré-estabelecido para todos os meses. O volume a ser
negociado mensalmente será pré ou pós-fixado.
Preço praticado: Preço MAE + X%
Prazo: em Meses
Volume: firme ou variável
6. Flexível com Collar
Esta modalidade de contrato garante ao comprador energia por um período até seis
semestres e acima um semestre. O volume contratado mensalmente será determinado
ao final de cada mês de suprimento e respeitará os volumes mínimo e máximo pré-
estabelecidos. O preço a ser praticado corresponderá ao Preço MAE acrescido de um
percentual, porém será pré-estabelecido um piso e teto ("floor" e "cap"), isto é, um
preço máximo e um preço mínimo.
2) Modelagem de preços de energia
2 .1 - Apreçamento de derivativos de energia
Processos estocásticos formam a base para o apreçamento de derivativos e modelos de
gerenciamento de risco, dado que nos possibilitam construir cenários relacionados à
evolução dos preços. Com estes cenários é possível se calcular as probabilidades de
preço futuro com base em seu preço atual e as possibilidades de variação daqueles
preços com o tempo.
É importante se manter em mente que os preços de commodities são, de
alguma forma, diferentes de outros preços no mercado financeiro. Devido a
desbalanceamentos entre oferta e demanda no curto prazo, entregas com prazos
pequenos tendem a exibir comportamento diferente das entregas a longo prazo, que
estão relacionadas ao preço futuro. Existem várias propriedades importantes
associadas com a volatilidade da energia no curto prazo, as principais são:
• Efeitos de sazonalidade. Em resposta a flutuações cíclicas na oferta e na
demanda, na sua maioria devidas a variações nas condições climáticas, os
preços da energia tendem a apresentar fortes padrões sazonais.
• Reversão à média. Os preços tendem a flutuar em torno de uma linha de
tendência temporal que está relacionada com o equilíbrio entre oferta e
demanda.
• Picos de preços ocasionais. Elevadas variações nos preços são às vezes
observadas e atribuídas a choques eventuais, como eventos políticos não
antecipados, problemas na geração ou na transmissão de energia, etc..
• Diferenças regionais. Devido à característica de extrema dificuldade de
armazenamento e restrições nas transmissões, os preços à vista e futuros
podem variar drasticamente de região para região.
Os mercados futuros fornecem a melhor estimação sobre o futuro preço à vista para
diferentes maturidades. Podem haver diferenças dramáticas para entrega de
eletricidade, por exemplo, em meses sucessivos. Além da sazonalidade e da reversão
à média, preços de energia futuros sã caracterizados por possuirem comportamentos
diferentes dependendo do tempo de maturidade. Quanto mais próximos os contratos
ficam do dia de exercício, mais voláteis se tornam.
Para se capturar a realidade dos mercados de energia, independente do
processo utilizado para o preço, deve-se procurar incorporar, como parte fundamental
do modelo, duas informações de extrema importância. A informação com relação à
estrutura a termo dos preços futuros, ou seja, os preços esperados para entrega em
diferentes prazos e a estrutura a termo das volatilidades futuras, ou seja, as
variabilidades nos preços nos diferentes pontos no tempo.
Apreçamento de derivativos e modelos de gerenciamento de risco são
baseados em algum tipo de hipótese sobre a evolução do preço da commodity em
questão. Cada processo possui suas vantagens e desvantagens. Os mais simples
podem fornecer uma visão simplificada da realidade mas nos permitem caracterizar as
diversas fontes de risco através de um número pequeno de parâmetros e, por este fato,
são mais fáceis de interpretar e de calibrar. Os processos mais complexos fornecem a
habilidade de incorporar mais informação sobre possíveis mudanças nos preços,
contudo isto é feito a um custo de se ter de estimar muito mais parâmetros, elevando a
possibilidade de erro. A seguir serão apresentados alguns modelos seguindo uma
ordem crescente de complexidade para maior entendimento dos mesmos.
2.2 – Passeio Aleatório
O modelo mais conhecido de processo de apreçamento é o “Movimento Browniano”,
também chamado de “Passeio Aleatório”. Ele recebe este nome com base em uma
analogia com os passos de bêbado, que anda de maneira cambaleante, e pode dar uma
passo para qualquer direção com mesma probabilidade. O modelo pode ser
representado, matematicamente, da seguinte forma
dtSdtSdS ttt εσµ +=
onde tS é o preço no tempo t , µ é a média, σ é a volatilidade e ε é um choque
normal.
As principais propriedades deste movimento são que as variações nos preços
são independentes, ou seja, não há memória e que a variação nos preços possui média
e volatilidade constantes. Este modelo basicamente supões que a distribuição dos
preços é lognormal. Para simulá-lo, um importante parâmetro a ser estimado é a
volatilidade. Esta pode ser obtida por dados históricos ou por dados advindos do
mercado de opções e de futuro.
Os problemas relacionados a este modelo são conhecidos:
• Vários estudos empíricos mostram que os preços de energia experimentam
significantes variações do comportamento lognormal, principalmente por estes
não incorporarem reversão à média e a possibilidade de picos ocasionais. Esta
dificuldade é particularmente relevante no que concerne a gestão de risco.
• A única incógnita do “Passo Aleatório” é a volatilidade do ativo. A
volatilidade ideal para a utilização do modelo seria a volatilidade futura que
evidentemente não é conhecida. Portanto, a volatilidade empregada é a melhor
estimativa de volatilidade futura e reflete as expectativas relacionadas à
variabilidade do preço do ativo no período de tempo que está sendo
considerado. Além disto, a volatilidade não é constante. Processos mais
complexos devem incorporar esta informação, assumindo que a volatilidade
também possui flutuações da mesma forma que os ativos. Deve-se ficar atento
também no caso de elevadas volatilidades, isto pode ser um indicativo de que
na verdade a parte determinística está mal avaliada e há, portanto que se
possibilitar uma linha de tendência com inclinação diferente de zero.
2.3 – Passo Aleatório com Reversão à Média
Aprimorando um pouco o modelo do “Passo Aleatório” há o modelo de “Passo
Aleatório com Reversão à Média”. Ele é motivado por situações similares ao seguinte
exemplo. Suponhamos que haja uma elevação abrupta dos preços de energia elétrica
de $30/MWh para $150/MWh devido a um evento inesperado, uma onda de calor ou
um problema em uma linha de transmissão. A maioria dos profissionais de mercado
concordaria com a previsão de que há uma elevada probabilidade de que os preços
retornarão para seu valor médio assim que a causa do choque seja reparada. Este tipo
de expectativa é intuitiva e é embasada por observações no comportamento dos preços
à vista de energia. Este tipo de comportamento não é capturado pelo modelo do Passo
Aleatório simples. O modelo do movimento browniano permitiria que este evento,
advindo de um choque, fosse considerado um evento normal e não haveria nenhuma
“força repulsora” do preço em relação à nova posição que elevasse a probabilidade de
retorno a níveis normalizados. Como esta característica do modelo é claramente não
condizente com as observações, há uma motivação para um aprimoramento do
modelo que incorpore a característica desejada.
O Movimento Browniano é um modelo que é baseado na independência das
variações nos preços. Em outras palavras, a trajetória dos preços não é relevante para
o cálculo dos preços futuros. A reversão à média pode ser entendida como um ajuste
ao modelo original, no qual se introduz um efeito de memória através de uma
dependência das mudanças de preços futuros com a trajetória dos preços.
Aumentando-se a restrição da analogia com o bêbado do passo aleatório, é como se o
bêbado, agora estivesse atrelado a um cachorro que seguisse o caminho de casa. Ele
continuaria com um passo cambaleante, mas teria sua direção e velocidade com
algum grau de dependência em relação à posição e velocidade do cachorro.
Matematicamente, a equação diferencial que modela o Passeio Aleatório com
Reversão à Média é dada por
434214434421
randômicocomponente
t
médiaàreversãodecomponente
tt dtSdtSSdS εσα +−= )( *
onde α é a taxa de reversão à média, *S é o nível de reversão à média ou preço de
equilíbrio de longo prazo, os demais parâmetros foram definidos na equação do
Passeio Aleatório Simples. Pode-se perceber que o componente de reversão à média é
comandado pela diferença entre o preço atual e o preço de equilíbrio de longo prazo.
Quando o preço contemporâneo é menor que o nível de reversão à média, este
componente atua de forma a estimular uma variação positiva do preço. No caso
inverso, este componente estimula uma variação negativa. Em todo caso ele procura
evitar um afastamento do preço de equilíbrio de curto prazo. A taxa de reversão à
média α é um parâmetro importante a ser estimado capaz de amplificar ou atenuar a
intensidade do efeito da diferença entre o preço atual e o de longo prazo na reversão à
média. Está relacionado com a velocidade com que o preço “busca” o longo prazo.
Esta velocidade depende de diversos fatores tais como: a commodity a ser analisada, a
logística de distribuição associada a esta commodity, o próprio equilíbrio de oferta e
demanda, etc. No mercado de eletricidade, é comum se observar elevações abruptas
de preços acompanhadas de rápidas reversões às médias anteriores. No mercado de
gás natural a taxa de reversão à média é consideravelmente mais lenta, mas a
volatilidade para contratos longos é comumente mais baixa que para contratos curtos.
No mercado de petróleo esta taxa é realmente bastante baixa, podendo levar meses, ou
mesmo anos, para que o preço reverta à média.
Neste novo modelo, além das dificuldades inerentes ao modelo anterior
relacionadas à estimação da volatilidade, tem-se dois novos parâmetros a serem
estimados. Para se estimar *S , uma das técnicas utilizadas é assumir que os preços
futuros são o caminho que o nível de reversão à média percorrerá. Esta abordagem se
baseia na hipótese de que os preços futuros são a melhor estimativa do mercado para
os futuros preços à vista. Este método tem como vantagem a incorporação da
sazonalidade no processo de apreçamento, dado que na estrutura a termo dos preços
futuros, as características sazonais de oferta e demanda estão embutidas nas
estimativas. Para a estimação de α , pode-se utilizar uma regressão linear que
relacione, historicamente, as variações nos preços com os preços em si. Recentemente
outras técnicas mais avançadas de calibração têm sido utilizadas para ajustar os dados
históricos.
Evidentemente que mesmo com este aprimoramento, o modelo do Passo
Aleatório com Reversão à Média possui suas falhas. Os preços de energia de uma
maneira geral e eletricidade em particular divergem significativamente da distribuição
normal. Embora este modelo seja adequado para descrever a forma com a qual os
preços difundem de volta em direção ao nível de equilíbrio de longo prazo após um
evento ocasional de choque, ele é falho para a descrição deste evento em si. Além
disso, as taxas de reversão à média não são constantes, ao contrário, são dependentes
de diversos fatores, tais como: a natureza, magnitude e direção do choque de preços.
Testes de calibração das taxas de reversão à média mensais, mostram que as mesmas
variam significativamente de mês para mês. Em avaliações ou em gerenciamento de
risco, deve-se escolher entre utilizar uma para cada mês ou uma média para o período
considerado.
2.4 – Passeio Aleatório com Reversão à Média e Difusão de Saltos
Preços de energia em geral e de eletricidade em particular são caracterizados por
elevadas mudanças abruptas e não-antecipadas conhecidas como saltos ou picos.
Picos temporários são resultados de choques na oferta tais como estrangulamento de
geração ou de transmissão e contribuem, desta forma, com uma elevada parte da
variação total das mudanças nos preços à vista. Em mercados de matrizes energéticas
sem uma estrutura regulamentar, empresas despreparadas para gerenciar os riscos
advindos de elevados picos nos preços podem ver seus lucros do ano inteiro se
evaporarem em questão de algumas horas.
Modelos que não são capazes de capturar o fenômeno dos picos de preços em
energia podem se tornar extremamente inadequados no apreçamento e na estratégia de
hedging de derivativos de energia. Esta inabilidade se constitui em uma falha bastante
significativa em diversas situações relacionadas a operações financeiras, tais como:
precificação de opções exóticas e extremamente “out-of-the-money”, avaliação de
ativos associadas a plantas que são acionadas em cenários de preço extremo, etc. É
possível verificar esta característica intrínseca dos mercados de energia observando-se
os preços à vista históricos de eletricidade em mercados desregulamentados. Um
exemplo interessante em que se pôde comprovar o fenômeno foi em 1998 e 1999,
quando os preços sofreram saltos em junho de 1998 e agosto de 1999, muito
anormais. Alguns investidores não estavam hedgeados. Perdas chegaram a milhões de
dólares em um dia que resultaram em falências.
Para o apreçamento de derivativos de eletricidade, conforme discutido
anteriormente, é preciso caracterizar a trajetória de evolução do preço da eletricidade
no tempo. Modelos de difusão gerais com volatilidade variável no tempo (e
possivelmente reversão à média) são os mais utilizados por profissionais do mercado.
No entanto, estes falham na captura de momentos de ordem mais elevada que
originam distribuições de caudas grossas observadas nos preços da eletricidade. Por
esta razão, a inclusão de algum componente que capture o fenômeno do elevado pico
de preço na estrutura do modelo poderá trazer maior robustez ao mesmo, elevando as
probabilidades de previsões acertivas e trazendo maior credibilidade na tomada de
decisões. Este passo desestrutura o esqueleto puramente lognormal dos modelos
anteriores e modela os saltos explicitamente, como componente essencial de difusão
estocástica que descreve a evolução dos preços de energia. Neste tipo de modelo, a
dinâmica de variação dos preços pode ser dividida em duas partes. Uma parte
“normal”, comandada por um processo contínuo modelado com bases no Passeio
Aleatório com Reversão à Média e a estrutura a termo da volatilidade. Esta estrutura a
termo das volatilidades futuras combinada com a reversão à média, permite a captura
da dinâmica dos preços da eletricidade sem os picos. A segunda parte, “anormal”, é
composta de um processo de salto descontínuo modelado por uma distribuição de
Poisson. Esta parte compatibiliza os choques decorrentes de eventos circunstanciais já
discutidos. Matematicamente, este modelo pode ser representado pela seguinte
equação diferencial
( )[ ]44 344 21434214434421
picodocomponente
tt
randômicocomponente
tt
médiaàreversãodecomponente
tt SdtSdtSSdS 21* )( δεκηεσα +++−=
A modelagem do componente relacionado aos picos, é composta de parâmetros que
são colocados a seguir. Uma variável aleatória, 1,0∈η , que indica se haverá ou não
um salto, uma expectativa de proporção do tamanho do salto,κ e um desvio do
tamanho do salto δ . A variável η está intrinsecamente atrelada a uma frequência de
picos, ou seja, quanto mais saltos ocorrem em um dado tempo, mais vezes ela
assumirá o valor 1. Estas variáveis podem ser obtidas utilizando-se dados históricos.
Para obtê-las, necessita-se fazer uma certa filtragem entre o comportamento dito
“normal” e o comportamento de pico. É preciso se decidir a partir de quantas vezes
em relação ao tamanho original pode ser considerado um pico. A partir daí pode-se
montar uma probabilidade de ocorrência de picos e associá-la a η e uma estatística de
seus tamanhos associando-os à média, κ , e dispersão, δ , desses picos.
Este processo de difusão de saltos com reversão à média permite a volta rápida
para níveis anteriores ao pico sem que se faça correlações seriais complexas com os
saltos. Se a reversão à média não fosse incluída no modelo, os preços da previsão
ficariam em patamares elevados após o salto.
A utilização do modelo de difusão de saltos é particularmente importante na
valoração de opções de compra elevadamente out-of-the-money. Este tipo de opção
pode ser encontrado em tipos de contratos de eletricidade. Por exemplo, em contratos
futuros que contêm cláusulas interrompíveis ou extinguíveis. Mesmo que estas
cláusulas só sejam ativadas em elevados preços de eletricidade, tem-se que modelar
os picos diretamente, para que se possa precificar e hedgear de maneira efetiva. A
acurácia de se usar um processo de difusão simples, ou seja, sem saltos, para o
apreçamento de certos derivativos de eletricidade seria questionável e nos piores
casos não-realístico. Enquanto prêmios “teóricos” de opções out-of-the-money podem
ser desprezíveis quando se calcula seus valores com uma modelagem tradicional, o
mercado fornece um valor bem diferente daquela opção. Para que se possa apreçar e
hedgear de maneira apropriada opções em eletricidade, é preciso se usar um modelo
que permita saltos de tamanhos mensuráveis, que possam, subitamente, trazer a opção
para a posição in-the-money.
Este modelo com difusão de saltos pode ser particularmente importante em
outras aplicações de bastante relevância no mercado financeiro. Uma delas é a
geração de ativos relacionados à construção de plantas energéticas que podem ter
elevados custos iniciais e cujo valor pode estar totalmente dependente da existência de
picos de preço que permitiriam recuperar os elevados custos marginais e seus custos
fixos em um curto período de tempo. Tipicamente, estações geradoras de energia são
avaliadas incluindo-se nos cálculos do apreçamento desta opção real, a expectativa
dos picos nos preços. Uma outra aplicação típica do modelo é para o cáculo de value-
at-risk. Modelos tradicionais de cálculo de VaR não levam em consideração eventos
extremos. A incorporação de saltos na simulação de Monte Carlo incorpora a
produção destes eventos extremos nas simulações de risco.
Este modelo, no entanto, possui algumas características não-realísticas que
deve-se ter atenção. Uma delas é a calibração dos parâmetros que capturam o
processo de difusão dos saltos. A utilização de dados históricos possui a conhecida
falha de que a observação de dados passados não inclui as expectativas futuras sobre
os saltos. Para se prever acuradamente o preço de derivativos com o modelo de
difusão de saltos, o usuário deve combinar dados históricos com expectativas futuras
para capturar condições circunstancias de mercado que influenciem nos “picos
esperados”, tais como excesso de capacidade, previsões de clima, etc. Um outro dado
irrealístico é o fato de que os parâmetros relacionados aos eventos de pico não são
constantes. O tamanho, a dispersão e a frequência destes picos podem ser fortemente
dependentes da natureza, magnitude e extensão do evento causador do choque. Além
disto, picos possuem componentes sazonais. Outro fato digno de nota é que a reversão
à média em um evento de pico é, geralmente, mais rápida do que aquela relacionada a
eventos normais.
3) O Formalismo de Tsallis
3.1 – Entropia não-Extensiva
O conceito de entropia está relacionado com a Segunda lei da Termodinâmica que de
forma resumida estabelece que a desordem do Universo é sempre crescente. A
entropia é uma medida desta desordem. Da mesma forma, processos espontâneos
elevam a entropia (desordem) do sistema. Na Mecânica Estatística Clássica (nascida
no estudo de gases), a propriedade de estado entropia S é relacionada com a densidade
de probabilidade p(x) pela seguinte expressão
∫−= dxxpxpS )(ln)(
onde x representa um contínuo de estados possíveis. Esta expressão dá origem a uma
entropia extensiva, ou seja, quando o volume do sistema varia, a entropia varia
proporcionalmente. Esta característica extensiva é verificada pelo fato de que dados
dois sistemas descritos por densidades deprobabilidade p1(x) e p2(x), a entropia do
conjunto formado por estes dois sistemas p1*p2 é a soma das entropias individuais. A
Segunda Lei da Termodinâmica estabelece que a entropia (desordem) deve ser
máxima.
Este conceito nascido na Termodinâmica foi extendido para outros sistemas
estocásticos e que portanto envolvem densidades de probabilidade. Particularmente, o
mercado financeiro apresenta manifestações que são resultado das interações entre
diversos agentes e, portanto, modelos da Mecânica Estatística que prevêm
determinadas propriedades macroscópicas originadas por interações microscópicas
parecem ser passíveis de analogias no “mundo das finanças”. Neste caso, a desordem
é associada à incerteza. Portanto, por analogia, a incerteza deve ser máxima.
No processo físico do Movimento Browniano, o bombardeamento aleatório
das moléculas de um solvente sobre partículas de um soluto, a densidade de
probabilidade é obtida maximizando-se a entropia condicionada ao fato de que a
probabilidade de todos os estados é a unidade e a variância (considerando média nula)
é finita. Ou seja
∫ = 1)( dxxp e ∫ = 22 )( σdxxpx
Pode-se mostrar, através da técnica de Multiplicadores de Lagrange, que esta
maximização condicionada leva a uma densidade de probalidade com distribuição
Gaussiana, portanto
−=
2
2
2exp
2
1)(
σσπx
xp
Tsallis (1988) propõe uma generalização da relação entre entropia e probabilidade
incorporando sistemas não-extensivos de acordo com a expressão
[ ] ∫−−
= dxxpq
S qq )(1
1
1
onde q-1 é uma medida do afastamento em relação ao caso extensivo do sistema.
Pode-se mostrar que no limite em que q tende a 1, qS recupera S.
3.2 – Distribuição de Tsallis
A distribuição de Tsallis é obtida maximizando a entropia não-extensiva condicionada
às mesmas restrições do caso do Movimento Browniano, ou seja, a probabilidade de
todos os estados é a unidade e a variância (considerando média nula) é finita. A
densidade de probabilidade assim obtida é dada por
( )[ ] 1
1
2 )()(11)(
1)( −
−
+Ω−+=Ω qq ttq
tZP β
onde
q
q tqqct −−−
−
−−= 3
23
1
32)(β ,
( )( )[ ] qqtcqqtZ −−−= 3
1
32)( e
−Γ
−
−Γ
−=
1
1
2
1
1
1
1 2
2
q
q
qcq
π, onde a função )(xΓ é a função gamma.
O cálculo da variância desta distribuição dá o seguinte resultado:
( )
<<∞
<<∞−−=
33
5,
3
5,
35
1
qse
qseqβσ
Ou seja, a distribuição de Tsallis só possui variância finita abaixo de 5/3. Desta forma,
esta função, possui, dois regimes distintos: um dito Gaussiano, 1<q<5/3 e outro de
Lévy, 5/3<q<3.
3.3 – Opções Européias
Não existe dúvida alguma no mercado de que os preços dos ativos não seguem uma
distribuição lognormal. Não obstante, o modelo de Black e Sholes (1975) continua
sendo largamente empregado. Nesta seção, se deduz a equação diferencial análoga a
que deu origem ao modelo de Black e Sholes com a generalização advinda da
generalização de Tsallis. O efeito mais contundente desta diferença entre o modelo e
os dados empíricos é o chamado “sorriso da volatilidade”, fruto do cálculo implícito
da volatilidade utilizando-se o modelo (que teoricamente supõe volatilidade
constante).
Algumas metodologias foram criadas para corrigir este efeito. Uma
considerada importante e que vem ganhando uma certa força na literatura é a da
volatilidade estocástica. Basicamente esta metodologia procura incluir a volatilidade
como variável estocástica e são propostos processos estocásticos que descrevem a
evolução deste parâmetro. Outra linha seguida é a utilização de métodos para a
inclusão de heterocedasticidade (GARCH). Estes modelos incrementam a
complexidade do problema de forma significativa e são construídos, muitas vezes
com soluções ad-hoc. A alternativa para se obter soluções fechadas parece a de
propostas de novas funções de distribuição dos retornos que generalizem de alguma
forma a distribuição normal, capturando algum efeito particular do ativo em questão.
Desta forma, dada a simplicidade da solução final, esta metodologia pode em futuro
breve, ser adotada pelo mercado. Neste segmento de alternativas se encontra o modelo
que advem da entropia generalizada de Tsallis.
Boraland (1988) discute a questão de se colocar o formalismo discutido em
uma base análoga ao procedimento conduzido por Black e Sholes. Basicamente, ela
mostra que o primeiro passo seria propor uma evolução dos preços, S(t) da forma
Ω+= SdSdtdS σµ
onde o componente não determinístico do preocesso ΩSdσ é relacionado com o
processo de Weiner (movimento browniano) da seguinte forma
dWPdq
2
1
)(−
Ω=Ω
Nota-se, portanto que este processo base recai no processo de Weiner quando q=1.
Sendo o prêmio do derivativo denotado por f(S,t) onde a evolução de S é dada pela
equação acima, pode-se utilizar o Lema de Ito para o cálculo do diferencial df
dWSPS
fdtPS
S
f
t
fS
S
fdtPS
S
fdt
t
fdS
S
fdf
qqq 2
1122
2
2122
2
2
2
1
2
1 −−−
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂= σσµσ
A maneira padrão de se encontrar a equação diferencial do valor do prêmio da opção
é através da construção de um portfolio com uma posição “short” na opção e S
f
∂∂
quantidades do ativo sujacente S para, a seguir, aplicando a condição de não-
arbitragem, supor que este portfolio terá retorno a taxa livre de risco, r. Este
procedimento leva à seguinte equação
rfPSS
f
S
frS
t
f q =∂∂+
∂∂+
∂∂ −122
2
2
2
1 σ
4) Nova equação de difusão de saltos
A descrição dos diversos processos de evolução de preços de uma forma geral e de
energia elétrica em particular induz a proposição de um novo modelo de evolução de
preços capaz de incorporar algumas características relevantes mencionadas ao longo
do trabalho. Neste caso, os saltos não podem ser desprezados dado que podem causar
elevada diferença nas projeções de um grande número de empresas, onde
notadamente as indústrias possuem um papel contundente, que são dependentes de
energia elétrica para que suas atividades possam ser continuadas. Na ausência de
picos, no entanto, o mercado, ainda assim é não-gaussiano, por assim dizer. Um
modelo capaz de incorporar estas características seria dado por
( )[ ]44 344 2144344214444 34444 21
picodocomponente
ttt
randômicocomponente
tt
médiaàreversãodecomponente
tsdttt SdtPSdtSSdSq
21*
212
1
))(( δεκηεσηαα +++−+=−
−
onde o termo da taxa de reversão à média agora possui duas parcelas, uma
determinística e outra dependendo se houve pico ou não na s-ésima iteração anterior.
Desta forma, pode-se modular a taxa de reversão aumentando seu valor (de 1α para
21 αα + ) no caso de pico. O componente randômico também foi modificado
incluindo-se a densidade de probabilidade dependente do parâmetro q que transforma
o processo de Weiner em um processo de uma q-gaussiana ou q-Levy dependendo do
regime em que a difusão se encontra.
5) Resultados
5.1 – Base para ativos de energia
Foram implementados, no MatLab, os três modelos, a saber, Passeio Aleatório
Simples (PA), Passeio Aleatório com Reversão à Média (RM) e Passeio Aleatório
com Reversão à Média com Difusão de Saltos (DS). Foram simuladas trajetórias de
preços de três tipos de energia: Petróleo, Gás Natural e Eletricidade. Nas duas
primeiras, as comparações foram realizadas entre os modelos PA e RM. Além disto,
foi realizada um teste de variação na taxa de reversão à média do caso RM. Para o
caso da Eletricidade, as comparações foram realizadas entre os modelos RM e DS,
visto que nesta forma de energia os saltos constituem uma parte bastante relevante do
problema.
Fig. 1 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório para 10 trajetórias: preço
inicial R$ 47,00; µ = 0,5 e σ = 20%.
Em uma primeira análise, foram utilizados dados médios destes setores energéticos.
Estes dados se tornaram defasados, assumindo, portanto, um caráter apenas
qualitativo.
No primeiro teste, realizado sem reversão à média e mostrado na Fig. 1, percebe-se
que não há nenhuma tendência de longo prazo.
Fig. 2 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão à média para 10
trajetórias: preço inicial R$ 47,00; µ = 0,5; σ = 20%; preço de longo prazo: R$35,00,
taxa de reversão: 0,5.
O segundo e o terceiro testes, Figs. 2 e 3, respectivamente, são realizados como
ilustração em relação à influência da taxa de reversão à média nas trajetórias obtidas.
Percebe-se que a elevação deste parâmetro de α = 0,5 para α = 5 antecipa a tendência
de longo prazo de tal forma que para a taxa de reversão mais elevada os preços já
estão oscilando em torno de $ 35,00 em um ano, enquanto para o caso da taxa de
reversão baixa, os preços ainda oscilam em torno do preço inicial após o mesmo
prazo.
Fig. 3 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão à média para 10
trajetórias: preço inicial R$ 47,00; µ = 0,5; σ = 20%; preço de longo prazo: R$35,00,
taxa de reversão: 5.
Fig. 4 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão para 10
trajetórias: preço inicial R$ 3,02; µ = 0,1; σ = 40%.
A Fig. 4 apresenta as trajetórias que simulam o mercado de Gás Natural em que a
volatilidade é mais elevada. A diferença em relação ao caso com reversão à média,
Fig. 5, não é significativa visto a taxa de reversão à média não é elevada o suficiente.
Com relação à Fig. 6, pode-se notar que mesmo com a elevada volatilidade e com o
preço a longo prazo não tão diferente do inicial, há uma clara tendência de flutuação
em torno da nova média de preços, com a elevação da taxa de reversão à média de 1
para 10.
Fig. 5 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão à média para 10
trajetórias: preço inicial R$ 3,02; preço final R$ 3,3; Taxa de reversão à média = 1; µ
= 0,1; σ = 40%.
Fig. 6 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão à média para 10
trajetórias: preço inicial R$ 3,02; preço final R$ 3,3; Taxa de reversão à média = 10; µ
= 0,1; σ = 40%.
Fig. 7 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão à média para 10
trajetórias: preço inicial R$ 202,00; preço final R$ 255,00; Taxa de reversão à média
= 20; µ = 0,1; σ = 150%.
As Figs. 7, 8 e 9 são referentes a uma simulação dos preços de energia elétrica.
Devida a elevada volatilidade dos preços do setor, exemplificada na Fig. 7, decidiu-se
apresentar os resultados com uma trajetória por quadro nas figuras a seguir.
Nas Fig. 8 e 9, são apresentados casos com difusão de saltos. Para tal, foi criada uma
variável denominada Corte. Esta variável foi utilizada da seguinte maneira:
produzem-se números aleatórios de 0 a 100, caso este for maior que o Corte, produz-
se um pico.
Fig. 8 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão à média e
difusão de saltos para 4 trajetórias: preço inicial R$ 202,00; preço final R$ 255,00;
Taxa de reversão à média = 20; µ = 0,1; σ = 150%. Saltos: 9=Sµ , %300=Sσ .
Fator de corte: 99,5%.
O mesmo teste foi realizado novamente, aterando-se, apenas, o Corte para 98%.
Fig. 9 – Teste realizado com o modelo do Passeio Aleatório Reversão à média e
difusão de saltos para 4 trajetórias: preço inicial R$ 202,00; preço final R$ 255,00;
Taxa de reversão à média = 20; µ = 0,1; σ = 150%. Saltos: 9=Sµ , %300=Sσ .
Fator de corte: 98%.
Pode-se perceber que a redução da variável Corte, aumenta a incidência do número de
picos, como esperado.
5.2 – Distribuição de Tsallis
O objetivo desta parte é verificar o quão bem descritos são os retornos de
determinados ativos pela função de distribuição de Tsallis para, desta forma, criar-se
condições para a aplicação deste formalismo no apreçamento de derivativos e no
cálculo de VaR. A função que se tentou utilizar com o objetivo de ser minimizada foi
a distância euclidiana dos pontos dos retornos à curva da Distribuição de Tsallis. Foi
encontrada uma certa dificuldade de convergência no programa, no sentido de que
uma otimização não foi conseguida de maneira direta, com as funções típicas do
MatLab como o fminsearch, por exemplo. A técnica de Máxima Verossimilhança
também foi utilizada sem sucesso. Este fato pode ser explicado pela elevada não-
linearidade do problema que deve ser resolvido por softwares mais robustos. Desta
forma, os resultados são mostrados para determinados valores do parâmetro de
generalização de Tsallis, q. Dois valores de q são particularmente importantes:
q=1,01, tomado pelo valor de q que reproduz o caso gaussiano (estritamente seria
q=1) e q= 1,66, valor de q próximo ao limite do regime gaussiano da distribuição de
Tsallis que possui variância finita (q=5/3). Em alguns gráficos, uma ou outra curva
com um valor diferente destes dois mostrados aparece, dependendo se a curva de
distribuição parece pertencer mais ao regime gaussiano ou ao regime de Levy.
A contabilização dos retornos foi realizada com a função do MatLab
[y,x]=hist(ret_ativo, N), que divide as realizações dos retornos dos ativos em N
conjuntos e devolve a quantidade de realizações em cada um,y, bem como os centros
das posições de ocorrência.
5.2.1 – Resultados preliminares
Os resultados preliminares foram efetuados com os retornos das ações da Petrobrás
PN e da Telemar PN bem como do índice IBOVESPA. Estes ativos possuem elevada
liquidez além de haver opções negociadas em bolsa dos mesmos.
Na Fig. 10 abaixo observam-se os retornos da PETR4 e a distribuição de Tsallis para
q=1,01 (correspondente ao gaussiano); q=1,33; q=1,66 e q=1,77. A Fig. 11 apresenta
sua versão com o gráfico semi-log. Pode-se perceber que as caudas são
razoavelmente bem capturadas para um valor de q no intervalo 1,66<q<1,77;
mostrando que estes retornos estão no regime de Levy.
Fig. 10 – Distribuição dos retornos para a PETR4 e curvas de Tsallis para q=1,01;
q=1,33; q=1,66 e q=1,77.
Fig. 11 – Distribuição dos retornos para a PETR4 e curvas de Tsallis para q=1,01;
q=1,33; q=1,66 e q=1,77. Gráfico semi-log.
Fig. 12 – Distribuição dos retornos para a TNLP4 e curvas de Tsallis para q=1,01;
q=1,33; q=1,66 e q=1,77.
Fig. 13 – Distribuição dos retornos para a TNLP4 e curvas de Tsallis para q=1,01;
q=1,33; q=1,66 e q=1,77. Gráfico semi-log.
Fig. 14 – Distribuição dos retornos para o índice IBOVESPA e curvas de Tsallis para
q=1,01; q=1,33; q=1,66 e q=1,77.
Fig. 15 – Distribuição dos retornos para o índice IBOVESPA e curvas de Tsallis para
q=1,01; q=1,33; q=1,66 e q=1,77. Gráfico semi-log.
5.2.2 – Resultados de empresas ligadas ao setor energético
Os resultados a seguir, fora obtidos de ativos ligados a setores energéticos de uma
forma geral. Mais particularmente na área petrolífera, energia elétrica e da gás. Eles
são apresentados apenas na sua versão semi-log dado que neste formato a comparação
da região das caudas é mais apropriada.
Fig. 16 – Distribuição dos retornos para a TEXACO e curvas de Tsallis para q=1,01;
q=1,66 e q=1,88. Gráfico semi-log.
A Fig. 16 mostra as distribuições dos retornos da empresa americana Texaco, uma das
maiores empresas do mundo de energia que começou suas atividades há mais de um
século na exploração de petróleo. O período analisado foi de 05/01/2000 a 01/08/2006
para os seguintes valores de q: q=1,01; q=1,66 e q=1,88. Pode-se perceber que as
caudas dos retornos destes ativos também possuem um regime de Levy. Neste caso,
fica bem realçada a parca possibilidade de descrição das caudas pela curva Gaussiana.
Na Fig. 17, são mostrados os retornos e distribuição de Tsallis de outra
empresa americana líder em exploração e produção de petróleo em águas profundas,
bem com de gás natural, NOBLE ENERGY, do período de 02/01/1997 a 01/08/2006.
Fig. 17 – Distribuição dos retornos para a NOBLE ENERGY e curvas de Tsallis para
q=1,01; q=1,66; q=1,72 e q=1,77. Gráfico semi-log.
Os resultados da distribuição de Tsallis para q=1,72 foram bastante coincidentes em
larga faixa do domínio.
Fig. 18 – Distribuição dos retornos para a DUKE ENERGY e curvas de Tsallis para
q=1,01; q=1,66; q=1,77 e q=1,88. Gráfico semi-log.
As Figs. 18 e 19 mostram as curvas da distribuição de Tsallis bem como os retornos
para duas empresas americanas do setor de energia elétrica: a DUKE ENERGY
(empresa que também atua no mercado brasileiro) e a AMERICAN ELETRIC
POWER (fornece energia para os estados de Arkansas, Indiana, Kentucky, Louisiana,
Michigan, Ohio, Oklahoma, Tenessee, Virginia e West Virginia) pelo período de
16/05/94 a 01/08/2006. Os valores de q representados para as duas empresas foram:
q=1,01; q=1,66; q=1,77 e q=1,88. De uma maneira genérica pode-se notar uma certa
migração no comportamento destas empresas: passada a região central, o início das
caudas é bem capturado pela distribuição correspondente a q=1,77 e no final a curva
q=1,88 está com sua tendência mais alinhada com a dos retornos.
Fig. 19 – Retornos das ações da empresa americana AMERICAN ELETRIC POWER
e distribuição de Tsallis para q=1,01; q=1,66; q=1,77 e q=1,88. Gráfico semi-log.
Quanto a empresas brasileiras ligadas ao setor elétrico, seus retornos e suas
respectivas distribuições de Tsallis estão descritas nas Figs. 20, 21, 22, 23. Os
resultados para a empresa estatal ELETROBRÁS são mostrados na Fig. 20. De uma
maneira geral pode-se dizer que a curva q=1,55 ajustou bem os dados dos retornos
para o período analisado: 04/01/94 a 01/08/2006.
Fig. 20 – Retornos das ações da empresa estatal ELETROBRÁS e distribuição de
Tsallis para q=1,01; q=1,55; e q=1,66. Gráfico semi-log.
As Figs. 21 e 22 mostram as distribuições de Tsallis e os retornos da empresa do setor
de energia elétrica ELETROPAULO para os períodos de 03/01/95 a 25/03/98 e para o
período seguinte, depois da reestruturação da empresa 31/03/98 a 01/08/2006. Ela é a
maior distribuidora de energia elétrica da América Latina, atendendo a 24 municípios
da região metropolitana de São Paulo. Nota-se que a curva q=1,55 ajusta bem os
retornos da fase atual. Para a fase antiga, este ajuste é mais fraco, pois os dados são
mais dispersos.
Fig. 21 – Retornos das ações da empresa ELETROPAULO (1998-2006) e distribuição
de Tsallis para q=1,01; q=1,44; q=1,55; e q=1,66. Gráfico semi-log.
Fig. 22 – Retornos das ações da empresa estatal ELETROPAULO (1995-1998) e
distribuição de Tsallis para q=1,01; q=1,44; q=1,55; e q=1,66. Gráfico semi-log.
Em 1996 a BOVESPA criou o primeiro índice setorial, o IEE, que tem por objetivo
medir o desempenho do setor elétrico. Os dados dos retornos deste índice, bem como
as distribuições de Tsallis para q=1,66 e q=1,01 são apresentados na Fig. 23, com
ajuste bastante razoável em q=1,66.
Fig. 23 – Retornos das ações da empresa IEE e distribuição de Tsallis para q=1,01 e
q=1,66. Gráfico semi-log.
A empresa AMPLA, pertencente ao grupo espanhol Endesa, distribui energia para 66
municípios do estado do Rio de Janeiro, correspondente a 73% do território estadual.
Seus retornos, bem como as distribuições de Tsallis associadas ao parâmetro q=1,66;
1,33 e q=1,01 são apresentadas na Fig. 24. Neste caso a distribuição gaussiana foi
satisfatória.
Fig. 24 – Retornos das ações da empresa AMPLA e distribuição de Tsallis para
q=1,01; q=1,33 e q=1,66. Gráfico semi-log.
Na Fig. 25 são apresentadas as distribuições dos retornos da empresa COMGAS.
Percebe-se que a tendência inicial das caudas é melhor capturada pela curva descrita
pela distribuição com q=1,44 e depois migra para a curva q=1,55. De qualquer
maneira, estes retornos se encontram no regime gaussiano da distribuição. No caso da
empresa SGAS, Fig. 26, a Gaussiana foi a distribuição que melhor descreveu a
distribuição dos retornos. Estes sugerem uma distribuição sub-gaussiana (q<1) que
não foi conseguida com a presente função.
Fig. 25 – Retornos da empresa brasileira COMGAS, bem como distribuições de
Tsallis para os seguinte valores de q: q=1,01; q= 1,33; q=1,44; q=1,55 e q=1,66.
Gráfico semi-log.
6) Conclusões
Produtos de nova geração ainda são muito recentes e seu entendimento e aplicações
ainda devem ser objeto de estudo. No entanto, já se vislumbram diversas
possibilidades promissoras de sua utilidade na gerência de risco de setores envolvidos
e diretamente afetados com o risco climático, o energético.
Os modelos implementados responderam satisfatoriamente com resultados
obtidos dentro do esperado. Eles ainda necessitam de intenso estudo de mercado para
uma calibração de parâmetros adequada. Existem alguns pontos que ainda podem ser
melhorados no modelo mais complexo. Um deles é a possibilidade de uma reversão
com taxa modulada, ou seja, no caso de haver um pico, a taxa de reversão seria maior
e no caso dito “normal”, a taxa seria menor. Outra mudança que traria benefícios
interessantes seria a introdução da estrutura a termo dos preços de energia para que a
reversão fosse feita à estrutura a termo e não à média.
A abordagem relacionada ao Formalismo de Tsallis foi realizada. Percebe-se
que, de uma maneira genérica, as caudas dos retornos para os casos dos ativos
PETR4, TNLP4 e IBOVESPA são bem capturadas para valores de q>1,66, ou seja,
pelo regime de Lévy.
De uma maneiora geral, pôde-se constatar que as distribuições dos retornos
das empresas empresas americanas ligadas ao setor energético estão situadas no
regime de Lévy, enquanto que as brasilerias deste setor possuem seus retornos
descritos em um regime gaussiano. Funções de otimização do MatLab tais como
fminsearch, fzero, foram utilizadas para a obtenção do parâmetro q que melhor se
adequasse às distribuições dos retornos. Este procedimento não foi bem sucedido dada
a elevada não linearidade deste problema de otimização. Este fato prejudicou análise
subsequentes.
Ficam como sugestões para trabalhos futuros, portanto, a utilização desta
distribuição no apreçamento de opções e no cálculo de VaR para avaliação de risco.
Cabe notar que, neste caso, as previsões para os retornos negativos devem ser mais
bem avaliadas em caso de assimetria.
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