Sinais e Sistemas - Haykin

8/20/2019 Sinais e Sistemas - Haykin

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Arepresent;ição

pelos coeficientesIa

DTFStninbéin éconhecida

de frequência, porque c;icln coeliciente da DTFSé :issociado coin uma

diferente.Antes de apresentarmos diversos exemplos

que ilustra111 a DTF

valores iniciaistlos índices k e ti

nas equnções

(3.12) e (3.13) sãoarb

[k ]

tem período N. Afaixa

para os índices pode, desternodo,

ser escol

que se tein frente.



O inódulo ou rnagnitude de X[k], IX[k]l ,

é conliecido corno espectr

Similarmente a fase de X[k], arg X[k]),

é conhecida como o espectro de

anterior, todos os componentes de x 111estão conceritrados em duas f

-Q,, k -I) .

Exaitcício 3.1 Deterinine os coeficicrites

ln DTFS por irispeçáo para

Resposta:



I

caso contr6rio para

O exemplo seguiiite avalia diretamente a equação (3.13) para determin



0 2

-

50-

40-

30-

20-

10 O 10 20 30 4k

b)

F IGURA3.4 Oscocficicntcs dn DTFS corresponderitcs uinn onda

quadrnda

P EX I SRC~C IO3.2 Deteriiiiiie os coeficieiites da DTFS para o sinal periód

Resposta:



Fi<;ui< i3.6(çontiiiunção)

(d) J=

23

Norrnal

3

-

- 2

i00 400

6 iou

»»o

m o

1400 l i00 180

índice de tempo (n)(a)

Taquicardia ventricular3 ;



2

_

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 180índice de tempo (n)

(b)

Norrnal

IXlk]l

O,

Índice de li-ecliiência (k)(c)

rl arliiicarcliaver~iriculíir

0,25

. .̂...." ...

..-..

....."........... ...-.

'

índice de frequência (k)

(d)

FIGUR3.7 Eletrocardiogramas correspondentes a dois batimentos cardíacos dif

coeficientes dc seus cspectros dc magnitude. (a) Batiinciito cardíaco normal. (b) T



1. E x r r ~ c i c i o3.3 Determine í representaçiio por FS para

x t)= 2sen 2nt

- 3) +sen 6nt)

Resposta:

0

caso co

Como nri DTFS. o lnódiilo de X k ] é conheciclo como espectro c



p

fase de [ k ] é conhecida como espectro rle fase de

r [). No exemplo

estã concentrada ein duas freqiiênciiis.

w,,e-q .No exemplo seguin

buída entre muitas freqiiências.



1

0,s

0 6

0 4

sinç(u)

0 2

o



- 0,2

Fi(;uit~3.11 Funçiío sinc.

Cada termo cla FS cla eqiiiiç50 (3.18) associar10 coin iiin coeficiente

para a representaçóo do sinal. A onda quad~ads

IO

exeinploanterior for

de como os termos indivicliisis <IaFS contribilem para a representaç5

representaç.30 rle onda qiiii~lracla or DTFS, explorainos a simetria

como uma solna de co-senos Iiarinonicniiiente reliicioiiaclos. Uma ve



I

4 '

~ l l l

r s 4 I ~ t . 7

> x [ k l = [

2

2

j

~ ~ ~ c j- L , T, e - i ~ w , ,

e

3jkw 3k a :

Fic;uicn3.13 Siiiol pcribdico c«rrcsporirlcriic : oExercíc

O exclii l~ lo eguiiiic explor:~ I liiic;iritlorle c o icpiesc~it;içiiopor

cletci-iiiiiini i siiítlli cle i i i i i sistciiiii IL I I.



188 SINAIS E SISTEMAS

M

DERIV ÇÃO

Uma derivação rigorosa da DTFT écomplexa; deste modo, empregamos Desenvolvemos a DTFT a partir da DTFS, descrevendo um sinal não-perió

sinal periódico cujo período, N, aproxima-se do infinito. Para que esta abor

supomos que o sinal não-periódico seja representado por um período simpl

está centralizado na origem, e que o limite, quando N se aproxima do infin

simétrica. Admitamos que ? [ r i ] seja um sinal periódico com período N =

tião-perihdico de duração fitiita x l t r ] coino

ui i i período tl ? [ t i ] coino é m

x [ r l ]

- M

t l M



Esta relação é ilustrada na Figura3.16. Obscrve que, a medida que M se el

d e x [ n ]que estão presentes ern ? [ t l ] se movem cada vez mais para longe da

M m, estas réplicas são removidas ao infinito. Dessa forma, podemos es

x [ ~ i ]= liin

? [ r l ]

M -+-

Inicie com a i-epresentação por DTFS do sinal periódico ? [ t i ] . Ternos

M

[ r l ] ~ [ k ] ~ j ~ ~

> -=-i\{

Uma vez que x [ t i ] =

x[rr] para-M <

M, podemos reescrever a equ

X [ I I ] coino

. em que a segunda linha parte do fato de que x[nl = O para ti > contínua de frequência, x ( e l R ) ,

cujas

amostras em kR , ,

são

ig

normalizados por 2M + I. Ou seja,

de forme que X [ k ]= ~ ( e i ~ 1 3 ) / ( 2 M + I). Substituímos estadefiniç

obtermos

Usando a relação a, = 2 n l ( 2 M + I ) , escrevemos



Neste ponto.invocat~ios

o Rtode

que xltt] é o valor limite

consideremosprimeiro

oefeito dç

M+m sobre o frequência fund

eleva, a,,decresce e oespaçalnento

entre os harmônicos da DT

espaçamento harmônicoé ilustrado na Figura 3.17, descrevendo x (

M. Note que ~ ( e f l )tem período ema Isto vem da equaçõo (3.25)

Combinando a equação (3.22)com

a equação (3.26),

emos

...

3n 2n

n 1 n n



em que X j w ) é dado ein termos de x t ) pela equação (3.31). Pode-X t) , dado por

é zero se x t ) for integrlivel noqundraclo;

ou seja, se

Uin MSE igual a zero niío implica convergência ponto a ponto, ode t , mas que, ao contrário, há energia nula em sua diferença.

A convergência ponto I pontoé garantida em todos os valores de



g p p g

a descontinuidades, se x t ) satisfizer as condições de Dirichlet par

x t ) é absolutamenteintegrivel:

~ t )tem i m nriiiiero firiitode mliximos mínimos e desconti

valotinito.

i

Otíiinnnho clc cncln tlcscontiii~iidnclc fiiiito.

Quase todos os sinais físicos encontrados na prlitica da engenha

condições. Entretanto, muitos sinais coinuns, como o degrau unitário

ou ao quadrado. Einalguns

destes casos, pocleinosdefinir uin

pa

propriedades daT

por meio do uso tle iinpulsos. Desta maneira, aferramenta de resolução de probleinas, não obstante a T

não

conv

estrito.

Os exemplos seg~iiriteslustrain

a determinação da FTe daT

i



I~ic;uic,\

3.24 ;i) Pulsorclongiilar no teinp

Este exemplo ili~stl.;~lina propriedade muito importante da tra

efeito de in~itlnrT. Ainetlitla que

T cresce, x t ) torna-se menos

origein do teinpo, enqunnto que X jw) torna-se mais concentrad

frequência. Inversamente, h inetlida que Tdecresce, x t ) torna-se m

da origem de teinpo, eiiqtiaiito que X jw) torna-se menos concen

SINAIS E SISTEMAS



a)

icuitn

3.25 (a) Pulso rctaiigiilai cin Ircquêiicin. (b) T

i



202 SINAIS E SISTEMAS

tabela fornece uina referência conveniente tanto para a detinição de cada

Fourier baseiam-se na senóide complexa. Consequeiiteineiite, todas com

comum de propriedades que partem das características de senóides compl

ns propricdndcs das represcnt:ic;õcs dc I;ouricr. 1311iiiuitos cnsos, deriva

uma representação e simplesmente a enunciainos para as outras representaç

a provaralgutrias

destas propriedades na seção deprobleinas

destecapftu

de todas as propriedadesé dada no Apêridice C.

Domínio



Domínio Periódico Não periódico

de Tenrpo

' Série de Fozlrier Transformada de F

n

n x ( t ) tem período T

tr 2z

o 0,=-

T

Série de Forrrier de Transformada de F

D Tempo Discrelo de Rmpo Discr

CI c

X [ ~ x [ ~ t ] e - * Q ~ ~ ' r N t 1 = ( N )

x c i n )

= z x [ n ] e

et1=

x[nl e X [ k l têm período

N x ( , ~ Q )

em

O 2z

=-i

! N

Discreto



Representações de domínio de frequência desta forma ocor

sistemas que são descritos por meio de equações diferenciais line

idéia é escrever X jw)como uma soma de termos para os quais a

realizar isto usando uma expansão ein frações parciais de X

jw)

Supomos que M < N. Se M N, podeinos usar divisão longa

O polinômio i w) do nuinerador agora tem ordem um m

expansão em frações parciais é aplicada para determinar a tra

A jw)

.

A transformada de Fourier inversa dos termos na soma s

propriedade de diferenciação, a qual serb apresentada posteriorm

Admitamos que as raízes do polinômio do denominador em (

í ã t d b tittiiiid j iá l é



raízes são encontradas substittiiiido-se jw por uma variável genér

polinômio.

N11

+ a N - I ~ i N - i. + ~ + n , l c + r

Podemos então escrever

Supondo que todas as rnízesik ,

k = I 2, . .. N sejam distinta

soma

ein que os coeficientesC k k= 1,2,

. . .,N são determinados ou res

lineares ou pelo método (10s resíduos. Estes inétodos e a expansiío

no Apêndice B. No Exeinplo 3.14, derivainos o par de T

Iel u(t) <

> para d <

jw-d

O leitor pode verificar se este par é válido mesmo que d se

Supondo que a parte real de cadarik,

k= 1,2 ,

.

.., N seja negativa



Esta forma novamente supõe que todos os ksejam distintos. Expan

tratadas noApêndice

13

Uina

vezq ~ i c

(LI,

r r i l

DTFT,

' I-

e-

a propriedade de linearidade implica



Executamos agora a mudança de varirivel = t - t,,, obtendo

O resultado do deslocamento no tempo por t émultiplicar a transfor

I ~ j w ) l IX w)l e a r p { Z j w ) )= arg X jw))- wt . Por isso, um deslo

espectro de magnitude inalterado e iiitroduz uin deslocaineiito de fase q

frequência. A incliriação deste termo de fase linearé igual ao deslocamento n

similar vale para as outras três representações de Fourier, conforme indic

T AB E LA 3.6 Propriedades de Deslocamento

resenf ções de Fouriera--___________



Estas propriedades são uma conseqüência direta das propriedades de d

senóides complexas usadas eiii represeiitações tle Fourier. Deslocar uma s

resulta numa senóide coinplexa da inesina frequência cuja fase é de

deslocamento no teinpo vezes a frequência da senóide.



SINAIS E SISTEMAS

outro domínio.

es de Deslocame



Considereinos agora o efeito de mudar cle escala da variável te

de frequência de um sinal. Iniciando com a FT adinitamos que z

Realize a substituição z = a t para obter

Estas duas integrais podein ser combinadas na integral siinpl



Consequenternente, a inudança cle escala do sinal no tempo

inversa na representação de tlomíiiio de frequência e uma mudan

Este efeito pode ser experiinentado executantlo-se uin som g

daquela ein que ele foi grovatlo. Se executarinos o soin numa velo

a > I, coinpiiiniirios o sinal cle teinpo. A inudança de escala

expande a representação de Fourier nuina faixa de frequência m

alt ura freqdê iicili) perccbicln clu soni . Inversainente, executar corresponde a expandir o sinal de tempo, uma vez que O

doinínio tle frequêncicicomprime a representaçfio de Fourier e exp

do soin.



S INAIS E SISTEMAS

R DIFERENCI ÇÁO: INTEGRAÇÃO

DifercnciaçAoc ititcgraqiio sAo opc rnçõ cs que se :iplicain

z

funções con

podeirios considerar o efeito da diferei1ci:ição e intcgração coin respeito a

tempo contínuo, ou com respeito frequência naT

ou DTFT, uma vez que

de frequência. Derivamos as propriedades de integração e diferenciação p

As operações an6logas com valores discretos de se avaliar diferenças e scomumente usadas e serão discutidas soiiiente de maneira breve.

ifereizciação izo Tenzpo

Consideremos o efeito de diferenciar.uin sinal não periódico x t ) . Prim

x t ) e sua FT X jw), são relacionados por

A diferenciação de ainbos os latlos desta equaçfio produz



o que implica que

Isto é, a tliferenciação iio tern

Ao acentua os coiriponeiite

ler coiiiponeiite dc de x t ) c

A diferenciação de ainbos os lados desta equação d6

e, dessa lorma concluítnos

f FS:O ,,

- t >

> j k w , , X [ k l

dt

Novamente, a diferenciaçáo força o valor médio do sinal di

coeficiente da FS para k = O é zero.



S INAIS E SISTEMAS

o que implic



xsncicio3.15 Use a propriedade da diferenciação em frequê

Resposta:



A operação de diferenciação não se aplica a quantidades com valpropriedade de diferenciação no domínio de frequência para a FS

uma propriedade de diferenciação no domínio de frequência existe

A diferenciação de ambos os lados desta expressão ein relaçã

A operação de in tegraçi ío se aplica soineiite t

variA

Conseqüentemente,potleiiios integrar coiii respeito ao tempo tant

frequência iin T e na DTIT . Aqui, liinitnreinos nossa consid

periódicos com respeito ao teriipo. Defina

Em geral, desejainos aplicar a propriedade de integração a sinais que n

Porém, se o valor médio de x( z ) não for nulo, é possível que y(t) não seja

conseqüentemente,T

dey t )

não conviij:i. I odeiiios

contornar este pro

na transforinada. Sabemos que a equação (3.36) vale para qualquer e

=0.O valor em w =O é modificado adicionando-se urn termo c 6 w ) ,em

do valor médio dex(z1. O resultado correto éobtido definindo-sec=

nX

O .

.,

de integração:

onde fica subentendido que o primeiroterino

no lado direito é zero em o

vista corno uma operação de obtenção da rnédia e, dessa forma, tende a suavsuavização no tempo corresponde a atenuar os componentes de alta frequ

indica a equação (3.37) pelo termo w no denominador.Podemos demonstrar esta propt iedade dei ivarido a T do degrau unitár

ser exnresso coino a integral da funcão imnulso



Uma

vez que6 ( t )

I;T

> I , a equação (3.37) sugere que

Verifiquemos este resultado derivando indcpeiidenterneiite U j o) . P

degrau unitrírio corno a solna

de duas Siiii<;õcs

u ( t )= + + s g n ( t )

em aue a funcão s ~ t u ~ l t

sinal). sen(t).

édefinida

coino

Esta representação é ilustrada na Figura 3.35. Usando os resultado

I >

2n J ( w ) . A traiisforinada de sgri(t) é derivada usando-se a prop

Admitamos que sgn(t) <

i7

>

S

ia .Teremos

Conseqüentemente,

jwS

jw) =2

Sabemos que S O)

= Oporque sgn t)

é urna função ímpar e, des

Este dado remove a indeterminnçno em w

= O associada com a pconcluíinos que

2/jw, w f O

S

jw)

=

O, w= o

É comum escrevermos isto corno S jw)

=2/jw, com o entendi

usamos a linearidade para obter a T de ~ t )

omo

Isto concorda exatamente com 2 transformada da função degrau

de integração.

S tó i Dif



Somatório e Diferença

O anfilogo em tempo discreto da integraçiíoé o somatório: ou se

O análogo em tempo discreto da diferenciação é a diferença. A

x [ t i ] de y [ t i , conforme é inostratlo por

x[r ]= y [ n ]- [ l l- I]

Isto resulta na propriedade de diferença, supondo quex[k] seja nãoPor

Podemos inverter esta equação para expressar y ejR) como um

não podemos determinar y elR).Como acontece com a propriedade

um impulso para obter um valor inédio diferente de zero emx[k] e obt

como

Y[rlI

DTFT



xisncíc~o3.16 Mostre que a DTFT de

Duas das propriedades mais importantes das representações d

convoluç~oe modulação. Uma forma importante de modulaçiío r

sinais; um dos sinais muda ou inodula a amplitude do outro. M

domínio de tempo é transformada em modulação no domínio de f

domínio de tempo é transformada ein convolução no domínio de

podemos analisar o coinportamento de entrada e saída de um sistem

usando multiplicação de rrnnsforinatlasao invés de fazer a convolu

simplificar significativamente a do sistema e proporcio



simplificar significativamente a an6lise do sistema e proporcio

comportamento do sistema. Tanto a propriedade de convolução

conseqüência de senóides complexas sei-ein autofunções de sistema

propriedades, correspondentes a cada uma das quatro representaçõenão periódicos.

Corzvoliiçiío Niío Periódica

Considere a convoluç,?~de dois sinais de tempo contínuo não

Expresse agora x t- r )em terinosde sua FT conformeé inos

Substitua esta expressão na integral de convolução para obter



A prova deste resultado se compara de perto com a do caso d



B

E x ~ ~ c í c i o3.18 Admitamos que L resposta ao iinpulso de um

por h[n]

=

Ilnrz) sen nl4)ti) . Encontre a saída y[n] em ree (b) =



3 37 Truncamento de um sinal usando uma



FIGUR3.37 Truncamento de um sinal usando uma

AFigura

3.38ilustra o efeito de se ajanelar com uma janela re

O efeito geral da janela é suavizar detalhes em X jw) e in

descontinuidades em X jw ).A suavizaçiío é uma conseqüência d

de W jw), ao passo que as oscilações são devidas hs oscilaçõe

exemplo seguinte ilustra o efeito cla operaç3o de se ajiinelar a res

tempo discreto ideal.



FIGURA 3.39 Efeito do truncainentotla

resposta ao impulso de um sistemfrequência de uin sistema ideal. b) fn 8 ) para i próximo de zero. (c) n

n 2 d) Resposta em frequência de um sistema com resposta ao impulso

3 19 Us e a propriedade de para encont

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