Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica

e de Computadores

Decisão, Optimização e Inteligência

Computacional

Trânsito de Potências Difuso

23 – 04 – 2010

Trabalho realizado por:

Paulo Alexandre Alves Félix Turma 8

2

Índice:

Introdução ....................................................................................................................... 3

Trânsito de Potências AC Difuso ..................................................................................... 4

Trânsito de Potência Activa ik.................................................................................. 5

Trânsito de Potência Reactiva ik ............................................................................ 12

Trânsito de Potência Activa ki................................................................................ 15

Trânsito de Potência Reactiva ki ............................................................................ 18

Perdas Activas Difusas ........................................................................................... 20

Perdas Reactivas Difusas ....................................................................................... 22

Trânsito de Potências DC Difuso ................................................................................... 24

Conclusões ..................................................................................................................... 25

Referências .................................................................................................................... 26

3

Introdução

No dia-a-dia nem todos os problemas se traduzem por números exactos, isto é, nem

todos os problemas têm um único valor como solução, pode ser um intervalo de valores. O

trânsito de potências é um exemplo da necessidade de utilização dos números difusos, já

que os valores das cargas nem são conhecidos com exactidão nem com antecedência, mas

espera-se que estejam num intervalo, pois há incerteza na previsão.

Neste trabalho vamos resolver o problema do trânsito de potências através de

métodos apropriados, com o objectivo de interiorizar mais facilmente o conceito de

números difusos, já que os modelos de trânsito de potência difusos permitem modelar e

determinar todos os estados possíveis do sistema.

Para poder resolver este trabalho vamos ter de utilizar alguns programas, como o

Power World e o Microsoft Office Excel, para o resolver de uma forma mais simples e mais

rápida. O Power World será utilizado numa parte inicial da resolução, onde iremos buscar os

valores centrais de constantes e ainda a matriz Jacobiana. O resto da resolução tratar-se-á

no Excel.

4

Trânsito de Potências AC Difuso

Vamos começar por apresentar os dados do problema.

Tabela 1 – Barramentos

Tabela 2 - Linhas

Sendo que a potência de base do sistema é de 100 MVA.

Através da análise dos dados, concluímos que o barramento 1 é do tipo PV, o 2 é o

barramento de compensação e de referência, enquanto que os barramentos 3, 4 e 5, são do

tipo PQ.

Colocando então o sistema no Power World, usando como valores de potência a

produzir e de cargas, os valores centrais de cada número triangular, que são representados

pela letra b, e colocando também os valores das características das linhas.

5

Trânsito de Potência Activa ik

A rede implementada no Power World foi a seguinte:

Figura 1 – Rede do sistema no Power World

Agora através do Power World vamos retirar os valores da matriz Jacobiana, que

apresenta os seguintes valores:

49,44 -33,95 -5,62 -4,19 -11,16 -1,85 -1,31

-33,9 38,16 0 0 12,28 0 0

-5,61 0 30,62 -16,57 0 10,03 -5,26

-4,13 0 -16,37 20,5 0 -5,78 6,38

11,37 -13,01 0 0 37,71 0 0

1,89 0 -10,35 5,2 0 30,53 -16,77

1,47 0 5,79 -7,26 0 -16,37 20,42

Tabela 3 – Matriz Jacobiana

Esta matriz terá de ser invertida para utilizar mais à frente. Invertendo a matriz

Jacobiana ficamos com a seguinte matriz:

6

0,07238 0,06453 0,03775 0,04541 0,00041 0,00121 0,00117

0,06419 0,08082 0,03348 0,04028 -0,00732 0,00107 0,00104

0,03696 0,03295 0,07107 0,06461 0,00021 -0,01539 -0,01215

0,04412 0,03934 0,06492 0,10517 0,00025 -0,01050 -0,02193

0,00032 0,00843 0,00017 0,00020 0,02387 0,00001 0,00001

0,00095 0,00085 0,01933 0,01762 0,00001 0,05280 0,04290

0,00076 0,00068 0,01571 0,02993 0,00000 0,04287 0,07892

Tabela 4 – Inverso da matriz Jacobiana

Do Power World retiramos ainda os valores centrais do vector X, ou seja, retiramos

os valores centrais das fases e das tensões dos barramentos onde esses valores ainda não

são conhecidos. Retiramos também os valores do trânsito de potências central nas linhas.

Os valores dados pelos Power World são apresentados de seguida.

Xctr θ1 (rad) -0,04398

θ3 (rad) -0,04590

θ4 (rad) -0,04747

θ5 (rad) -0,06545

V3 (p.u.) 1,00765

V4 (p.u.) 1,00038

V5 (p.u.) 0,98814

Tabela 5 – Fases e tensões obtidas pelo Power World

Nó i Nó k Pikb (p.u.) Qikb (p.u.)

1 2 -0,28957 -0,02196

1 3 0,09196 0,05721

1 4 0,03765 0,04747

1 5 0,12000 0,06328

2 3 0,23192 0,03432

2 4 0,49539 0,12812

4 5 0,36394 0,10837

Tabela 6 – Trânsitos nas linhas, no sentido ik

Agora vamos começar por calcular as potências injectadas centrais, para isso temos

que em cada barramento subtrair à potência gerada a potência consumida. Neste caso com

números triangulares vamos usar apenas os valores centrais. Os resultados obtidos foram

os seguintes:

Zctr P1 (p.u.) -0,04

P3 (p.u.) -0,32

P4 (p.u.) -0,16

P5 (p.u.) -0,48

Q3 (p.u.) -0,08

Q4 (p.u.) -0,04

Q5 (p.u.) -0,16

Tabela 7 – Potências injectadas centrais

7

Como é um número triangular precisamos ainda dos valores à esquerda e à direita

dos valores centrais, mas para os podermos calcular precisamos primeiro de calcular o

desvio que estes sofrem em relação aos valores centrais. Para o valor à esquerda,

representado por a, o menor valor, usamos a seguinte expressão:

ΔP1� a = Pga − Pcc

Para os valores à direita, a expressão é semelhante:

ΔP1� c = Pgc − Pca

Aplicando este raciocínio aos restantes nós obtivemos os seguintes resultados:

Δ~Z a c

Δ~P1 -0,12 0,16

Δ~P3 -0,04 0

Δ~P4 -0,04 0,08

Δ~P5 -0,04 0,08

Δ~Q3 -0,04 0

Δ~Q4 -0,024 0,016

Δ~Q5 -0,04 0,04

Tabela 8 – Desvio das potências injectadas

Para obter os valores das potências activa e reactiva difusas, temos que somar as

estes valores o módulo do valor central correspondente. A expressão será semelhante à

empregada no exemplo seguinte:

P1�a = ΔP1� a + P1ctr Aplicando então esta expressão os resultados obtidos são:

~Z a b c

~P1 -0,16 -0,04 0,12

~P3 -0,36 -0,32 -0,32

~P4 -0,2 -0,16 -0,08

~P5 -0,52 -0,48 -0,4

~Q3 -0,12 -0,08 -0,08

~Q4 -0,064 -0,04 -0,024

~Q5 -0,2 -0,16 -0,12

Tabela 9 – Potências injectadas difusas

As potências injectadas são números difusos, pois representam a incerteza

associada às potências injectadas em cada nó.

Agora calculam-se as tensões e as fases. Começando por calcular os desvios através

das expressões:

�ΔX�a� = [J(�)]�� × �ΔZ�a� + [J(�)]�� × �ΔZ�c� �ΔX�c� = [J(�)]�� × �ΔZ�c� + [J(�)]�� × �ΔZ�a�

8

De notar que as matrizes Jacobianas utilizadas acima, representam a parte positiva

e negativa da matriz Jacobiana apresentada na tabela 4.

Δ~X a c

Δ~θ1 -0,01469 0,01830

Δ~θ3 -0,01395 0,01652

Δ~θ4 -0,01192 0,01762

Δ~θ5 -0,01473 0,02180

Δ~V3/V3 -0,00135 0,00008

Δ~V4/V4 -0,00461 0,00567

Δ~V5/V5 -0,00613 0,00762

Tabela 10 – Desvios das tensões e fases

Para obter os valores das tensões e fases, apenas temos que somar os desvios das

fases aos valores centrais das mesmas, enquanto para as tensões temos de multiplicar o

respectivo valor apresentado na tabela 10 pelo valor central dessa tensão e depois ao

produto resultante somar o valor central da tensão. Os resultados são os seguintes:

~X a b c

~θ1 -0,0587 -0,0440 -0,0257

~θ3 -0,0599 -0,0459 -0,0294

~θ4 -0,0594 -0,0475 -0,0298

~θ5 -0,0801 -0,0654 -0,0436

~V3 1,0063 1,0077 1,0077

~V4 0,9958 1,0004 1,0061

~V5 0,9821 0,9881 0,9957

Tabela 11 – Valores difusos das tensões e fases

Agora para calcular os desvios dos trânsitos de potência activa nas linhas vamos

aplicar a seguinte expressão:

ΔP� �� = [A���] × [ΔZ�] Sendo que,

[A���] = �∂P��∂V�∂P��∂V�

∂P��∂θ�

∂P��∂θ� " ×

#$$$%[J��]�&[J��]�&[J��]�'[J��]�'(

)))*

Vamos então começar por calcular as derivadas, mas para isso também

necessitamos da matriz das condutâncias, [G], e das susceptâncias, [B]. A matriz [G] é

obtida através das seguintes expressões:

G�� = − R��(R��- + X��- )

, (i ≠ k)

G�� = −2G���3�

9

Aplicando as expressões, o resultado obtido foi:

16,2037 -1,8519 -11,1111 -1,8519 -1,3889

-1,8519 6,0185 -1,3889 -2,7778 0

-11,1111 -1,3889 12,5000 0 0

-1,8519 -2,7778 0 10,1852 -5,5556

-1,3889 0 0 -5,5556 6,9444

Tabela 12 – Matriz das condutâncias

A matriz das susceptâncias é calculada através das seguintes expressões:

B�� = X��(R��- + X��- )

, (i ≠ k)

B�� = −2B���3�

A matriz B obtida foi a seguinte:

-48,6111 5,5556 33,3333 5,5556 4,1667

5,5556 -18,0556 4,1667 8,3333 0

33,3333 4,1667 -37,5000 0 0

5,5556 8,3333 0 -30,5556 16,6667

4,1667 0 0 16,6667 -20,8333

Tabela 13 – Matriz das susceptâncias

Agora vamos calcular as derivadas, para isso vamos utilizar as seguintes expressões:

∂P��∂V� = −2G�� × V� + V� × (G��. cos θ�� + B��. sin θ��)

∂P��∂V� = V� × (G��. cos θ�� + B��. sin θ��)

∂P��∂θ� = V� × V� × (−G��. sin θ�� + B��. cos θ��)

∂P��∂θ� = −∂P��

∂θ�

Aplicando então as expressões acima apresentadas obtemos:

Nó i Nó k dPik/dVi dPik/dVk dPik/dθi dPik/dθk

1 2 1,5837 -2,1152 5,6892 -5,6892

1 3 11,3133 -11,1571 33,9460 -33,9460

1 4 1,9076 -1,8507 5,6198 -5,6198

1 5 1,5216 -1,3124 4,1871 -4,1871

2 3 1,6557 -1,2321 4,3861 -4,3861

2 4 3,3421 -2,4506 8,7127 -8,7127

4 5 5,9215 -5,2582 16,5710 -16,5710

Tabela 14 – Valores das derivadas parciais da potência activa

10

Agora temos de calcular a “matriz das sensibilidades AC”, que é representada pela

letra A. Como já havia sido indicado, calculamos esta matriz através da expressão:

[A���] = �∂P��∂V�∂P��∂V�

∂P��∂θ�

∂P��∂θ� " ×

#$$$%[J��]�&[J��]�&[J��]�'[J��]�'(

)))*

O resultado obtido é o que se apresenta em seguida.

A-Pik

L1-2 0,4118 0,3671 0,2148 0,2584 0,0023 0,0069 0,0067

L1-3 0,2742 -0,6470 0,1430 0,1721 -0,0040 0,0046 0,0044

L1-4 0,1973 0,1759 -0,2230 -0,1404 0,0011 -0,0044 -0,0045

L1-5 0,1173 0,1046 -0,1344 -0,2895 0,0007 -0,0072 -0,0068

L2-3 -0,2820 -0,3649 -0,1471 -0,1769 0,0027 -0,0047 -0,0046

L2-4 -0,3243 -0,2892 -0,6666 -0,6061 -0,0018 0,0047 0,0007

L4-5 -0,1171 -0,1044 0,1338 -0,7253 -0,0007 0,0062 0,0012

Tabela 15 – Matriz das sensibilidades para Pik

Conhecida a matriz das sensibilidades vamos agora determinar os desvios da

potência activa. A expressão a utilizar será então:

ΔP� �� = [A���] × [ΔZ�]

Os resultados obtidos pela aplicação desta expressão são:

a c

~ΔP12 -0,0835 0,1041

~ΔP13 -0,0458 0,0954

~ΔP14 -0,0601 0,0464

~ΔP15 -0,0526 0,0362

~ΔP23 -0,0714 0,0617

~ΔP24 -0,1538 0,1016

~ΔP45 -0,0823 0,0581

Tabela 16 – Desvios de potência activa

Agora podemos finalmente calcular o trânsito de potência activa difuso, para isso

apenas temos que somar os valores dos desvios aos valores centrais, presentes na tabela 6.

Somando então esses valores e mantendo os valores centrais obtemos como trânsito de

potência activa difuso:

11

a b c

~P12 -0,37312 -0,28957 -0,18546

~P13 0,04617 0,09196 0,18733

~P14 -0,02244 0,03765 0,08404

~P15 0,06742 0,12000 0,15617

~P23 0,16052 0,23192 0,29360

~P24 0,34154 0,49539 0,59696

~P45 0,28163 0,36394 0,42206

Tabela 17 – Trânsito de potência activa difuso, em p.u.

De seguida apresentamos a representação gráfica dos resultados da tabela anterior:

Figura 2 – Trânsito de potência activa difuso

Através da figura anterior consegue-se entender um pouco melhor os números

difusos, já que se conseguem visualizar os valores que cada variável poderá apresentar.

Conseguimos também mais facilmente observar quais as linhas que terão um maior

intervalo de funcionamento, por exemplo a linha 2-4.

Pela observação da figura, facilmente se retira que a linha 1-2, transmitirá potência

no sentido 2-1.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60

Gra

u d

e P

ert

en

ça

Potência Transmitida (p.u.)

Trânsito de Potência Activa AC

~P12 ~P13 ~P14 ~P15 ~P23 ~P24 ~P45

12

Trânsito de Potência Reactiva ik

Para o trânsito de potência reactiva utilizamos alguns dos valores já apresentados

anteriormente, sendo que apenas a partir dos valores das derivadas parciais é que

começam a haver diferenças entre o trânsito de potência activa e reactiva. Vamos então

começar por calcular os valores das derivadas usando as expressões que se apresentam a

seguir.

∂Q��∂V� = 2B�� × V� + V� × (G��. sin θ�� − B��. cos θ��)

∂Q��∂V� = V� × (G��. sin θ�� − B��. cos θ��)

∂Q��∂θ� = V� × V� × (G��. cos θ�� + B��. sin θ��)

∂Q��∂θ� = −∂Q��

∂θ�

Estas expressões permitem-nos obter os seguintes resultados:

Nó i Nó k dQik/dVi dQik/dVk dQik/dθi dQik/dθk

1 2 5,5894 -5,5235 -2,1786 2,1786

1 3 33,7234 -33,6883 -11,2425 11,2425

1 4 5,6581 -5,6176 -1,8514 1,8514

1 5 4,2710 -4,2374 -1,2968 1,2968

2 3 4,3250 -4,3528 -1,2416 1,2416

2 4 8,7077 -8,7094 -2,4516 2,4516

4 5 16,7813 -16,7699 -5,1958 5,1958

Tabela 18 – Valores das derivadas parciais da potência reactiva

Para calcular a matriz das sensibilidades é usado o mesmo raciocínio, e por isso a

expressão a aplicar é equivalente.

�A;��� = �∂Q��∂V�∂Q��∂V�

∂Q��∂θ�

∂Q��∂θ� " ×

#$$$%[J��]�&[J��]�&[J��]�'[J��]�'(

)))*

Aplicando então a expressão acima apresentada obtivemos os resultados que

apresentamos de seguida:

13

A-Qik

L1-2 -0,1577 -0,1406 -0,0822 -0,0989 -0,0009 -0,0026 -0,0026

L1-3 -0,1029 -0,1007 -0,0537 -0,0646 -0,8910 -0,0017 -0,0017

L1-4 -0,0709 -0,0632 -0,0469 -0,0634 -0,0004 -0,3273 -0,2656

L1-5 -0,0399 -0,0355 -0,0313 -0,0493 -0,0002 -0,1968 -0,3644

L2-3 0,0783 0,0637 0,0408 0,0491 -0,1130 0,0013 0,0013

L2-4 0,0823 0,0734 0,0059 0,0050 0,0005 -0,4976 -0,4034

L4-5 0,0404 0,0361 0,0290 0,0045 0,0002 0,1925 -0,6545

Tabela 19 - Matriz das sensibilidades para Qik

Os desvios de potência reactiva são calculados de forma semelhante à da utilizada

para os da potência activa.

ΔQ� �� = �A;��� × [ΔZ�] Os resultados obtidos foram os seguintes:

a c

~ΔQ12 -0,03987 0,03199

~ΔQ13 -0,02602 0,05686

~ΔQ14 -0,03603 0,03395

~ΔQ15 -0,03055 0,02874

~ΔQ23 -0,01562 0,02431

~ΔQ24 -0,03737 0,04212

~ΔQ45 -0,03845 0,03841

Tabela 20 – Desvios de potência reactiva

Como anteriormente para calcular o trânsito de potência reactiva difuso, temos que

aos desvios somar os valores centrais apresentados na tabela 6, após isso obtemos o

trânsito de potência reactiva difuso.

a b c

~Q12 -0,06183 -0,02196 0,01003

~Q13 0,03119 0,05721 0,11407

~Q14 0,01144 0,04747 0,08142

~Q15 0,03273 0,06328 0,09202

~Q23 0,01870 0,03432 0,05863

~Q24 0,09075 0,12812 0,17024

~Q45 0,06992 0,10837 0,14678

Tabela 21 – Trânsito de potência reactiva difuso, em p.u.

14

Figura 3 – Representação gráfica do trânsito de potência activa difuso

Tal como anteriormente, também agora a linha 1-2, transmitirá essencialmente

potência de 2 para 1, no entanto haverá alguns estados em que isso não acontece, ou

porque a potência transmitida é nula, ou porque é transmitida no sentido 1-2. As restantes

linhas funcionam no sentido indicado, ou seja, ik.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

-0,08 -0,04 0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20

Gra

u d

e P

ert

en

ça

Potência Transmitida (p.u.)

Trânsito de Potência Reactiva AC

~Q12 ~Q13 ~Q14 ~Q15 ~Q23 ~Q24 ~Q45

15

Trânsito de Potência Activa ki

Para determinar o trânsito de potência activa no sentido ki, temos de seguir a

mesma metodologia anteriormente utilizada, para o sentido ik. Como a rede é a mesma,

não a vamos apresentar outra vez, sendo que apenas alteramos no Power World o sentido

das linhas. A matriz Jacobiana dada pelo programa é igual à da tabela 3, por isso a sua

inversa será igual à da tabela 4. Também os valores centrais das tensões, fases e potências

injectadas são iguais aos do sentido ik, presentes na tabela 5 e 7, já os trânsitos nas linhas

apresentam valores ligeiramente diferentes.

Nó k Nó i Pkib (p.u.) Qkib (p.u.)

2 1 0,29403 0,03536

3 1 -0,09185 -0,05690

4 1 -0,03745 -0,04689

5 1 -0,11870 -0,05938

3 2 -0,22819 -0,02313

4 2 -0,48651 -0,10146

5 4 -0,36135 -0,10058

Tabela 22 – Trânsitos nas linhas, no sentido ki

Os valores dos desvios das potências injectadas, das tensões e das fases são iguais

aos do sentido ik, o que faz com que os valores das potências injectadas difusos e das

tensões e fases difusos sejam também iguais aos anteriores.

As matrizes G e B continuam iguais, por isso vamos calcular as derivadas para depois

calcular a matriz das sensibilidades. Para isso utilizamos as mesmas expressões que foram

apresentadas anteriormente, só que agora temos de ter em atenção que o sentido da

potência é oposto ao anterior. Aplicando então as expressões obtivemos:

Nó i Nó k dPki/dVi dPki/dVk dPki/dθi dPki/dθk

2 1 2,1929 -1,6541 5,8585 -5,8585

3 1 11,1049 -11,2610 33,9023 -33,9023

4 1 1,8151 -1,8720 5,6067 -5,6067

5 1 1,2523 -1,4602 4,1278 -4,1278

3 2 1,1731 -1,5907 4,2538 -4,2538

4 2 2,2925 -3,1713 8,4411 -8,4411

5 4 5,1240 -5,7837 16,3743 -16,3743

Tabela 23 – Valores das derivadas parciais da potência activa ki

16

De notar que na tabela anterior se apresentam os valores relativos ao sentido ik dos

nós presentes na tabela, mas é preciso ter em atenção que os nós i e k, foram trocados em

relação aos dos trânsitos de potências ik, isto para ser mais simples de aplicar as expressões

das derivadas.

De um modo equivalente ao utilizado anteriormente, calculamos a matriz das

sensibilidades para o caso, o resultado é o seguinte:

A-Pki

L2-1 -0,42402 -0,37805 -0,22116 -0,26606 -0,00238 -0,00709 -0,00686

L3-1 -0,27386 0,64584 -0,14284 -0,17184 0,00312 -0,00458 -0,00443

L4-1 -0,19686 -0,17551 0,22192 0,13957 -0,00110 0,00275 0,00319

L5-1 -0,11567 -0,10313 0,13183 0,28415 -0,00065 0,00534 0,00347

L3-2 0,27344 0,35367 0,14262 0,17158 -0,00314 0,00457 0,00443

L4-2 0,31414 0,28008 0,64426 0,58573 0,00176 -0,00889 -0,00420

L5-4 0,11575 0,10320 -0,13204 0,71572 0,00065 -0,00565 -0,00391

Tabela 24 – Matriz das sensibilidades para o trânsito de potência activa ki

Os desvios de potência activa e o valor do trânsito de potência activo difuso no

sentido ki, são apresentados de seguida.

a c

~ΔP21 -0,10721 0,08603

~ΔP31 -0,09520 0,04574

~ΔP41 -0,04615 0,05978

~ΔP51 -0,03541 0,05153

~ΔP32 -0,05981 0,06926

~ΔP42 -0,09848 0,14904

~ΔP54 -0,05748 0,08135

Tabela 25 – Desvios da potência activa ki

a b c

~P21 0,18682 0,29403 0,38006

~P31 -0,18705 -0,09185 -0,04611

~P41 -0,08360 -0,03745 0,02233

~P51 -0,15411 -0,11870 -0,06717

~P32 -0,28800 -0,22819 -0,15893

~P42 -0,58499 -0,48651 -0,33747

~P54 -0,41883 -0,36135 -0,28000

Tabela 26 - Trânsito de potência activa ki difuso, em p.u.

17

Figura 4 – Representação gráfica do trânsito de potência activa difuso, no sentido ki

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,60 -0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40

Gra

u d

e P

ert

en

ça

Potência Transmitida (p.u.)

Trânsito de Potência Activa

~P21 ~P31 ~P41 ~P51 ~P32 ~P42 ~P54

18

Trânsito de Potência Reactiva ki

Utilizando parte dos dados já obtidos ao longo do ponto anterior, para calcular o

trânsito de potência reactiva, temos de começar por calcular o valor das derivadas, que

como na situação anterior se vão utilizar as expressões indicadas na situação equivalente,

mas no sentido ik. Os resultados foram os seguintes:

Nó i Nó k dQki/dVi dQki/dVk dQki/dθi dQki/dθk

2 1 5,7565 -5,8005 -1,6706 1,6706

3 1 33,5318 -33,5666 -11,3736 11,3736

4 1 5,5108 -5,5512 -1,8907 1,8907

5 1 4,0572 -4,0869 -1,4748 1,4748

3 2 4,1756 -4,1299 -1,6384 1,6384

4 2 8,2351 -8,1953 -3,2664 3,2664

5 4 16,3672 -16,3680 -5,7859 5,7859

Tabela 27 - Valores das derivadas parciais da potência reactiva ki

Também agora apresentamos na tabela a indicação de i e k, “trocados” apenas para

simplificação na aplicação das expressões das derivadas.

A matriz das sensibilidades obtida para este caso foi:

A-Qki

L2-1 0,12091 0,10780 0,06307 0,07587 0,00068 0,00202 0,00196

L3-1 0,10395 0,09728 0,05422 0,06523 0,88829 0,00174 0,00168

L4-1 0,07221 0,06438 0,04350 0,06079 0,00040 0,32235 0,26158

L5-1 0,04475 0,03990 0,02365 0,03328 0,00025 0,19121 0,35428

L3-2 -0,10382 -0,09723 -0,05415 -0,06514 0,11167 -0,00174 -0,00168

L4-2 -0,11289 -0,10065 -0,07300 -0,06596 -0,00063 0,48508 0,39294

L5-4 -0,04458 -0,03975 -0,02370 -0,03324 -0,00025 -0,19084 0,64622

Tabela 28 - Matriz das sensibilidades para o trânsito de potência reactiva ki

Os resultados obtidos para os desvios de potência reactiva e para o valor do trânsito

de potência reactivo difuso no sentido ki, são apresentados de seguida.

a c

~ΔQ21 -0,02453 0,03057

~ΔQ31 -0,05678 0,02628

~ΔQ41 -0,03363 0,03552

~ΔQ51 -0,02801 0,02894

~ΔQ32 -0,03072 0,02123

~ΔQ42 -0,05654 0,04664

~ΔQ54 -0,04059 0,03966

Tabela 29 - Desvios da potência reactiva ki

19

a b c

~Q21 0,01083 0,03536 0,06593

~Q31 -0,11368 -0,05690 -0,03062

~Q41 -0,08052 -0,04689 -0,01137

~Q51 -0,08739 -0,05938 -0,03044

~Q32 -0,05385 -0,02313 -0,00190

~Q42 -0,15800 -0,10146 -0,05482

~Q54 -0,14117 -0,10058 -0,06092

Tabela 30 - Trânsito de potência reactiva ki difuso, em p.u.

Figura 5 - Representação gráfica do trânsito de potência reactiva difuso, no sentido ki

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,18 -0,15 -0,12 -0,09 -0,06 -0,03 0,00 0,03 0,06 0,09

Gra

u d

e P

ert

en

ça

Potência Transmitida (p.u.)

Trânsito de Potência Reactiva

~Q21 ~Q31 ~Q41 ~Q51 ~Q32 ~Q42 ~Q54

20

Perdas Activas Difusas

Para calcular as perdas activas temos de começar por calcular a matriz das

sensibilidades das perdas activas, que irá ser formada pela soma das duas matrizes das

sensibilidades do trânsito de potência activa no sentido ik e ki. O resultado dessa soma é

apresentado em seguida:

A-Perdas

L1-2 -0,01226 -0,01093 -0,00639 -0,00769 -0,00007 -0,00020 -0,00020

L1-3 0,00034 -0,00115 0,00018 0,00021 -0,00091 0,00001 0,00001

L1-4 0,00043 0,00038 -0,00112 -0,00088 0,00000 -0,00166 -0,00135

L1-5 0,00163 0,00145 -0,00256 -0,00534 0,00001 -0,00188 -0,00337

L2-3 -0,00851 -0,01119 -0,00444 -0,00534 -0,00044 -0,00014 -0,00014

L2-4 -0,01019 -0,00908 -0,02236 -0,02033 -0,00006 -0,00417 -0,00348

L4-5 -0,00138 -0,00123 0,00176 -0,00957 -0,00001 0,00056 -0,00276

Tabela 31 - Matriz das sensibilidades das perdas activas

O próximo passo é calcular os desvios das perdas activas, para isso, temos de aplicar

a seguinte expressão:

ΔP�<=>?@A = �A<=>?@A� × [ΔZ�] O resultado obtido, aplicando então a expressão é:

Δ~P a c

L1-2 -0,00310 0,00249

L1-3 -0,00006 0,00017

L1-4 -0,00031 0,00024

L1-5 -0,00105 0,00076

L2-3 -0,00215 0,00189

L2-4 -0,00525 0,00354

L4-5 -0,00118 0,00086

Tabela 32 – Desvios das perdas activas

Para obter o valor das perdas activas difusas precisamos do valor central das

perdas, valor esse que como todos os outros valores centrais, é retirado do Power World.

Nó i Nó k Perdas Activas ctr Perdas Reactivas ctr

1 2 0,00446 0,01339

1 3 0,00010 0,00031

1 4 0,00019 0,00058

1 5 0,00130 0,00390

2 3 0,00373 0,01119

2 4 0,00888 0,02665

4 5 0,00259 0,00778

Tabela 33 – Valores centrais das perdas activa e reactiva

21

Agora temos apenas que somar o valor central das perdas activas, aos desvios e

temos as perdas activas difusas.

~P a b c

L1-2 0,00137 0,00446 0,00695

L1-3 0,00005 0,00010 0,00027

L1-4 -0,00011 0,00019 0,00044

L1-5 0,00025 0,00130 0,00206

L2-3 0,00158 0,00373 0,00562

L2-4 0,00363 0,00888 0,01242

L4-5 0,00141 0,00259 0,00345

Tabela 34 – Perdas activas difusas

Figura 6 – Representação gráfica das perdas activas difusas

Podemos observar que na linha 1-4, temos perdas com valor mínimo negativo, que

apesar de apresentar um valor em módulo muito pequeno, não deveria acontecer, já que

não pode haver perdas negativas. Nota-se facilmente também que é na linha 2-4 que há

mais perdas, esta informação poderá conduzir a algumas decisões importantes

relativamente ao futuro da rede.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,001 0,004 0,008 0,012

Gra

u d

e P

ert

en

ça

Valor das Perdas (p.u.)

Perdas Activas

L1-2 L1-3 L1-4 L1-5 L2-3 L2-4 L4-5

22

Perdas Reactivas Difusas

Para as perdas reactivas difusas a metodologia é a mesma das perdas activas, sendo

que por isso apenas apresentamos os resultados.

A-Q

L1-2 -0,03677 -0,03278 -0,01918 -0,02307 -0,00021 -0,00061 -0,00060

L1-3 0,00102 -0,00346 0,00053 0,00064 -0,00272 0,00002 0,00002

L1-4 0,00129 0,00115 -0,00337 -0,00264 0,00001 -0,00499 -0,00406

L1-5 0,00489 0,00436 -0,00767 -0,01603 0,00003 -0,00564 -0,01011

L2-3 -0,02553 -0,03357 -0,01332 -0,01602 -0,00132 -0,00043 -0,00041

L2-4 -0,03057 -0,02725 -0,06708 -0,06100 -0,00017 -0,01250 -0,01045

L4-5 -0,00414 -0,00369 0,00529 -0,02871 -0,00002 0,00167 -0,00828

Tabela 35 - Matriz das sensibilidades das perdas reactivas

Δ~Q a b c

L1-2 -0,00930 0 0,00746

L1-3 -0,00017 0 0,00051

L1-4 -0,00092 0 0,00073

L1-5 -0,00315 0 0,00227

L2-3 -0,00646 0 0,00566

L2-4 -0,01575 0 0,01061

L4-5 -0,00354 0 0,00258

Tabela 36 - Desvios das perdas reactivas

Os valores centrais da potência reactiva já haviam sido apresentados, podemos

encontrá-los na tabela 33.

~Q a b c

L1-2 0,00410 0,01339 0,02085

L1-3 0,00014 0,00031 0,00082

L1-4 -0,00034 0,00058 0,00131

L1-5 0,00074 0,00390 0,00617

L2-3 0,00473 0,01119 0,01685

L2-4 0,01090 0,02665 0,03726

L4-5 0,00424 0,00778 0,01036

Tabela 37 - Perdas reactivas difusas

23

Figura 7 - Representação gráfica das perdas reactivas difusas

Para as perdas reactivas a interpretação é a mesma que para as perdas activas, até

porque os resultados são semelhantes, não em valor absoluto, mas comparando as duas

representações gráficas, reparamos que apresentam formas semelhantes.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-0,001 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

Gra

u d

e P

ert

en

ça

Perdas Reactivas (p.u.)

Perdas Reactivas

L1-2 L1-3 L1-4 L1-5 L2-3 L2-4 L4-5

24

Trânsito de Potências DC Difuso

Para que se possa fazer uma comparação fundamentada entre o trânsito de

potência activa difuso AC e DC, vamos apresentar os resultados para o DC, obtidos pelo

método das sensibilidades.

a b c

L1-2 -0,3695 -0,2873 -0,1847

L1-3 0,0737 0,0929 0,1613

L1-4 0,0199 0,0365 0,0396

L1-5 0,1159 0,1179 0,1038

L2-3 0,2863 0,2271 0,1587

L2-4 0,5841 0,4856 0,3366

L4-5 0,4041 0,3621 0,2962

Tabela 38 – Trânsito de potência activa difuso DC, em p.u.

Devemos ter em atenção que neste caso não são consideradas perdas.

Figura 8 – Trânsito de potências activas difusas DC

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-0,40 -0,20 0,00 0,20 0,40 0,60

Gra

u d

e P

ert

en

ça

Potência Transmitida (p.u.)

Trânsito de Potências Difuso DC

L1-2

L1-3

L1-4

L1-5

L2-3

L2-4

L4-5

25

Conclusões

Atendendo aos resultados obtidos, podemos começar por concluir que os valores

dos trânsitos de potência nos sentidos ik e ki, são semelhantes, sendo que seriam sempre

algo diferentes devido às perdas existentes nas linhas. Comparando também estes valores

com os obtidos no trânsito de potência activa DC, também se nota que os valores são

semelhantes, apesar de um pouco diferentes. Isso pode dever-se ao facto de não serem

consideradas perdas no DC.

Concluímos também que para resolver o trânsito de potências difuso DC, temos de

utilizar o método das sensibilidades, já que pelo outro método obtemos valores errados.

Este método é muito útil para a determinação dos trânsitos de potência, porque em

grandes redes permite que não se tenha de calcular o trânsito de potências para todos os

casos possíveis, o que seria moroso e mais complicado a nível de tratamento de

informação. Podemos afirmar que os números difusos representam com bastante

fidelidade os resultados possíveis para cada estado.

26

Referências

[1] V. Miranda, “Interval and fuzzy power flows”, Fevereiro 1997

[2] V. Miranda, M. A. Matos and J. T. Saraiva, "Fuzzy Load Flow – New Algorithms

Incorporating Uncertain Generation and Load Representation", in Proceedings of PSCC-

Power Systems Computation Conference, Graz, Austria, 1990

[3] J. T. Saraiva, N. Fonseca and M.A. Matos, "Fuzzy Power Flow – An AC Model

Addressing Correlated Data", 8º International Conference on Probabilistic Methods Applied

to Power Systems, Iowa State University, Ames, Iowa, September 12-16,2004

[4] J. T. Saraiva, Algoritmos de Fuzzy Power Flow e Aplicações, Janeiro 2000