DISSERTAÇÃO - Opções de compra - Black & Scholes + Cox Ross Rubinstein

7/30/2019 DISSERTAO - Opes de compra - Black & Scholes + Cox Ross Rubinstein

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1 INTRODUO

1.1 APRESENTAO DO TEMA

O mercado financeiro tem refletido celeremente s mudanas no ambiente

empresarial. Incorporando novas ferramentas computacionais a tradicionais modelos

matemticos, desenvolveram-se conceitos e ferramentas financeiras que permitem

anlise de investimentos extrapolar s tradicionais tcnicas baseadas em projees

de fluxo de caixa e incorporar elementos do risco e da volatilidade dos mercados. importante que os administradores compreendam melhor as opes que suas

companhias possuem ou quais so capazes de criar.

Com este novo panorama, ocorreu o desenvolvimento dos mercados

financeiros, estes afetados tambm pelo aumento do nvel de incertezas em funo

do aumento da complexidade das relaes que se estabelecem diariamente entre

seus vrios agentes. Desta forma tornou-se necessria melhor compreenso por

parte dos administradores ao tomar decises de modo a possibilitar captar aflexibilidade gerencial. Neste sentido conforme ressaltam Dixit e Pindyck (1995), as

opes criam flexibilidade e, num mundo de incertezas, a habilidade de se avaliar e

usar a flexibilidade crtica.

Diante do exposto o tema que se apresenta :

PRECIFICAO DE OPES DE COMPRA NO MERCADO BRASILEIRO:

UMA ABORDAGEM RELATIVA DE MTODO NUMRICO FRENTE AO MODELODE BLACK & SCHOLES.

1.2 FORMULAO DO PROBLEMA

O presente estudo a partir do tema de pesquisa tem como problema a

seguinte questo:


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A UTILIZAO DE MTODO NUMRICO TRADICIONAL APLICVEL A

AVALIAO DE OPES DE COMPRA AMERICANAS FRENTE UTILIZAO

DO MODELO DE BLACK & SCHOLES PODE SER APLICADO AO MERCADO DE

CAPITAIS BRASILEIRO?

1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA

1.3.1 Objetivo Geral

Comparar o desempenho de um mtodo numrico tradicional aplicvel

avaliao de opes de compra americanas frente utilizao do modelo de

precificao de Black & Scholes em relao ao preo de mercado.

1.3.2 Objetivos Especficos

Realizar estudo comparativo da aplicao de mtodo numrico tradicional s

opes de compra de aes da empresa Telemar listada na Bolsa de Valores

de So Paulo de forma a diferenci-lo quanto seu ajustamento em relao ao

preo da opo de mercado;

Verificar o nvel de precificao do mtodo de Black & Scholes quando a

classificao das opes em relao probabilidade do exerccio for in-the-money;

Verificar o nvel de precificao do mtodo de Cox, Ross e Rubinstein quando

a classificao das opes em relao probabilidade do exerccio for in-the-

money;


classificao das opes em relao probabilidade do exerccio for at-the-

money;


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a classificao das opes em relao probabilidade do exerccio forat-the-

money;


classificao das opes em relao probabilidade do exerccio forout-the-

money;


a classificao das opes em relao probabilidade do exerccio for out-

the-money;

Verificar a influncia da utilizao de diferentes formas de estimao de

volatilidades na aplicao de mtodo numrico tradicional e do mtodo de

Black & Scholes s opes de compra de aes da empresa Telemar listada

na Bolsa de Valores de So Paulo de forma a diferenci-los quanto ao seu

ajustamento em relao ao preo da opo de mercado.

1.4 JUSTIFICATIVAS TERICA E PRTICA

O estudo de precificao de opes, no mercado de capitais brasileiro, pode

contribuir de forma terico-prtica comunidade acadmica e tambm

comunidade empresarial.

1.4.1 Justificativa terica:

De acordo com CHEW (1999) no prefcio de sua obra, a necessidade de

garantir a sade financeira do negcio e de oferecer maior segurana aos acionistas

levou a um forte incremento do uso de derivativos nos Estados Unidos,

especialmente como ferramenta de proteo contra riscos de taxa de juros. No Brasil

tambm j se nota incremento na procura por este tipo de investimento, como forma

de melhorar os resultados financeiros das empresas comprimidos pelo acirramento


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da competio empresarial, pela recesso econmica e pela diminuio da

rentabilidade das aplicaes financeiras mais tradicionais. Os derivativos1 tambm

tm sido procurados como preveno contra a instabilidade das taxas de juros,

flutuao cambial, variaes nos preos das commodities e nos ndices de aes.

O objetivo mais importante do avaliador , atravs da aplicao de uma teoria

especfica ou algumas combinadas, atingir no necessariamente um s valor, mas

uma regio de preo para o ativo. necessrio nunca perder de vista que, em

qualquer anlise que esteja sendo realizada, existem duas dimenses que jamais

podem ser ignoradas: o potencial de retorno seja de lucros ou de fluxo de caixa, e o

risco embutido nessa projeo. PVOA (2004, p. 11).

Ao tornar mundial a crise2 especulativa inicialmente localizada na sia reitera-se a necessidade de proteo frente a um ambiente cada vez mais voltil onde a

Amrica Latina caracteriza-se historicamente como sujeita a planos econmicos

sucessivos e s mais variadas linhas governamentais tem garantido a perpetuao

de dvidas quanto ao ambiente poltico, tributrio, monetrio e cambial que cercam

as empresas atuantes nesta regio.

Investimentos estratgicos so descritos por LINT e PENNINGS (1998) como

sendo posicionamento da organizao com respeito incerteza futura de tal formaque a proveja com flexibilidade para responder apropriadamente s mudanas

circunstanciais. Empiricamente os modelos baseados em opes provm o primeiro

passo em direo integrao entre finanas e estratgia, na medida em que seus

resultados coincidem com o pr-julgamento da experincia de uma administrao

snior.

No ambiente atual existe necessidade de se entender como a estratgia da

corporao e a execuo interagem entre si e como isto afeta o valor dasoportunidades do negcio. As decises de investimento de hoje, segundo AMRAN e

KULATILAKA (2000), freqentemente requerem que os analistas aceitem:

Eles no podem, com confiana, entender um futuro muito distante;

1 SANTOS (1998, p. 77) Instrumento financeiro de cujo preo de mercado deriva do preo de mercado de um ativo real ououtro instrumento financeiro.2 SANVICENTE (2003, p. 64-65) destaca o mecanismo (circuit breaker) que implica a suspenso dos negcios quando omercado cai at certa porcentagem em relao ao dia anterior. No Brasil, hoje, uma regra como essa impede efetivamente queo ndice Bovespa caia mais de 10% no espao de um dia. Este mecanismo foi criado em funo do fato de que em 19 de

outubro de 1987 (segunda-feira negra) os ndices do mercado norte americano de aes caram pouco mais de 20% numnico dia.


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A empresa far o primeiro investimento com a clara expectativa de que o

investimento necessitar ser expandido ou modificado caso o projeto siga

adiante, ou abandonado, caso a idia no parea promissora;

A administrao deve comunicar ao pblico novidades sobre o sucesso do

projeto ou desapontamentos, mesmo que o projeto no tenha gerado fluxo

de caixa positivo.

De acordo com HARRISON & PELLETIER (2000), em termos financeiros,

uma estratgia de negcios muito mais semelhante a uma srie de opes do que

a uma srie de fluxos de caixa esttico.

1.4.2 Justificativa prtica:

Em termos prticos, este trabalho apresenta reviso acerca de conceitos

necessrios para a implementao de tais modelos, bem como a evidenciao dos

resultados de sua implementao. Justifica-se ainda, frente importncia dos

modelos de Cox, Ross e Rubinstein e de Black & Scholes visto a sua larga utilizao

como sistemas de precificao de opes no mercado financeiro nacional einternacional, bem como sua utilizao sobre opes de compra da empresa

Telemar em funo de sua importncia histrica e de participao e liquidez no

mercado de aes brasileiro.


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2 BASE TERICO-EMPRICA

Esta parte do trabalho tem por objetivo apresentar conceitos relativos Teoria

das opes financeiras, modelo de Black & Scholes, volatilidade e mtodos

numricos mais comuns.

2.1 TEORIA DE OPES FINANCEIRAS

De acordo com HULL (2003, p. 22) h dois tipos bsicos de opes, a opo

de compra (call option) e a opo de venda (put option). A primeira d ao detentor o

direito, mas no a obrigao, de comprar um determinado ativo em uma

determinada data, por um certo preo. J a opo de venda d ao seu detentor o

direito, mas no a obrigao, de vender um determinado ativo em uma determinada

data por um certo preo. Sendo que este preo de contrato conhecido como preo

de exerccio (strike price), a data de contrato conhecida como data de vencimento(expiration date ou maturity). As opes podem ser ainda do tipo americanas

(american options) ou europias (european options), onde as americanas podem ser

exercidas a qualquer tempo at a data de vencimento, j as europias podem ser

exercidas somente na data de vencimento.

SILVA NETO (1997, p. 88) destaca ainda que as opes podem ser

classificadas por classe (definida pelo prazo de vencimento ou data de vencimento

ou ltimo dia til de exerccio) e tambm por srie (dada por seu preo de exerccio).Quanto probabilidade de exerccio (relao de seu preo de exerccio com o

preo do ativo subjacente), as opes podem ser classificadas da seguinte forma:


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QUADRO 1 CLASSIFICAO DE OPES QUANTO PROBABILIDADE DE

SEU EXERCCIO

Classificao Opo de compra

Dentro-do-dinheiro

(in-the-money)

Preo do objeto maior do que

o preo de exerccio

No-dinheiro

(at-the-money)

Preo do objeto igual

ao preo de exerccio

Fora-do-dinheiro

(out-of-the-money)

Preo do objeto menor do que

o preo de exerccio

FONTE: SILVA NETO (1997, p. 89)

A maioria das opes negociadas so americanas, porm as opes

europias so normalmente mais fceis de se analisar e algumas propriedades das

opes americanas so freqentemente deduzidas das opes europias.

A teoria de precificao de opes de acordo com COX, ROSS e

RUBINSTEIN (1979) possui uma longa e ilustre histria, mas ela s se tornou

revolucionria em 1973 como um instrumento financeiro quando Fischer Black &

Myron Scholes3 apresentaram a frmula para avaliao de opes do tipo europia.

Conforme destacam MACHADO-SANTOS e FERNANDES (2001, p. 1), como

mercado organizado (regulamentado), as opes so muito recentes. Apesar de

terem sido transacionadas durante muitos anos no chamado mercado over-the-

counter(fora de bolsa), apenas em 1973, com a abertura da Chicago Board Options

Exchange (CBOE)4, surgem os primeiros contratos estandardizados de opes

(negociados em bolsa).

3 Ganhadores do Prmio Nobel de Economia de 1997.4 A Chicago Board of Trade responsvel por oferecer contratos futuros de diferentes objetos de negociao como milho, aveia,soja, farelo de soja, leo de soja, trigo, prata, ttulos do Tesouro americano e Major Market Stock Index (ndice de aes), em

abril de 1973 criou-se a CBOE para a negociao de opes de aes, originalmente com o lanamento de opes sobre osTtulos do Tesouro Americano (T-Bills). HULL (1996. p. 3-6).


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No Brasil, as principais bolsas que negociam opes so a Bolsa de

Mercadorias e Futuros (BM&F) de So Paulo, que negocia opes sobre ativos

financeiros como taxa de cmbio e de juros e commodities como algodo, cacau,

caf e soja. Alm desta, a Bolsa de Valores de So Paulo (Bovespa) negocia opes

sobre aes de algumas empresas5.

As opes do mercado financeiro fazem parte de um conjunto de

instrumentos denominados derivativos e proporcionam a seu possuidor o direito de

comprar ou de vender ativos a um preo predeterminado.

De acordo com SILVA NETO (1996, p. 19) pode-se conceituar opo por:

todo contrato que d ao seu detentor ou comprador o direito, mas no o dever, de

comprar, se for uma opo de compra, ou vender, se for uma opo de venda,

determinado bem (objeto negociado), pelo preo acordado na efetivao do contrato

(preo do exerccio). Deste surge a figura do lanador da opo (ou vendedor) que

tem a obrigao de vender, no caso de uma opo de compra, ou de comprar, no

caso de uma opo de venda, o objeto do contrato pelo preo acertado na

efetivao do contrato, se, e somente se, solicitado pelo titular da opo. Deve-se

notar que o vendedor da opo sempre ir fazer o contrrio do que indica o nome da

opo: o vendedor da opo de compra ir vender, se exercido, e o da opo devenda ir comprar, caso o titular da put assim o solicite.

ROSS et al (1995, p. 442) destacam que as opes de venda e de compra

funcionam como peas fundamentais de contratos de opo mais complexos desta

forma podem sofrer combinaes as quais podem proporcionar a eliminao de

riscos, bem como podem garantir lucros.

Os fatores que influenciam o prmio de uma opo dividem-se em dois

grupos: o primeiro (preo do exerccio e data de vencimento) e o segundo (preo do

ativo-objeto, a taxa de juros, a volatilidade do preo do ativo-objeto e os dividendos

no caso do ativo-objeto ser uma ao) e a forma pela qual estes fatores influenciam

os prmios das opes, DAMODARAN (2002a, p. 444) destaca esta relao no

quadro 2.

5

Informaes coletadas dos sites oficiais destas entidades.


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QUADRO 2 FATORES QUE INFLUENCIAM OS PRMIOS DAS OPES DE

COMPRA

Efeito no Valor daFatorOpo de Compra

Aumento no preo da ao Aumenta

Aumento no preo de exerccio Diminui

Aumento na varincia do ativo subjacente Aumenta

Aumento no prazo at o vencimento Aumenta

Aumento nas taxas de juros Aumenta

Aumento nos dividendos pagos DiminuiFONTE: DAMODARAN (2002a, p. 444)

COPELAND e ANTIKAROV (2001, p. 13) destacam tambm dois outros tipos

de opes, as compostas e as arco-ris, a saber:

opes compostas: onde os investimentos planejados em fases enquadram-se neste

tipo. Quando voc se prope a construir uma fbrica, pode escolher constru-la emetapas etapa do projeto, etapa de engenharia e etapa de construo. Voc tem a

opo de parar ou adiar o projeto ao fim de cada fase. Assim, cada fase uma

opo contingente ao exerccio anterior de outras opes uma opo sobre uma

opo (ou opes). Finalmente, as opes que so movidas por mltiplas fontes de

incerteza so denominadas opes arco-ris. (...) Muitas das aplicaes no mundo

real exigem uma modelagem em termos de opes compostas do tipo arco-ris.

Em relao formao do preo das opes, HULL (1996, p. 187) destaca

que o valor total de uma opo pode ser considerado a soma de seu valor

intrnseco com seu valor tempo.

O valor intrnseco de uma opo definido como o mximo entre zero e o

valor que teria se exercida imediatamente. A partir desta relao, o valor intrnseco

de uma opo no dinheiro tem valor zero, numa opo fora-do-dinheiro seu valor

ser negativo e s seria positivo para as opes classificadas como dentro-do-


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dinheiro, nesta o tomador ou o comprador poder realizar lucro ao exercer

imediatamente a opo (do tipo americana). Esse ento seria dado pela diferena

entre o preo de mercado do ativo subjacente a risco da opo e o preo de

exerccio da opo. Desta forma, o valor intrnseco existiria quando em uma call o

preo de exerccio for menor do que o preo do ativo subjacente, e quando em uma

put o preo do exerccio for maior que o preo do ativo subjacente.

O valor temporal de uma opo de acordo com SILVA (1999, p. 59)

simplesmente a avaliao do mercado de que parte do valor da opo est

fundamentado na possibilidade de que o valor intrnseco pode aumentar no futuro.

O valor tempo caracterizado de acordo com HULL (1996, p. 187) de forma

que ele s existir quando o ideal para o titular de uma opo americana dentro-do-

dinheiro aguardar o vencimento, em vez de exerc-la imediatamente. MERTON

(1973) destaca que o exerccio antecipado de uma opo de compra no

proporciona resultados timos se o ativo-objeto no distribui dividendos. Entretanto,

DAMODARAN (2002a, p. 444) evidencia que embora o exerccio antecipado no

seja o ideal, existem pelo menos duas excees a esta regra. Uma quando o ativo

subjacente paga dividendos elevados, reduzindo assim o valor do ativo e das

opes de compra sobre o mesmo. A outra quando um investidor detm tanto o

ativo subjacente quanto grande quantidade de opes de venda in-the-money sobre

aquele ativo, num momento em que as taxas de juros estiverem altas.

2.2 MODELO DE BLACK & SCHOLES

Num artigo clssico, publicado em 1973 no Journal of Political Economy,

Fischer Black e Myron Scholes apresentaram uma frmula matemtica para avaliar

opes europias sem o pagamento de dividendos. O modelo parte de um conceito

de que o ativo objeto de uma opo segue um comportamento estocstico6 contnuo

6 Segundo DIXIT e PINDYCK (1994, p. 72), o movimento geomtrico browniano geralmente utilizado para modelar preos deaes, bem como a taxa de juros e outras variveis financeiras e econmicas.

J SANTOS (1999), o descreve como sendo um processo que segue uma varivel cujo valor se altera aleatoriamente ao longodo tempo.


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na forma de um Movimento Browniano Geomtrico (Geometric Brownian Motion).

Desta forma pode-se assumir que a distribuio probabilstica em uma data futura

dos preos do ativo subjacente lognormal e que por decorrncia, que a distribuio

probabilstica das taxas de retorno calculadas de forma contnua e composta entre

duas datas tambm normal.

A dinmica do retorno do ativo adotado no modelo de Black & Scholes segue

o conceito de passeio aleatrio (random walk), que se baseia na hiptese de

eficincia de mercado. De acordo com essa hiptese tem-se:

a) os preos dos ativos refletem toda informao passada;

b) o mercado responde imediatamente ao surgimento de nova informao.

Uma maneira de representar matematicamente a dinmica do retomo do

ativo, que encontrada em MERTON (1973) e em HULL (2005), pode ser descrita

pela expresso abaixo, tambm conhecida como movimento browniano geomtrico.

dS/S = dt + dz

onde:

dS/S = taxa de retorno discreta do ativo;

= esperana da taxa de retorno discreta do ativo;

dt =intervalo de tempo infinitesimal;

= desvio padro da taxa de retorno;

dz = varivel aleatria com distribuio normal N(0; dt).

Supondo-se a existncia de uma opo de compra que seja funo do preo

do ativo (S) e do tempo (t):

C = f (S, t)


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O diferencial (dC) da funo acima pode ser obtido pela aplicao do Lema

de It, conforme observam WILMOTT et al (1997, p.19) e BRIYS et al (1998, p. 64).

O resultado da utilizao do Lema de It produz uma expresso conhecida

como equao diferencial estocstica do derivativo:

onde: dC = diferencial do preo do derivativo.

Utilizando-se de desenvolvimentos matemticos obtm-se a equao

diferencial parcial de Black & Scholes.

A partir da resoluo da equao acima encontrada em BRIYS et al (1998) e

WILMOTT et al (1997, p. 76), o resultado ser o valor da opo de compra do

modelo de Black & Scholes:

onde:

S = preo do ativo-objeto;

K = preo de exerccio;


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r = taxa livre de risco contnua;

= volatilidade do retorno do ativo-objeto;

T- t = prazo da opo;

N(dx) = funo probabilidade acumulada no intervalo ] -, dx ] de uma varivel

com distribuio normal com mdia zero e desvio padro igual a um.

Na expectativa de um melhor entendimento da frmula de Black & Scholes,

no limite, se o preo de um ativo for muito grande, fazendo com que a opo se

torne to dentro do dinheiro que seu exerccio seja praticamente garantido, o prmio

dessa opo ser seu valor intrnseco, isto , dado pela diferena entre o preo do

ativo-objeto e o valor presente do preo do exerccio (S VP(K)) no caso de uma

call. O termo (S x N(d1)) na expresso da call representa o preo do ativo-objeto em

qualquer momento multiplicado pela probabilidade acumulada de d1, sendo este,

subtrado da segunda parte da equao (Ke-r(T-t) x N(d2)) a qual, representa o preo

do exerccio trazido a valor presente multiplicado pela probabilidade acumulada de

d2, onde N(d2) representa a probabilidade acumulada da opo vir a ser exercida

sendo proporcional volatilidade da ao objeto.

Na derivao de sua frmula, Black e Scholes (1973, p. 640)7 assumiram

certas condies ideais em relao ao comportamento do mercado, como:

A taxa de desconto livre de risco e tem valor constante;

O preo dos ativos tem distribuio lognormal com mdia e desvio padro

constantes;

O ativo objeto no paga dividendos ou qualquer outro rendimento durantea vida da opo;

No existem custos de transao, impostos, ou margens. A adio de

qualquer um desses custos modifica a operao de arbitragem, levando a

um intervalo de preo para a opo;

7 BARBEDO (2003, p.5) destaca que o modelo de Black & Scholes tem sido o modelo mais utilizado para a avaliao deopes pelo mercado.


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No existem oportunidades de arbitragem livre de riscos (princpio da

ausncia da arbitragem vlido). Essa condio garante que o preo do

modelo o que est em vigor no mercado;

A negociao com o ativo objeto contnua e o ativo divisvel. Essa

hiptese permite que se use o modelo em tempo contnuo;

Vendas a descoberto so permitidas e se pode tomar emprestado ou

aplicar qualquer quantia taxa de juros corrente. Isso permite que se faa

a operao de arbitragem onde a carteira equivalente contm uma posio

vendida no ativo objeto, permitindo assim a compra da opo quando ela

for barata.

Algumas generalizaes foram realizadas no trabalho de MERTON (1973) a

respeito do modelo de Black & Scholes, destaca-se ento que uma opo de

compra europia cujo ativo objeto pagava dividendos foi avaliada, mostrando-se que

uma opo americana sobre um ativo objeto que no paga dividendos tem o mesmo

valor que a opo europia de compra sobre o mesmo ativo objeto.

Segundo SANVICENTE (2003, p. 92-93), de modo complementar a esta

narrativa anterior destaca-se que:

(...) no caso especfico do mercado brasileiro, em relao a uma das hipteses do

modelo de Black & Scholes, a de que a ao no distribui dividendos at a data de

vencimento da opo, ou a opo protegida contra dividendos, o regulamento da

Bovespa prev tal tipo de proteo para opes de aes, na forma de reajuste do

preo de exerccio, para baixo, pelo valor do dividendo que uma ao distribua antes

da data de vencimento da ao. (...) Alm disso, a lista de hipteses deixa claro que

a opo de compra avaliada com base na frmula de Black & Scholes do tipo

europeu; na prpria Bovespa, as opes de compra de aes so americanas

(podem ser exercidas antes da data de vencimento). Como esse direito adicional

deveria valer alguma coisa, a frmula subavaliaria a opo, ao trat-la como

europia. Na verdade, esse problema eliminado graas proteo contra

dividendos prevista no regulamento do mercado de opes de compra de aes da

Bovespa.


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De forma complementar, BRITO (1989, p. 241) destaca em sua abordagem

relativa s propriedades bsicas da formao de prmios em mercados de opes

de compra que uma opo brasileira deve ter um valor pelo menos igual ao de uma

opo americana, que, por sua vez, deve ter um valor pelo menos igual ao de uma

opo europia em idnticas condies. Esta afirmao pode ser comprovada por

argumentos de dominncia, j que uma opo brasileira tem todos os direitos de

uma opo americana e mais proteo contra dividendos, a opo americana tem

todos os direitos de uma opo europia, tendo ainda o direito adicional de poder

ser exercida antecipadamente.

2.3 VOLATILIDADE

A volatilidade8de acordo com HULL (1996. p. 270-280) a medida de nossa

incerteza quanto aos retornos proporcionados pela ao e pode ser causada

unicamente pela sucesso de fatos aleatrios de novas informaes sobre retornosfuturos da ao ou provm da negociao.

De acordo com SILVA NETO (1996, p. 137) , talvez, a varivel mais

importante para quem atua no mercado de opes e sem dvida, para os que neste

mercado aplicam os modelos tericos de determinao de prmios. O modelo de

Black & Scholes assume que a volatilidade futura do retorno de uma ao

constante durante a vida da opo e que o retorno de uma ao tem uma

distribuio log-normal, esta ocorre em funo da representao da flutuao dospreos dos ativos de mercado serem representadas em valores percentuais e no

em valores monetrios em funo da inexistncia de possibilidade de existncia de

valores negativos dos ativos subjacentes.

Em relao premissa da volatilidade do modelo de Black & Scholes,

(BLACK, 1976) destaca que os retornos das aes possuem propriedades como

8 A volatilidade associada ao preo de uma mercadoria nada menos que a variao de preo referente a um desvio-padro

da mdia, expresso em porcentagem, por um perodo de tempo predeterminado. SILVA NETO (1996, p. 154).


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caudas largas, assimetria e varincia mutvel ao longo do tempo. No mercado

brasileiro, ADLER et al. (1999) e LANARI (2000) constatam que a premissa de

volatilidade constante do preo das aes no se verifica.

SILVA NETO (1996, p. 157-160) destaca que a volatilidade pode ser obtida a

partir de duas classificaes bsicas: a histrica e a implcita.

Com a finalidade de calcular uma estimativa para o parmetro volatilidade

histrica, pode-se calcular o desvio padro histrico dos retornos, a utilizao de

mtodos estatsticos supe que os dados passados permitem prever o futuro.

Destes, o mais comum tomar o desvio padro da variao do logaritmo do preo

do ativo objeto. Esse o procedimento estatstico padro para se calcular a

volatilidade de uma srie, no caso a taxa contnua de variao do preo do ativoobjeto ter distribuio normal.

Por meio da volatilidade histrica, estimativas da volatilidade futura podem ser

obtidas a partir de uma srie histrica, assumindo-se que a volatilidade futura do

ativo-objeto ser a mesma que a volatilidade passada.

De acordo com HULL (2005, p. 239), a volatilidade histrica pode ser obtida

pela seguinte frmula:

com:


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Algumas questes prticas sobre estimao da volatilidade histrica merecem

ser discutidas conforme ressalta SILVA NETO (1996, p. 157). A primeira o prazo

da amostra utilizada, quo extensa deve ser a amostra para prever corretamente a

volatilidade. Quanto maior a amostra, maior o nvel de confiana estatstica obtido,

mas tambm maior a quantidade de informaes antigas que podem no ser mais

relevantes.

A segunda questo o intervalo de tempo do preo coletado (dados dirios,

semanais, mensais, ...), se a distribuio do preo lognormal, ento no deve fazer

muita diferena o tamanho do intervalo. A terceira que preo usar, de fechamento,

abertura, mdia ou vrios destes.

Existem tambm estimadores que se utilizam da estatstica de forma a tentarprever a volatilidade. DUARTE et al (1996) descrevem e comparam estimadores

estatsticos para o caso brasileiro. BARCINSKI et al (1997) comparam diversos

estimadores tipo GARCH e sua aplicao ao mercado brasileiro.

Dentre estes, encontram-se estimadores de valores extremos (EVE) que

tomam como base o preo mximo e mnimo e o nmero de observaes da

amostra, segundo estudo apresentado por Parkinson (1976), pode-se definir um

estimador de acordo com a seguinte frmula:

onde:

H o logaritmo do preo mximo;

L o logaritmo do preo mnimo;

T o nmero de observaes na amostra.

J GARMAN e KLASS (1980) destacam um estimador composto por maior

nmero de informaes, utilizando-se dos preos de fechamento, mximo e mnimo

e o nmero de observaes da amostra conforme destacado a seguir:


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onde :

H o logaritmo do preo mximo;

L o logaritmo do preo mnimo;

T o nmero de observaes na amostra;

A o logaritmo do preo de fechamento.

Alguns estudos, como GARMAN e KLASS, combinam esses vrios preos.

Sobre todas essas questes no existem provas definitivas da melhor alternativa

conforme destacam os prprios autores.

Segundo FIGLEWSKI (1999), (...) a volatilidade implcita a expectativa de

mercado para a volatilidade futura.Desta forma, a volatilidade implcita (ISD) interpretada como sendo a

estimativa de mercado para a volatilidade real do ativo objeto e, como a frmula de

BLACK & SCHOLES (1973) no pode ser invertida analiticamente, seu valor deve

ser calculado mediante a utilizao de algum mtodo numrico tomando-se como

base os dados de mercado e utilizando-se a prpria frmula de Black & Scholes.

Neste procedimento comum entre praticantes, tem-se como referncia a volatilidade

embutida no preo de opes que esto sendo negociadas. O clculo feito poriterao at se descobrir qual a volatilidade que gera atravs da frmula de Black &

Scholes o mesmo preo negociado no mercado. Ao se calcular a volatilidade

implcita preciso tomar cuidado em obter cotaes para a opo e o preo do ativo

objeto que sejam do mesmo instante, pois, do contrrio, essa no seria uma

volatilidade possvel de ser comprada no mercado.

Com relao volatilidade, LANARI e SOUZA (2000) evidenciam que atravs

do modelo de Black & Scholes pode-se calcular a volatilidade implcita ao se resolvera equao do modelo em termos de volatilidade tendo por base as cotaes das

opes de mercado, j que o modelo considera que o preo de uma ao segue um

movimento geomtrico Browniano com volatilidade constante. De forma oposta a

idia de volatilidade constante.

COSTA (1998, p. 66) destaca que ao contrrio da premissa tradicional de que

a volatilidade deve permanecer constante durante o prazo que se analisa, surge o

conceito de heterocedasticidade, onde, na prtica, corresponde a dizer que a


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19

volatilidade possa tender, mudar dinamicamente com o tempo, talvez

continuamente, caracterstica de uma srie temporal em que a varincia de uma

informao de hoje esteja correlacionada com a varincia de dados do passado.

Em relao a este antagonismo de volatilidade constante ou no, surge uma

discusso sobre um efeito importante, LANARI e SOUZA (2000, p. 2-3) destacam

que:

Quando utilizamos B&S para calcular a volatilidade implcita de uma srie opes de

mesmo prazo de vencimento, verificamos que, ao contrrio do pressuposto de B&S,

os valores da volatilidade implcita no so constantes, mas variam em funo do

preo de exerccio das opes. Quando os diversos valores da volatilidade implcitaso representados na ordenada de um grfico tendo como abcissa o grau de

moneyness da opo, verifica-se que, geralmente, as opes at-the-money tm

menores valores de volatilidade implcita do que as opes in-the-money e out-of-

the-money. Isso faz com que essa curva tenha um formato de U, e seja conhecida

como efeito sorriso. Essa diferena entre a premissa do modelo de B&S e as

cotaes das opes nos mercados de capitais indicam que existem desvios

empricos em relao a esse modelo. O desvio emprico de B&S pode ser

influenciado por diversos fatores, como por exemplo o tempo para vencimento dasopes e a correlao entre o retorno ativo subjacente opo (ou ativo objeto) e a

volatilidade instantnea do preo do ativo subjacente opo.

De acordo com LEMGRUBER (1995, p.38), se o modelo de BLACK &

SCHOLES vlido, (...) sabe-se que existe apenas um nico ISD que soluciona a

frmula de Black & Scholes.

Uma variante ao clculo da volatilidade histrica consiste em se fazer uma

alterao na igualdade da proporo entre os dias passados, surge ento a mdia

mvel exponenciada ou alisamento exponencial (EWMA Exponentially Weighted

Moving Average).

Esta metodologia tambm considera que a melhor previso da volatilidade

futura o desvio padro de uma amostra de n retornos passados. H, no entanto,

uma diferena fundamental em relao metodologia anterior, para calcular o


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20

desvio padro dos retornos dos n ltimos dias, atribui-se importncia, um peso

decrescente a cada retorno para o clculo da volatilidade do perodo, medida que

ele se torna mais remoto. A reduo dos pesos deve ocorrer de forma exponencial,

justificando o nome da metodologia.

Seja (onde 0 < < 1) o peso do retorno mais recente. O peso do retorno de

dois dias anteriores ser x (1-) e o do n-simo dia anterior ser x (1-) .

importante ressaltar que, quanto maior for o escolhido, maior ser a importncia

atribuda aos dias mais recentes, comparativamente importncia dada aos dias

mais distantes (ver anexo 1).

1N

Como h restrio de que 0 < < 1, a soma dos termos da progresso

geomtrica, ou seja, a soma dos pesos dos dias considerados ser menor do que a

unidade (somente se n tendesse ao infinito a soma tenderia unidade). Uma vez

que a soma dos pesos dos retornos tem que ser igual a um, torna-se necessrio

fazer um ajuste nos pesos de cada dia. O peso de cada dia, antes do ajuste, dever

ser dividido pela soma dos pesos antes do ajuste, com o objetivo de que a soma dos

pesos aps o ajuste passe a ser igual a um.

Finalmente, o estimador da volatilidade futura, de acordo com estametodologia, o seguinte:

2/1

2

1

_

1

1-i

)()1(1

)-(1x

=

=

n

i

inrrxponderada

onde:

=

=

n

i

inrxr

11

1-i_

)1(1

)-(1x

Por esta metodologia de clculo, a volatilidade estimada tambm se altera a

cada dia, na medida em que, a cada dia, um novo retorno incorporado ao passo

que o mais antigo da janela temporal que se utiliza descartado.

Na mdia mvel exponencial, novamente h a tendncia de reduo da

influncia de uma mudana de volatilidade, observada no mercado, nos dias mais


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21

recentes, sobre o clculo da volatilidade do perodo, quando se utiliza uma janela

temporal maior.

O presente mtodo tem a vantagem de proporcionar ajustes em relao

importncia dos dias a serem considerados, bem como, da utilizao da janela

temporal frente ao mtodo de mdia mvel puro.

2.4 MTODOS NUMRICOS

Este item composto por uma reviso dos mtodos numricos mais comuns

e utilizados em precificao de opes, embora tenha sido implementado somente o

mais popular, o de Cox, Ross e Rubinstein, chamado de modelo binomial.

Segundo HUMES (1984) apud ROCHMAN (1998), mtodos numricos so

um conjunto de regras, escritas sob a forma de uma seqncia de operaes

elementares, que resulta na soluo de um problema.

Muitos modelos matemticos que descrevem o comportamento dos ativosobjetos e suas opes resultam em equaes diferenciais parciais e estocsticas

que no possuem soluo elementar, ou, para se obter uma soluo, necessria a

elaborao de premissas que no condizem com a realidade do mercado.

De acordo com ROCHMAN (1998), no caso de precificao de opes, os

mtodos numricos podem ser divididos em duas categorias. Uma primeira

categoria rene os mtodos em que o processo estocstico fundamental do ativo-

objeto aproximado (mtodos clssicos), como os Modelos de Lattice (binomial,trinomial, adaptive mesh) e a Simulao de Monte Carlo e uma segunda categoria

rene os mtodos em que a equao diferencial parcial, que determina o preo da

opo, aproximada, como o Mtodo de Diferenas Finitas.

Em seu artigo, Black e Scholes (1973) apresentam uma frmula para

avaliao de opes que se baseia em variveis observveis salvo a volatilidade do

retorno do ativo objeto, a qual deve ser constante. Esta ltima (premissa), em

particular, no tem sido satisfeita na prtica, pois, conforme HULL (1997), os


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analistas de mercado precisam, freqentemente, alterar a volatilidade quando usam

a frmula de Black & Scholes para calcular o valor de opes.

No caso de precificao de opes onde o processo estocstico9 fundamental

do ativo-objeto aproximado, pode-se utilizar mtodos baseados nos mtodos de

modelos Lattice e de simulao de Monte Carlo, sendo que geralmente a soluo

numrica est relacionada a uma equao diferencial ou a uma simulao.

De acordo com ROCHMAN (1998) os mtodos de diferenas finitas so

extremamente caros computacionalmente e os modelos baseados em Lattice

(binomial, trinomial, adaptive mesh), so os mais econmicos e, tambm, os que

possuem melhor acurcia.

2.4.1 MODELOS LATTICE

Os modelos conhecidos como Lattice buscam, atravs de um passeio

aleatrio discreto, modelar um movimento browniano correspondente. Os modelos

baseados em Lattice (binomial, trinomial) so considerados muito intuitivos eflexveis, podendo ser aplicados tanto para opes europias como para

americanas, que pagam ou no dividendos, derivativos de taxas de juros, e tambm

para as opes exticas.

2.4.1.1 MODELO BINOMIAL

Em 1979, Cox, Ross e Rubinstein (CRR) publicaram um trabalho sobre o

apreamento de opes usando mtodo Lattice, extenses e generalizaes de tal

modelo foram desenvolvidas e em especial aquelas destinadas avaliao de

derivativos multidimensionais.

9 SANTOS (1998) Define como um proceso que segue uma varivel cujo valor se altera aleatoriamente ao longo do tempo. Oprocesso estocstico de maior interesse na rea de finanas o Processo de Markov.


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23

O modelo binomial assumia que o preo do ativo subjacente seguisse um

processo binomial multiplicativo ao longo de sucessivos intervalos de tempo

discretos. Alm disso, o fato de as probabilidades de ocorrncia de movimentos

ascendentes e descendentes de preos no constarem das frmulas de

apreamento, implica que, mesmo se investidores diferentes possurem outras

probabilidades subjetivas sobre tais movimentos, ainda assim poderiam concordar

sobre a relao entre o prmio da opo, o preo do ativo-objeto e suas taxas de

retorno e a taxa de juro livre de risco. A idia bsica utilizada foi a mesma, ou seja,

conhecendo-se as hipteses sobre a distribuio de probabilidade dos preos dos

ativos subjacentes e certificando-se de que o apreamento neutro ao risco

apropriado, podem ser utilizadas aproximaes discretas.O modelo binomial possui a premissa de que o ativo-objeto, no caso, uma

ao, segue um processo multiplicativo binomial no decorrer do tempo. Em cada

perodo de tempo, a ao pode ter seu valor aumentado u vezes com probabilidade

q, ou reduzido d vezes com probabilidade (1-q) sujeito condio de que d o

inverso de u.

De acordo com DAMODARAN (1997, p. 445), o modelo binomial de

precificao de opes baseado numa frmula simples do processo de preos deativos, em que o ativo, a qualquer momento, pode deslocar-se para um de dois

preos possveis.

O modelo se utiliza de algumas premissas como: a taxa livre de riscos dever

ser constante; os indivduos podem emprestar e tomar quantias emprestadas

mesma taxa; no existem impostos nem custos de transao, ou requerimentos de

margem; e a venda a descoberto permitida sem restries, com total uso dos seus

recursos.Conforme a abordagem desenvolvida por COX, ROSS e RUBINSTEIN (1979)

considere-se uma rvore binomial de dois perodos de uma opo de compra a

seguir:


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24

Pela avaliao neutra ao risco, a cada n da rvore binomial, o preo da

opo pode ser calculado como o valor atual do preo esperado, segundo a

probabilidade p. Sabendo p e o valor da opo no vencimento, basta andar para trs

na rvore binomial at chegar ao preo da opo na data inicial.

No perodo 1, o valor da opo nos dois estados, C u e C d , calculado por:

Aplicando o mesmo processo para C(0), chegamos ao preo justo da opo,

de acordo com a avaliao neutra ao risco e um modelo binomial para o preo do

ativo objeto.

Para uma descrio melhor do comportamento do preo do ativo objeto,

pode-se tomar um nmero maior de perodos. O percentual de alta ou baixa do ativo

objeto pode ser obtido da volatilidade deste:


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25

onde:

t o prazo da opo de acordo com a medida da volatilidade;

a medida da volatilidade do ativo objeto;

n o nmero de perodos em que fazemos o ativo objeto se movimentar.

2.4.1.2 MODELO TRINOMIAL

O modelo trinomial (tambm conhecido como three-jump model), foi

inicialmente desenvolvido por PARKINSON (1977) como uma forma de resolver

numericamente uma integral que representava o valor de uma opo de venda

americana. Posteriormente, BOYLE (1986) formalizou o modelo trinomial, para tal, o

autor utilizou a abordagem neutra em relao ao risco ao invs da estratgia de

replicao da carteira de hedging de Cox, Ross e Rubinstein (1979). O motivo desta

mudana de estratgia a impossibilidade da formao da carteira de hedging

(composta pelo ativo-objeto e ttulos livres de risco) que fornea os mesmos

proventos da opo.

O modelo trinomial diferencia-se do binomial por possuir, para cada ponto da

rvore, trs caminhos diferentes: aumento do preo do ativo-objeto (limite superior),

reduo do preo do ativo-objeto (limite inferior), e manuteno do preo do ativo-

objeto (este estado pode ser substitudo por um que esteja entre os limites superior e

inferior).

O modelo trinomial pode ser considerado como um caso particular do modelo

de diferenas finitas explcito, pois o valor de cada n da rvore determinado pelos

valores dos trs ns subseqentes a ele.


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26

Os parmetros do modelo trinomial podem ser definidos, segundo HULL

(1997), da seguinte forma:

O valor da opo no n i dado pela frmula:

onde:

Ci o valor da opo no n i;

pu, pm, e pd so valores relativos s probabilidades de subida,

manuteno ou descida da rvore;

Cui o valor da opo no n cujo ativo-objeto aumentou u vezes em

relao ao n i;

Cmi o valor da opo no n central m, cujo ativo objeto no alterou seu

valor em relao ao n i;

Cdi o valor da opo no n cujo ativo-objeto diminuiu d vezes em relao

ao n i;

r a taxa de juros livre de risco;

dt o intervalo de tempo entre dois perodos consecutivos.

As opes americanas no modelo trinomial so avaliadas da mesma forma

descrita no modelo binomial, ou seja, comparando-se o exerccio imediato da opo,

com o valor presente dos valores das trs opes, no final do perodo seguinte. Na


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figura abaixo, v-se a construo de uma rvore trinomial de trs perodos, usando-

se os parmetros anteriores:

2.4.1.3 MODELOADAPTIVE MESH

A idia bsica do modelo adaptive mesh criar uma malha fina, ou aumentaro nmero de ns necessrios para melhoria da convergncia, apenas na rea crtica

ou mais sensvel da rvore (binomial ou trinomial), que, no caso de uma opo

europia, a regio prxima ao preo de exerccio da opo. Dessa forma,

aumenta-se a acurcia do resultado sem um grande aumento do custo

computacional.

O procedimento para o clculo do valor de uma opo europia ou americana

o mesmo descrito no modelo binomial. A malha fina corresponde a uma rvorebinomial ou trinomial, colocada sobre a rvore principal, mas com nmero de

perodos menor, e com tempo restante at a maturidade reduzido, como se v na

figura abaixo. A caracterstica atrativa do modelo de existir a possibilidade de

adicionar nveis mais refinados rvore (malha), sempre que se achar conveniente.

A figura abaixo apresenta uma verso do modelo adaptive mesh, com

refinamento em um n da rvore trinomial, prximo do preo de exerccio da opo.


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Conforme destacado por HULL (1997) os parmetros da rvore principal so

calculados de forma idntica aos da rvore binomial, porm a malha fina tm seus

parmetros calculados com seu parmetro de tempo (k) dividido por 3, e seu

parmetro de deslocamento do ativo-objeto (h) dividido por 4, como se nota a seguir:

O presente captulo apresentou uma reviso a cerca de alguns mtodos

heursticos.


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29

3 METODOLOGIA

Neste captulo sero abordados os parmetros metodolgicos que

possibilitaro a execuo do trabalho de pesquisa, bem como os mtodos cientficos

que o pesquisador utilizou. Desta forma sero apresentados a seguir aspectos

relacionados especificao do problema de pesquisa: a especificao das

perguntas de pesquisa e definio de termos e variveis, logo aps sero

explicitados a delimitao e design de pesquisa: populao e amostra de pesquisa,

delineamento da pesquisa, coleta e tratamento de dados e a apresentao do

mtodo de desenvolvimento pesquisa.

3.1 Especificao do problema

Levando-se em considerao o objetivo geral e os especficos do presente

estudo, elaborou-se as perguntas de pesquisa relacionadas ao seguinte problemade pesquisa:

A UTILIZAO DE MTODO NUMRICO TRADICIONAL APLICVEL A

AVALIAO DE OPES DE COMPRA AMERICANAS FRENTE UTILIZAO

DO MODELO DE BLACK & SCHOLES PODE SER APLICADO AO MERCADO DE

CAPITAIS BRASILEIRO?

3.1.1 Questes de pesquisa

Qual o nvel de precificao do mtodo de Black & Scholes quando a

classificao das opes em relao probabilidade do exerccio for in-the-

money?


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30

Qual o nvel de precificao do mtodo de Cox, Ross e Rubinstein quando a

classificao das opes em relao probabilidade do exerccio for in-the-

money?



money?

Qual o nvel de precificao do mtodo de Cox, Ross e Rubinstein quando a


money?


classificao das opes em relao probabilidade do exerccio forout-the-

money?

Qual o nvel de precificao do mtodo de Cox, Ross e Rubinstein quando aclassificao das opes em relao probabilidade do exerccio forout-the-

money?

Qual o efeito de diferentes formas de estimao de volatilidades na aplicao

de mtodo numrico tradicional e do mtodo de Black & Scholes s opes

de compra frente ao preo da opo de mercado em relao s

probabilidades do exerccio?

3.1.2 Definio de termos e variveis

A pesquisa apresenta uma varivel dependente e cinco variveis

independentes conforme exposto a seguir.


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31

3.1.2.1 Varivel dependente:

Valor da opo de compra

3.1.2.2 Variveis independentes:

Valor do ativo sujeito a risco;

O preo do exerccio;

Prazo de vencimento da opo;

Desvio padro do valor do ativo subjacente sujeito a risco;

Taxa de retorno livre de risco ao longo da vida da opo.

3.1.2.3 Definio constitutiva e operacional das variveis

KERLINGER (1980, p. 46) destaca que as variveis constitutivas so aquelas

que define palavras com outras palavras.

As variveis operacionais so aquelas que atribui significado a um constructo

ou varivel especificando as atividades ou operaes necessrias para medi-los ou

manipul-los destaca KERLINGER (1980, p. 46).

As variveis constitutivas tero seus conceitos apresentados conforme

SANTOS (1998).

a) Valor da opo de compra:

DC: Instrumento financeiro cujo comprador tem o direito (mas no a

obrigao) de comprar (de quem vende o instrumento) um ativo por um

preo predeterminado, dentro de certo prazo.

DO: Obteve-se mediante a utilizao da frmula de precificao de

opes de Black & Scholes e tambm atravs da utilizao de mtodo

numrico.


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32

b) Valor do ativo sujeito a risco:

DC: Preo de um ativo ou instrumento financeiro no mercado vista.

DO: Esta varivel foi operacionalizada atravs do banco de dados da

Bolsa de Valores de So Paulo.

c) O preo do exerccio:

DC: Preo fixo pelo qual o titular (holder) de uma ao (option contract)

pode comprar do lanador (writer) (se tratar de uma opo de compra

(call option)) ou vender a ele (ao se tratar de uma opo de venda (put

option)) um determinado ativo real ou instrumento financeiro.



d) Prazo de vencimento da opo:

DC: Data em que um instrumento financeiro deixa de ter validade, emparticular, uma opo (option contract), tambm conhecido como

expiration date.



e) Desvio padro do valor do ativo subjacente sujeito a risco:

DC: O mesmo que risco (risk), isto , a incerteza associada obteno

dos retornos de um investimento.

DO: Esta varivel foi operacionalizada atravs da metodologia de clculo

de volatilidades do tipo histrica e implcita no perodo de 22/03/99 a

30/09/05 com a utilizao de dados do banco de dados da Bolsa de

Valores de So Paulo.


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33

f) Taxa de retorno livre de risco ao longo da vida da opo:

DC: Taxa de juros (interest rate) que ttulos do governo do pas em

causa rendem.

DO: Esta varivel foi operacionalizada atravs da taxa de Certificado de

Depsito Interbancrio (CDI) overmensal obtida junto ao site do Banco

Central que consiste na expresso percentual do custo do dinheiro no

mercado interbancrio.

3.2 DELIMITAO E DESIGN DE PESQUISA

3.2.1. POPULAO E AMOSTRAGEM

3.2.1.1 POPULAO

O mercado acionrio brasileiro caracteriza-se historicamente por um perfil de

concentrao de negcios em poucos papis, no mercado de opes de compra, a

predominncia ocorre sobre aes preferenciais de Telemar Participaes (TNLP4)

e Petrobrs (PETR4), desta forma, optou-se pelo estudo sobre a Telemar.

A populao consiste em todos os preos dirios de fechamento para cada

opo e valor vista da ao da empresa Telemar (TNLP4). Alm destes, seroobtidos o nmero de negcios e o volume negociado em reais por dia para cada

opo e para o total de opes de compra da empresa Telemar compreendidos

entre 22/03/99 e 30/09/05, obtidos do banco de dados da Bolsa de Valores de So

Paulo10. Alm destes, sero necessrias as taxas de juros para todos os prazos de

10 A partir de 21/09/98 as aes de Telebrs deixaram de ser negociadas desde ento, foi dada ao investidor a opo de deter

recibos de Telebrs, um certificado representando uma cesta das 12 novas aes oriundas da ciso da holding Telebrs,sendo que at ento as aes da Telebrs funcionavam como uma proxy do mercado.


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34

vencimentos das opes, desta forma ser utilizada a taxa CDI11 (Certificado de

Depsito Interbancrio) anual composta e contnua, utilizada como proxy para a taxa

de juros livre de risco.

3.2.1.2 AMOSTRA

Dentre o universo observado para estudo consistido em conjuntos de opes

de compra sobre aes negociadas no mercado brasileiro de opes, observa-se

que o mercado brasileiro negocia opes apenas sobre uma pequena relao de

ativos-objetos, destes, optou-se por opes com representatividade no mercado.Objetivando selecionar uma amostra que fosse significante, a amostra inicial

de cunho intencional, consistindo em sries de opes de compra e preo do ativo

vista com base em aes da empresa Telemar, estas derivam predominantemente

de aes preferenciais de Telemar Participaes (TNLP4), cotadas na Bolsa de

valores de So Paulo para o perodo de 22/03/99 a 30/09/05 num total de 22.233

observaes. Todos os preos dirios de fechamento para cada opo e valor

vista da ao (TNPL4), nmero de negcios por dia para cada opo de compra daempresa Telemar e as taxas de juro12 para todos os prazos de vencimentos das

opes, compreendido entre 22/03/99 e 30/09/05 foram coletadas.

3.2.2 DELINEAMENTO DA PESQUISA

O presente trabalho utilizou-se do mtodo de pesquisa do tipo levantamento

com uma estratgia de pesquisa descritivo-quantitativa de plano longitudinal com

amostra intencional utilizando-se de fontes secundrias.

11 A taxa CDI obtida junto ao Banco Central mensal over sendo feita a converso de anual composta para contnua. Deacordo com FORTUNA (2005, p. 116), os Certificados de Depsitos Interbancrios prefixados esbelecem padro de taxa mdiadiria, o CDI over que reflete a expectativa de custo das reservas bancrias para a manh seguinte do fechamento dastransaes e que o custo do dinheiro de um dia negociado no mercado interbancrio muito prximo do custo de troca dasreservas bancrias disponveis lastreadas em ttulos federais que ocorrem no mercado aberto. At 1997, trabalhava-se com ataxa mensal com capitalizao diria para apenas um dia til, conhecida como taxa over. Desde janeiro de 1998, o Banco

Central determinou que as taxas de juros praticadas pelo mercado fossem tratadas no formato anual com 252 dias teis.12 Utilizou-se a taxa dos certificados de Depsitos Interbancrios (CDI) overmensal.


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35

A investigao ex post factum refere-se a um fato j ocorrido e aplica-se

quando o pesquisador no pode controlar ou manipular variveis seja porque suas

manifestaes j ocorreram, seja porque as variveis no so controlveis, estes

aspectos encontram amparo ao exposto em VERGARA (1998).

3.2.3 COLETA E TRATAMENTO DE DADOS

3.2.3.1 COLETA DE DADOS

Foram obtidas informaes a nvel secundrio por meio das seguintes fontes:

pesquisa bibliogrfica em livros, revistas cientficas, peridicos, pesquisas j

realizadas sobre o assunto e sobre assuntos congneres e bases de dados13.

3.2.3.2 TRATAMENTO DE DADOS

A estratgia estatstica utilizada foi composta da utilizao de regreo linear,

ANOVA e teste de Tuckey-Kramer sobre os valores de precificao desenvolvidos

mediante a utilizao do modelo de Cox, Ross e Rubinstein (Modelo Binomial) e do

modelo de Black & Scholes.

3.3 METODOLOGIA DE DESENVOLVIMENTO

Inicialmente foram coletados os dados referentes s observaes objeto de

estudo como definido anteriormente.

13 Os dados utilizados foram obtidos atravs da Bolsa de Valores do Estado de So Paulo.


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36

A partir destas observaes, aplicam-se alguns critrios de corte, o primeiro

critrio ser o de liquidez por nmero de negcios, desta forma, elimina-se as

opes que constavam no dia do prego com menos de cinco negcios, o que

evidencia uma baixa liquidez. Desta forma, a nova amostra contempla 18.612

opes.

De forma complementar, excluiram-se as cotaes para as quais o mdulo do

resultado da expresso (K/St exp (Rt) 1) fosse maior que 0,10, assim eliminou-se

por meio deste artifcio as opes que estavam muito fora do dinheiro, mesmo

critrio utilizado por BRAGA (2002). Fato de que as opes assim classificadas

(muito fora do dinheiro) so particularmente sensveis a erros de mensurao das

volatilidades implcitas e, de forma complementar, indica se a opo ser exercidaou no, embora no haja estimao sobre a probabilidade de ocorrncia do

exerccio. Aps este tratamento, reduziu-se em 10.476 opes, desta forma

resultando em uma nova amostra, de 8.137 opes.

Destas, aplicou-se um novo critrio de corte eliminando-se as opes com

tempo at a maturao de at cinco dias teis (o equivalente a uma semana de

prego), devido ao fato de que estas cotaes em relao liquidez apresentam

vieses, alm disto, utilizou-se o modelo de Black & Scholes diretamente em quatrodas oito simulaes implementadas, e, conforme destacado pela teoria, a

volatilidade calculada atravs deste evidenciada como instvel para pequenas

maturidades. Este critrio de corte tambm foi utilizado por MALZ (2000) e BARROS

e LEMGRUBER (2000).

NUNES evidencia em sua resenha sobre a testabilidade do modelo de Black

& Scholes para o mercado brasileiro, que a semana anterior ao vencimento de cada

srie de opo caracteriza-se pela existncia do efeito da pressocompradora/vendedora sobre o preo do papel vista. SANVICENTE e MONTEIRO

(2005, p.34) destacam que parece haver indcios do chamado efeito de presso

sobre preos, (...) isso significa que, nessas datas, a formao de preos de aes

no inteiramente racional e eficiente, o que contradiz a maioria dos estudos

semelhantes efetuados nos mercados de outros pases e reportados na literatura.

Desta forma, este padro de corte em particular foi responsvel por uma

filtragem em mais 811 observaes, sendo que o perfil deste corte eliminou 128


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opes que venciam em um dia, 160 opes que venciam em dois dias, 166 opes

que venciam em trs dias, 183 opes que venciam em quatro dias e finalmente,

174 opes que venciam em cinco dias resultando na nova amostra final, com 7.326

observaes, as quais representam cerca de 33% do volume inicial.

Feita a seleo da amostra final, torna-se necessrio destacar que o primeiro

dia de prego utilizado para a precificao das opes foi 10 de maio de 2000.

Ilustra-se a seguir, no grfico 1, o retorno logartmico da ao da Telemar (TNLP4) e

no grfico 2, o valor da ao no mercado vista no perodo.

GRFICO 1 - Retornos logartmicos da ao da Telemar (TNLP4) de 10/05/00 a30/09/05

-10,00%

-5,00%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

mai-00

jul-00

set-00

nov-0

0

jan-0

1

mar-01

mai-01

jul-01

set-01

nov-0

1

jan-0

2

mar-02

mai-02

jul-02

set-02

nov-0

2

jan-0

3

mar-03

mai-03

jul-03

set-03

nov-0

3

jan-0

4

mar-04

mai-04

jul-04

set-04

nov-0

4

jan-0

5

mar-05

mai-05

jul-05

set-05


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GRFICO 2 - Valor da Ao Telemar (TNLP4) em R$ de 10/05/00 a 30/09/05

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

mai-00

jul-00

set-00

nov-0

0

jan-0

1

mar-01

mai-01

jul-01

set-01

nov-0

1

jan-0

2

mar-02

mai-02

jul-02

set-02

nov-0

2

jan-0

3

mar-03

mai-03

jul-03

set-03

nov-0

3

jan-0

4

mar-04

mai-04

jul-04

set-04

nov-0

4

jan-0

5

mar-05

mai-05

jul-05

set-05

Em seguida, parte-se ao desenvolvimento de uma nova fase da pesquisa

relativa aplicao dos modelos selecionados, o de Black & Scholes e o de Cox,Ross e Rubinstein, este conhecido popularmente como modelo binomial. A escolha

deu-se justamente pela sua difuso e importncia de utilizao junto ao mercado.

Neste momento torna-se necessrio o clculo da volatilidade, visto que a

volatilidade um parmetro que deve ser estimado antes de ser inserido no modelo.

A volatilidade a ser inserida no modelo Black & Scholes a volatilidade futura,

prevista para o perodo, compreendido entre o instante da avaliao e o instante de

encerramento da vida da opo. Entretanto, para que seja possvel prever a

volatilidade futura necessrio basear-se na volatilidade passada.

Um primeiro ponto a ser considerado, o tamanho da janela temporal de

retornos passados a ser utilizada, para um dado espao temporal futuro, para o qual

se deseja estimar a volatilidade. Visto que no h uma resposta nica, e diferentes

analistas utilizam-se diferentes janelas temporais para um mesmo prazo futuro,

tendo em vista diferentes opinies e diferentes mtodos existentes de estimativa de

volatilidade. No entanto, a maioria dos autores concordam ao menos com uma regra


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geral, a de utilizar janelas temporais maiores, quando h a necessidade de prever

volatilidades para perodos longos de tempo, e de se utilizar de janelas temporais

menores, quando se pretende estimar volatilidades para curtos perodos de tempo.

Outro aspecto importante diz respeito escolha de qual(is) preo(s) dirio(s)

deve(m) ser utilizado(s) como base para o clculo dos retornos e da volatilidade.

Tradicionalmente, utilizam-se os preos de fechamento dos ativos, esta metodologia

no incorpora as volatilidades (variaes de preos) no chamado intraday. Alguns

estudos apontam a uma alternativa de que se for utilizado mais de um preo por dia,

como, por exemplo, os preos de abertura, mximo, mnimo e de fechamento,

obtm-se melhores estimativas de volatilidade (chamado preo de piv), porm

outros destacam que esta relao no unnime, pois tanto que existe a tradiode utilizao de preos de fechamento, desta forma, optou-se pela tradio, ou seja,

pela utilizao do preo de fechamento do ativo para a estimao.

O presente trabalho utilizou-se da determinao das volatilidades histrica,

implcita e derivaes destes tipos de volatilidades como a mdia mvel, a qual se

utiliza da volatilidade histrica, e a mdia mvel exponenciada, tambm conhecida

como alisamento exponencial (Exponentially Weighted Moving Average), sendo este

um mtodo popularizado pelo banco J. P. Morgan no Riskmetrics Technical Manual.Para tanto, utlizou-se o software Matrix Laboratory, verso 7.0, para

programar os respectivos modelos de apreamento com suas nuances de clculo de

volatilidades.

Neste ponto, torna-se necessrio ressaltar que houve necessidade de se

fazer uma adaptao do modelo de Black & Scholes ao mercado brasileiro, este

utiliza-se de uma quantidade de dias teis para a estimativa, em vez de dias

corridos, sendo que o fator de anualizao da volatilidade passar a ser o nmerode dias teis do ano; em geral, usa-se 252. J para o modelo de Cox, Ross e

Rubinstein a aplicao se deu de forma direta. (Ver ilustrao no anexo 2).

Os dados que foram inseridos nos programas eram sempre matrizes coluna

(n x 1), padro este que foi seguido em todos os programas, desta forma foi

necessrio a organizao dos dados em planilha Excel.


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A previso da volatilidade se deu da seguinte forma, primeiramente foi

projetado o clculo da volatilidade atravs do mtodo de mdia mvel com a

utilizao da volatilidade histrica.

A volatilidade histrica foi calculada como o desvio padro da amostra dos

retornos dirios, medidos em taxas logartmicas, ao longo de um determinado

perodo, utilizou-se num primeiro momento, os 21 dias teis imediatamente

anteriores ao dia para o qual est sendo efetuado o clculo do apreamento e noutra

oportunidade, com cinco dias teis imediatamente anteriores ao dia para o qual est

sendo efetuado o clculo do apreamento. A volatilidade histrica foi calculada pela

frmula a seguir:

2

1

1

2

1

)(

=

=

n

i

i

n

rrhistrica

Sendo que:

=ir retornos dirios medidos em taxas logartmicas;

r = mdia aritmtica dos retornos dirios medidos em taxas logartmicas;

n = nmero de dias da janela temporal considerada;

A forma logartmica foi a preferida, visto o preo do objeto varia

continuamente. Alm disso, este clculo coerente com o expoente da funo log-

normal.

A mdia aritmtica dos retornos, ou seja, o retorno mdio foi obtido atravs da

seguinte frmula:

=

=n

t

i

n

rr

1

_

, )ln( 1

i

i

iPV

PVr +=

O termo mdia mvel associa-se ao fato de haver um deslocamento da

janela, previamente definida, a cada dia que passa em relao ao tempo de vida da

opo, acresce-se o retorno observado no dia mais recente e exclui-se o retorno

observado do dia mais distante.


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O programa utilizou-se dos parmetros necessrios ao clculo como o preo

vista do ativo e a janela temporal, tinha-se liberdade para definir o tamanho da

janela.

Noutra fase, a do clculo da volatilidade implcita, utilizou-se o mtodo da

bisseco de forma a descobrir qual a volatilidade que gera atravs da frmula de

Black & Scholes o mesmo preo negociado no mercado, visto que a equao do

modelo no pode ser invertida em termos de volatilidade, conforme ressalta HULL

(1997, p. 246). Esta rotina gerou valores enquanto o nmero de iteraes no foi

atingido, estipulando-se o nmero mximo de 100 iteraes, ou a situao em que a

diferena entre o preo terico e o de mercado no fosse menor que um erro

mximo admitido, no caso, o valor de 0,001%.Posteriormente, a volatilidade foi projetada atravs do mtodo de alisamento

exponencial, sendo que, em relao a este mtodo, optou-se pela utilizao de dois

fatores diferentes de decaimento (). Primeiramente com = 0,94, sendo que este

valor sugerido pelo Riskmetrics para dados dirios, e um segundo valor de =

0,90 de forma a perceber a ocorrncia de impacto na precificao de um pequeno

relaxamento do valor indicado pelo Riskmetrics.

Aps o clculo de todas as volatilidades pelos mtodos destacados, passa-sea simulao dos valores de apreamento das calls aos modelos de Black & Scholes

e de Cox, Ross e Rubinstein.

Na realizao dos respectivos apreamentos, utiliza-se dos valores gerados

anteriormente de cada conjunto de volatilidades a cada um dos dois modelos de

precificao, desta forma tem-se oito conjuntos de resultados de precificao e um

conjunto de dados relativos aos efetivos de mercado.

A partir desta relao cruzada, obteve-se os seguintes conjuntos modelosversus volatilidades:

m1 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade implcita

utilizando mdia mvel de cinco dias;

m2 Modelo Binomial com estimao de volatilidade implcita utilizando

mdia mvel de cinco dias;


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42

m3 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade histrica

utilizando um perodo de 21 dias;

m4 Modelo Binomial com estimao de volatilidade histrica utilizando um

perodo de 21 dias;

m5 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do

mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e

um dias com = 0,94;

m6 Modelo Binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo de

alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com

= 0,94;

m7 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do

mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e

um dias com = 0,90;

m8 Modelo Binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo de

alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com

= 0,90.

De posse dos resultados, j classificados de acordo com o mesmo critrio de

adotado por DONANGELO, SILVA e LEMGRUBER (2000) quanto ao seu

moneyness, a saber:

uma forma de se classificar as opes quanto ao moneyness a razo entre o

preo do ativo-objeto e o valor presente do preo de exerccio da opo, sendo

classificadas como fora-do-dinheiro, quando esta relao for menor que 0,95; no-

dinheiro, quando se situa entre 0,95 e 1,05; e dentro-do-dinheiro, quando for maior

que 1,05. Tal classificao uma indicao se a opo ser ou no exercida, porm

no estima com que probabilidade o exerccio poder ocorrer ou no.

Pode-se ento partir para a prxima etapa, a de anlise dos resultados.

O quadro 3 a seguir, prope-se a esquematizar a estrutura da metodologia de

desenvolvimento da pesquisa.


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QUADRO 3 Diagrama esquemtico da metodologia de desenvolvimento

(PREVISO)14

T1 T2 T3

Refere-se s simulaes

Metodologia +Estatstica +Anlises

DeslocamentoJanela TemporalTempo

Projeopara trs

Previsoex ante

Simulao ex post ousimulao histrica

Previsoex post

Perodo deestimao

Tempo

Mtodo Numrico

Black & Scholes

VolatilidadeImplcita

VolatilidadeHistrica

FONTE: PINDYCK (2004, p. 444), adaptado pelo autor.

14 De acordo com PINDYCK (2004, p. 444), A previso envolve a simulao do modelo no tempo para alm do perodo daestimao.Previso ex post caracteriza-se quando o perodo de estimao no chega at o ano corrente (isto , T 2 menor que T3),podemos optar por iniciar o perodo de previso no fim do perodo de estimao e estend-lo at o presente, talvez

comparando resultados com dados disponveis e se faz com freqncia para testar a capacidade preditiva de um modelo.Uma previso feita, cuja simulao comea no ano corrente e se estende para o futuro, denominada de previso ex ante.


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4 APRESENTAO E ANLISE DE RESULTADOS

Com base nos conceitos apresentados na reviso de literatura, e na

metodologia proposta, analisa-se os resultados dos apreamentos dos modelos de

precificao de Black & Scholes e de Cox, Ross e Rubinstein mediante a utilizao

de estimadores diferenciados de volatilidade perfazendo um conjunto de anlise de

oito combinaes de simulaes.

Frente metodologia de anlise estatstica, cabe destacar que os dados

foram submetidos anlise de varincia (ANOVA), seguido do teste de Tukey-

Kramer.Foram tambm realizadas anlises de regresso linear comparando-se os

diversos tratamentos com os valores de mercado. Os valores de R2 foram utilizados

para a anlise de preciso dos dados, isto , a perspectiva de mensurao do grau

de associao entre as variveis, enquanto que os valores do intercepto e

declividade foram utilizados para anlises de exatido considerando os valores de

mercado como padro.

O valor de R2

, coeficiente de determinao, pode ser utilizado para o clculoda variao concomitante das variveis estudadas. O parmetro (1 - R2) a parcela

no explicada, ou seja, a variao ao acaso. Os valores da declividade e intercepto

foram utilizados para anlise de exatido dos valores em relao aos dados de

mercado considerados como padro. A declividade se aproxima do valor 1, quando

os dados do tratamento (simulao) se aproximam dos valores de mercado, sendo

que (1-b) em percentual, o afastamento do valor ideal.

O intercepto se aproxima do valor zero, quando os dados do modelo seaproximam dos valores de mercado, o percentual de "a" em relao ao valor mximo

de y representa o afastamento do valor zero, quanto maior for o percentual, mais o

intercepto se afasta do valor ideal (zero).

As anlises apresentadas na seqncia esto estruturadas com a seguinte

ordenao:

a) Resultados referentes regresso linear entre os oito conjuntos de

apreamentos e o valor observado de mercado em data da observao do


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valor da call observado no mercado, tomando-se como objeto de anlise,

cada conjunto de precificao versus o conjunto de preos observados de

mercado de acordo com sua classificao em relao a seu grau de

moneyness, de forma a se testar a equivalncia entre cada modelo de

precificao e o valor de mercado;

b) Resultados referentes anlise da ANOVA entre os oito conjuntos de

apreamentos e o valor observado de mercado em data da observao do

valor da call observado no mercado, tomando-se como objeto de anlise,

cada conjunto de precificao versus o conjunto de preos observados de

mercado de acordo com sua classificao em relao a seu grau de

moneyness, de forma a se testar a equivalncia entre cada modelo deprecificao e o valor de mercado. Desta forma, adotou-se como hiptese

H0, a equivalncia preditiva do modelo frente ao valor de mercado e como

hiptese H1, a no equivalncia preditiva do modelo frente ao valor de

mercado utilizando-se um nvel de significncia de 5%.

A partir dos resultados obtidos da regresso linear destacados na tabela 1 e

graficamente representados no anexo 3, procede-se interpretao.

Tabela 1 - Resultados relativos regresso linear entre os valores de mercado e osapreamentos com grau de moneyness classificado como out-the-money

m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8

Coef. determinao R2 0,8961 0,8992 0,6231 0,6291 0,6168 0,6223 0,5978 0,6036

declividade b 0,9858 1,0094 0,9528 0,9758 0,9130 0,9353 0,9009 0,9231

Intercepto a 0,0127 0,0117 0,0650 0,0645 0,0511 0,0508 0,0481 0,0479

Erro de preciso (%)1

10,39 10,08 37,69 37,09 38,32 37,77 40,22 39,64

Erro de exatido (%)2

1,42 -0,94 4,72 2,42 8,70 6,47 9,91 7,69

Erro de exatido (%) 0,50 0,46 2,08 2,03 1,65 1,62 1,54 1,51

Mercado versus

1- Indica a disperso dos dados em relao aos valores do prprio modelo.2- Indica uma relao entre o valor do modelo versus o valor de mercado.3- Indica uma relao entre o valor do modelo versus o maior valor de mercado.m1 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias.m2 Modelo Binomial com estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias.m3 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatil idade histrica utilizando um perodo de 21 dias.m4 Modelo Binomial com estimao de volatilidade histrica utilizando um perodo de 21 dias.m5 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia

mvel de vinte e um dias com = 0,94.m6 Modelo Binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de

vinte e um dias com = 0,94.m7 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia


vinte e um dias com = 0,90.


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Com relao aos ndices de disperso (em relao ao prprio modelo), tem-

se que os menores valores ocorrem nos modelos de Black & Scholes com estimao

de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias (m1) e binomial com

estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias (m2) da

ordem de 10,39% e 10,08%, enquanto os demais mtodos possuem valores

variando de 37,09% a 40,22%.

Observa-se que os modelos de Black & Scholes com estimao de

volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias (m1) e binomial com

estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias (m2),

caracterizados por BS (Black & Scholes) e CRR (Cox, Ross e Rubinstein) com

utilizao volatilidade implcita e mdia mvel com janela temporal de cinco dias,caractersticas comuns, apresentam os menores valores de erros de exatido,

1,42% e -0,94% respectivamente, denotando desta forma um menor desvio de

apreamento em relao ao valor alvo, o preo de mercado.

J os modelos de Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do

mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com

valor de = 0,94 (m5), binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo de

alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com = 0,94(m6), Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do mtodo de

alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com = 0,90 (m7)

e binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo de alisamento

exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com = 0,90 (m8)

apresentam os maiores valores de erros de exatido, 8,70%, 6,47%, 9,91% e 7,69%

respectivamente, sendo estes possuidores de uma caracterstica comum, a de

utilizao da metodologia de determinao da volatilidade atravs do alisamentoexponencial.

O modelo binomial com estimao de volatilidade implcita utilizando mdia

mvel de cinco dias (m2) possui erro de exatido negativo (-0,94%), apontando

desta forma para uma leve super-precificao do valor da call em relao ao valor de

mercado, o que no ocorreu nos outros modelos.

Destaca-se ainda, o aumento dos erros de exatido e de preciso ao se variar

os fatores de decaimento dos mtodos de Black & Scholes com estimao de


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volatilidade atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de

vinte e um dias com = 0,94 (m5), e o binomial com estimao de volatilidade

atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um

dias com = 0,94 (m6), de um valor de = 0,94 para = 0,90, caracterizando a

partir de ento, os modelos de Black & Scholes com estimao de volatilidade

atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um

dias com = 0,90 (m7) e binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo

de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com = 0,90

(m8).

O mesmo evento ocorre ao se analisar os pares dos mtodos de Black &

Scholes com estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias(m1) e binomial com estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de

cinco dias (m2), estes, caracterizados comumente por apresentar o clculo da

volatilidade atravs da utilizao de uma janela temporal de cinco dias para o par

dos mtodos de Black & Scholes com estimao de volatilidade histrica utilizando

um perodo de 21 dias (m3), e binomial com estimao de volatilidade histrica

utilizando um perodo de 21 dias (m4), caracterizados pelo clculo da volatilidade

atravs de uma janela temporal maior, de 21 dias.A partir dos resultados obtidos da regresso linear destacados na tabela 2 e

graficamente representados no anexo 4, procede-se interpretao dos dados

relativos regresso linear entre os valores de mercado e os apreamentos com

grau de moneyness classificado como at-the-money.

Tabela 2 - Resultados relativos regresso linear entre os valores de mercado e osapreamentos com grau de moneyness classificado como at-the-money

m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8

Coef. determinao R2 0,9465 0,9478 0,7019 0,7059 0,6999 0,7044 0,6869 0,6918

declividade b 0,9132 0,9247 0,8640 0,8753 0,8433 0,8547 0,8366 0,8482

Intercepto a 0,1168 0,1262 0,2845 0,2943 0,2589 0,2682 0,2503 0,2594

Erro de preciso (%)1

5,35 5,22 29,81 29,41 30,01 29,56 31,31 30,82


8,68 7,53 13,60 12,47 15,67 14,53 16,34 15,18


2,69 2,87 6,04 6,18 5,46 5,60 5,24 5,37

Mercado versus

1- Indica a disperso dos dados em relao aos valores do prprio modelo.2- Indica uma relao entre o valor do modelo versus o valor de mercado.

3- Indica uma relao entre o valor do modelo versus o maior valor de mercado.m1 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias.


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m2 Modelo Binomial com estimao de volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias.m3 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatil idade histrica utilizando um perodo de 21 dias.m4 Modelo Binomial com estimao de volatilidade histrica utilizando um perodo de 21 dias.m5 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia


vinte e um dias com

= 0,94.m7 Modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdiamvel de vinte e um dias com = 0,90.

m8 Modelo Binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel devinte e um dias com = 0,90.

Em relao aos ndices de disperso, tem-se que os menores valores

ocorrem para o modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade implcita

utilizando mdia mvel de cinco dias (m1) e binomial com estimao de volatilidade

implcita utilizando mdia mvel de cinco dias (m2) da ordem de 5,35% e 5,22%,

enquanto os demais mtodos possuem valores maiores variando de 29,41% a

31,31%.

Observa-se que o modelo de Black & Scholes com estimao de volatilidade

implcita utilizando mdia mvel de cinco dias (m1) e binomial com estimao de

volatilidade implcita utilizando mdia mvel de cinco dias (m2), caracterizados por

BS (Black & Scholes) e CRR (Cox, Ross e Rubinstein) com utilizao volatilidade

implcita e mdia mvel com janela temporal de cinco dias, caractersticas comuns,

apresentam os menores valores de erros de exatido, 8,68% e 7,53%respectivamente, denotando desta forma um menor desvio de apreamento em

relao ao valor de mercado.

De forma oposta, os modelos de Black & Scholes com estimao de


vinte e um dias com = 0,94 (m5), binomial com estimao de volatilidade atravs

do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias

com = 0,94 (m6), Black & Scholes com estimao de volatilidade atravs domtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com

= 0,90 (m7) e binomial com estimao de volatilidade atravs do mtodo de

alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias com = 0,90

(m8), apresentam os maiores valores de erros de exatido, 15,67%, 14,53%, 16,34%

e 15,18% respectivamente, sendo estes possuidores de uma caracterstica comum,

a de utilizao da metodologia de determinao da volatilidade atravs do

alisamento exponencial.


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Todos os modelos possuem erros de exatido positivo, apontando desta

forma para uma sub-precificao do valor da call em relao ao valor de mercado.

Destaca-se ainda, o aumento dos erros de exatido e de preciso ao se variar

os fatores de decaimento dos mtodos de Black & Scholes com estimao de


vinte e um dias com = 0,94 (m5), e binomial com estimao de volatilidade atravs

do mtodo de alisamento exponencial utilizando mdia mvel de vinte e um dias

com = 0,94 (m6), de um valor

DISSERTAÇÃO - Opções de compra - Black & Scholes + Cox Ross Rubinstein

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