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ESTEST--56 56 -- Prof. GilProf. Gil1

DINÂMICA DE ESTRUTURAS E

AEROELASTICIDADE

Prof. GIL

Aeroelasticidade - Introdução


Um Modelo Dinâmico Diferente...

� Equações de movimento de um sistema dinâmico:

onde é um vetor de deslocamentos físicos

estruturais. M e K matrizes de massa e rigidez, respectivamente

e L representa um carregamento de natureza aerodinâmica.

� As matrizes de massa e rigidez são usualmente obtidas de

modelos de elementos finitos da estrutura sob análise.

� Note que as cargas aplicadas são de natureza aerodinâmica, e

neste caso particular dependem dos graus de liberdade da

estrutura.

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ }

( ) ( )( ){ }, , , ,

, , ,

,

,

, ,

, ,s s s s

s s s s

s

s s

sM u x y z t K u x y z t

L u x y z t u x y z t

+ =��

�

( ){ }s s su x , y , z ,t


Carregamento Aerodinâmico

� O carregamento aerodinâmico pode ser subdividido em uma

parcela devido a forças externas (Le(t)) e outra incremental,

dependente dos deslocamento estruturais (La (u(t),…))

� As cargas externas podem ser devido a rajadas, ação de sistemas

de controle, por exemplo. São consideradas em estudos de

resposta aeroelástica.

� As cargas incrementais, dependentes dos deformações da

estrutura, são obtidas de uma teoria aerodinâmica adequada.

� A modelagem destas cargas em conjunto coma modelagem da

estrutura definem um modelo que ocorre a interação fluido-

estrutura representada na equação:

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ) ( )( ){ } ( ){ }, eaM u t K u t L u t u t L t+ − =��


Estabilidade do sistema

� A versão homogênea da equação do sistema dinâmico sobre

análise é dada por:

� Pode-se estudar a estabilidade do sistema, para se identificar

condições onde se pode encontrar uma instabilidade, por

exemplo, variando um parâmetro de interesse do sistema, tal

como a velocidade do escoamento que passa sobre a estrutura.

� Quando se estuda a estabilidade, é desejável transformar a

formulação no domínio do tempo (acima), para o domínio da

frequência (Laplace).

� Entretanto, para tal deveremos transformar as cargas

aerodinâmicas para este novo domínio.

[ ] ( ){ } [ ] ( ){ } ( ) ( )( ){ } { }, 0aM u t K u t L u t u t+ − =��


Cargas Aerodinâmicas

� A transformação das cargas aerodinâmicas do domínio do

tempo para o domínio a frequência (Laplace) pode ser realizada

aplicando a definição de transformada de Laplace

� Imagina-se que a força aerodinâmica é uma saída devido à

estrada associada aos estados, o vetor u(t) e suas derivadas

temporais.

� Ou seja um carregamento qualquer pode ser representado por

uma integral de Duhamel onde a função de resposta indicial do

sistema é a função de transferência aerodinâmica H , ou seja,

uma integral de convolução resultando em:

( ) ( )( ) ( ) ( ){ }0

,

t

a

UL u t u t q H t u d

bτ τ τ∞

∞

= −

∫�


Cargas Aerodinâmicas Complexas

� Cuja transformada de Laplace é:

onde é a função de transferência aerodinâmica,

transformada de Laplace de , com sendo a

variável de Laplace adimensional.

( )( ){ } ( ) { }( )a

sb

UL u s q H u s∞

∞

=

( )sb

UH

∞

( )U t

bH ∞

sb U ∞


Problema de Autovalor

� O problema de autovalor associado ao sistema aeroelástico no

domínio da frequência fica:

� Esta é uma solução geral, onde pode-se pressupor

carregamentos aerodinâmicos quaisquer, desde que se conheça a

função de transferência aerodinâmica.

� Este sistema pode ser particularizado para movimentos

harmônicos simples, uma vez que temos soluções matemáticas

que considera movimentos associados aos corpos de natureza

hamônica, por exemplo

[ ] [ ] ( ) { }2 ( ) 0sb

Us M K q H u s∞

∞

+ − =


Transformação Modal

� Normalmente modelos dinâmicos representado por elementos

finitos implicam em um número muito elevado de graus de

liberdade.

� O que implica também em matrizes de massa e rigidez de

dimensões elevadas.

� A aproximação mais adequada para a redução da dimensão, ou

da ordem do sistema é transformar o modelo dinâmico estrutural

para uma base modal.

� Esta transformação é realizada através da solução do problema

de autovalor associado,de onde se pode obter autovalores e

autovetores. Estes autovetores são conhecidos também como

modos naturais, ou modos de vibração, e representam um

operador que transforma coordenadas de uma base física (ex.

Sistema cartesiano) para uma base modal.


Representação modal

� Desta forma, a representação dos deslocamento físicos

estruturais na base modal é feita através da seguinte

transformação:

� O que representa fisicamente que um deslocamento físico

pode ser escrito como uma combinação linear de coordenadas

generalizadas, isto é, coordenadas que representam uma

participação modal em um movimento qualquer da estrutura.

� A matriz [ΦΦΦΦ] é conhecida como matriz modal e é composta

por vetores modais {φφφφ}I , que são os autovetores associados

ao sistema dinâmico representado pelas equações de

movimento sob análise.

( ){ } [ ] ( ){ }u t q t= Φ


Modelo na Base Modal

� Aplicando a transformação modal ao sistema dinâmico temos:

onde:

( ) { }2 ( ) 0sb

Us M K q Q q s∞

∞

+ − =

[ ] [ ][ ]T

M M = Φ Φ [ ] [ ][ ]T

K K = Φ Φ

( ) [ ] ( ) [ ]Tsb sb

U UQ H

∞ ∞

= Φ Φ

( ){ } [ ] ( ){ } ( ){ } [ ] ( ){ }u t q t u s q s= Φ ⇒ = Φ


Movimentos Harmônicos Simples

� Assumindo Movimento Harmônico Simples:

� Pode-se estudar o problema de estabilidade resolvendo o

problema do autovalor associado a este sistema.

( ) { }2 ( ) 0M K q Q ik q iω ω∞ − + − =

( ){ } [ ] ( ){ }u i q iω ω= Φ


Uma Aplicação da Dinâmica das Estruturas

� Mas afinal, que tipo de sistema é este, onde temos uma

interação fluido-estrutura de forma explícita, e que tem

muita relação com problemas aeronáuticos, tal como o

vôo atmosféricos de veículos aeroespaciais?

� Este tipo de modelo tem algum nome, é definido por

algum conceito?

� Filme da NASA, apresentado por I. E. Garrick


Introdução a um novo conceito

� AEROELASTICIDADE é a ciência que estuda as consequências da

interação de forças de inércia, elásticas e aerodinâmicas, agindo

simultaneamente na estrutura de um corpo.

� Forças de inércia – decorrentes das acelerações às quais a massa do

corpo está sujeita;

� Forças elásticas – decorrentes das reações elásticas do corpo que se

desloca (deforma);

� Forças aerodinâmicas – decorrentes do escoamento de fluido ao qual o

corpo está sujeito;


Introdução

� AEROELASTICIDADEESTÁTICA:

� Quando o movimento varia

pouco com o tempo; sem

aceleração e/ou velocidade

significativas.

Deflexão das asas de aeronaves em vôo em função do carregamento aerodinâmico.


Introdução

Note que asas podem ser bastante flexíveis !

(teste estrutural daasa do Boeing 747)


Introdução

� AEROELASTICIDADEDINÂMICA:

� Quando o movimento varia

significativamente com o

tempo;

� Acelerações e velocidades

significativas o que implica

no surgimento das

componentes de inércia que

interagem com as

componentes elásticas e

aerodinâmicas


Introdução

� Ou seja, uma aeronave é um corpo flexível, portanto pode ser deformada, sua aerodinâmica será alterada;

� Estas alterações aerodinâmicas em função das deformações da estrutura, caracterizam o comportamento aeroelástico;

� O sistema dinâmico que caracteriza o corpo e o meio que o envolve (escoamento de fluido), passa a ser chamado de sistema aeroelástico, e pode ser representado matematicamente através de modelos adequados, fundamentados nas teoria a serem apresentadas neste curso.

� Obs: O termo AEROELASTICIDADE foi formalmente introduzido por Roxbee Cox e Pugsley – em 1932.


Aeroelasticidade

� A interação mútua entre as forças elásticas, de inércia e aerodinâmicas pode ser representada graficamente através de um diagrama conhecido como diagrama dos três anéis ��

� Obs: Collar em 1946, inicialmente definiu aeroelasticidade em termos de um triângulo de forças análogo ao diagrama ao lado.


Fenômenos Aeroelásticos

� Os fenômenos físicos associados aos dois tipos de comportamento de um sistema, estático ou dinâmico, podem ser subdivididos como:

�Associados a estabilidade do sistema aeroelástico:

� Divergência (estático)

� Flutter (dinâmico)

�Associados à resposta (aeroelástica) no tempo:

� Redistribuição de Cargas (estático)

� reversão de comandos (estático)

� cargas de rajadas (dinâmico)

� Buffeting (dinâmico)

� Cada um dos fenômenos físicos serão apresentados ao longo do curso, bem como a forma de modela-los matematicamente.


Divergência

� Conforme apresentou-se anteriormente, o aumento de sustentação ocorre devido ao aumento do ângulo de ataque.

� Se a pressão dinâmica do escoamento for suficientemente alta, este processo realimentado pode levar ao colapso da estrutura devido a “divergência” do movimento da asa;

� Caso contrário, a asa permanece estaticamente deformada.


Flutter

� Flutter é uma auto-excitação de dois ou mais modos de vibração de um sistema, devidamente alterada e realimentada pelo escoamento de um fluido. Pode vir a causar oscilações de amplitude que crescem exponencialmente levando a estrutura a uma falha dinâmica.


Redistribuição de Cargas

� Quando a asa é flexível, o

carregamento aerodinâmico

ao longo da envergadura

pode ser alterado devido a

deformação da asa em

ângulo de ataque.

1.0


Reversão (eficiência) de comandos

• Pode causar

ineficiência, perda

ou até a reversão de

uma ação de

comando de uma

superfície de

controle

Reversão do Aileron


Cargas de rajada

� Cargas dinâmicas:

�Devido rajadas de vento, pouso, disparo de armamentos,

alijamento, choques e etc.;

�O aumento do carregamento aerodinâmico devido uma

rajada de vento ocorre devido ao aumento do ângulo de

ataque instantâneo, podendo elevar o fator de carga a limites

além dos autorizados para a aeronave;

�Modela-se o sistema aeroelástico considerando a presença da

rajada também para o projeto de sistemas de alívio de cargas

desta natureza.


Buffeting

� Fenômeno típico de aeronaves de alta manobrabilidade;

� Vibrações causadas pela esteira gerada por outras partes da aeronave, por exemplo interferência da esteira da asa na empenagem;

� Fenômeno altamente não linear, difícil de modelar matematicamente, sendo necessária investigação em túnel de vento


Bibliografia e referências

� Textos básicos do curso:

�Bismarck-Nasr, M. N. Structural Dynamics in Aeronautical Engineering. Reston, VA: AIAA, 1999. (AIAA Education Series).

�Bisplinghoff, R.L. Ashley, H. and Halfman, R. Aeroelasticity. Addison Wesley, 1955.

�Dowell, E. H. et al. A Modern Course in Aeroelasticity. 4. ed. Kluwer Academic, 2005.

�Fung, Y. C. An Introduction to the Theory ofAeroelasticity, Wiley, 1955

� Mais um conjunto de referências a serem passadas durante o curso, de acordo com o assunto.

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