GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas Métricos

Distância entre um Ponto e uma Recta

GENERALIDADES

A distância de um ponto a uma recta é medida numa perpendicular à recta que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta perpendicular à recta dada.

A

rp

d

I

Podemos definir o método geral para a determinação da distância de um ponto a uma reta em três passos:

1- conduzir pelo ponto, um plano perpendicular à reta dada.

2- determinar o ponto de interseção da reta dada com o plano.

3- a distância do ponto à reta é a distância entre os dois pon-tos( estes dois pontos definem a reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta dada).

Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal, via Plano ortogonal à Recta

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f.

x

I1

I2

f2

f1

Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, o plano α.

fα

hα

P1

P2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f.

Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ.

Pr

V.G.

≡ Ir

≡ (hφ) ≡ e1

≡ e2

Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.

Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal, via Teorema das Três Perpendiculares

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f.

x

I1

I2

f2

f1

Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples.

Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P.

p2

P1

P2

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f.

Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do segmento de recta [PI] para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta frontal, perpendicular à recta f e passando pelo ponto I.

Pr

V.G.

≡ Ir

≡ (hφ) ≡ e1

≡ e2

p1

Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.

x

Uma recta horizontal h faz um ângulo de 40º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta h contém o ponto A (0; 3; 3). É dado um ponto P (-3; 2; 5). Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta h.

y ≡ z

A1

A2h2

h1

P1

P2

p1

I1

I2

p2

≡ (fυ) ≡ e2

≡ e1

≡ Ir

Pr

V.G.

Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples.

Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P.

É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com a recta h. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta h.

Para obter a V.G., é utilizado a rotação do segmento de recta [PI] para o plano horizontal υ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta horizontal, perpendicular à recta h e passando pelo ponto I.

São dados uma recta vertical v e um ponto A (-1; 1; 4). A recta v tem 2 cm de abcissa e 4 cm de afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta v.

x

y ≡ z

A1

A2

(v1)

v2

Porque a recta vertical é paralela a um dos Planos de Projecção, é possível um processo mais simples.

Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular (horizontal) à recta vertical v, passando por P.

p2

p1

I2

≡ I1

V.G.É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com a recta v. A distância entre A e I é a distância do ponto A à recta v.

Para obter a V.G., basta A1I1, pois o segmento de recta [AI] é horizontal.

Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua, via Plano ortogonal à Recta

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r.

x

r2

r1

Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, utilizando uma recta frontal do plano que passa por P e é ortogonal à recta r.

É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta r. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta r. É utilizado um plano auxiliar projectante θ, que contém a recta r.

Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ.

P1

P2

f1

H1

H2

f2fα

hα

F1

F2

fθ

≡ hθ

H’1

H’2

i2

≡ i1

I1

I2

≡ (hφ) ≡ e1

e2

Ir≡ PrV.G.

Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua, via Rebatimento do Plano Formado pelo Ponto e a Recta

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r.

x

r2

r1

É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta r para o plano frontal φ que contém o ponto P.

A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta r.

B é um qualquer ponto da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento.

Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Pr e a recta rr.

Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I.

P1

P2

A1

A2

I1

I2

(hφ) ≡ e1

e2

Ir

≡ Pr

V.G.

B1

B2

Br

≡ Ar

rr

Br1

São dados uma recta oblíqua m e um ponto P (3; 2; 2). A recta m é paralela ao β1,3 e o seu traço frontal tem –4 cm de abcissa e 2 cm de cota. A projecção horizontal da recta da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta m.

x

P1

P2

y ≡ z

m1

F1

F2

É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta m para o plano horizontal que contém o ponto P.

F é também o ponto de intersecção do plano υ com a recta m.

A é um qualquer ponto da recta m para auxiliar o processo de rebatimento da recta m, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento.

Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Pr e a recta mr.

Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I, com perpendicular à charneira.

m2

(fυ) ≡ e2

e1

≡ Fr

≡ Pr A1

A2

Ar

Ar1

mr

V.G.

Ir

I1

I2

São dados uma recta oblíqua m e um ponto P (3; 2; 2). A recta m é paralela ao β1,3 e o seu traço frontal tem –4 cm de abcissa e 2 cm de cota. A projecção horizontal da recta da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta m.

x

P1

P2

y ≡ z

m1

F1

F2

É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta m para o plano frontal φ que contém o ponto P.

A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta m.

B é um qualquer ponto da recta m para auxiliar o processo de rebatimento da recta m, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento.

Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Pr e a recta mr.

Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I, com perpendicular à charneira.

m2

(hφ)≡ e1

e2

≡ Ar

≡ Pr

B1

B2

Br

Br1mr

V.G.Ir

I1

I2

A1

A2

São dados uma recta oblíqua s e um ponto M (-3; 2; 2). A recta s contém o ponto S (2; 2; 4) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. A projecção horizontal da recta s faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e a recta s.

x

y ≡ z

M1

M2

S1

S2

s1

s2É rebatido o plano formado pelo ponto M e a recta s para o plano horizontal υ que contém o ponto M.

A é o ponto de intersecção do plano υ com a recta s.

S é também ponto da recta s para auxiliar o processo de rebatimento da recta s, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento.

Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Mr e a recta sr.

Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I, com perpendicular à charneira.

(fυ)

A1

A2

e1

≡ e2

≡ Ar

≡ Mr Sr1

Sr

sr

Ir V.G.

I1

I2

São dados uma recta oblíqua r e um ponto A (0; 4; 3). A recta r é do β1,3 e é concorrente com o eixo x num ponto com abcissa nula. A projecção frontal da recta r faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta r.

x

y ≡ z

B1

B2

A1

A2

r1

r2É rebatido o plano formado pelo ponto A e a recta r para o plano horizontal υ que contém o ponto A.

B é o ponto de intersecção do plano υ com a recta r.

C é o da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento.

Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Ar e a recta rr.

Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I, com perpendicular à charneira.

(fυ)

≡ Ar ≡ Br

e1

≡ e2

C1

C2

Cr1

Cr

rr

IrV.G.

I1

I2

Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil, via Rebatimento

Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p.

x

A1

A2

p1 ≡ p2

N1

M2

N2

M1

Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p, um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto-horizontal g, que passa pelo ponto A.

O plano de perfil π é o plano que contém p.

A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A’. A’ é o ponto de intersecção de π com a recta g, que contém A.

O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com fπ como charneira. I1

I2g2

e’2

Ir1

≡ Ar

V.G.

g1

≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2

A’2

A’1

≡ e2 ≡ fπr

≡ hπr

(e1)

Mr

Nr

A’r

pr

ir

Ir

A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante frontal de [AI] para o plano frontal φ que contém o ponto A.

≡ (hφ) ≡ e’1

São dados uma recta de perfil p e um ponto A (3; 3; 4). A recta p é definida pelos pontos M (-1; 4; 1) e N (1; 3) Determina as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta p, recorrendo ao processo do rebatimento.

x

y ≡ z

A1

A2

M1

M2

p1 ≡ p2 Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p, um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto-horizontal g, que passa pelo ponto A.

O plano de perfil π é o plano que contém p.

A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A’. A’ é o ponto de intersecção de π com a recta g, que contém A.

O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com fπ como charneira.

A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante horizontal de [AI] para o plano horizontal υ que contém o ponto A.

≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2

N1

N2

g2

g1

A’2

A’1

(e1)

≡ e2 ≡ fπr

≡ hπr

A’rNr

Mr

ir

pr IrI2

I1

≡ (fυ) ≡ e’2

e’1

≡ Ar

Ir1

V.G.

x

xz

xy

A

N

M

p

g

υ

πρ

i

I

x

xz

xy

M

N

p

A π

ρ

g Iυ

i