ANLISE SECCIONAL DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORADAS COM PROTENSO EXTERNA

Vinicius Lube Teles

Dissertao de Mestrado apresentado ao Programa de Ps-graduao em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessrios

obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata

Rio de Janeiro Junho de 2015

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ANLISE SECCIONAL DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORADAS COM PROTENSO EXTENA

Vinicius Lube Teles

DISSERTAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PS-GRADUAO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph. D.

________________________________________________

Prof. xxxx

________________________________________________

Prof. xxxx

RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL JUNHO DE 2015

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Teles,Vinicius Lube Anlise de vigas reforadas com protenso externa / Vinicius Lube

Teles. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2015. XXII, xxx p.: il.; 29,7 cm. Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata

Dissertao (mestrado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2015.

Referncias Bibliogrficas: p. 1xx-1xx. 1. Protenso externa. 2. Efeito de segunda ordem. 3.

Anlise no-linear. I. Shehata, Ibrahim Abd El Malik. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de

Engenharia Civil. III. Ttulo.

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AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus por tudo. Agradeo aos meus pais...

A todos os amigos... Ao meu orientador... A Vitrio & Melo...

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Resumo da Dissertao apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.)

ANLISE SECCIONAL DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORADAS COM PROTENSO EXTERNA

Vinicius Lube Teles

Junho/2015

Orientadores: Ibrahim Abd El Malik Shehata

Programa: Engenharia Civil

Este trabalho desenvolve...

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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

SECCIONAL ANALYSIS OF BEAMS STRENGTHENED WITH EXTERNALLY PRESTRESSED TENDONS

Vinicius Lube Teles

Jun/2015

Advisors: Ibrahim Abd El Malik Shehata Department: Civil Engineering

This work presents...

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SUMRIO

1 Introduo .................................................................................................................. 1

1.1 Consideraes Iniciais e Motivao .................................................................... 1

1.2 Objetivos e Escopo do Trabalho ......................................................................... 3 1.3 Estrutura do Trabalho ......................................................................................... 4

2 Reviso Bibliogrfica ................................................................................................. 5

2.1 Breve Histrico da Protenso Externa ................................................................. 5

2.2 Vantagens e Desvantagens .................................................................................. 7

2.3 Trabalhos j realizados ..................................................................................... 10 2.3.1 Estudo de MACGREGOR (1989) ............................................................. 11

2.3.2 Estudo de NAAMAN e ALKHAIRI (1991)............................................... 14

2.3.3 Estudo de DSIR (1993) e RGIS (1997) ................................................. 18 2.3.4 Estudo de HARAJLI et al (1999) .............................................................. 20

2.3.5 Estudo de NG e TAN (2005) ..................................................................... 26

2.3.6 Estudo de HE e LIU (2010) ....................................................................... 30

2.3.7 Estudo de GHALLAB (2012) .................................................................... 33

2.4 Procedimentos Normativos ............................................................................... 36

2.4.1 ACI 318:2011 ........................................................................................... 36

2.4.2 AASHTO:2012 ......................................................................................... 38

2.4.3 EN 1992-1-1:2004 ..................................................................................... 39

2.5 Consideraes sobre a Protenso externa .......................................................... 40

2.5.1 Efeito de Segunda Ordem .......................................................................... 41

2.5.2 Taxa de Armadura Interna, s .................................................................... 43

2.5.3 Influncia do Deslizamento dos Cabos nos Desviadores ............................ 44

2.5.4 Relao L/dp e Sd/dp .................................................................................. 45

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2.6 Comentrios Finais ........................................................................................... 45

3 Programa Desenvolvido ........................................................................................... 50

3.1 Introduo ........................................................................................................ 50

3.2 Definio das Variveis do Projeto ................................................................... 50 3.3 Premissas Adotadas .......................................................................................... 54

3.4 Relaes Constitutivas dos Materiais ................................................................ 54

3.4.1 Concreto ................................................................................................... 55

3.4.2 Ao Passivo .............................................................................................. 56

3.5 Anlise Seccional da Viga ................................................................................ 57

3.5.1 Considerao da No-linearidade Fsica do Material ................................. 58

3.5.2 Considerao da No-linearidade Geomtrica da Estrutura ........................ 65

3.6 Obteno de Flechas e Rotaes da Viga .......................................................... 68

3.7 Introduo das Foras de Protenso .................................................................. 72

4 Aplicaes e Comparao de Resultados .................................................................. 78

4.1 Introduo ........................................................................................................ 78

4.2 Comparao com HARAJLI (1993) .................................................................. 79

4.3 Comparao com TAN e NG (1997) ................................................................. 83

4.4 Comparao com HARAJLI et al (1999) .......................................................... 87

5 Concluses ............................................................................................................... 92

6 Referncias Bibliogrficas ....................................................................................... 93

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1-1 Viga bi-apoiada de seo tipo I reforada com cabos externos e dois desviadores.

(BURGOYNE, 1990, p. 124) ....................................................................................................................... 1 Figura 1-2 Ponte Long Key, exemplo da utilizao da protenso externa com vista em perspectiva do perfil dos cabos externos e disposio dos desviadores, (MACGREGOR, 1989, p. 2). ............................... 2 Figura 1-3 Viga sujeita a aplicao de carga conduzindo ao aumento das deformaes e perda da excentricidade inicial - efeito de segunda ordem. (NG e TAN, 2005a, p. 611) ............................................ 3 Figura 2-1 Corte longitudinal da ponte Bahnhofsbrcke, Alemanha. Medidas em metros. (SPECHT, 1987, p. 165). ................................................................................................................................................ 5 Figura 2-2 Ponte Can Bia, corroso dos cabos externos devido infiltrao com ruptura de alguns

cabos, (VIRLOGEUX, 1990, p. 26). ............................................................................................................ 6 Figura 2-3 Tipos de desviadores (BEAUPRE et al, 1990, p. 270) ............................................................ 9 Figura 2-4 Arranjo dos cabos externos passando por um desviador em uma ponte existente (BBR CABLES FOR EXTERNAL PRESTRESSING, 1999, p.11). ..................................................................... 9 Figura 2-5 Vista em elevao com layout dos cabos externos. (MACGREGOR 1989, p. 38)................ 11 Figura 2-6 Diagrama esquemtico de resposta da tenso dos cabos com o acrscimo de carga. (MACGREGOR, 1989, p. 254) .................................................................................................................. 12 Figura 2-7 Altura plstica, Zp, definida como sendo a distncia da rtula plstica ao cabo externo

(MACGREGOR, 1989, p. 281). ................................................................................................................. 13 Figura 2-8 Diagrama esquemtico momento-deflexo para viga com cabos protendidos no aderentes internos, ou externos. (NAAMAN, 1990, p. 352) ...................................................................................... 14 Figura 2-9 Discretizao de dois trechos consecutivos para determinao da carga Pj, responsvel por provocar o deslizamento (DSIR, 1993, p. 36). ......................................................................................... 18 Figura 2-10 Curva carga-flecha para viga parcialmente protendida e configurao de cabos externos poligonais, onde trs estgios de comportamento podem ser observados at a ruptura da viga. (HARAJLI, 1993, p. 81) ................................................................................................................................................. 21 Figura 2-11 Curva carga-flecha para viga em concreto armado e configurao de cabos externos poligonais, onde dois estgios de comportamento podem ser observados at a ruptura da viga. (HARAJLI, 1993, p. 82) ................................................................................................................................................. 21 Figura 2-12 Curvas momento-flecha para trs configuraes de desviadores e taxas de armadura mecnica. (HARAJLI et al, 1999, p. 1157) ................................................................................................ 23 Figura 2-13 Curva momento-flecha para viga em concreto protendido com diferentes tenses efetivas aplicadas. (HARAJLI et al, 1999, p. 1159 ................................................................................................. 24 Figura 2-14 Curva momento-flecha para viga em concreto armado com diferentes tenses efetivas

aplicadas. (HARAJLI et al, 1999, p. 1159) ................................................................................................ 25

xi

Figura 2-15Acrscimo de tenses devido ao efeito de pino em cabos internos e ausncia do efeito para cabos externos devido ao movimento irrestrito dos cabos. (NG, 2003, p. 645) ......................................... 26 Figura 2-16 Curvas comparativas carga-tenso nos cabos externos, terica e experimental, para at trs configuraes de desviadores. Vigas T-0A e T-0B sem desviadores, viga tipo ST-4 com um desviador

apenas, viga ST-5A com dois desviadores e ST-5B com trs. (NG e TAN, 2005b, p. 630) ...................... 29 Figura 2-17 Configurao deformada genrica dos cabos externos com considerao da deformao axial negligenciada. (GHALLAB, 2012, p. 423) ........................................................................................ 34 Figura 2-18 Variao da excentricidade em uma viga com cabos externos e dois desviadores. Demarcao do limite entre regio fissurada e no fissurada. (ALKHAIRI e NAAMAN, 1993, p. 2691) 41 Figura 2-19 Curva momento de ruptura-taxa de armadura passiva para trs nveis de protenso. (ARAUJO, 1997, p. 32) .............................................................................................................................. 43 Figura 2-20 Esquema de foras atuantes no desviador.(MACGREGOR, 1989, p. 286) ......................... 44 Figura 2-21 Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e layout dos cabos externos, (VITRIO, J. A. P. Ponte sobre Riacho dos Porcos, 2012). ....................................................... 47 Figura 2-22 Dispositivo utilizado como desviador, localizado prximo ao apoio, (VITRIO, J. A. P. Ponte sobre Riacho dos Porcos, 2012). ...................................................................................................... 47 Figura 3-1 Sees transversais tpicas tipo I, T ou retangular, que podem ser selecionadas pelo usurio. .................................................................................................................................................................... 51 Figura 3-2 Arranjo possvel para os cabos externos com um ou dois desviadores. ................................. 51 Figura 3-3 Tipos de carregamentos. ........................................................................................................ 52 Figura 3-4 Representao esquemtica do diagrama tenso normal-deformao especfica do concreto segundo a EN 1992-1-1:2004. (EN 1992-1-1:2004, p.34) ......................................................................... 56 Figura 3-5 Diagrama tenso normal-deformao especfica do ao passivo. .......................................... 57 Figura 3-6 Esquema esttico de uma viga bi-apoiada com carregamento genrico e simtrico em relao ao meio do vo. .......................................................................................................................................... 58 Figura 3-7 Corte A. (a) discretizao da seo de concreto em laminas e camadas de ao e (b) distribuio de tenses e esforos. .............................................................................................................. 59 Figura 3-8 Curvatura e deformaes em uma seo transversal tpica. ................................................... 60 Figura 3-9 Fluxograma para obteno de esforos via equaes de equilbrio e compatibilidade da seo para um dado c. ......................................................................................................................................... 64 Figura 3-10 Fluxograma para considerao dos efeitos de segunda ordem provenientes da considerao

da no linearidade geomtrica da estrutura. ............................................................................................... 66 Figura 3-11 Variao da excentricidade para numa mesma etapa de carregamento at que se atinja a convergncia. .............................................................................................................................................. 67 Figura 3-12 Variao da excentricidade entre duas etapas de carregamento. O procedimento se repete at que se chegue ruptura. ........................................................................................................................ 67 Figura 3-13 A rotao entre dois pontos da viga, A e B, fica definida como sendo a rea abaixo do diagrama de curvatura entre os pontos, (GERE e GOODNO, 2012, p. 786).............................................. 68

xii

Figura 3-14 O deslocamento do ponto A de uma viga, medido em relao a um ponto B dado pelo primeiro momento de rea do diagrama de curvatura entre os pontos, (GERE e GOODNO, 2012, p. 789). .................................................................................................................................................................... 70

Figura 3-15 (a) Protenso dos cabos externos e (b) Sistema esttico equivalente na 1 fase de carregamento. ............................................................................................................................................. 73

Figura 3-16 Sistema esttico equivalente na 2 fase de carregamento. ................................................... 74 Figura 3-17 Fluxograma com as duas etapas de carregamento da viga (continua).................................. 76 Figura 3-18 Fluxograma com as duas etapas de carregamento da viga (continuao). ........................... 77 Figura 4-1 Vista longitudinal, seo transversal e carregamentos da viga BD5. ..................................... 79 Figura 4-2 Curvas carga-flecha para a seo no meio do vo obtidas pelo programa e experimentalmente por HARAJLI (1993). ................................................................................................. 81 Figura 4-3 Curvas momento-curvatura obtidas pelo programa para trs foras de protenso atuantes. .. 82

Figura 4-4 Curva carga-tenso nos cabos externos obtidas pelo programa. ............................................ 83 Figura 4-5 Vista longitudinal, seo transversal e carregamentos da viga T-1D. .................................... 84 Figura 4-6 Curvas carga-flecha para a seo no meio do vo obtidas pelo programa e experimentalmente por TAN e NG (1997). ................................................................................................ 85 Figura 4-7 Curva carga-tenso nos cabos externos obtida pelo programa e experimentalmente por TAN e NG (1997). ............................................................................................................................................... 86 Figura 4-8 Vista longitudinal, seo transversal e carregamentos das vigas ensaiadas. Somente as vigas T2D, T3D e T4D foram reforadas com cabos externos. ........................................................................... 87

Figura 4-9 Curvas carga-flecha para a seo no meio do vo obtidas pelo programa e experimentalmente para as vigas T2D e T2C. ............................................................................................ 89 Figura 4-10 Curvas carga-flecha para a seo no meio do vo obtidas pelo programa e

experimentalmente para a viga T3C. .......................................................................................................... 89 Figura 4-11 Curvas carga-flecha para a seo no meio do vo obtidas pelo programa e experimentalmente para a viga T4C. .......................................................................................................... 90 Figura 4-12 Curvas carga-flecha para a seo no meio do vo obtidas pelo programa e experimentalmente para a viga T3D. .......................................................................................................... 90 Figura 4-13 Curvas carga-flecha para a seo no meio do vo obtidas pelo programa e experimentalmente para a viga T4D. .......................................................................................................... 91

xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 2-1 Fatores , c e u para cada caso de carregamento e configurao de cabos (NAAMAN, 1990, p. 349). .............................................................................................................................................. 16 Tabela 2-2 Valores de , , e K para carregamentos tpicos com um e dois desviadores. (HE e LIU, 2010, p.1058) .............................................................................................................................................. 31 Tabela 2-3 Fator de multiplicao, kg e kc (GHALLAB, 2012, p.424). .................................................. 35 Tabela 2-4 Parmetros considerados nas normas pesquisadas. ............................................................... 48 Tabela 2-5 Parmetros considerados pelos autores pesquisados (continua). ........................................... 49 Tabela 2-6 Parmetros considerados pelos autores pesquisados (continuao). ..................................... 49 Tabela 4-1 Caracterstica das armaduras da viga BD5. ........................................................................... 80 Tabela 4-2 Caracterstica das armaduras da viga T1D. ........................................................................... 84 Tabela 4-3 Caracterstica das armaduras das vigas ensaiadas. ................................................................ 88

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LISTA DE SIMBOLOS E ABREVIATURAS

Letras latinas

Aps - rea da seo transversal da armadura de protenso externa As - rea da seo transversal da armadura longitudinal de trao passiva As - rea da seo transversal da armadura longitudinal de compresso

passiva

b - largura da viga retangular bw - largura da alma da viga tipo T ou I

dp - altura til da armadura de protenso externa dp0 - altura til inicial da armadura de protenso externa dpu - altura til no ELU da armadura longitudinal de protenso externa ds - altura til da armadura longitudinal de compresso passiva

ds - altura til da armadura longitudinal de trao passiva em - excentricidade do cabo de protenso medido no meio do vo

es - excentricidade do cabo de protenso medido na extremidade da viga eu - excentricidade do cabo de protenso medido no meio do vo no ELU e0 - excentricidade inicial do cabo de protenso Ec - mdulo de elasticidade longitudinal do concreto

Eps - mdulo de elasticidade longitudinal do ao dos cabos externos Es - mdulo de elasticidade longitudinal do ao de armadura passiva fck - resistncia caracterstica compresso do concreto fi - coeficiente de atrito cabo-desviador fpe - resistncia efetiva de protenso aps perdas fpj - tenso de protenso no macaco fps - resistncia de protenso nos cabos externos fpu - resistncia ltima do ao dos cabos externos fpy - resistncia de escoamento do ao dos cabos externos fy - resistncia ao escoamento do ao da armadura passiva tracionada fy - resistncia ao escoamento do ao da armadura passiva comprimida

xv

h - altura da viga hf - altura da mesa da viga tipo T ou I Icr - momento de inrcia da seo fissurada de concreto Ig - momento de inrcia da seo bruta de concreto

L - vo terico Lc - comprimento da regio fissurada

Ld - distncia do apoio at o desviador Le - comprimento efetivo do cabo de protenso Li - distncia do apoio at o ponto de aplicao da carga concentrada L0 - comprimento inicial total do cabo de protenso

M - momento fletor solicitante

Mcr - momento de fissurao

Md - momento fletor devido s cargas permanentes Mmax - momento fletor mximo atuante na seo crtica.

Mu - momento fletor no ELU

Sd - espaamento entre desviadores

x - altura da linha neutra xu - altura da linha neutra no ELU

Letras gregas

i - ngulo de desvio do cabo de protenso externo

0 - deslocamento vertical inicial devido ao acrscimo de carregamento aps

a aplicao da protenso externa medido no meio do vo desv - deslocamento vertical devido ao acrscimo de carregamento aps a

aplicao da protenso externa medido no desviador mid - deslocamento vertical devido ao acrscimo de carregamento aps a

aplicao da protenso externa medido no meio do vo fpF - perda de protenso devida ao atrito entre os cabos externos e os

desviadores

xvi

fps - variao da tenso na armadura de protenso devido a um acrscimo de carregamento

L - variao do comprimento total do cabo externo cu - deformao especfica de encurtamento do concreto na ruptura

pe - deformao especfica do ao de protenso devida tenso efetiva de protenso

ps - deformao especfica do ao de protenso sy - deformao especfica de escoamento do ao passivo su - deformao especfica do ao passivo na ruptura p - taxa de armadura geomtrica da armadura de protenso externa

s - taxa de armadura geomtrica da armadura longitudinal de trao passiva

- taxa mecnica da armadura longitudinal de trao passiva

1 INTRODUO

1.1 Consideraes Iniciais e

O uso da protenso est

infraestrutura devido combinao de propriedades como alta resistncia trao baixo peso. Uma utilizao promissora para o uso de

recuperao e reforo de estruturas e nesse caso a protenso externa se destacauma tcnica verstil e de boa relao custo benefcio.

Segundo JARTOUX (1990), aprotenso produzida por cabos localizados fora da seo transversal da estrutura. As ancoragens so fixadas na estrutura apenasmantido por desviadores que podem ser internos ou externos superior ou inferior. A tcnica pode ser aplicada tanto em estrunovas, em concreto armado, protendido e

Variando-se a posio dos cabos ao longo do vo busca

esforos com a finalidade de aumentabenefcios quanto resistncia ao esforo cortante, se o traado dos cabos no

Figura 1-1 Viga bi-apoiada dedesviadores

CAPTULO 1

INTRODUOConsideraes Iniciais e Motivao

protenso est se destacando no mbito da construo

combinao de propriedades como alta resistncia trao promissora para o uso de cabos de protenso no campo da

recuperao e reforo de estruturas e nesse caso a protenso externa se destacauma tcnica verstil e de boa relao custo benefcio.

Segundo JARTOUX (1990), a protenso externa definida como sendo a protenso produzida por cabos localizados fora da seo transversal da estrutura. As ancoragens so fixadas na estrutura apenas nas extremidades e o perfil dos cabos mantido por desviadores que podem ser internos ou externos estrutura fixados na mesa superior ou inferior. A tcnica pode ser aplicada tanto em estruturas existentes quanto

protendido e de ao.

se a posio dos cabos ao longo do vo busca-se transmitir estrutura

aumentar a resistncia flexo do elemento trazendo junto resistncia ao esforo cortante, se o traado dos cabos no

apoiada de seo tipo I reforada com cabos externos e dois desviadores. (BURGOYNE, 1990, p. 124)

1

APTULO 1 INTRODUO

da construo civil e

combinao de propriedades como alta resistncia trao e cabos de protenso no campo da

recuperao e reforo de estruturas e nesse caso a protenso externa se destaca como

protenso externa definida como sendo a protenso produzida por cabos localizados fora da seo transversal da estrutura. As

e o perfil dos cabos estrutura fixados na mesa

turas existentes quanto

se transmitir estrutura

a resistncia flexo do elemento trazendo junto resistncia ao esforo cortante, se o traado dos cabos no for reto.

reforada com cabos externos e dois

Por reforo entende-se o aumento da capacidade razes mais freqentes para reforar uma

execuo, problemas de deteriorao, carga da estrutura. Em pontestransportadas, junto com problemas de levam necessidade de intervenes.

considerada uma tcnica eficiente para o reforo de pontesque possvel fazer uma interveno na estrutura

Alguns aspectos tcnicos so peculiares

com outras formas de protenso. A transferncia da fora de protenso feita apenas nos pontos de ancoragem e nos desviadores. Os cabos se encontram fora da seo transversal do membro. Na protenso externadeterminada diretamente atravs ddeformaes na seo transversal

armado. As tenses nos cabos dependem da deformao de todo o excentricidade dos cabos, que varia

relativamente viga, o que torna

Figura 1-2 Ponte Long Key,

perspectiva do perfil dos cabos

Apesar de importante na elaborao do projeto, foram apresentados visando compreender melhor

interao cabo-estrutura. Esse trabalho tem por fim uma boa interpretao da realidade e estudar parmetros que afetem o comportamento

de estruturas em concreto armado

se o aumento da capacidade resistente de uma estrutura. As razes mais freqentes para reforar uma estrutura so: erros em projeto,

problemas de deteriorao, alm da necessidade de aumentar a capacidade de carga da estrutura. Em pontes, o aumento do volume de trfego e peso das cargas

problemas de deteriorao decorrente da falta de manuteno necessidade de intervenes. Por essa razo a protenso externa pode ser

considerada uma tcnica eficiente para o reforo de pontes e estruturas convencionais possvel fazer uma interveno na estrutura mantendo a sua utilizao.

pectos tcnicos so peculiares protenso externa em compara

de protenso. A transferncia da fora de protenso feita apenas nos pontos de ancoragem e nos desviadores. Os cabos se encontram fora da seo

Na protenso externa a tenso nos cabos no pode ser atravs de uma anlise convencional de compatibilidade de

na seo transversal, como feito com a protenso aderente, ou concreto

As tenses nos cabos dependem da deformao de todo o membrontricidade dos cabos, que varia, uma vez que so livres para se movimentar

torna a anlise mais complexa.

Ponte Long Key, exemplo da utilizao da protenso externa com perspectiva do perfil dos cabos externos e disposio dos desviadores, (MACGRE

1989, p. 2). Apesar de importante na elaborao do projeto, recentemente poucos trabalhos

foram apresentados visando compreender melhor o comportamento da estrutura e

Esse trabalho tem por fim encontrar um modelo que permita uma boa interpretao da realidade e estudar parmetros que afetem o comportamento

em concreto armado reforadas com protenso externa.

2

de uma estrutura. As estrutura so: erros em projeto, falhas na

alm da necessidade de aumentar a capacidade de eso das cargas

falta de manuteno a protenso externa pode ser

vencionais j

protenso externa em comparao

de protenso. A transferncia da fora de protenso feita apenas nos pontos de ancoragem e nos desviadores. Os cabos se encontram fora da seo

no pode ser e uma anlise convencional de compatibilidade de

, como feito com a protenso aderente, ou concreto

membro e da movimentar

exemplo da utilizao da protenso externa com vista em osio dos desviadores, (MACGREGOR,

poucos trabalhos o comportamento da estrutura e a

encontrar um modelo que permita uma boa interpretao da realidade e estudar parmetros que afetem o comportamento

1.2 Objetivos e Escopo do TrabalhoO objetivo deste trabalho analisar o comportamento de vigas

armado reforadas com protenso externa

computacional. Em vista dissoprever o comportamento de vigascorrelao com resultados experimentais obtidos da bibliografia levantada,por fim a eficincia da tcnica como opo de reforo

desenvolvida em linguagem FORTRAN

A abordagem adotada dita do tipo seccional,

sees feitas ao longo da estrutura, obtmestrutura. O modelo proposto permitir o estudo em servio quanto na ruptura.

geomtrica da estrutura utilizandoconsiderando as cargas aplicadas de forma incrementalda estrutura em cada etapa. Logo, possvel

ao longo da fase de carregamento eda fora de protenso.

Figura 1-3 Viga sujeita a aplicao de carga conduzindo ao aumento das deformaes e perda da excentricidade inicial

e Escopo do Trabalho

trabalho analisar o comportamento de vigas de concreto reforadas com protenso externa atravs de um modelo numrico

Em vista disso, foi elaborada uma rotina computacional que vigas reforadas com cabos externos protendidos com boa

correlao com resultados experimentais obtidos da bibliografia levantada,por fim a eficincia da tcnica como opo de reforo. A rotina computacional

em linguagem FORTRAN.

ada dita do tipo seccional, na qual a partir da anlise

sees feitas ao longo da estrutura, obtm-se flechas, tenses e deformaes da O modelo proposto permitir o estudo do comportamento da estrutura

em servio quanto na ruptura. Neste trabalho so abordadas a no-linearidade fsica e utilizando-se as equaes constitutivas dos materiais e

cargas aplicadas de forma incremental, com a atualizao da geomeda estrutura em cada etapa. Logo, possvel representar o comportamento da estrutura

ao longo da fase de carregamento e, conseqentemente, as variaes da excentricidade

Viga sujeita a aplicao de carga conduzindo ao aumento das deformaes excentricidade inicial - efeito de segunda ordem. (NG e TAN, 2005a, p. 611

3

de concreto modelo numrico-

uma rotina computacional que capaz de om cabos externos protendidos com boa

correlao com resultados experimentais obtidos da bibliografia levantada, e mostrar computacional foi

anlise de n

se flechas, tenses e deformaes da da estrutura tanto

idade fsica e dos materiais e

com a atualizao da geometria representar o comportamento da estrutura

as variaes da excentricidade

Viga sujeita a aplicao de carga conduzindo ao aumento das deformaes NG e TAN, 2005a, p. 611)

4

No caso da protenso externa, os cabos so livres para se mover em relao ao eixo longitudinal da viga, o que conduz a uma mudana na excentricidade da fora de protenso com a aplicao do carregamento, originando o chamado efeito de segunda ordem, como mostra a Figura 1-3.

Um dos objetivos deste trabalho avaliar a perda de excentricidade decorrente dos efeitos de segunda ordem e como conseqncia perda de eficincia de protenso

podendo ocasionar patologias futuras a estrutura. A influncia da taxa de armadura interna tambm avaliada, assim como as relaes L/d e Sd/d que so comumente utilizadas pelas normas vigentes para determinao da tenso nos cabos.

Uma das razes que impulsionaram esse estudo foi a possibilidade de se agilizar

os clculos sem empregar uma anlise mais genrica e complexa como a de elementos finitos.

1.3 Estrutura do Trabalho

No segundo captulo so apontadas as vantagens e desvantagens do uso da protenso externa como tcnica de reforo, com um breve histrico do seu surgimento at sua consolidao nos dias de hoje. Alm disso, apresentada uma reviso bibliogrfica dos trabalhos j realizados por pesquisadores e normas vigentes, buscando mostrar diferentes enfoques e metodologias de maneira a abranger, segundo os autores, parmetros que influenciam o comportamento de estruturas reforadas com protenso

externa.

No terceiro captulo so apresentadas as premissas adotadas para este trabalho, as leis constitutivas dos materiais que constituem a estrutura analisada e a forma como abordada a no-linearidade fsica e geomtrica do problema. Em seguida, descrito o modelo laminar para vigas, que ser utilizado na anlise seccional e o programa desenvolvido com a descrio dos algoritmos implementados.

No quarto captulo a rotina computacional e validada atravs da comparao de resultados experimentais obtidos de outros pesquisadores, alm de procedimentos

normativos e outros trabalhos mostrados da reviso bibliogrfica.

Por fim, no quinto captulo so apresentadas as concluses e sugestes para trabalhos futuros.

5

2 REVISO BIBLIOGRFICA

CAPTULO 2

REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 Breve Histrico da Protenso Externa

A protenso surgiu na Frana, com Freyssinet, no final da dcada de 1920, com a utilizao de cabos internos no aderentes. Contudo, na Alemanha, Dischinger j havia projetado e construdo pontes utilizando a protenso externa, a Saale-Brcke em 1928 e a Bahnhofsbrcke em 1936 (POWELL, 1988).

Figura 2-1 Corte longitudinal da ponte Bahnhofsbrcke, Alemanha. Medidas em metros. (SPECHT, 1987, p. 165).

No perodo ps-guerra, cinco obras que empregaram a protenso externa se

destacam pelo seu pioneirismo e estado de conservao atual. Na Blgica, em 1950, foi construda a ponte Sclayn projetada pelo engenheiro Magnel, e na Frana entre 1950 e 1953, as pontes Villeneuve-Saint-Georges, Vaux-sur-Seine, Port Bison e Can Bia. Aps 30 anos de sua construo, a ponte Port Bison foi encontrada em timo estado, sem fissuras aparentes e sem a presena de infiltraes no seu interior, notando-se que a

pintura betuminosa nos cabos foi suficiente para o combate corroso. Contudo, a presena de pombos no seu interior deixando excrementos nos cabos inferiores levou colocao de telas de proteo. Na ponte Villeneuve-Saint-Georges, projetada por

6

Lossier, o traado dos cabos foi considerado complicado e a complexidade dos detalhes para os desviadores, fabricados especialmente para a obra, tornou-a antieconmica comparada a outras alternativas. Cabe a observao que Lossier prev pela primeira vez a possibilidade da troca de cabos, se antecipando a uma eventual necessidade futura,

uma caracterstica da protenso externa que ainda hoje se mostra como uma vantagem perante outras alternativas para o reforo de estruturas. Vistorias na dcada de 1980 na ponte Vaux-sur-Seine constataram ausncia de fissuras no concreto, mas verificou-se a ruptura de vrios cabos de protenso causadas por corroso, fato que levou a necessidade de protenso externa adicional. De todas as obras citadas a ponte Can Bia foi a que apresentou o pior estado de conservao aps quase 30 anos de sua execuo.

Um projeto de m qualidade aliado a problemas de corroso causou a ruptura vrios cabos, levando ao seu fechamento e posterior demolio (VIRLOGEUX, 1990).

Figura 2-2 Ponte Can Bia, corroso dos cabos externos devido infiltrao com ruptura de alguns cabos, (VIRLOGEUX, 1990, p. 26).

VIRLOGEUX (1990) afirma que as primeiras experincias com o uso da tcnica no apresentaram bons resultados em conseqncia da corroso dos cabos, fazendo com que a tcnica ficasse de lado nos anos seguintes. No entanto, num perodo seguinte, a protenso externa se desenvolveu como uma sada para contornar a patente de

Freyssinet para sistemas de protenso.

7

Ainda que seu surgimento tenha se dado no incio do sculo XX, apenas no incio da dcada de 1980, na Frana e nos Estados Unidos, e por motivos distintos, que a protenso externa volta cena e se consolida pela sua simplicidade como uma tcnica eficiente no s para reforo de estruturas existentes quanto para o projeto de estruturas novas. A reduo de custos (reduo de seo transversal) e a simplicidade do mtodo construtivo foram os principais motivos que alavancaram o uso da protenso externa

nos Estados Unidos. Na Frana, aes governamentais visando melhorar a qualidade das construes e em paralelo a necessidade de reforo de estruturas existentes levaram ao aumento da utilizao da protenso externa (VIRLOGEUX, 1990).

Problemas de perdas de protenso em obras j construdas decorrentes de corroso, ou deficincia nos projetos por no considerao das deformaes plsticas do concreto e gradiente de temperatura acarretaram necessidade de reforo em uma srie de

pontes. Um exemplo o reforo realizado no viaduto Marne-La-Valle, onde devido a no considerao de perdas de protenso por atrito, cabos externos foram utilizados passando por desviadores na mesa inferior da viga (POWELL, 1988). Outro exemplo a primeira ponte a ser construda utilizando protenso externa, ponte Bahnhofsbrcke,

que necessitou de retensionamento por duas vezes em, 1962 e 1980, devido a problemas de relaxao do ao, fluncia e fissurao do concreto (VIRLOGEUX, 1990).

2.2 Vantagens e Desvantagens

As intervenes acima citadas mostraram a viabilidade do uso da protenso externa, como tcnica de reforo. POWELL (1988) fez um levantamento das razes que fizeram a protenso externa se desenvolver:

O fcil acesso aos cabos possibilita que eles sejam inspecionados e trocados, ou ainda retensionados sem grande complicao, o que permite manter e reparar pontes sem que haja interrupo do seu uso. Essa talvez tenha sido uma das principais razes que levaram ao uso da tcnica at os dias de hoje.

A colocao de cabos fora da seo transversal elimina o tempo consumido em

operaes de colocao e posicionamento dos cabos e reduz a interferncia com as armaduras passivas. A reduo no congestionamento das armaduras melhora as condies de concretagem, reduzindo tambm o tempo de execuo da obra.

A ausncia de cabos na seo transversal permite uma reduo da espessura das

mesas, com diminuio de peso prprio, melhorando a eficincia da seo.

8

O perfil dos cabos menos complexo que no caso de protenso interna com cabos parablicos. O contato apenas nos pontos onde se encontram os desviadores reduz as perdas por atrito.

Como tcnica de reforo em estruturas j existentes, a protenso externa independe do estado do concreto do elemento a ser reforado, j que a protenso adicional aplicada fica responsvel por combater apenas os esforos adicionais.

Entretanto, segundo POWELL (1988) algumas das caractersticas que beneficiam o sistema trouxeram, por outro lado, desvantagens que devem ser atentadas pelo projetista.

Os pontos de desvio dos cabos so geralmente bem espaados, gerando um problema de vibrao j que os cabos ficam livres. Providncia especial deve ser tomada, a fim de controlar vibraes excessivas (efeito de cordas vibrantes).

A mudana de excentricidade do cabo, entre as posies dos desviadores, com a atuao do carregamento na viga, provoca uma reduo na excentricidade efetiva, reduzindo a eficincia do reforo e gerando efeitos desfavorveis num

segundo momento. Se esses efeitos desfavorveis no forem avaliados, eles podem superar os favorveis e o reforo proposto pode se tornar ineficiente.

A concentrao de tenses nos desviadores e nas ancoragens deve ser analisada e o detalhamento dessas regies deve levar isso em conta. A Figura 2-3 ilustra algumas formas adotadas para os desviadores comumente utilizadas em estruturas novas. Ainda existe uma controvrsia quanto melhor tcnica, entretanto a falha nesses elementos se mostra catastrfica.

9

Figura 2-3 Tipos de desviadores (BEAUPRE et al, 1990, p. 270)

Ainda segundo BRUGGELING (1990), por serem externos (exceto quando possvel que fiquem dentro da seo caixo), os cabos so mais suscetveis a aes externas como vandalismo, situao de incndio e intempries. Talvez essa tenha sido uma das razes que emperraram o desenvolvimento da tcnica no incio da dcada de 1950.

Figura 2-4 Arranjo dos cabos externos passando por um desviador em uma ponte existente (BBR CABLES FOR EXTERNAL PRESTRESSING, 1999, p.11).

10

2.3 Trabalhos j realizados Nos prximos itens, em ordem cronolgica, so apresentados resumos de

trabalhos realizados sobre a protenso externa utilizada como reforo em estruturas existentes, ou novas. A coletnea de estudos abrangeu metodologias propostas por autores para a determinao da tenso ltima nos cabos, momento resistente e flechas,

assim como procedimentos normativos.

Os resultados encontrados na literatura foram confrontados com os resultados

obtidos da anlise proposta nesta dissertao fornecendo subsdios para futuras discusses. A nomenclatura de alguns coeficientes adotados pelos autores foi modificada para que seja uniformizada a apresentao nos itens seguintes e facilite a compreenso do leitor.

2.3.1 Estudo de MACGREGOR

Foi realizada uma investigao experimental com um prottipo caracterstico, em escala reduzida, da ponte

caixo, montado com aduelas prcom epxi. A Figura 2-5 mostra a disposio dos cabos e a seo transversal nos apoios e meio do vo para o prottipo ensaiadode 10 cordoalhas e 3/8, 5 de cada lado, e os cabos 3 e 5 de 4 cordoalhas de 3/8 sendo duas de cada lado.

Figura 2-5 Vista em elevao com layout dos cabos externos

O objetivo foi examinar o efeito do tipo de junta na rigidez, resistncia e ductilidade da estrutura, alm de propor uma equao para o clculo da tenso nos cabos. Os autores fazem algumas concluses extradas derealizados:

Os cabos externos no deslizaram at a aplicao da carga total de servio, entretanto para os ciclos

cabos deslizaram sobre os desviadores. Durante a etapa de carregamento foi possvel observar comportamentos

distintos, que foram representados pela curva teexplicitado pela Figura ponto A ao D. Antes das juntas comearem a abrirlinearmente com o aument

MACGREGOR (1989) Foi realizada uma investigao experimental com um prottipo caracterstico,

em escala reduzida, da ponte San Antonio Y, com trs vos de 7,62m, seo do tipo caixo, montado com aduelas pr-fabricadas fixadas parte com junta seca e a outra parte

mostra a disposio dos cabos e a seo transversal nos apoios para o prottipo ensaiado. Os cabos 1A, 1B, 2, 4A e 4B so compostos

de 10 cordoalhas e 3/8, 5 de cada lado, e os cabos 3 e 5 de 4 cordoalhas de 3/8 sendo

Vista em elevao com layout dos cabos externos. (MACGREGORp. 38)

objetivo foi examinar o efeito do tipo de junta na rigidez, resistncia e m de propor uma equao para o clculo da tenso nos

fazem algumas concluses extradas de observaes dos ensaios

Os cabos externos no deslizaram at a aplicao da carga total de servio, entretanto para os ciclos prximos a carga ltima foi observado que todos os

cabos deslizaram sobre os desviadores. Durante a etapa de carregamento foi possvel observar comportamentos

distintos, que foram representados pela curva tenso nos cabos-carga aplicada, Figura 2-6. O diagrama foi dividido em trechos, partindo do

D. Antes das juntas comearem a abrir, a flecha aumentou earmente com o aumento da carga (Trecho AB). O acrscimo de tenso nos

11

Foi realizada uma investigao experimental com um prottipo caracterstico, seo do tipo

fabricadas fixadas parte com junta seca e a outra parte mostra a disposio dos cabos e a seo transversal nos apoios

. Os cabos 1A, 1B, 2, 4A e 4B so compostos de 10 cordoalhas e 3/8, 5 de cada lado, e os cabos 3 e 5 de 4 cordoalhas de 3/8 sendo

MACGREGOR 1989,

objetivo foi examinar o efeito do tipo de junta na rigidez, resistncia e m de propor uma equao para o clculo da tenso nos

es dos ensaios

Os cabos externos no deslizaram at a aplicao da carga total de servio, carga ltima foi observado que todos os

Durante a etapa de carregamento foi possvel observar comportamentos

carga aplicada, s, partindo do

, a flecha aumentou

O acrscimo de tenso nos

12

cabos permanece linear at que a posio da linha neutra atinja a altura dos cabos (Ponto B). A partir desse ponto, a tenso nos cabos aumenta devagar, uma vez que o acrscimo de momentos resistido pelo aumento do brao de alavanca das foras internas, at que se atinja o ponto C, onde a resultante das foras de compresso do concreto se concentra na mesa superior da seo. Para que a seo continue a resistir ao acrscimo de carga, e a seo permanea em

equilbrio, foras de trao precisam ser mobilizadas pelos cabos externos, gerando grandes rotaes nas juntas e acrscimo de deformaes (Ponto D).

Figura 2-6 Diagrama esquemtico de resposta da tenso dos cabos com o acrscimo de carga. (MACGREGOR, 1989, p. 254)

Segundo os autores, a tenso efetiva, ou seja, a tenso final aps a contabilizao das perdas o fator mais importante que afeta a resistncia flexo. Se perdas por atrito, relaxao ou retrao forem subestimadas, ento existir uma reduo

na resistncia flexo. A tenso efetiva atua como ponto de incio, a partir do qual a tenso no cabo aumenta com o acrscimo de carregamento. Se ela for menor do que a prevista o aumento de carga pode levar a viga ruptura com uma carga inferior.

13

A relao altura plstica/comprimento livre do cabo (Zp/li) , segundo os autores, o segundo fator mais importante que afeta a tenso nos cabos externos. A extenso da rtula plstica uma funo direta de Zp. Uma relao Zp/li alta conduzir a acrscimos de tenses maiores, e do contrrio a acrscimos

pequenos de tenso.

Figura 2-7 Altura plstica, Zp, definida como sendo a distncia da rtula plstica ao

cabo externo (MACGREGOR, 1989, p. 281).

MACGREGOR (1989) props uma equao para a determinao do acrscimo de tenses em cabos no aderentes no estado limite ltimo. A tenso nos cabos externos, fps, em qualquer etapa de carregamento, calculada como sendo a tenso efetiva aps perdas, fpe, acrescida de uma tenso devida a um carregamento M, onde Eps o mdulo de elasticidade do ao de protenso externo, cu a deformao especfica longitudinal ltima do concreto, dp a altura til do ao de protenso externo e xu a altura da linha neutra no estado limite ltimo. O valor de determinado

experimentalmente e vale 10,5. Ns o nmero de desviadores, Le o comprimento efetivo do cabo que depende do comprimento total inicial do cabo, L0.

pye

upcupspeps fL

xdEff

+=

(2.1)

+=

s

e NL

L5,010

(2.2)

A equao proposta tem a restrio de no ser valida para a configurao com

cabos retilneos sem desviadores. A AASHTO:2012 adota essa mesma formulao.

14

2.3.2 Estudo de NAAMAN e ALKHAIRI (1991) Os autores desenvolveram uma metodologia simplificada para a determinao de

tenses e deformaes do concreto e do ao, para vigas protendidas com cabos no aderentes, internos ou externos, no regime elstico fissurado e no fissurado.

Primeiramente NAAMAN (1990) desenvolve um procedimento de clculo para o caso da protenso no aderente partindo do caso de cabos aderentes, no entanto

introduz um coeficiente redutor de deformaes, , permitindo que a mesma soluo

seja utilizada apenas com pequenas modificaes. Em seguida, NAAMAN e ALKHAIRI (1991) propem um coeficiente redutor de deformaes para o estado limite ltimo, u, que apresenta melhor resultados e preciso comparada com a

metodologia original.

A Figura 2-8 um grfico esquemtico que representa a relao momento-

deflexo para uma dada seo transversal de uma viga com protenso no aderente. Segundo NAAMAN (1990) possvel dividi-lo em 4 estgios: comportamento linear elstico no fissurado (trecho A-B); momento em que ocorre a primeira fissura (trecho B-C); comportamento linear elstico no estado fissurado (trecho C-D), e comportamento no linear fissurado (trecho D-E). O ponto E indica o ponto de resistncia ltima, e F o ponto de ruptura. Para cada estgio o autor estabelece uma expresso para o coeficiente de reduo de deformao.

Figura 2-8 Diagrama esquemtico momento-deflexo para viga com cabos protendidos no aderentes internos, ou externos. (NAAMAN, 1990, p. 352)

15

Para o estgio linear elstica no fissurada, trecho A-B, o problema se reduz ao

caso de cabos aderentes, cujo coeficiente de reduo de deformaes, , depende apenas da configurao da armadura e do tipo de carregamento. Os efeitos de segunda ordem so negligenciados e considera-se que o comportamento dos materiais linear

elstico assim como as deformaes na seo. Essa formulao valida para a determinao da tenso nos cabos para um valor de momento atuante variando entre o

momento devido s cargas permanentes, Md, e o momento de fissurao, Mcr.

Quando o momento atuante ultrapassa o momento de fissurao surge uma fissura, o que caracteriza o incio do estgio linear elstico no estado fissurado, trecho C-D. Assume-se que apenas uma fissura surja na seo de momento mximo. A viga ento dividida em duas regies, uma dita fissurada e outra dita no fissurada com momentos de inrcia Icr e Ig, respectivamente. Define-se para essa etapa o coeficiente

redutor c, que representa a relao entre a mdia da variao de deformao nos cabos

no aderentes e a variao da deformao do concreto. O valor de c depende de , da

relao entre o momento de inrcia da seo fissurada e da seo bruta, Icr / Ig e da

relao entre o comprimento da regio fissurada e o vo, Lc / L. Os valores de e c

podem ser encontrados na Tabela 2-1 para alguns casos de carregamento e um arranjo de cabos.

A determinao de tenses nos cabos e no concreto feita atravs de um processo iterativo. Para um dado momento M, estabelece-se o equilbrio na seo, considerando as equaes de compatibilidade de deformaes e relao tenso-deformao dos materiais linear. O resultando uma equao de 3 grau com a altura

neutra x sendo a incgnita. Assumindo um valor para Icr/Ig, determina-se o valor de c,

em seguida resolvendo a equao de 3 grau encontra-se o valor de x. Por sua vez Icr depende de x. Reavalia-se o valor de Icr com o valor de x encontrado, at que se convirja para um valor aceitvel. Uma vez encontrada a posio da linha neutra possvel determinar a tenso no cabo atravs das equaes (2.4 e (2.5.

16

Tabela 2-1 Fatores , c e u para cada caso de carregamento e configurao de cabos (NAAMAN, 1990, p. 349).

Estado no fissurado Estado fissurado ELU

m

s

e

e

41

125

+=

+

+=

LL

LL

e

e

LL

e

e

II

II cc

m

sc

m

s

g

cr

g

crc 4

4

2

2

41

211

pu dL

3=

+ 4

4

3

3

2

2

41

31

21

LL

LL

LL ccc

m

s

e

e

61

31

+=

+

+=

LL

LL

II

II cc

g

cr

g

crc 2

111

pu dL

5,1=

2

2

131

21

LL

e

e

LL c

m

sc

m

s

e

e

5413

5423

+= -

pu dL

3=

A tenso de compresso no concreto, cc, obtida atravs da equao

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xd

EEA

xdE

EAxd

EEA

hxbbxbxEA

s

c

sss

c

ssp

c

pspscf

w

cecpepspscc

+=

'

''2

2

22

(2.3 sendo ce a deformao especfica longitudinal do concreto no nvel da armadura

protendida devida a tenso efetiva de protenso, fpe.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xd

EEA

xdE

EAxd

EEA

hxbbxbxEA

s

c

sss

c

ssp

c

pspscf

w

cecpepspscc

+=

'

''2

2

22

(2.3)

( )

++=x

xdEE

Ef pccc

psccecpepsps (2.4)

( )( ) ++

+=

20

2

0

mpsps

cg

mdpeps

erAEEI

eMMff (2.5)

NAAMAN (1990) se limitou a uma verificao do comportamento apenas em servio. Disposio dos cabos com apenas um desviador, assumindo comportamento

17

linear elstico para os materiais e desprezando os efeitos de segunda ordem provenientes da mudana de excentricidade dos cabos externos com o acrscimo de carga.

No estado limite ultimo, NAAMAN e ALKHAIRI (1991) optaram por determinar o coeficiente de reduo de aderncia, u, a partir de resultados

experimentais obtidos por outros pesquisadores no perodo de 1962 a 1990. Isso conduziu a uma correlao melhor dos resultados previstos com os observados

experimentalmente. u depende apenas do tipo de carregamento e valido para vigas

continuas e bi-apoiadas. Para que os valores calculados sejam inferiores aos obtidos experimentalmente a tenso nos cabos limitada a 0,94 fpy. Dessa forma garante-se que as tenses nos cabos permaneam trabalhando no regime elstico linear, como premissado.

A posio da linha neutra no estado limite ultimo, obtida resolvendo-se a equao (2.7., o comprimento total do cabo entre ancoragens dado por l2 e o comprimento do vo carregado dado por l1.

De posse do valor de x, a tenso nos cabos fica determinada pela equao (2.6.

2

11ll

x

dEff pcupsupeps

+= (2.6)

1

112

11

24

ACABB

x+

= (2.7)

11 85,0 bwfA ck=

(2.8)

( ) fwckysyspeucupsps hbbffAfAfllEAB ++

= 85,0''

2

11

(2.9)

2

11 l

ldEAC psucupsps =

(2.10)

18

2.3.3 Estudo de DSIR (1993) e RGIS (1997) DSIR (1993) apresentou uma rotina computacional para anlise no-linear

geomtrica e fsica de vigas hiperestticas protendidas com cabos externos, dando prosseguimento ao trabalho realizado por MARTINS (1989). Sua formulao se restringe ao projeto de vigas considerando a protenso externa no como reforo, mas como soluo estrutural original.

O autor comparou seus resultados com rotinas computacionais desenvolvidas

por outros autores, e com os resultados experimentais de REGIS (1997). Algumas das caractersticas da sua rotina computacional so descritas a seguir.

A variao da excentricidade, v(x), que surge com a variao da deformao da viga contemplada e a nova excentricidade fica definida como sendo (e0 v(x)).

possvel considerar o deslizamento dos cabos sob os desviadores. A diferena de tenses entre dois trechos adjacentes pode vencer o atrito, provocando o deslizamento do cabo sobre os desviadores. A formulao do problema atribuda a MARTINS (1989) e VIRLOGEUX et al (1986), fazendo-se o equilbrio nos dois trechos dos cabos, como mostra a Figura 2-9. A expresso depende do ngulo de desvio entre os trechos, i, e do coeficiente de atrito, fi.

A modelagem feita com elementos prismticos de prtico plano, com dois graus de liberdade, onde no considerado o deslocamento horizontal. Assim o

efeito da deformao axial no contemplado nos clculos. Para representar a no-linearidade fsica do material adotada a formulao do

CEB FIP MC 90 (1993). A no-linearidade geomtrica feita atualizando-se a configurao deformada da estrutura em cada etapa de carregamento.

Figura 2-9 Discretizao de dois trechos consecutivos para determinao da carga Pj, responsvel por provocar o deslizamento (DSIR, 1993, p. 36).

19

RGIS (1997) ensaiou duas vigas contnuas, de seo tipo I, uma monoltica e outra formada por aduelas pr-moldadas ligadas por junta seca, com dois vos de 7,50m. As vigas foram protendidas com cabos externos compostos por 3 cordoalhas de 7 fios de 15,2mm e possuam dois desviadores a aproximadamente a um tero do vo.

Seu objetivo era o estudo do comportamento das vigas at a ruptura e comparao de resultados com os fornecidos por DSIR (1993) e outros autores.

No estudo o autor avaliou:

Evoluo das tenses nos cabos externos. Deslizamento dos cabos externos sobre os desviadores. Variao da excentricidade dos cabos externos com o aumento de carga.

Diferena de comportamento entre vigas monolticas e com aduelas pr-moldadas.

Algumas observaes so feitas comparando os estudos conduzidos por REGIS (1997) e DESIR (1993).

Segundo DESIR (1993) a ductilidade na viga com aduelas pr-moldadas, menor que na viga monoltica. Para o autor, a razo seria a baixa taxa de armadura passiva ocasionando em uma perda de rigidez menos suave. J

segundo REGIS (1997) ambos apresentaram um comportamento considerado dctil at a ruptura.

Ambos os autores consideraram a influncia do coeficiente de atrito nos desviadores, relevante para determinar o ponto de incio de deslizamento dos cabos nos desviadores, e conseqente variao de tenses nos cabos. Uma calibrao melhor do modelo matemtico de DESIR (1993) deve ser feita para que seja possvel descrever o comportamento real da estrutura.

REGIS (1997) observou uma variao grande da excentricidade com o aumento do carregamento da viga monoltica para a com aduelas. A variao da

excentricidade at a ruptura da viga monoltica chega a 11%, enquanto que da viga com aduelas pr-moldadas que chega a 2,5%.

20

2.3.4 Estudo de HARAJLI et al (1999) Primeiramente HARAJLI (1993) realizou um estudo experimental com o total

de dezesseis vigas, a fim de investigar as vantagens da tcnica da protenso externa, como tcnica de reforo, na melhora do comportamento da estrutura sob carga de servio e na sua resistncia flexo.

As vigas ensaiadas tinham a seo do tipo retangular, divididas em trs diferentes sistemas estruturais: concreto armado, concreto protendido e parcialmente

protendido, carregadas com duas cargas concentradas a um tero do vo. Todas as vigas foram submetidas a ciclos de carregamentos para simular um estado de necessidade de reforo. Duas configuraes de cabos foram testadas, uma poligonal com dois pontos de desvio e outra reta. Ao final, elas foram protendidas externamente e carregadas

monotonicamente at a ruptura. O autor faz um resumo dos resultados mais relevantes obtidos com os ensaios.

A primeira constatao se d com o grfico carga-flecha obtida dos ensaios. Como pode ser visto nas Figura 2-10 e Figura 2-11, a curva apresenta at trs estgios de comportamento a depender do tipo de sistema estrutural. No primeiro estgio, para as vigas protendidas e parcialmente protendidas, o comportamento carga-flecha sofreu

pequena variao com a aplicao da protenso externa. Nessa etapa as aberturas das fissuras fecharam-se completamente no momento da aplicao da protenso externa. medida que as aberturas tendem a se reabrir com o acrscimo de carga, um segundo estgio perceptvel com mudana na inclinao da curva, seguida do terceiro estgio correspondente ao escoamento da armadura interna. Para as vigas de concreto armado apenas dois estgios so ntidos.

21

Figura 2-10 Curva carga-flecha para viga parcialmente protendida e configurao de cabos externos poligonais, onde trs estgios de comportamento podem ser observados

at a ruptura da viga. (HARAJLI, 1993, p. 81)

Figura 2-11 Curva carga-flecha para viga em concreto armado e configurao de

cabos externos poligonais, onde dois estgios de comportamento podem ser observados at a ruptura da viga. (HARAJLI, 1993, p. 82)

22

O acrscimo de resistncia flexo das vigas com cabos retos foi consistentemente menor do que com a configurao poligonal. Isso atribudo ao fato de que a excentricidade para a configurao de cabos com desviadores maior na regio de momento mximo.

Em termos de flecha, para a condio de servio, houve uma reduo de em torno de 36% para as vigas com a configurao de cabos poligonais comparada com as de cabos retos. Sob o ponto de vista de comportamento para flechas, cabos com desviadores se mostraram mais eficientes. No entanto, a flecha ltima para as vigas com cabos retos e poligonais seguiu a mesma ordem e magnitude, como pode ser observado nas Figura 2-10 e Figura 2-11, ficando na ordem de 1,25 polegadas.

Para o caso estudado HARAJLI (1993) prope uma equao para o clculo do acrscimo de tenses nos cabos externos no regime linear elstico. Onde 0 a flecha

no centro da viga devida a aplicao do carregamento aps os cabos externos serem

protendidos, em a excentricidade dos cabos externos medido no meio do vo e L o vo terico.

024 Lem

ps = (2.11)

pspspeps Eff += (2.12)

Segundo o autor, a comparao com resultados experimentais mostrou uma boa

concordncia com a equao proposta.

Posteriormente ao seu estudo experimental, HARAJLI et al (1999) apresenta resultados de um modelo numrico no-linear sobre o comportamento e resistncia de elementos de concreto reforados com cabos externos protendidos, avaliando o efeito da configurao dos cabos externos, da tenso efetiva de protenso e da excentricidade dos cabos. A avaliao feita com nfase particular nesses parmetros, que segundo o autor,

influenciam os efeitos de segunda ordem.

A formulao da sua anlise no-linear e baseada no mtodo da deformao

incremental, onde em cada etapa de carregamento a compatibilidade de deformaes e o

23

equilbrio de foras so satisfeitas. O autor utiliza as relaes constitutivas dos materiais para simular a no linearidade fsica.

As concluses dos autores so mostradas a seguir:

Sob o ponto de vista do tipo de carregamento, uma carga nica concentrada

produz efeitos de segunda ordem menores, comparada com uma carga distribuda ou duas cargas a um tero do vo, j que desenvolve um comprimento de rtula plstica menor na ruptura, mobilizando menores deformaes na etapa posterior fase elstica.

Para avaliar a influncia do traado dos cabos externos na capacidade resistente

da viga, foi variada a posio dos desviadores ao longo do vo. Foram testadas trs configuraes distintas: apenas com um desviador no meio do vo, sem

desviadores, e dois desviadores posicionados a um tero do vo. Da Figura 2-12 possvel perceber que a configurao sem desviadores foi a que conduziu a menor momento, para todas as taxas de armadura mecnica. Com dois desviadores a curva carga-flecha praticamente a mesma com a configurao

com um desviador resultando em momentos resistentes ligeiramente menores. Devido ao efeito de segunda ordem, vigas sem desviadores so menos eficientes,

uma vez que a reduo de excentricidade mais acentuada com o acrscimo de carregamento e aumento da flecha.

Figura 2-12 Curvas momento-flecha para trs configuraes de desviadores e taxas de

armadura mecnica. (HARAJLI et al, 1999, p. 1157)

24

Duas vigas uma em concreto armado e outra em concreto protendido foram ensaiadas com o objetivo de avaliar a influncia da tenso efetiva de protenso aplicada nos cabos externos, alm da influncia dos dois tipos de concreto no comportamento dos elementos. As Figura 2-13 e Figura 2-14 mostram as curvas

momento-flecha para duas vigas, uma em concreto armado e outra protendida, com diferentes nveis de tenso efetiva aplicados. O aumento da tenso efetiva

nos cabos externos aumenta o momento resistente e ao mesmo tempo reduz a flecha. Entretanto, acompanhado disso h uma perda de ductilidade com a reduo da flecha ltima na ruptura. Comparando os dois tipos de concreto, a protenso externa possibilita o mesmo ganho de resistncia flexo

independente do tipo de concreto escolhido.

Figura 2-13 Curva momento-flecha para viga em concreto protendido com diferentes tenses efetivas aplicadas. (HARAJLI et al, 1999, p. 1159

25

Figura 2-14 Curva momento-flecha para viga em concreto armado com diferentes tenses efetivas aplicadas. (HARAJLI et al, 1999, p. 1159)

26

2.3.5 Estudo de NG e TAN (2005) Atravs da modificao do coeficiente redutor de aderncia, NG e TAN (2005a)

propem um mtodo para avaliar o momento ltimo e a tenso ltima nos cabos externos de vigas protendidas. Os autores propem uma anlise dita pseudo-seccional que computa os efeitos de segunda ordem devido mudana de excentricidade dos

cabos, e que se baseia na compatibilidade de deformaes e equilbrio de foras na seo. O objetivo dessa proposta fugir de anlises numricas mais complexas e fornecer uma maneira mais direta para o dimensionamento.

Uma investigao experimental foi realizada com sete vigas para comprovar sua formulao (NG e TAN, 2005b). Segundo os autores a relao vo/altura til (L/dp0) no deveria ser levada em conta para a determinao da tenso ltima nos cabos. Uma

das justificativas que nos cabos externos no se reproduz o efeito de pino, j que os cabos se encontram fora da seo transversal da viga, o que no geraria tenses

adicionais nos cabos, ver Figura 2-15. Atravs do exemplo de duas vigas de vos distintos e mesmo tipo de carregamento, NG e TAN (2005a) demonstram que a deformao media dos cabos para as duas a mesma, e com isso conclui que a relao L/ dp0 no relevante nas anlises e pode ser negligenciada.

Figura 2-15Acrscimo de tenses devido ao efeito de pino em cabos internos e ausncia do efeito para cabos externos devido ao movimento irrestrito dos cabos. (NG,

2003, p. 645)

27

O parmetro escolhido por NG e TAN (2005a) para a modificao do coeficiente redutor de aderncia no estado limite ltimo, u, foi a relao espaamento entre desviadores/altura til inicial, Sd/dp0. Segundo os autores a escolha da altura til inicial, ao invs do vo, mais adequada, pois reflete o fato que o efeito de segunda

ordem mais significativo para vigas com maior espaamento entre desviadores e menos significativa quando a altura til inicial maior. A constante adimensional kn deve ser usada para a considerao dos efeitos de segunda ordem.

O estudo desenvolvido pelos autores limitado para o caso de uma viga bi-apoiada, com dois desviadores colocados simetricamente no vo, sujeitos a duas cargas concentradas dispostas a um tero do vo.

Segundo os autores a tenso nos cabos externos, no estado limite ltimo, fica

definida segundo a equao py

pcupsupepspeps f

x

dEffff

+=+= 10

(2.15. Onde Ls a distncia do apoio at o ponto de aplicao de carga.

>

=

15144,0

150096,0

0

00

p

d

p

d

p

d

n

dSpara

dSpara

dS

k (2.13)

n

psu kh

dLL

=

0364,1895,0 (2.14)

pyp

cupsupepspeps fx

dEffff

+=+= 10

(2.15)

Complementar a anlise das tenses no cabo, NG e TAN (2005a) propem uma formulao para a determinao momento ltimo de vigas protendidas com cabos externos, e o clculo da flecha para a seo mais solicitada, ou seja, no meio do vo. O processo iterativo e primeiramente assume-se um valor para Mu, momento ltimo, por

conseguinte possvel determinar a excentricidade no ELU, eu, e a altura til dos cabos,

28

dpu, pelas equaes (2.17 a

+

+

=

2281

4313

622

2

0

dd

ec

psps

sdcu

u LLLLIEAf

LL

LL

x

Le

e

(2.19. Onde Ld a distncia do apoio at o desviador e e0 a excentricidade inicial.

Para Ld < Ls:

+

+=

222

0 4313

6 LL

LL

LL

LL

LL

x

Ldd sds

dsdcuppu

++

228

22dd

u

ec

psps LLLLe

IEAf

(2.16)

+

+

+

=

2281

4313

622

222

0

dd

ec

psps

sd

s

dsdcu

u LLLLIEAf

LL

LL

LL

LL

LL

x

Le

e

(2.17)

Para Ld Ls:

++

+=2284

3136

222

0dd

u

ec

pspsddcuppu

LLLLe

IEAf

LL

LL

x

Ldd (2.18)

+

+

=

2281

4313

622

2

0

dd

ec

psps

sdcu

u LLLLIEAf

LL

LL

x

Le

e

(2.19)

Em seguida, o valor assumido para o momento ltimo comparado com o

calculado pela equao ( ) ( ) ( )xkdfAxkdfAxkdAfM syssyspupspsu 1'''11 ++=

(2.20.

O procedimento repetido at que por fim convirjamtolerncia pr-estabelecida.

( )xkdAfM pupspsu 1 +=

Para validar sua metodologia proposta,

com quatro diferentes configuraesdesviadores.

Figura 2-16 Curvas comparativas cargaexperimental, para at trs configuraes de desviadores. Vigas T

desviadores, viga tipo ST

desviadores e ST

A Figura 2-16 mostra a curva carganotar que as vigas sem desviadores atingiram cargas de ruptura inferiores comparadas com as vigas com um ou mais desviadores. cabos externos no foram afetadas significativamente nas vigas com um ou mais

desviadores, at que se atingisse interna. Em geral os resultados experimentais concordaram com os tericos variando na

ordem de 8% no mximo.

Assim, os autores concluem

consideravelmente caso no se utilizedeterminante no clculo da tenso ltima dos cabos externos.

at que por fim convirjam os resultados dentro de uma

( ) ( )xkdfAxkdfA syssys 1'''1 ++

Para validar sua metodologia proposta, (NG e TAN, 2005b) testam nove vigas com quatro diferentes configuraes, ora sem desviadores e ora com 1, 2 e 3

Curvas comparativas carga-tenso nos cabos externos, terica e

experimental, para at trs configuraes de desviadores. Vigas T-0A e T-desviadores, viga tipo ST-4 com um desviador apenas, viga ST-5A com dois

adores e ST-5B com trs. (NG e TAN, 2005b, p. 630)

mostra a curva carga-tenso nos cabos externos, onde possvel m desviadores atingiram cargas de ruptura inferiores comparadas

com as vigas com um ou mais desviadores. Os autores observam que as tenses dos cabos externos no foram afetadas significativamente nas vigas com um ou mais

desviadores, at que se atingisse uma carga referente ao escoamento da armadura Em geral os resultados experimentais concordaram com os tericos variando na

concluem que a resistncia ltima de vigas pode ser reduzida no se utilizem desviadores. E que a relao L/d

determinante no clculo da tenso ltima dos cabos externos.

29

os resultados dentro de uma

(2.20)

testam nove vigas

, ora sem desviadores e ora com 1, 2 e 3

tenso nos cabos externos, terica e

-0B sem 5A com dois

tenso nos cabos externos, onde possvel m desviadores atingiram cargas de ruptura inferiores comparadas

observam que as tenses dos cabos externos no foram afetadas significativamente nas vigas com um ou mais

uma carga referente ao escoamento da armadura Em geral os resultados experimentais concordaram com os tericos variando na

que a resistncia ltima de vigas pode ser reduzida desviadores. E que a relao L/dp0 no

30

2.3.6 Estudo de HE e LIU (2010) Os autores apresentaram equaes prticas para a determinao do acrscimo de

tenses nos cabos para vigas com protenso interna no aderente, ou protendidas externamente, no estado limite ltimo e em servio. Seu estudo abrange os esquemas estticos mais comuns para vigas bi-apoiadas, com carga uniformemente distribuda e

concentrada.

A metodologia no considera a deformao devido ao esforo cortante, alm do

atrito entre desviador-cabos. A tenso ao longo do cabo considerada uniforme. O efeito de segunda ordem contemplado por meio da utilizao de fatores de correo de tenso e altura til. A formulao proposta separada para duas fases de comportamento: uma em servio e outra no estado limite ltimo.

Para o estado em servio, a determinao do acrscimo de tenso nos cabos externos, fps, obtida analiticamente e expressa em termos da flecha da viga no meio do vo, mid, onde se tem a maior solicitao, ver equao

( )2L

eEf midmmidpsps

= (2.22.

Na equao Mmax o momento mximo na seo.

O objetivo, ento passa a ser determinar a flecha na seo mais solicitada, e assim determinar a tenso final nos cabos. Isso s possvel j que segundo os autores, existe uma correlao praticamente linear entre fps e mid. HE e LIU (2010) se basearam em curvas carga-deslocamento publicadas por outros pesquisadores, que confirmam essa relao linear. A variao de tenso nos cabos fica expressa em termos

do parmetro , que reflete a relao entre o acrscimo de tenso e a flecha na seo crtica; do parmetro , que expressa a influencia dos efeitos de segunda ordem no acrscimo de tenses e do parmetro K, que computa a perda de excentricidade dos cabos devido aos efeitos de segunda ordem. Os parmetros , e K so tabelados em funo do tipo de carregamento e configurao dos cabos, e so encontrados na Tabela 2-2. A constante definida como sendo a razo entre a excentricidade na extremidade

da viga, es, e a excentricidade no meio do vo, ou seo crtica, em.

gcmid IE

LMK

2max

= (2.21)

31

( )2L

eEf midmmidpsps

=

(2.22)

Tabela 2-2 Valores de , , e K para carregamentos tpicos com um e dois desviadores. (HE e LIU, 2010, p.1058)

K

4,24 0,97

485

psdL

35,278,0 +

( )135

52232

0,43

24

0,80

121

psdL

33,0 +

9846

0,45

235688

0,94

21623

psdL

35,278,0 +

2324100

0,41

sm ee=

Segundo os autores, para o estado limite ltimo, baseado em observaes experimentais, a equao (2.22 ainda se mostra valida utilizando-se os mesmos fatores da Tabela 2-2. O clculo da flecha no

ELU fica determinado pela equao ucu

umidx

LK 2,

=

(2.23. No clculo de mid,u assume-se que a rigidez em qualquer seo ao longo da viga seja igual a da seo mais solicitada, o que conduz a valores superestimados de flecha. Para contornar isso, adota-se na equao

u

cuumid

xLK 2

,=

(2.23, como fator corretor da flecha.

32

u

cuumid

xLK 2

,=

(2.23)

( )2

,,,

LeEf umidumumidpsps

=

(2.24)

Para verificar sua metodologia os autores se valeram de resultados experimentais publicados por NG e TAN (2005b) e resultados encontrados pelo ACI 318:2008 e AASHTO:2004. Comparando esses resultados com os obtidos da sua equao proposta, HE e LIU (2010) obtiveram uma melhor correspondncia com os resultados experimentais, comparados com os resultados dos cdigos americanos, que se mostraram muito conservadores, e concluram que:

O efeito de segunda ordem pode ser reduzido com eficcia, se ao menos um desviador for colocado no meio do vo, podendo na pratica ser negligenciado se ao menos dois desviadores forem colocados simetricamente a 1/3 do vo.

A magnitude dos efeitos de segunda ordem depende especialmente da disposio e nmero de desviadores.

O acrscimo de tenses nos cabos fortemente dependente da relao em / x. Segundo os autores o parmetro em reflete a deformada da viga e a excentricidade do cabo. J a altura da linha neutra reflete a capacidade de rotao da seo e a capacidade da viga de se deformar.

33

2.3.7 Estudo de GHALLAB (2012) GHALLAB (2012) prope um mtodo simples para a determinao do

acrscimo de tenses em cabos externos usados para reforo de vigas, e compara com resultados experimentais de 37 vigas encontrados na literatura vigente.

O estudo realizado abrange fatores como: tipo dos cabos, tipo de carregamento,

relao vo/altura til e disposio dos desviadores. O clculo para obteno das tenses no cabo feito a partir da deformao da viga, considerando a formao de

rotulas plsticas em sees de maior solicitao no ELU. A determinao das tenses atravs das deformaes traz vantagens na determinao das tenses nos cabos para j que pode ser feita para qualquer fase de carregamento.

Trs simplificaes so adotadas nos clculos.

No considerada a deformao axial da viga devido s cargas de protenso. A justificativa que a deformao elstica do concreto ocorre antes dos cabos serem ancorados, e assim possvel negligenciar esse efeito. Contudo, o autor ressalta que esse efeito precisa ser mais estudado.

No h mudana de posio nos pontos de extremidade, onde se encontram as ancoragens. No estado limite ltimo, a rotao da seo transversal e a posio

da ancoragem nas extremidades relativamente pequena e pode ser negligenciada. A Figura 2-17 ilustra essa simplificao.

No considerado o atrito nos desviadores.

34

Figura 2-17 Configurao deformada genrica dos cabos externos com considerao da deformao axial negligenciada. (GHALLAB, 2012, p. 423)

Os passos para a determinao da tenso nos cabos externos proposta por

GHALLAB (2012) so descritos a seguir. A tenso final nos cabos externos, em qualquer etapa de carregamento, calculada como sendo fpe (tenso devida ao efeito da fora de protenso, P0, combinada com o momento devido s cargas permanentes, Md), acrescida de fps, que o acrscimo de tenso nos cabos devido a um momento M.

pspeps fff += (2.25)

fps determinado atravs da deformao especifica do cabo externo, ps, que surge devido o alongamento dos cabos do estado inicial para o final de carregamento. O

comprimento inicial total do cabo dado por L0, o vo dado por L e a variao do comprimento do cabo por L.

0LL

ps

= (2.26)

=

=

n

iilL

10 (2.27)

2Lx

kL cug

= (2.28)

35

O valor de kg tabelado e depende do tipo de carregamento e da altura til dos cabos externos, sendo valido apenas para vigas simplesmente apoiadas. Para vigas continuas deve-se adotar o fator kc no lugar de kg nas equaes. Os valores de dp-ve e dp+v so referidos a altura til da armadura de protenso na seo em anlise, no apoio e

no meio do vo, respectivamente e so mostrados na Tabela 2-3. Da mesma maneira o momento no apoio dado por M

-ve e na seo crtica por M+v.

Tabela 2-3 Fator de multiplicao, kg e kc (GHALLAB, 2012, p.424). Viga simplesmente apoiada Viga continua

Uma carga concentrada ( )m

mkg

=

14843 2

+=

+

ve

ve

ggc M

Mk

kk 0625,05,01

Duas cargas concentradas 6

125,02mkg =

+=

+

ve

ve

ggc M

Mk

kk 0625,05,01

Carga uniformemente

distribuda 104,0=gk

=

+

ve

vec M

Mk10

1104,0

2)( vepvep ddm +=

O valor da linha neutra no ELU obtido fazendo o equilbrio das foras na seo transversal considerando o escoamento das armaduras.

1

''

85,0 bffAfAfA

xck

yspyspsysu

+=

para seo retangular (2.29)

Finalmente, o valor da tenso final nos cabos obtido da seguinte forma:

pypspeps fELLff +=0

(2.30)

Os resultados encontrados pelo autor quando comparados com as normas ACI 318:2011, EN 1992-1-1:2004 e BS 8110:1997 mostraram um conservadorismo normativo, subestimando a tenso ltima nos cabos. Para o caso de cabos sem desviadores e com um desviador apenas, no meio do vo, e duas cargas concentradas, a metodologia proposta pelo autor apresentou resultados menos precisos. Isso pode ser atribudo ao fato da elevada reduo da excentricidade dos cabos, gerados pelo efeito de segunda ordem.

36

2.4 Procedimentos Normativos

2.4.1 ACI 318:2011

No capitulo referente protenso, a ACI 318:2011 possui um item especfico discorrendo sobre protenso externa. Na parte correspondente aos comentrios, destaca-se que a protenso externa considerada uma tcnica adequada para o reparo e reforo de estruturas existentes fornecendo resistncia adicional, ou melhorando seu comportamento em servio.

As equaes propostas para a determinao da tenso final para cabos internos no aderentes tambm so usadas para o caso de cabos externos. A norma atenta para o fato de que se deve assegurar que a excentricidade desejada entre os cabos e o centride da seo seja mentida, garantindo assim que efeitos de segunda ordem surjam. A norma faz uma diferenciao para o clculo da tenso nos cabos em funo relao vo/altura til, L/dp. Entretanto, as equaes propostas s podem ser utilizadas caso se garanta que fpe 0,5 fpu.

Segundo a ACI 318:2011, o clculo da tenso final nos cabos composto de duas parcelas, uma referente tenso efetiva de protenso, fpe, e a segunda devida ao acrscimo de tenso, fps. A taxa da armadura de protenso dada por p. O valor encontrado para a tenso nos cabos dado em megapascal (MPa).

pspeps fff += (2.31)

+++=

MPafffMPaff

pe

py

p

cpeps 420100

70 ' para L/d p 35 (2.32)

+++=

MPafffMPaff

pe

py

p

cpeps 210300

70 ' para L/d p> 35 (2.33)

p

psp db

A=

(2.34)

37

As equaes propostas pela ACI 318:2011 so bem simples, no entanto no levam em conta outros fatores como distncia entre desviadores, nmero de desviadores, tipo de carregamento e efeitos de segunda ordem.

38

2.4.2 AASHTO:2012

A formulao proposta pela AASHTO para o clculo da tenso em cabos no aderentes sofreu uma alterao na sua primeira edio, onde adotava a filosofia proposta por Naaman e Alkhairi, para as edies posteriores, onde passou a adotar o estudo realizado por Macgregor. A mudana indica que ainda h uma busca por um mtodo que tenha um significado mais claro e pratico para o projetista.

Para o clculo da tenso mdia nos cabos sem aderncia a AASHTO:2012 prope a equao (2.36 que leva apenas em considerao o comprimento efetivo dos cabos, Le, e a posio da linha neutra. O valor encontrado para a tenso nos cabos dado em megapascal (MPa). A mesma equao pode ser usada para o caso de cabos externos protendidos. A posio da linha neutra determinada pela equaes

bffAfAfA

xck

ysyspsps

1

''

85,0 +

=

para seo retangular (2.38 e depende da tenso final nos cabos, fps. Para se encontrar o valor de fps necessrio realizar uma iterao, at que x e fps convirjam e se encontre uma soluo fechada. Como primeira estimativa para fps, a norma indica a expresso (2.35).

MPaff peps 100+=

(2.35)

pye

ppeps fL

xdff

+= 0630

(2.36)

+=

s

e NLL

22 0

(2.37)

bffAfAfA

xck

ysyspsps

1

''

85,0 +

= para seo retangular (2.38)

( )( )04,01 ++= sifpjpF eff (2.39)

AASHTO:2012 faz provises mais especficas para o caso de estruturas concebidas originalmente, ou reforadas com protenso externa. No caso de perdas de protenso, indica uma equao particular para perdas por atrito nos desviadores, ver

39

equao (2.39

. Segundo a norma, o valor de 0,04 radianos na equao (2.39

representa

uma mudana de ngulo nos cabos no prevista, que depende da tolerncia no posicionamento dos cabos nos desviadores, podendo ser desconsiderada em casos onde o seu posicionamento for bem controlado.

A norma comenta tambm sobre a distncia mxima entre desviadores, indicando o mximo de 7,5m, caso uma anlise mais aprofundada quanto vibrao no seja feita. Ainda para o caso de pontes com vos na ordem de 24m, em seo caixo simples ou mltiplas, executadas atravs do mtodo de balanos sucessivos, ou qualquer outro mtodo incremental, a AASHTO:2012 indica a necessidade do provisionamento de acesso e espao para a colocao de desviadores e cabos externos extras, capazes de fornecer uma fora de protenso correspondente pelo menos 10% de acrscimo no momento positivo e negativo.

2.4.3 EN 1992-1-1:2004

A EN 1992-1-1:2004 no faz distino entre a protenso interna no aderente e a protenso externa. Segundo a norma, a fora de protenso inicial, Pm0(t), aplicada imediatamente depois do tensionamento dos cabos obtida subtraindo a fora mxima admissvel, Pmax, do somatrio das perdas imediatas (deformao elstica do concreto, relaxao do ao, atrito), assim como das perdas ao longo do tempo (fluncia), P(t).

)()( max0 tPPtPm =

(2.40) Assim a tenso final nos cabos dada por:

sp

mm A

tPt

)()( 00 =

(2.41)

Diferente de outras normas, para computar as perdas por atrito a EN 1992-1-1:2004 apresenta uma tabela para valores de coeficiente de atrito, , contemplando diferentes tipos de tubos para os cabos externos.

No seu item 5.10.7, onde trata de algumas considerao na anlise para elementos protendidos, a EN 1992-1-1:2004 observa que na protenso externa podem surgir momentos de segunda ordem. Em contra ponto, a equao proposta para o clculo da fora de protenso negligencia vrios fatores que afetam a protenso externa, inclusive os efeitos de segunda ordem. Os resultados obtidos por GHALLAB (2012) e

40

DALLASTA (2007) mostram que a tenso nos cabos obtida pela norma sempre conservadora.

41

2.5 Consideraes sobre a Protenso externa

Os mesmos parmetros que so conhecidos por influenciar a tenso em cabos internos no aderentes so esperados que influenciem tambm vigas com cabos externos protendidos. Mesmo que conceitualmente a protenso externa seja similar ao caso da protenso interna no aderente, existe uma diferena no comportamento, carga de ruptura e resposta carga- flecha, como j foi mostrado anteriormente. O efeito de alguns parmetros pode ser ignorado enquanto o de outros deve ser levado em considerao.

Nos prximos sub-itens so discu