Descrição discreta no tempo de sinais e sistemas · 2016-08-02 · Processamento de sinais...

Processamento de sinais digitais

Aula 2:

Descrição discreta no tempo de sinais e sistemas

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Tópicos

• Sequências discretas no tempo.

• Princípio da superposição para sistemas lineares.

• Sequência de resposta de amostra unitária.

• Sistemas invariantes no tempo.

• Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo.

• Critério de causalidade para sistemas discretos no tempo.

• Equações de diferenças lineares de coeficiente constante.

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Sequências discretas no tempo

Nomenclatura: {x(n)} ou x(n) para N1 ≤ n ≤ N2 x(k): valor particular da sequência no instante k. Serão vistas as sequências: - de amostra unitária - de degrau unitária - senoidais - exponenciais complexas

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Sequência de amostra unitária

• Unit Sample Sequence.

• Definição:

Importante como sequência de entrada para um filtro digital

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• Delayed Unit Sample Sequence.

• Definição:

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PROPRIEDADE SIFTING (seleção): extrair um elemento particular de toda a sequência.

• d(n - k) é não zero apenas quando o seu argumento é zero, quando n = k.

• Será importante na derivação da relação de convolução entre as sequências de entrada e saída do filtro digital.

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Sequência degrau unitária

• Unit Step Sequence.

• Definição:

• Usada para definir o ponto de partida de uma sequência em expressões analíticas:

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Sequência senoidal

• Sinusoidal Sequence.

• Importante em análises no domínio da frequência de filtros digitais.

Exemplo de sequências

senoidais discretas

no tempo:

𝝎: radianos por intervalo de

amostragem ou simplesmente

radianos.

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Sequência senoidal

• Propriedade importante para o desenvolvimento da transformada de Fourier de uma sequência discreta no tempo:

– conjunto de todos os valores distintos de uma sequência senoidal discreta no tempo:

– Consideremos dois valores de frequência:

– Valores das sequências do cosseno:

• A função cosseno é periódica com período 2𝝅.

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Sequência senoidal

• Exemplo de dois sinais analógicos com diferentes frequências que podem produzir os mesmos valores para uma sequência senoidal discreta no tempo:

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Sequência exponencial complexa

• Plano complexo Notação em vetor complexo

• onde:

• |c|: magnitude

• Arg[c]: argumento ou fase

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• Identidades de Euler:

• Sequência importante para análise compacta de uma frequência de filtros digitais: magnitude fase

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• Identidades de Euler

• Interpretação no plano complexo de senos e cossenos:

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• A propriedade de sequências senoidais, de que todos os valores podem ser representados com 𝝎 na faixa [-𝝅, 𝝅] também é válida para exponenciais complexas.

– Consideremos:

, onde m é um valor inteiro.

– Então:

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Princípio da superposição para sistemas lineares

• Sistema de tempo discreto:

• Características de um filtro linear:

– Para uma dada sequência de entrada, uma alteração na escala de amplitude da sequência de entrada resulta na mesma mudança de escala em amplitude na sequência de saída.

– Se duas sequências são adicionadas e a soma é aplicada ao sistema, a saída resultante é a soma das respostas das entradas individuais.

{x(n)} {y(n)} G{.}

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Princípio da superposição

• Sistema linear:

onde e

• Dadas duas constantes 𝜶 e 𝜷:

{x1(n) + x2(n)}

{y1(n) + y2(n)}

G{.}

{𝜶 x1 (n) + 𝜷x2 (n)}

𝜶{y1 (n) }+ 𝜷 {y2(n)}

G{.}

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• Exemplo de um sistema linear:

Circuito medidor de valor médio de 3 valores:

• Como testar a linearidade? Aplica-se a soma escalada de duas

sequências de entrada:

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• Exemplo de um sistema não linear:

saída igual ao quadrado da entrada:

• Aplicando a soma escalada de duas sequências de entrada:

que não é igual a , a saída que o sistema precisa para ser linear.

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Sequência de resposta de amostra unitária

• Unit Sample Response Sequence • Princípio da superposição: permite estabelecer uma relação entre

a entrada e saída de um sistema linear no domínio do tempo. • Propriedade sifting da sequência da amostra unitária:

• O sistema opera através de sua transformação G{ . } em sequências. • Saída: superposição de respostas a sequências de amostras

unitárias deslocadas e escaladas. • A sequência de amostra unitária com seu elemento não zero em

n = k, d(n - k), é escalada por x(k).

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• Sequência de entrada a um sistema linear: superposição no tempo de um conjunto de sequências de amostras unitárias escaladas.

• Sequência de saída: superposição das respostas de amostras unitárias escaladas.

Se:

Então:

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Princípio da Superposição:

onde G{d(n - k)} é a sequência de saída produzida pelo sistema quando a entrada é uma sequência de amostra unitária com seu elemento não zero em n = k.

Esta saída é denominada resposta da amostra unitária:

{h(n,k)} é a resposta de um sistema linear!

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(a) (b)

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(a) (b)

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(a) (b)

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Princípio

da

Superposição:

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Resposta de amostra unitária

Exemplo não recursivo: Circuito medidor de valor médio de 3 valores

h(n,0)? {x(n)}={d(n)}

Para n=-1:

Para n= 0:

Para n= 1:

Para n= 2:

Condição inicial zero (n=-2)

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Exemplo recursivo: Filtro de primeira ordem

h(n,0)?

{x(n)}={d(n)} e aplica-se a condição inicial zero.

Para n=0:

Para n=1: Unit Step Sequence

Para n=2:

. . .

Para n=k:

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Exemplo de sequências para diferentes valores de a

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Exemplo recursivo: Sistema variante no tempo

Aplica-se a condição inicial zero:

{h(n,0)}? {x(n)}={d(n)} {h(n,1)}? {x(n)}={d(n-1)}

Os valores da resposta de amostra unitária dependem do tempo da aplicação da sequência de amostra unitária.

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Sistema linear invariante no tempo

LTI – Linear Time Invariant System

Se: Então:

Um deslocamento no tempo aplicado a uma sequência de amostra unitária resulta APENAS em um deslocamento correspondente no tempo na sua

resposta de amostra unitária.

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Relação de CONVOLUÇÃO: e x(n) y(n)

*: Operação de convolução Operação matemática de como um sistema linear opera sobre um sinal.

Sinal de saída: resultado da convolução do sinal de entrada x(n) com a resposta a impulso do sistema h(n).

h(n)

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Operação de CONVOLUÇÃO

Comutativa

Substituição de variáveis: m=n-k Obtemos:

Distributiva

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Conexão em cascata de sistemas: Dois sistemas LTI em cascata correspondem a um sistema LTI com uma resposta impulso que é a convolução das respostas impulso dos dois sistemas.

Exemplo de três sistemas LTI com respostas impulso idênticas:

Resposta impulso de saída:

Consequência da propriedade comutativa da convolução - a resposta impulso de uma combinação em cascata de um sistema LTI independe da ordem em que aparecem.

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Conexão paralela: Os sistemas tem a mesma entrada, e suas saídas são somadas para produzir a saída geral.

Combinação paralela Sistema equivalente

Resposta impulso de saída:

Consequência da propriedade distributiva da convolução - a conexão de dois sistemas LTI em paralelo é equivalente a um único sistema cuja resposta impulso é a soma das respostas impulso individuais.

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Operação de convolução de tempo discreto

Análise gráfica Passo 1: Escolher um valor inicial de n. Se {x(n)} começa em n = nx e {h(n)} em

nh, escolher n= nx + nh.

Passo 2: Expressar as duas sequências em termos de k. Fazer x(k)=x(n) e

para produzir h(n-k) faz-se uma rotação em torno do eixo vertical para produzir h(-k) e depois desloca por um valor n (se n positivo, desloca para a direita, e se n negativo desloca para a esquerda).

Passo 3: Multiplicar as duas sequências elemento por elemento e acumular

os resultados para todos os valores de k. A soma dos produtos gera o y(n). Passo 4: Incrementar os índices de n e repetir os passos acima até a soma

dos produtos no passo 3 ser zero.

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Análise gráfica

Exemplo 1: Convolução de duas sequências finitas:

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Análise gráfica

Calcula o produto

do par de valores

de sequências para cada k

para gerar y(n)

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Análise gráfica

Duas sequências finitas gera uma sequência de duração finita.

Se {x(n)} contém Nx elementos e {h(n)} contém Nh elementos, então a sequência de saída contém Ny = Nx + Nh -1 elementos.

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Análise gráfica

Resultado da convolução de duas sequências finitas:

* =

Valores calculados para os cinco valores de n:

y(-2)=1 , y(-1)=2, y(0)=3, y(1)=2, y(2)=1

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Análise gráfica

Exemplo 2: Convolução de um sequência de duração finita com outra de duração infinita

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Exemplo 2: Convolução de um sequência de duração finita com outra de duração infinita

Únicos termos não-zero:

3 2

1

2 1

3

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Análise gráfica

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Outra forma:

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Análise gráfica

Exemplo 3: Convolução de duas sequências infinitas:

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Análise gráfica

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Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo

• Sequência limitada - o valor absoluto de cada elemento é inferior a algum número finito M, ou seja, {x(n)} é limitada se |x(n)|<M, para todo n.

• Sequência estável - quando cada sequência de entrada limitada produz uma sequência de saída limitada.

• Aplicações práticas em filtros digitais estáveis (saídas não se tornam infinitas).

• Critério de estabilidade: Um sistema LTI é estável sse o fator de estabilidade, denotado por S, for finito:

• A estabilidade de um filtro digital é expressa em termos dos valores absolutos de sua resposta de amostra unitária.

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• Critério de estabilidade: suficiente e necessário

Suficiente: se S é finito, então o sistema é estável. Demonstração: a saída é limitada quando S for finito.

Valor absoluto da saída, expresso pela equação de convolução: Como: Temos: ou como M e N são finitos, a saída também é limitada.

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• Critério de estabilidade: suficiente e necessário

Necessário: que S seja finito para o filtro ser estável.

É preciso encontrar uma sequência de entrada limitada que produza uma saída ilimitada.

Exemplo:

valor de saída para n=0:

Para y(0) ser limitado, é necessário que S seja finito.

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Exemplo 1: Estabilidade do circuito de média de 3 valores:

• Como testar se o filtro é estável?

• S é finito para valores finitos dos coeficientes b-1, b0 e b1.

Qualquer filtro com resposta de amostra unitária com um número finito de elementos não zero é sempre estável.

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Exemplo 2: Estabilidade do filtro recursivo de primeira ordem

onde • Como testar se o filtro é estável?

• Para |a| ≥ 1 , S é ilimitado: cada termo na série é ≥1. • Para |a| < 1, aplica-se a fórmula da soma geométrica infinita:

Como S é finito para |a|<1, o sistema é estável para |a|<1.

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Exemplo 3: Estabilidade do filtro recursivo de segunda ordem

• {h(n)}? Condição inicial y(n)=0 para n<0 e {x(n)}={d(n)}

• S?

O filtro é estável para |r|<1.

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Critério de causalidade para sistemas discretos no tempo

Sistema causal – resposta não precede a excitação.

• Todos os sistemas físicos são causais: não reagem até a aplicação de um estímulo.

• Sistema LTI causal:

• Por definição, {h(n)} é a resposta de um sistema a uma sequência de amostra unitária, cujo elemento não zero ocorre em n=0 .

• Filtros digitais causais – geralmente usados em aplicações em que as amostras de dados são processadas a medida em que são recebidas (sem acesso a valores futuros da amostra).

• Filtros digitais não-causais: tem elementos não zero para n<0 (exemplo: circuito medidor de média de 3 amostras).

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Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes

• Formalização da notação para descrever o comportamento no domínio do tempo de filtros digitais.

• Saída de um sistema LTI de ordem finita no instante n:

combinação linear de entradas e saídas onde: ak : coeficiente de realimentação (feedback) dependente do delay bk : coeficiente de alimentação (feedforward) dependente do delay Np: Número de amostras do passado Nf :Número de amostras do futuro (Filtro causal: Nf ≤0, Filtro não-causal: Nf>0) Exemplo: n=3, M=3, Nf=3 e Np = 2 y(3) = a1y(2) + a2y(1) + a3y(0) + (Valores passados de y)

b-3x(6) + b-2x(5) + b-1x(4) + b0x(3) + b1x(2)+b2x(1) (Valores futuros de x) (Valor atual de x) (Valores passados de x)

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• Como implementar um filtro digital com base na equação de diferenças geral?

• Exemplo:

Combinação das equações do circuito de média de 3 amostras não recursivo e o filtro recursivo de primeira ordem e não causal.

• Passo 1: desenhar dois pontos – entrada atual e saída atual

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• Passo 2: conectar elementos de retardo aos pontos de entrada e saída, para obter acesso a valores passados das sequências de entrada e saída. Valores futuros da sequência de entrada são obtidos conectando avanços ao ponto de entrada.

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• Passo 3: conectar multiplicadores às saídas dos elementos do retardo para produzir os produtos necessários.

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• Passo 4: obter um filtro digital ao se conectar as saídas dos multiplicadores a dois somadores. O primeiro gera a soma dos produtos das entradas e dos coeficientes de feedforward, e o outro da saída e dos coeficientes de feedback.

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• Exemplo: Implementação do filtro digital de segunda ordem a partir da equação de diferenças dada por:

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Referências

1- Introduction to Digital Signal Processing

Roman Kuc.

BS Publication, 2008.

2- Discrete-Time Signal Processing

Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer.

Prentice Hall, 1998.

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Obrigada

E até a próxima aula.

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