Ernesto Rosa Nelo

Jossas obras na área de

Educação Tõtica psicomotora na pré-escola

Vera Miranda Gomes Movimentos

Denise Del Matto Dlncao 'ré-escola, tempo de educar

Ana Rosa Beal e Maria Lúcia Thiessen

iontar histórias - uma arte sem idade Maria Betty Coelho Silva

atividades lúdicas na educação da criança Leonor Rizzi e Regina Célia

t educação artística da criança Marieta Lúcia Machado Nicolau (coord.)

\ educação pré-escolar Marieta Lúcia Machado Nicolau

Convivendo com a pré-escoia Denise Branco de Araújo Célia Regina Mineiro e Nancy Trindade Kosely

Pontos de psicologia geral Pontos de psicologia do desenvolvimento

Célia Silva Guimaráes Barros Psicologia educacional Estrutura e funcionamento do ensino de 1 ? grau Sociologia da educação

Nelson Piletti Psicologia da aprendizagem

Gérson Marinho Falcão Didãtica geral Didática especial

Claudino Piletti Didãtica da matemática

Ernesto Rosa Neto Processo de alfabetização

Glâurea Basso dos Santos e Sueli Parada Simão

Filosofia e historia da educação Claudino Piletti e Nelson Piletti

Biologia educacional Maria Ângela dos Santos

Psicologia moderna Introdução ao estudo da filosofia

Antônio Xavier Teles Literatura infantil - teoria e prática

Maria Antonieta Antunes Cunha Durso básico de estatística

Hèlenalda de Souza Nazareth Manual de estágio para o magistério

Graziella Zóboli

Ernesto Rosa Neto Professor de Prática de Ensino da Matemática, História da Ciência

e Matemática da Universidade Mackenzie Coordenador do Departamento de Vídeo do Colégio Anglo-Latino Ex-professor de Matemática, História da Matemática e Prática de

Ensino da Universidade de São Paulo Dez anos de participação em programas educativos da Rádio

e Televisão Cultura (RTC) de São Paulo

DIDÁTICA DA

MATEMÁTICA

Supervisão editorial: João G u i z z o Coordenação da edição: W i l m a S i l v e i r a R o s a d e M o u r a Redação: L e o n a r d o C h i a n c a Preparação de originais: R e m b e r t o F r a n c i s c o K u h n e n Ilustração: C a r l o s R o b e r t o d e C a r v a l h o

E d u a r d o S e i j i S e k i Capa: P a u l o César P e r e i r a

A r y N o r m a n h a Produção gráfica: G r a p h i c D e s i g n

I S B N 8 5 0 8 0 1 9 2 2 x

1 9 8 7

Todos os direitos reservados pela E d i t o r a Ática S . A . R . Barão de Iguapé, 1 1 0 — T e l : P A B X 2 7 8 - 9 3 2 2 C. Postal 8 6 5 6 — E n d . Telegráfico " B o m l i v r o " — S. P a u l o

Apresentação

Q u a n d o e s t a m o s a p r e n d e n d o u m i n s t r u m e n t o m u s i c a l , é i n e v i ­tável q u e d e d i q u e m o s a m a i o r p a r t e d o t e m p o a exercícios mecânicos e r e p e t i t i v o s . Há porém m o m e n t o s d e criação e interpretação, c o m o q u a n d o e s t a m o s " t i r a n d o " u m a música n o v a o u e x e c u t a n d o u m a peça q u e já a p r e n d e m o s b e m .

T o d a s as n o s s a s a p r e n d i z a g e n s são m a i s o u m e n o s m a r c a d a s p o r essas d u a s e t a p a s : a d a p u r a repetição, d o t r e i n o , e a d a c r i a t i v i d a d e . O q u e m u d a é a ênfase d a d a a c a d a u m a d e l a s .

O e n s i n o t r a d i c i o n a l e s t a v a m a i s c e n t r a d o n a memória: e r a p r e c i s o d e c o r a r t u d o , f i c a r r e p e t i n d o e x a u s t i v a m e n t e o s m e s m o s t i p o s d e e x e r ­cício. Já o e n s i n o r e n o v a d o p e n d e u p a r a o e x t r e m o o p o s t o . O q u e p r o c u r a m o s , n e s t e l i v r o , é a síntese d o s d o i s m o m e n t o s , d a n d o o p o r ­t u n i d a d e p a r a o p r o f e s s o r d o s a r a d e q u a d a m e n t e memória, lógica e c r i a t i v i d a d e .

A m a i o r i a d a s a t i v i d a d e s q u e p r o p o m o s são d e t r e i n a m e n t o , c o m exercícios q u e vão d o s m a i s fáceis a o s m a i s c o m p l e x o s . M a s n o m o ­m e n t o d e a b o r d a r u m a s s u n t o n o v o , n o s s a p r o p o s t a é q u e i s s o s e j a f e i t o p o r r e d e s c o b e r t a , p a r t i n d o s e m p r e d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . É n e s s a l i n h a q u e a p r e s e n t a m o s a t i v i d a d e s d i f e r e n c i a d a s e m Aritmética e G e o m e t r i a .

O l i v r o t r a t a também d e t e m a s básicos, q u a s e s e m p r e polémicos: A n t r o p o l o g i a c o m história d a Matemática; P i a g e t c o m s u a s e t a p a s psicogenéticas; p a r a l e l i s m o e n t r e A n t r o p o l o g i a e t e o r i a s d e P i a g e t u t i ­l i z a n d o a l e i d e M u l l e r ; B l o o m c o m s u a s c a t e g o r i a s d e o b j e t i v o s e d u c a c i o n a i s ; D i e n e s c o m a Matemática d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . T o d o s esses a s s u n t o s f o r a m a b o r d a d o s p o r s u a u t i l i d a d e e f e c u n d i d a d e p a r a o magistério. A polémica p e r m a n e c e , as t e o r i a s e v o l u e m . A s mudanças se dão d e m a n e i r a c a d a v e z m a i s rápida. P o r i s s o , o

p r o f e s s o r p r e c i s a i n s t r u m e n t a l i z a r - s e c o m u m a b a s e sólida d e c o n h e ­c i m e n t o s , técnicas e métodos d e e n s i n o q u e l h e p e r m i t a m c r e s c e r , a d a p t a r - s e , s e r a t u a n t e .

N o s s a intenção é c o n t r i b u i r p a r a a formação d e s s e t i p o d e p r o ­f e s s o r . A s críticas a e s t a o b r a , n o s e n t i d o d e fazê-la a p r o x i m a r - s e c a d a v e z m a i s d e s s e o b j e t i v o , serão s e m p r e b e m - v i n d a s .

O A u t o r

E s t a o b r a é d e d i c a d a a m i n h a f i l h a I s a b e l a q u e a c a b a d e n a s c e r e , q u e m s a b e , terá u m a m b i e n t e e u m a e s c o l a f e c u n d o s , q u e darão espaço à n o v a geração p a r a d e s e n v o l v e r s u a s i m e n s a s p o t e n c i a l i d a d e s n a c o n s ­trução d e u m c a m i n h o f e l i z .

índice

Capítulo 1 — História da Matemática 7 Introdução 7 A Matemática: u m a história s o c i a l 7 A Matemática é fácil - 1 6 P r i m e i r a s noções matemáticas 1 7 A criação d o número 1 8

Capítulo 2 — Etapas da aprendizagem 2 4

Introdução 2 4 P i a g e t 2 6 Matemática c o n c r e t a 3 4 D i e n e s 3 5 A importância d a vivência 3 7 B l o o m 3 8 O p r o b l e m a d a avaliação 4 1

Capítulo 3 — Laboratório de Matemática 4 4

Introdução 4 4 C a r t a z v a l o r d o l u g a r ( c a v a l u ) 4 5 Flanelógrafo . 5 4 Q u a d r o d e p i n o s 5 6 C a r t a z e s 6 0 Álbum s e r i a d o 6 1 Ábaco 6 1 Q u a d r o d e v a r e t a s 6 2 Q u a d r o P a e d 6 2 Quebra-cabeça aritmético 6 3 M a t e r i a l C u i s e n a i r e 6 4 M a t e r i a l d o u r a d o M o n t e s s o r i 6 9 B l o c o s lógicos ( D i e n e s ) 7 0 Relógio d e s o l 7 5

M a t e r i a l p a r a cálculo d e v o l u m e 7 7 Mimeógrafo 7 8 Balança 8 1 M a t e r i a l p a r a determinação d o c e n t r o d e f i g u r a s 8 3 B i b l i o t e c a e m u s e u 8 4

Capítulo 4 — Aritmética 8 8

Introdução 8 8 Sugestões d e a t i v i d a d e s p a r a a l . a série 8 9 Sugestões d e a t i v i d a d e s p a r a a 2 . a série 1 0 8 Sugestões d e a t i v i d a d e s p a r a a 3 . a série 1 1 5 Sugestões d e a t i v i d a d e s p a r a a 4 . a série 1 2 4

Capítulo 5 — Geometria concreta 1 3 1

Introdução 1 3 1 A t i v i d a d e s p a r a a l . a série 1 3 3 A t i v i d a d e s p a r a a 2 . a série 1 4 2 A t i v i d a d e s p a r a a 3 . a série 1 5 1 A t i v i d a d e s p a r a a 4 . a série 1 6 5

Capítulo 6 — Camelidades malbatahânicas 1 7 0

Introdução 1 7 0 Situações-problemas 1 7 0 C u r i o s i d a d e s matemáticas 1 8 3 R e s p o s t a s das situações-problemas 1 9 2

Bibliografia 1 9 9

História da Matemática

INTRODUÇÃO

C o n t a r a história d a d i s c i p l i n a q u e está s e n d o e s t u d a d a p o d e s e r u m a f o r m a d e i l u s t r a r as a u l a s e m o t i v a r o s a l u n o s . A s s i m , também o p r o f e s s o r d e Matemática p o d e e d e v e lançar mão d e s s e r e c u r s o , a p r e ­s e n t a n d o à c l a s s e f a t o s i n t e r e s s a n t e s s o b r e a v i d a d e matemáticos f a m o ­s o s , b e m c o m o d e s c o b e r t a s e c u r i o s i d a d e s n e s s a área d o c o n h e c i m e n t o .

E s s e t i p o d e história d a Matemática é e n c o n t r a d a a o l o n g o d e s t e l i v r o . E l e é i m p o r t a n t e e útil, d e s d e q u e se t o m e o c u i d a d o d e não v a l o r i z a r e m d e m a s i a t a i s e s t u d i o s o s e s e u s f e i t o s notáveis a p o n t o d e a n u l a r o p a p e l d a s o c i e d a d e . N e s t e capítulo, porém, será m o s t r a d a u m a história q u e v a i b e m além d e s s e e n f o q u e . T r a t a - s e d e u m a história social d a Matemática, q u e c o l o c a e s s a ciência c o m o a l g o h u m a ­n o , u m f a t o s o c i a l , r e s u l t a d o d a colaboração d e t o d o s , e q u e é e s t r i t a ­m e n t e l i g a d a às n e c e s s i d a d e s s o c i a i s .

E s s a visão d a Matemática t e m m a i o r u t i l i d a d e n a formação d o p r o f e s s o r d o q u e d i r e t a m e n t e n a preparação d e s u a s a u l a s . E s s e capítulo d e v e s e r l i d o várias v e z e s . S e u s d o i s o b j e t i v o s p r i n c i p a i s são: m o s t r a r o l o n g o c a m i n h o p e r c o r r i d o p e l a h u m a n i d a d e e m três milhões d e a n o s d e existência, a j u d a n d o a p e r c e b e r a s transformações q u e o c o r r e r a m e c o n t i n u a m a o c o r r e r , a l t e r a n d o a s o c i e d a d e e a própria p e r s o n a l i d a d e d o h o m e m , e d e p o i s f a z e r u m a comparação e n t r e e s s a história e a evolução d a própria criança.

A MATEMÁTICA: UMA HISTÓRIA SOCIAL

A Matemática f o i i n v e n t a d a e v e m s e n d o d e s e n v o l v i d a p e l o h o m e m e m função d e n e c e s s i d a d e s s o c i a i s .

7

D u r a n t e t o d o o Paleolítico i n f e r i o r , q u e d u r o u c e r c a d e três m i ­lhões d e a n o s , o h o m e m v i v e u d a caça e d a c o l e t a , c o m p e t i n d o c o m o s o u t r o s a n i m a i s , só q u e u t i l i z a n d o p a u s , p e d r a s e o f o g o . E l e n e c e s s i ­t a v a a p e n a s d a s noções d e mais-menos, maior-menor e a l g u m a s formas n o l a s c a m e n t o d e p e d r a s e n a confecção d e p o r r e t e s .

Homem — P r é - h i s t ó r i a His tór ia—

- 3 000 000 de anos - 35 000 10 000 - 4 000 0

Infer ior Paleolít ico (pedra lascada)

Superior i i • — - i — Neolí t ico (pedra polida)

O Paleolítico s u p e r i o r é c a r a c t e r i z a d o p o r i n s t r u m e n t o s m a i s e l a ­b o r a d o s p a r a caça e c o l e t a : a r m a d i l h a s , r e d e s , c e s t o s , a r c o s e f l e c h a s , r o u p a s d e p e l e s , c a n o a s . O s h o m e n s u t i l i z a m n o v o s m a t e r i a i s , além d e p a u s e p e d r a s : o s s o s , p e l e s , cipós, f i ­b r a s . F a z e m p i n t u r a s e e s c u l t u r a s n a ­t u r a l i s t a s . Já n e c e s s i t a m d e m u i t o s números e f i g u r a s . P a r a f a z e r u m c e s t o é necessária a c o n t a g e m e noções i n ­t u i t i v a s d e p a r a l e l i s m o e p e r p e n d i c u l a -r i s m o . S u r g e m o s d e s e n h o s geométri­c o s e a p i c t o g r a f i a .

Vénus de Wi l lendor f (Áust r ia ) . Es­cul tura natural ista em pedra, fe i ta pelo homem do Paleolít ico superior.

8

O domínio d o h o m e m s o b r e a n a t u r e z a se e s t a b e l e c e c o m a d o m e s ­ticação d e p l a n t a s e a n i m a i s . É a revolução d o Neolítico, o início d a a g r i c u l t u r a e d a pecuária, q u e irá l i b e r t a r o h o m e m d a n e c e s s i d a d e d a caça e c o l e t a e d a competição c o m o s o u t r o s a n i m a i s , além d e fixá-lo a u m m e s m o l u g a r e n q u a n t o a t e r r a é c a p a z d e p r o d u z i r . O s c o n t i ­n e n t e s t o m a m a f o r m a a t u a l .

O t e m p o p a s s a e n o v o s c o n h e c i m e n t o s são i n c o r p o r a d o s p o r t e n t a ­t i v a e e r r o : c o n h e c i m e n t o s s o b r e t e r r a s e f e r t i l i d a d e , s e m e n t e s , técnicas d e p l a n t i o e c o l h e i t a , datação d o p l a n t i o , seleção. O s r e b a n h o s p r e c i s a m s e r c o n t a d o s , são e l a b o r a d o s calendários agrícolas, o a r m a z e n a m e n t o d e grãos e o c o z i m e n t o c r i a m a n e c e s s i d a d e d a cerâmica. A Matemática se d e s e n v o l v e . A m a s s a d e c o n h e c i m e n t o s se e x p a n d e , n o s e n t i d o d e u m s a b e r prático, constituído d e r e c e i t a s úteis, q u e f u n c i o n a m .

Vaso de cerâmica pré-histór ico com desenhos geométr icos , recolhido num sí t io arqueológico em Presidente Epitácio, São Paulo.

N o início d o Neolítico a produção e r a m u i t o p e q u e n a , e o s h o m e n s c o n t i n u a v a m e x t r e m a m e n t e d e p e n d e n t e s d a n a t u r e z a . A o s p o u c o s , c o m n o v a s técnicas, f o r a m a u m e n t a n d o a produção até a t i n g i r e m o s u p r i ­m e n t o d e s u a s n e c e s s i d a d e s . O Neolítico é o período q u e v a i d o início d a produção até o p o n t o d e o s h o m e n s g e r a r e m o necessário p a r a a sobrevivência. A caça t r a n s f o r m o u - s e e m e s p o r t e . O Neolítico d u r o u p e r t o d e s e i s m i l a n o s .

N o v a g r a n d e revolução é a p a s s a g e m p a r a o período histórico.

9

A s t r i b o s se e s t a b e l e c e m e m c a m p o s p e r m a n e n t e s n a s m a r g e n s d e g r a n d e s r i o s . C o m l u g a r f i x o , a s c h o u p a n a s são t r a n s f o r m a d a s e m c a s a s ; a s a l d e i a s , e m c i d a d e s , s u p o n d o p r o j e t o s e m e d i d a s .

S u r g e m a s c l a s s e s s o c i a i s , a p r o p r i e d a d e , o E s t a d o , a e s c r i t a foné­t i c a . T o d a s e s sas mudanças f o r a m c a u s a d a s p e l o a u m e n t o d a produção, q u e c h e g o u a o p o n t o d e g e r a r m a i s q u e o necessário: produção d e e x c e d e n t e s . S u r g e m a s n e c e s s i d a d e s d e a r m a z e n a m e n t o d e p r o d u t o s e m g r a n d e e s c a l a e d e s u a contabilização, d e s e n v o l v e n d o m u i t o m a i s a Matemática.

A s o c i e d a d e f i c a m u i t o m a i s c o m p l e x a , a c u l t u r a se a c u m u l a , m a s s e m p r e c o m u m s e n t i d o prático, l i g a d a a o d i a - a - d i a .

A divisão d a s o c i e d a d e e m c l a s s e s e a p r o p r i e d a d e p r i v a d a l e v a m à criação d e m e d i d a s p a r a r e g u l a r p o s s e s e à cobrança d e i m p o s t o s . S e g u n d o o h i s t o r i a d o r g r e g o Heródoto, as inundações d o N i l o d e s m a r ­c a v a m o s l i m i t e s d a s p r o p r i e d a d e s , g e r a n d o a n e c e s s i d a d e d e r e m a r ­cá-las. I s s o e r a f e i t o c o m o auxílio d e m e d i d a s e p l a n t a s , p e l o s c h a m a d o s " e s t i c a d o r e s d e c o r d a " . Daí o d e s e n v o l v i m e n t o d o s números fracionários. É a Matemática se d e s e n v o l v e n d o n o E g i t o a n t i g o e n a Babilónia, d o m e s m o m o d o q u e , p o s t e r i o r m e n t e , c o m o s m a i a s e a s t e c a s .

A contribuição egípcia

O início d a A n t i g u i d a d e , há c e r c a d e 6 0 0 0 a n o s , f o i m a r c a d o p o r inúmeras n o v i d a d e s matemáticas. O comércio, a s construções, a p o s s e e a demarcação d a s p r o p r i e d a d e s c o l o c a r a m n o v a s questões. A s m e d i d a s n e m s e m p r e constituíam números i n t e i r o s . E s s a n e c e s s i d a d e forçou o a p a r e c i m e n t o g r a d a t i v o d o s números fracionários.

O s egípcios já c o n h e c i a m o ábaco, a notação d e c i m a l , a l g u m a s frações e a l g u m a s c o n t a s . O u m e r a | , o d e z e r a f | ; d e s s e m o d o ,

n n i i e r a 3 6 . n m i

1 0

Mural egípcio fe i to há 3 600 anos, mostrando algumas at iv idades prof issionais da época (cur t imento de peles, carpintar ia, fundição de cobre) .

E l e s não s a b i a m m u l t i p l i c a r c o m o nós; s a b i a m a p e n a s d o b r a r . A s s i m , p a r a c a l c u l a r 1 3 X 1 8 i a m d o b r a n d o o 1 8 :

1 2 4 8 1 6 . . . 1 8 3 6 7 2 1 4 4 2 8 8

T r e z e v e z e s 1 8 e r a c a l c u l a d o a d i c i o n a n d o 1 8 + 7 2 + 1 4 4 , d a s e g u i n t e m a n e i r a : u m a v e z d e z o i t o ( 1 8 ) , m a i s q u a t r o v e z e s 1 8 ( 7 2 ) e m a i s o i t o v e z e s 1 8 ( 1 4 4 ) , i s t o é: 1 3 = 1 + 4 + 8 ; então, 1 3 X 1 8 = = 1 X 1 8 + 4 X 1 8 + 8 X 1 8 = 1 8 + 7 2 + 1 4 4 = 2 3 4 .

O s egípcios s o m e n t e o p e r a v a m c o m frações d e n u m e r a d o r i g u a l a 1 , i s t o é, i n v e r s o s d e números i n t e i r o s q u e e r a m r e p r e s e n t a d o s c o m u m s i n a l o v a l a d o ( o ) p o r c i m a d o n u m e r a l . A s s i m :

S e 3 e r a ||| , — e r a 3

1 1

A Matemática e r a c o n h e c i d a p e l o s a n t i g o s egípcios c o m o r e c e i t a s práticas q u e , m u i t a s v e z e s , f u n c i o n a v a m p o r aproximação e e r a m r e s u l ­t a d o d e t e n t a t i v a s e e r r o s f e i t o s d u r a n t e milénios. C o n h e c i a m o t e o r e m a q u e , m a i s t a r d e , p a s s o u a c h a m a r - s e " T e o r e m a d e Pitágoras" e d e s e n ­v o l v e r a m fórmulas p a r a o cálculo d e áreas e v o l u m e s .

C r i a r a m u m calendário d e 3 6 5 d i a s , i n v e n t a r a m o relógio d e s o l e a balança, f u n d i r a m o c o b r e e o e s t a n h o ( c u j a m i s t u r a é o b r o n z e ) e o u t r o s m e t a i s . Construíram c i d a d e s e g r a n d e s m o n u m e n t o s . T o d o s o s i n s t r u m e n t o s q u e u s a v a m e r a m d e p a u o u p e d r a . O f e r r o a i n d a não e r a c o n h e c i d o .

Os grandes monumentos egípcios, como as pirâmides da fo to , eram fe i tos com ins t rumentos de madeira, pedra e cobre.

A Matemática entre os gregos e os romanos

O u s o d o f e r r o é d e s c o b e r t o n a Ásia M e n o r . C o m i s s o , f e r r a m e n t a s m a i s e f i c i e n t e s p o d e m s e r c r i a d a s . C o m a utilização d a s n o v a s f e r r a m e n ­t a s , a produção a u m e n t a m u i t o , e l e v a n d o a produção d e e x c e d e n t e s . C o n s e q u e n t e m e n t e , o comércio se e x p a n d e , i n t e n s i f i c a n d o a s n a v e g a ­ções, m e l h o r a n d o o s t r a n s p o r t e s . A civilização se i n t e r i o r i z a m a i s p e l a E u r o p a . É a época d a h e g e m o n i a g r e g a . A p a r e c e o a l f a b e t o , q u e d e m o ­c r a t i z a a c u l t u r a e f a c i l i t a s e u r e g i s t r o , g e r a m a i o r e s c o n h e c i m e n t o s e intercâmbio c u l t u r a l . O g r a n d e acúmulo d e c o n h e c i m e n t o s n a Grécia p r o v o c a a mudança q u a l i t a t i v a d a classificação e ordenação. Começa u m t r a b a l h o metodológico s o b r e o g r a n d e c o n h e c i m e n t o a c u m u l a d o .

1 2

V a i s u r g i r a F i l o s o f i a . C o n t r i b u i também p a r a i s s o o f a t o d e , n e s s a época, o t r a b a l h o s e r r e a l i z a d o p o r e s c r a v o s , p o r s e r c o n s i d e r a d o i n d i g ­n o p a r a h o m e n s l i v r e s . E s t e s t i n h a m a p e n a s a função d e p e n s a r .

T o d a s a q u e l a s r e c e i t a s empíricas u t i l i z a d a s p e l o s egípcios, b a b i ­lónios e h a b i t a n t e s d e o u t r a s regiões f o r a m o r g a n i z a d a s : são o s c o n h e ­c i m e n t o s q u e t r a t a m d e números, o s q u e t r a t a m d e f i g u r a s , o s q u e t r a t a m d e doenças e t c . S u r g e m as ciências.

C o m o o s p e n s a d o r e s g r e g o s d e s p r e z a v a m o t r a b a l h o , s e g u i r a m o c a m i n h o d a s abstrações, a p r o f u n d a n d o - s e n a Matemática, a ciência q u e m a i s avançara, e n f a t i z a n d o m a i s a q u a l i d a d e q u e a q u a n t i d a d e , m a i s a G e o m e t r i a q u e a Aritmética. P o r i s s o , a G e o m e t r i a f o i a p r i m e i r a a r e c e b e r u m t r a t a m e n t o metodológico, c u l m i n a n d o c o m a admirável síntese d e E u c l i d e s — Os Elementos — a p r i m e i r a o b r a lógica. É a revolucionária criação d a argumentação, d a demonstração; é a c a p a c i ­d a d e d e c o n c l u i r a p a r t i r d e p r e m i s s a s .

E m s e g u i d a , Aristóteles, c o m s e u Organon, s i n t e t i z o u a Lógica c o m o transposição, e m p a l a v r a s , d o método d e demonstração geométrico q u e se i n i c i a r a c o m o s pré-socráticos ( T a l e s , Pitágoras, Anaxágoras e t c ) .

C o m o a d v e n t o d a Lógica, a p a ­l a v r a t o r n o u - s e u m i n s t r u m e n t o d e p o ­d e r , p a r a c o n t r o l e d a população. O e s c r a v i s m o e n t r a v a e m s u a c r i s e f i n a l .

Busto de Eucl ides

D e p o i s d a G e o m e t r i a e d a Lógica, a t e r c e i r a sistematização o c o r ­r e u n a Mecânica, c o m A r q u i m e d e s .

N o período e m q u e o s r o m a n o s d o m i n a r a m o m u n d o , a M a t e ­mática c o n t i n u o u a avançar, e s p e c i a l m e n t e c o m o s matemáticos a l e ­x a n d r i n o s , c o m o , p o r e x e m p l o , Eratóstenes ( 2 8 4 - 1 9 2 a . C ) , q u e c a l c u l o u o t a m a n h o d a T e r r a , P t o l o m e u ( ± 1 0 0 - 1 6 8 ) , q u e e s c r e v e u o Almagesto, o b r a q u e d e f e n d e a t e o r i a geocêntrica, e D i o f a n t o ( 3 2 5 - 4 0 9 d . C ) , q u e f o r m u l o u a s equações d i o f a n t i n a s , s i g n i f i c a n d o u m a r e t o m a d a d a Aritmética.

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Os árabes e a Álgebra

N o início d a I d a d e Média (séculos V e V I ) , n o período d e m a i o r expansão árabe, a l g u n s matemáticos, c o m o A v i c e n a , A l - K h o w a r i z m i , O m a r K h a y y a m , N a s i r E d d i n , e n t r e o u t r o s , d e s e n v o l v e r a m o sistema de numeração arábico ( q u e começou n a índia e n a Síria) e a Álgebra.

- = = ¥ f (e 1 S ? Brahmi

1 2 4 * V C ? T •

Indiano (Gwal ior)

l

Sânscri to-Devanagari (Indiano)

/ r r r ^

Árabe do Oeste (Gobar) Árabe do Leste

Século 11 (Ápices)

Século 15 Século 16 (Durer)

A f igura acima mostra algumas fases da evolução dos a lgar ismos.

O s i s t e m a d e c i m a l p o s i c i o n a i , u t i l i z a d o até h o j e c o m a l g u m a s alterações n o s n u m e r a i s , r e p r e s e n t o u p a r a a Aritmética o q u e o a l f a b e t o f o i p a r a a e s c r i t a : a democratização. A f i n a l , f a z e r c o n t a s c o m a l g a ­rismos r o m a n o s não e r a n a d a fácil!

Também d e v e m o s a o s árabes o d e s e n v o l v i m e n t o d e métodos q u e t o r n a r a m m a i s s i m p l e s a resolução d e equações. O t r a b a l h o c o m e q u a ­ções começou a a d q u i r i r u m a u t o m a t i s m o p a r e c i d o c o m o d o ábaco. P o r i s s o , a Álgebra s i g n i f i c o u u m a g r a n d e revolução matemática.

1 4

Do Renascimento aos nossos dias

N o s séculos X V e X V I , d u r a n t e o R e n a s c i m e n t o , o comércio e as c i d a d e s r e a t i v a r a m - s e , r e f l o r e s c e r a m . N e s s e período s u r g e m , n a Itália, o s números negativos, d e v i d o às n e c e s s i d a d e s c o m e r c i a i s n o cálculo d e dívidas e d e créditos. O s números n e g a t i v o s p e r m i t e m " t i r a r o m a i o r d o m e n o r " . O n o v o c o n j u n t o c h a m a - s e conjunto dos números inteiros e v e m j u n t a r - s e a o c o n j u n t o d o s números n a t u r a i s , já e x i s t e n t e d e s d e a Pré--história.

Z = { . . . - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . }

A resolução d a r a i z q u a d r a d a d o s números n e g a t i v o s l e v a a o a p a ­r e c i m e n t o d o s números complexos. N e s s e âmbito, p o d e m o s c i t a r F i b o -n a c c i , T a r t a g l i a , B o m b e l l i e m u i t o s o u t r o s .

N o período d a s g r a n d e s navegações, a A s t r o n o m i a t e v e g r a n d e i m p u l s o , p a r a orientação e m a l t o - m a r . O m a p a d o m u n d o é q u a d r i ­c u l a d o e a s c o o r d e n a d a s são u s a d a s s i s t e m a t i c a m e n t e . A s r o t a s são gráficos.

« * T Y P V S O R B I S A P T O L« D E S C R I P T V S

Map»-mún.l. dc Cláudio Ptolomeu (cerca de 200

Mapa-múndi elaborado por Ptolomeu em cerca de 15G d . C , já com coordenadas, que passar iam a ser in tensamente usadas a part i r das grandes navegações.

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N o século X V I I , c o m D e s c a r t e s , F e r m a t e o u t r o s , s u r g e a G e o ­m e t r i a Analítica e d e s e n v o l v e - s e a T r i g o n o m e t r i a . A p a r e c e m o s l o g a ­r i t m o s p a r a a simplificação d o s cálculos astronómicos. A ciência c o n t i n u a d e p e n d e n t e d a técnica, m a s começa a t e r u m n o v o caráter, não c o m p l e t a m e n t e utilitário.

U m a n o v a revolução matemática se c o m p l e t a c o m V i e t e , q u e p a s s o u a u t i l i z a r símbolos p a r a q u a l q u e r demonstração, u s a n d o l e t r a s t a n t o p a r a q u a n t i d a d e s c o n h e c i d a s c o m o p a r a d e s c o n h e c i d a s . A r a p i d e z d o cálculo f o i a u m e n t a d a e a notação se f o r m a l i z o u , f i c a n d o m a i s r i g o r o s a c o m símbolos s e m conotações, m a s operáveis s e g u n d o r e g r a s . E r a a Matemática s e m conteúdo, o u m e l h o r , c o m conteúdo n a própria f o r m a . E s t a m o s n o t e m p o d e G a l i l e u e d a Inquisição.

P o u c o d e p o i s , c o m L e i b n i z e N e w t o n , c o m p l e t o u - s e a g r a n d e sín­t e s e d o Cálculo I n t e g r a l e D i f e r e n c i a l . F i n a l m e n t e , n o f i m d o século p a s s a d o , a c o n t e c e a reordenação lógica d a Matemática c o m C a n t o r , F r e g e , R u s s e l l e o u t r o s , d a n d o a e l a o a c a b a m e n t o q u e c o n h e c e m o s h o j e .

A MATEMÁTICA É FÁCIL

A Matemática é a m a i s a n t i g a d a s ciências. P o r i s s o e l a é difícil. P o r q u e já c a m i n h o u m u i t o , já s o f r e u m u i t a s r u p t u r a s e r e f o r m a s , p o s ­s u i n d o u m a c a b a m e n t o r e f i n a d o e f o r m a l . M a s c a m i n h o u m u i t o j u s t a ­m e n t e p o r s e r fácil.

É i s s o q u e d e v e m o s c o n s i d e r a r q u a n d o e s t a m o s l e c i o n a n d o , p r o ­c u r a n d o c o l o c a r o a s s u n t o n o nível d o d e s e n v o l v i m e n t o d o a l u n o . C a d a período t e m s u a s características, s e u g r a u d e abstração, d e elaboração, d e a c a b a m e n t o e , c o n s e q u e n t e m e n t e , s u a didática. I s s o a c o n t e c e n a história d a Matemática e n o e n s i n o d a Matemática, s e g u i n d o a s e ­quência:

• a s r e c e i t a s práticas o b t i d a s p o r t e n t a t i v a e e r r o , e m a t i v i d a d e s c o n c r e t a s , características d a Pré-história até o E g i t o , são e s t u d a d a s d a l . a à 4 . a série d o p r i m e i r o g r a u ;

• a revolução g r e g a d a demonstração é i n c o r p o r a d a d a 5 . a à 8 . a

série d o p r i m e i r o g r a u ;

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• a Álgebra — o m e c a n i s m o simbólico arábico — p a s s a a s e r o p e r a d a a p a r t i r d a 7 . a série;

• a formalização d e V i e t e — o s símbolos f r i o s e operáveis d o R e ­n a s c i m e n t o — começa n o s e g u n d o g r a u ;

• o Cálculo D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l é e s t u d a d o n a s f a c u l d a d e s d e ciências e x a t a s ;

• a reordenação lógica m o d e r n a — aritmetização d a Matemática — é conteúdo d a s f a c u l d a d e s d e Matemática.

V i s t a d e s s a f o r m a , a Matemática p o d e s e r — e é — g o s t o s a e fácil d e e n s i n a r o u d e a p r e n d e r , p o i s c o r r e s p o n d e ao d e s e n v o l v i m e n t o n o r m a l d o a l u n o . N a d a é e s t r a n h o , s e m c o n t i n u i d a d e , s e m s i g n i f i c a d o .

PRIMEIRAS NOÇÕES MATEMÁTICAS

U m u r u b u f e z s e u n i n h o n a t o r r e d e u m a i g r e j a n u m a p e q u e n a v i l a . O sacristão responsável p e l a i g r e j a f e z várias t e n t a t i v a s p a r a pegá-lo, m a s , t o d a v e z q u e e n t r a v a n o prédio, o u r u b u v o a v a e só r e t o r n a v a q u a n d o o sacristão saía. Então, o h o m e m a r q u i t e t o u u m p l a n o p a r a e n g a n a r o u r u b u . E n t r a r a m d o i s h o m e n s n a i g r e j a , e o u r u b u v o o u ; s a i u u m , f i c a n d o o o u t r o à e s p e r a . O u r u b u não v o l t o u e n ­q u a n t o não s a i u o s e g u n d o ! E n t r a r a m três e saíram d o i s , f i c a n d o o t e r c e i r o à e s p e r a . Não a d i a n t o u ! C o m q u a t r o , r e p e t i u - s e a m e s m a c o i s a . S o m e n t e c o m c i n c o p e s s o a s é q u e o p l a n o d e u c e r t o : saíram q u a t r o , f i c o u u m ; o u r u b u " p e r d e u a c o n t a " , v o l t o u e f o i a p a n h a d o .

E s s a p e q u e n a história m o s t r a q u e até m e s m o o s a n i m a i s são c a p a ­z e s d e a p r e s e n t a r , e m b o r a r u d i m e n t a r m e n t e , percepções l i g a d a s à q u a n ­t i d a d e . Experiências s e m e l h a n t e s f e i t a s c o m o u t r a s espécies d e a n i m a i s m o s t r a m q u e e l e s não s a b e m c o n t a r , m a s p o s s u e m a l g u m a s noções c o m o " a q u i há m a i s b a n a n a s q u e a l i " . Porém, q u a n d o d u a s q u a n t i d a ­d e s são e l e v a d a s e c o m diferença p e q u e n a e n t r e s i , m e s m o u m h o m e m c u l t o não perceberá a diferença, a m e n o s q u e p o s s a f a z e r u m a c o r r e s p o n ­dência u m a u m . P o r e x e m p l o , s e m c o n t a r , p o d e m o s s a b e r q u e e m

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B, n a f i g u r a q u e s e g u e , há m a i s e l e m e n t o s q u e e m A. D o m e s m o m o d o , o l h a n d o a p l a t e i a d e u m t e a t r o p o d e m o s s a b e r , s e m c o n t a r , se há m a i s p e s s o a s o u p o l t r o n a s , d e s d e q u e a s p e s s o a s e s t e j a m e m s e u s l u g a r e s .

E s t e é o m a i s p r i m i t i v o c o n c e i t o d e q u a n t i d a d e : o n d e há m a i s , o n d e há m e n o s ; o n d e há m a i s f r u t o s , o n d e há m a i s p e i x e s e t c . E s s a noção, q u e até o s a n i m a i s p o d e m t e r , c o m o v i m o s p e l o c o n t o d o u r u b u , é m u i t o útil p a r a a sobrevivência.

A CRIAÇÃO DO NÚMERO

A n e c e s s i d a d e d a exatidão n a c o n t a g e m começa já n o Paleolítico, q u a n d o o h o m e m p a s s a a f a b r i c a r m a c h a d i n h a s , t a c a p e s e lanças. N e s s a época são c r i a d o s o s p r i m e i r o s números.

A criação d e u m número é u m p r o c e s s o classificatório, d o m e s m o m o d o q u e a divisão d o s a n i m a i s e m mamíferos, p e i x e s , a v e s e t c . Mamífero não e x i s t e c o m o u m a espécie. E x i s t e m c a r n e i r o s , l o b o s , m o r ­c e g o s , h o m e n s . Dois não e x i s t e c o n c r e t a m e n t e . E x i s t e m conjuntos d e d o i s e l e m e n t o s . "Mamífero" e " d o i s " são c o n c e i t o s i d e a i s , criação h u m a n a .

O s números ( i d e i a s ) , j u n t a m e n t e c o m o s n u m e r a i s c o r r e s p o n d e n ­t e s ( p a l a v r a s , r i s c o s , p e d r a s , símbolos), f o r a m a p a r e c e n d o u m após o u t r o . D e v i d o às n e c e s s i d a d e s s o c i a i s , o zero já t i n h a n o m e — nada — m u i t o a n t e s d e a p a r e c e r e m símbolos matemáticos q u e o r e p r e s e n ­t a s s e m . O z e r o a p a r e c e c o m a i d e i a d e s u c e s s o e i n s u c e s s o : c a c e i o u não c a c e i , p e s q u e i o u não p e s q u e i .

O s e g u n d o número a s e r i n v e n t a d o f o i o w m , q u e s u r g i u d a n e c e s ­s i d a d e d e d i s t i n g u i r o s i n g u l a r d o p l u r a l : n a d a , u m , vários. D e p o i s começa a n e c e s s i d a d e d e i d e n t i f i c a r : leão — l e o a , b o i — v a c a , cão — c a d e l a e t c .

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A ideia de "casa l " supõe uma quant idade, uma qual idade e uma relação.

A p a l a v r a casal v e m d e u m a abstração útil q u e e n v o l v e várias i d e i a s : u m a q u a l i d a d e ( a n i m a i s ) , u m a q u a n t i d a d e ( d o i s ) e u m a relação ( m a c h o e fêmea p r o c r i a n d o ) . O t e r m o casal não se a p l i c a a d u a s p e d r a s , n e m a três a n i m a i s . D o m e s m o m o d o , a p a l a v r a par v e m d e u m a abstração q u e e n v o l v e u m a q u a l i d a d e ( o b j e t o s ) , u m a q u a n t i d a d e ( d o i s ) e u m a relação ( i g u a l d a d e o u s i m e t r i a ) .

C a s a l não é número; d o i s é. O d o i s " p u r o " é t o t a l m e n t e a b s t r a t o e s u r g e d e c a s a l , p a r , d u p l a e t c . O d o i s r e l a c i o n a t o d o s o s c o n j u n t o s c o m d o i s e l e m e n t o s . É a expressão d e r e l a c i o n a m e n t o e n t r e c o n j u n t o s d e d o i s e l e m e n t o s . O m e s m o o c o r r e c o m o s o u t r o s números: três, q u a t r o , c i n c o e t c . A Matemática começou a s u r g i r c o m essas abstrações.

P a r a a b s t r a i r u m número, é necessário c l a s s i f i c a r o s c o n j u n t o s c o m a q u e l e número d e e l e m e n t o s . I s t o se f a z c o m u m a correspondência u m a u m e n t r e o s c o n j u n t o s . A s s i m , a noção d e número s u r g e d a classificação d e c o n j u n t o s e q u i p o t e n t e s p e l a correspondência u m a u m .

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A i n d a h o j e e x i s t e m t r i b o s ( n a Austrália e n a N o v a Guiné) q u e só s a b e m c o n t a r até três. M a i s q u e i s s o são vários. É c l a r o q u e , s e vêem d o i s g r u p o s d e a n i m a i s , u m c o m q u a t r o e o u t r o c o m c i n c o e l e m e n t o s , s a b e m q u a l é o g r u p o m e n o r . M a s a i n d a não s u r g i u a n e c e s s i d a d e d e c l a s s i f i c a r o s c o n j u n t o s d e m a i s d e três e l e m e n t o s e d a r u m n o m e a o s números q u e o s r e p r e s e n t e m . N o e n t a n t o , várias t r i b o s d e índios b r a s i ­l e i r o s , a n t e s d a c h e g a d a d o b r a n c o , e s t a v a m e m f a s e m a i s a d i a n t a d a , e m p l e n o Neolítico.

P a r a r e p r e s e n t a r o s números, f o r a m e são u s a d o s vários p r o c e s s o s . U m a inscrição pré-histórica p a r e c i d a c o m a f i g u r a a b a i x o p o d e s i g n i ­f i c a r c i n c o p e i x e s . I s s o é o começo d a e s c r i t a .

E l a p o d e i n d i c a r q u e d o i s h o m e n s f i c a r a m três d i a s e três n o i t e s a o pé d e u m a m o n t a n h a . N o t a r q u e o d e s e n h o d o h o m e m s i g n i f i c a h o m e m m e s m o , já o s o l s i g n i f i c a d i a . O p r i m e i r o é pictografia e o s e g u n d o , ideografia. P a r a r e p r e s e n t a r três d i a s , não f o i d e s e n h a d o 3 O , m a s s i m O O O . N e s s e s e n t i d o a f i g u r a d o s c i n c o p e i x e s é m a i s m o d e r n a , é m a i s a b s t r a t a .

E a s s i m f o r a m s e n d o c r i a d o s o s números e o s n u m e r a i s .

O c o n j u n t o d o s números r e a i s f o i s e n d o construído g r a d a t i v a ­m e n t e . P r i m e i r o s u r g e m o s números naturais c o n h e c i d o s , c o m o u t r a n o ­tação, d e s d e a Pré-história.

I N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 , . . . }

2 0

C o m números n a t u r a i s p o d e m o s e f e t u a r adições e multiplicações s e m m a i o r e s c u i d a d o s , porém n a subtração e divisão d e v e m o s e x a m i ­n a r se e x i s t e m o s r e s u l t a d o s . P o r e x e m p l o : 5 — 7 não está e m [ N , 3 : 5 não está e m | ] \ ] . O s n o s s o s índios não c o n h e c e m 5 — 7 , a não s e r a l g u n s a c u l t u r a d o s .

C o m a invenção d o s números n e g a t i v o s , f i c o u possível " t i r a r o m a i o r d o m e n o r " , e 5 - 7 = — 2 . O n o v o c o n j u n t o c h a m a - s e Conjunto dos Números Inteiros.

Z = { . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , . . . }

N e l e p o d e m o s e f e t u a r subtrações s e m m a i o r e s c u i d a d o s . N o e n ­t a n t o , 3 : 5 não está e m Z . C o m a invenção d a s frações — q u e o c o r ­r e u a n t e s d a invenção d o s números n e g a t i v o s , p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s d e m e d i d a s — f i c o u possível t o d a divisão, e x c e t o divisão p o r z e r o . P r i m e i r o m a n d a m e n t o d a Matemática: "Não dividirás p o r z e r o " .

O c o n j u n t o d o s números fracionários m a i s o s i n t e i r o s , c h a m a d o Conjunto dos Números Racionais, é:

T o d o número r a c i o n a l p o d e s e r e s c r i t o e m f o r m a d e número d e c i ­m a l . P o r e x e m p l o :

2 2 - — 2 2 2 0 4 , 4 i o g o > - 4 > 4 = 4 , 4 0 0 0 0 .

0 5

4 L i - 4

1 0 1 , 3 3 j o g o , = 1 , 3 3 3 3 3 . 1 0 3

1

2 1 [ 7 2 1 0 3 l o g o , == , 3 =? 3 , 0 0 0 0 0 .

21

2 2 A l g u n s números r a c i o n a i s são d e c i m a i s f i n i t o s c o m o , o u t r o s

5 são d e c i m a i s i n f i n i t o s , porém periódicos, c o m o 1 , 3 3 3 3 . . . S e c o l o c a r ­m o s z e r o s n o s f i n i t o s , t o d o número r a c i o n a l é dízima periódica: 4 , 4 0 0 0 . . ., 3 , 0 0 0 0 . . . e t c .

Porém há números q u e não são dízimas periódicas. C h a m a r e m o s dízimas não periódicas. V e j a e s t e s :

a ) 0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 . . .

b ) V 2 " = 1 , 4 1 4 2 1 3 5 6 2 . . .

c ) TI = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 . . .

São números q u e não p o s s u e m g e r a t r i z e s . Não p o d e m s e r c o l o c a -p

d o s n a f o r m a , razão e n t r e números i n t e i r o s . O c o n j u n t o I I d a s q

dízimas não periódicas c h a m a - s e Conjunto dos Números Irracionais, o u s e j a , números q u e não são razões.

C h a m a m o s Conjunto dos Números Reais a o c o n j u n t o d e t o d o s e s ses números — r a c i o n a i s m a i s o s i r r a c i o n a i s — q u e f i c a m e m c o r ­respondência c o m o s p o n t o s d e u m a r e t a .

IR = Q u n — 3 — 2 — 1 0 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 1 1 ! -

E s s e s n o m e s não são m u i t o b o n s . P o r e x e m p l o , n e n h u m número é r e a l , c o n c r e t o . T o d o número é i d e a l , a b s t r a t o , i n v e n t a d o p e l o h o m e m . M a s , h i s t o r i c a m e n t e , f i c a r a m o s n o m e s : N a t u r a l , I n t e i r o , R a c i o n a l , R e a l e t c .

E m | R f i c a m possíveis operações c o m o ^ 5 F , q u e não está e m ( Q . C o n t u d o , não se p o d e c a l c u l a r a i n d a V — 4 , q u e não está e m | R . Números d e s s e t i p o p e r t e n c e m a o Conjunto dos Números Complexos, q u e é e s t u d a d o n o s e g u n d o g r a u .

2 2

D e v e m o s a i n d a c l a s s i f i c a r o s números i r r a c i o n a i s e m d u a s c a t e g o ­r i a s : a s raízes c o m o y/2, y/T, . . . , c h a m a d o s números i r r a c i o n a i s algébri­cos, q u e já f o r a m e s t u d a d o s n a Grécia clássica, e o s c h a m a d o s núme­r o s transcendentais ( q u e não são raízes), c o m o TZ e o u t r o s . O b s e r v a r q u e y/Ã é número n a t u r a l e q u e 0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 . . . não é dízima periódica.

2 3

Etapas de aprendizagem

INTRODUÇÃO

Q u a n d o u m h o r t i c u l t o r f a z u m a plantação d e a l f a c e , t a l v e z s a i b a , m a i s o u m e n o s , q u e e s s a p l a n t a p o s s u i d u a s histórias: a história d a espécie ( q u e e v o l u i u d e s d e o a p a r e c i m e n t o d a v i d a ) e a história d e c a d a pé ( d e s d e a s e m e n t e até a f a s e a d u l t a ) q u e , a p r o x i m a d a m e n t e , r e p e t e a história d a espécie.

A a l f a c e , c o m o q u a l q u e r o u t r o s e r v i v o , p o s s u i u m código gené­t i c o próprio, constituído d u r a n t e o s milhões d e a n o s d a história d a s u a espécie, q u e d i r i g e a história d e c a d a indivíduo. É i m p o r t a n t e r e s s a l t a r q u e a história d a espécie d i r i g e a história i n d i v i d u a l , m a s não a d e t e r m i n a .

D o i s e r r o s e x t r e m o s o h o r t i c u l t o r não p o d e c o m e t e r : a passividade d e não i n t e r v i r n o d e s e n v o l v i m e n t o d a a l f a c e , já q u e e l a está g e n e t i c a ­m e n t e p r o g r a m a d a , e a utopia d e i n t e r v i r a r b i t r a r i a m e n t e , p a r a i m p o r s u a v o n t a d e . É p r e c i s o t r a b a l h a r u s a n d o o c o n h e c i m e n t o d a s próprias l e i s d a n a t u r e z a , p r o m o v e n d o o d e s e n v o l v i m e n t o e até i n f l u i n d o n a s d u a s histórias, d e n t r o d e c e r t o s l i m i t e s : c a p i n a r , a d u b a r , d e f e n d e r , p r o ­v o c a r mutações e t c .

É p r e c i s o c o n h e c e r as e t a p a s d o d e s e n v o l v i m e n t o d a a l f a c e p a r a d a r à p l a n t a o t r a t a m e n t o a d e q u a d o : s a b e r q u a l o m o m e n t o d o p l a n t i o , d o t r a n s p l a n t e , d a c o l h e i t a e t c . P o r t a n t o , não só a história d a espécie, m a s também o a m b i e n t e v a i d e t e r m i n a r a história i n d i v i d u a l . O h o m e m t r a b a l h a o a m b i e n t e . L o g o , q u a n t o m a i s c o n h e c i m e n t o e l e t e m , m a i s a t u a n t e p o d e s e r .

D e a c o r d o c o m M u l l e r ( 1 8 2 1 - 1 8 9 7 ) , célebre médico n a t u r a l i s t a , c a d a indivíduo p o s s u i u m a história q u e t r a n s c o r r e a c o m p a n h a n d o a p r o -

2 4

x i m a d a m e n t e a história d a espécie à q u a l p e r t e n c e . E l e f o r m u l o u u m a l e i s e g u n d o a q u a l " o d e s e n v o l v i m e n t o d o indivíduo é u m a recapitulação a b r e v i a d a d a história d e s u a espécie". E s s a l e i é m u i t o útil, d e s d e q u e não s e j a a p l i c a d a r i g i d a m e n t e . A espécie h u m a n a , p o r e x e m p l o , f o i e v o l u i n d o até c h e g a r a o q u e é h o j e , p a s s a n d o p o r p r o f u n d a s t r a n s f o r ­mações. E c a d a indivíduo e m p a r t i c u l a r também s o f r e u m a série d e m e t a m o r f o s e s , q u e começam n o útero m a t e r n o e c o n t i n u a m d e p o i s d o n a s c i m e n t o .

A s s i m , o f a t o d e t e r a p r e n d i d o a a n d a r e r e t a m e n t e n a Pré-história não i m p l i c a q u e o h o m e m já nasça s a b e n d o a n d a r . C a d a criança d e v e , s o z i n h a , p a s s a r p e l a s e t a p a s d a espécie h u m a n a , a p r e n d e n d o a a n d a r e m pé, a f a l a r , a c o n t a r , a a d q u i r i r noção d e conservação e a s s i m p o r d i a n t e . E c a d a criança f a z i s s o n u m r i t m o próprio.

A B i o l o g i a e s t u d a a evolução d a espécie h u m a n a ; a Psicogenética e s t u d a a evolução i n d i v i d u a l .

PIAGET

J e a n P i a g e t ( 1 8 9 6 - 1 9 8 0 ) , psicólogo suíço m u n d i a l m e n t e f a m o s o p o r s e u s e s t u d o s n a área d a Psicogenética, r e a l i z o u experiências q u e e v i d e n c i a r a m q u a t r o estágios n o d e s e n v o l v i m e n t o lógico:

Estágio sensório-motor — V a i d e s d e o n a s c i m e n t o até c e r c a d e 2 4 m e s e s . N e s s e período, a criança p a s s a d e a t i v i d a d e s p u r a m e n t e r e f l e ­x a s à formação d o s p r i m e i r o s hábitos, d e p o i s à coordenação e n t r e visão e preensão ( o l h o s e mãos), à p r o c u r a d e o b j e t o s e s c o n d i d o s , à prática d e a t o s i n t e n c i o n a i s , à complexificação e diferenciação d e e s q u e m a s d e ações e à resolução d e p r o b l e m a s p o r compreensão.

Estágio pré-operatório — V a i d o s 2 a n o s , a p r o x i m a d a m e n t e , até c e r c a d e 7 a n o s . E s s a f a s e t e m início c o m o a p a r e c i m e n t o d a l i n g u a g e m , q u e é u m a função simbólica. Começa a c u r i o s i d a d e ( p o r quê? c o m o ? q u e é i s t o ? ) , a p a r e c e o p e n s a m e n t o i n t u i t i v o .

Estágio das operações concretas — V a i d o s 7 a o s 1 2 a n o s , a p r o ­x i m a d a m e n t e , e é o q u e m a i s i n t e r e s s a n e s t e l i v r o . N e s t a e t a p a d o d e s e n v o l v i m e n t o , a criança a i n d a está t o t a l m e n t e l i g a d a a o b j e t o s r e a i s , c o n c r e t o s , m a s já é c a p a z d e p a s s a r d a ação à operação, q u e é u m a

2 5

CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS COGNITIVAS

Estágio Caracter ís t icas Idade Noções matemát icas

1. S

EN

SÓ

RIO

-MO

TOR

1. A t iv idades ref lexas 2. Pr imeiros hábitos 3. Coordenação entre visão

e preensão 4. Permanência do objeto,

intencional idade dos atos 5. Di ferenciação dos esque­

mas de ação 6. Solução de problemas

meses

Ma io r /menor

Noção de espaço, fo rmas

1. S

EN

SÓ

RIO

-MO

TOR

1. A t iv idades ref lexas 2. Pr imeiros hábitos 3. Coordenação entre visão

e preensão 4. Permanência do objeto,

intencional idade dos atos 5. Di ferenciação dos esque­

mas de ação 6. Solução de problemas

0 — 1 1 — 4 4 — 8

8 — 1 1

11 — 18

18 — 24

Ma io r /menor

Noção de espaço, fo rmas

2. P

RÉ

-OP

ER

ATÓ

RIO

1. Função s imból ica ( l inguagem)

2. Organizações representa­t ivas, pensamento intui­t i vo

3. Regulação representat iva art iculada

anos

Desenhos

Contagem, f iguras geomét r icas

Correspondência te rmo a te rmo , conservação do número, c lassi­f icação s imples 2.

PR

É-O

PE

RA

TÓR

IO

1. Função s imból ica ( l inguagem)

2. Organizações representa­t ivas, pensamento intui­t i vo

3. Regulação representat iva art iculada

2 — 4

4 — 5

5 — 7

Desenhos

Contagem, f iguras geomét r icas

Correspondência te rmo a te rmo , conservação do número, c lassi­f icação s imples

3. O

PE

RA

ÇÕ

ES

C

ON

CR

ETA

S

1. Operações s imples, re­gras, pensamento estru­turado fundamentado na manipulação de objetos

2. Mul t ip l icação lógica

7 — 9

Reversibi l idade, c lass i f icação, seriação, t rans i t iv idade, conser­vação de tamanho, d is tânc ia, área, conservação de quantida­de descontínua, conservação da massa (7 anos)

Classe-inclusão, cálculo, conser­vação do peso, conservação do vo lume, f rações (9 anos)

4. O

PE

RA

ÇÕ

ES

FO

RM

AIS

1. Lógica hipotét ico-dedut i -va, raciocínio abstrato

2. Estruturas formais

12 — 13

13 — 15

Proporção, combinações (12 anos)

Demonstração, álgebra (13 anos)

N o t a : As idades constantes do quadro são apenas um referencial. Elas variam muito de criança para criança. Além disso, ela pode estar num estágio em relação a um comportamento e em outro em relação a outro comportamento.

2 6

ação i n t e r i o r i z a d a . É também n e s s e estágio q u e começa a c a p a c i d a d e d e c l a s s i f i c a r e d e f a z e r transformações reversíveis, i s t o é, q u e p o d e m s e r i n v e r t i d a s , v o l t a n d o à o r i g e m , q u e p o d e m s e r d e s m o n t a d a s . C o m e ­çam a se e s t a b e l e c e r a l g u m a s noções d e conservação.

Estágio das operações formais — V a i d o s 1 1 o u 1 2 a n o s até m a i s o u m e n o s o s 1 5 . É a f a s e e m q u e a p a r e c e o raciocínio lógico: a criança já é c a p a z d e p e n s a r u s a n d o abstrações.

C a d a estágio s e r v e d e b a s e p a r a o estágio s e g u i n t e ; porém o d e ­s e n v o l v i m e n t o não é l i n e a r n e m a p e n a s q u a n t i t a t i v o . Há r u p t u r a s n o m o d o d e p e n s a r , há mudanças d e q u a l i d a d e p r o v o c a d a s p e l o d e s e n ­v o l v i m e n t o q u a n t i t a t i v o d e a t i v i d a d e s . P o r i s s o , a s m e n s a g e n s são i n t e r ­p r e t a d a s d e m o d o s d i f e r e n t e s e m c a d a e t a p a d e d e s e n v o l v i m e n t o d a criança. I s s o é f u n d a m e n t a l e m educação. É i m p r o d u t i v o , e até p r e j u ­d i c i a l , t e n t a r c e r t a s a t i v i d a d e s c o m a l u n o s q u e a i n d a não estão n o estágio d e assimilá-las. A s s i m , u m a l u n o p o d e não a p r e s e n t a r b o m r e s u l t a d o n u m d e t e r m i n a d o a s s u n t o e d e n a d a adiantará f a z e r r e c u p e ­ração. É necessária u m a correspondência e n t r e o d e s e n v o l v i m e n t o p s i c o -genético e as a t i v i d a d e s p r o p o s t a s n a e s c o l a , l e m b r a n d o s e m p r e q u e o p e n s a m e n t o c r e s c e a p a r t i r d e ações, o u s e j a , v a i d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o , d a manipulação p a r a a representação, e d e s t a p a r a a s i m -bolização.

Como avaliar o desenvolvimento psicogenético

A l g u m a s experiências d e avaliação d o d e s e n v o l v i m e n t o psicogené­t i c o são p a r t i c u l a r m e n t e i m p o r t a n t e s n a Matemática. V e j a m o s a s p r i n c i p a i s .

Classificação C o r t a r e m c a r t o l i n a q u a d r a d o s e círculos d e d o i s t a m a n h o s , a m a ­

r e l o s e v e r m e l h o s .

P r i m e i r o , d e i x a r q u e a criança b r i n q u e l i v r e m e n t e c o m as peças. D e p o i s , p e d i r q u e as d e s c r e v a : i s t o é u m q u a d r a d o p e q u e n o , v e r m e l h o e t c . P e d i r q u e a s c l a s s i f i q u e p o r c o r , o u f o r m a , o u t a m a n h o . ( C l a s s i f i c a r p o r c o r é s e p a r a r a s peças e m a m a r e l a s e v e r m e l h a s ; p o r f o r m a é s e p a r a r q u a d r a d o s d e círculos.)

2 7

Crianças m u i t o n o v a s não f a z e m classificação. E s s a operação é a t i n g i d a c o m 5 o u 6 a n o s . C o m m a i s i d a d e , a criança p o d e c h e g a r a u m a classificação m a i s c o m p l e x a .

E s s a experiência também p o d e s e r f e i t a c o m b l o c o s lógicos ( v e r capítulo 3 , página 7 0 ) , c o m c a r r i n h o s d e várias m a r c a s , c o r e s , t a m a n h o s e t c .

Conservação do número

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o oooooooo

C o l o c a r n a m e s a o i t o t a m p i n h a s d e g a r r a f a e p e d i r à criança q u e também c o l o q u e a m e s m a q u a n t i d a d e . T e m o s então u m a situação c o m o a m o s t r a d a n o p r i m e i r o q u a d r i n h o . D i z e r :

— E s t a s t a m p i n h a s são m i n h a s , a s o u t r a s são s u a s ; q u e m t e m m a i s ?

A r e s p o s t a será: — I g u a l .

E m s e g u i d a , j u n t a r a s d e l a e espaçar a s s u a s , c o m o n o s e g u n d o q u a d r i n h o , e p e r g u n t a r :

— Q u e m t e m m a i s , e u o u você?

2 8

Crianças d e 4 a 5 a n o s responderão q u e você t e m m a i s . D e 5 a 6 a n o s , ficarão n a dúvida. A s d e 6 a n o s já darão a r e s p o s t a c o r r e t a , p e r c e b e n d o q u e o espaçamento não a l t e r a o número.

Seriação Q u e b r a r d e z p a l i t o s d e s o r v e t e e m t a m a n h o s d i f e r e n t e s , v a r i a n d o

d e centímetro e m centímetro.

1

P e d i r à criança q u e o s c o l o q u e e m o r d e m . Até c e r c a d e 6 a n o s , a criança não o fará. A p e n a s separará o s p a l i t o s e m g r a n d e s e p e q u e ­n o s , o u o s juntará e m p e q u e n o s c o n j u n t o s . Após o s 6 o u 7 a n o s , já será c a p a z d e f a z e r a s comparações c o r r e t a m e n t e e c o l o c a r o s p a l i t o s e m o r d e m .

Conservação da quantidade descontínua P a r a e s s a experiência são necessários d o i s c o p o s d e f o r m a t o s b e m

d i f e r e n t e s u m d o o u t r o e u m a c a i x a c o m grãos o u cápsulas.

I r p a s s a n d o l e n t a m e n t e o s grãos d a c a i x a p a r a o s d o i s c o p o s , grão a grão, c o m a m b a s a s mãos, a o m e s m o t e m p o . D e p o i s d e já t e r p a s s a d o c e r t a q u a n t i d a d e , p e r g u n t a r à criança e m q u e c o p o há m a i s grãos.

2 9

R e s p o s t a s q u e c o s t u m a m s e r d a d a s p o r crianças d e até 6 a n o s :

— E s t e c o p o é m a i s a l t o , t e m m a i s .

— N e s t e t e m m a i s p o r q u e é m a i s l a r g o .

D e p o i s d o s 6 a n o s a s r e s p o s t a s são c o r r e t a s :

— Têm a m e s m a q u a n t i d a d e .

Conservação do tamanho M a t e r i a l necessário: d u a s t i r a s d e c a r t o l i n a i g u a i s , c o m c e r c a d e

1 2 c m d e c o m p r i m e n t o , e q u a t r o "vês" i g u a i s .

M o n t a r o e s q u e m a d a f i g u r a e p e r g u n t a r q u a l t i r a é m a i o r . V i r a r o s "vês" e r e p e t i r a p e r g u n t a .

A n t e s d o s 6 a n o s , a criança dirá q u e a t i r a c o m o s "vês" v i r a d o s p a r a d e n t r o é m e n o r . Q u a n d o v i r a m o s o s "vês", o c o m p r i m e n t o m u d a .

Após o s 6 o u 7 a n o s , dará a r e s p o s t a c o r r e t a . Terá a t i n g i d o a noção d e permanência d o c o m p r i m e n t o .

3 0

Conservação da área M o s t r a r à criança d u a s b o l a c h a s r e d o n d a s o u q u a d r a d a s , i g u a i s .

D i z e r à criança q u e u m a b o l a c h a é s u a e o u t r a é d e l a . D e p o i s , q u e b r a r a s u a . P e r g u n t a r q u e m g a n h o u m a i s b o l a c h a . P o d e a c o n t e c e r u m a r e s ­p o s t a a s s i m :

— A s u a q u e b r o u , f i c o u m e n o s .

D e p o i s d o s 6 o u 7 a n o s , a criança dará a r e s p o s t a q u e o a d u l t o e s p e r a . A experiência p o d e s e r f e i t a c o m " b o l a c h a s " d e c a r t o l i n a o u o u t r o m a t e r i a l .

Classe-inclusão São necessárias d e z o i t o peças d e c a r t o l i n a , s e n d o se i s q u a d r a d o s

v e r m e l h o s e q u a t r o a m a r e l o s e o i t o círculos v e r m e l h o s .

R e p a r e q u e t o d a peça a m a r e l a é q u a d r a d a , m a s n e m t o d o q u a ­d r a d o é a m a r e l o . Começar as p e r g u n t a s :

— T o d o s o s q u a d r a d o s são v e r m e l h o s ?

— T o d a peça a m a r e l a é q u a d r a d a ?

— T o d o s o s círculos são v e r m e l h o s ?

— Há m a i s q u a d r a d o s o u m a i s círculos?

— Há m a i s peças o u m a i s q u a d r a d o s ?

3 1

A última p e r g u n t a e x i g e a comparação d e u m c o n j u n t o d e peças c o m u m s e u s u b c o n j u n t o d e q u a d r a d o s . A i d a d e p a r a r e s p o n d e r c o r r e -t a m e n t e a e s s a p e r g u n t a é m u i t o variável, f i c a n d o e n t r e 5 e 1 0 a n o s . P a r a c o m p r e e n d e r o c o n c e i t o d e número, é f u n d a m e n t a l a percepção d a inclusão d e c l a s s e s .

Conservação de quantidades contínuas (massa) P a r a f a z e r e s s a experiência c o m a criança, p r e c i s a - s e d e d o i s c o p o s

e x a t a m e n t e i g u a i s e u m t e r c e i r o , m a i s l a r g o , m a s c o m a m e s m a c a p a ­c i d a d e d o s o u t r o s .

E n c h e r c o m água o s c o p o s i g u a i s e p e r g u n t a r à criança e m q u a l d o s d o i s há m a i s água. E l a dirá q u e a q u a n t i d a d e é i g u a l . D e s p e j a r o conteúdo d e u m d e l e s n o c o p o m a i s l a r g o e v o l t a r c o m a p e r g u n t a .

Até 6 o u 7 a n o s , as r e s p o s t a s m a i s c o m u n s são:

— A q u i t e m m a i s .

— P o r quê?

— P o r q u e é m a i s a l t o .

O u :

— E s s e t e m m a i s água.

— P o r quê?

— P o r q u e é m a i s g o r d o .

D e p o i s d o s 6 o u 7 a n o s , a s r e s p o s t a s são c o r r e t a s :

— São i g u a i s .

— P o r quê?

— E s t e é m a i s b a i x o , m a s é m a i s l a r g o .

3 2

C a b e l e m b r a r a q u i q u e o s c i e n t i s t a s e n t r a m n u m a o u t r a e t a p a , n a q u a l a m a s s a não é m a i s c o n s e r v a d a , m a s m u d a c o m a v e l o c i d a d e , é r e l a t i v a . I s s o , porém, não é d a intuição c o m u m .

Conservação do peso C o m a r g i l a o u m a s s a plástica f a z e r d u a s b o l a s i g u a i z i n h a s e p e r ­

g u n t a r à criança q u a l é a m a i s p e s a d a . E l a responderá q u e são i g u a i s . P e g a r então u m a d a s b o l a s e pressioná-la até f i c a r e s t i c a d a c o m o u m a s a l s i c h a .

/L5 £ j V o l t a r a p e r g u n t a r :

— E a g o r a , q u a l a m a i s p e s a d a ?

A s r e s p o s t a s d e crianças até 8 o u 9 a n o s serão:

— E s t a é m a i s c o m p r i d a , é m a i s p e s a d a .

— E s t a é m a i s l e v e p o r q u e é f i n a .

A p a r t i r d e s s a i d a d e , começam a d a r r e s p o s t a s c o r r e t a s .

Conservação de volume M a t e r i a l necessário: d o i s c o p o s i g u a i s , c o m água até a m e s m a

a l t u r a , e d u a s b o l a s d e m a s s a plástica, também i g u a i s .

3 3

C o l o c a r c a d a b o l a n u m c o p o e d e i x a r q u e a criança p e r c e b a q u e o s níveis s u b i r a m i g u a l m e n t e . R e t i r a r a s b o l a s e t r a n s f o r m a r u m a d e l a s e m " s a l s i c h a " . Daí p e r g u n t a r :

— S e e u c o l o c a r e s t a s m a s s a s d e n t r o d a água, e m q u e c o p o o nível d a água subirá m a i s : o d a b o l a o u o d a " s a l s i c h a " ?

A n t e s d o s 1 0 o u 1 1 a n o s , a criança não terá condições d e p e r ­c e b e r q u e o v o l u m e não se a l t e r a c o m a deformação.

* * *

Há m u i t a s o u t r a s experiências n a e x t e n s a e f e c u n d a o b r a d e P i a g e t . Porém, p a r a n o s s o s propósitos, e s t a s b a s t a m .

A e s c o l a d e v e p l a n e j a r s u a s a t i v i d a d e s d e m o d o q u e o a l u n o p o s s a p a r t i r d e e l e m e n t o s c o g n i t i v o s q u e se e n c o n t r a m e m s e u repertório, p a r a então c o n s t r u i r o n o v o . O p r o f e s s o r p r e c i s a c o n h e c e r s e u s a l u n o s p a r a f a v o r e c e r e s s a evolução c o m a t i v i d a d e s o p o r t u n a s . É inútil forçar u m a a t i v i d a d e impossível p a r a a e t a p a e m q u e a criança se e n c o n t r a , m a s também não se p o d e f i c a r e s p e r a n d o q u e o a l u n o e v o l u a s o z i n h o , c o m o se o c o n h e c i m e n t o e s t i v e s s e n o s códigos genéticos. É necessária u m a interação e n t r e a s p o t e n c i a l i d a d e s d e c a d a e t a p a e o a m b i e n t e — n o q u a l se i n c l u i a e s c o l a — q u e p r e c i s a s e r r i c o e m o t i v a d o r .

MATEMÁTICA CONCRETA

A s relações recíprocas e n t r e o d e s e n v o l v i m e n t o d o indivíduo ( o n t o -gênese) e o d e s u a espécie (filogênese) l e v a m à integração e n t r e a s t e o r i a s d e P i a g e t e a A n t r o p o l o g i a .

E s t u d o s teóricos p e r m i t e m c h e g a r a a l g u m a s constatações. P o r e x e m p l o , a noção d e permanência d a m a s s a p a r e c e f a z e r p a r t e d a r e v o ­lução d o Neolítico, i s t o é, d o f i m d a Pré-história. C o m o v i m o s n o capítulo a n t e r i o r , c o m o início d a a g r i c u l t u r a s u r g e a n e c e s s i d a d e d e v a s i l h a s p e r m a n e n t e s p a r a a r m a z e n a m e n t o d o s grãos. E l a s já e x i s t i a m a o n a t u r a l ( c u i a s , cabaças e t c ) , m a s não r e s i s t i a m a o f o g o , além d e s e r e m p e q u e n a s e d e u s o p o u c o sistemático. T e v e início a fabricação d e c e s t o s trançados e , e m s e g u i d a , s e u r e c o b r i m e n t o c o m b a r r o p a r a r e s i s t i r a o f o g o . S u r g e a cerâmica. D u a s são as direções q u e forçam a

3 4

adaptação c e r e b r a l : o próprio t r a b a l h o c o m a " m a s s a " d a a r g i l a ( g r a n ­d e z a contínua) e a manipulação d o s conteúdos d a s v a s i l h a s p r o n t a s (grãos: g r a n d e z a s descontínuas; líquidos: g r a n d e z a s contínuas). O s grãos são a concretização d a permanência, p o i s a variação d e s u a s disposições, d e v a s i l h a p a r a v a s i l h a , não a l t e r a s u a q u a n t i d a d e . I s s o e x i g e o a p a r e ­c i m e n t o d a c o n t a g e m e d a permanência d o número. A s noções d e permanência p e r m i t e m a t r o c a , o comércio.

R e s u l t a d o s d e p e s q u i s a s n o s l e v a m a r e l a c i o n a r , não r i g i d a m e n t e , é c l a r o , o d e s e n v o l v i m e n t o psicogenético d e u m a criança c o m a e v o l u ­ção antropológica. A s s i m :

.sensório-motor pré-hominídeo

Estágio

pré-operatór io ' (caracter ís t icas 1 e 2 do quadro da página 26)

/ pré-opera tór io — (caracter íst ica 3)

^operações concretas . (caracter íst ica 1)

^operações concretas . (caracter íst ica 2)

^operações formais

Paleolít ico infer ior

Paleolít ico super ior } Pré-história

) . Neol í t ico

Egito ant igo

Grécia e Roma antigas

DIENES

A s h a b i l i d a d e s q u e u m indivíduo p o s s u i não a p a r e c e m d e r e p e n t e . E l a s também r e s u l t a m d e u m p r o c e s s o q u e o c o r r e p o r e t a p a s . É u m a evolução q u e se dá d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . M u i t a s v e z e s , a e x p e ­riência c o n c r e t a se r e a l i z a n a e s c o l a , c o m m a t e r i a i s a p r o p r i a d o s . O u t r a s v e z e s , é a própria vivência q u e o a l u n o t r a z , a p r e n d i d a n o d i a - a - d i a . A experiência c o n c r e t a se i n i c i a c o m a manipulação c u r i o s a , c o m o c o n t a t o físico, c o m o s s e n t i d o s .

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À m e d i d a q u e a s experiências vão se a c u m u l a n d o , começam a s u r g i r semelhanças e classificações, q u e l e v a m à formação d o s c o n c e i t o s . S u r g e d e p o i s a c a p a c i d a d e d e d e s c r e v e r , c o m p a r a r , r e p r e s e n t a r g r a f i c a ­m e n t e e , p o r f i m , d e e q u a c i o n a r e d e m o n s t r a r .

A e s c o l a d e v e f a v o r e c e r e p r o m o v e r esse a m a d u r e c i m e n t o n o r m a l , a o invés d e f u n c i o n a r c o m o e m p e c i l h o , t o r n a n d o as a t i v i d a d e s forçadas e s e m a t r a t i v o s . A s e t a p a s d e v e m t r a n s c o r r e r n o r m a l m e n t e e t r a z e r satisfação à criança.

S e g u n d o o e d u c a d o r Z o l t a n P a u l D i e n e s , e s sas e t a p a s , n a M a t e ­mática, são a s s e g u i n t e s :

Jogo livre — É a e t a p a d a c u r i o s i d a d e , d o c o n t a t o c o m o m a t e r i a l , q u e p o d e o c o r r e r n a e s c o l a . P o r e x e m p l o : b r i n c a r l i v r e m e n t e c o m b l o ­c o s lógicos ( v e r capítulo 3 , página 7 0 ) , s e m r e g r a s .

Regras do jogo — A s próprias crianças começam a se i m p o r r e g r a s : f a z e r m o n t a g e n s , c l a s s i f i c a r , o r d e n a r ( d e a c o r d o c o m s u a i d a d e ) . É o m o m e n t o d e o p r o f e s s o r f a z e r sugestões e d i r i g i r a s a t i v i d a d e s p a r a c e r t o s f i n s ( p o r e x e m p l o , s e p a r a r b l o c o s lógicos p o r c o r e s , f o r m a s , t a m a n h o s e t c ) .

Jogo do isomorfismo — A s crianças começam a p e r c e b e r s e m e ­lhanças e n t r e o s d i v e r s o s j o g o s p r a t i c a d o s e i s s o g e r a u m a classificação, através d a abstração d a e s t r u t u r a c o m u m . E s s a abstração é u m a m u ­dança d e q u a l i d a d e p r o v o c a d a p e l o a u m e n t o q u a n t i t a t i v o d e e s t r u t u r a s s e m e l h a n t e s .

Representação — P a r a t o m a r consciência d e u m a abstração, a criança t e m n e c e s s i d a d e d e u m p r o c e s s o d e representação d a situação abstraída. T a l representação poderá s e r u m d e s e n h o , u m gráfico, u m d i a g r a m a o u q u a l q u e r o u t r a representação v i s u a l o u a u d i t i v a .

Linguagem inventada — A criança t o m a p l e n a consciência d a abstração. É c a p a z d e d e s c r e v e r , r e p r e s e n t a r e v e r b a l i z a r a e s t r u t u r a abstraída. I n v e n t a l i n g u a g e n s e , c o m a a j u d a d o p r o f e s s o r , s e l e c i o n a a m a i s v a n t a j o s a .

Teoremas — N e s t a última e t a p a , a criança já é c a p a z d e m a n i ­p u l a r s i s t e m a s f o r m a i s .

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N a P e d a g o g i a t r a d i c i o n a l , a direção d a a p r e n d i z a g e m é i n v e r s a a e s s a sequência. A criança p a s s a d o s i s t e m a f o r m a l p a r a a e t a p a d a representação, p o r m e i o d o s i m b o l i s m o , e t o r n a - s e necessário e n s i n a r -- l h e as aplicações d o s c o n c e i t o s n a r e a l i d a d e .

D e p e n d e n d o d a i d a d e , o a l u n o percorrerá as e t a p a s d e s c r i t a s d a s e g u i n t e m a n e i r a : n a l . a e n a 2 . a séries, poderá a t i n g i r até a f a s e d a representação; n a 3 . a e n a 4 . a , poderá c h e g a r à l i n g u a g e m i n v e n t a d a ; s o m e n t e e n t r e 1 4 e 1 5 a n o s , poderá a t i n g i r a última e t a p a , c o n s t r u i n d o u m a e s t r u t u r a f o r m a l .

E s t a b e l e c e n d o u m a relação e n t r e a s e t a p a s d e s c r i t a s p o r D i e n e s e a A n t r o p o l o g i a , c o m o f i z e m o s c o m a t e o r i a d e P i a g e t , t e m o s o s e g u i n t e e s q u e m a :

Etapas

jogo l ivre

regras do jogo

jogo do isomor f ismo

^representação

l inguagem inventada

Heoremas

. Pré-hominídeo selvagem

Paleolít ico infer ior (ut i l ização de paus, pedras, couro, ossos, segundo certas regras, cada ins t rumento com sua ut i l idade)

Paleolít ico super ior (classif icação gerando no­ção de par, números etc.)

Neolí t ico (calendário, desenhos geométr icos, cerâmica)

Egito antigo (recei tas e fórmulas prát icas)

Grécia e Roma antigas (teor ias formal izadas)

A IMPORTÂNCIA DA VIVÊNCIA

A s s i m c o m o o s p o v o s não evoluíram c o m a m e s m a v e l o c i d a d e , também as crianças não a m a d u r e c e m d o m e s m o m o d o , e o s c o n c e i t o s não são i n t e r i o r i z a d o s s i m u l t a n e a m e n t e . D e p e n d e m d e d i v e r s o s f a t o r e s . A experiência d e v i d a , n a i d a d e a p r o p r i a d a , é u m f a t o r d e c i s i v o ; e m c a s a , n o c l u b e , n a e s c o l a , n a r u a , e m t o d o l u g a r . E há s e m p r e u m a i d a d e m a i s f e c u n d a p a r a c a d a experiência.

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N a i d a d e c e r t a , é p r e c i s o r e g a r p l a n t a s c o m u m a m a n g u e i r a p a r a t e r o v i s u a l d a parábola d e água e a sensação d a reação d a m a n g u e i r a a o j a t o ; d a transformação d o e s g u i c h o contínuo e m g o t a s ; d o arco-íris n a b r u m a q u e o r l a o j a t o ; d a s variações d o c h u v e i r o p r o v o c a d a s p e l o d e d o n a saída d a água e t c .

N a i d a d e c e r t a , é p r e c i s o s e r r a r m a d e i r a s p a r a s e n t i r a t e x t u r a , a s f i b r a s q u e não p o d e m s e r c o r t a d a s c o m f a c a , a s variações d e d u r e z a e resistência. É p r e c i s o c a v a r b u r a c o s n o s o l o , s e n t i r a t e r r a , o s grâ­n u l o s , a variação d e u m i d a d e c o m a p r o f u n d i d a d e , o b s e r v a r raízes, m i n h o c a s , f o r m i g a s .

N a i d a d e c e r t a , é p r e c i s o c o z i n h a r , l i d a r c o m f o g o , s e n t i r o c a l o r e a l u z . N o t a r a mudança q u e a c o z e d u r a p r o v o c a n o s a l i m e n t o s , a evaporação, a condensação. E n c o s t a r a mão n o c a b o d e c o l h e r d e m a d e i r a e d e m e t a l d e n t r o d a p a n e l a , p a r a a d q u i r i r noção d e c o n d u ­t i b i l i d a d e . É p r e c i s o c o s t u r a r , t e c e r , p r e g a r botões. D i s s o l v e r , m i s t u r a r , s a t u r a r . U s a r d e t e r g e n t e s , s o l v e n t e s , óleos, c e r a . É p r e c i s o p r a t i c a r e s ­p o r t e s , a r t e s .

São m i l h a r e s d e experiências q u e d e s e n v o l v e m o s s e n t i d o s , p o s s i ­b i l i t a n d o , l o g o d e p o i s , o a p r e n d i z a d o d e a r t e s , ciências e técnicas. B r i n c a r e f a z e r experiências é c o n s t r u i r a b a s e c o n c r e t a p a r a t o d a s a s d i s c i p l i n a s .

E s t a é a f a s e pré-histórica d o d e s e n v o l v i m e n t o d a inteligência s e n -sório-motora. É a f a s e necessária p a r a a s p o s t e r i o r e s operações c o n ­c r e t a s , a c u m u l a n d o c o n h e c i m e n t o s q u e serão o r g a n i z a d o s n a e t a p a d a s operações f o r m a i s . O s b r i n q u e d o s pedagógicos p o d e m , e m p a r t e , s u b s ­t i t u i r a r i q u e z a d e s s a s experiências. E m u i t o s b r i n q u e d o s pedagógicos p o d e m s e r e l a b o r a d o s n a e s c o l a , c o m m a t e r i a i s disponíveis.

BLOOM

P l a n e j a r u m c u r s o c o n s i s t e não a p e n a s e m p r o g r a m a r o q u e e n s i ­n a r , m a s também e m s e l e c i o n a r a s experiências q u e deverão s e r v i v e n -c i a d a s e a s técnicas pedagógicas m a i s a p r o p r i a d a s p a r a o t r a b a l h o e s c o l h i d o .

3 8

U m b o m p l a n e j a m e n t o supõe u m a definição c l a r a d e o b j e t i v o s a s e r e m alcançados. O e s t a b e l e c i m e n t o d e o b j e t i v o s c o n s t i t u i u m a b a s e sólida p a r a a seleção d e conteúdos, métodos, técnicas, estratégias e r e c u r s o s .

Q u a n d o f a z e m o s u m p l a n e j a m e n t o , d e v e m o s c l a s s i f i c a r o s o b j e ­t i v o s p a r a então l h e s d a r o t r a t a m e n t o a d e q u a d o .

C l a s s i f i c a r o b j e t i v o s e d u c a c i o n a i s é, n o mínimo, u m a experiência e n r i q u e c e d o r a p a r a o p r o f e s s o r . E l e p r e c i s a s a b e r , n a q u e l e m o m e n t o , e m q u e nível v a i t r a b a l h a r c o m o a l u n o : n o d a informação, n o d a resolução d e p r o b l e m a s , n o d a demonstração e a s s i m p o r d i a n t e . C a d a nível e x i g e a b o r d a g e m , método e avaliação a p r o p r i a d o s . P o r t a n t o , é n e ­cessária u m a séria preocupação c o m a f o r m a , c o m o m e i o q u e v a i s e r u t i l i z a d o n o s t r a b a l h o s e m s a l a d e a u l a . P o r e x e m p l o : o s r e c u r s o s a u d i o ­v i s u a i s são e x c e l e n t e s p a r a r e p a s s a r informações ( e não a p e n a s p a r a i s s o ) , o vídeo está se i m p o n d o , t r a z e n d o r e c u r s o s inesgotáveis. O c o m p u ­t a d o r é ótimo p a r a t r e i n a m e n t o n a resolução d e exercícios, além d e o u t r a s p o s s i b i l i d a d e s . O s t r a b a l h o s e m g r u p o , a s p e s q u i s a s d e c a m p o , a s redações, o s seminários, e n f i m , c a d a t i p o d e t r a b a l h o p r o d u z r e s u l t a d o s d i f e r e n t e s .

S e u m p r o f e s s o r " e f i c i e n t e " e s c r e v e n a l o u s a e e x p l i c a q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s ângulos d e u m triângulo é 180°, o a l u n o n o r m a l a p r e n d e . S e , a o contrário, o p r o f e s s o r propõe a t i v i d a d e s q u e l e v a m o a l u n o a d e s c o b r i r e s s a p r o p r i e d a d e , o a l u n o também a p r e n d e . E m t e r ­m o s d e conteúdo, o s r e s u l t a d o s f i n a i s são o s m e s m o s , m a s o s e g u n d o p r o c e s s o p e r m i t e a t i n g i r m u i t o s o u t r o s o b j e t i v o s , i n c l u s i v e e m níveis c o m p o r t a m e n t a i s . S e a e s c o l a está a p e n a s a m e s t r a n d o u m a l u n o , o p r i m e i r o método é m a i s d i r e t o .

D e v e - s e e s t u d a r b e m a t a x i o n o m i a d e B l o o m ( v e r q u a d r o ) p a r a v e r i f i c a r q u e a p r i m e i r a c a t e g o r i a t r a t a a p e n a s d a memória, a s e g u n d a começa a e x i g i r c e r t a s h a b i l i d a d e s m o t o r a s e lógicas, a t e r c e i r a já e x i g e raciocínio e a s s i m p o r d i a n t e . É p r e c i s o e s t i m u l a r a inteligência e a c r i a t i v i d a d e , b e m c o m o a m o t r i c i d a d e e a a f e t i v i d a d e .

I n f e l i z m e n t e , e n t r e nós, o e n s i n o d a Matemática f i c a q u a s e q u e a p e n a s n o s níveis d e c o n h e c i m e n t o e utilização d e métodos e p r o c e d i ­m e n t o s , i s t o é, o a l u n o a p r e n d e a t e r m i n o l o g i a e a s fórmulas e t r e i n a f a z e r substituições p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s d e r o t i n a . A Matemática f i c a t r a n s f o r m a d a e m a l g o rígido, a c a b a d o , c h a t o , s e m f i n a l i d a d e . O

3 9

TAXIONOMIA POS OBJETIVOS EDUCACIONAIS — BLOOM

Termino log ia Fatos específ icos Convenções Tendências e sequências

1. Conhec imento de -(Classi f icações e categorias Cr i tér ios Metodologia Princípios e general izações

iTeor ias e estruturas

2. Ut i l ização de procedimentos e processos (rot ina)

f Translação 3. Compreensão i Interpretação

^Extrapolação

4. Apl icação (s i tuações-problemas)

("Elementos 5. Anál ise de < Relações

lPr inc íp ios organizacionais

fProdução de uma comunicação singular 6. Síntese 1 Produção de um plano ou conjunto de operações

^Derivação de um conjunto de relações abstratas

*T À li s f Julgamento em te rmos de evidências internas va laçao \ Julgamento em te rmos de cr i tér ios externos

a l u n o u s a a p e n a s a memória; não d e s e n v o l v e a s h a b i l i d a d e s d e e x t r a ­p o l a r , r e s o l v e r situações-problemas, r a c i o c i n a r , c r i a r . Não t e m o p r a z e r d a d e s c o b e r t a . F i c a m f a l t a n d o e l e m e n t o s p a r a s e u d e s e n v o l v i m e n t o i n t e g r a l .

A p r o p o s t a d e s t e l i v r o é j u s t a m e n t e a d e p r o g r a m a r u m e n s i n o d e m o d o a d o s a r memória, raciocínio e c r i a t i v i d a d e , t e n t a n d o a síntese d a Matemática t r a d i c i o n a l e d a m o d e r n a .

O u t r o p r o b l e m a sério e d e caráter m a i s g e r a l está e m q u e n o s s a s e s c o l a s d e f i n e m o b j e t i v o s a p e n a s e m t e r m o s d e conteúdo, q u a n d o o q u e d e v e r i a s e r f e i t o é d e f i n i r o b j e t i v o s n o nível c o m p o r t a m e n t a l . A o p r o f e s s o r c a b e r i a s e l e c i o n a r a t i v i d a d e s e conteúdos p a r a a t i n g i r a q u e l e s o b j e t i v o s . I s t o s e m f a l a r e m o b j e t i v o s a f e t i v o s e p s i c o m o t o r e s , d o s

4 0

q u a i s não t r a t a m o s n e s t e l i v r o , m a s q u e estão t e s t a d o s n a s a t i v i d a d e s p r o p o s t a s .

E s t u d a m o s P i a g e t e B l o o m . V e j a a g o r a o p r o d u t o c a r t e s i a n o d e s u a s t e o r i a s , f o r m a d o p e l o s estágios p i a g e t i a n o s n o e i x o h o r i z o n t a l e o s o b j e t i v o s c l a s s i f i c a d o s p o r B l o o m n o e i x o v e r t i c a l :

6

5

CO o

•Si O

2 -

Estágios

D e s s e m o d o , ( 3 , 4 ) s i g n i f i c a t r a b a l h a r n o estágio d a s operações c o n c r e t a s ( p a s s a g e m p a r a operações f o r m a i s ) e n o nível d a aplicação. *

O PROBLEMA DA AVALIAÇÃO

Avaliação é u m a s s u n t o m u i t o sério. O p r o c e s s o d e avaliação t e m u m a relação d i r e t a c o m o s o b j e t i v o s f o r m u l a d o s e n e l e s e n c o n t r a s e u s i g n i f i c a d o . E m o u t r a s p a l a v r a s , só se p o d e f a z e r u m a avaliação q u a n d o se t e m p o r referência o b j e t i v o s a alcançar.

A v a l i a r não s i g n i f i c a c o n s t a t a r o q u e o c o r r e u , m a s f a z e r u m balanço e n t r e o q u e se p r e t e n d i a e o q u e f o i c o n s e g u i d o . É a l g o q u e c o m p r o m e t e m u i t o o e d u c a d o r , m a s também é o único i n s t r u m e n t o c a p a z d e a p o n t a r e m q u e direção e c o m q u e i n t e n s i d a d e c a m i n h a o d e s e n v o l v i m e n t o d o a l u n o .

* O autor está trabalhando neste modelo, utilizando a Teoria das Catástrofes por causa dos saltos qualitativos no eixo dos estágios. Estuda também a possibilidade de mais um estágio: dialética.

4 1

Q u a n d o o s o b j e t i v o s são d e f i n i d o s a p e n a s e m t e r m o s d e conteúdo, a avaliação é q u a s e mecânica, através d e p r o v a s o b j e t i v a s , até e m f o r m a d e t e s t e s d e múltipla e s c o l h a . E s t e l i v r o contém orientações p a r a a u l a s e x p o s i t i v a s , v i s a n d o a o conteúdo. Porém, se o p r o f e s s o r p a s s a a d e s e n v o l v e r a t i v i d a d e s c o m o a s a q u i s u g e r i d a s , t r a b a l h a n d o c o m h a b i l i d a d e s e r e d e s c o b e r t a s , a avaliação m u d a d e f o r m a e d e f i n a l i d a d e . E será m u i t o difícil h a v e r repetência, p r i n c i p a l m e n t e n a l . a série, a não s e r e m c a s o s e x t r e m o s d e crianças limítrofes o u c o m g r a v e s p r o b l e m a s , q u e n e c e s s i t a m d e e s c o l a s e s p e c i a i s .

P i a g e t já t e s t o u . A criança p a s s a p e l a s e t a p a s n o r m a l m e n t e , d i f e ­r e n c i a d a m e n t e , e m interação c o m o a m b i e n t e , i n c l u i n d o a e s c o l a . A s a t i v i d a d e s p r o p o s t a s a q u i também já f o r a m t e s t a d a s . T r a t a - s e d e u m a Matemática c o n c r e t a , q u e c o r r e s p o n d e a o estágio d a s operações c o n ­c r e t a s d e P i a g e t ( e a o c o n h e c i m e n t o egípcio). E n g a j a d a n o d e s e n v o l v i ­m e n t o psicogenético d o a l u n o , a c a b a p r o d u z i n d o e f e i t o s d e h a b i l i d a d e s e conteúdo m u i t o s u p e r i o r e s a o q u e se c o s t u m a a v a l i a r o b j e t i v a m e n t e .

E s t e g r a n d e c o n h e c i m e n t o , s o b f o r m a d e operações c o n c r e t a s , será s i s t e m a t i z a d o , c o m o n a Grécia clássica, q u a n d o o a l u n o e n t r a r n o estágio d a s operações f o r m a i s , época e m q u e a s avaliações f i c a m m a i s o b j e t i v a s .

D a l . a à 4 . a série, a avaliação p a r a e s se método é a c o m p a n h a r p e r m a n e n t e m e n t e o a l u n o , v e r i f i c a n d o se e l e f e z a s a t i v i d a d e s , q u e t i p o d e mudança d e c o m p o r t a m e n t o o c o r r e u ( e q u e n e m s e m p r e é o m e s m o d e a l u n o p a r a a l u n o ) . P o r s e r e m a t i v i d a d e s i n t e r e s s a n t e s , d e s a f i a d o r a s e l i g a d a s à própria evolução d o a l u n o , p r o v o c a m mudanças n o r m a i s , s e m t r a u m a s , r e s p e i t a n d o i n d i v i d u a l i d a d e s e , f e c u n d a m e n t e , a c e l e r a n d o o próprio a m a d u r e c i m e n t o . Há a t i v i d a d e s i n d i v i d u a i s e e m g r u p o s . O u t r a s , p a r a p e s q u i s a o u t r e i n a m e n t o e m c a s a . P o d e h a v e r p r o v a s i n d i v i d u a i s o u e m g r u p o s , m a s a p e n a s c o m o mais uma a t i v i d a d e . Aliás, o p r e p a r a r - s e p a r a u m a p r o v a é u m a d a s m a i o r e s distorções d o e n s i n o .

O a l u n o n o r m a l só p o d e r i a f i c a r r e t i d o se , n o m o m e n t o d e a e s c o l a t r a b a l h a r c o m operações f o r m a i s , e l e a i n d a e s t i v e s s e e m o u t r o estágio. O p r o f e s s o r q u e d e s e n v o l v e r s u a a t i v i d a d e n o r m a l m e n t e terá, c o m u m a l u n o n o r m a l , u m d e s e n v o l v i m e n t o n o r m a l . P o r i s s o , o m a i s i m p o r t a n t e é o p r o f e s s o r se a u t o - a v a l i a r .

4 2

É e v i d e n t e q u e o a l u n o , até a 4 . a série, p r e c i s a c o n h e c e r , e x p l i c i ­t a m e n t e , a l g u m a s informações c o m o as q u a t r o operações, frações e u m p o u c o d e g e o m e t r i a . Porém, i s s o é pouquíssimo p e r t o d a r i q u e z a d e e s t r u t u r a s q u e e l e constrói. S e o e n s i n o f o r lúdico e d e s a f i a d o r , a a p r e n d i z a g e m p r o l o n g a - s e f o r a d a s a l a d e a u l a , f o r a d a e s c o l a , p e l o c o t i d i a n o , até as férias, n u m c r e s c e n d o m u i t o m a i s r i c o d o q u e a l g u m a s informações q u e o a l u n o d e c o r a p o r q u e vão c a i r n a p r o v a . Aliás, informação p o r informação, e l a s estão n o s l i v r o s , m u i t o b e m e x p l i c a d a s , e a g o r a também n o s vídeos e c o m p u t a d o r e s , c a d a v e z m a i s e f i c i e n t e s .

V a l e a q u i u m a comparação. Q u a n d o f o i i n v e n t a d a a f o t o g r a f i a , o s p i n t o r e s se l i b e r t a r a m d a cópia. E m t e r m o s d e informações s u p e r ­f i c i a i s , a p i n t u r a não p o d e c o m p e t i r c o m a f o t o g r a f i a e o c k i e m a . O s p i n t o r e s a g o r a t r a b a l h a m c o m composições d e f o r m a s e c o r e s p a r a p r o v o c a r s e n t i m e n t o s . T r a b a l h a m n o nível psicológico, c o m emoções q u e a técnica d i f i c i l m e n t e a t i n g e . Q u a l q u e r p e s s o a é c a p a z d e f o t o g r a f a r ; e x i s t e u m g r a n d e número d e p i n t o r e s q u e c o p i a m r o s t o s , f o t o s , p a i s a ­g e n s . Porém a r t i s t a s , são p o u c o s . A g o r a a máquina i n v a d e a educação n o c a m p o d a informação. O p r o f e s s o r , l i b e r t o d a a u l a mecânica, p o d e c u i d a r d e c o m p o r t a m e n t o s e a f e t o s .

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Laboratório de Matemática

INTRODUÇÃO

C o m o v i m o s no* capítulo a n t e r i o r , p a r a u m e n s i n o e f i c i e n t e d a Matemática o p r o f e s s o r t e m n e c e s s i d a d e d e p a r t i r d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . C o m i s s o , e l e d e s e n v o l v e métodos próprios, i n t e g r a d o s n a s t e o r i a s q u e e s t u d a , l e v a n d o e m c o n t a a s p a r t i c u l a r i d a d e s d o a l u n o ( r e ­gião o n d e v i v e , c l a s s e s o c i a l , f a i x a etária, nível d e e s c o l a r i d a d e e t c ) . A o s p o u c o s , o p r o f e s s o r v a i f o r m a n d o u m " c a n t i n h o d a Matemática", às v e z e s u m a s i m p l e s e s t a n t e o n d e se e n c o n t r a m l i v r o s , c a r t a z e s e d i v e r s o s m a t e r i a i s c o m o s q u a i s f a z experiências, d e s e n v o l v e n o v a s técnicas e v a i a c u m u l a n d o r e s u l t a d o s .

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N e s t e capítulo, t r a t a r e m o s d e d i v e r s o s r e c u r s o s c o n c r e t o s , c o m sugestões p a r a a t i v i d a d e s , q u e contribuirão n a formação d o " c a n t i n h o d a Matemática". E s s e a c e r v o poderá c r e s c e r , a p o n t o d e a e s c o l a , o u o próprio p r o f e s s o r , p o s s u i r u m laboratório o u u m a sala ambiente, c r i a d o s l e n t a m e n t e , s e m m u i t o s g a s t o s e n a m e d i d a d e s u a utilização. É m u i t o fácil! C o m u m p o u c o d e prática, o p r o f e s s o r formará o l a b o ­ratório c o m d i v e r s o s utensílios e l a b o r a d o s p e l o s próprios a l u n o s , a p r o ­v e i t a n d o o m a t e r i a l disponível. A ação d e p r o d u z i r é m a i s i m p o r t a n t e q u e o próprio m a t e r i a l p r o d u z i d o . O laboratório poderá i n c l u i r u m museu e u m a biblioteca.

A a p r e n d i z a g e m d e v e p r o c e s s a r - s e d o c o n c r e t o p a r a o a b s t r a t o . T o d a a t i v i d a d e f e i t a c o m m a t e r i a l c o n c r e t o p o d e s e r r e p e t i d a , d e d i ­v e r s a s f o r m a s , g r a f i c a m e n t e . É o p r i m e i r o p r o c e s s o d e abstração.

A s sugestões d e a t i v i d a d e s d e Aritmética e G e o m e t r i a serão v i s t a s p o s t e r i o r m e n t e . A n t e s , t o r n a - s e necessário e s t u d a r a l g u n s r e c u r s o s p a r a a p r e n d i z a g e m , b e m c o m o o m o d o d e confeccioná-los e d e utilizá-los e m c l a s s e .

CARTAZ VALOR DO LUGAR (CAVALU)

O c a r t a z v a l o r d o l u g a r , q u e c h a m a m o s a b r e v i a d a m e n t e d e cavalu, é d e c i s i v o n o t r a b a l h o c o m números e operações p a r a a s d u a s p r i m e i r a s séries, a s s i m c o m o o u t r o s m a t e r i a i s c o n c r e t o s ( t a m p i n h a s , p a l i t o s , p e d r a s e t c ) .

O c a r t a z d e v e f i c a r p e r m a n e n t e m e n t e p r e s o n a p a r e d e e e m l u g a r b e m visível; poderá s e r c o n f e c c i o n a d o também e m t a m a n h o r e d u z i d o , p a r a t r a b a l h o s e m g r u p o o u i n d i v i d u a i s .

A confecção d o c a r t a z é m u i t o s i m p l e s . São necessárias u m a c a r t o ­l i n a e u m a f o l h a d e p a p e l . N o p a p e l , f a z e r três d o b r a s ( o u m a i s ) . G r a m p e a r o u c o s t u r a r a o r e d o r p a r a f i x a r o p a p e l c o m d o b r a s n a c a r t o l i n a e f a z e r m a i s d u a s c o s t u r a s v e r t i c a i s d i v i d i n d o o c a v a l u e m três c o l u n a s , f i c a n d o c o m n o v e b o l s a s . E s c r e v e r e m c i m a : u n i d a d e s , d e z e n a s e c e n t e n a s . O c a v a l u também p o d e s e r f e i t o c o m l o n a c o s t u ­r a d a e f i x a d a e m c o m p e n s a d o o u papelão.

4 5

Cavalu centena dezena unidade

is pal i tos de sorvetes

ou f ichas

N o c a v a l u d e s e n h a d o a c i m a , t e m o s , n a p r i m e i r a l i n h a , o número 2 5 : d u a s d e z e n a s e c i n c o u n i d a d e s ; n a s e g u n d a l i n h a , t e m o s o 1 0 1 ; n a t e r c e i r a , o 1 2 . P a r a r e p r e s e n t a r o s números, u s a r p a l i t o s d e s o r v e t e , f i c h a s o u a l g o s e m e l h a n t e . T u d o b e m s i m p l e s e q u e p o s s a s e r v i s t o c o m c l a r e z a d o f u n d o d a s a l a . T o d o s o s p a l i t o s d e v e m s e r i g u a i s . O q u e d i f e r e n c i a a s o r d e n s é o l u g a r . Aí está o f u n d a m e n t a l : o valor do lugar.

Sugestões de atividades

1. O s números vão s e n d o r e p r e s e n t a d o s n o q u a d r o à m e d i d a q u e vão s e n d o e s t u d a d o s .

c d u c d u

2. Q u a n d o c h e g a r a o 5 : a ) e s c o l h e r u m número d e 1 a 5 p a r a o a l u n o r e p r e s e n t a r n o c a v a l u : b ) r e p r e s e n t a r u m número p a r a q u e o a l u n o o l e i a .

3. Adição:

3 + 2

C o n t a r o t o t a l .

4 6

4. Subtração:

P a s s a r d o i s p a l i t o s p a r a b a i x o e c o n t a r q u a n t o s f i c a r a m ( o s c i n c o p a l i t o s p o d e m s e r três d e u m a c o r e d o i s d e o u t r a ) .

5. C o n t i n u a r r e p r e s e n t a n d o o s números até p a s s a r d e d e z , s e m p r e n a c o l u n a d a s u n i d a d e s . C o m b i n a r d e f a z e r a m a r r a d i n h o s d e d e z ( d e u m a d e z e n a ) , p o r q u e o s p a l i t o s não estão m a i s c a b e n d o n a c o l u n a . D e p o i s d e t r a b a l h a r u m p o u c o c o m a m a r r a d i n h o s r e p r e ­s e n t a n d o 1 0 + 1 , 1 0 + 2 e t c , c o m b i n a r q u e o s a m a r r a d i n h o s f i c a ­rão d o l a d o e s q u e r d o , n a c o l u n a d a s d e z e n a s . T r a b a l h a r u m p o u c o d e s s a f o r m a , s e p a r a n d o o s a m a r r a d i n h o s d a s u n i d a d e s . P o r último, u m a v e z q u e n a s e g u n d a c o l u n a só f i c a m as d e z e n a s , c o m b i n a r q u e e l a s poderão s e r r e p r e s e n t a d a s p o r u m a f i c h a a p e n a s . C a d a f i c h a d a e s q u e r d a v a l e u m a m a r r a d i n h o , u m a d e z e n a . É o v a l o r d o l u g a r .

6. À m e d i d a q u e o s números vão s e n d o e s t u d a d o s , r e p e t i r s e m p r e e s t a a t i v i d a d e : a ) r e p r e s e n t a r u m número e p e d i r a o a l u n o q u e o l e i a ; b ) d i z e r u m número e p e d i r a o a l u n o q u e o r e p r e s e n t e n o c a v a l u .

1 2 1 5 2 3

D e s e n h a n d o o c a v a l u s i m p l i f i c a d o n o c a d e r n o , r e p e t i r as a t i v i d a d e s d o i t e m 6 . F a z e r variações c o m o : p e d r i n h a s e m b u r a c o s , ábaco, d o i s m e n i n o s ( o d a s u n i d a d e s e o d a s d e z e n a s , r e p r e s e n t a n d o c o m o s d e d o s ; v e j a o 3 7 n a f i g u r a ) e t c

4 7

8. T r a n s f o r m a r d e z e n a s e m u n i d a d e s e v i c e - v e r s a :

9. Adição ( c o m r e s e r v a ) :

9 + 2 I I

D e z u n i d a d e s f o r a m t r a n s f o r m a d a s e m u m a d e z e n a .

10. Adição e subtração d e d e z e n a s i n t e i r a s :

2 0 + 5 0 1 Í B T

J _ L (Ver i tem 4 . ) 6 0 — 4 0

11. Adição e subtração d e d e z e n a s i n t e i r a s c o m d e z e n a s e u n i d a d e s :

3 0 + 2 4

C o n t a r o t o t a l : 5 d e z e n a s e 4 u n i d a d e s = 5 4 .

12. Adição e subtração d e d e z e n a s e u n i d a d e s ( s e m r e s e r v a ) :

3 4 + 2 3 r i n i i i i

3 6 — 1 4 1 18

i h i 2 2

13. P a r o u ímpar? D a d o u m número, p e g a r a s f i c h a s e colocá-las u m a d e b a i x o d a o u t r a , d u a s a d u a s , p a r a v e r se s o b r a a l g u m a s e m p a r .

7 é ímpar.

F a z e r s o m e n t e c o m a s u n i d a d e s , p o i s t o d a d e z e n a é p a r . São c i n c o p a r e s . M o s t r a r i s s o n o c a v a l u , c o n c l u i n d o q u e o s números t e r m i ­n a d o s e m 0 , 2 , 4 , 6 o u 8 são p a r e s .

4 8

14. Multiplicação p o r 2 :

2 X 3

R e p e t i r o 3 d u a s v e z e s .

2 X 7 (Ver item 8 . )

15. Multiplicação p o r 3 :

3 X 7 mm M T I T T T l

3 X 1 2 1 II i 118 I

2 1

3 6

L e r a s s i m m e s m o , s e m m e x e r n o c a v a l u : t r i n t a e s e i s . D i z e r : três v e z e s d u a s u n i d a d e s , três v e z e s u m a d e z e n a , p r e p a r a n d o p a r a o a l g o r i t m o .

16. Divisão p o r 2 :

R e p a r t i r a s f i c h a s e m d u a s d o b r a s ( d e u m a e m u m a , d u a s e m d u a s , c o m o q u i s e r ) .

C o n t a r e m u m a d o b r a : t o d a s têm a m e s m a q u a n t i d a d e .

4 9

17. Divisão p o r 3 :

R e p a r t i r a s f i c h a s e m três d o b r a s , c o m o n o i t e m a n t e r i o r .

2 1 III HM UB III B C o n t a r e m u m a d o b r a .

18. R e p r e s e n t a r números m a i o r e s q u e c e m . P e d i r a o a l u n o q u e l e i a ; d a r u m número e p e d i r p a r a representá-lo.

19. T r a n s f o r m a r c e n t e n a e m d e z e n a e v i c e - v e r s a (análogo a o i t e m 8 ) .

20. V a l o r a b s o l u t o versus v a l o r r e l a t i v o :

2 4 3

• o 2 não é 2 , é 2 0 0 , d u a s c e n t e n a s ; • o 4 não é 4 , é 4 0 , q u a t r o d e z e n a s ; • o 3 é 3 m e s m o , 3 u n i d a d e s . O s a l g a r i s m o s são 2 , 3 e 4 , m a s a posição l h e s dá o u t r o v a l o r . M a i s t a r d e , d i z e r q u e o 2 é 2 e é 2 0 0 : v a l o r a b s o l u t o , 2 ; v a l o r r e l a t i v o , 2 0 0 .

21. Multiplicação p o r 1 0 : 2 X 1 0 = 1 0 + 1 0 = 2 d e z e n a s .

O 2 v i r a 2 0 ; é só c o l o c a r u m z e r o n o 2 .

1 2 X 1 0 = 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + + 1 0 + 1 0 + 1 0 = 1 2 d e z e n a s . 1 2 X 1 0 = 1 2 0 .

J L

O 1 2 v i r a 1 2 0 ; é só c o l o c a r u m z e r o n o 1 2 .

5 0

22. Adição ( c o m r e s e r v a ) : a ) p r i m e i r a série d e exercícios s o m e n t e n o c a v a l u :

5 3 + . 2 8 .

m i s m BB M S BB

m BB I I I 8 1

b ) S e g u n d a série d e exercícios, a s s o c i a n d o , p a s s o a p a s s o , o c a v a l u c o m o a b s t r a t o :

4 7 + 35 8 2

4 0 + 3 0 + 7 0 + 1 2 = 7 0 + 1 0 + 2 = 8 2

c ) T e r c e i r a série d e exercícios, s o m e n t e e m a b s t r a t o :

5 8 = 5 0 + 8 + 2 4 = 2 0 + 4

7 0 + 1 2 = 7 0 + 1 0 + 2 = 8 2

d ) Q u a r t a série d e exercícios, f o r m a l i z a n d o a o s p o u c o s o a l g o r i t m o :

6 ; 5 5 | 6 2 9 = 2 0 + 9 + 2 ! 7 + 3Í7 3 8 = 3 0 + 8

8 ! 1 2 ~9Í3 + 5 = 5^ 9 | 2 5 0 + 2 2 = 7 0 + 2 = 7 2

23. Subtração ( c o m r e s e r v a ) : a ) Só n o c a v a l u :

BBS m gg§ BB BBB BB B IB BB 6 5 —> l | 111

— 2 7 i B B

• 3 8 (parte retirada)

51

b ) F a z e r a associação e n t r e números, p a s s o a p a s s o , n o c a v a l u :

> 1 8 4 3 2 5 S

4 0 + 3 3 0 + 1 3 3 0 + 1 3 2 0 — 5

D o 3 não se p o d e t i r a r 5 , p o r i s s o u m a d e z e n a f o i t r a n s f o r m a d a e m u n i d a d e s , f i c a n d o 3 0 e 1 3 .

c ) Até o f i m , só n o c a v a l u :

5 2 — 2 4

I H se i i B I 1 M I 1 I mm BI

I I I I I 1 2 8

E m s e g u i d a , só e m a b s t r a t o , r e p e t i n d o o q u e f o i f e i t o n o c a v a l u :

5 2 = 5 0 + 2 = 4 0 + 1 2 — 2 4 = — 2 0 — 4 = — 2 0 — 4

2 0 + 8 = 2 8

d ) F i n a l m e n t e s e m c a v a l u , só e m a b s t r a t o :

2

— 1 7

24. Cálculo d o d e s c o n h e c i d o :

• + 3 = 8

São o i t o f i c h a s . C o l o c a r três n o c a v a l u , e a s q u e s o b r a r e m , n o q u a d r a d o a c i m a .

5 2

25. Multiplicação ( c o m a l g o r i t m o ) :

2 X 31

2 X 17

118 i n a i

31 30 + 1 31 31 + X 2 X 2 62 60 + 2 62

17 1 0 + 7 17 17 + X 2 X 2 34 2 0 + 14 34

sa I B3B B 214 200+ 1 0 + 4 214 3 X 214 B I g HS fl 214 X 3 X 3

11 8 11! 214 + 600 + 30 + 12 642 6 4 2

26. Divisão:

14-^3 n e s BB§ B 118 B

sobra I I

C o l o c a r e m três p r e g a s d o c a v a l u ( d e u m a e m u m a , d u a s e m d u a s , c o m o se q u i s e r e f o r possível).

27. Operações c o m números d e c i m a i s : dez. unid.» déc. dez. unid.* déc.

7,4 + 2,3

25,8 -12,5

34,2 -12,5

13,4 X 3

13,6 4-21,7

dez, unid.ydéc.

dez. unid. déc.

1 eia I l l - * 13,3

| u u m dez. unid. ) déc. dez. unid. > déc.

• U . l l l I I | —• m ->

1 se m n 21,7

s m m a R m m i 1 m m a

D i s t r i b u i r n o c a v a l u , c o m o s e não h o u v e s s e vírgula.

5 3

FLANELÓGRAFO

A confecção é s i m p l e s . U m c o m p e n s a d o d e 1 m p o r 8 0 c m , a p r o ­x i m a d a m e n t e , c o b e r t o c o m f l a n e l a . P o d e s e r f e i t o n o v e r s o d o c a v a l u . A s f i g u r a s também são f e i t a s e m f l a n e l a ( o u c a r t o l i n a ) e , p a r a f a c i l i t a r s u a fixação n o q u a d r o , d e v e m t e r c o l a d a s n o v e r s o três t i r i n h a s d e l i x a p a r a m a d e i r a . É só i s s o . T u d o m u i t o b o n i t o e c o l o r i d o .

A s f i g u r a s d e v e m s e r f e i t a s d e a c o r d o c o m as n e c e s s i d a d e s . I n v e n ­t a r histórias: e r a m três p a t i n h o s n a d a n d o , c h e g a r a m m a i s d o i s e t c . É p r e c i s o u t i l i z a r f i g u r a s q u e p o s s a m s e r r e p r o d u z i d a s n o c a d e r n o o u e m f o l h a s m i m e o g r a f a d a s .

A característica p r i n c i p a l d o flanelógrafo é q u e as f i g u r a s f i c a m g r u d a d a s , m a s p o d e m s e r r e t i r a d a s e t r o c a d a s d e l u g a r .

Sugestões de atividades

1. C o l o c a r n o flanelógrafo várias f i g u r a s d e d o i s o u três t i p o s p a r a o a l u n o a g r u p a r , c l a s s i f i c a n d o e s e p a r a n d o e m c o n j u n t o s ( p o r c o r e s , f o r m a s , t a m a n h o s , u t i l i d a d e ) .

2. E n t r e várias f i g u r a s d e u m m e s m o t i p o e a p e n a s u m a d i f e r e n t e , p e d i r a o a l u n o q u e i d e n t i f i q u e e r e t i r e d o q u a d r o a q u e l a q u e f o r d i f e r e n t e . A a t i v i d a d e p o d e s e r i l u s t r a d a c o m u m a história, c o m o a d o p a t i n h o f e i o .

54

3. C e r c a r c o n j u n t o s e l i g a r e l e m e n t o s ( a s t i r a s e s e t a s d e ligação p o d e m s e r d e c a r t o l i n a ) . F i x a r n o q u a d r o u m c o n j u n t o d e p i r e s e o u t r o d e xícaras. P e r g u n t a r e m q u e c o n j u n t o há m a i s e l e m e n t o s . P a r a r e s p o n d e r , o a l u n o d e v e l i g a r c a d a xícara a u m p i r e s . R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m c o n j u n t o s d e b o l a s e crianças, p e i x e s e aquários e t c .

4. Seriação. Pôr e m o r d e m f i g u r a s d e t a m a n h o s d i f e r e n t e s .

5. C l a s s i f i c a r e o r d e n a r f i g u r a s r e p r e s e n t a n d o números ( f o l h a s d e u m a p o n t a , d u a s , três, . . .; árvores d e u m g a l h o , d o i s , três, . . . ; d a d o s e m várias posições e t c ) .

6. J o g o d o u m a m a i s . I r c o l o c a n d o f i g u r a s d e u m a e m u m a n o flanelógrafo p a r a q u e o s a l u n o s d i g a m o número; c a d a número é s e m p r e u m a m a i s d o q u e o a n t e r i o r . F a z e r também o i n v e r s o : t i r a r d e u m a e m u m a ( j o g o d o u m a m e n o s ) , d e d u a s e m d u a s ( d o i s a m e n o s ) e t c .

7. Adição. C o l o c a r três l a r a n j a s d e u m l a d o e d o i s a b a c a t e s d e o u t r o . M o n t a r o p r o b l e m a : P a p a i f o i à f e i r a , q u a n t a s l a r a n j a s c o m p r o u ? Q u a n t o s a b a c a t e s ? P e d i r a u m a l u n o q u e j u n t e t u d o . P e r g u n t a r e m s e g u i d a : — E n o t o t a l , q u a n t a s f r u t a s p a p a i c o m p r o u ? A ação d e r e u n i r é necessária. É e l a q u e l e v a a o c o n c e i t o d e adição. F a z e r várias v e z e s a a t i v i d a d e c o m o u t r o s números.

8. Subtração. C o l o c a r s e i s f e r r a m e n t a s n o flanelógrafo. P e r g u n t a r : — Q u a n t a s são as f e r r a m e n t a s ? M a n d a r r e t i r a r três. — Q u a n t a s s o b r a r a m ? E s s a ação d e r e t i r a r é q u e l e v a a o c o n c e i t o d e subtração. R e p e t i r .

9. I n v e r s i b i l i d a d e . R e t i r a r e c o l o c a r f i g u r a s n o q u a d r o , p a r a f o r m a r a noção d e adição e subtração c o m o operações i n v e r s a s .

10. O u t r o s m o d o s d e p e r c e b e r a adição e a subtração: — Q u a n t o s d e v o c o l o c a r p a r a f i c a r e m s e t e ? — Q u a n t o s d e v o r e t i r a r p a r a f i c a r e m q u a t r o ? — Q u a n t o s f a l t a m ? Q u a n t o s a m a i s ?

5 5

— R e t i r e i três e f i q u e i c o m c i n c o , q u a n t o s e r a m ? — C o l o q u e i d o i s e f i q u e i c o m s e t e , q u a n t o s e r a m ?

11. S e p a r a r e m d o i s c o n j u n t o s . E x e m p l o : s e t e b o l a s . Há várias soluções:

1 + 6 , 2 + 5 , 3 + 4 , 4 + 3 , 5 + 2 , 6 + 1 .

12. S e p a r a r e m três c o n j u n t o s , r e p e t i n d o o raciocínio a n t e r i o r .

13. A s s o c i a r . V e j a m o s u m e x e m p l o c o m três c o n j u n t o s : três v a c a s , d o i s b u r r o s e q u a t r o c a b r i t o s .

a ) J u n t a r v a c a s e b u r r o s , a c h a r o t o t a l e d e p o i s j u n t a r o s c a b r i t o s : ( 3 + 2 ) + 4 .

b ) J u n t a r b u r r o s e c a b r i t o s , a c h a r o t o t a l e d e p o i s j u n t a r a s v a c a s : 3 + ( 2 + 4 ) .

14. Multiplicação. U s a r c o n j u n t o s c o m o m e s m o número d e e l e m e n t o s .

E x e m p l o : três c u r r a i s c o m d u a s v a c a s e m c a d a u m . N o t o t a l : 2 + 2 + 2 = 3 X 2 .

15. Divisão. R e p a r t i r f l o r e s e m três v a s o s ; r e p a r t i r v a c a s e m c u r r a i s e t c .

QUADRO DE PINOS

É u m q u a d r o s i m p l e s , c o m f u r o s , e c e r c a d e v i n t e p i n o s q u e p o d e m s e r c o l o c a d o s n o s f u r o s . P o d e s e r f e i t o d e c o m p e n s a d o o u c h a p a d e papelão. D e v e - s e r i s c a r d u a s r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s e f a z e r u m g a n c h o p a r a p e n d u r a r n a p a r e d e .

O q u a d r o d e p i n o s é m u i t o útil p a r a j o g o s . A s a t i v i d a d e s se d e s e n ­v o l v e m s e m p r e e m d u a s direções:

a ) p e d i r a o a l u n o q u e c o l o q u e p i n o s s e g u n d o u m a r e g r a ;

b ) c o l o c a r o s p i n o s n o q u a d r o e p e d i r a o a l u n o q u e d e s c u b r a a r e g r a .

5 6

0 0 o < o o o < O O 0 <

o o < O O O l

o o o <

0 o o o ) o o o ^

0 O 0 0

i o o o

> ? ? ? 0

) o o o o

o o

o o

<

O

O O

O

i

o o

o o

< >

o o

o o

> o

o o

o

) o

o o

o

o o

o o

Sugestões de atividades

1. J o g o d e r e p r e s e n t a r números c o m p i n o s . C a d a p i n o é u m a u n i d a d e ; u m a l u n o d i z ( o u e s c r e v e ) u m número, e o u t r o o r e p r e s e n t a .

2. J o g o d a o r d e m . F o r m a r e s c a d i n h a s : o

o o o o o e t c .

3. P a r o u ímpar? o o o

o o o o

4. Adição:

8 + 5 : c o l o c a r o i t o p i n o s m a i s c i n c o p i n o s e c o n t a r o t o t a l .

5. Subtração:

7 — 4 : c o l o c a r s e t e p i n o s , r e t i r a r q u a t r o p i n o s e c o n t a r o q u e r e s t o u . 57

6. Multiplicação:

3 X 5 : c o l o c a r c i n c o p i n o s três v e z e s (três f i l a s h o r i z o n t a i s o u v e r t i c a i s ) e c o n t a r o t o t a l .

7. J o g o d a decomposição. Números r e t a n g u l a r e s , números p r i m o s , números c o m p o s t o s , números p a r e s , números q u a d r a d o s . E x e m p l o s :

o o o

• 6 : o o o f o r m a retângulo, l o g o é c o m p o s t o ; .

• 5 : o o o o o não f o r m a retângulo, é p r i m o ;

o o • 4 : o o f o r m a q u a d r a d o , é número q u a d r a d o .

8. Divisão:

1 8 - ^ - 3 : t o m a r d e z o i t o p i n o s e d i s t r i b u i r e m três f i l a s . M o s t r a r q u e a s três f i l a s f i c a m i g u a i s .

9. M e t a d e — d o b r o ; u m terço — t r i p l o e t c .

10. J o g o d o p a r o r d e n a d o :

58

a ) D a d o o p a r o r d e n a d o ( 4 , 3 ) , l o c a l i z a r n o q u a d r o : q u a t r o p a r a a d i r e i t a e três p a r a c i m a ( c o m o n a f i g u r a a n t e r i o r ) .

b ) C o l o c a r u m p i n o n o q u a d r o e p e d i r q u e o a l u n o d i g a o s núme­r o s ( c o o r d e n a d a s ) ; u s a r a p e n a s o p r i m e i r o q u a d r a n t e (números p o s i t i v o s ) .

11. Gráficos. I m p o r condições:

a ) T o d o s o s p i n o s c o m o p r i m e i r o número i g u a l a três: ( 3 , 2 ) , ( 3 , 5 ) e t c .

b ) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a c i n c o : ( 2 , 5 ) e t c .

c ) T o d o s o s p i n o s c o m o p r i m e i r o número i g u a l a o s e g u n d o : ( 2 , 2 ) e t c .

d ) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a o d o b r o d o p r i ­m e i r o : ( 3 , 6 ) , ( 1 , 2 ) e t c .

e ) T o d o s o s p i n o s c o m o s e g u n d o número i g u a l a o p r i m e i r o m a i s u m : ( 2 , 3 ) , ( 1 , 2 ) e t c .

C a d a c a s o d e s t e s r e s u l t a n u m a r e t a . O s p i n o s d e v e m s e r l i g a d o s c o m u m b a r b a n t e . M a i s t a r d e , dá-se u m c o m a n d o c o m o : o s e g u n d o número i g u a l a o q u a d r a d o d o p r i m e i r o . I s s o levará à formação d e u m a parábola.

12. Operações v i s t a s c o m o funções d e N 2 ~» N :

a ) C o m adição. C o l o c a r o p i n o e m ( 5 , 3 ) ; o a l u n o d e v e p e n s a r n o s d o i s números c o o r d e n a d o s e d i z e r oito. C a d a p a r d e números p o s s u i u m a s o m a . O c o r r e o m e s m o c o m a s o u t r a s operações. A u m e n t a r a v e l o c i d a d e , c o m b i n a r j o g o s , p a g a m e n t o d e p r e n d a s e t c .

b ) C o m divisão. S e o p i n o f o r ( 6 , 2 ) , o a l u n o d e v e d i z e r três; se o p i n o f o r ( 7 , 3 ) , o a l u n o d i z s e r impossível. Porém, a p a r t i r d a 3 . a série, dirá sete terços.

13. Relações. O q u a d r o d e p i n o s p o d e também s e r u s a d o p a r a gráficos e relações ( v i s u a l i z a r a s p r o p r i e d a d e s r e f l e x i v a , simétrica e a s s i ­métrica).

59

14. F o r m a r f i g u r a s geométricas, l i g a n d o p i n o s c o m b a r b a n t e o u c o r ­d i n h a s : polígonos, polígonos e s t r e l a d o s , d i a g o n a i s , s e v i a n a s e t c .

P e d i r o simétrico d e ( 5 , 3 ) e m relação à b i s s e t r i z d o p r i m e i r o q u a d r a n t e . N o s níveis m a i s a d i a n t a d o s , p e d i r o simétrico e m r e l a ­ção a o s e i x o s e à o r i g e m .

D a r ( 5 , 3 ) e p e d i r a s o m a ( o u o u t r a operação) d a s c o o r d e n a d a s d o simétrico. A c o m p l e x i d a d e d e s s e j o g o p o d e s e r a u m e n t a d a , c o m ­p o n d o s i m e t r i a s .

T o d a s e s sas a t i v i d a d e s p o d e m s e r r e f e i t a s e m c a d e r n o s q u a d r i ­c u l a d o s . C a d a p i n o e q u i v a l e a c o l o r i r u m q u a d r i n h o .

CARTAZES

O s c a r t a z e s são m u i t o úteis p a r a i l u s t r a r a l g u m a s a t i v i d a d e s e p o d e m s e r d e i x a d o s p e r m a n e n t e m e n t e n a p a r e d e , m o s t r a n d o t o d o s o s símbolos matemáticos d a q u e l a série, o f e r e c e n d o a o s a l u n o s u m a visão g l o b a l .

MATEM. 1. a

sér ie 1 2 3 4 5

6 7 8 9 0 1.°

+ - X -í- = *

A D O D O O

MATEM. Geom.

• OOOÒOo

1/2

1/4 1/4

1/6 1/6 1/6

1/3

1/6 1/6

1/9 1/9 1/9

6 0

ÁLBUM SERIADO

C o n s t i t u i - s e d e f o l h a s d e c a r t o l i n a e m t a m a n h o n a t u r a l e d u a s c a p a s d e papelão, d o m e s m o t a m a n h o d a s f o l h a s , q u e a j u d a m o álbum a m a n t e r - s e e m pé s o b r e a m e s a . P o d e - s e também u t i l i z a r u m c a v a l e t e p a r a apoiá-lo. A s f o l h a s e as c a p a s d e v e m s e r p r e s a s n u m a d a s e x t r e ­m i d a d e s c o m a r g o l a s g r a n d e s , q u e p e r m i t a m v i r a r a s páginas c o m f a c i l i d a d e .

E m c a d a página c o l o c a - s e u m a s s u n t o , e m sequência. O v e r s o d a página a n t e r i o r , q u e f i c a à m o s t r a , p o ­d e s e r u s a d o p a r a anotações e l e m ­b r e t e s p a r a q u e m está e x p o n d o o a s ­s u n t o . /

O álbum s e r i a d o é ótimo p a r a a t i v i d a d e s s e q u e n c i a i s , p r o b l e m a s e n c a d e a d o s e c o n h e c i m e n t o s c l a s s i f i c a d o s e o r d e n a d o s . E x e m p l o : q u a n ­d o a c l a s s e já e s t i v e r c o n h e c e n d o várias p r o p r i e d a d e s d a s f i g u r a s g e o ­métricas, c o l o c a r n u m a página d o álbum s e r i a d o o triângulo c o m t u d o q u e se r e f e r e a e l e ; n a página s e g u i n t e , f a z e r o m e s m o c o m o q u a d r i ­látero e a s s i m p o r d i a n t e .

ÁBACO

E m c a d a a r a m e f i c a m até d e z o i t o b o l i n h a s , o q u e é i g u a l a 9 + 9 . A s s i m , é possível e f e t u a r operações c o m e m ­préstimos. V e j a , n a f i g u r a a o l a d o , c o m o se r e p r e s e n t a o número 2 1 3 n o ábaco.

61

O b s e r v a r q u e a ação d e p u x a r as b o l i n h a s é i m p o r t a n t e p a r a a j u d a r o a l u n o a a d q u i r i r a noção d e u m a m a i s .

Além d o ábaco m o s t r a d o n a f i g u r a , e x i s t e m o u t r o s t i p o s , encon­t r a d o s e m m e s a s d e j o g o s , n o s c h a m a d o s "cadeirões" de crianças e e m o u t r a s f o r m a s .

QUADRO DE VARETAS

C o n s i s t e n u m q u a d r o d e m a d e i r a e m c i m a d o q u a l se c o l o c a m v a r e t a s . V e j a :

N o d e s e n h o há três v a r e t a s d i s p o s t a s d e l a d o e q u a t r o d e c o m p r i d o ; l o g o , são d o z e ( 3 X 4 ) c r u z a m e n t o s . O j o g o é s i m p l e s : c o l o c a r a s v a ­r e t a s e p e r g u n t a r a o a l u n o o número d e c r u z a m e n t o s o b t i d o s .

Atenção p a r a u m d e t a l h e : o q u a d r o não p o d e s e r l i s o e m c i m a , p a r a q u e a s v a r e t a s não r o l e m ; a l g u n s p r e g u i n h o s r e s o l v e m o p r o b l e m a .

QUADRO PAED

C o m o m o s t r a a f i g u r a , t r a t a - s e d e u m q u a d r o c o m d o i s a r a m e s c r u z a d o s ; e m c a d a u m a d a s e x t r e m i d a d e s há u m número f i x o d e b o l i ­n h a s u n i d a s e n t r e s i : u m a , d u a s , q u a t r o e o i t o .

6 2

O j o g o é o s e g u i n t e : d i z e r u m número d e 1 até 1 5 ; p a r a r e p r e s e n ­tá-lo, o a l u n o p u x a a s b o l i n h a s p a r a o c e n t r o d o q u a d r o . S i r v a d e e x e m p l o o número 7 . D e v e m s e r p u x a d a s 4 + 2 + 1 b o l i n h a s . Há variações. P o d e - s e d i z e r u m número q u a l q u e r d e 1 a 1 5 , e o a l u n o p u x a p a r a o c e n t r o o número d e b o l i n h a s q u e f a l t a m p a r a c h e g a r a o 1 5 ; d i z e n d o 6 , p o r e x e m p l o , o a l u n o p u x a 9 b o l i n h a s .

O s j o g o s c o m o q u a d r o P a e d e n v o l v e m a s s o c i a t i v i d a d e e c o m u t a -t i v i d a d e .

C o n s e g u i r u m quebra-cabeça c o m u m e , e m c i m a d e c a d a peça, c o l a r u m p a p e l c o m indicação d e u m a c o n t a . F a z e r u m t a b u l e i r o c o m u m a m a r g e m e m v o l t a , m a i s a l t a , p a r a q u e as peças não se d e s l o q u e m . N e s s e t a b u l e i r o , e s c r e v e r , n o l u g a r d e c a d a peça, o r e s u l t a d o d a c o n t a i n d i c a d a , s e m d e s e n h a r a peça.

O a l u n o p e g a u m a peça, f a z a c o n t a , p r o c u r a a r e s p o s t a n o t a b u ­l e i r o e c o l o c a a peça e m c i m a . S e o r e s u l t a d o d a c o n t a e s t i v e r e r r a d o , a peça não e n c a i x a .

P o d e - s e u s a r u m quebra-cabeça p a r a c a d a a l u n o o u g r u p o d e a l u n o s . E l e s o s r e c e b e m d e s m o n t a d o s e d e v o l v e m m o n t a d o s , p a r a c o n ­ferência, o q u e já é u m a avaliação. A s c o n t a s i n d i c a d a s p o d e m e n v o l v e r d i v e r s o s níveis d e d i f i c u l d a d e , até frações m i s t a s , d e p e n d e n d o d a c l a s s e . O s a l u n o s p a s s a m u m b o m t e m p o d i v e r t i n d o - s e e a p r e n d e n d o c o m esse m a t e r i a l .

E x i s t e , n o m e r c a d o , u m j o g o p a r e c i d o , c o m 4 9 peças d e plástico; é o " I n s t r u t o r O t t o " , p r o d u z i d o p e l a B e n d e r .

QUEBRA-CABEÇA ARITMÉTICO

6 3

MATERIAL CUISENAIRE

É constituído d e b a r r i n h a s d e m a d e i r a c u j o c o m p r i m e n t o v a r i a d e 1 a 1 0 centímetros. P a r a c a d a c o m p r i m e n t o há u m a c o r . São m u i t a s b a r r i n h a s d e c o m p r i m e n t o s d i f e r e n t e s , n u m t o t a l , g e r a l m e n t e , d e 2 4 1 .

branca

vermelha

marrom

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O 0 0 O 0 O 0 0 o o o

o o o o o o o o o o ° o o o ° 0 o o o o o o o o o o o O o ° o o o ° o o 0 0 - 5 0

o o o o o o o o o o o o o o o o o o amarela

10 laranja

i!!1W ̂ 111111 M • IÍ • MM 11;1; > * i <:: > i a: > • •; uí *t i1 í1 i verde-clara

verde-escura

azul

preta

E x i s t e à v e n d a n o m e r c a d o , m a s p o d e s e r c o n f e c c i o n a d o e m c a r t o ­l i n a o u o u t r o m a t e r i a l s e m e l h a n t e . M u i t a s a t i v i d a d e s r e a l i z a d a s c o m o m a t e r i a l C u i s e n a i r e p o d e m s e r r e f e i t a s e m c a d e r n o q u a d r i c u l a d o .

64

Sugestões de atividades

1 . J o g o l i v r e . A s crianças b r i n c a m e f a z e m m o n t a g e n s , f a m i l i a r i z a n -d o - s e c o m o m a t e r i a l e u s a n d o a c r i a t i v i d a d e . P o d e m f a z e r c l a s s i ­ficações espontâneas p o r c o r / t a m a n h o o u o u t r a s .

2 . A t i v i d a d e s q u e a u m e n t a m a f a m i l i a r i d a d e c o m a s b a r r a s : a ) F o r m a r t r e n z i n h o s c o m b a r r a s d a m e s m a c o r . b ) F o r m a r t r e n z i n h o s c o m d o i s t i p o s d e b a r r a s o u m a i s .

3 . J o g o d a o r d e m . P a r a começar, p o d e m - s e f o r m a r e s c a d a s c o m as c i n c o b a r r a s m e n o r e s .

D e p o i s , a u m e n t a - s e a q u a n t i d a d e . E s c a d a s , f a l t a n d o b a r r a s , p o ­d e m i n d u z i r , p o r e x e m p l o , q u e 2 < 5 < 6 ; porém não se d e v e f a l a r e m números, p o r e n q u a n t o . P o d e - s e p e r g u n t a r : — Q u a l a b a r r a m e n o r ? — Q u a l a m a i o r ? — Q u a l v e m d e p o i s d a v e r m e l h a ? — Q u a l v e m a n t e s d a v e r m e l h a ? — Q u a l está f a l t a n d o ?

4. Composição. São as q u a t r o operações d e f o r m a c o n c r e t a ; o s c h a ­m a d o s trens de contas. E x e m p l o s : — Q u a n t a s b a r r a s b r a n c a s p r e c i s a m o s p a r a f o r m a r u m a b a r r a d o

t a m a n h o d a v e r m e l h a ? E d a v e r d e - c l a r a ? — C o m q u a n t a s v e r m e l h a s f o r m a m o s u m a r o x a ? — Você p o d e f o r m a r u m a b a r r a c o m o a r o x a , u s a n d o s o m e n t e

b a r r a s d e u m a m e s m a c o r ? ( R e s p o s t a : q u a t r o b r a n c a s o u d u a s v e r m e l h a s . )

6 5

E s s e t i p o d e a t i v i d a d e já começa a f o r m a r noções d e e s t r u t u r a s d o s números ( a s q u a t r o operações, frações, números p r i m o s e t c ) . O s números p r i m o s só p o d e m f o r m a r t r e n z i n h o s d e b a r r a s i g u a i s se e l a s f o r e m unitárias. E x e m p l o : 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 . C o m o 6 , há o u t r a s p o s s i b i l i d a d e s , c o m o : 2 + 2 + 2 ; l o g o , 6 não é p r i m o .

5 . J o g o d o t a t o . S e o s a l u n o s s a b e m d e c o r a s c o r e s d a s t a b u i n h a s , p o d e m d e s c o b r i r a c o r d e u m a d e l a s p e l o t a t o . F i c a m d e mãos p a r a trás; o p r o f e s s o r c o l o c a u m a b a r r i n h a n a s mãos d e c a d a u m e p e d e q u e d i g a m a c o r , s e m o l h a r . É possível q u e p r e c i s e m c o m p a r a r c o m o u t r a s c o n h e c i d a s .

6. Identificação cor/número. O s exercícios a n t e r i o r e s d e v e m l e v a r à identificação: 1 = b r a n c o ; 2 = v e r m e l h o ; 3 = v e r d e - c l a r o e t c . É p r e c i s o a v a l i a r esse c o n h e c i m e n t o . P o d e m s e r f e i t o s a l g u n s j o g o s , c o m o : se o p r o f e s s o r b a t e r p a l m a s s e t e v e z e s , o s a l u n o s d e v e m m o s t r a r a b a r r i n h a p r e t a ; se b a t e r p a l m a s q u a t r o v e z e s , a b a r r i n h a a m a r e l a , e a s s i m p o r d i a n t e . É i n t e r e s s a n t e p e d i r a u m a l u n o q u e c o m a n d e o j o g o , b a t e n d o p a l m a s e m l u g a r d o p r o f e s s o r . J o g o s d o t i p o uni a mais, um a menos, dois a mais também se p r e s t a m a e s s a a t i v i d a d e .

7. Noção d e inclusão. F a z e r u m t r e n z i n h o , u s a n d o s o m e n t e d u a s c o r e s . E x e m p l o : três b a r r a s a m a r e l a s e três r o x a s .

O On O D • O O O O o o o O . O o C O O C C C . O O 01* • • • • •

0 o g a m a r ^ a c o o | . v / , r o x a ; ^

P e r g u n t a r : — S e t i v e s s e u s a d o s e i s b a r r a s , t o d a s r o x a s , o t r e m s e r i a m a i s

c o m p r i d o o u m a i s c u r t o ? — E se u s a s s e s e i s a m a r e l a s ? E s s a a t i v i d a d e d e s e n v o l v e a noção d e inclusão.

8. Formação d e números. D e s c o b r i r q u e : a ) d u a s b a r r a s b r a n c a s f o r m a m u m a v e r m e l h a ; b ) três b r a n c a s f o r m a m u m a v e r d e - c l a r a ; c ) u m a b r a n c a e u m a v e r m e l h a f o r m a m u m a v e r d e - c l a r a .

6 6

9. L o c a l i z a r o s números n a r e t a numérica:

. ' r o x a . " . *

H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Início 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

10. O r d e m numérica. R e p e t i r a a t i v i d a d e d o i t e m 3 , m a s a g o r a f a l a n d o e m números.

1 1 . O u t r a s b a s e s . P a r a f o r m a r , p o r e x e m p l o , o número 2 3 , t o m a r d u a s b a r r a s l a r a n j a e u m a v e r d e - c l a r a ( b a s e 1 0 ) . O 1 2 é f o r m a d o c o m u m a b a s e l a r a n j a e u m a v e r m e l h a . P a r a a b a s e 3 , p o r e x e m ­p l o , u s a r a p e n a s a s b r a n c a s , v e r m e l h a s e v e r d e - c l a r a s ; a s s i m :

1 2 10 11 12 20 21 22

12 . Adição. J u n t a r d u a s b a r r i n h a s e p e d i r u m a b a r r a d o m e s m o c o m ­p r i m e n t o d a s d u a s j u n t a s .

2 4

N a f i g u r a , u m a b a r r a v e r m e l h a m a i s u m a r o x a e q u i v a l e m a u m a v e r d e - e s c u r a , i s t o é, 4 + 2 = 6 . Começar c o m s o m a s m e n o r e s q u e c i n c o .

1 3 . J o g o d e s e p a r a r e m d o i s . O p r o f e s s o r e s c o l h e u m a b a r r i n h a , e o a l u n o d e v e e n c o n t r a r d u a s o u t r a s q u e , j u n t a s , dêem o m e s m o c o m ­p r i m e n t o . Há várias soluções possíveis:

6

2 + 4

5 + 1

3 + 3

4 + 2

1 + 5

i l i o l ò V e

y v e r m . ^ //////////.

r d e - e s c u r a j g § 8

r o x a ••*•*•*••

O OO 0 o o O o o o o o 3 f ° o o o o o

o o O o o o o o o o n a r e l a ° o ° o £ u o u O OOOo°

b r .

í i l i i i i j í l verde- i l j l i i ! ! l1!!1,1'! i :>i'lll l n i l i l o i -c la ra í i l lm i !

!jil"!i|í\

i i l , i i | | , r , e r d e - ! ! l í

• . v . - . v r o x a v . £ v e r m . ^ y//////y//y,

b r . o o o o o o o o o o o o o a m a r e i o o o o o o o o

a o o o o o J o o o o o u

6 7

O u t r a p o s s i b i l i d a d e é u s a r três b a r r i n h a s , f i x a n d o , n e s s e c a s o , a p r o p r i e d a d e a s s o c i a t i v a d a adição.

E s s e j o g o p e r m i t e a o a l u n o p e r c e b e r q u e o s números ímpares não p o d e m s e r s e p a r a d o s e m d u a s b a r r i n h a s i g u a i s .

14 . Subtração. Q u e b a r r i n h a d e v e m o s c o l o c a r j u n t o d a v e r m e l h a , p a r a q u e e l a f i q u e tão c o m p r i d a q u a n t o a a m a r e l a ?

W///////////M ' / / / / / verm. '/M W/7//////////Á

?

° o O O o O O 0 ° o o 0 0 0 0 3 S o o S ° ° o < ? c amarela* ° ° o o o o ° o o ° o v o ° o ° ° o o ° o o

o o o o o o o o o o o o o o o ° o C

o o ° 0 0

1 5 . Multiplicação. Três b a r r i n h a s v e r m e l h a s e q u i v a l e m a u m a b a r r a d e q u e c o r ? ( 3 X 2 = 6 ) . Q u a t r o b a r r i n h a s v e r d e - c l a r a s e q u i v a l e m a u m a l a r a n j a m a i s u m a v e r m e l h a ( 4 X 3 = 1 0 + 2 = 1 2 ) . E n c o n t r a r u m m o d o d e f o r m a r o número q u i n z e c o m b a r r i n h a s i g u a i s ( 1 5 X 1 o u 3 X 5 ) .

16 . Divisão. Q u a n t a s b a r r i n h a s v e r d e - c l a r a s são necessárias p a r a f o r ­m a r q u i n z e ? ( 1 5 = l a r a n j a + a m a r e l a ) .

17 . Frações. Q u a n t a s b a r r i n h a s a m a r e l a s são necessárias p a r a f o r m a r u m a l a r a n j a ? O a l u n o c o l o c a d u a s a m a r e l a s a o l a d o o u p o r c i m a d a l a r a n j a p a r a d e s c o b r i r q u e a l a r a n j a é o d o b r o d a a m a r e l a e q u e a a m a r e l a é a m e t a d e d a l a r a n j a . Começa a d e s c o b r i r q u e m e t a d e m a i s m e t a d e f o r m a u m i n t e i r o . A m e s m a a t i v i d a d e p o d e s e r f e i t a c o m a z u l e v e r d e - c l a r o , p a r a e s t u d a r o terço, e a s s i m p o r d i a n t e . A b a r r i n h a v e r m e l h a é u m terço d a v e r d e - e s c u r a . A v e r d e -- c l a r a é m e t a d e d a v e r d e - e s c u r a . Q u a l a m a i o r ? U m terço o u m e ­t a d e d a v e r d e - e s c u r a ? M o n t a r o retângulo c o m o n o d e s e n h o :

§x verde-escura 8<

1 verde-clara i iiiiiimiii " i M i i i i n i H i i

ijiiiljii ;|] tHlt>l| $ verm. 4 ///////////// WW/ W////////A br.

Q u a n t a s b r a n c a s f o r m a m u m a v e r d e - e s c u r a ? F a l a r e m u m s e x t o . M o s t r a r q u e u m s e x t o m a i s u m s e x t o f o r m a m u m terço. E s t e m a t e r i a l l e v a às operações c o m frações.

6 8

MATERIAL DOURADO MONTESSORl

São peças d e m a d e i r a d e q u a t r o t i p o s :

• c u b o d e 1 X 1 X 1 c m 3

• b a r r a d e 1 X 1 X 1 0 c m 3

• p l a c a d e 1 X 1 0 X 1 0 c m 3

• c u b o d e 1 0 X 1 0 X 1 0 c m 3

S e r v e p a r a a compreensão d o s i s t e m a d e c i m a l d e numeração. É útil também p a r a d e s e n v o l v e r a noção d e v o l u m e .

Sugestões de atividades

1 . E s t a b e l e c e r correspondência e n t r e a s peças. P e r g u n t a r , p o r e x e m ­p l o :

— T r e z e c u b i n h o s c o r r e s p o n d e m a quê? ( A u m a b a r r a e três c u b i n h o s . )

m o 2 . D a r u m número e representá-lo c o m o m a t e r i a l . E m s e g u i d a , r e ­

p r e s e n t a r u m número e p e d i r a o a l u n o q u e d i g a q u a l é esse número.

6 9

2 1 3 5

3 . F a z e r a s operações d e m o d o s e m e l h a n t e às d o c a v a l u . É i m p o r ­t a n t e q u e c a d a a l u n o , o u g r u p o d e a l u n o s , t e n h a s e u m a t e r i a l . O s t r a b a l h o s d e v e m s e r f e i t o s e m m e s a s . T o d a s a s a t i v i d a d e s d e s e n ­v o l v i d a s c o m o m a t e r i a l d o u r a d o M o n t e s s o r i p o d e m s e r d e s e n h a d a s .

BLOCOS LÓGICOS (DIENES)

São 4 8 b l o c o s d e m a d e i r a o u plástico.

F o r m a s

q u a d r a d o s triângulos retângulos círculos

C o r e s v e r m e l h o a z u l a m a r e l o

T a m a n h o 1 2 r a n c * e

[ p e q u e n o

E s p e s s u r a <| f in^ S °

O s b l o c o s lógicos p o d e m também s e r c o n f e c c i o n a d o s e m c a r t o l i n a , e l i m i n a n d o - s e o a t r i b u t o espessura o u t r o c a n d o grosso e fino p o r com furo e sem furo ( o u o u t r a m a r c a q u a l q u e r ) .

E l e s s u g e r e m m u i t a s a t i v i d a d e s gráficas. São úteis n a s noções d e lógica e t e o r i a d o s c o n j u n t o s .

7 0

Sugestões de atividades

1 . J o g o l i v r e . P r o m o v e a familiarização c o m o m a t e r i a l e dá vazão à c r i a t i v i d a d e . A s crianças p o d e m começar as p r i m e i r a s c l a s s i f i c a ­ções espontâneas p o r c o r e s , f o r m a s e t c . Começam a d a r n o m e s c o m o " t e l h a d o " o u "chapéu" a o s triângulos, " b o l a " a o círculo e t c .

2 . J o g o d o r e c o n h e c i m e n t o . P e d i r q u e o a l u n o m o s t r e o q u a d r a d o , v e r m e l h o , g r a n d e , f i n o o u então o triângulo, a z u l , p e q u e n o , f i n o . F a z e r d e p o i s o contrário: m o s t r a r u m a peça e p e d i r o s a t r i b u t o s (são s e m p r e q u a t r o ) .

F o r m a r c o n j u n t o s , p o r e x e m p l o : c o n j u n t o d o s q u a d r a d o s , c o n j u n t o d a s peças v e r m e l h a s e t c . P o d e - s e f a z e r , c o m u m g i z , u m a c u r v a s i m p l e s f e c h a d a n o chão e a l i c o l o c a r as peças d o c o n j u n t o . N o c o n j u n t o d o s q u a d r a d o s , p o r e x e m p l o , d e v e m e x i s t i r d o z e peças:

vermelho<^ grande<

pequeno

-grosso -fino grosso fino

Quadrado- -azul grande

pequeno

-grosso -fino grosso fino

^amarelo grande-

pequeno

-grosso -fino grosso fino

A s peças d e v e m e s t a r d i s p o s t a s d e t a l m o d o q u e , se o p r o f e s s o r r e t i r a r u n i a , o a l u n o notará s u a f a l t a . E s t e é u m j o g o q u e p o d e s e r f e i t o também c o m o u t r a f o r m a , c o r , t a m a n h o o u e s p e s s u r a .

7 1

3 . M o s t r a r d u a s peças e p e d i r q u e o s a l u n o s a p o n t e m as diferenças. E x e m p l o : u m q u a d r a d o , v e r m e l h o , g r a n d e , f i n o e u m círculo, v e r m e l h o , g r a n d e , g r o s s o . N e s s e c a s o , a s diferenças serão d u a s : a f o r m a e a e s p e s s u r a .

4. J o g o d o t r e n z i n h o d e u m a diferença, n e m m a i s , n e m m e n o s . D i s t r i ­b u i r a s peças p e l a s crianças. U m a d e l a s começa o j o g o , c o l o c a n d o n o c e n t r o d a m e s a u m a peça q u a l q u e r ( u m círculo, a z u l , pequeno, g r o s s o ) ; a s e g u n d a criança d e v e c o l o c a r a o l a d o d a p r i m e i r a peça u m a o u t r a q u e p o s s u a u m a diferença e três permanências ( u m cír­i o , a z u l , grande, g r o s s o ) e m relação à p r i m e i r a ; a b r i n c a d e i r a c o n t i n u a t e n d o c o m o referência q u a l q u e r u m a d a s peças d a s p o n ­t a s . Q u e m não t i v e r a peça a d e q u a d a f i c a s e m j o g a r .

O r g a n i z a r o u t r o s j o g o s , c o m o o d o t r e n z i n h o c o m d u a s diferenças e d u a s permanências; c o m três diferenças e até c o m q u a t r o .

5 . D e s e n h o d a s peças. M o s t r a r u m a peça, e o s a l u n o s f a z e m o d e s e ­n h o , r e p r o d u z i n d o o s q u a t r o a t r i b u t o s . Variação: m i m e o g r a f a r o u f a z e r n a l o u s a u m a t a b e l a d o s a t r i b u t o s ; m o s t r a r u m a peça à c l a s s e , e o s a l u n o s c o l o c a m u m X n a s c o l u n a s c o r r e s p o n d e n t e s d a t a b e l a d e a t r i b u t o s .

• A i i O f 1 1 1 Az V Am

X X X X

X X X X

O p r i m e i r o e x e m p l o é o d e u m q u a d r a d o , p e q u e n o , g r o s s o e v e r ­m e l h o . O s e g u n d o é d e u m círculo, g r a n d e , f i n o , a m a r e l o .

6. Correspondência. F o r m a r d o i s c o n j u n t o s arbitrários, e o a l u n o d e v e d i z e r o n d e há m a i s ( s e m c o n t a r ) . E l e p o d e i r c o l o c a n d o u m a

7 2

peça d e u m c o n j u n t o s o b r e u m a peça d e o u t r o , f o r m a n d o p a r e s . C o m i s s o , v e r i f i c a d e q u e l a d o s o b r a m peças.

7. J o g o d a seriação. C o l o c a r a l g u m a s peças e m f i l a p a r a o a l u n o d e s c o b r i r a r e g r a e c o n t i n u a r .

E x e m p l o s :

a )

Az A m ' A z ^

R e s p o s t a : a m a r e l o , a z u l , v e r m e l h o , a m a r e l o , a z u l , v e r m e l h o e t c . Sequência d e c o r e s . Q u a i s q u e r f o r m a s .

A m

R e s p o s t a : triângulo, q u a d r a d o , círculo, triângulo, q u a d r a d o , círculo e t c . Sequência d e f o r m a s . Q u a i s q u e r c o r e s .

8. J o g o d o não. P e d i r u m a peça q u e não t e n h a d e t e r m i n a d o a t r i b u t o . E x e m p l o : f o r m a r o c o n j u n t o d a s peças q u e não são triângulos e t c . E s s e j o g o f a m i l i a r i z a a criança c o m a negação, c o m o c o n j u n t o c o m p l e m e n t a r .

M o s t r a r u m a peça e p e d i r a o a l u n o q u e d i g a t u d o o q u e e l a não é. E x e m p l o : p e g a r u m retângulo a m a r e l o , p e q u e n o e f i n o . O a l u n o d i z q u e e s s a peça não é q u a d r a d o , não é círculo, não é triângulo, não é a z u l e t c . O u t r o e x e m p l o : f o r m a r u m a t o r r e d e triângulos; e m s e g u i d a , m o s t r a r u m q u a d r a d o e p e r g u n t a r p o r q u e e s s a peça não está n a t o r r e . A r e s p o s t a deverá s e r : — P o r q u e não é triângulo.

73

P r e p a r a r u m a c a i x a g r a n d e e 2 4 c a i x i n h a s i g u a i s . E s t a s , q u a n d o e m p i l h a d a s , d e v e m f i c a r c o m a m e s m a configuração d a c a i x a g r a n d e , c a b e n d o d e n t r o d e l a . A s c a i x i n h a s p o d e m s e r f e i t a s p e l o s próprios a l u n o s .

A experiência c o n s i s t e e m m o s t r a r q u e a s 2 4 c a i x i n h a s c a b e m e x a t a m e n t e d e n t r o d a c a i x a g r a n d e . P o r t a n t o , e s t a m e d e 2 4 c a i x i n h a s .

E m s e g u i d a , e n c h e r u m a c a i x i n h a c o m a r e i a e d e s p e j a r n a c a i x a m a i o r . R e p e t i r até q u e e l a f i q u e c o m p l e t a m e n t e c h e i a , o u s e j a , 2 4 v e z e s . A a r e i a se e s p a r r a m a , m a s é c o m o se a c a i x a e s t i v e s s e c h e i a d e c a i x i ­n h a s d e a r e i a . C o n s e g u i r i m a g i n a r i s s o e x i g e a noção d e conservação da m a s s a .

E s s a a t i v i d a d e p o d e s e r f e i t a c o m o u t r o s números e o u t r o s m a t e ­r i a i s , c o m o água, b o l i n h a s d e i s o p o r e t c .

MIMEÓGRAFO

O mimeógrafo a s s u m i u u m a importância m u i t o g r a n d e n o e n s i n o d a l . a à 4 . a série. I s t o se d e v e à eliminação d o l i v r o d e a t i v i d a d e s j u s t a m e n t e q u a n d o se p e r c e b e u q u e fazendo o a l u n o a p r e n d e m e l h o r . C e r t o s l i v r o s d e a t i v i d a d e s f o r a m m u i t o i m p o r t a n t e s p a r a o p r o c e s s o d e e n s i n o - a p r e n d i z a g e m , p o i s o a l u n o não a p e n a s e s c r e v i a no l i v r o , m a s

7 8

MIMEÓGRAFO A ÁLCOOL

e s c r e v i a o próprio l i v r o . E r a p o s s e d e l e . T o d a s essas riquíssimas a t i v i ­d a d e s f o r a m a b o l i d a s p o r m o t i v o s económicos e também p o r q u e esses l i v r o s , e m s u a m a i o r i a , e r a m a p e n a s descartáveis.

N o e n t a n t o , é impossível e n s i n a r Matemática n a s p r i m e i r a s séries s e m a t i v i d a d e s d e p r e e n c h e r , r i s c a r , d e s e n h a r , c o l o r i r , c o l a r , e s c r e v e r . E s s a carência p o d e s e r s u p r i d a p e l o mimeógrafo, m e s m o s e m o s r e c u r ­s o s gráficos i n d u s t r i a i s e a s composições e d e s e n h o s p r o f i s s i o n a i s .

C o m u m p e q u e n o mimeógrafo a álcool, e s t a r e m o s p o s s i b i l i t a n d o inúmeras a t i v i d a d e s , reforçando o q u e j u l g a r m o s necessário, t e s t a n d o exercícios n o v o s q u e c r i a r m o s , i n i c i a n d o abstrações c o m m a t e r i a l c o n ­c r e t o e t c .

Sugestões de atividades

1 . A t i v i d a d e s d e d e s e n v o l v i m e n t o d e h a b i l i d a d e s , c o m o coordenação e discriminação s e n s o r i a l e m o t o r a .

2 . A t i v i d a d e s c o m c o n j u n t o s . C e r c a r , e s t a b e l e c e r correspondência c o m r i s c o s , s e t a s e t c .

7 9

3 . C o m p l e t a r sequências:

O 0 O . 4 . Multiplicação:

A AM

[fpl nn

ra ga na

pe

ce

f i

5 . I n v e n t a r histórias, u s a n d o números e operações:

E n f i m , são inúmeras as a t i v i d a d e s q u e p o d e m s e r f e i t a s c o m o auxílio d o mimeógrafo, s u g e r i d a s p e l o próprio conteúdo e , e m p a r t i c u l a r , p e l a s camelidades malbatahânicas, q u e v e r e m o s n o último capítulo d e s t e l i v r o .

8 0

BALANÇA

Só se d e v e e n s i n a r Álgebra a a l u n o s q u e já a t i n g i r a m o estágio d a s operações f o r m a i s , a m e n o s q u e se c o n s i g a u m r e c u r s o q u e l e v e à ação c o n c r e t a d a criança. A balança d e p r a t o s ( q u a l q u e r u m a , até m e s m o f e i t a d e m a d e i r a ) s e r v e p a r a i s s o .

São necessários c e r c a d e d o z e p e s o s i g u a i s q u e representarão 1 k g e a i n d a a l g u n s p a c o t e s , t o d o s i g u a i s , porém d e 1 k g , 2 k g e 3 k g ( d o s " q u i l o s " u s a d o s n a balança). B a s t a c o l o c a r a r e i a n o p a c o t e e " p e s a r " .

Sugestões de atividades

1 . J o g o l i v r e . P r o p o r situações q u e l e v e m o a l u n o a c o n h e c e r a b a ­lança; p e r g u n t a r : — S e e u c o l o c a r 1 k g d e s t e l a d o , o q u e a c o n t e c e ? — E -se e u c o l o c a r d o o u t r o ? — E se e u c o l o c a r u m d e c a d a l a d o ? — E se e u . t i r a r u m d e s t e l a d o ?

2 . P e s a r o s p a c o t e s . O s a l u n o s vão d e s c o b r i r q u e há p a c o t e s d e 1 k g , 2 k g e 3 k g , m a s , a p a r e n t e m e n t e , são t o d o s i g u a i s .

8 1

3 . D e s c o b r i r o d e s c o n h e c i d o c o n c r e t a m e n t e . C o l o c a r u m p a c o t e e m a i s 2 k g d e u m l a d o e 4 k g d o o u t r o . Q u a n t o p e s a o p a c o t e ? E l e p e s a 2 k g , p o r q u e 2 + 2 = 4 .

UÈÈ. M U F a z e r e s s a a t i v i d a d e m e t o d i c a m e n t e : t i r a r 1 k g d e c a d a l a d o e m o s t r a r a o s a l u n o s q u e a balança não se d e s e q u i l i b r a ; t i r a r m a i s 1 k g d e c a d a l a d o , d e m o d o q u e f i q u e n o p r a t o a p e n a s o p a c o t e p e s a n d o 2 k g .

R e p e t i r e s s a a t i v i d a d e a l g u m a s v e z e s , v a r i a n d o o s números: 1 p a c o t e + 3 k g = 4 k g , 1 • + 2 = 5 e t c . D e p o i s , u m n o v o t i p o : 2 • = 6 . T i r a r a m e t a d e d e c a d a l a d o , f i c a n d o c o m : • — 3 .

R e p e t i r c o m o u t r o s números: 2 • = 2 , 3 • = 6 e t c .

F i n a l m e n t e , a t i v i d a d e s d o t i p o : 2 • + 1 = 5 e t c .

4 . A s s o c i a r o c o n c r e t o c o m o a b s t r a t o . O a l u n o f a z o exercício n a balança, e o p r o f e s s o r e s c r e v e ; d e p o i s , t u d o é f e i t o p e l o s a l u n o s . E x e m p l o :

2 D + 3 = 5 2 Q = 2 Tirar 3 de cada lado. Tirar a metade de cada lado.

• = 1 Conclusão: o pacote pesa 1 ka.

8 2

R e p e t i r e s s a a t i v i d a d e c o m o u t r o s números: 2 • + 1 = 7 , 3 • + 2 = 5 e t c .

M u i t o s a l u n o s r e s o l v e m d e cabeça. I s s o d e v e s e r e n c o r a j a d o , m a s também d e v e s e r d i t o q u e é p r e c i s o a p r e n d e r o s d o i s métodos.

5 . P r o p o r exercícios d o m e s m o t i p o d o s a n t e r i o r e s , p a r a s e r e m r e s o l ­v i d o s a p e n a s a b s t r a t a m e n t e :

3 • + 2 = 8 3 • = 6 • = 2 T i r a r 2 d e c a d a D i v i d i r p o r 3 d o s 2 Conclusão: o p a c o t e l a d o . l a d o s . p e s a 2 k g .

R e p e t i r m u i t a s v e z e s .

A u m e n t a r o s números: 4 • + 5 = 1 3 , 3 • + 5 = 1 1 , 5 • + + 7 = 2 2 e t c .

C o m p l i c a r u m p o u c o m a i s :

3 D + 1 = 2 D + 3 T i r a r 1 d e c a d a l a d o

3 D = 2 D + 2 T i r a r 2 p a c o t e s d e c a d a l a d o .

• = 2 Conclusão: o p a c o t e p e s a 2 k g .

E a s s i m p o r d i a n t e , c o m o : 4 Q + 3 = 2 D + 9 e t c .

MATERIAL PARA DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE FIGURAS

F a z e r d o i s q u a d r a d o s d e papelão o u m a d e i r a . N o p r i m e i r o , f a z e r u m f u r o n o c e n t r o ( e n c o n t r o d a s d i a g o n a i s ) ; n o s e g u n d o , o f u r o f i c a f o r a d o c e n t r o . P e n d u r a r e m d o i s p r e g o s n a p a r e d e . O p r i m e i r o q u a ­d r a d o f i c a p a r a d o e m q u a l q u e r posição, i n d i f e r e n t e m e n t e . Já o s e g u n d o balança até p a r a r , s e m p r e n a m e s m a posição, c o m o c e n t r o b e m e m b a i x o d o f u r o . F a z e r o m e s m o c o m u m círculo, u m hexágono e t c .

8 3

8 8 \

\ / \ / X O O 8 8 O O 8 8 Q u a n d o a f i g u r a não é r e g u l a r , o p r o b l e m a f i c a m a i s c o m p l i c a d o .

N o triângulo, a c e n t r o é p o n t o d e e n c o n t r o d a s m e d i a n a s ( l i g a r c a d a vértice a o m e i o d o l a d o ) .

E s s a s experiências d i f i c i l m e n t e dão r e s u l t a d o s p e r f e i t o s , p o i s a s f i g u r a s n u n c a f i c a m e x a t a s . M a s .são r i c a s . P o r t e n t a t i v a e e r r o , d e s c o ­b r i r c e n t r o s d e o u t r a s f i g u r a s , c o m o u m quadrilátero i r r e g u l a r . P a r a b a l a n c e a r , c o l a r p e q u e n o s papéis n o l a d o m a i s l e v e ( o d e c i m a ) . S e as f i g u r a s f o r e m d e m a d e i r a , o b a l a n c e a m e n t o p o d e s e r f e i t o c o m p r e g o s .

BIBLIOTECA E MUSEU

C o m o já f o i d i t o n a introdução d e s t e capítulo, o laboratório d e Matemática p o d e i n c l u i r , além d e t o d o s o s m a t e r i a i s e r e c u r s o s q u e a c a b a m o s d e v e r , u m a b i b l i o t e c a e u m m u s e u .

D a b i b l i o t e c a p o d e m c o n s t a r , além d e l i v r o s específicos d e M a t e ­mática p a r a c o n s u l t a d e p r o f e s s o r e s e a l u n o s ( a l g u m a s sugestões p o d e m s e r e n c o n t r a d a s n o f i n a l d e s t e l i v r o , n a b i b l i o g r a f i a , a s s i n a l a d a s c o m a s t e r i s c o ) , o b r a s d e l i t e r a t u r a i n f a n t i l q u e e n v o l v a m a l g u m a s s u n t o r e l a c i o n a d o à Matemática.

Q u a n t o a o m u s e u , d e v e r e u n i r o s m a i s v a r i a d o s m a t e r i a i s , q u e poderão s e r u t i l i z a d o s p a r a e n r i q u e c e r a t i v i d a d e s r e a l i z a d a s e m a u l a s d e Matemática e m e s m o d e o u t r a s matérias.

A p r e s e n t a m o s a s e g u i r u m a l i s t a d e c o i s a s q u e p o d e m f a z e r p a r t e d e s s e m u s e u .

8 4

Sugestões de materiais

1 . Coleções c l a s s i f i c a d a s d e o b j e t o s n a t u r a i s , r e p r e s e n t a n d o números o u f i g u r a s :

a ) F o l h a s c o m u m a , d u a s , três, q u a t r o e c i n c o p a r t e s . b ) F l o r e s e f r u t o s . c ) I n s e t o s ( s e i s p a t a s ) , aracnídeos ( o i t o p a t a s ) , e s t r e l a - d o - m a r ( c i n ­

c o p o n t a s ) e t c . d ) F o r m a s : c a r a c o l , g i r a s s o l , c r i s t a i s , f a v o s e t c .

2 . Coleções c l a s s i f i c a d a s d e o b j e t o s :

a ) C a i x a s , c o p o s , v e l a s e t c .

b ) L a d r i l h o s :

A • O c ) Símbolos c o m e r c i a i s :

® 8 3 . F o t o s , r e c o r t e s e c a r t a z e s d e t r i l h o s , o b j e t o s , construções, arco-íris,

p l a n e t a s e t c .

4. A m p u l h e t a , calendário, régua d e cálculo e relógio d e s o l .

5 . Trançados: c e s t o s , t a n g a , a r c o - e - f l e c h a e t c .

6. Cerâmica: f o r m a s , d e s e n h o s d e c o r a t i v o s e t c .

7. Odômetro ( p o d e s e r d e c a r r o ) .

8. C a r t a z e s : a ) S i s t e m a s d e numeração egípcio, babilónico, g r e g o , m a i a . b ) Números t r i a n g u l a r e s e números q u a d r a d o s .

c ) Q u a d r a d o s mágicos.

d ) E l i p s e , hipérbole, parábola e círculo, c o m o c o r t e s d e u m c o n e ( o u d e u m c i l i n d r o p a r a e l i p s e ) . P o d e m s e r sólidos d e m a d e i r a .

e ) Triângulo dé T a r t a g l i a - P a s c a l :

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

A s o m a d e d o i s números v i z i n h o s é o d e b a i x o ( 3 + 1 = 4 , 4 + 6 = 1 0 e t c ) . P o d e - s e c o n t i n u a r o triângulo: a próxima l i n h a s e r i a 1 , 6 , 1 5 , 2 0 , 1 5 , 6 , 1 . A s crianças poderão d e s c o b r i r m u i t a s p r o p r i e d a d e s , c o m o :

• A s o m a d a l i n h a e m q u e o s e g u n d o número é 4 v a l e 1 + 4 + + 6 + 4 +- 1 = 1 6 , q u e é o m e s m o q u e 2 X 2 X 2 X 2 , c o m q u a t r o 2 m u l t i p l i c a d o s ( 2 4 ) .

O u t r o e x e m p l o : 1 + 3 + 3 + 1 = 2 X 2 X 2 , c o m três 2 m u l t i p l i c a d o s ( 2 3 ) .

• A s e g u n d a l i n h a é 1 1 , a t e r c e i r a é 1 2 1 = 1 1 X 1 1 , a q u a r t a é 1 3 3 1 = 1 1 X 1 1 X 1 1 e t c . ( A p a r t i r d a s e x t a l i n h a não se p o d e f a z e r o " v a i u m " . )

• E m c a d a l i n h a , a s o m a d o 1.° + 3.° + 5.° + . . . é i g u a l à s o m a d o 2.° + 4.° + 6.° + . . . E x e m p l o : n a q u i n t a l i n h a , 1 + 6 + 1 = 4 + 4 .

8 6

• D e s c e n d o p e l a s d i a g o n a i s : 1 + 2 + 3 + 4 = 1 0 , 1 + 3 + 6 = = 1 0 , 1 + 1 + 1 + 1 = 4 .

f ) C o l a g e m d e f o t o s d e matemáticos: E u l e r , Pitágoras, G a u s s , E u c l i d e s , L e i b n i z , L a g r a n g e , L a p l a c e , C a u c h y , D e d e k i n d , C a n ­t o r , H i l b e r t e t c .

g ) C a r t a z e s d e números.

i o; g 2 ^ A

h ) C a r t a z d e u m relógio c o m o s p o n t e i r o s móveis.

9. Dominó, d a d o s e b a r a l h o s .

10 . Ábaco.

1 1 . Quebra-cabeças: d e a r a m e , d e m o n t a r f i g u r a s , d e m a d e i r a , d e e n ­c a i x e .

1 2 . C a d e a d o c o m s e g r e d o numérico.

1 3 . T o r r e d e Hanói ( v e r capítulo 6 ) .

14 . Sólidos geométricos:

1 5 . S u c a t a s , c a i x a s , o b j e t o s .

8 7

Aritmética

INTRODUÇÃO

C o m c i n c o o u s e i s a n o s , a criança já é c a p a z d e c o n t a r , a p e s a r d e a i n d a não t e r f o r m a d o a noção d e número. E l a c o n t a u m , d o i s , três c a r r i n h o s c o m o q u e m dá n o m e s : c a r r i n h o 1 , c a r r i n h o 2 , c a r r i n h o 3 . M a i s t a r d e , a noção d e número se e s t a b e l e c e c o m o síntese d a seriação e d a noção d e classe-inclusão. O b s e r v e a f i g u r a a b a i x o :

O número 3 pressupõe inclusões s e r i a d a s : o c o n j u n t o d e u m c a r r i n h o c o n t i d o n u m c o n j u n t o d e d o i s c a r r i n h o s e e s t e , n u m d e três; o 1 incluído n o 2 , o 2 n o 3 . C o m i s s o , estará e s t a b e l e c i d a a e s t r u t u r a abstraía d e número: 3 = 2 + 1 = ( 1 + 1 ) + l e t c . E s s a e s t r u t u r a p o s s i b i l i t a várias operações aritméticas. A criança, n e s t e estágio, já f a z 2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1 = 5 .

O o b j e t i v o d o e n s i n o d a Matemática n a s p r i m e i r a s séries é a f o r ­mação d e s s a e s t r u t u r a . E l a se e s t a b e l e c e n o p r i m e i r o g r a u , v a r i a n d o d e a l u n o p a r a a l u n o . O p r o f e s s o r d e v e t e r e m m e n t e s e m p r e i s t o : não existe uniformidade, e e s s a d e f a s a g e m n a t u r a l não é m o t i v o p a r a reprovação.

8 8

Verificar-se-á q u e as a t i v i d a d e s a q u i p r o p o s t a s são d i f e r e n c i a d a s d e a c o r d o c o m o o b j e t i v o . Às v e z e s , o o b j e t i v o é f o r m a r c o n c e i t o s ; o u t r a s , é aplicá-los e t c .

O capítulo 6 — C a m e l i d a d e s malbatahânicas — é u m g r a n d e a u x i l i a r p a r a motivação d e a u l a s e p a r a análise. D e v e s e r c o n s u l t a d o s e m p r e , r e t i r a n d o - s e situações-problemas p e r t i n e n t e s .

O " c a r t a z v a l o r d o l u g a r " (capítulo 3 ) d e v e s e r e s t u d a d o a n t e s d e s t e capítulo.

Q u a n d o se i n v e n t a m p r o b l e m a s d e Aritmética, é p r e c i s o c u i d a d o c o m a questão ideológica. E x i s t e m l i v r o s n o s q u a i s q u e m v a i à f e i r a é s e m p r e a m u l h e r e q u e m t r a b a l h a é o h o m e m ; se s u r g e d e s e n h o d e u m a e m p r e g a d a doméstica, e l a é n e g r a e se c h a m a B e n e d i t a , e a s s i m p o r d i a n t e . São p r o b l e m a s fúteis, d e s l i g a d o s d a r e a l i d a d e a t u a l , q u e d e v e r i a m , a o contrário, e n v o l v e r , além d o s b r i n q u e d o s ( n a d a d e b o n e c a s p a r a m e n i n a s e c a r r i n h o s p a r a m e n i n o s ) , a r e a l i d a d e s o c i a l : profissões, f e r r a m e n t a s , o b j e t o s e t c . Além d e j o a n i n h a s e p e i x i n h o s , t o d o o a m b i e n ­t e físico, químico, biológico e s o c i a l d e v e s e r p o s i c i o n a d o n o nível d o a l u n o .

1 . Exercitação pré-numérica. A t i v i d a d e s c o m c o n j u n t o s , s e m u s a r n o m e s :

a ) C e r c a r c o n j u n t o s p o r c o r e s , f o r m a s , t a m a n h o s o u u t i l i d a d e s d o s e l e m e n t o s .

b ) P i n t a r , c o m a m e s m a c o r , as f i g u r a s d e m e s m a f o r m a o u t a ­m a n h o e t c .

SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 1 . A SÉRIE

0 o 1 O A

A

89

c ) L i g a r e l e m e n t o s a c o n j u n t o s c o r r e s p o n d e n t e s , s e g u n d o critérios a n t e r i o r m e n t e c o m b i n a d o s (noção d e inclusão).

A t i v i d a d e s d e s s e t i p o p o d e m s e r f e i t a s n o flanelógrafo, c o m b l o c o s lógicos o u g r a f i c a m e n t e . T u d o q u e f o r f e i t o c o m m a t e r i a l c o n c r e t o d e v e s e r r e f e i t o , se possível, g r a f i c a m e n t e . O o b j e t i v o é o d e s e n v o l v i ­m e n t o d e h a b i l i d a d e s , c o m o coordenação e discriminação s e n s o r i a l e m o t o r a , v i s a n d o às noções d e c o n j u n t o e número.

( O u t r a s a t i v i d a d e s p o d e m s e r e n c o n t r a d a s n o capítulo 3 : f l a n e ­lógrafo, i t e n s 1 e 2 ; b l o c o s lógicos, i t e m 2 . )

2 . A t i v i d a d e s d e classificação e seriação. A operação c o g n i t i v a d a classificação é f u n d a m e n t a l ; d e s d e a Pré-história o s h o m e n s a f a z e m . O s nomes são r e s u l t a n t e s d e classificações. A p a l a v r a cão não é a p e ­n a s n o m e d e u m a n i m a l . E l a s i g n i f i c a q u e o h o m e m < d i s t i n g u e u m a espécie d e a n i m a l ; cavalo é o u t r a espécie; milho c l a s s i f i c a u m t i p o d e e s p i g a e t c . Já a p a l a v r a mamífero c l a s s i f i c a c l a s s e s d e a n i m a i s c o m o c a v a l o , cão e t c . A p a l a v r a dois c l a s s i f i c a o s c o n j u n t o s p a r e s . E a s s i m p o r d i a n t e .

O q u e v e i o p r i m e i r o , o o v o o u a g a l i n h a ? O q u e v e i o p r i m e i r o , o c o n c e i t o o u a classificação? O s d o i s estão s e m p r e e m mudança, u m p u x a n d o o o u t r o , n u m a interação dialética. P a r a f o r m a r o c o n c e i t o , é p r e c i s o c l a s s i f i c a r , a b s t r a i n d o p r o p r i e d a d e s c o m u n s . P a r a c l a s s i f i c a r , é p r e c i s o f o r m a r o c o n c e i t o , t e r u m critério p a r a classificação. São necessários m u i t o s a n o s d e d e s e n v o l v i m e n t o c o n j u n t o , n u m p r o c e s s o embriológico, p a r a q u e se estabeleçam o c o n c e i t o e a operação d e classificação a s s o c i a d a a e l e .

9 0

A t i v i d a d e s d e classificação:

• B r i n c a d e i r a s n o pátio: s e p a r a r a l u n o s p o r g r u p o s , s e g u n d o c e r ­t o s critérios q u e p o d e m s e r s u g e r i d o s p e l a s próprias crianças; e m s e g u i d a , s e p a r a r o b j e t o s d e d i v e r s a s m a n e i r a s .

• B l o c o s lógicos: classificá-los p e l o s a t r i b u t o s ( c o r , f o r m a , t a m a ­n h o e e s p e s s u r a ) .

• Flanelógrafo: c o l o r i r e l e m e n t o s d e c l a s s e s d i f e r e n t e s , c a d a u m a c o m u m a c o r ( o u m a r c a r c o m A , B e t c ) . C o l o c a r as f i g u r a s n o q u a d r o p a r a o a l u n o r e a l i z a r a a t i v i d a d e n o c a d e r n o .

A seriação é o u t r a operação c o g n i t i v a i m p o r t a n t e n a formação d e c o n c e i t o s e e s t a b e l e c i m e n t o d e relações lógicas e s p a c i a i s e t e m p o r a i s (sequências, t e m p o , c o n t i n u i d a d e ) . C o l o c a r e m o r d e m é m u i t o i m p o r ­t a n t e ; t o d o p r o j e t o d e s c r e v e u m a sucessão d e a t i v i d a d e s . A d e m o n s ­tração e a argumentação são sequências d e proposições.

A t i v i d a d e s d e seriação:

• B r i n c a d e i r a s n o pátio: f a z e r f i l a s , s e g u n d o vários critérios; p a s ­s a r b o l a s p e l o túnel d e p e r n a s ( o último p e g a a b o l a , c o r r e p a r a o p r i m e i r o l u g a r e a t i r a a b o l a p e l o túnel); " p u l a r carniça". E n f i m , c o l o c a r e m o r d e m , s e g u n d o a l g u m critério, m a t e r i a i s d e vários t a m a n h o s , e s p e s s u r a s , t o n a l i d a d e s e t c .

• Flanelógrafo: l i g a r e l e m e n t o s a números ( n o c a s o d e já t e r e s t u d a d o s u a o r d e m ) . C o l o c a r as f i g u r a s n o q u a d r o p a r a o a l u n o r e a l i z a r a a t i v i d a d e n o c a d e r n o .

3 . Correspondência. Exercícios d e l i g a r u m a u m e l e m e n t o s d e d o i s c o n j u n t o s p a r a d e t e r m i n a r o n d e há m a i s , m e s m o s e m c o n t a r . U s a n d o o flanelógrafo, b l o c o s lógicos e o u t r o s r e c u r s o s , r e p e t i r a s a t i v i ­d a d e s c o m c o n j u n t o s d e m e s m o número d e e l e m e n t o s . I n t e g r a r c o m a a t i v i d a d e 1 , c e r c a n d o c o n j u n t o s e d e p o i s l i g a n d o e l e m e n t o s . P o d e - s e c o m p a r a r o número d e a l u n o s c o m o número d e c a r t e i r a s .

9 1

U m a a t i v i d a d e d i v e r t i d a é a # "dança d a s c a d e i r a s " : u m g r u p o d e a l u n o s ( m a i s o u m e n o s o i t o ) e u m a f i l e i r a d e c a d e i r a s , u m a v i r a d a p a r a u m l a d o , o u t r a p a r a o o u t r o , d e m o d o q u e h a j a u m a l u n o a m a i s q u e o número d e c a d e i r a s .

E l e s f i c a m a n d a n d o a o r e d o r d a s c a d e i r a s até u m d a d o s i n a l , q u a n d o d e v e m s e n t a r - s e . A q u e l e q u e não c o n s e g u i r s a i d o j o g o , r e t i ­r a n d o u m a c a d e i r a .

O o b j e t i v o d e s s a s a t i v i d a d e s é c l a s s i f i c a r c o n j u n t o s e q u i p o t e n t e s ( c o m o m e s m o número d e e l e m e n t o s ) , f o r m a r a c l a s s e d o s c o n j u n t o s unitários, c u j a abstração é o número 1 , a c l a s s e d o s p a r e s , c u j a a b s t r a ­ção é o número 2 e a s s i m p o r d i a n t e . T u d o s e m n o m e n c l a t u r a . P o r e n q u a n t o , o i m p o r t a n t e é o c o n c e i t o . E s t e é o começo d e u m c o m p o r ­t a m e n t o q u e se completará m u i t o d e p o i s .

( A t i v i d a d e s q u e v i s a m a o m e s m o o b j e t i v o p o d e m s e r e n c o n t r a d a s n o capítulo 2 , página 2 7 . )

4 . Números n a t u r a i s . E s t u d o d o s números a p a r t i r d e . c o n j u n t o s c o n c r e t o s :

• M o s t r a r c o i s a s d u p l a s , p a r e s , c a s a i s o u a g r u p a m e n t o s arbitrários d e d u a s c o i s a s . J o g o s : — Q u a n t o s c h i f r e s t e m o b o i ? Q u a n t a s o r e l h a s ? F a l a r d o 2 e r e p r e s e n t a r n o c a v a l u . E s c r e v e r o s n u m e r a i s 2 , I I , d o i s , o e t c .

• M o s t r a r c o i s a s t r i p l a s o u a g r u p a m e n t o s d e três e r e p r e s e n t a r n o c a v a l u . E s c r e v e r o s n u m e r a i s 3 , I I I , três, o o o e t c . N a s a t i v i ­d a d e s c o m números n a t u r a i s , é útil o c a r t a z c o m o s símbolos d a l . a série ( s u g e r i d o n o capítulo a n t e r i o r ) , q u e d e v e f i c a r a f i x a ­d o n a p a r e d e , p a r a o s a l u n o s s a b e r e m até o n d e c h e g a r a m .

9 2

5 . C o n t a g e m . L i g a r o b j e t o s a números, e m o r d e m , u m a u m . E s t a é a própria operação d a c o n t a g e m . N o início, u s a r a p e n a s c o n ­j u n t o s d e até três e l e m e n t o s .

O b j e t i v o : e x p l i c i t a r o a t o d a c o n t a g e m .

• C o n t a r e l e m e n t o s d e u m c o n j u n t o até três e c o l o c a r o número n a e t i q u e t a . R e c i p r o c a m e n t e , d a r o número e p e d i r p a r a o a l u n o d e s e n h a r o c o n j u n t o .

• M o s t r a r d o i s o b j e t o s e p e r g u n t a r : q u a n t o s f a l t a m p a r a três?

• M o s t r a r c i n c o o b j e t o s e p e r g u n t a r : — Q u a n t o s d e v e m o s r e t i r a r p a r a f i c a r e m três?

• F a z e r a a t i v i d a d e g r a f i c a m e n t e e n o c a v a l u , s e m símbolos d e operações.

• P r o p o r p r o b l e m a s q u e e n v o l v a m as q u a t r o operações. E x e m p l o : — T e n h o três p i r u l i t o s p a r a r e p a r t i r p o r três a l u n o s . Q u a n t o s são p a r a c a d a u m ? F a z e r c o n c r e t a m e n t e , u s a n d o t a m p i n h a s e o u t r o s o b j e t o s .

• T r e i n a r a e s c r i t a d o s n u m e r a i s até 3 .

6 . O u t r o s exercícios c o m números n a t u r a i s . M o s t r a r c o i s a s q u e são quádruplas.

• U t i l i z a n d o o c a v a l u , m o s t r a r o n u m e r a l 4 . F a z e r o m e s m o c o m o 5 .

P r o p o r p r o b l e m a s s e m p r e b e m c o n c r e t o s .

9 3

• J o g o d o dominó ( se c o n f e c c i o n a d o p e l o s a l u n o s , c o m c a i x a s d e fósforos r e v e s t i d a s d e p a p e l , a a t i v i d a d e é a i n d a m a i s p r o d u t i v a ) . M o s t r a r vários m o d o s d e f o r m a r o 4 . F o r m a r o u t r o s números.

• • • •

( P a r a o u t r a s p r o p o s t a s d e a t i v i d a d e s , v e r capítulo 3 , c a v a l u , i t e n s 1 e 2 . )

7. Adição e subtração. Q u a i s as ações c o n c r e t a s q u e c o n d u z e m às noções d e adição e d e subtração?

a ) Reunir—separar — E m u m a c a i x a há d u a s t a m p i n h a s e e m o u t r a há três. R e u n i r t u d o e m u m a t e r c e i r a c a i x a . F a z e r c o n ­c r e t a m e n t e e c o n t a r o t o t a l . D e p o i s , s e p a r a r a s c i n c o t a m p i ­n h a s e m d u a s c a i x a s , o q u e p o d e s e r f e i t o d e várias m a n e i r a s , i n c l u s i v e d e s f a z e n d o o q u e f o i f e i t o a n t e r i o r m e n t e ( 2 + 3 ) . M o s t r a r c o n c r e t a m e n t e q u e 2 + 3 é o m e s m o q u e 3 + 2 ( s e m notação).

b ) Acrescentar—retirar — E m u m a c a i x a há três t a m p i n h a s . A c r e s c e n t a r d u a s . F a z e r c o n c r e t a m e n t e e c o n t a r o t o t a l . D e p o i s r e t i r a r d u a s p a r a r e t o r n a r às três. A q u i há o u t r o a s p e c t o d e s t a ação q u e é o d e a t i n g i r u m t o t a l , u m nível, p a r a m a i s o u p a r a m e n o s . S e e s t a m o s a b a i x o , t e m o s d e completar; se e s t a m o s a c i m a , t e m o s d e tirar o e x c e s s o . V e j a o s e x e m p l o s : — V o u p i n t a r c i n c o c a r r i n h o s ; já p i n t e i três. Q u a n t o s f a l t a m p a r a c o m p l e t a r o t r a b a l h o ?

9 4

— N o e s t o j o estão c i n c o lápis, e e l e não f e c h a a t a m p a , p o i s só c a b e m três. Q u a n t o s d e v o r e t i r a r ?

c ) Comparar — U m a e s c a d a t e m c i n c o d e g r a u s e a o u t r a , três. Q u a n t o s d e g r a u s a m a i s a e s c a d a g r a n d e t e m ?

R e p e t i r e sse t i p o d e a t i v i d a d e e m várias situações, c o m c r i a n ­ças, o b j e t o s e t c . S e m n o m e s , a p e n a s c r i a n d o situações. U s a r a s p a l a v r a s mais e menos.

T u d o i s s o é u m começo q u e terminará q u a n d o t i v e r m o s a n o m e n ­c l a t u r a a T f b , e e l a não i n d i c a r m a i s u m a operação e, s i m , u m número, 3 + 2 será u m n u m e r a l q u e indicará o m e s m o número q u e 8 — 3 o u

1 0 o u 5 e t c . Aliás, m u i t a s v e z e s não d e v e m o s " e f e t u a r " as operações,

2 d e i x a n d o - a s a p e n a s i n d i c a d a s . P o r e x e m p l o : v i n t e e n o v e , d e i x a m o s a s s i m m e s m o , 2 9 , q u e s i g n i f i c a 2 0 + 9 , p o i s não e x i s t e u m símbolo " s i m p l e s " p a r a esse número. São i n f i n i t o s números!

8. O r d e m . O r d e n a r d e 1 a t e 5 , s e m o s s i n a i s < e > . L i g a r p o n t o s v o l t a n d o a o 1 .

4

3

2

1 2 3

9 5

A t i v i d a d e s c o n c r e t a s :

• F o r m a r e s c a d i n h a s c o m p a l i t o s , c o m t a m p i n h a s o u n o q u a d r o d e p i n o s .

I O I 1 oo íl ooo • oooo II II 1 ooooo

• C o m p l e t a r sequências.

O o o ( V e r também capítulo 6 . )

9. J o g o d o um a mais. D i z e r o u e s c r e v e r u m número até 4 . O a l u n o d i z o u e s c r e v e o número s e g u i n t e . P r o c e d e r d o m e s m o m o d o c o m o j o g o d o um a menos. E s c r e v e r a b a i x o o n u m e r a l (arábico) c o r r e s p o n d e n t e .

I n s i s t i r n e s s e t i p o d e exercício, c o m o o b j e t i v o d e i d e n t i f i c a r c a d a número c o m o a n t e r i o r , m a i s u m .

1 0 . C o l o r i r a l g u m a s b o l a s d e a z u l e o u t r a s , d e v e r m e l h o .

'o~à ° o °

9 6

D e p o i s p r o p o r à c l a s s e questões c o m o :

a ) Q u a n t a s são as b o l a s a z u i s ?

b ) Q u a n t a s são as v e r m e l h a s ?

c ) A o t o d o , q u a n t a s são as b o l a s ?

d ) C e r c a r a s a z u i s e c e r c a r as v e r m e l h a s .

R e p e t i r o exercício c o m o u t r o s números, c o r e s e f o r m a s .

( O u t r a s a t i v i d a d e s s e m e l h a n t e s p o d e m s e r e n c o n t r a d a s n o capí­t u l o 2 , à página 3 1 . )

1 1 . Notação. O s símbolos + ( m a i s ) e = ( i g u a l ) .

— A g a l i n h a a m a r e l i n h a pôs d o i s o v o s e a carijó pôs três. Q u a n t o s o v o s p o s s o j u n t a r ?

2 + 3 — 5

4 3 = 5

2 + 3

C r i a r vários p r o b l e m a s d e s s e t i p o . R e p e t i r a a t i v i d a d e 1 0 , a g o r a e s c r e v e n d o as c o n t a s . F a z e r n o c a v a l u e n o flanelógrafo. P o d e - s e u t i l i z a r o m a t e r i a l C u i s e n a i r e . É p r e c i s o q u e h a j a a ação d e r e u n i r , j u n t a r e a c r e s c e n t a r p a r a f o r m a r o c o n c e i t o d e adição. P o d e - s e u s a r também a disposição v e r t i c a l d a s o m a .

( V e r a t i v i d a d e s s u g e r i d a s n o capítulo 3 : c a v a l u , i t e m 3 ; f l a n e ­lógrafo, i t e m 7 ; m a t e r i a l C u i s e n a i r e , i t e m 1 2 . )

9 7

1 2 . D e z e r o a d e z .

• R e t o m a r a s a t i v i d a d e s d e 5 a 1 1 , c o m números d e z e r o a d e z .

• R e p r e s e n t a r c o m números:

• C o l o r i r p a r a r e p r e s e n t a r 4 + 3 :

• P r o p o r exercícios d e decomposição d e u m número e m d u a s p a r c e l a s :

6 = 0 + 6 = 1 + 5 = 2 + 4 e t c . C o l o c a r s e i s a l u n o s e m f i l a d e várias m a n e i r a s d i f e r e n t e s (batalhão).

C u i d a d o c o m o z e r o ! U t i l i z a r u m símbolo p a r a representá-lo, a i n d a é m u i t a abstração p a r a e s t a f a i x a etária. Não e x i g i r t a b u a d a s d e c o r , m a s d a r exercícios v a r i a d o s p a r a q u e , a o s p o u c o s , e l a s f i q u e m m e m o r i z a d a s . D a r exercícios q u e i n d u z a m a o c o n h e c i m e n t o d e q u e u m a m a i s , n a p a r c e l a , r e p r e s e n t a u m a m a i s n a s o m a .

1 3 . R e t a numérica. R e p r e s e n t a r o s números n a r e t a numérica:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 _ j i i i i i i i 1 1 —

• P e r g u n t a r , p o r e x e m p l o :

— Q u a i s o s números v i z i n h o s d o 5 ? — Q u a l o número q u e f i c a e n t r e o 6 e o 8 ?

• T r a b a l h a r c o m números o r d i n a i s a p e n a s v e r b a l m e n t e , e m s i t u a ­ções u s u a i s , c o m o o s d i a s d a s e m a n a (segunda-feira, terça-tcfcu e t c ) .

14 . P r o p r i e d a d e a s s o c i a t i v a . F a z e r t u d o c o m e x e m p l o s , s e m p r e o ­cupação d e d a r n o m e à p r o p r i e d a d e . P r o p o r p r o b l e m a s i l u s t r a t i v o s . D a r e x e m p l o s , u s a n d o t a m p i n h a s . D e p o i s , f o r m a l i z a r c a d a situação. C a b e a q u i o p r o b l e m a a p r e s e n t a d o n o capítulo 3 , flanelógrafo, i t e m 1 3 .

98

15 . O símbolo — ( m e n o s ) . P r o p o r p r o b l e m a s d o t i p o :

C o l o r i r a l g u m a s b o l a s d e a z u l e a s o u t r a s d e v e r m e l h o .

— Q u a n t a s b o l a s há n o t o t a l ?

— Q u a n t a s b o l a s são a z u i s ?

— R e t i r a n d o a s a z u i s , q u a n t a s f i c a m ?

S e e u r e t i r a r três b a n a n a s , q u a n t a s sobrarão?

7 — 3 =

7 — = 4 - 3 = 4

7 - 4

( P a r a o u t r a s a t i v i d a d e s , v e r capítulo 3 ; c a v a l u , i t e m 4 ; m a t e r i a l C u i s e n a i r e , i t e m 1 3 . )

9 9

16 . C o l o c a r o número q u e f a l t a :

4 + 6 + 3 8

5 — = 2 — 4 = 3

b ) 3 • 8 • + 5 : 7

• + 4 5 9 • = : 3

c ) + 1 3 4

2 5

3

5

d ) 4 + • = • + 4 E s s e p r o b l e m a ( d ) t e m i n f i n i t a s soluções. É a propriedade co­mutativa. O s a l u n o s vão começar a t e s t a r números. E s c o l h e r u m a r e s p o s t a e d i z e r q u e é a c e r t a . C l a r o , haverá p r o t e s t o s . I s s o l e v a à conclusão d e q u e q u a l q u e r número s e r v e p a r a o l u g a r , o u s e j a , s a t i s f a z a p r o p r i e d a d e .

17 . P r o b l e m a s : a ) I n v e n t a r u m a história p a r a • + 3 = 7 . b ) E s c r e v e r c o m símbolos matemáticos e r e s p o n d e r : P e d r i n h o

t i n h a q u a t r o f i g u r i n h a s ; b r i n c o u d e b a t e r f i g u r i n h a s e f i c o u c o m s e t e . Q u a n t a s g a n h o u ?

18. O v a l o r d o l u g a r . C a d a número p o s s u i s e u s n u m e r a i s . I r a u m e n t a n d o a q u a n t i d a d e d e números e a q u a n t i d a d e d e n u m e r a i s : 1 0 , 1 1 , 1 2 , . . . O a l u n o , i n i c i a l m e n t e , e n t e n d e o 1 2 c o m o u m n o v o símbolo q u e v e m d e p o i s d o 1 1 . Não c o m p r e e n d e a operação m e n t a l implícita ( 1 0 + 2 ) . Vê o n u m e r a l 1 2 c o m o u m símbolo c o m p o s t o , u m símbolo e m d o i s pedaços. ( S e o 1 2 f o s s e e m e n d a d o , i m a g i n e o q u e d a r i a 1 3 1 1 2 2 0 e s c r i t o s e m t i r a r o lápis d o p a p e l . . . )

1 0 0

N a s adições c o m r e s e r v a , o a l u n o compreenderá m e l h o r o v a l o r d o l u g a r : n o 1 2 , o 1 v a l e 1 0 . Aliás, se a q u a n t i d a d e d e números é i n f i n i t a , não é possível i n v e n t a r u m símbolo " s i m p l e s " p a r a c a d a núme­r o , c o m o a c o n t e c e d e 0 a 9 . O s símbolos p a s s a m a s e r c o m p o s t o s a p a r t i r d o 1 0 ; p a s s a m a t e r u n i d a d e s e d e z e n a s , c o m v a l o r p o s i c i o n a i . C o n t a r d e d e z a v i n t e . E s c r e v e r o s n u m e r a i s . D e c o m p o r : 1 3 = 1 0 + 3 e a s s i m p o r d i a n t e . A o s p o u c o s , i r d a n d o o s n o m e s : v i n t e , t r i n t a e t c . D e c o m p o r o s n o m e s : n o v e n t a = n o v e + e n t a ( o s u f i x o é g e n t a : n o n a + + g e n t a , q u i n q u a + g e n t a , t r i + g e n t a e t c ) .

19. R e t a numérica até números m a i o r e s q u e 9 . C o n t a r d e d o i s e m d o i s , m a r c a n d o n a r e t a numérica, c o m o n a a t i v i d a d e 1 3 . T e n t a r d e três e m três.

20. Operações c o m d e z e n a s . Começar n o c a v a l u e p a s s a r d e p o i s p a r a o c a d e r n o , s e g u i n d o as simplificações a b a i x o :

d u d u d u d u 2 0 3 0 9 o 8 o 3 0

+ 5 0 + 4 0 - 2 o - 3 0 + 6 0 7 0 7 o \ \ ;

2 1 . A dúzia e a m e i a dúzia. F a z e r p r o b l e m a s r e l a c i o n a d o s c o m esses números.

2 2 . J o g o d o p a r o u ímpar. F a z e r as a t i v i d a d e s s u g e r i d a s n o capí­t u l o 3 c o m o c a v a l u ( i t e m 1 3 ) e o q u a d r o d e p i n o s ( i t e m 3 ) .

2 3 . D o b r o e m e t a d e . C r i a r p r o b l e m a s q u e e n v o l v a m as noções d e d o b r o e m e t a d e , u s a n d o números n a t u r a i s . C o n s t r u i r a t a b u a d a d o d o b r o , s e m d e c o r a r . M o s t r a r q u e t o d o d o b r o é p a r . E s s a s a t i v i d a d e s s e r v e m d e preparação p a r a a multiplicação, a divisão e o e s t u d o d a s frações.

N o c a s o , u s a r s o m e n t e as p a l a v r a s meio e metade a s s o c i a d a s c o m a p a l a v r a dobro, s e m notação matemática. T e s t a r o vocabulário d o s a l u n o s e m e x e m p l o s c o n c r e t o s : m e i o c o p o d e água, m e i o - d i a , m e i a - l u a , m e i o s a c o d e m i l h o , m e t a d e d o t r a b a l h o . R e c o r t a r e a p r e s e n t a r g r a ­v u r a s c o m situações s e m e l h a n t e s . N e s t a i d a d e , as p a l a v r a s m e i o e m e -

1 0 1

t a d e não são u s a d a s c o m a precisão d o a d u l t o ; as m e t a d e s não são " i g u a i s " , o u m e l h o r , não são e q u i v a l e n t e s . Aliás,* o b s e r v a r q u e , se u m b o l o t e m , p o r e x e m p l o , a f o r m a d o B r a s i l , p o d e m o s d i v i d i - l o n a m e t a d e , m a s a s p a r t e s não serão v i s u a l m e n t e i g u a i s , a m e n o s q u e e l e s e j a d i v i ­d i d o e m d u a s c a m a d a s . N o r m a l m e n t e , as p r i m e i r a s a t i v i d a d e s c o m frações são f e i t a s c o l o r i n d o - s e p a r t e d e u m c o n j u n t o : u m c o n j u n t o d e f i g u r a s ( c o n j u n t o d i s c r e t o ) o u u m a única f i g u r a ( c o n j u n t o contínuo). METADE

con junto d iscreto conjunto contínuo

A A \ ( A A A ) V A A J

* S Y/r

P o r t a n t o , n a s frações, o s p r o f e s s o r e s t r a b a l h a m u s u a l m e n t e c o m q u a n t i d a d e s o u áreas. É p r e c i s o também o p e r a r c o m m a s s a , p e s o , v o l u m e , t e m p o , t r a b a l h o e l e v a r s e m p r e e m c o n t a o d e s e n v o l v i m e n t o d o a l u n o . N a l . a série, p o d e m o s u s a r c o n j u n t o s d i s c r e t o s e c o m p r i ­m e n t o s , p o i s o s a l u n o s já p o s s u e m as noções d a conservação d o núme­r o e d o c o m p r i m e n t o . Já p o d e m o s u t i l i z a r áreas e m a s s a s s e m e x i g i r a o p e r a b i l i d a d e . ( V e r , a esse r e s p e i t o , o capítulo 2 , página 2 7 . )

T i p o s d e p r o b l e m a s :

• Q u a n t o é a m e t a d e d e d e z ?

• Q u a n t o é o d o b r o d e 5 ?

• Q u a n t o s o v o s t e m m e i a dúzia?

• Q u a l é o d o b r o d e 6 ?

• Q u a n t o é m e i a dúzia m a i s m e i a dúzia?

• Q u a n t o é a m e t a d e d e 2 0 ? E s s e s p r o b l e m a s d e v e m s e r f e i t o s c o n c r e t a m e n t e c o m t a m p i n h a s ,

p a l i t o s d e s o r v e t e s , q u a d r o d e p i n o s , flanelógrafo, s e p a r a n d o o s c o n ­j u n t o s e m d u a s p a r t e s i g u a i s .

1 0 2

P r o b l e m a s d e c o m p r i m e n t o p o d e m s e r f e i t o s c o m as b a r r i n h a s d o m a t e r i a l Cuisenaíre: p o r e x e m p l o , e n c o n t r a r d u a s b a r r a s i g u a i s q u e , j u n t a s , t e n h a m o m e s m o c o m p r i m e n t o d a v e r d e - e s c u r a . P r o p o r a t i v i ­d a d e s d e c o l o r i r , c o l a r e t c . R e p e t i m o s : u s a r s o m e n t e as palavras m e i o ,

1 m e t a d e , d o b r o , não o símbolo .

2

24 . Multiplicação. Q u a l a ação c o n c r e t a q u e l e v a a o c o n c e i t o d e multiplicação? É a s o m a r e p e t i d a d e p a r c e l a s i g u a i s . É u m a g e n e r a ­lização d o d o b r o . E x e m p l o s :

• São q u a t r o c a i x a s , c a d a u m a c o m três lápis. Q u a n t o s lápis são n o t o t a l ?

3 + 3 + 3 + 3 = 1 2 y

4 v e z e s • D e s e n h a r e c o l o r i r :

azul amarelo vermelho verde

â

a ) Q u a n t o s c a r r o s são a z u i s ?

b ) Q u a n t o s c a r r o s são a m a r e l o s ?

c ) Q u a n t o s c a r r o s são v e r m e l h o s ?

d ) Q u a n t o s c a r r o s são v e r d e s ?

e ) Q u a n t o s c a r r o s são a o t o d o ?

f ) 3 + 3 + 3 + 3 = • Q u a n t a s v e z e s o 3 ?

1 0 3

• D e s e n h a r e c o l o r i r :

/ V \ A / \

•

a ) Q u a n t a s são as c a s a s d e t e l h a d o e m p o n t a ?

b ) Q u a n t a s são as c a s a s d e t e l h a d o c o m três p o n t a s ?

c ) Q u a n t a s são as c a s a s c o m t e l h a d o a c h a t a d o ?

d ) N o t o t a l , q u a n t a s são as c a s a s p r o n t a s ?

e ) 2 + 2 + 2 = Q u a n t a s v e z e s o 2 ?

f ) Q u a n t a s são as c a s a s d e u m a p o r t a ?

g ) Q u a n t a s são as c a s a s d e d u a s p o r t a s ?

h ) A o t o d o , q u a n t a s são as c a s a s p r o n t a s ?

i ) 3 + 3 = • Q u a n t a s v e z e s o 3 ?

R e p e t i r exercícios d e s s e t i p o .

A l g u n s p r o b l e m a s : • U m c a v a l o t e m 4 p a t a s . 2 c a v a l o s têm p a t a s . 3 c a v a l o s

têm . p a t a s .

• F a z e r s o m a s d e p a r c e l a s r e p e t i d a s : 4 + 4 + 4 = Q u a n t a s v e z e s o 4 ?

A b r e v i a r 3 X 4 ( 3 v e z e s 4 ) e t c . E s c r e v e r d e m a n e i r a s d i f e ­r e n t e s :

' 3 + 3 + 3 + 3 4 X 3

< 4 + 4 + 4 3 X 4

A l g u n s exercícios:

• I n d i c a r , s o b f o r m a d e multiplicação, as s e g u i n t e s s o m a s : 5 + 5 + 5 .

• I n d i c a r 5 X 2 s o b f o r m a d e adição e e f e t u a r .

• M o s t r a r c o m o o s egípcios e f e t u a v a m a multiplicação ( v e r capí-* t u l o 1 ) .

A p a r t i r d e s t e m o m e n t o as crianças já p o d e m começar a f a z e r divisões, c o n c r e t a m e n t e , c o m t a m p i n h a s o u o u t r o m a t e r i a l . E s s a a t i v i ­d a d e s e r v e p a r a m o t i v a r a multiplicação e p r e p a r a r t e r r e n o p a r a a divisão.

P e d i r a u m a l u n o q u e d i s t r i b u a se i s t a m p i n h a s e n t r e três c o l e g a s . D i s t r i b u i r d e u m a e m u m a , d e d u a s e m d u a s , c o m o q u i s e r . T i r a r a p r o v a , m u l t i p l i c a n d o 3 X 2 . R e p e t i r a a t i v i d a d e d e v e z e m q u a n d o , a u m e n t a n d o o s números.

E s s a a t i v i d a d e , c o m o m u i t a s o u t r a s , p o d e s e r d r a m a t i z a d a . U m chapéu e u m a g r a v a t a , e já t e m o s u m p a i q u e v a i d i s t r i b u i r as b a l a s se o s f i l h o s se c o m p o r t a r e m .

2 5 . T a b u a d a d o 2 e d o 3 . P r o p o r exercícios e p r o b l e m a s , u t i l i ­z a n d o o c a v a l u , p a r a q u e o a l u n o a p r e n d a a t a b u a d a s e m d e c o r a r ; a memorização v e m c o m o u s o . U t i l i z a r a disposição v e r t i c a l . F a z e r p e r ­g u n t a s d o t i p o :

— Q u a n t a s p a t a s têm d o i s g a t o s ?

26 . Divisão. A p r i m e i r a e t a p a é a c o n c r e t a e já v e m s e n d o f e i t a d e s d e o i t e m 2 4 (divisão d e t a m p i n h a s e n t r e a l u n o s o u o u t r a a t i v i d a d e s e m e l h a n t e ) . " M o s t r a r q u e d i v i d i r é o contrário d e r e u n i r q u a n t i d a d e s i g u a i s .

1 0 5

N u m a s e g u n d a e t a p a , t r a b a l h a r a divisão c o m o operação i n v e r s a d a multiplicação. D a r o s i n a l -4- ( d i v i d i d o p o r ) .

2 X 3 6

M o s t r a r q u e a divisão d e s m a n c h a a multiplicação ( v e r capítulo 3 , c a v a l u , i t e n s 1 6 e 1 7 ) . N u m a t e r c e i r a e t a p a , c o l o c a r 9 -f- 3 = • , s e m a multiplicação, p a r a o s a l u n o s f a z e r e m c o m o q u i s e r e m , m a s e s t i ­m u l a r a divisão s e m p r e a p a r t i r d a multiplicação. F a z e r p e r g u n t a s d o género:

— Q u a l o número q u e m u l t i p l i c a d o p o r 3 dá 9 ?

A r m a r as divisões: 3 X 4 = 1 2 ; 1 2 -r- 4 = 3 : 1 2 | _ 4 _ ; 3

Não e s c r e v e r o r e s t o d a divisão p o r e n q u a n t o . D a r , e m s e g u i d a , m u i t o s p r o b l e m a s d e fixação.

Começar a u s a r a s p a l a v r a s múltiplo e fator: 8 é múltiplo d e 4 e 4 é f a t o r d e 8 , p o i s 8 = 4 X 2 . D a r o s múltiplos d e 2 , 3 e t c . C o l o c a r e m u m a r e t a n u m e r a d a . D a r o s f a t o r e s d e 6 , 8 e t c . D e s c o b r i r o s múltiplos c o m u n s a 2 e 3 . D e s c o b r i r o s f a t o r e s c o m u n s a 6 , 8 e o u t r o s .

O p r o f e s s o r d e v e s a b e r q u e a e s c r i t a simbólica matemática não p o d e r o m p e r c o m as r e g r a s g r a m a t i c a i s . T o d a fórmula, sentença o u expressão matemática t e m s u j e i t o e p r e d i c a d o . V e j a a sentença: 6 - ^ 2 = 3 . S u j e i t o : 6 - f - 2 ; p r e d i c a d o n o m i n a l : 3 ; v e r b o d e ligação: (é); p r e d i c a t i v o d o s u j e i t o : 3 .

2 7 . M e d i d a d e t e m p o . Há m u i t o t e m p o o s h o m e n s não s a b i a m p l a n t a r . V i v i a m c o m o o s o u t r o s a n i m a i s , c a t a n d o f r u t o s n a m a t a , caçando e p e s c a n d o .

O s índios também caçam, m a s s a b e m p l a n t a r u m p o u c o . P a r a p l a n t a r é p r e c i s o c o n h e c e r o t e m p o , s a b e r q u a l a m e l h o r época p a r a c o l o c a r a s e m e n t e n a t e r r a e t c .

O s índios m a r c a m o a n o , o l h a n d o a s e s t r e l a s . A p a r t e d o céu q u e se vê à n o i t e v a i m u d a n d o d u r a n t e o a n o e, a s s i m , c o n h e c e n d o as e s t r e l a s , dá p a r a s a b e r se está c h e g a n d o a época d a s c h u v a s , d o

1 0 6

f r i o o u a época d a s f l o r e s . O s índios também m a r c a m t e m p o s c u r t o s , c o n t a n d o o s d i a s o u as l u a s .

F a z m u i t o t e m p o , p r o v a v e l m e n t e n o E g i t o a n t i g o , i n v e n t a r a m o relógio d e s o l p a r a m a r c a r p e q u e n o s t e m p o s .

V

H 1 o si

— O b s e r v e b e m o s d e s e n h o s d o relógio d e s o l . P o r q u e a s o m b r a d a v a r i n h a v a i m u d a n d o d e l u g a r ?

M o s t r a r u m a a m p u l h e t a , u m relógio d e p o n t e i r o , u m relógio d i g i ­t a l ; m o s t r a r u m relógio g r a n d e d e c a r t o l i n a c o m p o n t e i r o s móveis.

Começar a l e i t u r a a p e n a s c o m as h o r a s .

2 8 . M e t r o , q u i l o e l i t r o . E x i b i r m e t r o d e p e d r e i r o , d e l o j a , f i t a métrica. C a d a u m t e m s u a u t i l i d a d e . E x p e r i m e n t a r m e d i r a c i n t u r a c o m o m e t r o d e l o j a . M o s t r a r balanças. M o s t r a r q u e o l i t r o é i g u a l a u m a c a i x a d e 1 0 c m X 1 0 c m X 1 0 c m . P a s s a r líquido o u grãos d e u m a l a t a d e 1 l i t r o p a r a e s s a c a i x a . F a z e r o m e s m o c o m g a r r a f a s . M o s t r a r q u e 1 l i t r o d e água p e s a 1 q u i l o . F a l a r s o m e n t e o s n o m e s d a s u n i d a d e s , s e m c o b r a r memorização e s e m c o b r a r e n t e n d i m e n t o .

N e s s e p o n t o , já t e r e m o s u m a b o a p o r c e n t a g e m d e a l u n o s c o m noções d e conservação d a m a s s a , m a s não d e p e s o e v o l u m e .

1 0 7

SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 2. a SÉRIE

A 2 . a série é p r a t i c a m e n t e u m a ampliação d a l . a . O s números p o d e m c h e g a r a 1 0 0 0 , o s c o n c e i t o s se a p r o f u n d a m , e o s a l u n o s a m a ­d u r e c e m .

A s n o v i d a d e s , e m Aritmética, sào: adição e subtração c o m r e -1 1

s e r v a , a l g o r i t m o s d a multiplicação e divisão ( o s símbolos , e 2 3

1 ) ; a l g a r i s m o s r o m a n o s . V a m o s às a t i v i d a d e s .

1 . Revisão d e numeração: d e z e n a s . Notação p o s i c i o n a i n o c a v a l u .

2 . Revisão d e numeração: c e n t e n a s . Exercícios d e decomposição d o s n o m e s : s e t e - c e n t o s , q u a t r o - c e n t o s e t c .

3 . Transformação d e c e n t e n a s e m d e z e n a s e v i c e - v e r s a ( p o d e s e r f e i t o n o c a v a l u ) .

4 . Revisão: adição, subtração, multiplicação. D e s t a c a r a s ideias s u b t r a t i v a s e c o m p a r a t i v a s d a subtração:

Ideia subtrativa Ideia comparativa

5 8 ( 8 - 4 = 4 ) 5 8 ( 4 p a r a 8 f a l t a m 4 ) - 2 4 ( 5 - 2 = 3 ) - 2 4 ( 2 p a r a 5 f a l t a m 3 )

3 4 3 4

5 . Revisão: v a l o r a b s o l u t o X v a l o r r e l a t i v o . U t i l i z a n d o o c a v a l u , e s t a b e l e c e r comparações, m o s t r a n d o a correspondência e n t r e o " v a l o r m a r c a d o e o r e a l " ( 2 v a l e 2 0 0 e t c ) .

6 . Multiplicação p o r 1 0 . P r o p o r exercícios d o t i p o : 2 X 1 0 , 3 X 1 0 , 4 X 1 0 , q u e i n d u z e m à colocação d e u m z e r o n o r e s u l t a d o : 3 X 1 0 = 3 0 , são 3 d e z e n a s .

1 0 8

7. S o m a c o m c e n t e n a s s e m r e s e r v a . C r i a r situações-problemas. P o r e x e m p l o :

— Q u a n t a s d e z e n a s há e m 3 4 + 2 3 ? E e m 2 7 + 3 5 ? F a z e r exercícios.

8. S o m a c o m r e s e r v a :

5 3 = 5 0 + 3 + 2 8 = 2 0 + 8

7 0 + 1 1 7 0 + 1 0 + 1 = 8 0 + 1 = 8 1

N a resolução d e p r o b l e m a s e exercícios, u t i l i z a r o quebra-cabeça aritmético. C a d a a l u n o , o u g r u p o d e a l u n o s , r e c e b e s e u j o g o p a r a m o n t a r .

9. Diferença c o m c e n t e n a s , s e m r e s e r v a . E l a b o r a r p r o b l e m a s e exercícios. ( A l g u m a s sugestões p o d e m s e r e n c o n t r a d a s n o capítulo 3 , c a v a l u , i t e m 1 2 . )

10. Diferença c o m r e s e r v a . Também n e s s e c a s o , t r a b a l h a r c o m o c a v a l u , p r o p o n d o p r o b l e m a s e exercícios.

1 1 . Multiplicação. S e o c a v a l u t e m três p r e g a s , só s e r v e p a r a m u l ­t i p l i c a r até 3 . Então, c o m o c a v a l u , f a z e r :

III 1 III 1

3 1 = 3 0 + 1 3 1 X 2 X 2 X 2

6 0 + 2 6 2

S e m c a v a l u : 4 X 1 7 3 1 7 3 = 1 0 0 + 7 0 + 3 1 7 3 X 4 X 4 X 4

4 0 0 + 2 8 0 + 1 2 6 9 2

P r o b l e m a s :

• D e c o m p o r u m número e m p r o d u t o d e d o i s o u t r o s . • M o n t a r e s q u e m a s c o m o p r o d u t o c a r t e s i a n o : r o u p a s , caminhões,

c a s a s , r u a s e e s q u i n a s , t a b u l e i r o s , c e r c a s e p r e g o s , q u a d r o d e v a r e t a s e t c .

1 0 9

1 2 . D o b r o e t r i p l o , m e t a d e e u m terço. F a z e r exercícios, c o m o o s d a a t i v i d a d e 2 2 , d a l . a série.

1 3 . P r o p r i e d a d e c o m u t a t i v a d a multiplicação. D a r e x e m p l o s c o n ­c r e t o s e , d e p o i s , matemáticos.

14 . T a b u a d a d o 6 , 7 , 8 e 9 . P r o p o r exercícios e p r o b l e m a s p a r a o a l u n o t r e i n a r as t a b u a d a s . Não m a n d a r d e c o r a r .

1 5 . Divisão: p r o c e s s o s u b t r a t i v o . O b s e r v a r a s e g u i n t e sequência d e a t i v i d a d e s p a r a a divisão:

a ) C o n c r e t a m e n t e — U m a l u n o d i s t r i b u i q u i n z e t a m p i n h a s p o r três c o l e g a s , c o m o q u i s e r , d e u m a e m u m a , d e d u a s e m d u a s e t c . N o f i m , p e r g u n t a r a esse a l u n o :

— Q u a n t a s t a m p i n h a s você possuía? — Q u a n t a s t a m p i n h a s g a n h o u c a d a c o l e g a s e u ? — São três c o l e g a s , c a d a u m c o m c i n c o t a m p i n h a s ; q u a l o t o t a l d e t a m p i n h a s ?

R e p e t i r a a t i v i d a d e t r o c a n d o o s a l u n o s e a q u a n t i d a d e d e t a m ­p i n h a s . D e p o i s d e a l g u m a s v e z e s , u t i l i z a r s i m u l t a n e a m e n t e ô c a v a l u . O q u e e s t i v e r s e n d o f e i t o c o m as t a m p i n h a s é r e p e t i d o c o m as f i c h a s n o c a v a l u .

b ) C o n c r e t a m e n t e — M e s m a a t i v i d a d e , porém, a g o r a , c o m r e s t o não n u l o : 7 7 p o r 3 , 2 9 p o r 4 e t c . P e r g u n t a s :

— Q u a n t a s e r a m as t a m p i n h a s ? — Q u a n t a s g a n h o u c a d a u m ? — Q u a n t a s s o b r a r a m ?

Não há i n t e r e s s e e m f a z e r n o c a v a l u , s e p a r a n d o o r e s t o .

c ) Associação c o m o a b s t r a t o — U m a l u n o d i v i d e c a t o r z e t a m ­p i n h a s p o r três. P a s s o a p a s s o , r e p e t i r , n a l o u s a e c o m números, o q u e a c o n t e c e u n a r e a l i d a d e ( u m a l u n o p o d e também r e p e t i r n o c a v a l u ) . A s s i m :

1 1 0

O fato concreto A representação na lousa feita pelo professor

1 4 [ _ 3 _

0 • • • Quantas são? Vão ser divididas

por quantos colegas?

Se o aluno distr ibuir de uma em uma:

1 4

1 1

0. m m m

3 1 1 1 1

1! 1 1

111 IS 11111!

Quantas eram? Quantas você deu para cada um? Quantas sobraram com você?

Se o aluno, em seguida, distr ibuir de duas em duas:

0 • m DD m

1 4 -_3_

1 1 -_6_

5

2 +

I I I I I I eie

Repetir as perguntas.

Se o aluno, depois, distr i­buir de uma em uma:

0 • c u

1 4 - _ 3

1 1 - _ 6

5 — 3_

2

1

2 +

4

Repetir as perguntas.

1 1 1

R e p e t i r várias v e z e s . É u m a a t i v i d a d e m u i t o r i c a , u m a o p o r ­t u n i d a d e d e participação. O a l u n o p o d e r i a q u e r e r p a r a r q u a n ­d o e s t a v a c o m c i n c o t a m p i n h a s . T u d o b e m ! O p r o f e s s o r t a m ­bém pára, d e m o d o q u e a Matemática c o r r e s p o n d a à r e a l i d a d e . O r e s t o f i c a m a i o r q u e o d i v i s o r . T u d o b e m ! A Matemática p o d e d e s c r e v e r também u m a situação c o m o e s sa . O a l u n o p o d e q u e r e r d i s t r i b u i r d e q u a t r o e m q u a t r o q u a n d o p o s s u i a p e n a s o n z e ; e l e m e s m o verificará q u e é impossível. T u d o está c e r t o e a Matemática acompanhará o q u e o c o r r e c o m a r e a l i d a d e .

R e p e t i r : 3 0 - f - 4 , 1 7 - r - 2 e t c .

d ) Associação c o m o a b s t r a t o — N e s s a a t i v i d a d e t u d o ocorrerá c o m o n a a n t e r i o r , m a s a g o r a é o a l u n o q u e m v a i e s c r e v e r n o l u g a r d o p r o f e s s o r . F a z e r u m r i s c o v e r t i c a l , s e p a r a n d o o núme­r o d a s t a m p i n h a s d o número d e c o l e g a s , e u m r i s c o h o r i z o n t a l , e m b a i x o d o q u a l ficarão as q u a n t i a s q u e irão r e c e b e n d o , b e m c o m o a s o m a d e l a s . F a z e r p e r g u n t a s d o t i p o :

— Q u a n t a s t a m p i n h a s r e c e b e u c a d a u m ?

N e s s e m o m e n t o , o s a l u n o s vão v e r i f i c a r q u e f a l t a m t a m p i n h a s . P o r e x e m p l o , 3 0 - r - 4 ; e l e s d i v i d e m e c o n c l u e m q u e c a d a a l u n o r e c e b e u s e t e t a m p i n h a s . O r a , q u a t r o a l u n o s , c a d a u m c o m s e t e t a m p i n h a s , são 2 8 t a m p i n h a s . O n d e estão as o u t r a s d u a s ? É o r e s t o . L o g o , 4 X 7 + 2 = 3 0 .

e ) A b s t r a t a m e n t e — P o r f i m , o s a l u n o s f a z e m divisões a b s t r a t a -m e n t e e m s e u s c a d e r n o s : 2 3 7 - f - 7 , 3 5 2 -=- 1 3 , 8 3 - 4 - 1 2 , 4 7 2 - r -- r - 2 5 e t c . S e m p r e p e l o m e s m o p r o c e s s o : o método subtrativo.

P r o n t o ! Está f e i t a a divisão e c o m q u a i s q u e r números. C o m a prática, o s a l u n o s vão e v o l u i n d o s o z i n h o s , s i m p l i f i c a n d o , até c h e g a r e m a o a l g o r i t m o d a divisão l o n g a :

2 7 | 4 - 2 4 6

3

1 1 2

A q u i t e r m i n a a divisão n a 2 . a série. S e o a l u n o s o u b e r a t a b u a d a d o 1 , já p o d e d i v i d i r o u r e s o l v e r p r o b l e m a s c o m q u a i s q u e r números.

3 8 1 1 .2 ,

8 5 7 1 7

5 4 8 | 2 3 1 - 7 0 0 1 0 0 - 2 3 0 1 0

2 6 1 + 1 5 7 1 0 + 3 1 8 1 0 + - 1 2 1 - 7 0 1 0 - 2 3 0 _ 3 _

1 4 3 8 7 2 8 8 2 3 - 1 2 - 7 0 1 2 2 - 6 9

2 1 7 1 9 - 1 4

3

U t i l i z a n d o es$e método, o a l u n o v a i , a o s p o u c o s e d e a c o r d o c o m s u a i n d i v i d u a l i d a d e , f a z e n d o simplificações, s e m f i c a r n o u s o p u r o e s i m p l e s d a memória. O u t r a v a n t a g e m d o método é t r e i n a r e m o t i v a r a t a b u a d a d a multiplicação, q u e s i m p l i f i c a a divisão ( p o r i s s o , m u l t i p l i ­cação e divisão d e v e m s e r e s t u d a d a s j u n t a s , p o d e n d o i n i c i a r - s e o e s t u d o c o m a divisão). N a 3 . a série, o a l u n o chegará a o a l g o r i t m o f i n a l . P o r e n q u a n t o , " f a z d e q u a l q u e r j e i t o , d e p o i s j u n t a t u d o " . É i m p o r t a n t e f a l a r d a s d u a s i d e i a s d a divisão:

• Repartir — T e n h o d o z e b a l a s p a r a d i v i d i r p o r três crianças. Q u a n t a s d o u p a r a c a d a u m a ?

• Medir — Q u a n t a s v e z e s o três c a b e n o d o z e ?

16 . F a z e r c o n t a s . I n v e n t a r p r o b l e m a s i n t e r e s s a n t e s e n v o l v e n d o as q u a t r o operações. Cálculo d o d e s c o n h e c i d o : O X 3 = 2 1 . U t i l i z a r o quebra-cabeça aritmético.

17 . P a r o u ímpar c o m números até 1 0 0 0 . F a z e r exercícios, c o m o n a a t i v i d a d e 2 1 d a l . a série.

18. Frações. R e f a z e r a a t i v i d a d e 2 2 d a l . a série n o q u e j u l g a r necessário. I n t r o d u z i r a p a l a v r a , quarto c o m o m e t a d e d a m e t a d e . Associá-la c o m o d o b r o d o d o b r o , q u e é q u a t r o v e z e s .

1 1 3

Através d e p r o b l e m a s e exercícios c o n c r e t o s , f a z e r o a l u n o d e s -1 1

c o b r i r q u e 2 < 4 , porém > . 2 4

1 I n t r o d u z i r a expressão um terço, o n u m e r a l , f a l a n d o também

3 e m triplo. Não i n s i s t i r , não e x i g i r m u i t o ; são a p e n a s a t i v i d a d e s p r e p a ­ratórias. O a s s u n t o é d e l i c a d o e a b s t r a t o . Ninguém c o m p r a u m terço d e dúzia d e o v o s . Além d i s s o , as crianças d e s t a i d a d e a i n d a não c o m ­p r e e n d e m , p o r e x e m p l o , q u e m e t a d e s d e c o n j u n t o s d i s t i n t o s são d i f e ­r e n t e s : m e t a d e d e v i n t e é d i f e r e n t e d e m e t a d e d e d e z o i t o ; são m e t a d e s , m a s são d i f e r e n t e s . E x e m p l o s :

• U m a dúzia d e t a m p i n h a s : d a r m e t a d e p a r a u m a l u n o .

— Q u e m f i c o u c o m m a i s ?

• O u t r a dúzia d e t a m p i n h a s : f o r m a r a s m e t a d e s d a s m e t a d e s e d a r 1 1

m a i s p a r a o u t r o a l u n o .

4 4

— Q u e m g a n h a m a i s ?

1 1 D a r p a r a u m a l u n o e p a r a o u t r o e d e s c o b r i r q u e

2 3 1 1

> . • M o s t r a r m e t a d e d e u m terço, u m terço d a m e t a d e .

1 1 1 • D e s c o b r i r q u e > >

1 1 C o n f o r m e o nível d o s a l u n o s , p o d e - s e f a l a r e m e 5 6

c o m o contrários d e c i n c o v e z e s (quíntuplos) e s e i s v e z e s (sêxtuplos). 1 1 1

P r o b l e m a s c o m o d e dúzia c o m p a r a d o c o m d e d e 6 2 3

dúzia e t c .

1 1 4

M u i t o s a l u n o s já p o s s u e m noção d e conservação d a área e d a m a s s a . Começar c o m situações-problemas e n v o l v e n d o essas noções. E m s e g u i d a , d i v i d i r t i r a s e f i g u r a s d e p a p e l s i m u l a n d o b o l o s e c h o c o l a t e s . P a r a d i v i d i r u m b o l o e m terços, o s a l u n o s c o s t u m a m r e t i r a r três p a r t e s , d e i x a n d o u m r e s t o e , m u i t a s v e z e s , as p a r t e s não são i g u a i s . S o m e n t e c o m c e r c a d e 1 2 a n o s , começam a t o r n a r m a i s e x a t a s essas noções.

S e a G e o m e t r i a c o n c r e t a e s t i v e r s e n d o u s a d a , já terá s u r g i d o a n e c e s s i d a d e d e r e p r e s e n t a r o s milímetros, p o i s n e m s e m p r e as m e d i d a s dão centímetros e x a t o s . C o m b i n a r o s e g u i n t e : se , p o r e x e m p l o , o r e s u l ­t a d o f o r 1 3 centímetros e 8 milímetros, d i z e r : " A s m e d i d a s d e r a m 1 3 centímetros e m a i s 8 r i s q u i n h o s " (milímetros). V a m o s e s c r e v e r o 1 3 e o 8 s e p a r a d o s p o r vírgula, p a r a não f i c a r 1 3 8 . A s s i m : 1 3 , 8 . A vír­g u l a s e p a r a o número d e centímetros d o número d e milímetros.

P a r a c a l c u l a r u m perímetro, é p r e c i s o a d i c i o n a r as m e d i d a s d o s l a d o s . N u m q u a d r a d o , m e d e - s e u m l a d o e m u l t i p l i c a - s e p o r q u a t r o p a r a c a l c u l a r o perímetro. A o contrário, c o n h e c e n d o o perímetro d o q u a d r a d o , d i v i d e - s e p o r q u a t r o p a r a c a l c u l a r o c o m p r i m e n t o d o l a d o . A s s i m , n e m a adição n e m a subtração o f e r e c e m d i f i c u l d a d e . Também a multiplicação p o r i n t e i r o s o u a divisão p o r i n t e i r o s são s i m p l e s .

O u t r a prática c o m números d e c i m a i s q u e o s a l u n o s a l g u m a s v e z e s t r a z e m p a r a a e s c o l a são o s c e n t a v o s . F a z e r exercícios c o m p r o b l e m a s .

SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 3. a SÉRIE

N a 3 . a série, c o n t i n u a r c o m m u i t a s e v a r i a d a s a t i v i d a d e s e n v o l ­v e n d o a s q u a t r o operações. A s situações c r i a d a s d e v e m s e r r i c a s , e n v o l ­v e n d o números, a t i v i d a d e s gráficas, m a t e r i a l c o n c r e t o , j o g o s e t c .

A s n o v i d a d e s , e m relação à l . a e 2 . a séries, estão n o f a t o d e q u e o s a l g o r i t m o s d a s q u a t r o operações poderão f i c a r p r o n t o s . O s c o n c e i t o s serão a p r o f u n d a d o s , e a multiplicação lógica ( u s a d a d e s d e a l . a série) f i c a i n c o r p o r a d a . Será a p r o f u n d a d o o t r a b a l h o c o m frações.

1 1 5

1 . Números n a t u r a i s : número X n u m e r a l . T r a b a l h a r c o m notação d e c i m a l , v a l o r a b s o l u t o X v a l o r r e l a t i v o , p a r o u ímpar, ordenação.

2 . A s q u a t r o operações. D a r definições e as p r o p r i e d a d e s c o m u ­t a t i v a , d i s t r i b u t i v a e o s e l e m e n t o s n e u t r o s . E n s i n a r a p r o v a r e a l . P r o p o r exercícios e n v o l v e n d o as p r o p r i e d a d e s d a s q u a t r o operações.

3 . Multiplicação c o m d o i s a l g a r i s m o s :

• 2 X 1 0 = 1 0 + 1 0 : são d u a s d e z e n a s . 2 X 1 0 = 2 0 : é só c o l o c a r u m z e r o n o 2 .

• 7 X 1 0 = 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 : são s e t e d e ­z e n a s .

7 X 1 0 = 7 0 : é só c o l o c a r u m z e r o n o 7 .

• 3 1 X 1 0 = 3 1 0 : é só c o l o c a r u m z e r o n o 3 1 (são 3 1 d e z e n a s ) .

P a r a m u l t i p l i c a r u m número p o r 1 0 , b a s t a c o l o c a r u m z e r o à d i r e i t a d o n u m e r a l d e c i m a l ; p a r a m u l t i p l i c a r p o r 1 0 0 , c o l o c a m - s e d o i s z e r o s ; p a r a e f e t u a r a multiplicação p o r 1 0 0 0 , c o l o c a m - s e três z e r o s . P r o p o r c o n t a s d e s s e t i p o n a disposição v e r t i c a l .

— T r e z e dúzias d e o v o s , q u a n t o s o v o s são? — D e s a f i a r o a l u n o ( e s s e t i p o d e p e r g u n t a já p o d e r i a s e r f e i t o n o i t e m 2 ) . — T r e z e dúzias são d e z dúzias m a i s três dúzias. São:

1 0 X 1 2 + 3 X 1 2 = 1 2 0 + 3 6 = 1 5 6 .

O u :

1 2 1 2 1 2 X 1 3 X 1 0 + X_3_

? 1 2 0 + 3 6 = 1 5 6 1 0 dúzias 3 dúzias

1 1 6

O u a i n d a :

1 2 1 2 X 1 3 X 1 3

3 x 1 2 = 3 6 3 6 < - 3 dúzias 1 0 X 1 2 = 1 2 0 + 1 2 0 < - 1 0 dúzias

1 5 6 1 5 6

R e p e t i r c o m o u t r o s números, 2 4 dúzias, p o r e x e m p l o . E m s e g u i d a , c o m números q u e não são dúzias:

3 2 2 6 X 1 4 X 4 2

1 2 8 < - 4 v e z e s o 3 2 5 2 < - 2 v e z e s o 2 6 3 2 0 < - 1 0 v e z e s o 3 2 1 0 4 < - 4 v e z e s o 2 6 ( s e m o z e r o , 4 4 8 1 0 9 2 m a s d e i x a n d o s e u l u g a r ,

p o i s são 4 0 v e z e s e não 4 )

F a z e r m u i t o s exercícios d e fixação.

4 . Divisão c o m d o i s a l g a r i s m o s . R e t o m a r o i t e m 1 5 d a 2 . a série. F a z e r exercícios d e revisão p e l o método l o n g o , q u e o s a l u n o s s a b e m u t i l i z a r .

N e s s e p o n t o , é necessário u m p e q u e n o "empurrão" d o p r o f e s s o r p a r a q u e o a l u n o faça a subtração d e cabeça, p a s s a n d o d o método l o n g o p a r a o b r e v e . A l g u m a d i f i c u l d a d e a p a r e c e a i n d a p a r a se c h e g a r a o a l g o r i t m o f i n a l , porém, d e q u a l q u e r m o d o , já t e m o s u m método s e g u r o e s i m p l e s . V a m o s e s t u d a r u m e x e m p l o q u e m o s t r a várias e t a p a s d a evolução d o a l u n o . A c o m p a n h e !

D i v i d i r 2 6 2 p o r 7 . Q u e r e m o s q u e o a l u n o c h e g u e a f a z e r a s s i m :

2 6 ' 2 ' \j_ 5 2 3 7

3

M a s é i m p o r t a n t e q u e o a l u n o a l c a n c e esse p o n t o s e m t r a u m a s . C l a r o , o método u t i l i z a d o t r a d i c i o n a l m e n t e é o d e d e c o r a r vários p a s s o s s e m s a b e r p o r quê. I s s o p o d e r i a s e r f e i t o a q u i , a g o r a q u e o a l u n o está s e g u r o e já d o m i n a u m a técnica, p o i s o a l g o r i t m o f a c i l i t a m u i t o .

1 1 7

N o e n t a n t o , se possível, d e v e - s e s e g u i r u m c a m i n h o m i s t o d e lógica e memória, o f e r e c e n d o a o a l u n o a o p o r t u n i d a d e d e d o s a r as d u a s c o i s a s , d e a c o r d o c o m s u a i n d i v i d u a l i d a d e ; t a l d o s a g e m se a l t e r a c o n f o r m e s e u a m a d u r e c i m e n t o . Não e x i g i r u m a lógica impecável, impossível n e s t a i d a d e . Não f a z e r d e c o r a r ! V e j a m o s :

a ) D e n t r o d o p r o c e s s o d e abreviação, o a l u n o q u e r começar d i v i ­d i n d o l o g o as c e n t e n a s :

2 6 ' 2 | 7 Não p o d e m o s d i v i d i r 2 c e n t e n a s p o r 7 ; p o r i s s o , d i v i d i m o s 2 6 d e z e n a s p o r 7 .

b ) 2 6 ' 2 | 7 2 6 d i v i d i d o p o r 7 são 3 , e 3 v e z e s 7 são 2 1 . — 2 1 3 I s s o está c e r t o e , se f o r c o n t i n u a d o , c o n d u z

2 4 1 a o r e s u l t a d o . Porém, não s e r v e c o m o c a m i ­n h o p a r a o a l g o r i t m o . P a r a o a l g o r i t m o , d e ­v e m o s r a c i o c i n a r q u e 2 6 d e z e n a s d i v i d i d a s p o r 7 dão 3 d e z e n a s , i s t o é, 3 0 .

c ) 2 6 ' 2 1 7 A g o r a s i m ! 3 d e z e n a s v e z e s 7 são 2 1 d e z e -— 2 1 0 3 0 n a s o u 2 1 0 ; p a r a 2 6 2 f a l t a m 5 2 . C o n t i -

5 2 + 7 n u a n d o n o r m a l m e n t e , e n c o n t r a r e m o s 7 . — 4 9 3 7 Está p r o n t a a divisão.

3 T i r a r a p r o v a : 7 X 3 7 + 3 = 2 6 2 . • S e m e s c r e v e r o z e r o d o 2 1 0 :

2 6 ' 2 1 7 - 2 1 3 0 5 2 + 7

- 4 9 3 7 3

S e m e s c r e v e r o z e r o d o 3 0 , p o i s 2 6 ' 2 ' 1 7 3 0 + 7 = 3 7 ( f a l a r e m a b a i x a r - 2 1 3 7 o 2 ) : 5 2

- 4 9 3

F a z e n d o as subtrações d e cabeça 2 6 ' 2 ' | 7 (método b r e v e ) : 5 2 3 7

3

1 1 8

2 6 ' 2 5 3

2 6 ' 2 ' L i 5 2 3 7

3

• Q u a n d o c h e g a m o s a esse p o n t o , p o d e m o s f a z e r a l g u m a s d i v i ­sões, f a l a n d o e m v o z a l t a p a r a f i x a r o a l g o r i t m o (não é p r e c i s o i n s i s t i r , é só f a z e r d e v e z e m q u a n d o ) :

2 6 d i v i d i d o p o r 7 , 3 . 3 v e z e s 7 , 2 1 ; p a r a 2 6 , 5 .

A b a i x a o 2 .

5 2 d i v i d i d o p o r 7 , 7 . 7 v e z e s 7 , 4 9 ; p a r a 5 2 , 3 .

O u t r o e x e m p l o :

4 9 ' 4 ' 1 2 3 4 9 p o r 2 3 , 2 . 2 v e z e s 3 , 6 ; p a r a 9 , 3 ; 0 3 4 2 1 2 v e z e s 2 , 4 ; p a r a 4 , z e r o . A b a i x a o 4 .

1 1 . 3 4 p o r 2 3 , 1 . U m a v e z 3 , 3 ; p a r a 4 , 1 ; u m a v e z 2 , 2 ; p a r a 3 , 1 .

Está p r o n t o o a l g o r i t m o d a divisão c o m d o i s a l g a r i s m o s . F i c a f a l t a n d o a p e n a s u m a generalização. N o t a r q u e o a l g o r i t m o s u r g i u a s s i m m e s m o n a história d a Matemática. É o r e s u l t a d o d e simplificação.

5 . Frações. T r a b a l h a r c o m m a t e r i a l c o n c r e t o , c o l o r i r f i g u r a s e t c . a

F a l a r s o b r e a notação , n u m e r a d o r e d e n o m i n a d o r . Começar c o m

n u m e r a d o r i g u a l a l e d e p o i s , p o r adição, f o r m a r o u t r o s n u m e r a d o r e s : u m terço m a i s u m terço são d o i s terços e t c .

6 . Exercícios:

a ) D a d a a fração e m a l g a r i s m o s , escrevê-la p o r e x t e n s o .

b ) D a d a a fração p o r e x t e n s o , escrevê-la e m a l g a r i s m o s .

c ) D a d o o d e s e n h o , e s c r e v e r a fração.

d ) D a d a a fração, c o l o r i r o d e s e n h o .

1 1 9

7. Frações d e m e s m o d e n o m i n a d o r :

1 1 a ) O r d e m : > e t c . F a z e r d e s e n h o s .

3 4

b ) Adição: . F a z e r p r o b l e m a s e exercícios.

5 2 3 c ) Subtração: = . P r o p o r p r o b l e m a s e e x e r -

7 7 7 c i c i o s . F a z e r m u i t a s a t i v i d a d e s . C r i a r situações p a r a a d e s c o -

1 1 b e r t a : d e dúzia, d e 2 0 e t c .

1 1 d ) Multiplicação p o r número n a t u r a l : 3 X = +

5 5 1 1 3

H 1 = e t c .

6 e ) Divisão p o r número n a t u r a l . T e n h o d e u m b o l o p a r a

8 6

d i v i d i r p o r d o i s m e n i n o s . Q u a n t o d o u p a r a c a d a u m ? — r-3

-r- 2 = . S e i s o i t a v o s d i v i d i d o p o r d o i s d a três o i t a v o s 8

p a r a c a d a u m .

1 2 0

8. Frações e q u i v a l e n t e s . Começar c o m d e s e n h o s p a r a m o s t r a r q u e :

1 2 3 4

2 4 6 8

F o r m a r as famílias, as c l a s s e s :

1 2 3 4 5 6 7 8

2 9 9 4 6 9 9

8 1 0 ' 1 2 1 4 ' 1 6

2 3 4 5 6 7 8

3 9 9 6 9 5 9

1 2 1 5 1 8 ' 2 1 2 4

1 2 3 4 5 6 7 8

5 9 9 1 0 1 5

> >

2 0 2 5 ' 3 0 ' 3 5 ' 4 0 ' e t c .

F a z e r q u a d r o d a s c l a s s e s :

1/2 1/3 V 5

A o s p o u c o s , d e a c o r d o c o m as n e c e s s i d a d e s , i r e s t u d a n d o esses 1

q u a d r o s . N o q u a d r o d a c l a s s e d o , v e m o s n a p r i m e i r a l i n h a 2

d o i s retângulos; n a s e g u n d a , q u a t r o ; n a t e r c e i r a , s e i s ; i $ t o é, 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 , . . ., se o q u a d r o f o s s e m a i o r . E s s e s números são o s múlti-

1 2 3 p i o s d e 2 e m o s t r a m q u e = = = . . . , m e t a d e d e

4 c a d a l i n h a .

1 2 1

1 N o q u a d r o d o t e m o s : 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , . . . , q u e são o s

3 1 2 3

múltiplos d e 3 , m o s t r a n d o q u e = = = . . . , u m terço 3 6 9

d e c a d a l i n h a .

C o m o 6 é múltiplo c o m u m , então está n o s d o i s q u a d r o s , i s t o é, o s d o i s q u a d r o s p o s s u e m l i n h a s i g u a i s q u e são a t e r c e i r a d o q u a d r o d o

1 1 e a s e g u n d a d o q u a d r o d o ; p o r t a n t o , u s a n d o e s s a s d u a s

2 3 1 3 1 2

l i n h a s , t r o c a m o s p o r e p o r , q u e são frações d e 2 6 3 6

d e n o m i n a d o r e s c o m u n s . S e o s q u a d r o s f o s s e m m a i o r e s , encontraríamos o u t r a s l i n h a s i g u a i s , c o m o a d e d o z e p a r t e s .

9. S o m a e subtração d e frações. Começar c o m n u m e r a d o r 1 . E s c o l h e r , n a s c l a s s e s d o i t e m a n t e r i o r , d u a s frações e q u i v a l e n t e s às d a d a s e d e m e s m o d e n o m i n a d o r . E x e m p l o :

1 1 1 1 H ; o l h a n d o n a c l a s s e d o e n a c l a s s e d o ,

5 3 1 1 e n c o n t r a m o s e , q u e são e q u i v a l e n t e s a e , porém

1 5 1 5 3 5 c o m d e n o m i n a d o r e s i g u a i s ( f a z e r d e s e n h o s i l u s t r a t i v o s ; V e r última l i n h a

1 1 d o q u a d r o d o e a t e r c e i r a d o q u a d r o d o ) .

3 5

1 1 5 3 8 Daí: + = +

1 5 1 5 1 5

F a z e r m u i t o s exercícios. I n d u z i r o a l u n o a e n c o n t r a r frações e q u i ­v a l e n t e s s e m o l h a r a s c l a s s e s , m a s m u l t i p l i c a n d o o n u m e r a d o r e o d e n o m i n a d o r p e l o m e s m o número, p o r t e n t a t i v a s , até c o n s e g u i r i g u a l a r o s d e n o m i n a d o r e s .

1 2 2

1 1 E x e m p l o : 1

1 X 2 = 2 2 X 2 = 4 P r o n t o . Já e n c o n t r a m o s d u a s

frações c o m o m e s m o d e n o m i -2 3

3 X 2 = 6 n a d o r : e . Então: 6 6

1 X 2 = 2

1 1 1 X 3 = 3 2 X 3 = 6

1 X 3 = 3 3 X 3 = 9

F a z e r o m e s m o c o m n u m e r a d o r e s d i f e r e n t e s d e 1 .

2 1 0 10. Multiplicação. 5 X = . F a z e r vários exercícios.

9 3

1 1 . Divisão. - 3 = . P r o p o r também u m b o m número 1 1 1 1

d e exercícios. U s a r quebra-cabeça aritmético. 2 1

12 . O r d e m . D e t e r m i n a r q u a l é m a i o r : o u ? P r i m e i r o , 3 2

f a z e n d o d e s e n h o s e c o l o r i n d o . S e g u n d o , p r o c u r a n d o n a s c l a s s e s d u a s frações d e m e s m o d e n o m i n a d o r , porém e q u i v a l e n t e s às d u a s frações d a d a s . T e r c e i r o , m u l t i p l i c a n d o " e m c i m a e e m b a i x o " p e l o m e s m o número até i g u a l a r o s d e n o m i n a d o r e s . E x e m p l o :

2 1 4 3 4 3 e são i g u a i s a e ; c o m o > ,

3 2 6 6

2 1 então >

123

1 3 . Frações d e c i m a i s ( c o m d e n o m i n a d o r 1 0 , 1 0 0 , . . . ) . P r o c e d e r c o m o n a s o u t r a s frações, só q u e , n e s t e c a s o , é m a i s fácil, p o i s o s n u m e r a d o r e s são múltiplos u n s d o s o u t r o s .

14 . Números d e c i m a i s . S e a G e o m e t r i a c o n c r e t a está s e n d o a p l i ­c a d a , o s números d e c i m a i s já vêm s e n d o u t i l i z a d o s , n a prática, d e s d e a 2 . a série, i n c l u s i v e c o m o operações. Também e x i s t e a prática c o m c e n t a v o s . F a z e r adições e subtrações n o c a v a l u . Multiplicação e d i v i ­são só p o r números i n t e i r o s . P r o p o r p r o b l e m a s e exercícios.

1 5 . U n i d a d e s d e m e d i d a : t e m p o , c o m p r i m e n t o , área. A p r o f u n d a r o s c o n c e i t o s . L e r as h o r a s e o s m i n u t o s .

SUGESTÕES DE ATIVIDADES PARA A 4 . A SÉRIE

1 . Números n a t u r a i s . D a r o s i s t e m a d e numeração d e c i m a l .

2 . Operações c o m números n a t u r a i s , p r o p r i e d a d e s , expressões numéricas. P r o p o r exercícios v a r i a d o s .

3 . Múltiplos d e u m número. T r a b a l h a r a p a r t i r d e situações m o t i v a d o r a s : u m v e n d e d o r v i a j a v a p e l a r e d o n d e z a e d e m o r a v a q u a t r o d i a s p a r a v o l t a r p a r a c a s a . S e s a i u d e v i a g e m p e l a p r i m e i r a v e z n o d i a 4 , q u a i s o s d i a s q u e passará e m c a s a ? O u t r a s situações q u e p o d e m s e r e x p l o r a d a s :

• Remédio q u e d e v e s e r t o m a d o d e c i n c o e m c i n c o h o r a s , c o m e ­çando à z e r o h o r a .

• S a p o q u e v a i p u l a n d o 6 0 centímetros.

U s a r a notação M ( 3 ) p a r a múltiplos d e 3 , l o g o :

M ( 3 ) = { 0 , 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , 1 8 , 2 1 , . . . } .

1 2 4

F a z e r o j o g o d e c o n t a r d e três e m três. Q u e m e r r a r s a i d o j o g o . D e q u a t r o e m q u a t r o e a s s i m p o r d i a n t e . C o n s t r u i r u m crivo. A p a r t i r d o z e r o , p u l e d o i s números e r i s q u e u m , i s t o é, r i s c a r 0 , 3 , 6 , e t c . I d e m p a r a M ( 2 ) , M ( 5 ) e t c .

0 1 2 # 4 5 ^ 7 8 # 1 0 1 1 1 / 1 3 1 4 \g 1 6 1 7 \É 1 9 2 0 tf 2 2 2 3 ?4 2 5 2 6 ?t 2 8 2 9 30 3 1 3 2 3 4 3 5 3é 3 7 3 8 ^ 4 0 4 1 4^ 4 3 4 4 4 6 4 7 4 9

M o s t r a r q u e , p o r e x e m p l o , M ( 6 ) e M ( 3 ) . C a l c u l a r M ( 3 ) D M ( 4 ) e t c .

4 . D i v i s o r e s d e u m número. D i v i d i r o 1 2 p e l o s números 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 e 1 2 ( u m d e c a d a v e z ) . Q u a i s d e r a m r e s t o z e r o ? D ( 1 2 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 1 2 } . Exercícios: D ( 1 8 ) , D ( 7 ) , D ( 1 4 ) e t c .

M o s t r a r q u e o s d i v i s o r e s de s se s números a p a r e c e m e m q u a n t i d a d e s p a r e s :

D ( 1 8 ) = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 1 8 } ; D ( 7 ) = { 1 , 7 } ; D ( 1 4 ) - { 1 , 2 , 7 , 1 4 } .

Q u a n d o o s d i v i s o r e s d e u m número a p a r e c e m e m q u a n t i d a d e s ímpares, esse número é q u a d r a d o p e r f e i t o . E x e m p l o :

D ( 1 6 ) = { 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 } .

5 . Número p r i m o . E n c o n t r a r D ( 7 ) , D ( 5 ) , D ( 2 ) . S e t e , c i n c o e d o i s são números primos, o u s e j a , são divisíveis a p e n a s p e l a u n i d a d e e p o r e l e s m e s m o s . P a r a d e t e r m i n a r o s números p r i m o s , u s a r o crivo de Era­tóstenes *. P a r a i s s o , p o d e - s e u t i l i z a r o q u a d r o d e p i n o s : começar c o l o ­c a n d o o s p i n o s n o s múltiplos d e 2 ; d e p o i s , n o s d e 3 ; e m s e g u i d a , n o s d e 5 , n o s d e 7 e a s s i m p o r d i a n t e . São p r i m o s o s números q u e s o b r a r e m s e m p i n o s , e x c e t o o 1 , p o i s , p o r convenção, o 1 não é p r i m o n e m c o m p o s t o .

* Eratóstenes (276-196 a.C.) — Astrónomo grego, foi um dos primeiros a medir o tamanho da Terra. Foi diretor da biblioteca do Museu de Alexandria. O crivo que leva seu nome serve para determinar os números primos.

1 2 5

6 . Frações. R e t o m a r o s i t e n s d e 5 a 1 4 d a 3 . a série. A p r o f u n d a r o e s t u d o d a s frações: frações próprias e impróprias, número m i s t o , frações e q u i v a l e n t e s , simplificação d e frações, redução a o m e s m o d e n o ­m i n a d o r . N e s t a a l t u r a , o e s t u d o já começa a f i c a r u m p o u c o f o r m a l . A i n d a não se f a z e m demonstrações, m a s o a l u n o já a c e i t a e x e m p l o s numéricos, gráficos e o u t r o s .

7. Operações c o m frações:

a ) Adição e subtração — C o n t i n u a r c o m t e n t a t i v a s p a r a e n c o n ­t r a r u m d e n o m i n a d o r c o m u m . O p r o d u t o d o s d e n o m i n a d o r e s s e m p r e s e r v e . D e s c o b r i r q u e o m e n o r múltiplo c o m u m dá u m r e s u l t a d o m a i s s i m p l e s . Começar a f a l a r e m m e n o r múltiplo c o m u m o u , c o m o é m a i s c o n h e c i d o , mínimo múltiplo comum d o s d e n o m i n a d o r e s ( m m c ) .

b ) Multiplicação X 6

m u l t i p l i c a r o s n u m e -3 4 1 2

r a d o r e s e o s d e n o m i n a d o r e s . O s a l u n o s a c h a m i s s o m u i t o n a t u ­r a l . D e p o i s d e a l g u n s exercícios, f o r m a r u m a j u s t i f i c a t i v a .

2/3

3/4

O e s q u e m a a c i m a é m u i t o útil. A b a s e f o i d i v i d i d a e m q u a t r o p a r t e s , e o l a d o e m três; l o g o , são 3 X 4 = 1 2 q u a d r a d i n h o s .

S e a b a s e f o i d i v i d i d a e m q u a t r o p a r t e s , c a d a p a r t e é 4

3 2 e f o r a m t o m a d o s . N o l a d o , f o r a m t o m a d o s , p o r -

4 3 t a n t o , 2 X 3 = 6 q u a d r a d i n h o s , q u e é a m e t a d e d e 1 2 , i s t o é,

2 3 6 . 1 X = = , r e p r e s e n t a d o p e l a p a r t e r e t i -

3 1 2 3 1

c u l a d a . L e m b r e - s e q u e s i g n i f i c a : 3 pedaços d e

1 2 6

c ) Divisão por número natural — P o d e s e r f e i t a p o r d o i s métodos d i f e r e n t e s :

• Método franco — D i v i d i r o n u m e r a d o r p e l o d i v i s o r : 6 6 ^ 3 2

7 7 7 S e i s pedaços p a r a d i v i d i r p o r três m e n i n o s são d o i s pedaços p a r a c a d a m e n i n o . S e i s sétimos p a r a d i v i d i r p o r três m e n i n o s são d o i s sétimos p a r a c a d a m e n i n o .

• Método da inflação — M u l t i p l i c a r o d e n o m i n a d o r p e l o d i ­v i s o r ( a o invés d e d i v i d i r e m c i m a , m u l t i p l i c a r e m b a i x o ) :

6 6 6 2 - i - 3 = 5 5 ( q u e é i g u a l a )

7 7 X 3 2 1 7 N a h o r a d e d i v i d i r , c a d a u m g a n h a s e i s pedaços, só q u e m e n o r e s d o q u e o s pedaços d o c a s o a n t e r i o r . E r a m s e i s sétimos e g a n h a r a m s e i s v i n t e e u m a v o s ( c a d a u m c o n t i n u a g a n h a n d o a m e s m a q u a n t i d a d e , só q u e v a l e n d o m e n o s ) . O método f r a n c o d i m i n u i a q u a n t i d a d e m a s mantém a q u a l i ­d a d e . O método d a inflação mantém a q u a n t i d a d e m a s d i m i n u i a q u a l i d a d e . O método d a inflação é s e m p r e possível d e a p l i c a r . V e j a :

5 5 - r - 2 5 5

9 1 8 M o s t r a r q u e , d i v i d i n d o - s e q u i n z e b a l a s p o r u m a criança, dará q u i n z e p a r a e l a : a - f - 1 = a . M o s t r a r q u e , d i v i d i n d o - s e z e r o b a l a s p o r s e t e crianças, dará z e r o p a r a c a d a u m a : 0 - f - a = 0 .

d ) Divisão por frações — I n v e r t e r e m u l t i p l i c a r : 3 2 3 3 9

4 3 4 2 8 E l e s a c e i t a m b e m . Aliás, n a divisão p o r número n a t u r a l , já i n v e r t i a m n o método d a inflação:

5 5 1 5 - r - 2 = X =

9 9 2 1 8 D a r p r o b l e m a s e exercícios v a r i a d o s .

1 2 7

J u s t i f i c a r a r e g r a d e divisão d e frações p o d e s e r m u i t o i m p o r t a n t e , p o i s e n v o l v e d o i s c o n c e i t o s e x t r e m a m e n t e c o n s t r u t i v o s . O p r i m e i r o d e l e s é o fenómeno i n t u i t i v o d e q u e d i v i d i r p o r m u i t o s dá p o u c o p a r a c a d a u m . S e v o u d i v i d i r u m b o l o , q u a n t o m e n o s g e n t e , m a i o r o pedaço; q u a n t o m a i s g e n t e , m e n o r o pedaço. S e v o u d i v i d i r b a l a s , q u a n t o m e n o s g e n t e , m a i o r a q u a n t i d a d e d e b a l a s ; q u a n t o m a i s g e n t e , m e n o r a q u a n ­t i d a d e . E x e m p l o : d o z e b a l a s .

12 - T - 12 6 4 3 2 1 n ú m e r o de pessoas

1 2 3 4 6 12 quan t i dade de ba las

E x p l o r a r esse f a t o e , e m s e g u i d a , d a r exercícios c o m o o s e g u i n t e , p a r a m o s t r a r q u e q u a n t o m e n o r o m o n t e , m a i o r a q u a n t i d a d e d e m o n t e s :

( p o o o) o o o o o o o o

D i v i d i r doze bo los e m m o n t e s de qua t ro bo los . Quan tos m o n t e s ?

12 - r - 4 = 3 m o n t e s

' O I Q - O O o o o o o o o o

D i v i d i r doze bo los e m m o n t e s de d o i s bo los . Quan tos m o n t e s ?

1 2 ^ - 2 = 6 m o n t e s

\ à o o o o o o o o o o o

D i v i d i r doze bo los e m m o n t e s de u m bo lo . Quan tos m o n t e s ?

12 - T - 1 = 12 m o n t e s

c ro o o o o o o o o o o

D i v i d i r doze bo los e m m o n t e s de m e i o bo lo . Quan tos m o n t e s ?

1 12 = 24 m o n t e s

2

Esc reve r o q u a d r o :

12 - r - 4 2 1 7 2 1 / 4 t a m a n h o do m o n t e

3 6 12 24 quan t i dade de m o n t e s

P o d e - s e c o n c l u i r q u e , se o m o n t e é a m e t a d e d o a n t e r i o r , a q u a n -1

t i d a d e d e m o n t e s é o d o b r o . E s c r e v e r : 1 2 -h = 1 2 X 2 = 2 4 . 2

C o m p a r a r c o m o q u a d r o .

1 2 8

O u t r o fenómeno i m p o r t a n t e d a divisão é o d e q u e , n a h o r a d e d i v i d i r as b a l a s , se c h e g a r m a i s g e n t e , d e v e - s e a u m e n t a r a q u a n t i d a d e d e b a l a s p a r a q u e c a d a u n r c o n t i n u e r e c e b e n d o o m e s m o . D o b r a n d o o número d e p e s s o a s , d e v e - s e d o b r a r o número d e b a l a s : 1 2 - r - 4 = 3

1 2 2 4 e 2 4 - 7 - 8 = 3 , i s t o é, = = 3 .

4 8 M u l t i p l i c a n d o o d i v i d e n d o e o d i v i s o r p e l o m e s m o número, o

q u o c i e n t e f i c a o m e s m o , p o i s c h e g o u m a i s g e n t e , m a s também m a i s b a l a s .

V a m o s u s a r e s t e f a t o : a -f- b = 2 a - r - 2 b = 3 a -f- 3 b :

1 2 -r- == ( 1 2 X 2 ) + ( X 2 ) = 2 4 -r- 1 = 2 4 2 2 1 1

1 2 ~r~ = ( 1 2 X 3 ) - r ( X 3 ) = ( 1 2 X 3 ) -s- 1 = 1 2 X 3 , 3 3

1 1 i s t o é, 1 2 - r - — :— = 1 2 X 3 ( d i v i d i r p o r é m u l t i p l i c a r p o r 3 ) .

3 3

8. P o r c e n t a g e m : iniciação preparatória p a r a as séries s e g u i n t e s .

8 2 7 D a r a p e n a s i s t o : 8 % = , 2 7 % = .

1 0 0 1 0 0 E x p l i c a r q u e p o r c e n t a g e m é fração d e d e n o m i n a d o r 1 0 0 . T r a b a ­

l h a r n o r m a l m e n t e . Daí, d a r a l g u m s i g n i f i c a d o s o c i a l : p o r c e n t a g e m d e aprovação, I m p o s t o d e R e n d a , F u n d o d e G a r a n t i a e t c .

9. Números d e c i m a i s . T r a n s f o r m a r frações d e c i m a i s e m números d e c i m a i s e v i c e - v e r s a :

5 7 2 0 0 + 5 0 + 7 2 5 7 2 , 5 7 = 2 + + = • — =

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

B a s t a e s c r e v e r o número, s e m vírgula, n o n u m e r a d o r e o 1 s e g u i d o d e t a n t o s z e r o s q u a n t o s f o r e m o s a l g a r i s m o s d e p o i s d a vírgula, n o d e n o m i n a d o r . C a d a d e z e n a v a l e d e z u n i d a d e s , c a d a u n i d a d e v a l e d e z décimos, c a d a décimo v a l e d e z centésimos e t c . V e r capítulo 3 , c a v a l u , i t e m 2 7 .

1 2 9

T r a n s f o r m a r frações e m números d e c i m a i s :

3 6 = 0 , 6 o u 3 0 5

5 1 0 0 0 , 6

D a r a s q u a t r o operações n a f o r m a d e números d e c i m a i s . P a r a j u s t i f i c a r c a d a r e g r a , t r a n s f o r m a r e m frações d e c i m a i s , e f e t u a r e v o l t a r :

6 3 9 0 , 6 + 0 , 3 = 0 , 9 , p o i s 0 , 6 + 0 , 3 = + = = 0 , 9 .

1 0 1 0 1 0

T u d o i s s o v e m s e n d o f e i t o d e s d e a 2 . a série, se a G e o m e t r i a c o n ­c r e t a e s t i v e r s e n d o a p l i c a d a . D e q u a l q u e r f o r m a , o a l u n o já d e v e t r a z e r a l g u m a experiência c o m números d e c i m a i s ( p e l o m e n o s m e d i d a s d e c o m p r i m e n t o e o s c e n t a v o s ) .

10. Cálculo d o d e s c o n h e c i d o : • + 3 = 5 . E s s e t i p o d e exercício d e v e s e r f e i t o d e s d e a 2 . a série, m a s c o n c r e t a m e n t e , já q u e a s r e g r a s algébricas são d o estágio d a s operações abstraías. A Álgebra é u m a e s t r u t u r a abstraía. Porém, se p u d e r m o s c o n c r e t i z a r , a ação levará à operação c o n c r e t a , i s t o é, o p e n s a m e n t o o p e r a n d o c o m o b j e t o s c o n ­c r e t o s . O p o r t u n a m e n t e , o a l u n o fará a abstração. C o m o v i m o s n o capítulo 3 , e s s a ação c o n c r e t a p o d e s e r f e i t a c o m u m a balança, a p a r t i r d a 4 . a o u 5 . a séries.

11. U n i d a d e s d e m e d i d a s . A p e s a r d e o a l u n o a i n d a não p o s s u i r a noção d e conservação d o v o l u m e , já se p o d e m f a z e r a s experiências d e s s e t i p o . A s i d e i a s começam a se f i x a r . F a z e r p r o b l e m a s e n v o l v e n d o t e m p o , m o e d a , perímetro, área, p e s o e t c . C o n t i n u a r a a t i v i d a d e 1 5 d a 3 . a série.

1 3 0

Geometria concreta

INTRODUÇÃO

E s t a G e o m e t r i a v e m s e n d o t e s t a d a há m u i t o s a n o s , e m m u i t a s e s c o l a s . T r a t a - s e a p e n a s d e a t i v i d a d e s q u e e n v o l v e m o m a n e j o d e régua, e s q u a d r o , c o m p a s s o e t r a n s f e r i d o r .

O p r i m e i r o c u i d a d o d o p r o f e s s o r d e v e s e r o d e não se p r e o c u p a r e m p a s s a r informações a o s a l u n o s . P e l o contrário: e l e é q u e v a i d e s c o ­b r i - l a s , d a m a n e i r a m a i s lúdica e m a i s g o s t o s a possível, a s e u m o d o , e m s e u r i t m o .

A h o r a d a G e o m e t r i a v a i f u n c i o n a r c o m o u m a q u e b r a n o r i t m o n o r m a l d a a u l a . V a i s e r a h o r a d e d e s e n h a r , d e u s a r lápis c o l o r i d o s , d e d e i x a r a cabeça t r a b a l h a r c o m g o s t o . Não p a r a d e v o l v e r n a p r o v a . A avaliação c o n s i s t e a p e n a s e m v e r i f i c a r se a a t i v i d a d e f o i f e i t a o u não. E não é o c a s o d e o b r i g a r o a l u n o a f a z e r , m a s s i m d e incentivá-lo a i s s o , reforçando, e l o g i a n d o s e u d e s e m p e n h o . É i m p o r t a n t e , a i n d a , e s t i m u l a r a comunicação e n t r e o s a l u n o s .

A frequência d a s a u l a s d e G e o m e t r i a v a i s e r opção d o p r o f e s s o r : u m p o u q u i n h o p o r d i a , t o d o s o s d i a s , o u u m t e m p o m a i o r , m a s só u m a v e z p o r s e m a n a . É p o u c a c o i s a p a r a se f a z e r e m c a d a a n o .

S e m p r e q u e possível, o a l u n o d e v e f a z e r a a t i v i d a d e p r i m e i r o e , d e p o i s , o p r o f e s s o r f a z n a l o u s a , p a r a q u e o a l u n o p o s s a se a v a l i a r .

P a r a f a z e r u m d e s e n h o c o m o e s t e , as instruções n e s t e l i v r o são: p r i m e i r o f a z e r três p o n t o s . . , d e p o i s ligá-los ( f e c h a r a c e r q u i n h a ) , e m s e g u i d a f a z e r m a i s três p o n t o s •A- e , p o r f i m , ligá-los . E s s a s instruções vêm a c o m p a n h a d a s d e q u a d r i n h o s c o m o

1 3 1

o s s e g u i n t e s A A A , m o s t r a n d o a sequência d e

a t i v i d a d e s . N a l o u s a , e n t r e t a n t o , e s t e s d e s e n h o s serão s u p e r p o s t o s , f i c a n d o s o m e n t e o último.

M u i t a s f i g u r a s , c o m o as a c i m a , também são e s t u d a d a s e m E d u c a ­ção Artística, porém c o m o b j e t i v o s d i f e r e n t e s . E n q u a n t o a G e o m e t r i a está i n t e r e s s a d a e m propriedades geométricas (relações métricas, t a n g e n ­c i a , posições r e l a t i v a s ) , as A r t e s estão i n t e r e s s a d a s e m estética ( e q u i ­líbrio, m o v i m e n t o , r i t m o , h a r m o n i a ) . T e r e m o s , então, diferenças e n t r e o lógico e o artístico, e t o d o a l u n o d e v e d e s e n v o l v e r - s e e m a m b a s a s direções, m a n t e n d o a integração.

É i m p o r t a n t e q u e o s a l u n o s v e j a m s u a g e o m e t r i a a p l i c a d a às n e c e s s i d a d e s s o c i a i s . A s s i m , d e p o i s d e e s t u d a r r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s , p o d e - s e v i s i t a r u m a construção e o b s e r v a r u m p e d r e i r o u s a n d o o f i o d e p r u m o p a r a v e r i f i c a r se a p a r e d e está r e a l m e n t e v e r t i c a l . O p e d r e i r o u s a l i n h a s , e s q u a d r o , nível, f i o d e p r u m o e p o d e r i a e x p l i c a r m u i t a c o i s a a o s a l u n o s . N a s m a r c e n a r i a s e s e r r a l h e r i a s também se u t i l i z a G e o m e t r i a e u m a v i s i t a s e r i a útil, a p e s a r d o p e r i g o d a s máquinas. O b s e r v a r u m a l f a i a t e o u u m a c o s t u r e i r a u s a n d o s u a s réguas e m e d i d a s , o u u m v e n ­d e d o r d e p a n o s u t i l i z a n d o o m e t r o é o u t r a p o s s i b i l i d a d e i n t e r e s s a n t e .

A G e o m e t r i a c o n c r e t a d a s q u a t r o p r i m e i r a s séries, época e m q u e o a l u n o está e n t r a n d o n o estágio d a s operações c o n c r e t a s , c o r r e s p o n d e à " G e o m e t r i a " d o período Neolítico até o E g i t o a n t i g o . São r e c e i t a s d e s c o b e r t a s p o r t e n t a t i v a s e e r r o s , n u m p r o c e s s o embriológico. A p a r t i r d a 5 . a série, começará o t r a b a l h o metodológico d e c l a s s i f i c a r e o r d e n a r c o n h e c i m e n t o s , c h e g a n d o às demonstrações ( 7 . a e 8 . a séries), c o m o f e z E u c l i d e s n a Grécia a n t i g a , c o m b a s e n o s c o n h e c i m e n t o s egípcios e d e o u t r o s p o v o s . É a construção d o g r a n d e edifício lógico a p a r t i r d e p o s t u l a d o s , r e s u l t a d o d e u m a prática f e i t a n a época c e r t a . Começa, então, a G e o m e t r i a r a c i o n a l .

P o r t a n t o , d a l . a à 4 . a série não se e n s i n a conteúdo geométrico, a p e n a s a t i v i d a d e s . É p r o i b i d o e x p l i c a r ! O conteúdo será d e s c o b e r t o

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a p a r t i r d a s a t i v i d a d e s , m a s não é e s t e o o b j e t i v o p r i n c i p a l . O o b j e t i v o é a ação! A p a r t i r d a ação serão a t i n g i d o s o b j e t i v o s c o g n i t i v o s , a f e t i v o s e p s i c o m o t o r e s .

ATIVIDADES PARA A 1 . a SÉRIE

N a l . a série o a l u n o manipulará régua e esquadro p a r a d e s e n v o l v e r h a b i l i d a d e s e f o r m a r c o n c e i t o s .

Material necessário

a ) A l u n o :

• lápis g r a f i t e o u d e c o r ;

• c a d e r n o d e d e s e n h o ( 5 0 páginas);

• régua ( u m p e q u e n o s a r r a f o s e m graduação, só p a r a r i s c a r ) ;

• e s q u a d r o .

b ) P r o f e s s o r :

• régua d e m a d e i r a ( 1 m e t r o ) ;

• e s q u a d r o d e m a d e i r a ( d e preferência a r t e s a n a l , s e m g r a d u a ­ção, só p a r a r i s c a r ) .

1 3 3

Propostas de atividades

1 . Ê a e t a p a d o j o g o l i v r e . O a l u n o f a z r i s c o s l i v r e m e n t e , u s a n d o lápis e régua. P o d e também f a z e r r i s c o s c o m a mão l i v r e , m a s a a t i v i ­d a d e é c o m régua. R i s c a r o q u e q u i s e r , e n c h e n d o u m a o u d u a s páginas.

2.

O p r o f e s s o r f a z d o i s p o n t o s n a l o u s a . O s a l u n o s d e v e m f a z e r o m e s ­m o e m s e u s c a d e r n o s e , e m s e g u i d a , ligá-los c o m u m traço r e t o , u t i l i ­z a n d o a régua ( a a b e l h i n h a v a i v o a r d e u m a f l o r até a o u t r a e t c ) . P o r f i m , o p r o f e s s o r também f a z o traço n a l o u s a , u s a n d o s u a régua. N o começo, o s a l u n o s não c o n s e g u e m f a z e r a a t i v i d a d e : a régua e s c o r ­r e g a , o lápis não a c o m p a n h a a régua — p e g a n o d e d o o u f u r a o p a ­p e l — , a f o l h a d e b a i x o f i c a m a r c a d a . T u d o b e m ! Não é p r e c i s o c o r r i g i r . É só r e p e t i r a l g u m a s v e z e s . A f i r m e z a ( e a conceituação) virá c o m o t r e i n o , m a i s o u m e n o s n a época e m q u e e s t i v e r e m t r a b a l h a n d o c o m triângulos. T o d a a t i v i d a d e d e l i g a r p o n t o s p o d e s e r r e f e i t a n o q u a d r o d e p i n o s , l i g a n d o - s e c o n c r e t a m e n t e p i n o s c o m u m b a r b a n t e .

V e r i f i c a r , c o m a régua, se a m e s a e o u t r a s superfícies são p l a n a s .

O p r o f e s s o r f a z três p o n t o s . O s a l u n o s f a z e m o m e s m o e , u s a n d o a régua, l i g a m o s p o n t o s , f o r m a n d o o triângulo ( f e c h a r a c e r q u i n h a ) . P o r último, o p r o f e s s o r também u n e o s p o n t o s . Não d a r n o m e s . R e p e t i r a a t i v i d a d e várias v e z e s , c o m o s p o n t o s e m d i v e r s a s posições. C o l o r i r . T r a b a l h a r a l g u m a s v e z e s à mão l i v r e , s e m p r e p a r t i n d o d o s p o n t o s . F a z e r d e s e n h o s l i v r e s e composições c o m triângulos.

1 3 4

O p r o f e s s o r f a z três p o n t o s . O s a l u n o s f a z e m o m e s m o e , c o m o auxílio d a régua, u n e m o s p o n t o s . O p r o f e s s o r também l i g a esses p o n t o s e f a z m a i s três. O s a l u n o s f a z e m o s três p o n t o s e o s l i g a m . O p r o f e s s o r também. C o l o r i r . R e p e t i r à mão l i v r e . O s a l u n o s se a j u d a m .

O p r o f e s s o r f a z q u a t r o p o n t o s . O s a l u n o s f a z e m o m e s m o e u n e m o s p o n t o s , c o n s t r u i n d o a c e r c a . R e p e t i r c o m v a r i a d a s f o r m a s d e q u a d r i ­láteros. Não d a r n o m e s . C o l o r i r . P r o p o r o j o g o d e d e s c o b r i r quadrilá­t e r o s n a s a l a ( c o i s a s d e q u a t r o l a d o s : j a n e l a , q u a d r o , l a d r i l h o , c a ­d e r n o . . . ) .

6 . D e s e n h o d e u m p a p a g a i o . O p r o f e s s o r f a z q u a t r o p o n t o s , o s a l u n o s o i m i t a m e l i g a m o s p o n t o s . O p r o f e s s o r d i z q u e estão f a l t a n d o a s v a r e t a s . O s a l u n o s f a z e m as d i a g o n a i s . O p r o f e s s o r r e p e t e n a l o u s a . F a z e r à mão l i v r e . C o l o r i r . S e o s a l u n o s q u i s e r e m , d e s e n h a r o r a b o d o p a p a g a i o .

S e o p r o f e s s o r p e r g u n t a r q u a n t o s triângulos há n e s t e p a p a g a i o , o a l u n o responderá q u a t r o . M a s n a r e a l i d a d e são o i t o . U m d e l e s é a m e t a d e d e c i m a . E v i d e n t e m e n t e , e s s a p e r g u n t a só p o d e s e r f e i t a s e e l e s já c o n t a m até o i t o .

135

7.

O p r o f e s s o r f a z três p o n t o s . O s a l u n o s r e p e t e m , s e m u n i - l o s . O p r o f e s s o r f a z , então, m a i s d o i s p o n t o s . O s a l u n o s r e p e t e m e f e c h a m a c e r c a . O p r o f e s s o r também. C o l o r i r . R e p e t i r . Há m u i t a s variações:

\ / \ / , 5y£, ( p u l a n d o u m p o n t o ) . P r o p o r o j o g o d e f a z e r e s t r e l a à mão l i v r e , d e u m a v e z , s e m p o n t o s :

8. A t i v i d a d e s p a r a s e r e m f e i t a s s e m p r e c o m a régua:

9.

• • • • 1 1 • n •

• • • • 1 1

• •o*

U n i r c i n c o p o n t o s d e t o d a s a s m a n e i r a s possíveis. C o l o r i r a e s t r e l a . R e p e t i r . F a z e r à mão l i v r e . São d e z r i s c o s .

10.

F a z e r três p o n t o s , d e p o i s m a i s três e e m s e g u i d a u n i - l o s . V a i f o r m a r - s e u m a f i g u r a d e s e i s l a d o s . C h a m a r a atenção d o a l u n o p a r a a semelhança c o m a c a s i n h a d a a b e l h a ( m o s t r a r g r a v u r a d e c o l m e i a ) . M o s t r a r l a d r i l h o s e c o i s a s h e x a g o n a i s ( s e x t a v a d a s ) . P e d i r q u e t r a g a m d e c a s a o b j e t o s s e x t a v a d o s ( p a r a f u s o , lápis e t c ) .

136

11. O hexágono e s u a s d i a g o n a i s (não c i t a r n o m e s ) . Traçar t o d a s as n o v e :

D e i x a r a p e n a s c o m s e i s :

12. T e n t a r o t r a c e j a d o , s e m forçar:

O p r o f e s s o r decidirá se d e v e o u não f a z e r e s s a a t i v i d a d e , p o i s t a l ­v e z o s a l u n o s e s t e j a m a p r e n d e n d o a e s c r e v e r c o m l e t r a c u r s i v a .

M u r o :

1 3 7

15. F a z e r u m a r e t a a o l a d o d a o u t r a . E s s e c o m a n d o é e n t e n d i d o c o m o paralelas. F a z e r e m várias posições. Não é p a r a f i c a r p e r f e i t o .

16. R i s c a r u m a r e t a , f a z e r u m p o n t o f o r a d e l a e traçar u m a r e t a a o l a d o , p a s s a n d o p e l o p o n t o .

R e p e t i r várias v e z e s , p a r a q u e o a l u n o p o s s a i n t u i r o p o s t u l a d o d e E u c l i d e s : "Só p a s s a u m a p a r a l e l a p e l o p o n t o " .

17. Traçar d u a s r e t a s , u m a d e i t a d a e o u t r a e m pé, c r u z a n d o - s e . R e p e t i r e s se traçado e m várias posições. Não é p a r a f i c a r p e r f e i t o . (Noção d e p e r p e n d i c u l a r i s m o , s e m e s q u a d r o . )

U m a r e t a e u m p o n t o f o r a d e l a . U m p i n g o d e c h u v a —-— c a i n d o . P a s s a r p e l o p o n t o u m a r e t a p e r p e n d i c u l a r . R e p e t i r a construção,

-, só q u e c o m o p o n t o n a r e t a . C o l o c a r u m p o s t e n o p o n t o .

18. J o g o - d a - v e l h a . É u m j o g o p a r a d u a s p e s s o a s . Começa c o m o d e s e ­n h o à mão l i v r e . U m m e n i n o c o l o c a u m X , o u t r o c o l o c a u m O e a s s i m p o r d i a n t e , até q u e alguém faça u m a f i l a d e três, e m q u a l q u e r posição. É u m j o g o d e e s p e r t e z a .

0 0 N

X IX 0 o K

1 3 8

19. T a b u l e i r o s q u a d r i c u l a d o s :

H Ws

w7 H '/y/A

'/Z/s

C o n t a r intersecções ( p o n t o s d e c r u z a m e n t o d e l i n h a s ) . C o n t a r q u a d r a d i n h o s ( c r u z a m e n t o d e f a i x a s ) . E s s a a t i v i d a d e é i m p o r t a n t e p a r a a multiplicação e p a r a a conceituação d e área.

F a z e r trançados c o m t i r a s d e p a p e l o u o u t r o m a t e r i a l .

U s a n d o p a p e l q u a d r i c u l a d o , traçar gregas c o m o as d a f i g u r a . E s s a i t i v i d a d e p o d e s e r f e i t a i n t e g r a d a m e n t e c o m a a u l a d e A r t e s .

20. À mão l i v r e , n o p a p e l q u a d r i c u l a d o , f o r m a r t a b u l e i r o s ( f o r m a s d e g e l o , g r a d e s e t c ) .

• 6 casas:

• 4 casas:

• 12 casas:

• 5 casas:

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D e s c o b r i r q u e t o d o número t e m p e l o m e n o s u m t a b u l e i r o e m t i r a . C o m o 5 , porém, só se p o d e f o r m a r u m a t i r a . D e s c o b r i r o u t r o s números q u e só p o s s u e m t a b u l e i r o s e m t i r a s únicas ( 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 2 3 . . . ) , q u e são o s números primos. D e s c o b r i r números q u e p o d e m d a r t a b u l e i r o s q u a d r a d o s ( 1 , 4 , 9 , 1 6 , 2 5 . . . ) , números quadrados. D e s c o b r i r números q u e p o d e m d a r t a b u l e i r o s e m t i r a s d u p l a s ( 2 , 4 , 6 . . . ) , números pares. E s s e j o g o p o d e s e r f e i t o também n o q u a d r o d e p i n o s o u c o m t a m p i n h a s . É u m j o g o m u i t o i n t e r e s s a n t e e i m p o r t a n t e n a conceituação d e multiplicação e n a d e s c o b e r t a d e várias relações n a e s t r u t u r a d o s números. E s s e t i p o d e a t i v i d a d e f a c i l i t a m u i t o t r a b a l h o s p o s t e r i o r e s , c o m o m m c e t c . O a l u n o p r e c i s a t e r alcançado a noção d e conservação d o número, p o i s v a i h a v e r alterações n a posição d o s q u a ­d r a d i n h o s .

21. Divisão. 6 3 , p o i s 3 + 3 = 6 . L o g o :

1 2 - h 3 = 4 , p o i s 4 + 4 + 4 = 1 2 . L o g o : F a z e r p e r ­

g u n t a s c o m o :

— Q u a n t o s q u a d r a d i n h o s há e m c a d a t i r a ?

— Q u a n t a s são as t i r a s ?

— Q u a l o t o t a l d e q u a d r a d i n h o s ?

— A g o r a , c o n t e u m a u m p a r a c o n f e r i r .

I n s i s t i r n e s s e t i p o d e p r o b l e m a , p o i s é útil n a multiplicação e n a conceituação d e áreas.

22. U s o l i v r e d o e s q u a d r o . D e s e n h a r o q u e q u i s e r .

23. V e r i f i c a r o e s q u a d r e j a m e n t o d a c a r t e i r a , d o c a d e r n o , d a p a r e d e , d o p a p e l q u a d r i c u l a d o e t c .

CADERNO

140

24. E n s i n a r d e s e n h o s , u t i l i z a n d o o e s q u a d r o :

• p e r p e n d i c u l a r : ( c r u z a n d o o u não)

e s c a d a :

p e n t e :

retângulos e q u a d r a d o s :

25. P e r p e n d i c u l a r p o r u m p o n t o :

26. P a r a l e l a p o r u m p o n t o :

R e p e t i r a a t i v i d a d e . D e p o i s , m a r c a r u m p o n t o n a r e t a d e " b a i x o " e traçar, p o r esse p o n t o , u m a r e t a p a r a l e l a à d e " c i m a " .

É c l a r o q u e coincidirão: propriedade reflexiva. M o s t r a r também q u e d u a s r e t a s , p a r a l e l a s a u m a t e r c e i r a , são p a r a l e l a s e n t r e s i : proprie­dade transitiva.

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27. S i m e t r i a s :

a ) P i n g a r t i n t a e m u m p a p e l e dobrá-lo p a r a o b t e r u m a f i g u r a simétrica. A a t i v i d a d e também p o d e s e r f e i t a s e m t i n t a . B a s t a d o b r a r o p a p e l e r e c o r t a r i r r e g u l a r m e n t e . F a z e r b o r b o l e t a s d e s s e m o d o .

b ) D o b r a r u m p a p e l várias v e z e s e r e c o r t a r u m a f i g u r a ; d e p o i s d e d e s d o b r a d o , formará u m a f i l a .

c ) C i t a r c o i s a s simétricas c o m o o r e l h a s , o l h o s , c h i f r e s e t c .

ATIVIDADES PARA A 2. a SÉRIE

N a 2 . a série, o a l u n o manipulará a régua graduada. V a i t r e i n a r t o m a r m e d i d a s d e c o m p r i m e n t o , d e s c o b r i n d o a p a r t i r daí u m a série d e relações geométricas e aritméticas, q u e poderão s e r d e m o n s t r a d a s m a i s t a r d e . É d a prática c o n c r e t a q u e surgirá a n e c e s s i d a d e d a s frações d e c i m a i s . C o m s e t e a n o s o a l u n o já a t i n g e a noção d e conservação operatória d o s c o m p r i m e n t o s .

Material necessário

a ) A l u n o :

• lápis g r a f i t e o u d e c o r ;

• c a d e r n o d e d e s e n h o ( 5 0 páginas);

• régua g r a d u a d a ;

• e s q u a d r o .

b ) P r o f e s s o r :

• régua d e m a d e i r a g r a d u a d a ( 1 m e t r o ) ;

• e s q u a d r o d e m a d e i r a .

1 4 2

Propostas de atividades

1 . M e d i r c o m p r i m e n t o s d e o b j e t o s , c o m o : c a d e r n o s , l i v r o s , c a r ­t e i r a s , lápis, e s t o j o s . M e d i r c o m p a l m o s , d e d o s , p a l i t o s , centímetros. F a z e r p e r g u n t a s c o m o :

— Q u a n t o s centímetros t e m u m p a l m o ?

— Q u a n t o s p a l m o s m e d i u a c a r t e i r a ?

— Q u a l o m a i o r p a l m o , o m e u o u o d e vocês?

— C o m m e u p a l m o a c a r t e i r a v a i m e d i r m a i s o u m e n o s d o q u e c o m o d e vocês?

F a z e r r i s c o s d e 8 c m , 1 1 c m e t c .

2. D e s e n h a r , c o m e s q u a d r o e régua, u m retângulo q u a l q u e r . Será p r e c i s o m e d i r o s d o i s l a d o s p a r a q u e f i q u e m i g u a i s .

3 . D e s e n h a r u m q u a d r a d o . M e d i r as d i a g o n a i s . Q u a l é m a i o r , o l a d o o u a d i a g o n a l ? A q u i já v a i f a z e r f a l t a a notação d e números d e c i m a i s ( q u e também não d a r i a m e x a t o ! ) . D e i x a r a s s i m m e s m o . P e d i r q u e e s c r e v a m o número m a i s próximo. E x e m p l o : se a m e d i d a é 1 2 , 3 c m , e s c r e v e r 1 2 . E l e s não a c e i t a m , p o i s não é 1 2 . Então, e s c r e v a : 1 2 e u m p o u q u i n h o o u 1 2 e m e i o . Também não a c e i t a m m u i t o t e m p o . C o m b i n a r d e e s c r e v e r o 1 2 , e m s e g u i d a c o n t a r o s r i s q u i n h o s ( p a u z i n h o s ) e e s c r e v e r d e p o i s d o 1 2 . C o l o c a r u m a vírgula p a r a s e p a r a r . E l e s e s c r e ­v e m 1 2 , 3 e f i c a m m u i t o s a t i s f e i t o s . Não i n s i s t i r n i s s o . E l e s c o n v e r s a m e n t r e s i e r e s o l v e m ; o i n t e r e s s e é d e l e s . M a s o c o r r e u m f a t o i n t e r e s s a n t e : a i n d a não c o n s i d e r a m o p r o b l e m a r e s o l v i d o . E l e s têm as m e d i d a s d o s q u a t r o l a d o s , porém, n a f i g u r a , o s l a d o s se s o m a m e f e c h a m u m a região. A s s i m , p e d e m p a r a s o m a r o s números. T u d o b e m : 1 2 , 3 + 1 2 , 3 + + 1 2 , 3 + 1 2 , 3 = 4 8 , 1 2 , p o i s f i c a m d o z e r i s q u i n h o s . É a h o r a d e i r a o c a v a l u p a r a t r a n s f o r m a r d e z r i s q u i n h o s e m 1 c m . M o s t r a r a n t e s n a régua. A s s i m o perímetro f i c a 4 9 , 2 . P r o n t o ! Vão t r a b a l h a r o a n o i n t e i r o c o m números d e c i m a i s . I s s o facilitará m u i t o o t r a b a l h o c o m frações. G a n h a - s e m u i t o t e m p o .

1 4 3

4 . D e s e n h a r u m triângulo e m e d i r a a l t u r a . R e p e t i r c o m vários t i p o s d e triângulos.

5 . D e s e n h a r d u a s r e t a s p a r a l e l a s , r i s c a n d o o s d o i s l a d o s d a régua. M e d i r a distância e n t r e e l a s ( q u a l q u e r p o n t o s e r v e ) . M e d i r a distância e n t r e d u a s l i n h a s d o c a d e r n o . O o b j e t i v o é i d e n t i f i c a r r e t a s p a r a l e l a s c o m o s e n d o r e t a s q u e não se a p r o x i m a m n e m se a f a s t a m .

6 . D e s e n h a r u m retângulo e m e d i r s u a s d i a g o n a i s p a r a d e s c o b r i r q u e a s d u a s são i g u a i s ( u s a r a p a l a v r a igual, a o invés d e congruente, p o r s e r d o vocabulário d o a l u n o ) .

7. Traçado d e p a r a l e l a s :

Traçar u m a r e t a e d u a s p e r p e n d i c u l a r e s . M e d i r d o i s s e g m e n t o s i g u a i s c o m o p a r a c o n s t r u i r u m retângulo. Traçar a p a r a l e l a . M e d i r e m o u t r o s p o n t o s p a r a v e r i f i c a r se a distância se mantém. E s s a equidistância é a relação c o n c e i t u a i d e r e t a s p a r a l e l a s , n e s t e m o m e n t o .

8. D i v i d i r u m s e g m e n t o e m d u a s p a r t e s i g u a i s . B a s t a m e d i r o s e g m e n t o , d i v i d i r a m e d i d a p o r 2 e m a r c a r o p o n t o médio ( c o n s t r u i r u m s e g m e n t o d e m e d i d a divisível p o r 2 , p a r a f i c a r fácil; p o d e - s e t a m ­bém d e s a f i a r o a l u n o c o m m e d i d a s m a i s difíceis).

D i v i d i r u m s e g m e n t o e m três p a r t e s i g u a i s . D e p o i s , e m q u a t r o o u c i n c o , e s c o l h e n d o s e m p r e m e d i d a s divisíveis. T i r a r a p r o v a m e d i n d o c a d a p a r t e e m u l t i p l i c a n d o p e l a q u a n t i d a d e d e p a r t e s .

9. P a r a l e l o g r a m o :

M o s t r a r q u e as d i a g o n a i s se c o r t a m a o m e i o , m e d i n d o c a d a p a r t e .

144

10. F a z e r d e s e n h o s :

• P I D l I Q I O I O I PÍH N

vj V

11. Perímetro. D e s e n h a r polígonos, m e d i r o s l a d o s e c a l c u l a r a s o m a d e l e s ( q u a n t o d e m u r o n o t e r r e n o ? q u a n t o d e a r a m e ? ) . Perímetro d o q u a d r a d o ( m u l t i p l i c a r o l a d o p o r 4 ) . O p r o b l e m a i n v e r s o : d a r o perímetro d o q u a d r a d o e p e d i r o l a d o ( d i v i d i r p o r 4 ) , d a n d o u m número divisível p o r 4 .

12. Triângulo. M a r c a r o s p o n t o s médios d o s l a d o s . U n i - l o s , p a r a f o r m a r u m triângulo p e q u e n o .

M e d i r , p a r a d e s c o b r i r q u e c a d a l a d o d e s s e triângulo é a m e t a d e d e c a d a l a d o c o r r e s p o n d e n t e d o triângulo m a i o r ( l a d o p a r a l e l o ) .

13.

D e s e n h a r u m triângulo q u e t e n h a d o i s l a d o s d e m e s m a m e d i d a . L i g a r o p o n t o médio d a b a s e ( l a d o d e s i g u a l ) c o m o vértice, p a r a d e s ­c o b r i r q u e é p e r p e n d i c u l a r à b a s e ( p a r a m o s t r a r q u e é p e r p e n d i c u l a r , b a s t a e n c a i x a r o e s q u a d r o ) .

14.

Traçar as três a l t u r a s d e u m triângulo p a r a d e s c o b r i r q u e p a s s a m t o d a s p o r u m m e s m o p o n t o .

145

15. K A

\

D e s e n h a r u m triângulo q u a l q u e r . L i g a r o s p o n t o s médios a o s vértices, p a r a d e s c o b r i r q u e o s três s e g m e n t o s ( m e d i a n a s ) p a s s a m p e l o m e s m o p o n t o G . M e d i r AG e GM. C o n s t a t a r q u e A G = 2 G M . E x a m i ­n a r a m e s m a relação n o s o u t r o s d o i s s e g m e n t o s . R e p e t i r c o m o u t r o s triângulos.

1 6 . D e s e n h a r u m triângulo retângulo ( u s a r o e s q u a d r o p a r a c o n s ­t r u i r o ângulo r e t o ) . M e d i r o s três l a d o s p a r a d e s c o b r i r q u a l é o m a i o r d e l e s . D e s c o b r i r q u e o m a i o r l a d o é m e n o r q u e a s o m a d o s o u t r o s d o i s . P e d i r p a r a c o n s t r u i r u m triângulo retângulo c u j o s l a d o s t e n h a m 6 , 8 e 1 0 c m . M o s t r a r q u e 1 0 < 6 + 8 , porém, I O 2 = 6 2 + 8 2 . ( O p r o ­f e s s o r p r e c i s a c o n h e c e r a convenção: 2 a = a + a e a 2 = a . a , i s t o é, 2 X 6 = 6 + 6 = 1 2 e 6 2 = 6 X 6 = 3 6 , m a s não há n e c e s s i d a d e d e d i s c u t i r i s s o c o m o a l u n o , p o r e n q u a n t o . B a s t a d i z e r - l h e q u e m u l t i ­p l i q u e o número p o r e l e m e s m o : 5 2 = 2 5 ; 8 2 = 6 4 ; l 2 = 1 ; 1 , 2 2 = 1 , 4 4 e t c . )

R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m o u t r o s triângulos retângulos: 3 , 4 e 5 ; 5 , 1 2 e 1 3 ; 8 , 1 5 e 1 7 ; 9 , 1 2 e 1 5 . E s t e é o f a m o s o teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 ( o q u a d r a d o d a h i p o t e n u s a é i g u a l à s o m a d o s q u a d r a d o s d o s c a t e t o s ) .

b

R e p e t i r a a t i v i d a d e m a i s c o n c r e t a m e n t e . N o c a n t o d a m e s a , m e d i r 9 c m p a r a u m l a d o e 1 2 c m p a r a o o u t r o . C o m i s s o , o b t e m o s 1 5 , f e c h a n d o o triângulo. O b s e r v a r o u t r a v e z q u e 9 2 + 1 2 2 = 1 5 2 .

146

17. D e s c o b r i r q u e o s p o n t o s médios d e u m quadrilátero q u a l q u e r d e t e r m i n a m o u t r o quadrilátero d e l a d o s p a r a l e l o s ( p a r a l e l o g r a m o ) .

18. D e s e n h a r u m l o s a n g o :

P i n t a r m e t a d e d e v e r m e l h o e m e t a d e d e a z u l . Já v a i f i c a n d o a noção d e q u e o l o s a n g o ( b e m c o m o t o d a s as c o i s a s ) t e m d u a s m e t a d e s .

19. A t i v i d a d e s preparatórias p a r a o cálculo d e áreas. O s a l u n o s já têm a noção d a conservação operatória d e superfície, m a s a a t i v i d a d e a q u i p r o p o s t a não e n v o l v e operações* além d e c o n t a g e m . P o d e s e r f e i t a c o m m a t e r i a l c o n c r e t o . U s a r , p o r e x e m p l o , a p l a n t a d e u m a c a s a ( p o d e s e r m i m e o g r a f a d a , d e s e n h a d a n o q u a d r o o u r e t r o p r o j e t a d a ) . E l e s c o n ­t a m o s q u a d r a d i n h o s e d e s e n h a m n o p a p e l q u a d r i c u l a d o ; aliás, o s próprios a l u n o s p o d e m f a z e r p l a n t a s s i m p l e s d a s a l a e t c .

P a r a r e a l i z a r e s s a a t i v i d a d e o a l u n o já estará u t i l i z a n d o o c o n c e i t o d e q u e m e i o m a i s m e i o é i g u a l a u m .

òzin ia que rto

luar l i luar .0 ss lei

1 4 7

Começar f a l a n d o s o b r e a p l a n t a : v e j a m a s a l a ; e s t a p o r t a p e r m i t e a e n t r a d a n o q u a r t o ; e s t a m o s v e n d o o s l a d r i l h o s d o chão; v e j a m o q u a r t o d a f r e n t e . P e r g u n t a r :

—- Q u a n t o s l a d r i l h o s há n o q u a r t o d a f r e n t e ?

— Q u a n t a s são as f i l e i r a s d e l a d r i l h o s ?

— Q u a n t o s l a d r i l h o s há e m c a d a f i l e i r a ?

— Q u a n t o é 4 + 4 + 4 ( o u 3 + 3 + 3 + 3 , c o n f o r m e a f i l e i r a ) ?

F a z e r o m e s m o c o m o q u a r t o d o s f u n d o s e c o m a s a l a . Não i n s i s t i r m a i s . A próxima a t i v i d a d e é m a i s r i c a . V e r i f i c a r se n a e s c o l a há a l g u m l u g a r c o m chão l a d r i l h a d o p a r a r e f a z e r a experiência.

20. R e p e t i r a a t i v i d a d e a n t e r i o r , só q u e , a g o r a , c o m a l g u n s l a d r i ­l h o s c o b e r t o s p o r móveis. I s s o não impedirá a c o n t a g e m ; m a s a l g u n s já poderão f a z e r o exercício, m u l t i p l i c a n d o .

1 n u n

i • • i • •

1 4 8

21. C o n t a r o s q u a d r a d i n h o s d e c a d a f i g u r a :

/ \ / \ / s \ N k / \ / / \ / \ \ / • \ / s

/ \ \ ? \ / / \ / s / \ s \ /

22. C o n t a r o s q u a d r a d i n h o s d e c a d a triângulo e d o q u a d r a d o c o r r e s p o n d e n t e :

\ \

/ / / \ s \

\ s \ v

1 4 9

23. C o n t a r o s q u a d r a d i n h o s ( a l g u n s a l u n o s vão c o m p l e t a r o retângulo d e c a d a triângulo p a r a d i v i d i r p o r 2 ) .

7L V

É o m o m e n t o d e d e i x a r c l a r o q u e a q u a n t i d a d e d e q u a d r a d i n h o s d o retângulo é i g u a l a o p r o d u t o d o s d o i s números, u m d e c a d a l a d o . O triângulo t e m a m e t a d e . O s a l u n o s já têm a noção d e conservação d a superfície.

24. M o n t a r u m a c a i x a c o m t a m p a :

JX

tampa

£ o CO

t 10 cm 10,4 cm

C o p i a r o s d e s e n h o s e m c a r t o l i n a , r e c o r t a r , f a z e r as d o b r a s e m o n ­t a r . E s c o l h e r o t a m a n h o . N a f i g u r a , há sugestões; a t a m p a é l i g e i r a ­m e n t e m a i o r , p a r a p o d e r e n c a i x a r . P o d e - s e d e c o r a r a c a i x a a n t e s d e montá-la: p i n t a r , f a z e r c o l a g e n s e t c .

R e p e t i r a a t i v i d a d e .

150

25. M o n t a r o u t r o t i p o d e c a i x a :

1 \

ATIVIDADES PARA A 3. a SÉRIE

N a 3 . a série, o a l u n o manipulará o transferidor e o compasso.

Material necessário a ) A l u n o :

• lápis g r a f i t e o u d e c o r ; • c a d e r n o d e d e s e n h o ( 5 0 páginas);

• régua g r a d u a d a ; • e s q u a d r o ; • t r a n s f e r i d o r ; • c o m p a s s o .

151

b ) P r o f e s s o r :

• régua d e m a d e i r a g r a d u a d a ( 1 m e t r o ) ;

• e s q u a d r o d e m a d e i r a ;

• t r a n s f e r i d o r d e m a d e i r a ;

• c o m p a s s o p a r a g i z .

Propostas de atividades

1 . D e s e n h o l i v r e c o m t r a n s f e r i d o r . P r e e n c h e r u m a o u d u a s pági­n a s , c o m o o a l u n o q u i s e r .

2. D e s e n h a r u m ângulo c o m a régua e m e d i - l o . R e p e t i r u m a s três v e z e s , c o m ângulos d e p o u c a , média e g r a n d e a b e r t u r a . E s s a a t i v i ­d a d e é t r a b a l h o s a p a r a o p r o f e s s o r . C o m o p r o c e d e r ? P e r g u n t a r :

— C o m o se m e d e u m s e g m e n t o c o m a régua?

— A s s i m ? — A s s i m ? — A s s i m ?

1 1 1 11 1 I 1 l'1 I 1 I 1 h 1 i • i • | i rrn i M 1 i • i • P T

O s a l u n o s a j u d a m e a c a b a - s e a c e r t a n d o . É p r e c i s o a p r e n d e r c o m o se f a z ! A c e r t a r o z e r o e a c e r t a r a régua c o m o r i s c o . P e r g u n t a r e m s e g u i d a o q u e se d e v e u s a r p a r a m e d i r a a b e r t u r a d e u m ângulo. E l e s d i z e m q u e é a régua:

— A s s i m ?

— A s s i m ?

— A s s i m ?

152

C o n f o r m e o l u g a r o n d e é c o l o c a d a a régua, t e m o s u m a m e d i d a d i f e r e n t e . P o r i s s o , t e m o s d e u s a r o t r a n s f e r i d o r , q u e é u m a "régua t o r t a " ( e x i b i r o t r a n s f e r i d o r ) . P r o c u r a r o z e r o d o t r a n s f e r i d o r .

— O n d e está o 1 0 ?

— E o 2 0 ?

( P o d e s e r q u e o t r a n s f e r i d o r t e n h a d u a s e s c a l a s , c a d a u m a c o m e ­çando d e u m l a d o . ) A g o r a , d e s e n h a r u m ângulo n a l o u s a e e f e t u a r a m e d i d a , e s c r e v e n d o - a n o ângulo (é u m ótimo m o m e n t o p a r a u t i l i z a r u m r e t r o p r o j e t o r , se disponível, p o i s a s s i m p o d e - s e u s a r u m t r a n s f e r i d o r d o a l u n o , q u e é d e plástico t r a n s p a r e n t e . P e d i r q u e façam o m e s m o . E l e s não c o n s e g u e m . I r d e c a r t e i r a e m c a r t e i r a . N a p r i m e i r a , c o m o t r a n s f e r i d o r , m o s t r a r :

— V e j a a g o r a : 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 4 5 , 4 8 . P r o n t o , 4 8 é a m e d i d a . E s c r e v a a q u i . A g o r a e n s i n e s e u c o l e g a .

L o g o já são q u a t r o e n s i n a n d o , o i t o , d e z e s s e i s , e t o d a a c l a s s e já s a b e .

3 . D e s e n h a r d u a s r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s c o m e s q u a d r o e m e d i r o s ângulos c o m t r a n s f e r i d o r . R e l a c i o n a r p e r p e n d i c u l a r c o m 90°.

1 5 3

4 . M e d i r ângulos d e c o i s a s , c o m o : c a d e r n o , f o l h a , c a r t e i r a . N o pátio, m e d i r o ângulo e n t r e d u a s l i n h a s q u e s a e m d o a l u n o e p a s s a m u m a d e c a d a l a d o d o prédio. Q u a n t o m a i s e l e se a p r o x i m a d o prédio, m a i o r será o ângulo. F a z e r o m e s m o c o m o u t r a s c o i s a s : d u a s árvores, a l t u r a d o prédio e t c .

5 . Até a q u i o p r o b l e m a e r a m e d i r ângulos. A g o r a , é o i n v e r s o : c o n s t r u i r u m ângulo a p a r t i r d e u m a m e d i d a . E x e m p l o : 10°, 43°, 57°, 90°, 180°. O u t r a v e z é necessário e n s i n a r d e c a r t e i r a e m c a r t e i r a . O s próprios a l u n o s se a j u d a m . F a l a r s o b r e o "ângulo" d e m e i a - v o l t a , q u e m e d e 180° e não é ângulo, é u m a r e t a , d o i s s e g m e n t o s o p o s t o s .

6 . C o n s t r u i r r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s , u s a n d o o t r a n s f e r i d o r . C o n f e r i r c o m e s q u a d r o . D a r o n o m e : perpendicular.

1

-

M e d i r o s d o i s ângulos, o d a d i r e i t a e o d a e s q u e r d a . D e v e m s e r i g u a i s , e e s t a é a relação c o n c e i t u a i d e r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s .

D e s c o b r i r r e t a s p e r p e n d i c u l a r e s e m u m a c a i x a d e s a p a t o s . D e p o i s , n a própria s a l a . F a z e r o m e s m o c o m p a r a l e l a s .

7. M e d i r ângulos O P V ( o p o s t o s p e l o vértice):

Traçar d u a s r e t a s q u e se c r u z a m e d e s c o b r i r q u e o s ângulos o p o s t o s têm a m e s m a m e d i d a : o d a d i r e i t a c o m o d a e s q u e r d a ; o d e c i m a c o m o d e b a i x o . A d i c i o n a r a s m e d i d a s d e c i m a c o m a d a d i r e i t a ( c o n s e c u t i v o s ) p a r a d e s c o b r i r q u e a s o m a é 180°. Começar a e s c r e v e r a b o l i n h a a c i m a d a m e d i d a p a r a i n d i c a r q u e a m e d i d a f o i f e i t a e m g r a u s , c o m o é hábito.

1 5 4

M u i t a s experiências p o d e m s e r f e i t a s c o m m a t e r i a l c o n c r e t o . E s s a a t i v i d a d e , p o r e x e m p l o , p o d e s e r f e i t a c o m d o i s b a r b a n t e s q u e se c r u z a m .

8. D e s e n h a r u m ângulo q u a l q u e r e d i v i d i - l o a o m e i o . É p r e c i s o m e d i r o ângulo e d i v i d i r a m e d i d a p o r d o i s .

S e o ângulo m e d e 50°, d e v e m o s m a r c a r u m ângulo d e 25°.

P o r último, t o m a r u m p o n t o q u a l q u e r d a l i n h a q u e d i v i d e o ângulo ( b i s s e t r i z ) e m e d i r a s distâncias d e l e a c a d a l a d o d o ângulo. D e s c o b r i r q u e são s e m p r e i g u a i s . R e p e t i r a a t i v i d a d e a l g u m a s v e z e s , i n c l u s i v e d i v i d i r 180° a o m e i o .

9.

D e s e n h a r u m q u a d r a d o , u s a n d o o e s q u a d r o . M e d i r o s ângulos p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . M e d i r o s l a d o s p a r a d e s c o b r i r q u e t a m ­bém são i g u a i s . M e d i r a s d i a g o n a i s p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . M e d i r o s ângulos d e u m a d i a g o n a l c o m o s l a d o s p a r a d e s c o b r i r o q u e é b i s s e t r i z .

1 0 . D e s e n h a r u m triângulo q u a l q u e r , m e d i r o s três ângulos e a d i ­c i o n a r as m e d i d a s p a r a v e r i f i c a r q u e a s o m a é s e m p r e a m e s m a : 180°. R e p e t i r várias v e z e s e e m várias ocasiões, c o m triângulos d i f e r e n t e s , p a r a d e s c o b r i r a p r o p r i e d a d e s e g u n d o a q u a l a s o m a d o s três ângulos d e u m triângulo q u a l q u e r v a l e s e m p r e 180°.

J k

M

J k

j M n 1 1 1 1

J k

1 5 5

O u t r o método: r e c o r t a r u m triângulo d e p a p e l , r a s g a r e s e p a r a r o s três ângulos. C o l o c a r u m a o l a d o d o o u t r o p a r a a d i c i o n a r . M o s t r a r , c o m u m a régua, q u e a s o m a é 180° (ângulo d e m e i a - v o l t a ) . P o d e - s e também a d i c i o n a r o s ângulos s e m r a s g a r o p a p e l , f a z e n d o d o b r a s c o n ­v e n i e n t e s , o b t e n d o , n o f i m , u m retângulo c o m o u m e n v e l o p e .

11. D e s e n h a r u m triângulo c o m d o i s ângulos d e 60° n a b a s e . M e d i r o t e r c e i r o ângulo p a r a d e s c o b r i r q u e também m e d e 60°, c o m o o s o u t r o s d o i s . C l a r o , a s o m a d e v e s e r 1 8 0 o !

! 1 1 - —1

M e d i r o s três l a d o s p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s .

12.

Série d e p a r a l e l a s c o r t a d a s p o r u m a t r a n s v e r s a l . M e d i r o s ângulos c o r r e s p o n d e n t e s p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . É c o m o s e ^ a p r i m e i r a r e t a d e s l i z a s s e , s e m balançar, o c u p a n d o posições p a r a l e l a s s u c e s s i v a s . P o r i s s o é q u e o ângulo não m u d a .

13. D i v i d i r u m ângulo e m d u a s , três, q u a t r o p a r t e s i g u a i s . D e v e - s e d i v i d i r a m e d i d a . E s c o l h e r m e d i d a s divisíveis. T i r a r a p r o v a , m u l t i p l i ­c a n d o c a d a p a r t e p e l o número t o t a l d e p a r t e s .

1 5 6

14. Traçado d e circunferências:

A utilização des se s métodos a r t e s a n a i s f a c i l i t a m u i t o a c o m p r e ­ensão d e p r o p r i e d a d e s c o m o a d a circunferência: t o d o s o s p o n t o s são e q u i d i s t a n t e s d o c e n t r o ( p r e g o ) , e e s s a distância é o c o m p r i m e n t o d o b a r b a n t e ( r a i o ) . E s s a equidistância é a relação c o n c e i t u a i d e c i r c u n ­ferência.

15. D e s e n h o s l i v r e s c o m c o m p a s s o . O a l u n o p o d e p r e e n c h e r m u i t a s páginas, s o l t a n d o a imaginação. P r o p o r o j o g o d e e n c o n t r a r c o i s a s r e d o n d a s .

16. T e n t a r o t r a c e j a d o , s e m forçar: /

17. D e s e n h a r u m a circunferência. M a r c a r três p o n t o s d e q u a l q u e r m a n e i r a e d e s e n h a r o triângulo. Não p r e c i s a s e r r e g u l a r . C o l o r i r . F a z e r o m e s m o c o m o quadrilátero e o u t r a s f i g u r a s .

18. D e s e n h a r u m diâmetro ( c o r d a q u e p a s s a p e l o c e n t r o ) e m e ­d i - l o . R e p e t i r a operação c o m o u t r o s diâmetros. D e s c o b r i r q u e t o d o s o s diâmetros d e u m a m e s m a circunferência têm a m e s m a m e d i d a , q u e é o d o b r o d a d o r a i o .

1 5 7

19. D e s e n h a r d u a s circunferências, u m a p a s s a n d o p e l o c e n t r o d a o u t r a .

20. D i v i d i r u m a circunferência e m s e i s p a r t e s i g u a i s , u s a n d o o c o m p a s s o c o m a m e s m a a b e r t u r a c o m q u e f o i traçada a circunferência.

o L i g a r o s s e i s p o n t o s c o m a régua. São várias as p o s s i b i l i d a d e s .

f \

21. F a z e r d e s e n h o s , u s a n d o régua, e s q u a d r o e c o m p a s s o :

158

22. C o m o n a a t i v i d a d e 2 0 , d i v i d i r u m a circunferência e m s e i s p a r t e s :

D e p o i s , l i g a r o s p o n t o s a o c e n t r o e m e d i r o s ângulos p a r a d e s c o ­b r i r q u e são s e i s ângulos d e 60°, n u m t o t a l d e 360°, q u e é i g u a l a u m a v o l t a .

23. C o m o t r a n s f e r i d o r , d i v i d i r u m a circunferência e m d e z p a r t e s i g u a i s , m a r c a n d o ângulos d e 36°, p o i s 360° -r- 1 0 = 36°.

D i v i d i r o u t r a s circunferências e m c i n c o , s e t e , q u a t r o , três p a r t e s i g u a i s . Q u a n d o se d i v i d e e m q u a t r o p a r t e s i g u a i s , obtém-se u m q u a ­d r a d o .

24. Diviâir u m a circunferência e m d o z e p a r t e s i g u a i s e l i g a r o s p o n t o s , d e t o d o s o s m o d o s possíveis, c o m a régua ( l a d o s e d i a g o n a i s ) .

F i c a b e m d e c o r a t i v o f a z e r e s s a a t i v i d a d e ( c o m u m número m a i o r d e p o n t o s ) e m u m a tábua p i n t a d a d e p r e t o . F i n c a r p r e g u i n h o s n o s p o n t o s e ligá-los c o m l i n h a s c o l o r i d a s . Há m u i t a s variações.

1 6 0

25. D e s e n h a r várias c o r d a s d e u m a m e s m a circunferência p a r a d e s c o b r i r q u a l é a m a i o r ( d a r o n o m e corda p a r a q u a l q u e r s e g m e n t o q u e l i g a u m p o n t o a o u t r o d a circunferência).

A s s o c i a r c o r d a c o m a r c o : a r c o e f l e c h a d e índio.

26. D e s e n h a r u m a circunferência e m a r c a r d o i s p o n t o s A e B. A p a r t i r d e u m o u t r o p o n t o P q u a l q u e r , f o r m a r o ângulp e m e d i - l o . E m s e g u i d a , t o m a r o u t r o p o n t o Q e , d o m e s m o m o d o , m e d i r o ângulo. O a l u n o v a i d e s c o b r i r q u e o s ângulos são i g u a i s , não d e p e n d e n d o d a posição d e Q, d e s d e q u e e s t e p o n t o e s t e j a d o m e s m o l a d o q u e P e m relação a AB.

27. B i s s e t r i z d e u m ângulo.

C o m c e n t r o n o vértice V, traçar u m a r c o . C o m c e n t r o e m A e d e ­p o i s e m B, traçar d o i s a r c o s . O n d e se c o r t a r e m , t e m - s e u m p o n t o q u e , l i g a d o a o vértice, dará a b i s s e t r i z . Não c i t a r n o m e s . M e d i r o s ângulos p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s . R e p e t i r várias v e z e s . F a z e r a a t i v i d a d e c o m u m ângulo d e 180°, p a r a d e s c o b r i r q u e a b i s s e t r i z é p e r p e n d i c u l a r à r e t a .

1 6 1

28.

a

D a r três s e g m e n t o s p a r a q u e o s a l u n o s d e s e n h e m u m triângulo c o m e l e s . M a r c a r u m p o n t o B s o b r e u m a r e t a q u a l q u e r . A b r i r o c o m ­p a s s o até f i c a r i g u a l a o s e g m e n t o a e m a r c a r s o b r e a r e t a o p o n t o C . E m s e g u i d a , traçar d o i s a r c o s : u m c o m c e n t r o e m B e a b e r t u r a i g u a l a o s e g m e n t o c e o o u t r o c o m c e n t r o e m C e a b e r t u r a b. O n d e o s a r c o s se c r u z a m , t e m - s e o t e r c e i r o vértice, A, d o triângulo. R e p e t i r c o m três s e g m e n t o s i g u a i s . O a l u n o v a i i n t u i n d o q u e o triângulo é u m a f i g u r a rígida, não a r t i c u l a d a . D a d o s o s três l a d o s , o triângulo está d e t e r m i n a d o . O m e s m o não a c o n t e c e c o m polígonos d e q u a t r o l a d o s . O quadrilátero p o d e s e d e f o r m a r e m várias posições.

29. R e f a z e r a s a t i v i d a d e s 1 9 , 2 0 , 2 1 , 2 2 e 2 3 d a 2 . a série.

3 0 . R e f a z e r a a t i v i d a d e fazê-la é c o n t a n d o " l a d r i l h o s g u i o retângulo.

1 6 d a 2 . a série. U m a o u t r a m a n e i r a d e • s o b r e o s q u a d r a d o s n o s l a d o s d o triân-

9

16

1 6 2

E x i s t e m a t e r i a l c o n c r e t o p a r a e s s a a t i v i d a d e . São 2 5 q u a d r a d i n h o s d e m a d e i r a q u e p o d e m s e r e n c a i x a d o s n o q u a d r a d o d a h i p o t e n u s a o u r e p a r t i d o s e n t r e o s o u t r o s d o i s . R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m u m triângulo d e 6 X 8 X 1 0 centímetros d e l a d o s . R e p a r a r q u e t e m o s p r o c u r a d o t r a b a l h a r c o m números i n t e i r o s , m a s o t e o r e m a v a l e s e m p r e c o m q u a l ­q u e r triângulo retângulo. E x e m p l o : 2 , 7 ; 3 , 6 e 4 , 5 .

3 1 . M o n t a r u m d a d o :

3 2 . M o n t a r u m c i l i n d r o :

15

31,4

A b a s e d o retângulo q u e v a i s e r e n r o l a d o d e v e s e r 3 , 1 4 v e z e s o diâmetro d o círculo d a b a s e ( n o e x e m p l o : 3 , 1 4 X 1 0 = 3 1 , 4 ) . ( L e m b r a r q u e w = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 . . . , m a s a r r e d o n d a - s e p a r a 3 , 1 4 . )

1 6 3

33. M o n t a r u m c o n e :

F a z e r u m círculo d e c a r t o l i n a c o m r a i o d e 1 9 , 5 c m . M a r c a r u m ângulo d e 138°. D e i x a r a b e i r a d a p a r a c o l a r . A b a s e é u m círculo d e 7 , 5 c m d e r a i o . D e c o r a r a n t e s d e c o l a r . Não c o l o c a n d o a b a s e , p o d e s e r u m chapéu. C o l o c a r b a r b a n t e p a r a a m a r r a r d e b a i x o d o q u e i x o .

34. C o n t a r t i j o l o s . É u m a a t i v i d a d e q u e p o d e s e r f e i t a c o m m a t e ­r i a l c o n c r e t o , t i j o l o s m e s m o , n o pátio d a e s c o l a .

— Q u a n t o s t i j o l o s há n a p i l h a ? zz

yL ~ z _ zz:

E c o m d u a s c a m a d a s , q u a n t o s t i j o l o s há?

y y y zz:

A g o r a , c o m três c a m a d a s , q u a n t o s são o s t i j o l o s ?

z z : yZ

~7_

Z 71 7\

' A

R e p e t i r a a t i v i d a d e c o m o u t r o s números e o u t r o s m a t e r i a i s ( c a i x a s d e s a p a t o , l a t a s d e óleo v a z i a s ) . N e s s a f a s e , o a l u n o a i n d a não a t i n g i u a noção d e conservação d o v o l u m e . O a s s u n t o d e v e s e r s i s t e m a t i z a d o a p a r t i r d o s o n z e a n o s .

164

ATIVIDADES PARA A 4.* SÉRIE

Material necessário a ) A l u n o :

• lápis g r a f i t e o u d e c o r ; • c a d e r n o d e d e s e n h o ( 5 0 f o l h a s ) ; • régua g r a d u a d a ; • e s q u a d r o ; • t r a n s f e r i d o r ; • c o m p a s s o .

b ) P r o f e s s o r : • régua d e m a d e i r a g r a d u a d a ( 1 m e t r o ) ; • e s q u a d r o d e m a d e i r a ; • t r a n s f e r i d o r d e m a d e i r a ; • c o m p a s s o p a r a g i z .

Propostas de atividades 1 . C o n s t r u i r d u a s r e t a s q u e se c r u z a m e , e m s e g u i d a , as d u a s

b i s s e t r i z e s , m e d i n d o c o m o t r a n s f e r i d o r .

D e p o i s , m e d i r o ângulo e n t r e as d u a s b i s s e t r i z e s p a r a d e s c o b r i r q u e são p e r p e n d i c u l a r e s , q u a i s q u e r q u e s e j a m as posições'iniciais d a s d u a s r e t a s .

2 . D e s e n h a r u m triângulo c o m d o i s l a d o s i g u a i s (isósceles). M a r ­c a r o p o n t o médio d a b a s e e l i g a r a o vértice. D e s c o b r i r q u e e s s a m e ­d i a n a é, a o m e s m o t e m p o , a l t u r a ( p e r p e n d i c u l a r à b a s e ) e b i s s e t r i z (ângulos i g u a i s ) .

1 6 5

3 . C o n s t r u i r u m triângulo c o m d o i s l a d o s i g u a i s .

M e d i r p a r a d e s c o b r i r q u e o s d o i s ângulos d a b a s e são i g u a i s .

4 . C o n s t r u i r u m triângulo c o m d o i s ângulos i g u a i s . M e d i r p a r a d e s c o b r i r q u e há d o i s l a d o s i g u a i s .

5 . D e s e n h a r u m triângulo c o m três l a d o s d e s i g u a i s . M e d i r o s ângulos p a r a d e s c o b r i r q u e o ângulo m a i o r f i c a o p o s t o a o m a i o r l a d o .

6 . D e s c o b r i r q u e u m triângulo retângulo é a m e t a d e d e u m retân­g u l o . C o l o r i r .

7. D e s e n h a r u m quadrilátero d e l a d o s o p o s t o s p a r a l e l o s . Traçar as d u a s d i a g o n a i s e m e d i r p a r a d e s c o b r i r q u e e l a s se c o r t a m a o m e i o . C o l o r i r a s q u a t r o regiões, u s a n d o d u a s c o r e s .

8. D e s e n h a r u m retângulo e m e d i r as d u a s d i a g o n a i s p a r a d e s ­c o b r i r q u e são i g u a i s .

166

9. D e s e n h a r u m q u a d r a d o p a r a d e s c o b r i r q u e as d u a s d i a g o n a i s são p e r p e n d i c u l a r e s e b i s s e t r i z e s d o s ângulos.

10. D e s e n h a r u m triângulo q u a l q u e r , m a r c a r d o i s p o n t o s médios e ligá-los. M e d i r esse s e g m e n t o p a r a d e s c o b r i r q u e é a m e t a d e d o t e r c e i r o l a d o e é p a r a l e l o a e l e .

11. D e s e n h a r u m triângulo e s u a s três m e d i a n a s e n c o n t r a n d o o p o n t o o n d e e l a s se c r u z a m . D e s c o b r i r q u e c a d a u m a d e l a s f i c a d i v i d i d a e m d u a s p a r t e s e m q u e a m a i o r é o d o b r o d a m e n o r ( A G = 2 G M ) .

A

r -X ~JvT ^ U m a experiência i m p o r t a n t e é d e s c o b r i r q u e as f i g u r a s têm c e n t r o

d e m a s s a . N e s t a i d a d e , m u i t o s a l u n o s a i n d a não s a b e m c o m p e n s a r l a r g o e b a i x o c o m e s t r e i t o e a l t o ; m a s , m e s m o a s s i m , as experiências são válidas c o m o preparação. ( V e r capítulo 3 . )

12. D e s e n h a r u m a circunferência ( a m a i o r possível) d e n t r o d e u m triângulo q u a l q u e r . E l e s farão p o r t e n t a t i v a e e r r o . D e p o i s , d a r a solução sistemática. P e d i r p a r a d e s e n h a r u m triângulo e s u a s três b i s s e ­t r i z e s , e n c o n t r a n d o o p o n t o o n d e e l a s se c r u z a m , q u e é o c e n t r o d a circunferência i n t e r n a a o triângulo e t a n g e n t e a o s três l a d o s ( c i r c u n ­ferência i n s c r i t a ) .

1 6 7

13. D e s e n h a r u m a circunferência p o r f o r a d e u m tjiângulo q u a l ­q u e r , p a s s a n d o p e l o s três vértices.

D e i x a r , p r i m e i r o , q u e o s a l u n o s t e n t e m f a z e r a a t i v i d a d e s o z i n h o s ; d e p o i s , d a r as instruções: d e s e n h a r u m triângulo e , e m c a d a p o n t o médio, traçar u m a r e t a p e r p e n d i c u l a r a o l a d o ( m e d i a t r i z ) , e n c o n t r a n d o o p o n t o o n d e e l a s se c r u z a m , q u e é o c e n t r o d a circunferência e x t e r n a a o triângulo, p a s s a n d o p o r s e u s três vértices (circunferência c i r c u n s c r i t a ) . R e p e t i r c o m triângulo retângulo.

14. R e f a z e r a a t i v i d a d e 3 0 d a 3 . a série: t e o r e m a d e Pitágoras.

15. D e s e n h a r u m a circunferência e m a r c a r d o i s p o n t o s A e B. A p a r t i r d e o u t r o p o n t o q u a l q u e r , P, f o r m a r o ângulo e m e d i - l o . E m s e g u i d a , t o m a r o u t r o p o n t o , Q, e , d o m e s m o m o d o , m e d i r o ângulo p a r a d e s c o b r i r q u e são i g u a i s , não d e p e n d e n d o d a posição d e Q, d e s d e q u e e s t e e s t e j a d o m e s m o l a d o q u e P e m relação a AB.

O a l u n o também p o d e d e s c o b r i r q u e esses ângulos i g u a i s m e d e m m e t a d e d o ângulo A O B d e vértice n o c e n t r o O (ângulo c e n t r a l ) .

16. D e s c o b r i r q u e , l i g a n d o u m p o n t o q u a l q u e r d e u m a c i r c u n ­ferência até as e x t r e m i d a d e s d e u m diâmetro q u a l q u e r , f o r m a - s e u m triângulo retângulo. É só d e s e n h a r e m e d i r .

17. Traçar u m a circunferência e u m a c o r d a q u a l q u e r .

1 6 8

M a r c a r o p o n t o médio d a c o r d a e traçar a p e r p e n d i c u l a r p a r a d e s c o b r i r q u e e l a p a s s a p e l o c e n t r o d a circunferência. F a z e r d e p o i s o i n v e r s o : l i g a r o c e n t r o d a circunferência a o p o n t o médio d a c o r d a p a r a d e s c o b r i r q u e e s s a r e t a é p e r p e n d i c u l a r à c o r d a .

18. Traçar u m a c o r d a p e q u e n a e o u t r a m a i o r e m u m a m e s m a circunferência. M e d i r a s distâncias d a s c o r d a s a o c e n t r o d a c i r c u n f e ­rência p a r a d e s c o b r i r q u e , q u a n t o m e n o r a c o r d a , m a i s l o n g e d o c e n t r o .

19. M a r c a r u m p o n t o s o b r e u m a circunferência e traçar u m a r e t a t a n g e n t e , i s t o é, q u e a p e n a s e n c o s t a n a circunferência. L i g a r esse p o n t o c o m o c e n t r o d a circunferência p a r a d e s c o b r i r q u e é p e r p e n d i ­c u l a r à r e t a t a n g e n t e .

20. Traçar d u a s circunferências t a n g e n t e s u m a à o u t r a ( a p e n a s se e n c o s t a n d o ) . D e s c o b r i r q u e a distância e n t r e s e u s c e n t r o s é i g u a l à s o m a d a s m e d i d a s d o s r a i o s ; S e f o r e m t a n g e n t e s i n t e r i o r m e n t e , será a diferença e n t r e as m e d i d a s d o s r a i o s .

21. D e t e r m i n a r T U = C -r- D . E m c a s a , c o m u m a f i t a métrica, m e d i r u m o b j e t o c i r c u l a r q u a l q u e r ( d i s c o , r o d a d e b i c i c l e t a e t c . ) a o r e d o r ( C ) e d i v i d i r p e l a m e d i d a d o diâmetro ( D ) . O r e s u l t a d o será s e m p r e próximo d e 3 , 1 4 , s e j a m o s o b j e t o s c i r c u l a r e s g r a n d e s o u p e q u e n o s . E s s e número c h a m a - s e pi ( l e t r a g r e g a ) . Q u a n t o m a i o r a circunferência, m a i o r será o diâmetro; a s s i m , t e o r i c a m e n t e , s e m p r e se e n c o n t r a o m e s m o número n a divisão. N a prática, c o m o as circunferências não são b e m r e d o n d a s , as m e d i d a s não são e x a t a s .

22. R e f a z e r as a t i v i d a d e s 2 1 , 2 2 e 2 3 d a 2 . a série.

23. R e f a z e r as a t i v i d a d e s 2 2 , 2 3 e 2 4 d a 3 . a série.

24.. R e f a z e r a a t i v i d a d e 3 4 d a 3 . a série.

1 6 9

Camelidades malbatahânicas

INTRODUÇÃO

N e s t e capítulo a p r e s e n t a m o s u m a série e x t e n s a d e situações-pro­b l e m a s , c u r i o s i d a d e s matemáticas, d e s a f i o s , quebra-cabeças, t u d o n o e s t i l o d o s a u d o s o matemático M a l b a T a h a n .

P a r a o p r o f e s s o r , p o d e s i g n i f i c a r o início d e u m a coleção d e a t i v i d a d e s lúdicas q u e serão d e g r a n d e u t i l i d a d e p a r a d e s p e r t a r o i n t e r e s s e d o a l u n o p e l o e s t u d o d a Matemática e t o r n a r a s a u l a s m a i s e s t i m u l a n t e s e g o s t o s a s .

SITUAÇÕES-PROBLEMAS

O s d e s a f i o s q u e r e l a c i o n a m o s a s e g u i r p o d e m s e r lançados às c l a s s e s c o m d i v e r s a s f i n a l i d a d e s : e s t i m u l a r a reflexão e a c r i a t i v i d a d e , p r o v o c a r d e b a t e s c o m o s p a i s e , p o r c o n s e g u i n t e , e n s i n a r Matemática.

A s situações p o d e m s e r c o l o c a d a s e m s a l a d e a u l a o u e m m u r a i s , j o r n a i z i n h o s e o u t r o s veículos d e comunicação d e n t r o d a e s c o l a . A s r e s p o s t a s , q u e estão n o f i n a l d o capítulo, não d e v e m sèr a p r e s e n ­t a d a s a o s a l u n o s . E l a s irão a p a r e c e n d o , c i r c u l a n d o p e l a c l a s s e . A l g u n s p r o b l e m a s vão f i c a n d o p a r a trás e v o l t a n d o à discussão d e v e z e m q u a n d o . O p r o f e s s o r d e v e d e i x a r q u e t u d o aconteça d e m a n e i r a e s p o n ­tânea. P o d e m s u r g i r interpretações v a r i a d a s e , c o n s e q u e n t e m e n t e , r e s ­p o s t a s v a r i a d a s . T u d o b e m !

N o v o s exercícios d e s s e tipó p o d e m s e r f a c i l m e n t e c r i a d o s o u c o l e -t a d o s e m j o r n a i s e r e v i s t a s q u a n d o a p a r e c e r e m . V a m o s a e l e s !

1 7 0

1 . B o t i n a e m e i a m a i s b o t i n a e m e i a , q u a n t o s p a r e s são?

2 . Q u a l a p a l a v r a d e s e i s l e t r a s e 3 7 a s s e n t o s ?

3 . P a r a e m e n d a r o s c i n c o pedaços d a c o r r e n t e a b a i x o , q u a n t o s e l o s é p r e c i s o s e r r a r ?

OOD OOO CZ3Q=2 cGo

4 . C o m três l e t r a s é p e s s o a . U m a s a i , q u a t r o a f i c a r . T i r e d u a s — e s s a é b o a — a i n d a c i n c o v a i r e s t a r .

5 . Q u a n t o é a m e t a d e d e d o i s m a i s d o i s ?

6 . C o l o c a r d e z s o l d a d o s e m c i n c o f i l a s d e q u a t r o c a d a u m a .

7. O q u e s a i m a i s b a r a t o : l e v a r u m a m i g o d u a s v e z e s a o c i n e m a o u l e v a r d o i s a m i g o s u m a v e z ?

8. L i g a r água, l u z e e s g o t o n a s três c a s a s , s e m c r u z a r a l i n h a .

® ® (D 9. Q u a l o próximo?

1 0 . Q u a n t o s q u a d r a d o s ? Q u a n t o s triângulos?

1 7 1

11. M e x e r u m p a l i t o a p e n a s p a r a a c e r t a r a i g u a l d a d e .

a )

b )

c )

d )

e )

l + ll / I I -

f )

12. D e s c o b r i r a r e g r a e e s c r e v e r o próximo número:

a ) 2 , 4 , 6 , 8 , .

b ) 1 , 3 , 5 , 7 , . c ) 3 , 6 , 9 , 1 2 ,

d ) 1 , 4 , 7 , 1 0 ,

e ) 2 , 7 , 1 2 , 1 7 ,

f ) 3 , 4 , 7 , 1 1 , 1 8

g ) 1 , 2 , 4 , 7 , h ) 3 , 6 , 1 2 , 2 4 , .

i ) 1 , 2 , 4 , 8 ,

j ) 2 , 6 , 1 8 , 5 4 , . . .

1) 2 , 3 , 5 , 8 , 1 2 , . . . m ) 1 , 4 , 9 , 2 5 , . . . n ) 5 , 5 , 1 0 , 1 5 , 2 5 , . . o ) 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , p ) 1 , 3 , 6 , 1 0 , . . . q ) 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , . r ) I I , I I I , V , V I I I , X I I ,

172

13. P e n s e u m número q u a l q u e r d e três a l g a r i s m o s . R e p i t a e l e m e s m o n a f r e n t e , f o r m a n d o u m número d e se i s a l g a r i s m o s . D i v i d a p o r 1 3 ; o q u e d e r d i v i d a p o r Í l e o q u e d e r d i v i d a p o r 7 .

E n c o n t r o u o m e s m o número. P o r quê?

E x e m p l o : 4 9 3 4 9 3 | 1 3 3 7 9 6 1 LJJL

3 4 5 1 [ 7 _ _ 4 9 3

14. U m número é a s o m a d a i d a d e d e u m a p e s s o a ( d e p o i s d o s e u aniversário) c o m o a n o e m q u e e l a n a s c e u . E s t e número é:

a ) 2 0 0 1 b ) 1 9 8 7 c ) 1 9 9 3 d ) 2 0 2 3

15. C o l o c a r o s números d e 1 a 8 n o s q u a d r i n h o s d e m o d o q u e o s números c o n s e c u t i v o s n u n c a f i q u e m v i z i n h o s . I n v e n t a r o u t r o s e s q u e m a s .

16. Q u a l o m a i o r número, 7 o u 5 ?

17. Q u a l a m e t a d e d e 8 ?

18. Q u e m d e v i n t e c i n c o t i r a , q u a n t o f i c a ?

19. São três garrafões d e 8 l i t r o s , 5 l i t r o s e 3 l i t r o s .

O d e 8 l i t r o s está c h e i o . P a s s a n d o d e u m p a r a o u t r o , c o l o c a r e x a t a m e n t e 4 l i t r o s n o d o m e i o .

1 7 3

20. U m triângulo f o r m a d o p o r d e z t a m p i n h a s a p o n t a p a r a c i m a . M o v e r a p e n a s três t a m p i n h a s p a r a f a z e r o triângulo a p o n t a r p a r a b a i x o .

21. C o m d o z e p a l i t o s d e fósforos, f o r m a r q u a t r o q u a d r a d o s .

22. F o r m a d o s q u a t r o q u a d r a d o s c o m d o z e fósforos, r e t i r e d o i s fósforos, d e i x a n d o a p e n a s d o i s q u a d r a d o s .

23. U m g a t o c o m e u m r a t o e m u m m i n u t o . C e m g a t o s c o m e m c e m r a t o s e m q u a n t o s m i n u t o s ?

24. D e s e n h a r a s f i g u r a s a b a i x o , s e m t i r a r o lápis d o p a p e l e s e m p a s s a r p o r c i m a d e r i s c o ( c r u z a r p o d e ) :

a )

b )

0 /

d )

e )

25. Multiplicação egípcia. O s egípcios só s a b i a m d o b r a r ( m u l t i ­p l i c a r p o r 2 ) . U s a n d o esse r e c u r s o , c a l c u l a r 1 3 v e z e s 1 8 .

26. E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :

a ) 2 3 1 4

7 6 8

b ) 2

3

3

4

4

5

1 7 4

c ) 1

2

2

4

4

8

d ) 1 2

7

1 6

1 1

e ) 1

2

2

4

3

6

f ) 2

7

3

6

g )

27. E s c r e v a o s números q u e f a l t a m : a ) 2 5

A 4

3 6

8

5 1

A 3

4 3

. A

b ) 2 A 5 / 1 3 \

3

3 A 4 / 1 7 \

5 3 A 5

l

4 a 2 / 1 3 \

c ) 3 A 4 5 A 3 W 5 A 6

2 3 A A

4

d ) 7 4 A 2

1 1 A 6

A 3

I 3 z \ 5

8 . 5 A

2 8 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :

2 9 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m : \ w\ ' 1 9

o

411' !'H m p 15 í 23 ^

3 0 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :

í 3 /

3 1 . E s c r e v a o s números q u e f a l t a m :

32. Q u a n t o s triângulos há e m c a d a f i g u r a ?

a ) b ) c ) d )

33. C o m p l e t a r :

a ) [ 3 está p a r a H a s s i m c o m o Q está p a r a . . .

b ) < está p a r a > a s s i m c o m o £ está p a r a . . .

c ) — está p a r a + a s s i m c o m o ~ está p a r a . . .

d ) 3 está p a r a 6 a s s i m c o m o 4 está p a r a . . .

e ) < está p a r a c : a s s i m c o m o > está p a r a . . .

f ) 2 está p a r a 6 a s s i m c o m o 3 está p a r a . . .

g ) © está p a r a Q3 a s s i m c o m o ® está p a r a . . .

34. O l h a n d o d e c i m a , é a s s i m :

— Q u a l d a s f i g u r a s a b a i x o c o r r e s p o n d e à d e c i m a ?

a ) b ) c ) d )

177

35. O l h a n d o d e c i m a , é a s s i m :

36. U m t i j o l o p e s a 1 k g m a i s m e i o t i j o l o . Q u a n t o p e s a u m t i j o l o e m e i o ?

37. São n o v e lápis i g u a i s , s e n d o q u e u m é u m p o u c o m a i s l e v e q u e o s o u t r o s . C o m o separá-lo c o m a p e n a s d u a s p e s a g e n s n u m a b a ­lança d e p r a t o s ?

38. U m c r i m i n o s o f o i c o n d e n a d o à prisão perpétua. Porém, s u a p e n a f o i r e d u z i d a à m e t a d e . C o m o p o d e s e r c u m p r i d a a sentença?

39. N u m a e s t a n t e e x i s t e m d e z l i v r o s d e c e m f o l h a s c a d a , f o r m a n ­d o u m a coleção. U m a traça estraçalhou d e s d e a p r i m e i r a f o l h a d o p r i m e i r o l i v r o até a última f o l h a d o último l i v r o . Q u a n t a s f o l h a s d a n i f i c o u ?

40. D o i s p a i s e d o i s f i l h o s f o r a m p e s c a r . C a d a u m p e g o u d o i s p e i x e s . Q u a l o t o t a l d e p e i x e s p e s c a d o s ?

41. U m t r e m s a i d e u m a estação c o m d e z e s s e t e p a s s a g e i r o s . N a estação s e g u i n t e d e s c e r a m n o v e p a s s a g e i r o s e s u b i r a m c i n c o , n a o u t r a d e s c e r a m três e s u b i r a m o n z e , n a o u t r a d e s c e r a m s e t e e s u b i r a m t r e z e , n a o u t r a d e s c e r a m o i t o e s u b i r a m s e t e . E m q u a n t a s estações p a r o u ?

42. Três r a p a z e s , n o r e s t a u r a n t e , g a s t a r a m C z $ 2 7 , 0 0 , t o c a n d o C z $ 9 , 0 0 a c a d a u m . C a d a r a p a z d e u u m a n o t a d e C z $ 1 0 , 0 0 . O garção f o i a o c a i x a e t r o u x e C z $ 5 , 0 0 d e t r o c o , p o i s f o i f e i t o u m

1 7 8

a b a t i m e n t o . C o l o c o u C z $ 2 , 0 0 n o b o l s o e d e v o l v e u C z $ 1 , 0 0 p a r a c a d a r a p a z . P o r t a n t o , c a d a r a p a z p a g o u C z $ 9 , 0 0 , p e r f a z e n d o u m t o t a l d e C z $ 2 7 , 0 0 ; c o m m a i s C z $ 2 , 0 0 d o garção são C z $ 2 9 , 0 0 . O n d e está o o u t r o c r u z a d o ?

C o m d o i s r i s c o s d i v i d i r o relógio e m três p a r t e s , d e m o d o q u e o s números d e c a d a p a r t e t e n h a m a m e s m a s o m a .

44. C o m o p o d e a m e t a d e d e t r e z e s e r o i t o ?

45. Q u a l o m a i o r número possível d e três a l g a r i s m o s , n o q u a l e n t r a m s o m e n t e 3 , 2 e 8 , s e m r e p e t i r ? E o m e n o r ?

46. P e n s a r u m número. M u l t i p l i c a r p o r 2 . A d i c i o n a r 1 6 . D i v i d i r p o r 2 . S u b t r a i r o número p e n s a d o . D e u 8 ?

47. O q u e p o d e s e r o b s e r v a d o n e s t a s c o n t a s ?

a ) 6 X 2 1 = 1 2 6 b ) 3 X 5 1 = 1 5 3 c ) 8 X 8 6 = 6 8 8

48. T i r a n d o 5 d e 2 5 , q u a n t o f i c a ?

49. São s e t e v e l a s a c e s a s . A p a g u e i d u a s . C o m q u a n t a s f i c a r e i ?

50. U m a s a l a t e m q u a t r o c a n t o s , e m c a d a c a n t o há u m g a t o , c a d a g a t o vê três g a t o s . Q u a n t o s g a t o s são n o t o t a l ? — R e f a z e r c o m s a l a s p e n t a g o n a i s e h e x a g o n a i s p a r a i n d u z i r o t e o r e m a d o número d e d i a g o n a i s .

51. N u m g a l h o d e árvore h a v i a o n z e p a s s a r i n h o s . U m caçador a t i r o u , m a t a n d o q u a t r o . Q u a n t o s f i c a r a m ?

1 7 9

52. O q u e p e s a m a i s , 1 k g d e f e r r o o u 1 k g d e algodão?

53. P e l a e s t r a d a c a m i n h a v a m c i n q u e n t a b u r r o s . O d a f r e n t e o l h o u p a r a trás. Q u a n t o s b u r r o s c o n t o u ?

54. São q u i n z e a l u n o s , d e z c o r i n t i a n o s e o i t o j a p o n e s e s . C o m o p o d e s e r ?

55. E s c r e v e r o número 1 0 0 c o m c i n c o a l g a r i s m o s i g u a i s e c o m s i n a i s d e operações.

56. T r o c a r o s a s t e r i s c o s p o r números, d e m o d o q u e a c o n t a f i q u e c e r t a :

3 4 4 + * 5 *

6 * 2

1 7 0 8 + * * *

* 0 3 0

3 * 2 — * 4 *

1 2 5

1 7 X *

* 1

O s a l u n o s também p o d e m c r i a r p r o b l e m a s d e s s e t i p o p a r a o m u r a l .

57. O q u e você o b s e r v a n e s t a t a b u a d a ?

1 X 9 = 9 2 X 9 = 1 8 3 X 9 = 2 7 4 X 9 = 3 6 5 X 9 = 4 5 6 X 9 = 5 4 7 X 9 = 6 3 8 X 9 = 7 2 9 X 9 = 8 1

1 8 0

58. a ) Q u a n t o s l a d o s t e m o círculo? b ) D e q u e l a d o a g a l i n h a t e m m a i s p e n a s ?

59. M e u avô t e m c i n c o f i l h o s , e c a d a u m t e v e o u t r o s q u a t r o f i l h o s . Q u a n t o s p r i m o s t e n h o ?

60. Q u a l o mês d o a n o q u e t e m 2 8 d i a s ?

61. O s f i l h o s d o s e n h o r R i b e i r o são três r a p a z e s e c a d a u m t e m u m a irmã. N o t o t a l , q u a n t o s são o s f i l h o s e f i l h a s ?

62. U m h o m e m f o i d e c a s a até a p a d a r i a e c o n t o u , à s u a d i r e i t a , 2 3 árvores. N a v o l t a , c o n t o u , à s u a e s q u e r d a , 2 3 árvores. Q u a n t a s são as árvores, n o t o t a l ?

63. N u m a h o r t a há c i n c o árvores, c a d a árvore c o m se i s g a l h o s , c a d a g a l h o c o m d o i s n i n h o s , c a d a n i n h o c o m três o v i n h o s . A C z $ 1 2 , 0 0 a dúzia, q u a n t o c u s t a c a d a o v o ?

64. U m a l e s m a está n o f u n d o d e u m poço d e 1 2 m e t r o s d e p r o ­f u n d i d a d e . D u r a n t e o d i a s o b e 5 m e t r o s e , à n o i t e , d o r m i n d o , e s c o r ­r e g a 3 m e t r o s .

a ) Q u a n t o s m e t r o s a l e s m a s o b e p o r d i a ?

b ) D e p o i s d e q u a n t o s d i a s chegará e m c i m a d o poço?

65. U m s e n h o r t e m 4 0 a n o s , e s e u s f i l h o s têm 1 3 , 1 1 e 8 c a d a u m . D a q u i a q u a n t o s a n o s a i d a d e d o h o m e m será i g u a l à s o m a d a s i d a d e s d o s f i l h o s ?

66. C o m o e s c r e v e r 1 1 , u s a n d o a p e n a s três v e z e s o a l g a r i s m o 2 ?

67. O s e n h o r R i b e i r o e s t a v a d a n d o v o l t a s n o p a r q u e . N a s u a f r e n t e c a m i n h a v a m d u a s p e s s o a s . Atrás d e l e , também c a m i n h a v a m d u a s p e s s o a s . N o e n t a n t o , e l e s e r a m três. C o m o é possível?

68. Q u a l o m e n o r número i n t e i r o p o s i t i v o q u e se p o d e e s c r e v e r c o m d o i s a l g a r i s m o s ?

1 8 1

69. O q u e v e m d e p o i s ?

a ) a . d , o . .

b ) L — y l i i l • i • y l ^ J ^ L L .

c ) D . n , o . .

d ) 0 , @ , e . .

e ) G , © , G . .

70. a ) Q u a n t a s d e z e n a s há e m 3 2 5 0 3 ?

b ) Q u a l a s o m a d e 9 9 6 + 3 8 5 + 4 ?

c ) Q u a i s o s números n a t u r a i s q u e , d i v i d i d o s p o r 3 , d e i x a m r e s t o 2 ?

71. O q u e se o b s e r v a n e s t a e s t r e l a ?

72. U m avião p e r c o r r e u a distância d a c i d a d e A até a c i d a d e B e m 1 h o r a e 2 0 m i n u t o s . N a v o l t a , g a s t o u 8 0 m i n u t o s c o m a m e s m a v e l o c i d a d e . Você s a b e e x p l i c a r p o r quê?

73. U m q u a d r a d o d e 1 0 c m d e l a d o f o i d i v i d i d o e m q u a d r a ­d i n h o s d e 1 c m d e l a d o . C o l o c a n d o - s e t o d o s o s q u a d r a d i n h o s e m f i l a , q u a l o c o m p r m e n t o d a f i l a ?

1 8 2

74. Você m o r a e m A, v a i à e s c o l a e m B, p e r c o r r e n d o c a d a v e z u m c a m i n h o d i f e r e n t e .

• A

B .

Q u a n t o s c a m i n h o s d i f e r e n t e s e x i s t e m d e A até BI

75. S e m e i a c a r e c a t e m 3 5 0 0 c a b e l o s , q u a n t o s c a b e l o s t e m u m a c a r e c a i n t e i r a ?

76. I I I + I I + I + I I + I H = I X . C o m o é possível?

77. T i r a n d o q u a t r o l a r a n j a s d e c i n c o l a r a n j a s , q u a n t a s l a r a n j a s t e r e i ?

78. A d i c i o n e d o i s números p o s i t i v o s a 9 e f i q u e c o m m e n o s d e 1 0 .

79. Dicionário, q u a n t a s sílabas t e m ?

80. O r a t o r o e u a r o u p a d o r e i . Q u a n t o s r t e m i s s o ?

81. O q u e é, o q u e é, t e m o i t o l e t r a s , t i r a q u a t r o , f i c a o i t o .

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

1 . Multiplicação pelo método gelosia. F o i i n v e n t a d o p e l o m a t e ­mático i t a l i a n o L u c a s P a c i o l i ( 1 4 4 5 - 1 5 1 4 ) . C o m o e x e m p l o , v a m o s m u l t i p l i c a r 3 4 v e z e s 2 3 5 , i s t o é, u m número d e d o i s a l g a r i s m o s p o r u m d e três.

1 8 3

Começamos d e s e n h a n d o u m retângulo 2 X 3 . E s c r e v e m o s o s números e r i s c a m o s as d i a g o n a i s :

4

3

4

3

Começamos a s multiplicações:

2 3 5 2 3 5 2 3 5 4 \ 8

o \ \

\ \

\ 4

\ 8 V 2 i \

V \

\ 4

\ 8 o \ v 1 \

\

\ 0 2 \

3 \

\ \ \

\

\ 3 k '

\ \

\

\ 3 \ 6 \ ' \ 5

1 \ \ \ \ \ , ,, \

\ 6 \ 5

1 \

P o r último, a c h a m o s a s s o m a s d i a g o n a i s : 2 + 2 + 5 8 + 1 + 9 + 1 = 1 9 , v a i u m , 1 + 6 = 7 :

= 9,

2 3 \ 8

o \ \ 2 \ 0

2 \

\ 6

o \

\ 9 0 \ X 5

1 \

O

9

A r e s p o s t a é: 7 9 9 0 .

O u t r o e x e m p l o : 6 3 X 5 4 .

3

6

\ 5 1 \

\ 2

\ 0 3 \

\ 4 2 \

2

0

R e s p o s t a : 3 4 0 2 .

184

2 . Multiplicação egípcia. É f e i t a só d o b r a n d o o s números, q u e é o q u e o s egípcios s a b i a m f a z e r . P o r e x e m p l o : 2 2 X 3 5 .

3 5 7 0 1 4 0 2 8 0 5 6 0

C o m o 2 2 = 1 6 + 4 + 2 , então, 2 2 X 3 5 = 5 6 0 + 1 4 0 + 7 0 = = 7 7 0 .

3 . A palavra álgebra. U m matemático árabe, A b u l C h a f a r M o h a -m e d I b n - M u s a A l - K h a r i s m i , d e o n d e v e m a p a l a v r a algarismo, p u b l i c o u , e m 8 3 9 , u m l i v r o c h a m a d o Al-djabr Wal Mogabalah.

D a expressão Al-djabr v e m a p a l a v r a álgebra, q u e s i g n i f i c a v a t r a n s p o r t e , redução, restauração.

E s s a p a l a v r a também e r a u s a d a e m m e d i c i n a c o m o s e n t i d o d e restauração. Às v e z e s , a i n d a se p o d e m e n c o n t r a r c a r t a z e s c o m as p a l a ­v r a s : " m a s s a g i s t a e a l g e b r i s t a " .

4. Multiplicações abreviadas:

a ) Números d e d o i s a l g a r i s m o s :

1 2 4 8 1 6

2 3 X 1 2

6 7 6

• 2 3 X U 2

2 7 6

O u t r o e x e m p l o :

X 1 6 9

O u t r o e x e m p l o , c o m r e s e r v a :

X 8 0 5

1 8 5

b ) Multiplicação d e u m número d e d o i s a l g a r i s m o s p o r 1 1 : b a s t a c o l o c a r , e n t r e o s d o i s a l g a r i s m o s , a s u a s o m a (às v e z e s , v a i u m ) : 3 5 X 1 1 = 3 8 5 ; 4 7 X 1 1 = 5 1 7 .

c ) P a r a m u l t i p l i c a r p o r 1 2 , m u l t i p l i c a m o s p o r 1 0 , d e p o i s p o r 2 e a d i c i o n a m o s u m a o o u t r o . I s t o é m u i t o útil e m n o s s a v i d a . Q u a n t o c u s t a u m a dúzia d e a b a c a x i s s e c a d a u m c u s t a C z $ 8 , 0 0 ? R e s p o s t a : 8 0 + 1 6 = 9 6 .

d ) M u l t i p l i c a r , p o r e l e m e s m o , u m número t e r m i n a d o e m 5 ( i s t o é, e l e v a r a o q u a d r a d o u m número t e r m i n a d o e m 5 ) : b a s t a m u l t i p l i c a r o número d e d e z e n a s p e l o s u c e s s o r e c o l o c a r 2 5 n a f r e n t e .

E x e m p l o s :

• 3 5 X 3 5 -» 3 X 4 = 1 2 . R e s p o s t a : 1 2 2 5 .

• 6 5 X 6 5 - > 6 X 7 = 4 2 . R e s p o s t a : 4 2 2 5 .

( O r e s u l t a d o s e m p r e t e r m i n a e m 2 5 . )

5 . A letra grega K (pi). A razão e n t r e o c o m p r i m e n t o d e u m a circunferência e s e u diâmetro é u m número r e p r e s e n t a d o p e l a l e t r a g r e g a T C ( p i ) . É u m a dízima não periódica: T I = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 . . . T I é u m número i r r a c i o n a l c u j o s d e z p r i m e i r o s a l g a r i s m o s p o d e m s e r m e m o r i z a d o s c o m a f r a s e : " V a i à a u l a o a l u n o a p r e e n d e r u m número u s a d o n a s a r t e s " . C a d a p a l a v r a dá u m a l g a r i s m o , c o n t a n d o s u a s l e t r a s . O u t r a f r a s e q u e dá o m e s m o r e s u l t a d o é: " S o u o m e d o e t e m o r c o n s ­t a n t e d o a l u n o v a d i o , b e m v a d i o " .

Porém, n u n c a t e r e m o s n e c e s s i d a d e d e d e z d e c i m a i s . N a prática, a r r e d o n d a m o s p a r a 3 , 1 4 1 6 o u , m e n o s a i n d a , 3 , 1 4 .

6 . O símbolo !. E m Matemática, não s i g n i f i c a admiração, m a s s i m fatorial, i s t o é, u m a multiplicação começando d o 1 até o número d a d o .

1 8 6

P o r e x e m p l o :

5 ! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 1 2 0 .

C a l c u l e : 4 ! , 6 ! , 2 !

6 ! S i m p l i f i q u e :

4 !

7. A lenda do xadrez. D i z u m a v e l h a l e n d a q u e o i n v e n t o r d o j o g o d e x a d r e z f o i o grão-vizir S i s s a B e n D a h i r , q u e o f e z p a r a r e c r e a ­ção d o r e i d a índia, Shirlâm. O r e i , m u i t o s a t i s f e i t o , m a n d o u S i s s a e s c o l h e r , c o m o p a g a m e n t o , o q u e b e m d e s e j a s s e . O grão-vizir p e d i u u m grão d e t r i g o p a r a a p r i m e i r a d a s 6 4 c a s a s d o t a b u l e i r o d e x a d r e z , d o i s grãos p a r a a s e g u n d a , q u a t r o p a r a a t e r c e i r a , o i t o p a r a a q u a r t a e a s s i m p o r d i a n t e , d o b r a n d o c a d a c a s a até c h e g a r à 6 4 . a , c o b r i n d o t o d o o t a b u l e i r o .

O r e i a d m i r o u - s e ! O f e r e c e r a t u d o , e S i s s a p e d i a a p e n a s u m p u n h a ­d o d e grãos d e t r i g o ! C h a m o u o s matemáticos d a c o r t e , m a n d o u c a l ­c u l a r e p a g a r a o i n v e n t o r .

O s cálculos começaram a f i c a r d e m o r a d o s , o r e i f i c a v a i m p a c i e n t e e só n o d i a s e g u i n t e o s matemáticos a p r e s e n t a r a m o r e s u l t a d o : n e m p l a n t a n d o e m t o d o s o s c o n t i n e n t e s e s e c a n d o o s m a r e s p a r a f o r m a r l a v o u r a s , p o d e r i a s e r p a g o o p e d i d o d o i n v e n t o r .

O r e i , a s s o m b r a d o , p e d i u a c i f r a e o s matemáticos e s c r e v e r a m : 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 5 , q u e é o b t i d a c o m a progressão geomé­t r i c a 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2 6 3 = 2 6 4 - 1 .

C o m o 1 m e t r o cúbico d e t r i g o contém p e r t o d e 1 5 milhões d e grãos, então a r e c o m p e n s a s e r i a p e r t o d e 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m \ S e o c e l e i r o t i v e s s e 4 m e t r o s d e a l t u r a p o r 1 0 m e t r o s d e l a r g u r a , s e u c o m p r i m e n t o p a s s a r i a m u i t o além d o S o l !

8 . As frações. N o início d e s t e l i v r o , v i m o s q u e o s egípcios r e p r e ­s e n t a v a m o três p o r 111 e o um terço p o r | | | . A q u e l a o v a l s o b r e o três s i g n i f i c a v a um pão, l o g o | | | s i g n i f i c a v a um pão para três pes­soas, i s t o é, u m terço d e pão. U m d o z e a v o s d e pão e r a r e p r e s e n t a d o

1 8 7

p o r H I I • E s t e é u m d o s m a i s a n t i g o s m e i o s d e se r e p r e s e n t a r u m a fração e c o n t i n u a e s s e n c i a l m e n t e o m e s m o até h o j e ! N a Grécia e e m R o m a , u s a v a - s e u m s i s t e m a u m p o u c o d i f e r e n t e . F o i n o início d o R e n a s c i m e n t o q u e o matemático i t a l i a n o L e o n a r d o d e P i s a , o F i b o n a c c i ( f i l h o d o B o n a c c i ) , começou a u s a r o traço s e p a r a n d o a q u a n t i d a d e d o número d e p a r t e s . A s s i m , as frações a s s u m i r a m a f o r m a a t u a l .

9 . Sequência de Fibonacci. F i b o n a c c i i n v e n t o u u m a sequência a p e n a s c u r i o s a : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 , . . ., o n d e a s o m a d e d o i s números c o n s e c u t i v o s é o próximo: 3 + 5 = 8 , 5 + 8 = 1 3 e t c .

M u i t o t e m p o d e p o i s , começaram a s u r g i r várias u t i l i d a d e s p a r a e l a s . A m a i s c u r i o s a f o i n a a r t e : o s p i n t o r e s começaram a p i n t a r árvo­r e s c o m números d e g a l h o s n a sequência d e F i b o n a c c i .

O t r o n c o se b i f u r c a , f o r m a n d o d o i s g a l h o s . O s d o i s g a l h o s não se b i f u r c a m j u n t o s . U m v a i p r i m e i r o , f i c a n d o três g a l h o s . A g o r a é u m p r o b l e m a d e p r o b a b i l i d a d e : o g a l h o q u e não se b i f u r c o u p o s s u i m a i s p r o b a b i l i d a d e d e bifurcação q u e o s o u t r o s d o i s , m a s e s t e s , p o r s e r e m d o i s , a c a b a m s o f r e n d o u m a bifurcação, e o número c i n c o é o m a i s provável. E a s s i m p o r d i a n t e .

1 0 . Torre de Hanói. N o d e s e n h o a s e g u i r , v e m o s q u a t r o d i s c o s ( a r r u e l a s ) n a p r i m e i r a h a s t e . E l a s d e v e m s e r p a s s a d a s p a r a a t e r c e i r a h a s t e , d e u m a e m u m a , p o d e n d o - s e u s a r a s e g u n d a , m a s n u n c a f i c a n d o d i s c o m a i o r p o r c i m a d e m e n o r .

1 8 8

É c l a r o q u e , c o m m a i o r número d e a r r u e l a s , o j o g o f i c a m a i s difícil.

O j o g o p o d e s e r f e i t o c o m m o e d a s , s e m h a s t e s , m a r c a n d o três l u g a r e s .

S e a t o r r e d e Hanói p o s s u i a p e n a s u m d i s c o , e l e p o d e s e r p a s s a d o p a r a a t e r c e i r a h a s t e c o m a p e n a s u m m o v i m e n t o . S e a t o r r e p o s s u i d o i s d i s c o s , o s m o v i m e n t o s serão o s s e g u i n t e s :

IL

P o r t a n t o , c o m d o i s d i s c o s são três m o v i m e n t o s ; c o m três d i s c o s serão s e t e m o v i m e n t o s e a s s i m p o r d i a n t e , s e g u n d o a t a b e l a :

1 2 3 4 5 6

1 3 7 15 31 63

A r e g r a é a s e g u i n t e : c o m c i n c o d i s c o s , o número d e m o v i m e n t o s é: 2 X 2 X 2 X 2 X 2 — 1 = 3 2 — 1 = 3 1 , i s t o é, e m g e r a l , c o m n d i s c o s t e r e m o s 2 n — 1 m o v i m e n t o s .

Há u m a l e n d a e n v o l v e n d o esse j o g o : e m B e n a r e s — o c e n t r o d o m u n d o — há u m t e m p l o b u d i s t a o n d e , n a s a l a p r i n c i p a l , estão vários s a c e r d o t e s j o g a n d o a " t o r r e d e Hanói" n o i t e e d i a , s e m p a r a r . A b a s e é d e p r a t a , as h a s t e s são d e d i a m a n t e s e o s d i s c o s são d e o u r o , n u m t o t a l d e 6 4 . Q u a n d o B r a m a c r i o u o m u n d o , c o l o c o u n o T e m p l o d e B e n a r e s e s s a t o r r e d e Hanói c o m 6 4 d i s c o s e d e t e r m i n o u a o s s a c e r d o t e s q u e p a s s a s s e m o s d i s c o s , s e m p a r a r , p a r a a t e r c e i r a h a s t e , s e g u n d o a r e g r a d o s m e n o r e s p o r c i m a . O f i m d o m u n d o se dará q u a n d o f o r p a s s a d o o último d i s c o . E d e s d e então o s s a c e r d o t e s estão c u m p r i n ­d o a determinação, s e m p a r a r , substituídos u n s p e l o s o u t r o s , d i a e n o i t e .

1 8 9

M a s . . . q u a n t o s d i a s demorarão? B e m ! P a r a p a s s a r 6 4 d i s c o s serão necessários 2 6 4 — 1 m o v i m e n t o s , q u e é o m e s m o número d o t a b u ­l e i r o d e x a d r e z . S e o s s a c e r d o t e s g a s t a r e m 1 s e g u n d o p a r a c a d a m o ­v i m e n t o , s e m p a r a r e s e m e r r a r , gastarão 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 5 s e g u n d o s . C a d a a n o t e m 3 6 5 X 2 4 X 6 0 X 6 0 s e g u n d o s , i s t o é, 3 1 5 3 6 0 0 s e g u n d o s ; d i v i d i n d o , concluímos q u e o s s a c e r d o t e s gastarão 5 8 4 9 4 2 4 1 7 3 5 5 a n o s p a r a p a s s a r t o d a s as peças. São m a i s d e 5 0 0 bilhões d e a n o s ! A T e r r a t e m s o m e n t e c e r c a d e 5 bilhões d e a n o s !

11. Quantos avós? C a d a u m d e nós t e m d o i s p a i s , q u a t r o avós, o i t o bisavós, d e z e s s e i s tataravós e t c . ( se não h o u v e c a s a m e n t o c o n ­sanguíneo). A q u a n t i d a d e v a i d o b r a n d o , d i g a m o s , a c a d a 2 5 a n o s p a r a o p a s s a d o . E se v o l t a r m o s n o t e m p o 1 6 0 0 a n o s ? C o m o 1 6 0 0 = 6 4 X X 2 5 , teríamos d e d o b r a r 6 4 v e z e s , i s t o é, 2 6 4 t a t a t a . . .taravôs, q u e e q u i v a l e a 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6 . E s s e número d e p e s s o a s d a r i a p a r a p o v o a r bilhões d e p l a n e t a s T e r r a !

12. "Quem parte e reparte fica com a maior parte". D o i s beduínos v i a j a v a m e m u m único c a m e l o q u e p o d e r i a não s u p o r t a r , c o m p e s o d o b r a d o , a v i a g e m p e l o d e s e r t o . C h e g a r a m a u m oásis o n d e três irmãos b r i g a v a m p a r a d i v i d i r 3 5 c a m e l o s d e i x a d o s c o m o herança. U m d o s beduínos v i a j a n t e s , q u e e r a matemático, p e d i u licença p a r a t e n t a r r e s o l ­v e r o p r o b l e m a . O f a l e c i d o p a i d o s r a p a z e s h a v i a d e i x a d o 3 5 c a m e l o s p a r a d i v i d i r p e l o s três, d e m o d o q u e o p r i m e i r o f i c a s s e c o m a m e t a d e , o s e g u n d o c o m u m terço e o caçula, c o m u m n o n o .

A discórdia se e s t a b e l e c e r a p e l a i m p o s s i b i l i d a d e d e se r e t i r a r a m e t a d e d e 3 5 c a m e l o s , b e m c o m o u m terço e u m n o n o . O matemático m i s t u r o u s e u próprio c a m e l o c o m o s 3 5 , f i c a n d o 3 6 . D e u m e t a d e p a r a o p r i m e i r o q u e , r e c e b e n d o 1 8 a o invés d e 1 7 , 5 , f i c o u m u i t o s a t i s f e i t o e se r e t i r o u . D e u u m terço p a r a o s e g u n d o q u e , c o m 1 2 , s a i u g a n h a n d o . F i n a l m e n t e , d e u 4 p a r a o caçula q u e também f i c o u m u i t o s a t i s f e i t o . O s três irmãos se r e t i r a r a m c o m s e u s 3 4 c a m e l o s ( 1 8 + 1 2 + 4 ) , s o b r a n d o 2 , u m p a r a o matemático e o u t r o p a r a o c o m p a n h e i r o d e v i a g e m .

13. Você sabia que. . .

• 1 + 2 + 3 = 1 X 2 X 3 ?

• D a n d o u m nó e m u m a t i r a d e p a p e l , f o r m a r e m o s u m pentágono?

1 9 0

• N o B r a s i l , 1 bilhão v a l e 1 0 0 0 milhões, m a s há países e m q u e e l e v a l e 1 milhão d e milhões?

• Q u a n d o a m p l i a m o s u m a f o t o , o s c o m p r i m e n t o s d a s c o i s a s f i c a m a u m e n t a d o s , m a s não as m e d i d a s d o s ângulos?

• M u l t i p l i c a n d o 1 4 2 8 5 7 p o r q u a l q u e r número d e 1 a 6 , o r e s u l ­t a d o é f o r m a d o p e l o s m e s m o s a l g a r i s m o s e m o u t r a o r d e m ?

• O s números ímpares e r a m c o n s i d e r a d o s m a c h o s e o s p a r e s , fêmeas?

• 4 X 1 9 6 3 = 7 8 5 2 , o n d e a p a r e c e m t o d o s o s a l g a r i s m o s ?

• P a r a d a r u m a v o l t a a o r e d o r d a T e r r a , teríamos d e a n d a r 4 0 0 0 0 k m ?

• U m d o s m a i o r e s matemáticos f o i E u l e r , q u e c o n t i n u o u c r i a n d o Matemática m e s m o d e p o i s d e c e g o ?

• Q u e u m número é c h a m a d o perfeito se é i g u a l à s o m a d o s s e u s d i v i s o r e s , e q u e o 6 é o m e n o r número p e r f e i t o ( 6 = 1 + 2 + + 3 ) ?

• O s i n a l + é, p r o v a v e l m e n t e , c o r r u p t e l a d a conjunção l a t i n a et?

• O s i n a l — p o d e t e r t i d o o r i g e m n o r i s c o q u e o s c o m e r c i a n t e s m e d i e v a i s u s a v a m p a r a i n d i c a r diferenças n o s p e s o s d a s m e r ­c a d o r i a s ?

• O s i n a l X já e r a u s a d o e m 1 6 4 7 e é atribuído a W . O u g h t r e d ?

• O s i n a l - r - d e v e t e r - s e o r i g i n a d o d a própria notação d e fração, u m traço c o m o n u m e r a d o r e o d e n o m i n a d o r ?

• O símbolo n, p a r a o número 3 , 1 4 1 5 9 . . ., é u m a l e t r a g r e g a q u e começou a s e r u s a d a p e r t o d e 1 7 0 0 n a I n g l a t e r r a ?

• O s i n a l = f o i u t i l i z a d o p e l a p r i m e i r a v e z p o r R o b e r t R e c o r d e m 1 5 4 2 n a I n g l a t e r r a ?

• M u l t i p l i c a n d o 3 7 p o r 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , 1 8 , 2 1 , 2 4 o u 2 7 , o b t e ­m o s u m p r o d u t o d e três a l g a r i s m o s i g u a i s c u j a s o m a é o m u l t i ­p l i c a d o r ?

1 9 1

• Alguém i n v e n t o u u m a história — q u e não c o r r e s p o n d e à r e a l i ­d a d e — q u e o s números t e r i a m s i d o f o r m a d o s c o n t a n d o ân­g u l o s ?

• U m d o s m a i o r e s matemáticos b r a s i l e i r o s f o i J o a q u i m G o m e s d e S o u z a — o S o u z i n h a — q u e n a s c e u n o Maranhão e m 1 5 d e f e v e r e i r o d e 1 9 2 9 e m o r r e u e m L o n d r e s , c o m 3 4 a n o s d e i d a d e , d e i x a n d o inúmeros t r a b a l h o s ?

• É m u i t o difícil d i z e r d e p r e s s a : u m t i g r e , d o i s t i g r e s , três t i g r e s ?

• P a r a c a l c u l a r 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + . . . + 2 0 0 , p e g a ­m o s a média d o p r i m e i r o c o m o último e m u l t i p l i c a m o s p o r 2 0 0 ? A s s i m :

1 + 2 0 0

X 2 0 0 = 2 0 1 0 0 . I s s o v a l e p a r a q u a l q u e r q u a n t i ­

d a d e d e números: 3 0 0 , 3 1 5 e t c .

RESPOSTAS DAS SITUAÇÕES-PROBLEMAS

( S e o a l u n o d e s c o b r i r u m a r e s p o s t a d i f e r e n t e das a p r e s e n t a d a s a b a i x o , t u d o b e m , de sde q u e t e n h a a l g u m a lógica.)

1. D o i s p a r e s ( u m d e b o t i n a e u m d e m e i a ) o u então u m p a r d e b o t i n a m a i s u m a b o t i n a ( m e i a m a i s m e i a ) .

2 . Ônibus.

3 . Três e l o s . A b r i r o s três e l o s d o p r i m e i r o pedaço e c a d a e l o a b e r t o e n g a n c h a d o i s d o s q u a t r o pedaços.

1 9 2

4 . I V O , I V , V .

5 . A m e t a d e d e d o i s m a i s d o i s é o m e s m o q u e a m e t a d e de 4 , é 2 . M a s a m e t a d e de 2 , m a i s 2 , é 1 m a i s 2 , i s t o é, três. Há d u a s r e spos t a s c e r t a s .

6 .

7 . L e v a r d o i s a m i g o s u m a v e z .

8. S e m solução, n o p l a n o . N u n c a d i z e r i s s o ao s a l u n o s .

9 . B a s t a c o b r i r a m e t a d e e s q u e r d a de c a d a d e s e n h o p a r a v e r q u e o pró­x i m o d e v e ser . V e j a , s e p a r a n d o as m e t a d e s : M , 52 , £3 . . . São os a l g a r i s m o s .

10. C a t o r z e q u a d r a d o s , c i n c o triângulos. P o d e - s e a u m e n t a r os d e s e n h o s e f a z e r m a i s divisões.

11. a )

b )

=1 ( o n z e = o n z e ) o u X

c ) |= i < II

ff 111 d ) + —

e )

f ) M-1 12. a ) 1 0 b ) 9 c ) 15 d ) 13

i ) 1 6 j ) 1 6 2 1) 1 7 m ) 3 6 (números p r i m o s ) r ) X V I I .

e ) 2 2 f ) 2 9 g ) 1 1 h ) 4 8 n ) 4 0 o ) 1 3 p ) 1 5 q ) 1 3

13. P o r q u e 13 X H X 7 = 1 0 0 1 e m u l t i p l i c a r u m número de três a l g a ­r i s m o s p o r 1 0 0 1 é r e p e t i - l o e m s e g u i d a .

1 9 3

14. O a n o e m q u e e s t a m o s . T e s t e c o m a s u a i d a d e .

15.

16. 7 .

2

6 8 5

4 1 3

7

17. O a l u n o dirá 4 ; m a s , se e s t i v e r m o s f a l a n d o d o n u m e r a l 8 , a r e s p o s t a p o d e s e r 3 o u 0 . I s s o p o r q u e p o d e m o s c o r t a r o n u m e r a l n a m e t a d e a s s i m ^ o u a s s i m . .

18. 1 5 .

19. A p r i m e i r a situação é 8 , 0 , 0 , i s t o é, 8 l i t r o s n u m garrafão e z e r o n o s o u t r o s d o i s . A g o r a , v a m o s e n c h e r o garrafão d o m e i o , f i c a n d o 3 , 5 , 0 . A s s i m , v a m o s t e n t a n d o . U m a solução é:

f i c a n d o 4 n o d o m e i o . Há o u t r a s soluções. O b s e r v e q u e , n a última p a s s a g e m , p e g a m o s o garrafão d o m e i o e c o m p l e t a m o s o p e q u e n o , q u e já t i n h a 2 l i t r o s . C o u b e a p e n a s m a i s 1 l i t r o .

20.

O o o o o • o o ­

o o o ­o o o

o o

21 . 22.

1 9 4

23. U m m i n u t o . C a d a u m c o m e o s e u .

24. a )

b )

d )

e )

c ) s e m solução.

25. 1 2 4 8 . . .

1 8 3 6 7 2 1 4 4 . . .

1 3 = i _|_ 4 + 8 , l o g o , 13 X 1 8 = 1 8 + 7 2 + 1 4 4 = 2 3 4 .

26. a ) 4

5 b ) c )

8

1 6 d )

2 0

1 5 e ) g )

27. a ) 9 , 8 , 1 b ) 1 6 , 5 , 3

28. a ) 2 X 3 — 1 = 5 2 X 5 — 8 = 2 2 X 4 — 7 = 1

b ) 5 + 1 1 = 1 6

29. 1 9 , 1 1 , 6 .

30. 9 , 1 4 , 0 .

31 . a ) 9 , 1 1 b ) 3 2 , 6 4

32. a ) 4 b ) 1 0 c ) 4

33. a ) | j ] b ) ^ c ) x

34. b )

35. d )

36. 3 k g

c ) 3 2 , 3 , 4 d ) 7 , 4 , 1 5

c ) 0 + 2 X 1 2 + 2 X 1

4 + 2 X 4 :

c ) 3 , 3

d ) 2

d ) 8 e ) 3 ) f ) 9

: 2 4 12

g) El

1 9 5

37. S e p a r a r o s lápis e m três g r u p o s de três.

QQQ

" T V

• P r i m e i r a p e s a g e m : três lápis e m u m p r a t o e três n o o u t r o . S e d e r i g u a l , o m a i s l e v e está c o m os o u t r o s . Se d e r d e s i g u a l , o m a i s l e v e está n o p r a t o q u e s u b i u . D e q u a l q u e r f o r m a , já i s o l a m o s três.

- t A

• S e g u n d a p e s a g e m : u m lápis e m u m p r a t o e u m n o o u t r o . S e d e r i g u a l , o m a i s l e v e é o o u t r o . Se d e r d e s i g u a l , o m a i s l e v e f i c a também d e t e r m i n a d o .

38. U m d i a p r e s o , o u t r o s o l t o .

3 - 7 8 ! 39. 8 0 2 .

7 P e r f u r o u t o d a s as f o l h a s d o s o i t o l i v r o s d o m e i o , m a i s a p r i m e i r a f o l h a d o l i v r o 1 , q u e f i c a à d i r e i t a d o l i v r o , m a i s a última f o l h a d o l i v r o 1 0 , q u e f i c a à e s q u e r d a .

40. 3 X 2 = 6 . E r a m u m m e n i n o , o p a i e o avô.

41 . E s s e p r o b l e m a é a p e n a s u m a b r i n c a d e i r a q u e i n d u z o a l u n o a f i c a r s o m a n d o p a s s a g e i r o s q u a n d o há inúmeras co i sa s a o b s e r v a r . Só p o d e m o s começar a r e s o l v e r d e p o i s q u e f o r f e i t a a p e r g u n t a .

42. E s s e p r o b l e m a é i n t e r e s s a n t e , p o i s m o s t r a q u e as c o n t a s não p o d e m ser f e i t a s a t a b a l h o a d a m e n t e . É p r e c i s o q u e h a j a u m o b j e t i v o . P o r e x e m p l o : q u e r e m o s s a b e r o n d e estão os C z $ 3 0 , 0 0 ? Estão C z $ 2 5 , 0 0 n o c a i x a , C z $ 3 , 0 0 n o s b o l s o s d o s r a p a z e s e C z $ 2 , 0 0 c o m o garção. Não há m o t i v o p a r a a d i c i o n a r , c o m o n o p r o b l e m a , os C z $ 2 7 , 0 0 p a g o s c o m os q u e f i c a r a m c o m o garção. H a v e r i a m o t i v o p a r a s u b t r a i r ! C z $ 2 7 , 0 0 p a g o s m e n o s os C z $ 2 , 0 0 q u e f i c a r a m c o m o garção são o s C z $ 2 5 , 0 0 q u e estão n o c a i x a .

1 9 6

43.

44.

45.

46.

- X f f l — > V I I I . É só p e g a r a m e t a d e d e c i m a . 8 3 2 e 2 3 8 . U m número: % M u l t i p l i c a r p o r 2 : A d i c i o n a r 1 6 : D i v i d i r p o r 2 :

2 x 2 x + 1 6 2 x + 1 6 2 x

+ 1 6

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

2 2 S u b t r a i r x : x + 8 — x = 8 6 X 2 1 , de trás p a r a f r e n t e : 1 2 6 . 2 . C o m d u a s ; as o u t r a s serão c o n s u m i d a s . Q u a t r o . N e n h u m . O s o u t r o s v o a r a m . P e s a m o m e s m o : 1 k g . Q u a l você q u e r q u e c a i a s o b r e s e u pé? N e n h u m . B u r r o não sabe c o n t a r . Há três a l u n o s q u e são j a p o n e s e s e c o r i n t i a n o s .

3

x + 8

55. 1 1 1 - 1 1 o u 3 X 3 3 +

56.

o u 5 X 5 X 5 — 5 X 5 .

a ) 3 4 4 + 2 5 8

b ) 1 7 0 8 + 3 2 2

c ) 3 7 2 — 2 4 7

d ) 1 7 X 3

57.

58.

59. 60. 61 . 62. 63.

6 0 2 2 0 3 0 1 2 5 5 1 A s d e z e n a s c r e s c e m e as u n i d a d e s d e c r e s c e m , de m o d o q u e , e m c a d a número, a s o m a é s e m p r e 9 . a ) D o i s : o d e d e n t r o e o d e f o r a . b ) L a d o d e f o r a . D e z e s s e i s . O s irmãos não são p r i m o s . T o d o s p o s s u e m 2 8 d i a s , o u m a i s . 3 + 1 = 4 . 2 3 . A s 2 3 d a d i r e i t a estarão à e s q u e r d a n a v o l t a . C z $ 1 , 0 0 .

1 9 7

64. a ) 2 m e t r o s . b ) C i n c o d i a s , p o i s , d e p o i s de q u a t r o d i a s , s u b i u 8 m e t r o s e, n o d i a

s e g u i n t e , s u b i n d o 5 m e t r o s , a t i n g e a b o r d a , m e s m o q u e e s c o r r e g u e de n o i t e .

65. D a q u i a q u a t r o a n o s . 2 2

66. . 2

67. O c a m i n h o e r a c i r c u l a r . 1 2

6 8 . T o d o s d i z e m 1 0 ; n o e n t a n t o , é a u n i d a d e e s c r i t a c o m o — o u — e t c . 1 2

69. a ) )Q b)|_ c ) Q d)(g) e )Q 70. a ) 3 2 5 0 .

b ) 9 9 6 + 4 = 1 0 0 0 , l o g o , a s o m a é 1 3 8 5 , d e cabeça. c ) 2 , 5 , 8 , 1 1 , 1 4 , . . .

71 . A s o m a é s e m p r e 2 6 , i n c l u s i v e a das seis p o n t a s . 72. 8 0 m i n u t o s é o m e s m o q u e 1 h o r a e 2 0 m i n u t o s . 73. 1 0 X 1 0 = 1 0 0 , o u se ja , 1 m e t r o . 74. E s s e p r o b l e m a p o d e ser r e s o l v i d o p o r c o n t a g e m , r i s c a n d o t o d o s o s

c a m i n h o s , o u u s a n d o o triângulo de T a r t a g l i a - P a s c a l . P a r a n o v e q u a r ­teirões, t e r e m o s :

1 1

4

R e s p o s t a : V i n t e c a m i n h o s . S e f o s s e m dezesse is quarteirões, teríamos s e t e n t a c a m i n h o s .

75. N e n h u m . 76. V i s t o n o e s p e l h o . 77. 4 .

1 78. 9 + . N a v e r d a d e , e s t a m o s s o m a n d o a p e n a s u m número:

2 79. O dicionário t e m 2 3 7 5 9 7 sílabas. Se d u v i d a r , c o n f i r a . 8 0 . I s s o não t e m r ! 8 1 . B i s c o i t o .

1 1 1

2 1 3 3

6 4 10 10

20

1 9 8

Bibliografia

( A s o b r a s a s s i n a l a d a s c o m a s t e r i s c o p o d e r i a m f a z e r p a r t e d a b i b l i o t e c a s u g e r i d a n o capítulo 3 , Laboratório d e Matemática.) A E B L I , H a n s . Prática de ensino. São P a u l o , E P U / E d u s p , 1 9 8 2 . * A L M E I D A , P a u l o N . A explosão recreativa dos jogos. São P a u l o , E s t r u ­

t u r a , 1 ^ 8 2 . B E C H A R A , L . S. e L I B E R M A N , M . P . Curso moderno de Matemática

( G R U E M A ) . São P a u l o , N a c i o n a l , 1 9 7 7 . B E R N A L , V . D . Historia social de la ciência. B a r c e l o n a , P e n i n s u l a , 1 9 7 3 . * B E Z E R R A , J a i r o . Vamos gostar de Matemática. R i o d e J a n e i r o , P h i l o b i b l i o n ,

1 9 8 5 . B L O O M , B . S. e t a l . Taxionomia dos objetivos educacionais. P o r t o A l e g r e ,

G l o b o , 1 9 7 7 . * B O Y E R , C a r l B . História da Matemática. São P a u l o , E d g a r d B l u c h e r , 1 9 7 4 . B R A S I L , L u i z A . S . Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da Matemática.

R i o d e J a n e i r o , Forense/Universitária, 1 9 7 7 .

D I E N E S , Z o l t a n P . As seis etapas do processo de aprendizagem em Mate­mática. São P a u l o , E P U / M E C , 1 9 7 5 .

* G A R D N E R , M a r t i n . Divertimentos matemáticos. São P a u l o , I b r a s a , 1 9 6 1 . * H O G B E N , L a n c e l o t . Maravilhas da Matemática. P o r t o A l e g r e , G l o b o , 1 9 5 8 .

* K A R L S O N , P a u l . A magia dos números. P o r t o A l e g r e , G l o b o , 1 9 6 1 .

* K A S N E R , E d w a r d . Matemática X imaginação. R i o d e J a n e i r o , Z a h a r , 1 9 7 6 .

K O T H E , S . Pensar é divertido. São P a u l o , E P U , 1 9 7 7 .

L I B E R M A N , M . P . e W E G , R . L . Fazendo e compreendendo Matemática. São P a u l o , Solução, s. d .

M E N N I N G E R , K . Number words and number symbols. M a s s a c h u s e t t s - E U A , M . I . T . P r e s s , 1 9 7 0 .

1 9 9

* P E R E L M A N , Y . I . Álgebra recreativa. M o s c o u , E d i t o r i a l M I R , 1 9 5 9 . —. Brincando de Matemática. M o s c o u , E d i t o r i a l M I R , 1 9 6 0 . —. Matemáticas recreativas. M o s c o u , E d i t o r i a l M I R , s . / d . —. Problemas y experimentos recreativos. M o s c o u , E d i t o r i a l M I R , 1 9 7 5 .

P I A G E T , J . Fazer e compreender. São P a u l o , M e l h o r a m e n t o s , 1 9 7 8 . —. Seis estudos de Psicologia. R i o d e J a n e i r o , Forense/Universitária, 1 9 8 5 . — e I N H A L D E R , B . Génese das estruturas lógicas elementares. R i o d e

J a n e i r o , Z a h a r , 1 9 7 5 . —. O desenvolvimento das quantidades físicas na criança. R i o d e J a n e i r o ,

Z a h a r , 1 9 7 5 .

P I A G E T , J . e S Z E M I N S K A , A . A génese do número na criança. R i o d e J a n e i r o , Z a h a r , 1 9 7 1 .

P I L E T T I , Cláudio. Didática especial. São P a u l o , Ática, 1 9 8 6 .

* R O S A N E T O , E r n e s t o . O jogo do vadião. São P a u l o , Atfa-Ômega, 1 9 8 5 .

S E C R E T A R I A D A E D U C A Ç Ã O . Subsídios para a implementação do guia curri­cular de Matemática — 1.° g r a u . São P a u l o , C E N P , 1 9 7 7 .

* S O L O M O N , C h a r l e s . Matemática (Série P r i s m a ) . São P a u l o , M e l h o r a m e n ­t o s , 1 9 7 5 .

* T A H A N , M a l b a . A Matemática na lenda e na História. R i o d e J a n e i r o , B l o c h , 1 9 7 4 .

—. Antologia da Matemática. São P a u l o , S a r a i v a , 1 9 6 0 . —. As maravilhas da Matemática. R i o de J a n e i r o , B l o c h , 1 9 7 2 . —. O homem que calculava. R i o d e J a n e i r o , B l o c h , 1 9 7 3 .

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