Determinação Do Momento Fletor Resistente à

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA

PROGRAMA DE PS GRADUAO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

Eduardo Matos Bezerra

Determinao do Momento Fletor Resistente Flambagem Lateral com Toro de Vigas de Ao

Casteladas

2011

ii


Determinao do Momento Fletor Resistente Flambagem Lateral com Toro de Vigas de Ao Casteladas

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo Mestre em Engenharia de Estruturas.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury

Belo Horizonte 2011

iii

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA

PROGRAMA DE PS GRADUAO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

Determinao do Momento Fletor Resistente Flambagem Lateral com Toro de Vigas de Ao Casteladas


Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo Mestre em Engenharia de Estruturas.

Comisso avaliadora: ________________________________________ Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury EE-UFMG - (Orientador) _________________________________________ Prof. Dr. Ana Lydia Reis Castro e Silva EE-UFMG - (Co-Orientadora) _________________________________________ Prof. Dr. Armando Csar Campos Lavall EE-UFMG _________________________________________ Prof. Dr. Gustavo de Souza Verssimo DEC-UFV

Belo Horizonte, 28 de abril de 2011

iv

DEDICATRIA

Aos meus pais.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus, pela fora para seguir em frente nos momentos difceis.

Ao meu orientador prof. Ricardo Fakury e co-orientadora prof. Ana Lydia, pela

pacincia, confiana, compreenso, amizade e, principalmente, pelas contribuies para

o incio do meu aprendizado acadmico.

Aos professores e funcionrios do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia

(UFMG), pela contribuio para minha formao acadmica.

Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico), pelo

apoio financeiro.

Aos meus pais Romualdo e Estela e minha irm Valria, pelo incentivo.

Vvian, pelo companheirismo, incentivo, compreenso, dedicao e pacincia.

Aos colegas de mestrado pelo companheirismo durante o curso, em especial ao

Alexandre, Aline, Paula, Paulo, e meus amigos de Viosa, meus sinceros

agradecimentos.

vi

SUMRIO

LISTA DE FIGURAS ................................................................................................. ix

LISTA DE TABELAS .............................................................................................. xiv

LISTA DE SMBOLOS ........................................................................................... xvi

RESUMO ................................................................................................................. xix

ABSTRACT ............................................................................................................... xx

1 INTRODUO .............................................................................................. 1

1.1 Generalidades ..................................................................................................... 1

1.2 Fabricao das Vigas Casteladas ....................................................................... 2

1.3 Vantagens e Desvantagens das Vigas Casteladas .............................................. 3

1.4 Configuraes das Aberturas ............................................................................. 7

1.5 Modos de Colapso ............................................................................................. 9

1.5.1 Formao de um mecanismo Vierendel ou de cisalhamento ................... 10

1.5.2 Formao de rtula plstica ...................................................................... 10

1.5.3 Ruptura da solda entre as aberturas .......................................................... 11

1.5.4 Flambagem do montante da alma devido fora cortante ....................... 11

1.5.5 Flambagem por compresso do montante da alma ................................... 12

1.5.6 Flambagem lateral com toro ................................................................. 12

1.6 Objetivo ........................................................................................................... 12

1.7 Justificativa ...................................................................................................... 12

1.8 Metodologia ..................................................................................................... 13

2 FLAMBAGEM LATERAL COM TORO .............................................. 15

2.1 Definio do Fenmeno ................................................................................... 15

2.2 Fatores que influenciam ................................................................................... 16

2.3 Distribuio das Tenses Residuais ................................................................. 19

vii

2.4 Distoro da alma ............................................................................................ 22

2.5 Momento resistente nominal de acordo com as normas de projeto ................. 22

2.5.1 Norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 ................................................ 22

2.5.2 Momento resistente nominal de acordo com a EN 1993-1-1:2005 .......... 26

2.5.3 Estudo comparativo entre a norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e a norma europia EN 1993-1-1:2005 ....................................................................... 27

2.6 Histrico ........................................................................................................... 29

3 ANLISE NUMRICA ................................................................................ 37

3.1 Generalidades ................................................................................................... 37

3.2 Modelo numrico ............................................................................................. 38

3.3 Propriedades do material.................................................................................. 40

3.4 Anlise numrica ............................................................................................. 41

3.5 Aferio do modelo numrico ......................................................................... 43

3.6 Vigas estudadas ................................................................................................ 45

4 RESULTADOS E AVALIAO DA ANLISE NUMRICA ................... 48

4.1 Generalidades ................................................................................................... 48

4.2 Vigas submetidas a momento fletor uniforme ................................................. 50

4.2.1 Espectro de resultados .............................................................................. 50

4.2.2 Informaes relevantes ............................................................................. 55

4.2.3 Anlise comparativa ................................................................................. 59

4.3 Vigas submetidas carga uniformemente distribuda ..................................... 62




4.4 Vigas submetidas a carga concentrada no meio do vo ................................... 71




viii

5 PROPOSIO DE PROCEDIMENTOS .................................................... 80

5.1 Generalidades ................................................................................................... 80

5.2 Procedimento com base na NBR 8800:2008 ................................................... 80

5.3 Procedimento com base na EN 1993-1-1:2005 ............................................... 82

5.4 Comparao entre procedimentos .................................................................... 83

5.4.1 Vigas submetidas a momento fletor uniforme .......................................... 83

5.4.2 Vigas submetidas carga uniformemente distribuda .............................. 85

5.4.3 Vigas submetidas carga concentrada na seo central ........................... 87

5.5 Avaliao dos procedimentos .......................................................................... 89

6 CONCLUSES ................................................................................................... 94

6.1 Generalidades ................................................................................................... 94

6.2 Sobre o procedimento proposto ....................................................................... 95

6.3 Sugesto para estudos futuros .......................................................................... 96

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ...................................................................... 97

ix

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Geometrias das aberturas (LIU & CHUNG, 2003) ...................................... 1

Figura 1.2 Vigas casteladas ........................................................................................... 2

Figura 1.3 Esquema de fabricao das vigas casteladas (GRUMBAUER BV, 2009) .. 2

Figura 1.4 Vigas casteladas com chapas planas inseridas na semi-altura (GRUMBAUER BV, 2009) .......................................................................... 3

Figura 1.5 Passagem de Dutos pelas Aberturas (CORUS, 2009) .................................. 4

Figura 1.6 Esquema de Fabricao de Viga Castelada de Altura Varivel (GRUMBAUER BV, 2009).......................................................................... 5

Figura 1.7 Viga com aberturas preenchidas com chapas junto aos apoios .................... 6

Figura 1.8 Viga castelada protegida contra incndio por argamassa projetada............. 7

Figura 1.9 Vigas casteladas de padro Peiner ............................................................... 8

Figura 1.10 Vigas casteladas de padro anglo-saxnico (adaptada da BS 5950-1:2000) ................................................................................................................... 8

Figura 1.11 Formao do mecanismo Vierendel (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999) ... ................................................................................................................. 10

Figura 1.12 Ruptura da solda entre as aberturas (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999) .... ................................................................................................................. 11

Figura 1.13 Flambagem da montante da alma devido fora cortante ....................... 11

Figura 2.1 Flambagem lateral com toro (adaptado de SAYED-AHMED, 2004) .... 15

Figura 2.2 Modos de flambagem de uma viga de seo I (adaptada de REIS, 1996) . 17

Figura 2.3 Descontinuidade da seo transversal (adaptada de REIS, 1996) .............. 17

Figura 2.4 Cargas estabilizantes e desestabilizantes ................................................... 18

Figura 2.5 Imperfeies geomtricas........................................................................... 19

Figura 2.6 Tenses residuais em perfis I laminado (adaptada de HACKBARTH, 2006) .................................................................................................................... 20

Figura 2.7 Tenses residuais em uma chapa aps o corte e em perfil I soldado (adaptada de HACKBARTH , 2006) .......................................................... 20

x

Figura 2.8 Diagrama tenso normal versus deformao com e sem tenses residuais ... .................................................................................................................... 21

Figura 2.9 Flambagem lateral com toro acompanhada da distoro da alma (adaptada de ELLOBODY, 2011) .............................................................. 22

Figura 2.10 Momento fletor resistente nominal MRk em funo da esbeltez ............ 25

Figura 2.11 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a momento constante ................................................................................... 28

Figura 2.12 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a carga uniformemente distribuda ............................................................. 28

Figura 2.13 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a carga concentrada no meio do vo. .......................................................... 29

Figura 2.14 Esquema de ensaio das vigas em escala real ............................................ 30

Figura 2.15 Vigas em escala reduzidas aps os ensaios .............................................. 31

Figura 3.1 Representao dos elementos de casca S4 e S3 ......................................... 38

Figura 3.2 Discretizao da malha estruturada de elementos finitos .......................... 38

Figura 3.3 Distribuio das tenses residuais .............................................................. 39

Figura 3.4 Diagrama tenso versus deformao do ao (adaptada de EARLS, 1999) .... .................................................................................................................... 40

Figura 3.5 Modo de flambagem referente a flambagem lateral com toro................ 41

Figura 3.6 Grfico Momento versus deslocamento lateral .......................................... 42

Figura 3.7 Resultados de Souza (1999) e da modelagem deste trabalho (adaptada de BEZERRA, 2010) ....................................................................................... 44

Figura 3.8 Simulao de momento constante na viga ................................................. 46

Figura 3.9 Simulao da carga uniformemente distribuda ......................................... 46

Figura 3.10 Simulao da carga concentrada aplicada no montante central da alma ..... .................................................................................................................... 47

Figura 3.11 Simulao da carga concentrada na seo central com abertura .............. 47

Figura 4.1 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W610x140 submetidas a momento constante ............................................................... 50

xi



Figura 4.4 Curva momento versus deslocamento da VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 10,8 m de vo .............................................................................................. 55

Figura 4.5 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 10,8 m de vo ...................................................................................... 56

Figura 4.6 Deformada da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 10,8 m de vo depois que alcanou a capacidade resistente .......................................................... 56

Figura 4.7 Curva Momento versus deslocamento da VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 5,5 m de vo ................................................................................................ 57

Figura 4.8 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 5,5 m de vo ........................................................................................ 58

Figura 4.9 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 com 1,78 m de vo. ..................................................................................... 58

Figura 4.10 Flambagem lateral com toro acompanhada de distoro da alma ........ 60

Figura 4.11 Seo transversal da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 com 4,67 m de vo ...... .................................................................................................................. 61

Figura 4.12 Modo de flambagem da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 com 0,76 m de vo .................................................................................................................. 61

Figura 4.13 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W610x140 submetidas a carga uniformemente distribuda ........................................ 62



Figura 4.16 Curva Momento versus deslocamento da VCA 925,5x230x22,2x13,1 com 17,48 m de vo ........................................................................................ 67

Figura 4.17 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 com 17,48 m de vo. ................................................................................ 67

xii

Figura 4.18 Curva Momento versus deslocamento da VCA 925,5x230x22,2x13,1 com 6,8 m de vo ............................................................................................. 68

Figura 4.19 Formao das rtulas plsticas na VCA 925,5x230x22,2x13,1 de 6,8 m.68

Figura 4.20 Formao do mecanismo Vierendel da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 de 4 m de vo. ............................................................................................... 69

Figura 4.21 Modo de flambagem da viga VCA 532x171x11,6x7,2 de 3,16 m de vo ... .................................................................................................................. 70

Figura 4.22 - Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W610X140 submetidas a carga concentrada no meio do vo ..................................... 71

Figura 4.23 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W360x51 submetidas a carga concentrada no meio do vo. .................................... 72

Figura 4.24 Momento fletor resistente de vigas derivadas do perfil W150X18 submetidas a carga concentrada no meio do vo ..................................... 72

Figura 4.25 Curva Momento versus deslocamento da VCP 229x102x5,8x7,1 com 4,66 m de vo ........................................................................................... 76

Figura 4.26 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 229x102x5,8x7,1 com 4,66 m de vo, quando atinge o momento resistente ................................ 77

Figura 4.27 Seo da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 com distoro da alma submetida a carga concentrada no meio do vo ....................................... 78

Figura 4.28 Distribuio de tenses de von Mises da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 com 4,15 m de vo quando atinge o momento resistente ......................... 78

Figura 4.29 Modo de flambagem da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 de 4,15 m de vo ............................................................................................................ 79

Figura 5.1 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W610x140 submetidas a momento constante ............................................. 83

Figura 5.2 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W310x51 submetidas a momento constante ............................................... 84

Figura 5.3 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W150x18 submetidas a momento constante ............................................... 84

Figura 5.4 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W610x140 submetidas a carga uniformemente distribuda ........................ 85

xiii

Figura 5.5 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W310x51 submetidas carga a uniformemente distribuda .......................... 86

Figura 5.6 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W150x18 submetidas carga a uniformemente distribuda .......................... 86

Figura 5.7 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W610x140 submetidas a carga concentrada ............................................... 87

Figura 5.8 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W360x51 submetidas a carga concentrada ................................................. 88

Figura 5.9 Curvas momento versus comprimento para vigas originadas do perfil W150x18 submetidas a carga concentrada ................................................. 88

Figura 5.10 Diferena entre os resultados da anlise numrica e do procedimento baseado na NBR 8800:2008 para vigas submetidas a momento constante ................................................................................................................. 89

Figura 5.11 Diferena entre os resultados da anlise numrica e do procedimento baseado na NBR 8800:2008 para vigas submetidas a carga uniformemente distribuda ....................................................................... 90

Figura 5.12 Diferena entre os resultados da anlise numrica e do procedimento baseado na NBR 8800:2008 para vigas submetidas a carga concentrada ... ................................................................................................................. 90

Figura 5.13 Diferena entre os resultados da anlise numrica e o procedimento baseado na EN 1993-1-1:2005 para vigas submetidas a momento constante .................................................................................................. 91

Figura 5.14 Diferena entre os resultados da anlise numrica e a procedimento baseado na EN 1993-1-1:2005 para vigas submetidas a carga uniformemente distribuda ....................................................................... 92

Figura 5.15 Diferena entre os resultados da anlise numrica e o procedimento baseado na EN 1993-1-1:2005 para vigas submetidas a carga concentrada ................................................................................................................. 92

xiv

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 Valores para o fator de imperfeio para as curvas de flambagem ........... 26

Tabela 2.2 Curvas recomendada para diferentes sees transversais .......................... 27

Tabela 3.1 - Resultados para momento constante .......................................................... 43

Tabela 3.2 Resultados para carga concentrada ............................................................ 43

Tabela 3.3 Resultados para carregamentos uniformemente distribudo ...................... 43

Tabela 3.4 Propriedades geomtricas dos ensaios e resultados dos momentos obtidos Tabela 4.1 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 submetida a momento constante .................... 45

Tabela 4.2 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 submetida a momento constante ................... 52

Tabela 4.3 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 submetida a momento constante ............................... 53

Tabela 4.4 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 submetida a momento constante ..................... 53

Tabela 4.5 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 submetida a momento constante ........................ 54

Tabela 4.6 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 229,5x102x5,8x7,1 submetida a momento constante ....................... 54

Tabela 4.7 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga uniformemente distribuda ... .................................................................................................................... 64

Tabela 4.8 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga uniformemente distribuda .. .................................................................................................................... 64

Tabela 4.9 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga uniformemente distribuda .......... 65

Tabela 4.10 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga uniformemente distribuda ....... 65

Tabela 4.11 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga uniformemente distribuda ......... 66

xv

Tabela 4.12 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga uniformemente distribuda ......... 66

Tabela 4.13 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga concentrada.................... 73

Tabela 4.14 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 925,5x230x22,2x13,1 submetida a carga concentrada ................... 73

Tabela 4.15 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga concentrada...................... 74

Tabela 4.16 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 532,5x171x11,6x7,2 submetida a carga concentrada ..................... 74

Tabela 4.17 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCP 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga concentrada ....................... 75

Tabela 4.18 Tabela comparativa de momento resistente da viga VCA 229,5x102x5,8x7,1 submetida a carga concentrada ....................... 75

xvi

LISTA DE SMBOLOS

Romanos maisculos

Ar rea do reforo da abertura;

Cb fator de modificao para diagrama de momento fletor no-uniforme;

Cbr fator de modificao para diagrama de momento fletor no-uniforme reduzido;

Cc fator de correo do momento crtico elstico devido ao processo de fabricao das vigas casteladas;

Cw constante de empenamento;

E mdulo de elasticidade do ao;

F fora concentrada;

F fora;

G mdulo de elasticidade transversal;

Iy momento de inrcia em relao ao eixo y;

J constante de toro;

Kopt rigidez tima da conteno lateral;

L comprimento da viga;

Lb comprimento destravado;

Lr comprimento relacionado ao inicio do escoamento;

Lr,cor comprimento relacionado ao inicio do escoamento corrigido;

M0cr momento crtico elstico das vigas casteladas com as propriedades determinadas no centro das aberturas;

MA momento fletor, em mdulo, na seo situada a um quarto do comprimento

MB momento fletor , em mdulo, na seo central do comprimento destravado;

MC momento fletor, em mdulo, na seo situada a trs quartos do comprimento

Mcr - momento crtico elstico;

Mmax momento fletor mximo, em mdulo, no comprimento destravado;

Mpl momento de plastificao;

Mr momento fletor correspondente ao incio do escoamento;

xvii

MRk - momento fletor nominal resistente;

P carga aplicada;

Rr fator de reduo para Cb;

V fora cortante;

W mdulo de resistncia elstico da seo;

XLT - fator de reduo para a flambagem lateral com toro calculado pela norma europia EN 1993-1-1:2005;

Z mdulo de resistncia plstico da seo.

Romanos minsculos

a0 - comprimento da abertura;

bf largura da mesa;

d altura total da seo transversal;

do altura da abertura da viga castelada;

fu resistncia ruptura do ao trao;

fy resistncia ao escoamento do ao;

h altura da alma;

h0 - altura da abertura;

q carga uniformemente distribuda;

ry raio de girao da seo em relao a eixo y;

tf espessura da mesa;

tw espessura da alma da viga.

Gregos

ngulo de toro;

LT - fator de imperfeio para a flambagem lateral com toro calculado pela norma europia EN 1993-1-1;

ndice de esbeltez; parmetro de esbeltez;

p parmetro de esbeltez limite para sees compactas;

r parmetro de esbeltez limite para sees semicompactas;

xviii

deslocamento lateral;

p tenso de inicio de escoamento sem tenses residuais;

r tenso residual;

rc tenso residual de compresso;

rt tenso residual de trao;

empenamento;

xix

RESUMO

As vigas casteladas so fabricadas a partir de perfis laminados a quente e possuem

vantagens como, maior rigidez a flexo, passagem de dutos de utilidades pelas

aberturas, so mais econmicas e bom aspecto esttico. Devido presena das aberturas

na alma da viga, podem aparecer diversos modos de colapso, que dependem da

geometria da viga, das dimenses das aberturas e das condies de contorno.

Assim neste trabalho proposto um procedimento para determinao do momento fletor

resistente nominal de vigas casteladas, de padro Peiner e anglo saxnico, para o

estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro, para os casos em que as vigas

possuem vnculo de garfo (empenamento livre e toro impedida) nas extremidades e

estejam submetidas a momento uniforme, a carga uniformemente distribuda e a carga

concentrada na seo central. Para tal foi projetada e aferida uma modelagem numrica

pelo Mtodo dos Elementos Finitos, para anlise no-linear, prevendo comportamentos

elstico e inelstico e a influncia das tenses residuais, usando o programa ABAQUS

Os resultados foram comparados com valores de momento resistente a flambagem

lateral com toro obtidos pelo procedimento da norma brasileira ABNT

NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia com os perfis originais e com perfis

hipotticos de mesma altura das vigas casteladas. Tambm foram feitas comparaes

com os valores obtidos aplicando-se a formulao da norma brasileira a vigas

casteladas, tomando-se as propriedades geomtricas de uma seo transversal no centro

de uma abertura, a fim de obter um procedimento de clculo de fcil utilizao prtica.

Os resultados numricos tambm foram comparados com a curva c da norma europia

EN 1993-1-1:2005.

Palavras-chave: Vigas de ao; Vigas casteladas; Flambagem lateral com toro.

xx

ABSTRACT

Castellated steel beams are fabricated from standard hot-rolled I-sections and have

many advantages including greater bending rigidity, economic construction, ease of

services through the web openings and good aesthetic appearance. However, the

castellation of beams results in different failures modes that depending on geometry of

beam, size of web openings and type of loading and lateral restraints conditions.

In this work, a procedure for determination of nominal resistance to bending moment

for castellated steel beams, considering the Peiner and the anglo-saxon patterns, for

lateral torsional buckling limit state is proposed. The beams are submitted to uniform

bending, uniform distributed and loading and concentrated load and the twisting

rotations at beam ends are prevented and the warping displacements are released. To get

this procedure a numerical analysis was elaborated and validated, that considers the

nonlinear response of the material, the residual stresses and geometrical nonlinear

behavior of the structure, using ABAQUS.

The results of the numerical analysis are compared to results obtained for similar plain

web and real profile using brazilian code NBR 8800:2008. The results are also

compared to results obtained using the procedures of brazilian code considering the

geometrical properties of the net section in the center of the holes of castellated beams.

All this comparisons have the purpose to get a practical and easy procedure for

determination of nominal resistance for castellated steel beams. The results are also

compared to standard EN 1993-1-1:2005.

Key-words: Steel beams; Steel Castellated beams; Lateral Torsional Buckling.

1 INTRODUO

1.1 Generalidades

Vigas com aberturas seqenciais na alma, denominadas usualmente vigas alveolares,

so bastante empregadas nos pases do primeiro mundo, mas ainda pouco usadas no

Brasil. No existem regras rgidas para a escolha da geometria das aberturas (alvolos),

mas estas, por facilidade de fabricao, geralmente possuem formas regulares, como

retangular, circular, octogonal, hexagonal e circular alongada (Figura 1.1).

a) Retangular b) Circular e octogonal

c) Hexagonal d) Circular alongada

Figura 1.1 Geometrias das aberturas (LIU & CHUNG, 2003)

2

A geometria de abertura mais utilizada a hexagonal (Figura 1.2), gerando as chamadas

vigas casteladas, que so tratadas neste trabalho.

Figura 1.2 Vigas casteladas

1.2 Fabricao das Vigas Casteladas

A fabricao das vigas casteladas feita normalmente a partir de um perfil laminado de

seo I de faces paralelas, cuja alma inicialmente cortada longitudinalmente em

zigue-zague trapezoidal (Figura 1.3). Em seguida, as duas metades so defasadas e

soldadas pelo eixo, formando as aberturas hexagonais em seqncia ao longo da alma.

Figura 1.3 Esquema de fabricao das vigas casteladas (GRUMBAUER BV, 2009)

3

1.3 Vantagens e Desvantagens das Vigas Casteladas

As vigas casteladas apresentam como maior vantagem o fato de, com praticamente a

mesma quantidade de ao dos perfis originais, possurem capacidade resistente ao

momento fletor muito superior destes ltimos, por causa da maior altura da seo

transversal. interessante citar que, caso ainda seja necessria maior capacidade

resistente, existe a possibilidade de inserir chapas planas retangulares entre as duas

metades cortadas do perfil original, obtendo-se assim uma viga com seo transversal

de altura ainda mais elevada (Figura 1.4). Nesse caso, as aberturas passam a ter forma

octogonal.

Figura 1.4 - Vigas casteladas com chapas planas inseridas na semi-altura

(GRUMBAUER BV, 2009)

Salienta-se que no Brasil a produo de perfis laminados de faces paralelas foi iniciada

apenas em 2002, pela Gerdau Aominas, com peas de altura de seo transversal

mxima de 610 mm. Uma viga com essa altura, em edificaes convencionais, sem

contar com a contribuio da laje de concreto (com essa contribuio se teria a chamada

viga mista de ao e concreto), consegue vencer um vo de cerca de 10 metros.

Obviamente, a viga castelada pode ser utilizada com eficincia para vos maiores.

4

Embora tenha sido mencionado o aumento da capacidade resistente ao momento fletor,

proporcionado pela elevao da altura da seo transversal, evidentemente que se eleva

tambm significativamente a rigidez flexo da seo transversal. Assim, as vigas

casteladas constituem uma soluo particularmente interessante quando existem

problemas relacionados a flechas ou vibraes de piso excessivas.

Sob ponto de vista econmico, as operaes de fabricao das vigas casteladas

apresentam custo relativamente pequeno, ou, em outras palavras, seu custo

amplamente compensado pelos aumentos da capacidade resistente e da rigidez. Esses

aumentos, por proporcionarem o cobrimento de maiores vos, permitem a reduo do

nmero de pilares e de elementos de fundao, levando a uma montagem mais rpida e

menos dispendiosa. Quando comparadas s trelias de cobertura no vencimento de

grandes vos, as vigas casteladas apresentam menores custos de fabricao, montagem e

manuteno.

Outra vantagem importante a possibilidade da passagem de dutos pelas aberturas

(Figura 1.5), dispensando-se cortes na alma ou aumento da altura da construo para

manuteno do p-direito dos pavimentos, necessrio quando os dutos passam sob as

vigas.

Figura 1.5 Passagem de dutos pelas aberturas (CORUS, 2009)

5

Uma vantagem adicional interessante o aspecto esttico das vigas casteladas, bastante

apreciado pelos arquitetos, que freqentemente as utilizam em locais nos quais ficam

visveis. Os arquitetos valorizam ainda o fato de que as aberturas proporcionam maior

iluminao e circulao de ar no ambiente.

As vigas casteladas tm fabricao bastante flexvel. possvel modificar sua

capacidade resistente alterando-se o padro de corte e tambm produzir peas de altura

varivel. Para isso, executa-se o corte com alinhamento levemente inclinado em relao

ao eixo do perfil, aps o qual uma das metades invertida e soldada outra, conforme

se v na Figura 1.6.

Figura 1.6 Esquema de fabricao de viga castelada de altura varivel

(GRUMBAUER BV, 2009)

Em contrapartida s vantagens, as vigas casteladas apresentam capacidade resistente

reduzida fora cortante, razo pela qual so mais apropriadas para grandes vos

sujeitos a cargas pequenas. Essa pequena resistncia fora cortante pode exigir, em

alguns casos, a colocao de reforo na alma, muitas vezes constitudos por chapas que

preenchem uma ou mais aberturas (Figura 1.7). O trabalho adicional para colocao das

chapas de preenchimento apresenta custo significativo, considerando, principalmente,

que cada chapa requer pelo menos seis segmentos de solda.

6

Figura 1.7 Viga com aberturas preenchidas com chapas junto aos apoios

Outra situao que pode exigir reforo na alma quando existem, simultaneamente,

altos valores de momento fletor e fora cortante em uma mesma regio da viga, como

comum nas vigas contnuas, nas vigas ligadas rigidamente em pelo menos uma das

extremidades e nas vigas em balano. Assim, o uso mais eficiente das vigas casteladas

se d quando os mximos valores desses dois esforos solicitantes ocorrem em sees

transversais distantes.

No caso de vigas que pertenam a construes que tenham que atender a rigorosos

critrios de resistncia contra incndio, as vigas casteladas podem perder uma parte de

sua competitividade, pois o material de proteo necessita ser por volta de 20% mais

espesso que nas vigas de alma cheia (a Figura 1.8 mostra uma viga castelada com

proteo contra incndio proporcionada por argamassa projetada),

(GRUMBAUER BV, 2009).

As vigas casteladas so ainda pouco eficientes na resistncia aos esforos decorrentes

de foras localizadas, especialmente quando atuam em uma ou nas duas mesas

comprimindo a alma. Assim, a reduzida capacidade resistente da alma a essas foras

pode tambm exigir a colocao de reforos, como se mostrou na Figura 1.7.

7

Figura 1.8 Viga castelada protegida contra incndio por argamassa projetada

1.4 Configuraes das Aberturas

Ao se projetar uma viga castelada, o primeiro passo definir os diversos parmetros

geomtricos relacionados s aberturas. Na Europa, tradicionalmente, so muito usadas

as vigas de padro Peiner, que possuem as seguintes caractersticas (Figura 1.9):

- relao entre altura da viga castelada e altura da abertura (d/do) igual 1,5 (observa-se

aqui que do tambm a altura do perfil original);

- lance (deslocamento que uma metade sofre em relao outra aps o corte, para

formar a viga castelada) igual altura da viga d;

- ngulo de corte dos lados inclinados da abertura hexagonal igual a 63,5.

Esses trs condicionantes definem completamente a geometria da viga castelada. Com

elas, o comprimento das soldas entre as duas metades se torna igual a d0/2 e a maior

largura das aberturas na direo do eixo da viga igual a d0.

8

Figura 1.9 Vigas casteladas de padro Peiner

Na Inglaterra, Estados Unidos e Canad, normalmente adotado um padro um pouco

diferente do anterior, conhecido como padro anglo-saxnico, caracterizado pelas

seguintes caractersticas (Figura 1.10), de acordo com a BS 5950-1:2000:

- relao entre altura da viga e altura da abertura (d/do) igual 1,5 (como no padro

Peiner);

- lance igual a 1,08 vez a altura da abertura d0;

- ngulo de corte igual a 60.

Figura 1.10 - Vigas casteladas de padro anglo-saxnico (adaptada da BS 5950-1:2000)

9

Esses condicionantes levam a uma pea com comprimento das soldas entre as duas

metades menor, igual a um quarto do lance, em comparao com o padro Peiner, no

qual o comprimento igual a um tero do lance.

Os padres Peiner e anglo-saxnico foram criados a partir de antigas limitaes dos

mtodos de produo. Atualmente, com o avano desses mtodos, possvel definir

outros padres que atendam de forma mais econmica s necessidades de um

determinado projeto.

Um outro padro, menos comum, denominado Litzka, usado na Europa. Em algumas

publicaes, como GRUMBAUER BV (2009), esse padro referenciado como igual

ao Peiner. Em outras, como o Manual Brasileiro para Clculo de Estruturas Metlicas

(1986), o padro Litzka apresenta caractersticas prprias.

1.5 Modos de Colapso

A presena de aberturas na alma no somente altera os modos de colapso das vigas de

alma cheia, como tambm possibilita o aparecimento de novos modos (KERDAL &

NETHERCOT, 1984). Os modos de colapso da viga castelada esto associados

geometria da barra, esbeltez da alma, geometria do corte (altura, largura, ngulo e

espaamento das aberturas) e ao tipo de carregamento.

Considerando um carregamento que produza momento fletor e fora cortante, o colapso

pode ocorrer por:

formao de um mecanismo Vierendel ou de cisalhamento; formao de rtula plstica; ruptura da solda entre as aberturas; flambagem do montante da alma devido fora cortante; flambagem por compresso do montante da alma; flambagem lateral com toro (acompanhada ou no de distoro da alma).

10

1.5.1 Formao do mecanismo Vierendel ou de cisalhamento

A formao do mecanismo Vierendel est relacionada com a presena de altos valores

de fora cortante na viga. H a formao de rtulas plsticas nos cantos das aberturas,

deformando-as para uma espcie de paralelogramo. Vigas de pequenos vos com

pequenas alturas dos ts superior e inferior e grande comprimento de solda entre duas

aberturas so propensas a esse modo de colapso. Em vigas casteladas sujeitas a foras

cortantes, os ts superior e inferior resistem cortante aplicada, assim como a

momentos primrios e secundrios (o momento primrio o momento fletor na seo

transversal da viga e o momento secundrio, tambm conhecido como momento

Vierendel, resulta da ao da fora cortante nos ts na direo horizontal das

aberturas). medida que o comprimento horizontal das aberturas diminui, o momento

secundrio tambm diminui. O colapso ir acontecer sobre a abertura em que a mxima

fora cortante estiver atuando ou, se mais aberturas estiverem sujeitas mesma fora

cortante, ento a abertura que estiver sofrendo o maior momento ser a que entrar em

colapso. A Figura 1.11 mostra esse tipo de colapso.

Figura 1.11 Formao do mecanismo Vierendel (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999)

1.5.2 Formao de rtula plstica

Sob ao do momento fletor, os ts superior e inferior escoam por trao e

compresso formando uma rtula plstica. O momento resistente relacionado a esse

modo de colapso igual ao momento de plastificao, Mpl, no centro da abertura. Esse

momento dado pelo produto Zfy, onde Z o mdulo plstico no centro da abertura e fy a resistncia ao escoamento do ao.

11

1.5.3 Ruptura da solda entre as aberturas

A solda entre duas aberturas pode entrar em colapso quando a tenso horizontal de

cisalhamento atuante excede sua capacidade resistente (Figura 1.12). Esse modo de

colapso depende do comprimento entre as aberturas (quanto menor o comprimento,

maior a possibilidade de ocorrncia).

Figura 1.12 Ruptura da solda entre as aberturas (adaptada de DEMIRDJIAN, 1999)

1.5.4 Flambagem do montante da alma devido fora cortante

A fora cortante horizontal, F, atuando ao longo da solda produz um momento no

montante da alma, que equilibrado pela fora cortante V/2, conforme mostra a

Figura 1.13. Assim, a face AB fica tracionada e a face CD comprimida, podendo

flambar. Essa flambagem caracterizada por um giro em torno do eixo xx.

Figura 1.13 Flambagem da montante da alma devido fora cortante

(REDWOOD & DERMIDJIAN, 1998)

12

1.5.5 Flambagem por compresso do montante da alma

Uma fora localizada ou uma reao de apoio aplicada diretamente no montante da

alma pode resultar na sua flambagem. Essa flambagem, similar flambagem por flexo

de uma barra axialmente comprimida, no acompanhada do giro como na flambagem

devido fora cortante.

1.5.6 Flambagem lateral com toro

As vigas casteladas podem apresentar flambagem lateral com toro, fenmeno que

pode ser potencializado pela distoro da alma e ser explicado detalhadamente no

Cap. 2.

1.6 Objetivo

Este trabalho tem como objetivo a determinao do momento fletor resistente para o

estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro de vigas casteladas de ao com

seo duplamente simtrica, de padres Peiner e anglo-saxnico. Para isso ser feita

uma anlise no-linear pelo Mtodo dos Elementos Finitos, prevendo comportamento

elstico e inelstico e a influncia das tenses residuais, usando o Programa ABAQUS

(HIBBIT et al.,1998).

Tambm tem como objetivo a proposio de procedimentos de clculo para a

determinao do momento resistente que sejam de fcil utilizao e que tenham por

base as formulaes da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e da norma europia

EN 1993-1-1:2005 para vigas de alma cheia.

1.7 Justificativa

Apesar de as vigas casteladas apresentarem a vantagem de possuir maiores rigidez

flexo e resistncia ao momento fletor em relao aos perfis originais, e apresentarem

outras vantagens (ver subitem 1.3), so pouco conhecidas pelos projetistas e no so

13

previstas por normas brasileiras e pelas principais normas internacionais. Assim, o

desenvolvimento de pesquisas relacionadas a essas vigas importante para o incentivo

sua produo pelas empresas do setor de estruturas de ao e para futura incluso de

mtodos de clculo sobre as mesmas nas normas brasileiras e mesmo estrangeiras.

1.8 Metodologia

Para alcanar os objetivos deste trabalho, foram cumpridas as seguintes etapas de

atividade:

1) estudo da flambagem lateral com toro envolvendo todos os fatores que

influenciam o fenmeno;

2) reviso dos procedimentos de determinao do momento resistente a flambagem

lateral com toro da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e europia EN 1993-

1-1:2005;

3) reviso bibliogrfica especfica, limitada aos casos de flambagem lateral com

toro em vigas casteladas;

4) desenvolvimento de um modelo numrico para determinao do momento fletor

resistente flambagem lateral com toro de vigas de ao prevendo

comportamentos elstico e inelstico e a influncia das tenses residuais usando o

programa ABAQUS (HIBBIT et al.,1998);

5) aferio do modelo numrico, utilizando-se resultados tericos, numricos e

experimentais disponveis na literatura;

6) processamento de vigas casteladas com alturas diferentes, procurando abranger o

comportamento de peas em uma ampla faixa da construo metlica, para o

obteno do momento fletor resistente;

7) distribuio dos momentos resistentes obtidos em curvas, relacionado-os com o

comprimento destravado;

14

8) comparao das curvas obtidas numericamente com aquelas traadas com o

procedimento da norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 para vigas de alma cheia

com os perfis originais e com perfis hipotticos de mesma altura das casteladas. E

curvas obtidas aplicando-se, sem modificao a formulao da norma brasileira s

vigas casteladas, considerando as propriedades geomtricas da seo transversal no

centro das aberturas;

9) comparao das curvas obtidas numericamente com aquelas traadas com o

procedimento da norma europia EN 1993-1-1:2005, considerando-se as

propriedades geomtricas da seo transversal considerada no centro das aberturas;

10) proposio de procedimentos analticos para obteno do momento fletor resistente

nominal com base na norma brasileira e norma europia.

2 FLAMBAGEM LATERAL COM TORO

2.1 Definio do Fenmeno

A flambagem lateral com toro um estado limite-ltimo que pode ocorrer nas vigas,

causado pelo momento fletor. Nos perfis I, pode ser explicado pelo fato da parte

comprimida da seo transversal tornar-se instvel, mas por ser ligada continuamente

por meio da alma parte tracionada, o efeito estabilizador desta faz com que ocorra uma

translao lateral (z) acrescida de uma toro (z), conforme a Figura 2.1.

Figura 2.1 Flambagem lateral com toro (adaptado de SAYED-AHMED, 2004)

16

2.2 Fatores que influenciam

O momento fletor resistente nominal flambagem lateral com toro depende de vrios

fatores, entre os quais se destacam:

a) O comprimento destravado

Quanto maior o comprimento destravado (Lb), menor ser o momento fletor

resistente da viga.

b) As condies de contorno de sees com restrio flambagem lateral com toro

Os quatro deslocamentos importantes, que podem ser impedidos em uma seo

transversal, restringindo a possibilidade de ocorrncia da flambagem lateral com

toro, so a rotao e o empenamento , que uma funo de , decorrentes da

toro, o deslocamento do centro de toro no plano perpendicular ao de flexo, ,

e a rotao correspondente, . Quanto mais deslocamentos forem impedidos, maior

ser a capacidade resistente da viga. Em grande parte das vezes, na prtica, as

condies de contorno costumam apresentar as seguintes caractersticas:

- todos os deslocamentos (, , e ) impedidos, em um tipo de restrio flexo-

toro denominado vnculo engastado;

- os deslocamentos e impedidos e e liberados, em um tipo de restrio

denominado vnculo de garfo.

A Figura 2.2 ilustra os modos de flambagem, em planta, de uma viga de seo I

com esses dois vnculos em ambas as extremidades do comprimento destravado.

17

a) Vnculo engastado b) Vnculo de garfo

Figura 2.2 Modos de flambagem de uma viga de seo I (adaptada de REIS, 1996)

c) Variao do momento fletor

A situao mais desfavorvel aquela em que o momento fletor constante ao

longo do comprimento destravado, j que causa compresso de mesma magnitude

em uma parte da seo transversal em todo esse comprimento.

Dependendo da variao do momento fletor pode-se ter uma situao mais ou

menos agravada.

d) Descontinuidade da seo transversal de viga

Os recortes nas mesas das vigas (Figura 2.3.a), para facilitar sua ligao a outros

componentes da estrutura, podem reduzir significativamente o momento fletor

resistente nominal da viga flambagem lateral com toro. As aberturas na alma

(Figura 2.3.b), usadas, por exemplo, para a passagem de dutos, tambm podem

reduzir esse momento resistente.

a) Recorte na mesa b) Abertura na alma

Figura 2.3 Descontinuidade da seo transversal (adaptada de REIS, 1996)

18

e) Cargas transversais estabilizantes ou desestabilizantes

Cargas transversais aplicadas acima da semi-altura da seo transversal so

denominadas cargas desestabilizantes, pois potencializam o movimento de toro e o

momento resistente da viga se reduz (Figura 2.4.b). Ao contrrio, cargas transversais

aplicadas abaixo da semi-altura da seo transversal so denominadas cargas

estabilizantes, pois aliviam o movimento de toro e o momento resistente se eleva

(Figura 2.4.c). J as cargas aplicadas na semi-altura no so nem estabilizantes nem

desestabilizantes (Figura 2.4.a).

(a) Carga na semi-altura b) Carga desestabilizante (c) Carga estabilizante

Figura 2.4 Cargas estabilizantes e desestabilizantes

f) Tenses residuais

A magnitude e a distribuio das tenses residuais antecipam a passagem da

flambagem lateral com toro do regime elstico para o inelstico (ver item 2.3).

g) Imperfeies geomtricas

Por imperfeies geomtricas entende-se tanto a excentricidade da linha de ao

das cargas em relao ao centro de toro (Figura 2.5.a), quanto uma rotao inicial

(Figura 2.5.b) ou uma curvatura inicial perpendicular ao carregamento (Figura

2.5.c).

P P P P

P P

19

a) Excentricidade de carga b) Rotao inicial c) Curvatura inicial

Figura 2.5 Imperfeies geomtricas

2.3 Distribuio das Tenses Residuais

Denominam-se tenses residuais s tenses normais ou de cisalhamento que aparecem

durante o resfriamento no-uniforme de um perfil, decorrentes do processo de

fabricao. A distribuio das tenses residuais depende das dimenses da seo

transversal, da temperatura da laminao ou soldagem, das propriedades do material e

das condies de resfriamento. Como as tenses residuais so internas, ou seja, no so

causadas por aes externas, possuem resultantes de fora e momento nulas.

Em perfis laminados a quente, por exemplo, as regies das extremidades das mesas e do

centro da alma, nas quais existe menor quantidade de material concentrado, se resfriam

primeiro, diminuem livremente de volume e passam a resistir diminuio de volume

das demais partes, que ainda permanecem mais aquecidas. Como consequncia, quando

o resfriamento completado, aquelas partes que resfriaram primeiro ficam com tenses

residuais de compresso e as partes que se resfriaram mais tarde ficam com tenses

residuais de trao (Figura 2.6).

20

Figura 2.6 Tenses residuais em perfis I laminado

Na produo de perfis soldados, de modo geral, cortam-se longitudinalmente as chapas

a maarico. Nesse primeiro procedimento, as extremidades dessas chapas ficam mais

aquecidas, resfriando-se por ltimo, ficando assim tracionadas, ao contrrio da regio

central que fica comprimida. Em seguida, a soldagem com a chapa da alma aquece com

mais intensidade as regies prximas das soldas, que tambm resfriam por ltimo,

ficando tracionadas, e as demais regies comprimidas. A Figura 2.7 mostra a

distribuio de tenses residuais em uma chapa aps o corte das bordas longitudinais

por maarico e em um perfil I soldado.

Figura 2.7 Tenses residuais em uma chapa aps o corte e em perfil I soldado

21

fy

p = fy - r

sem tenses residuais (corpo de prova)

com tenses residuais

(barra)

r

Em uma barra com tenses normais residuais, o escoamento se inicia em uma tenso p,

inferior resistncia ao escoamento fy obtida no ensaio de um corpo de prova sem

tenses residuais. Essa tenso em que o escoamento se inicia a tenso normal causada

pela fora externa que, somada ao mximo valor da tenso normal residual (r), fornece

uma tenso igual resistncia ao escoamento do ao fy. Logo:

ryp f = (2.1)

Continuando a aumentar a fora externa, o escoamento vai atingindo gradativamente

toda seo transversal da barra, com as deformaes crescendo de forma no-linear com

as tenses normais. O escoamento se completa quando a tenso externa atuante se torna

igual resistncia ao escoamento do ao fy. A Figura 2.8 mostra o comportamento

descrito, vlido tanto para trao quanto para compresso.

Figura 2.8 Diagrama tenso normal versus deformao com e sem tenses residuais

De acordo com a ABNT NBR 8800:2008, a tenso residual de compresso nas mesas

das vigas, r, para efeito de consideraes da flambagem lateral com toro, deve ser

tomada igual a 30% da resistncia ao escoamento do ao utilizado. A utilizao desse

valor constante, dependente da resistncia ao escoamento, e tem o objetivo de

simplificar os procedimentos de clculo.

22

2.4 Distoro da alma

A flambagem lateral com toro envolve um deslocamento lateral e um giro da seo

transversal sem que ocorram deformaes no plano da seo transversal. Mas para vigas

com comprimentos destravados intermedirios, a flambagem lateral com toro pode

ocorrer juntamente com a flambagem local da alma mudando assim a geometria da

seo transversal da viga, ou seja, ocorre a distoro da alma (Figura 2.9). Dessa forma

essa distoro da alma diminui a rigidez a toro da viga, diminuindo assim o momento

fletor resistente.

Figura 2.9 Flambagem lateral com toro acompanhada da distoro da alma

(adaptada de ELLOBODY, 2011)

2.5 Momento resistente nominal de acordo com as normas de projeto

2.5.1 Norma brasileira ABNT NBR 8800:2008

2.5.1.1 Generalidades

A norma ABNT NBR 8800:2008 apresenta um procedimento para o clculo do

momento fletor resistente nominal flambagem lateral com toro de vigas com seo I

de alma cheia que atendam s condies:

23

vnculos de garfo nas extremidades do comprimento destravado;

foras transversais externas aplicadas na semi-altura da seo transversal;

seo transversal constante ao longo do comprimento destravado.

Adicionalmente, o procedimento no leva em conta a distoro da alma, que no

significativa em vigas de alma cheia.

Deve-se salientar que o procedimento ABNT NBR 8800:2008 conduz aos mesmos

resultados do procedimento da norma americana ANSI/AISC 360-05.

Salienta-se que a norma brasileira, seguindo a americana, trabalha com um ndice de

confiabilidade em torno de 2,6 e despreza as imperfeies geomtricas iniciais.

2.5.1.2 Procedimento

O momento fletor resistente nominal para o estado-limite ltimo de flambagem lateral

com toro, para vigas com seo I com dois eixos de simetria, fletidas em relao ao

eixo de maior momento de inrcia (eixo x), em regime elstico, dado por :

plw

b

y

w

b

ybcr MC

JLIC

L

EICM

+=

2

2

2

039,01

(2.2)

onde Lb o comprimento destravado, E o mdulo de elasticidade longitudinal do ao, Iy

o momento de inrcia em relao ao eixo y, J a constante de toro e Cw a constante de

empenamento.

J Cb chamado de fator de modificao para diagrama de momento no-uniforme.

Tem a funo de levar em conta a influncia da variao do momento fletor ao longo do

comprimento destravado Lb, e dado por:

0,33435,2

5,12

max

max +++= cBAb MMMMMC (2.3)

24

onde Mmax o momento fletor mximo, em mdulo, no comprimento destravado, MA o

momento fletor, em mdulo, na seo situada a um quarto do comprimento destravado,

MB o momento fletor , em mdulo, na seo central do comprimento destravado, e MC o

momento fletor, em mdulo, na seo situada a trs quartos do comprimento

destravado, medidos a partir da extremidade da esquerda.

Em trechos em balano, entre uma seo com restrio translao lateral e toro e a

extremidade livre, deve-se tomar Cb igual a 1,0.

A flambagem lateral com toro em regime elstico ocorre se o parmetro de esbeltez

for maior que r, sendo:

y

b

rL= (2.4)

y

w

y

yr I

CJr

JI 21

1

271138,1

++= (2.5)

onde ry o raio de girao da seo em relao ao eixo y e

( )EJ

Wf xry =1 (2.6)

( )4

2fy

w

tdIC

= (2.7)

sendo d a altura da seo, tf a espessura da mesa, fy a resistncia ao escoamento do ao,

Wx o mdulo de resistncia elstico da seo relativo ao eixo de flexo (eixo x) e r a

tenso residual de compresso nas mesas, tomada igual a 0,30fy.

Para que o colapso ocorra por meio da plastificao total da seo transversal, o

parmetro deve ser menor que p que dado por:

yp f

E76,1= (2.8)

Dessa maneira, o momento fletor nominal resistente, MRk, ser igual ao momento de

plastificao, Mpl.

25

Se o parmetro estiver entre p e r, a flambagem lateral com toro ocorre em regime

inelstico e o momento resistente dado simplificadamente pela equao de uma reta

que une os pontos (Mpl, p) e (Mr, r) multiplicada por Cb (Figura 2.10) e limitada por

Mpl:

plpr

prplplbRk MMMMCM

=

)()(

)(

(2.9)

onde

( )ryxr fWM = (2.10) MRk

Mpl

Mr

Mpl inelstica elstica

rp = Lb / ry

Cb = 1 0.FLT FLT

( ) plpr

prplplb MMMMC

Cb > 1 0.

crM

Figura 2.10 Momento fletor resistente nominal MRk em funo da esbeltez

O procedimento apresentado para o clculo do momento fletor resistente na norma

brasileira na verso de 2008 (ABNT NBR 8800:2008) apresenta inconsistncia terica

quando Cb maior que 1,0. O final do regime elstico deveria acontecer para um r

correspondente a Mcr, que seria igual a MRk, mas como Mcr funo de Cb, r tambm

deveria ser. No entanto, o valor de r foi mantido constante, com o valor correspondente

a Cb igual a 1,0, o que faz com que, a rigor, MRk perca seu significado fsico de

momento fletor correspondente ao final do regime elstico. Apesar disso os resultados

so consistentes com os resultados de testes e atendem o ndice de confiabilidade

previsto.

26

2.5.2 Momento resistente nominal de acordo com a EN 1993-1-1:2005

Segundo a norma europia EN 1993-1-1:2005, o momento resistente nominal referente

ao estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro expresso por:

plLTRk MM = (2.11)

onde LT dado por:

1122

= LTLTLT (2.12)

sendo

( )[ ]22,015,0 LTLTLTLT ++= (2.13)

cr

plLT M

M= (2.14)

Na Eq. (2.13), LT um fator de imperfeio para as curvas de flambagem lateral com

toro, cujos valores so apresentados na Tabela 2.1, e na Eq. (2.14), Mpl o momento

de plastificao e Mcr o momento crtico elstico calculado de acordo com a teoria da

estabilidade.

Tabela 2.1 Valores para o fator de imperfeio para as curvas de flambagem

Curva de flambagem a b c d

Fator de imperfeio (LT) 0,21 0,34 0,49 0,76

A norma europia indica que as curvas sejam escolhidas em funo do tipo de seo

transversal conforme com a Tabela 2.2.

27

Tabela 2.2 Curvas recomendada para diferentes sees transversais

Seo transversal Limites Curva

seo laminada d/bf 2 a d/bf 2 b

seo soldada d/bf 2 c d/bf 2 d

outras sees - d

A EN 1993-1-1:2005 adota ndice de confiabilidade de 3,8 e, ao contrrio das normas brasileiras e americana, considera as influncias das imperfeies geomtricas iniciais.

2.5.3 Estudo comparativo entre a norma brasileira ABNT NBR 8800:2008 e a norma europia EN 1993-1-1:2005

Para efeito de comparao, foram traadas curvas do momento resistente nominal (MRk)

em funo de = Lb/ry de uma viga com seo I duplamente simtrica, com altura igual

a 500 mm, largura das mesas igual a 200 mm e espessura das mesas e da alma iguais a

19 mm e 8 mm, respectivamente, atravs dos procedimentos propostos pela norma

brasileira ABNT NBR 8800:2008 e pela norma europia EN 1993-1-1:2005. No caso da

norma europia, foram traadas apenas as curvas b e d, supondo que a viga possa ser

soldada ou laminada, pois, d/bf 2. Essas curvas foram obtidas para vigas submetidas a

momento fletor uniforme, a carga uniformemente distribuda e a carga concentrada no

meio do vo. Foram considerados fy igual a 345 MPa e E igual a 200 GPa. As curvas

so apresentadas nas Figuras 2.11 a 2.13.

28

Figura 2.11 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a

momento constante

Figura 2.12 Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a

carga uniformemente distribuda

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 50 100 150 200 250 300 350

MRk

(kN

.m)

= Lb /ry

ABNTNBR8800:2008

EN199311:2005Curvab

EN199311:2005Curvad

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 50 100 150 200 250 300 350

MRk

(kN

.m)

= Lb /ry

ABNTNBR8800:2008

EN199311:2005Curvab

EN199311:2005Curvad

29

Figura 2.13 - Momento resistente MRk em funo da esbeltez da viga submetida a carga concentrada no meio do vo

Percebe-se claramente que os momentos resistentes obtidos a partir da norma europia

so mais conservadores que os da norma brasileira, pois aquela considera as

imperfeies geomtricas iniciais e adota ndice de confiabilidade maior.

2.6 Histrico

O estado-limite ltimo de flambagem lateral com toro em vigas de ao vem sendo

estudado desde a metade do sculo XIX. No caso das vigas casteladas, as aberturas nas

almas podem influenciar no valor do momento fletor resistente. De acordo com

NETHECORT & KERDAL (1982), os primeiros ensaios onde o fenmeno foi relatado

nessas vigas foram realizados por TOPRAC & CROOKE (1959).

PATTNAYAK & CHESSON (1974) estudaram a flambagem lateral de vigas casteladas

usando o mtodo da energia em regime elstico. As tenses residuais e as concentraes

de tenses nos cantos das aberturas foram desprezadas. Esses autores apresentaram

solues para o momento resistente elstico para os casos de carga uniformemente

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 50 100 150 200 250 300 350

MRk

(kN

.m)

Lb (m)

ABNTNBR8800:2008

EN199311:2005Curvab

EN199311:2005Curvad

30

distribuda e carga concentrada no meio do vo. Essas cargas foram aplicadas nas mesas

superior e inferior e no nvel do centro de toro das vigas.

NETHECORT & KERDAL (1982) desenvolveram um trabalho experimental para

estudar a estabilidade lateral de vigas casteladas, no qual foram ensaiadas oito vigas em

escala real. Os resultados obtidos foram comparados com os do procedimento de

clculo da B/20:1978 (texto preliminar que deu origem norma britnica BS 5950) para

vigas de alma cheia, mas com as propriedades geomtricas da seo transversal

calculadas no centro da abertura. A Figura 2.14 mostra a configurao do ensaio, onde

os pontos A, B, C e D esto contidos lateralmente e o trecho B-D sujeito a momento

fletor constante, pior condio para flambagem lateral. Todas as vigas sofreram

flambagem lateral com toro e apresentaram resultados compatveis com o

procedimento de clculo da B/20 (com as propriedades geomtricas obtidas no centro

da abertura).

Figura 2.14 Esquema de ensaio das vigas em escala real

NETHECORT & KERDAL (1982) tambm ensaiaram, em escala reduzida, oito vigas

casteladas e duas vigas de alma cheia, todas em balano com uma carga concentrada na

extremidade livre, apenas com objetivo de comparar qualitativamente a ocorrncia do

fe

qu

D

co

re

du

se

co

on

da

re

ze

TH

ci

m

pr

enmeno da

ue ambos os

ARWIN (1

onsiderar a

esistente f

uplamente s

er calculada

onstante de

1 0bL

a

=

nde a0 e h0 s

a alma, d

eforo (para

ero).

HEVENDR

irculares ou

momento fle

roposto um

a flambagem

s tipos apre

Figura 2

990) prop

reduo da

flambagem

simtricas, c

as pelo pro

toro J pel

)2(20

fw

rw

bdtAth

+

so o comp

a altura d

a vigas com

RAN & SHA

u retangular

etor resisten

mtodo an

m lateral com

sentaram co

2.15 Vigas

s uma equa

resistncia

lateral com

com abertur

cedimento

lo seguinte

)

primento e a

da seo tra

reforo ape

ANMUGAM

res e mostra

nte para fl

naltico para

m toro no

omportamen

s em escala

ao para m

de vigas co

m toro d

ras retangul

de vigas d

valor:

a altura da a

ansversal, bfenas de um

M (1991) fi

aram como

lambagem

a determina

os dois tipos

ntos semelh

reduzidas a

modificar a c

om abertura

e vigas de

lares na alm

de alma che

abertura, res

f a largur

m lado da alm

izeram um e

essas aber

lateral com

ao do mo

s de viga. A

hantes (Figu

aps os ensa

constante de

as na alma.

ao com s

ma, com ou s

eia, apenas

spectivamen

ra das mesa

ma, Ar deve

estudo em v

rturas influe

m toro. N

omento resi

Ao final, con

ura 2.15).

aios

e toro, de

Assim, o m

seo transv

sem reforo

multiplican

nte, tw a e

as e Ar a

e ser tomado

vigas com a

enciam no v

Nesse traba

istente, leva

31

ncluram

e modo a

momento

versal I,

o, podem

ndo-se a

(2.15)

spessura

rea do

o igual a

aberturas

valor do

alho, foi

ando em

32

considerao a variao na posio das aberturas ao longo do vo da viga, envolvendo

inclusive casos com mltiplas aberturas na alma. Esses autores realizaram um conjunto

de ensaios e compararam os resultados experimentais com os do mtodo analtico e

constataram a viabilidade deste ltimo.

BRADLEY (2003) fez um estudo sobre o estado-limite ltimo da flambagem lateral

com toro de vigas casteladas durante o processo de montagem. Para isso,

propriedades da seo transversal como momento de inrcia, constante de empenamento

e constante de toro foram calculadas de acordo com trs hipteses. A primeira

considera que a seo transversal formada por apenas dois ts, um superior e outro

inferior. A segunda despreza a abertura e considera como se a viga castelada fosse de

alma cheia. A terceira hiptese admite as propriedades ponderadas da seo transversal.

MOHEBKHAH (2004) estudou vigas casteladas biapoiadas usando um modelo

tridimensional de elementos finitos com o programa ANSYS, para investigar os efeitos

da esbeltez da viga sobre o fator de modificao para diagrama de momento fletor no-

uniforme (Cb), em uma anlise no linear em regime inelstico. Verificou-se que o

coeficiente Cb no constante para uma srie de valores de esbeltez de vigas casteladas.

Os valores de Cb determinados pela expresso da especificao americana AISC:1999,

para vigas em regime inelstico, so maiores do que os obtidos nesse estudo, e essa

diferena diminui medida que o comprimento destravado aumenta. O fator Cbr, (fator reduzido) obtido multiplicando-se um fator de reduo (Rf) pelo fator Cb calculado

pela AISC:1999. Com este estudo concluiu-se que o fator Cb no depende apenas das

condies de carregamento, mas tambm da esbeltez da viga. O autor estudou a viga

castelada CPE140 (140x73x0,69x4,7), padro Peiner, e para carga concentrada obteve

as equaes abaixo:

fpbrp RC 35,1= (2.16)

33

fwbrw RC 13,1= (2.18)

34

18,0

503,0

=dLC bb (2.22)

onde Lb o comprimento destravado e d a altura da viga castelada. J o valor de Cc,

obtido nesse estudo foi de 1,056. Assim, pode-se chegar ao momento crtico em regime

elstico pela equao:

+= GJEC

LLEI

CCM wbb

ycbe 2

2

2

2 (2.23)

RADIC et al. (2008) apresentaram dois diferentes tipos de clculo do momento crtico

de vigas casteladas, usando o mtodo dos elementos finitos e a expresso dada na

ENV 1993-1-1:1992/A2:1998, considerando a influncia das caractersticas geomtricas

de vigas casteladas em relao s vigas de alma cheia com dimenses da seo

transversal correspondentes. As pesquisas mostraram que as aberturas na alma tiveram

pouca influncia no valor do momento crtico para flambagem lateral com toro. Os

valores para momento crtico encontrados para vigas casteladas e para vigas

correspondentes de alma cheia so basicamente os mesmos calculados de acordo com a

ENV 1993-1-1:1992/A2:1998, utilizando as propriedades da seo no centro das

aberturas.

LAKUSIC et al.(2008) fizeram um estudo para determinar qual curva da norma

europia EN 1993-1-1:2005 melhor se adequa ao clculo do momento crtico de

flambagem lateral com toro de vigas casteladas. Em funo dos resultados obtidos,

para vigas em que d/bf superior a dois recomendaram a curva c, e para vigas em que

d/bf inferior a dois recomendaran a curva b, onde d altura da viga castelada e bf a

largura da mesa.

ZIRAKIAN & SHOWKATI (2006) estudaram o fenmeno da distoro da alma que

ocorre em vigas de comprimento intermedirio e almas esbeltas. A distoro da alma

acontece devido flambagem local da alma juntamente com a flambagem lateral. Essa

distoro da alma permite que as mesas girem com diferentes ngulos, reduzindo assim

a resistncia toro e, consequentemente, flambagem lateral com toro. Foram

35

ensaiadas seis vigas casteladas de ao em escala real submetidas a carregamento

concentrado na mesa superior. Todas as vigas sofreram flambagem lateral acompanhada

por distoro da alma. Os resultados obtidos a partir dos experimentos foram

comparados com curvas de P x de SOUTHWELL (1932) e curvas /P2 x de

MASSEY (1963), onde P carga aplicada e o deslocamento lateral. Tambm foram

comparados com formulaes tericas para momento fletor resistente flambagem

lateral com toro em regime elstico e inelstico, tendo sido obtidos resultados

satisfatrios.

KOHNEHPOOSHI & SHOWKATI (2009) estudaram uma srie de vigas casteladas

atravs do programa de elementos finitos ANSYS, com diferentes vos e sees.

Anlises no-lineares foram feitas para se obter a constante de toro. Para obter outras

propriedades como rea efetiva, momento de inrcia e coeficiente de cisalhamento,

foram feitas apenas anlises lineares. As vigas foram submetidas a momento constante,

carga uniformemente distribuda e carga concentrada.

GAMA et al. (2010) desenvolveram um modelo numrico que permitiu obter valores do

momento resistente elstico flambagem lateral com toro, em vigas casteladas,

atravs de uma anlise numrica com base no mtodo dos elementos finitos usando

programa ANSYS. Os valores obtidos foram comparados com os valores calculados

pelo procedimento da EN 1993-1-1:2005 e com o modelo numrico desenvolvido por

RADIC et al. (2008). Desse modo avaliaram, quantificaram e determinaram a influncia

das diferenas geomtricas caractersticas das vigas casteladas em relao s vigas de

alma cheia com as mesmas dimenses. Como esperado, os momentos resistentes para

vigas casteladas via ANSYS foram menores em comparao com os das vigas de alma

cheia, com diferenas de 4%. Concluram tambm que para vigas no regime elstico, o

momento resistente flambagem lateral com toro pode ser calculado da mesma forma

para as vigas de alma cheia levando em considerao as aberturas na alma.

SWEEDAN (2010) estudou a influncia das aberturas na alma de vigas celulares de ao

no valor do Cb e, conseqentemente, do momento resistente flambagem lateral com

toro. Para isso, desenvolveu um modelo numrico tri-dimensional via mtodo dos

elementos finitos atravs do programa ANSYS. As vigas foram submetidas a momento

constante, carregamento uniformemente distribudo e carga concentrada no meio do

36

vo. Concluiu-se que os valores de Cb sofrem reduo considervel em vigas curtas,

onde as tenses devidas s foras cortantes aumentam, ocorrendo distoro da alma

simultaneamente flambagem lateral com toro, diminuindo portanto o momento

resistente. Para vigas longas onde a flambagem lateral com toro ocorre em regime

elstico o valor de Cb muito prximo aos valores encontrados para vigas de alma

cheia. Nesse estudo tambm encontrou-se um fator de modificao que permite calcular

o momento resistente de vigas celulares com um erro de apenas 2%.

ELLOBODY (2011) desenvolveu um modelo 3D utilizando o Mtodo dos Elementos

Finitos para estudar a flambagem lateral com toro acompanhada de distoro da alma

de vigas casteladas de ao utilizando o programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998).

Foram realizadas anlises lineares e no-lineares, tendo sido consideradas as

imperfeies geomtricas e as no-linearidades do material. O estudo mostrou que a

distoro da alma causa uma reduo considervel do momento resistente flambagem

lateral com toro para vigas curtas. Seus resultados foram comparados com a norma

australiana AS4100-1998, verificando-se que os momentos resistentes calculados de

acordo com essa norma so superiores de 1% a 9%.

3 ANLISE NUMRICA

3.1 Generalidades

As anlises numricas foram feitas por meio do programa comercial ABAQUS

(HIBBIT et al., 1998), que tem por base o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF). O

programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998) possui uma extensa biblioteca de elementos

que podem modelar virtualmente qualquer geometria. Possui ainda uma extensa lista de

modelos de comportamento de materiais capazes de simular a maioria daqueles

utilizados na engenharia.

O programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998) utiliza o mtodo dos elementos finitos,

que se baseia na aproximao das condies de equilbrio de um corpo sob o ponto de

vista Lagrangiano, ou seja, cada ponto material do corpo analisado como sendo uma

funo do tempo e de suas coordenadas, e as equaes de equilbrio so obtidas a partir

do princpio dos trabalhos virtuais.

Neste trabalho foram feitas anlises lineares e no-lineares a fim de se obter o momento

fletor resistente nominal para o estado-limite de flambagem lateral com toro de vigas

casteladas de ao de seo duplamente simtrica.

38

3.2 Modelo numrico

Como nos perfis estudados as espessuras da alma e das mesas so significativamente

menores que suas larguras e que o comprimento total da viga, optou-se por utilizar

elementos de casca para a anlise. Assim, para a elaborao do modelo numrico foram

utilizados elementos de casca S4 (elemento de 4 ns ) e S3 (elemento de 3 ns), que so

elementos de curvatura dupla, integrao completa, com deformao finita de

membrana e de aplicao geral. Ambos possuem seis graus de liberdade por n,

referentes a 3 translaes e a 3 rotaes segundo um sistema de 3 eixos. A Figura 3.1

apresenta a geometria desses elementos assim como seus pontos de integrao.

Figura 3.1 - Representao dos elementos de casca S4 e S3

Inicialmente, com o objetivo de se obter uma malha de elementos finitos estruturada,

utilizaram-se elementos tipo S3 para discretizar as regies prximas s aberturas das

vigas casteladas e elementos tipo S4 nas demais regies da viga. A Figura 3.2 apresenta

a discretizao da malha de elementos finitos das vigas casteladas estudadas submetidas

a momento constante.

Figura 3.2 - Discretizao da malha estruturada de elementos finitos

a) Elemento S4 b) Elemento S3

39

Aps alguns testes, concluiu-se que o modelo numrico com malha de elementos S4

estruturados na mesa e livres na alma fornecia valores muito prximos do modelo de

malha descrita anteriormente. Por essa razo decidiu-se utilizar este ltimo, que facilita

a modelagem das vigas submetidas a carregamento uniformemente distribudo e carga

concentrada no meio do vo.

As tenses residuais foram consideradas apenas nas mesas, com a distribuio

simplificada mostrada na Figura 3.3 (rc indica tenso residual de compresso e rt de trao). As tenses residuais na alma foram desconsideradas por terem influncia

desprezavel no valor do momento resistente flambagem lateral com toro (as mesas

so os elementos mais importantes no fenmeno). O valor mximo da tenso residual,

de 30% da resistncia ao escoamento, foi assumido tendo por base ser esse o valor

prescrito pela ABNT NBR 8800:2008.

Figura 3.3 - Distribuio das tenses residuais

As vigas foram sempre consideradas biapoiadas, com comprimento destravado igual ao

vo, com as duas extremidades com empenamento livre e toro impedida, simulando

vnculo de garfo.

A geometria da viga foi definida de acordo com o sistema de coordenadas global do

programa ABAQUS (HIBBIT et al., 1998), onde a origem est localizada meia altura

da seo e no meio do vo da viga. O eixo y est na direo da alma, e o eixo

longitudinal coincide com o eixo z. Para simular o vnculo de garfo, os deslocamentos

na direo y foram restringidos ao longo de toda alma, o deslocamento na direo z foi

rc = 0,3fy

rt = 0,3fy

40

restringido apenas no n situado a meia altura da alma em uma das extremidades da

viga, e o deslocamento na direo x foi restringido em todos os ns das extremidades da

viga. A rotao em torno do eixo z foi impedida tambm em todos os ns de ambas as

extremidades, no permitindo a toro, mas deixando livre o empenamento.

3.3 Propriedades do material

Nos modelos numricos foi adotado o diagrama tenso versus deformao do ao

mostrado na Figura 3.4, formado por uma zona elstica, que perdura at que a

resistncia ao escoamento fy seja alcanada, e por uma zona inelstica, constituda por

trs retas que, levando em conta a fase de encruamento, prosseguem at a resistncia

ruptura fu, conforme proposto EARL (1999) e usado por diversos pesquisadores, como

CASTRO & SILVA (2006).

fu

fy

y st b

(I) E

(II) (III)

(fu+fy)/2 1,01fy

u Figura 3.4 - Diagrama tenso versus deformao do ao (adaptada de EARLS, 1999)

O ao estrutural considerado foi o ASTM A572-GRAU 50 (usado na fabricao dos

perfis laminados no Brasil), que tem mdulo de elasticidade E igual a 200 GPa,

resistncia ao escoamento fy igual a 345 MPa e resistncia ruptura fu igual a 450 MPa.

As deformaes correspondentes ao final de cada zona foram retiradas do diagrama real

tenso versus deformao desse ao, conforme SALMON & JOHNSON (1990), de

modo que y, st, b e u so iguais a 0, 0,01726, 0,05394 e 0,15719 respectivamente.

41

Dessa maneira, o programa ABAQUS pde considerar o comportamento elasto-plstico

do ao com encruamento isotrpico e superfcie de escoamento de von Mises.

3.4 Anlise numrica

Primeiramente foi feita uma anlise linearizada de estabilidade, para se determinar as

cargas crticas elsticas correspondentes flambagem lateral com toro (autovalores) e

seus respectivos modos de flambagem (autovetores), Figura 3.5. Essa carga de

flambagem obtida como um multiplicador de uma carga de perturbao no estado

inicial da anlise.

Figura 3.5 - Modo de flambagem referente a flambagem lateral com toro

Em seguida foi feita uma anlise considerando as no-linearidades do material e da

geometria. Para isso o ABAQUS (HIBBIT et al., 1998) utiliza um processo

incremental-iterativo, o mtodo Riks modificado.

O problema de ps-flambagem exata no pode ser analisado diretamente devido

descontinuidade da resposta no ponto em que a carga atinge a carga crtica de

flambagem. Para que o problema produza uma resposta contnua, introduz-se uma

imperfeio inicial na geometria perfeita do modelo. Para isso multiplica-se o

autovetor correspondente ao modo de flambagem obtido na anlise linear por um fator

que representa uma imperfeio inicial e adiciona-se geometria perfeita

42

(HIBBIT et al., 1998). Neste trabalho utilizou-se o fator L/1000, tambm utilizado por

ELLOBODY (2011), sendo L o comprimento do vo destravado.

O algoritmo do mtodo de Riks modificado implementado no ABAQUS no consegue

obter a soluo (carga e deslocamento) para uma determinada carga ou deslocamento,

pois so incgnitas. Assim a anlise s termina quando a soluo satisfaz a algum

critrio de parada (HIBBIT et al., 1998). Neste trabalho, o critrio de parada adotado foi

o deslocamento lateral do ponto central da mesa superior entre 100 mm a 200 mm ou

quando a anlise atinge 100 incrementos.

Na anlise numrica, o momento crtico obtido multiplicando-se o maior fator de

carga fornecido pela anlise numrica pela carga aplicada ao modelo. A Figura 3.6

apresenta um grfico momento versus deslocamento lateral onde o momento M igual

ao momento aplicado multiplicado pelo fator de carga. Assim o momento resistente o

momento obtido pelo carga aplicada multiplicada pelo maior fator de carga.

Figura 3.6 Grfico Momento versus deslocamento lateral

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100

M (k

N.m

)

deslocamento lateral (mm)

MRk

43

3.5 Aferio do modelo numrico

Primeiramente foram feitas anlises linearizadas de flambagem em vigas biapoiadas de

alma cheia de seo I duplamente simtrica em regime elstico com extremidades livres

para empenar e toro im

Determinação Do Momento Fletor Resistente à

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