Dinamica dei Fluidi

Esistono vari modelli per descrivere il

comportamento di un fluido.

Noi distinguiamo:

Fluido ideale Fluido reale (viscoso)

• Il volume è indipendente dalla pressione: liquido incomprimibile (i.e. ρ costante,

indipendente da p, v, T, h, ...);

•è trascurabile la sua struttura molecolare, cioè la massa liquida può essere

considerata un continuo anche su porzioni infinitamente piccole;

• lo scorrimento delle molecole le une rispetto alle altre avviene senza perdita di

energia per attrito interno ed il liquido è infinitamente deformabile viscosità nulla

(«attrito» nullo);

•la velocità attraverso una sezione trasversale del condotto è uguale in ogni punto;

•Il fluido si muove secondo un modello “laminare”: la velocità in un punto fissato non

cambia nel tempo né in modulo né in direzione. Le linee di flusso non si intersecano

mai.

Fluido ideale Fluido reale (viscoso e vorticoso)

Fluidi ideali

Ipotesi:

Definizione: PORTATA = Q =V

t(m3/s)

E’ il volume di fluido che, al secondo, attraversa la sezione di condotto.

Es.: la portata media di un fiume, d’estate, è minore rispetto all’inverno

Es.: la portata di un grosso vaso è maggiore di quella di un piccolo vaso

Portata di un fluido

Portata di un fluido

Consideriamo un condotto di sezione S attraversato da un fluido che si muove

con velocità v uguale in tutti i punti della sezione

Per flusso stazionario si intende che il moto e in particolare la velocità delle

particelle o del volume infinitesimo del fluido è indipendente dal tempo.

Ipotesi:

In un fluido ideale dove il moto è stazionario la portata Q è costante

Nell’intervallo di tempo Δt:

Δx1 = v1 Δt

Δx2 = v2 Δt

Δm1 = ρ1 S1 Δx1 = ρ1 S1 v1 Δt

Δm2 = ρ2 S2 Δx2 = ρ2 S2 v2 Δt

La massa si conserva ⇒Δm1 = Δm2 ρ1 S1 v1 = ρ2 S2 v2

La quantità di fluido che entra da una estremità del tubo è uguale alla quantità

di fluido che esce nello stesso intervallo di tempo ⇒ La portata Q è costante

Il fluido è incomprimibile ⇒r1 = r2 S1 v1 = S2 v2

Equazione di continuità

=> Q =V

t= costante, lungo il condotto

«La quantità di fluido che entra da un’estremità deve

uscire dall’altra estremità, nello stesso tempo t»

Equazione di continuità

Consideriamo un volumetto V di fluido ideale che

si muove nel tempo Δt.

Sia Δm la massa del volumetto ( Δm = ρΔV)

Calcoliamo fra i punti 1 e 2:

• la variazione di energia cinetica ΔEk

• il lavoro delle forze di pressione L12p

• il lavoro della forza peso L12g

Legge di Bernoulli

ΔEk = ½ Δm v22 –½Δm v1

2

h1

h2

Dal teorema dell’energia cinetica: ΔEk = L12g +L12p ⇒

½ Δm v22 –½Δm v1

2 = Δm g h1 – Δm g h2 + p1 Δm/ρ–p2 Δm/ρ

p1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v2

2 + ρ g h2 = costante

L12g = Δm g h1 – Δm g h2

L12p = F1 x1 –F2 x2 = p1 S1 x1 –p2 S2 x2=(p1 –p2 ) Δm/ρ

Se A = costante (SEZIONE COSTANTE) allora: v = cost. e anche p = cost.

Teorema di Bernulli

P1 + ½ r v12 + r g y1 = P2 + ½ r v2

2 + r g y2

Se A diminuisce allora v aumenta e p diminuisce

Effetto VenturiDal teorema di Bernoulli:

p1 + r g h1 + 1/2 r v12 = p2 + r g h2 + 1/2 r v2

2

h1 = h2 : p1 + 1/2 r v12 = p2 + 1/2 r v2

2

da cui: p1 = p2 + 1/2 r (v22 - v1

2)

Poichè S2v2 =S1v1 v2>v1

Il fenomeno può essere visualizzato applicando al condotto due canne

manometriche: la differenza di altezza del liquido nei due tubicini è proporzionale

alla differenza di pressione. Infatti applicando la legge di Stevino al fluido in

equilibrio contenuto nelle due canne si trova che:

p1 - p2 = r g h

e quindi p1 > p2.

A sezione maggiore corrisponde pressione maggiore e viceversa. Ovvero:

quando in un condotto c’è una strozzatura si verifica una caduta di pressione.

1

2

P + ½ r v2 + r g y = costante

Se A = cost

allora anche v=cost

P + r g y = costante

I punti piu’ alti hanno pressione piu’ bassa

Teorema di Bernulli

Legge di Torricelli

Liquido che esce da un foro in un recipiente.

Qual è la velocità del getto d’acqua ?

p + ρgh +½ ρ v2 = cost (eq. Bernoulli)

patt + ρgy1 =patt +½ ρ v22

v2=(2gy1)1/2

Sistema cardiovascolare

p + ½ ρ v2 + ρ g h =K

S1 v1 = S2 v2 v1 = v2

p = cost.

ANEURISMA

S1 v1 = S2 v2 v1 > v2

p1 + ½ ρ v12= p2 + ½ ρ v2

2 p2>p1

STENOSI

S1 v1 = S2 v2 v1 < v2

p1 + ½ ρ v12= p2 + ½ ρ v2

2 p2<p1

Fluido ideale, moto stazionario, pareti rigide

• Nei fluidi reali esistono forze che tendono a opporsi al moto relativo

delle particelle che li costituiscono.

• La capacità di trasmettere tali forze viene definita viscosità.

• Nel moto relativo di due strati di fluido, le forze che contrastano tale

moto sono parallele alla superficie di separazione degli strati e

quindi sono forze tangenziali rispetto alla superficie.

Fluidi reali

p = 0

Fluido ideale

Q=cost

S2v2 =S1v1 v2=v1

e quindi

Fluido reale viscoso

p = 0

Fluidi reali

p1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v2

2 + ρ g h2 = costante

Fluidi viscosi: regimi laminare e turbolento

All’aumentare della velocita’ del fluido nel condotto, provocata ad esempio

dall’aumento della pressione ai suoi capi si ha il passaggio dal regime di

moto laminare al regime di moto vorticoso o turbolento.

r

Fluidi reali

Flusso laminare

L’andamento della velocità di scorrimento (MODULO) aumenta dai bordi (v=0) al

centro dove raggiunge il valore massimo (v=vMAX).

Il profilo della velocità è di tipo PARABOLICO (v è proporzionale al QUADRATO

della distanza dal bordo).

In fluidodinamica si parla di flusso laminare o di regime laminare quando il moto

del fluido avviene con scorrimento di strati infinitesimi gli uni sugli altri senza alcun

tipo di rimescolamento di fluido, neanche su scala microscopica.

Il flusso è governato dalle forze viscose ed è costante nel tempo.

v = velocità tangenziale

sforzo di taglio (“quanta forza applico per metro quadro”)

( )AF= (legge di Newton)

F

Aη

v

y=

Viscosità

H O (T = 20 C) =1.005 10 Pa sSangue (T = 37 C) = 2.084 10 Pa sOlio Ricino (T = 20 C) = 0.986 Pa sAria (T = 20 C) =1.81 10 Pa s

2

-3

-3

-5

REGIME LAMINARE

η coefficiente di viscosità

A area

v→ = velocità relativa

vAF A −=

C.G.S. g s–1 cm–1 = poise

FORZE DI ATTRITO

Fluidi viscosi regime laminare

La viscosità dipende fortemente dalla temperatura !!!

Nei gas aumenta con la temperatura

T

(aumenta il moto termico delle molecole)

Nei liquidi diminuisce con la temperatura (le forze di attrazione

intermolecolari decrescono con il crescere di T).

Viscosità

Liquido Newtoniano

F

Aη

v

y=

Liquido NON Newtoniano!

η

y

vη NON dipende da

y

vη dipende da

Il sangue….

https://www.youtube.com/watch?v=bLiNHqwgWaQ

Viscosità

Fluidi viscosi regime laminare

In presenza di attrito bisogna applicare una pressione per far scorrere un

liquido entro un condotto orizzontale con velocità costante.

Per ottenere una portata Q in un condotto dalle pareti rigide è allora necessario

applicare la differenza di pressione p.

R

pQ

=

R resistenza del condotto

forza viscosa risultante = forza di pressione

Legge di Poiseuille

1. Diminuisce al crescere della viscosità (η)2. Diminuisce al crescere della lunghezza del condotto (L)3. Aumenta al crescere della differenza di pressione fra le estremità del condotto4. Aumenta per condotti con sezione maggiore

pl

rQ =

8

4

Legge di POISEUILLE Nel caso di un condotto cilindrico

η = coefficiente di viscosità

l = lunghezza del condotto

r = raggio del condotto

La legge di Poiseuille può essere interpretata come legge di proporzionalità tra

la "causa" = P che provoca il flusso e l'effetto = Qv che ne segue, secondo una

costante di proporzionalità R che dipende dalle caratteristiche geometriche del

condotto e dalla viscosità del fluido:

Resistenza idraulica (R) del condotto.

Resistenza idraulica

Legge di Poiseuille

Qr

lp

4

8

=

La legge di Poiseuille è analoga alla legge di Ohm:

Differenza di potenziale = (resistenza elettrica) · (corrente elettrica)

Differenza di pressione = (resistenza idraulica) · (portata)

Corrente elettrica = carica elettrica per unità di tempoPortata = massa di fluido per unità di tempo

Legge di Poiseuille

La dipendenza dal raggio è secondo la QUARTA potenza di r:

per “piccole” variazioni del raggio posso avere “grandi” variazioni di portata!!! grande importanza in fisiologia!!

Legge di Poiseuille

pl

rQ =

8

4

Q= portataRelative radius = r / R

vaso visto frontalmente, di raggio variabile (raggio max = R)

r

RFisiologicamente un vaso puo’ variare il suo raggio ?

Legge di Poiseuille

Credit: R. Nave

Legge di Poiseuille

pl

rQ =

8

4

Fluidi viscosi regime laminare

pl

rQ =

8

4

Legge di POISEUILLE

Profilo della velocità parabolico

Moto silenzioso

Fluidi viscosi regime turbolento

All’aumentare della velocita’ del fluido nel condotto la formula di

Poiseuille cessa di valere e si ha il passaggio dal regime di moto

laminare al regime di moto vorticoso o turbolento.

r crvR

2=

ℜ = numero di Reynolds (adimensionale)

=viscosità

r=densità del fluido

condotto rettilineo uniforme : ℜ < 2000 regime laminare

ℜ > 3000 regime turbolento

r

Fluidi viscosi regime turbolento

Aumentano le forze di attrito

Aumenta la RESISTENZA del condotto

pQ

Linee di velocità vortici

Moto rumoroso

Q

pR

=

Ma se il moto è turbolento si osserva che kQR =

kQ = Δp/Q KQ2 = Δp

(k fattore di attrito)

Nel regime turbolento per raddoppiare la portata

occorre quadruplicare la differenza di pressione

Viscosità del sangue

Il sangue è formato da una parte liquida e da una parte corpuscolata , costituita da

cellule o frammenti di cellule.

La parte liquida si chiama plasma ed è composta per il 90% da acqua e per il

restante 10% da sostanze organiche e Sali.

Le cellule del sangue si dividono in:

globuli rossi o eritrociti;

globuli bianchi

piastrine

1 mm3∼ 5 106

5 ÷ 8 103

250 ÷ 300 103

Le proprietà del moto sono fortemente influenzate dalla complessa

composizione del sangue, in particolare dalla presenza in sospensione del

globuli rossi. Il plasma da solo si comporta in buona approx. come un

fluido viscoso normale per il quale vale la legge di Poisseuille.

Se la velocità non è troppo bassa e se la sezione del vaso >100 mm si può

assumere che il sangue abbia un comportamento viscoso analogo a quello

di un fluido omogeneo.

Viscosità del sangue

= volume % occupato da eritrociti

Anemia →basso valore di ematocrito → bassa viscosità → portata aumentata

pl

rQ =

8

4