Ensino Mdio: Matemtica e Cincias da Natureza

Ps-Graduao a distncia

Didtica da Geometria

Prof Julio Cesar

Sumrio

Introduo ............................................................................................................ 3

Geometria ............................................................................................................. 3

Atividades de geometria plana para o Ensino Fundamental .................................... 5

A geometria e a arte .............................................................................................. 5

Construindo perspectivas ..................................................................................... 10

A geometria aplicada ........................................................................................... 11

Medindo alturas .................................................................................................... 11

Construindo uma maquete .................................................................................... 12

Consideraes finais ............................................................................................. 12

Referncias .......................................................................................................... 13

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Geometria

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IntroduoQuando fui convidado para escrever

o material de geometria, confesso que fiquei um pouco apreensivo. Fiquei muito tempo imaginando o que escrever. Minhas primeiras dvidas surgiram, pois se tratava de um curso de ps-graduao, e no caberia simplesmente falar de exerccios de geometria. At porque, sabe-se que muito foi visto na graduao. Portanto, gostaria de preparar uma aula que no fosse uma repetio daquelas vistas na faculdade de Matemtica. Desta forma, tive de pesquisar, perguntar, enfim, encontrar a medida certa entre ser repetitivo e trazer assuntos novos. Como nosso curso voltado Educao quis, a princpio, me prender a esse tema. Porm, acreditei que no teria contedo suficiente para escrever um material inteiro sobre geometria. Enganei-me. Bastou uma rpida reflexo sobre os anos que lecionei geometria e vi que havia grande quantidade de informaes interessantes de serem compartilhadas. Juntei esse conhecimento adquirido ao longo dos anos com o que encontrei em minha pesquisa e escrevi este material, que espero ser til na formao de novos conhecimentos.

A princpio, gostaria de escrever um material que fosse um misto de aula de geometria, daqueles parecidos com os da faculdade, e atividades prticas para sala de aula. A razo para essa combinao se d pela minha crena no seguinte preceito em educao: para voc poder ensinar bem o primeiro passo, necessrio se apropriar dos conhecimentos do contedo que vai ensinar; em outras palavras, no possvel ensinar aquilo que no se conhece. Infelizmente, percebe-se que h muita gente, professores ou no, que ensinam sem ter o conhecimento necessrio para tal tarefa.

Porm, como disse antes, encontrei uma grande quantidade de material e decidi escrever apenas sobre as atividades para sala de aula. Neste caso, vou falar somente sobre atividades de geometria plana relacionadas ao Ensino Fundamental. Contudo, possvel

utilizar as mesmas atividades no Ensino Mdio, com pequenas alteraes. At porque a geometria plana do Ensino Mdio no diferente daquela do Ensino Fundamental. claro que o grau de complexidade maior no Mdio e, alm disso, h a geometria espacial que, a meu ver, no deixa de ser uma aplicao dos conceitos abordados na geometria plana.

Geometria

No passado, sempre ouvi, entre muitos professores de matemtica, que o ensino de geometria era prejudicado, pois tal contedo sempre ficava nos ltimos captulos dos livros de matemtica. Porm, atualmente, percebo que muitos livros trazem os captulos de geometria alternados com os de lgebra. Mesmo desta forma, percebo que a geometria deixada para trs, pois se pulam os captulos de geometria. A concluso a que chego que a formao de geometria falha, pois muitos professores evitam ensin-la. O motivo para tal atitude talvez tenha uma origem histrica. Na dcada de 1930, o ensino de matemtica passou por uma mudana, considerada por alguns como traumtica: a unificao das disciplinas de matemtica. Transformaram-se trs disciplinas distintas lgebra, geometria e aritmtica em apenas uma, denominada matemtica. Naquela poca, existiam fortes crticas a tal mudana, pois se alegava ser muito prejudicial um professor

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Geometria

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de lgebra lecionar geometria. De certa forma, foi o que aconteceu, pois a geometria foi gradativamente sendo ensinada com menos qualidade, chegando ao ponto de, em algumas salas de aula, seu contedo de no ser ensinado. De acordo com Pavanello (1993), o cenrio tomou essa proporo devido Lei n. 5692/71, pois a liberdade concedida s escolas permitiu a excluso de alguns contedos, incluindo a geometria.

A liberdade que essa lei conceda s escolas quanto deciso sobre os programas das diferentes disciplinas possibilitou que muitos professores de matemtica, sentindo-se inseguros para trabalhar com geometria, deixas-sem de inclu-la em sua programao. por outro lado, mesmo dentre aqueles que continuaram a ensin-la, muito reservaram o final do ano letivo pra sua abordagem em sala de aula - talvez numa tentativa, ainda que in-consciente, de utilizar a falta de tempo como desculpa pela no realizao do trabalho programado com o tpico em questo. (PAVANELLO, 1993, p. 7)

Alm disso, tambm tivemos a adoo da Matemtica Moderna, que modificou consideravelmente o currculo de matemtica, prejudicando, desta forma, o ensino de geometria.

A discusso e a crtica ao ensino da Matemtica tiveram incio a partir de 1950 e culminaram com uma proposta de reestruturao do currculo, denom-inada de movimento da Matemtica Moderna. Enquanto o ensino tradicion-al baseava-se na aritmtica, lgebra, geometria euclidiana e trigonometria, a base do currculo da Matemtica Moderna passou a ser a teoria dos conjuntos, lgebra abstrata, topolo-gia, estudos das congruncias, teoria dos nmeros, ficando longe da relao com o mundo real. Para Fucks (1970), a Matemtica Moderna praticamente excluiu o ensino de geometria, enfati-zando o simbolismo e uma terminolo-gia excessiva (MORELLATI e SOUZA, 2006, p. 265)

Com essa breve apresentao histrica, acredito ser possvel justificar o porqu de muito professores, atualmente, tambm evitarem o ensino da geometria.

Indiscutivelmente, percebemos que a formao de geometria dos alunos dos Ensinos Fundamental e Mdio no foi e no a mais adequada. Falo isso por experincia prpria, pois tive um ensino de geometria deficitrio. Assim como eu, alguns desses alunos decidiram realizar o curso superior de licenciatura em Matemtica, ou seja, tiveram de enfrentar problemas de geometria com um grau de complexidade muito superior que aqueles que viriam, ou ao menos deveriam ter visto, em sua formao bsica. justamente este ponto que julgo ser o fator mais importante para a carncia de qualidade no ensino de geometria.

Vejamos o cenrio que foi criado. Alunos do curso de Matemtica que tiveram uma formao bsica deficitria esto cursando uma geometria que necessita de uma formao superior a que tiveram. Ento, deparamo-nos com uma situao que causa desconforto, e se esse desconforto no for bem-administrado, poder acarretar certa ojeriza com a disciplina de geometria. Lembre-se: so esses estudantes de matemtica que se tonaro professores. Agora, como ensinar algo de que voc no gosta e, em muitos casos, conhece pouco? Acredito estar existindo um crculo vicioso em que aqueles que deveriam ensinar no ensinam e, por sua vez, esses que foram mal-ensinados iro, em certa medida, ensinar no futuro. Paremos para pensar, cada vez mais o ensino vem diminuindo sua qualidade. No quero afirmar que tenhamos de voltar cinquenta anos para poder ter ensino de qualidade, longe disso. At porque, naquela poca, assim como hoje, existiam crticos ao sistema de ensino. O que quero dizer que precisamos ter qualidade de ensino sem precisar adotar mtodos de ensino de pocas remotas. possvel ensinarmos com qualidade adotando tcnicas atuais, sem utilizar o formalismo e o rigor do passado.

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Alguns professores no acreditam nessa fala; acham que necessrio esquecermos essas novas tendncias. O que defendo que, para adotarmos tais tcnicas, devemos, em primeiro lugar, conhecer muito bem o contedo que vamos ensinar. S possvel inovar se conhecermos todos os meandros da geometria. De modo geral, para inovarmos, em qualquer rea, fundamental nos apropriarmos dos conhecimentos que cercam o assunto a ser inovado.

Atividades de geometria

plana para o Ensino

Fundamental

Um dos grandes desafios para E lecionar geometria, e atualmente qualquer contedo que se deseja ensinar, fazer que os alunos sintam interesse pela disciplina e, principalmente, que o aprendizado tenha significado. De fato, essa tarefa, se no a mais difcil, com certeza pode ser considerada uma das primeiras da lista de tarefas complicadas na arte de ensinar.

Neste material, assim como em todo material presente neste curso de ps-graduao, no buscamos mostrar uma receita pronta. Na verdade, fazendo uma analogia, buscamos mostrar como se faz para voar, para que, depois, voc possa alar voos mais longos; ou seja, queremos que voc aprenda a desenvolver seu trabalho com suas prprias idias, at porque no seria possvel montar uma apostila de ideias, pois cada pessoa possui uma realidade diferente e um tipo diferente de aluno. Em outros materiais que escrevi, alguns alunos me questionaram o fato de no ser possvel desenvolver algumas atividades sugeridas. Em parte, essa impossibilidade ocorria por falta de recursos tcnicos ou pelo fato de os exemplos no se adequarem ao cotidiano presente no lugar de

residncia do professor e do aluno. Todavia, no deixarei de mostrar algumas atividades que deram certo, lembrando que a inteno que essas atividades sirvam de inspirao a novas atividades que sero elaboradas por voc. Dentre as atividades, apresentarei algumas que utilizam o computador como ferramenta e outras que utilizam o espao fora da sala de aula com simples recursos tcnicos, como, por exemplo, espelhos e instrumentos de medio simples. Esta ltima, confesso, me deixa mais confortvel em apresentar, pois acredito que todos podero utiliz-la. Alm disso, acredito ser mais interessantes do ponto de vista do aluno.

A geometria e a arte

Uma das maneiras de motivar os alunos realizar uma associao da geometria com as aulas de arte. Um primeiro ponto ser mostrar que, de fato, h geometria na composio de muitas obras de arte. Recentemente, realizei uma viagem em que tentei captar algumas dessas composies artsticas. Repare que podemos encontrar geometria facilmente se observarmos a obra com olhar mais matemtico. Apresentarei, a seguir, fotos tiradas em trs cidades: Zaragoza e Barcelona, ambas na Espanha, e Versailles, na Frana.

Vamos comear por Zaragoza, quando analisei as fotos tentando encontrar padres geomtricos, o que no difcil, tendo em vista que esta regio da Espanha esteve sob o domnio muulmano durante muito tempo. Portanto, h muitos elementos dessa cultura, principalmente em seus mosaicos. Podemos ver isso na pintura das abbodas da Baslica del Pilar.

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Figura 1: Baslica del Pilar (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

Figura 2: Detalhe da abboda da Baslica del Pilar (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

Prdio

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Podemos reparar que as cores e as formas compem um lindo mosaico. Essas cores causam um efeito magnfico. Recordo que parei o carro e fiquei admirando a construo, enquanto registrava as fotografias.

Em Barcelona, temos muito que falar, a comear pela influncia muulmana, pois temos construes que nos remetem aos mosaicos. Entretanto, Barcelona cidade de Gaud, um artista responsvel por obras magnficas. Podemos citar sua mais importante obra, a Catedral da Sagrada Famlia. Ela surpreende pela criatividade e imponente por sua grandiosidade. Fiquei horas admirando, e, acreditem, h muita matemtica ali. Em sua construo, Gaud realizou diversos testes com maquetes para avaliar sua estrutura. Com base nesses resultados, fez algumas alteraes nas formas para erguer tal estrutura. Tais modificaes foram de ordem geomtrica. Podemos comprovar isso na fotografia mostrada a seguir (Figura 3).

Figura 3: Soluo Parablica (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

Ao ver toda a estrutura interna da Catedral, ficamos admirados com as dimenses e combinaes de cores e formas. Gaud, de fato, tinha um conhecimento

matemtico bem apurado, assim como outros grandes artistas.

Figura 4: Interior da Catedral da Sagrada Famlia (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

O exterior da Catedral repleto de formas geomtricas, dando destaque s linhas poligonais em sua base, contratando com as torres em forma de cone. (Figura 5).

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Figura 5: Exterior da Catedral da Sagrada Famlia (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

Em Barcelona, podemos perceber os mosaicos em algumas construes, influncia da cultura mulumana. Na Figura 6, vemos a entrada de uma arena de touradas.

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Figura 6: Entrada da Arena de Touradas (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

Na Frana, mais precisamente em Versailles, podemos encontrar formas geomtricas nos pisos em mosaicos do Chteau de Versailles (Castelo de Versailles) e em seu belo jardim, com diversas formas construdas com diferentes tipos de plantas. Inicialmente, era apenas uma simples residncia de campo, construda por Luis XIII, e foi transformada por seu filho Luis XIV em um belo castelo, ostentando toda a arte francesa da poca. Tal construo se tornou residncia oficial do Rei da Frana, at 1789, ano que marca a Revoluo Francesa, consequentemente, a queda do Rei.

Figura 7: O Piso do Chteau de Versailles (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

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Figura 8: O Jardim do Chteau de Versailles (Fonte: Jlio Csar S. Oliveira).

Finalmente, podemos ver mais a relao da arte com geometria no vdeo sobre mosaicos, na cidade de Alhambra, Espanha. Esta cidade considerada por muitos a principal cidade com artes em mosaico; inclusive, o grande pintor holands Escher teve inspiraes nesses mosaicos para compor muitas de suas obras. Podemos conhecer um pouco mais sobre Escher no segundo vdeo apresentado.

http://www.youtube.com/watch?v=QxbqzBJn1z4&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=dsPD4amGh9E&feature=related

Construindo perspectivas

Baseado nesta questo de arte e geometria, recentemente, realizei junto com a professora de artes uma atividade usando o software Cabri-Gomtre. Esta atividade consistia em construir, em perspectiva cnica, uma rua com prdios. A proposta surgiu pois a professora estava ensinando sobre as diferentes perspectivas e suas aplicaes no mundo artstico. Dessa forma, enquanto ela ensinava a teoria para os alunos, eu, utilizando o software, construa alguns desenhos. Vale lembrar que, para realizar tal projeo, necessrio seguir alguns conceitos bsicos de geometria, como reta paralela e reta perpendicular. Era nesses conceitos que eu fundamentava a construo, mostrando que no era s fazer linhas, aparentemente sem uma ordem lgica e consciente. Confesso que tal atividade deu muito trabalho, pois foi necessrio primeiro ensinarmos a utilizar o Cabri para, depois, iniciarmos a atividade. Outro detalhe importante nas aulas de laboratrio foi o auxlio de uma estagiria, pois, nos momentos em que fiquei sozinho, o trabalho era redobrado. Existiam muitas dvidas por parte dos alunos, e isso gerava impacincia de alguns, chegando a gerar certo tumulto. Durante o processo, pensei, algumas vezes, em desistir e falei para mim mesmo: nunca mais invento isso. Entretanto, o resultado foi muito satisfatrio. Ao final, os alunos

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apresentaram essas construes em uma mostra cultural realizada pela escola, que contava com a presena dos pais, e eles acharam a atividade muito interessante, tecendo inmeros elogios, o que acaba nos motivando a realizar outras aventuras no ceio da matemtica. Alguns resultados podem ser observados na Figura 9.

Figura 9: Desenhos realizado por alunos utilizan-do Cabri.

A geometria aplicada

Outro exemplo que percebi despertar muito interesse por parte dos alunos foi mostrarmos algumas aplicaes prticas dos conhecimentos de geometria. Comecei a perceber isso quando lecionei Clculo Diferencial e Integral para o curso de Engenharia. Muitos alunos desse curso praticamente vibravam com a possibilidade de realizar algumas aplicaes dos conceito aprendidos em sala de aula. Com isso, decidi realizar algo parecido no Ensino Fundamental. Mostrei alguns conceitos de construo utilizando tringulos e, em seguida, comentei a existncia de uma competio entre estudantes de diversos nveis escolares, a construo de uma ponte utilizando apenas macarro e cola. A seguir, possvel visualizar um vdeo que mostra a aplicao de tringulos na construo civil e outro que traz a competio da ponte de macarro.

http://www.youtube.com/watch?v=BhW16jUYdAY

http://www.youtube.com/watch?v=bi7NmLLTB54&feature=related

O que podemos perceber nitidamente nas pontes justamente a presena de vrios tringulos de diferentes tamanhos e formas. Neste ponto, na aula, aproveito para reforar os conceitos de tringulos quanto aos lados e ngulos, assim como congruncia.

Medindo alturas

Ainda na rea de aplicaes, h uma atividade que consiste em medir alturas de diversos objetos que tenham difcil acesso. Considero esta atividade a mais interessante, pois percebo que h uma participao com mais dedicao por parte dos alunos.

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Anteriormente, eu realizava uma atividade semelhante a esta, entretanto, tal atividade era realizada no Ensino Mdio, pois eu utilizava trigonometria para poder medir, por exemplo, a altura de um prdio. Entretanto, nesta eu utilizo simplesmente semelhana de tringulos. Ela tambm se torna muito interessante, pois h uma primeira parte que consiste num planejamento prvio com as rotas de como o aluno chegar ao objetivo estipulado pelo professor. Neste planejamento, o aluno ter de apresentar um esquema com desenho e os conceitos geomtricos que permitem que cheguemos altura do prdio. Dessa forma, reforamos a teoria geomtrica que est presente na atividade. O mais interessante que, para podermos determinar a altura do prdio, basta um pequeno espelho, uma trena e um observador. A atividade ocorre da seguinte maneira: coloca-se o espelho no cho a uma distncia conhecida do objeto a ser medido, e o observador procura uma posio de forma que possa enxergar o topo do objeto a ser medido; se fosse um prdio, diramos que o observador deveria enxergar o telhado do prdio. O prximo passo seria determinar a distncia do observador at o espelho e, finalmente, encontrar a altura dos olhos do observador at cho. Com isso, temos dois tringulos semelhantes, e com uma simples regra de trs possvel determinar a altura do prdio. O caso de semelhana garantido, pois ambos os tringulos possuem um ngulo de 90, e o ngulo cujo vrtice est no espelho igual nos dois tringulos, pois, como o observador enxerga o telhado do prdio atravs do espelho e como um raio de luz sempre se propaga em linha reta, e, alm disso, o raio refletido sempre possui o ngulo igual ao ngulo do raio incidente, podemos garantir que os tringulos sejam semelhantes, pois a semelhana garantida provando que pelo menos dois ngulos do tringulo so iguais. Veja a Figura 10:

Figura 10: Atividade Medindo alturas.

Podemos perceber mais claramente que a altura do prdio homloga altura do observador, e a medida A tambm homloga medida B. Desta forma, fica fcil determinar a altura do prdio, e, para isto, basta:

Com essa atividade, possvel determinar a altura de vrios objetos, lembrando que, para esse mtodo, necessrio conhecer a distncia at o objeto a ser medido.

Construindo uma maqueteRealizei esta atividade h alguns anos,

quando lecionava desenho geomtrico para a 8 srie, hoje 9 ano. Na ocasio, pedi aos alunos que construssem uma maquete da casa que gostariam de ter. A primeira discusso foi a respeito da escala. Exigi que a maquete tivesse as medidas em escala, obedecendo ao valor da escala acertada no planejamento e na confeco da planta baixa.

A fase de construo levou vrias semanas, mas os resultados foram maravilhosos. Entretanto, se eu fizesse essa atividade hoje, pediria que construssem uma casa com recursos de energias renovveis. Assim, ouviria ideias novas que, algum dia, podero ser colocadas em prtica.

Consideraes finaisCaro aluno, neste material, resolvi

apresentar apenas as atividades ligadas geometria, mas no se esquea de que

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fundamental possuir todo o conhecimento necessrio para se desenvolver a atividade com tranquilidade.

Espero que essas poucas amostras possam despertar em voc a vontade de criar. Em mim, sempre que leio algo diferente, vem a vontade de colocar em prtica, e acabo pensando em outras possibilidades. Algo que tenho vontade de realizar, mas ainda me falta oportunidade e coragem, uma espcie de gincana, em que as provas sejam atividades matemticas. Para tal gincana, seria necessrio grande planejamento, pois, em toda atividade, sempre h imprevistos. Devemos buscar estar preparados para tais imprevistos a todo o momento. Um bom planejamento se preocupa com surpresas indesejveis.

Quero desejar uma excelente carreira como professor e que no desista nunca, mesmo que as barreiras fiquem mais difceis. Acredite: ns somos importantes. Na verdade, voc j deve saber isso, mas repito para que no se esquea, pois, com tantas dificuldades, s vezes necessrio ouvirmos algo do tipo para levantamos nossa autoestima.

Boa sorte e no se esquea de estudar sempre.

Referncias

PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e consequncias Revista Zetetike, n.1, p.7-18, mar. 1993.

MORELATTI, M. R. M.; SOUZA, L. H. G. Aprendizagem de conceitos geomtricos pelo futuro professor das sries iniciais do Ensino Fundamental e as novas tecnologias. Educar, Curitiba: Editora UFPR, n. 28, p. 263-75, 2006.

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