e.BOOK: QUESTÕES DO ENADE COMENTADAS

Curso: Licenciatura em Matemática

Organizador(es): Duelci Aparecido de Freitas Vaz

SUMÁRIO

QUESTÃO Nº 9

Autor(a): RICHARD DE SOUZA COSTA

QUESTÃO Nº 10

Autor(a): JOELMIR DIVINO C FELICIANO VILELA

QUESTÃO Nº 11

Autor(a): MÁRCIO MARIANO DA SILVA QUESTÃO Nº 12

Autor(a): SILVIA CRISTINA BELO E SILVA QUESTÃO Nº 13

Autor(a): RENATO RESENDE BORGES

QUESTÃO Nº 14

Autor(a): LEONARDO ANTONIO SOUTO QUESTÃO Nº 15

Autor(a): JOÃO EDUARDO REIS

QUESTÃO Nº 16

Autor(a): BIANKA CARNEIRO LEANDRO QUESTÃO Nº 17

Autor(a): DANILLO FLUGGE DE SOUZA

QUESTÃO Nº 18

Autor(a): DANIEL ANTÔNIO MENDONÇA DA SILVA QUESTÃO Nº 19

Autor(a): CARMEM LÚCIA SOARES DE SOUZA

QUESTÃO Nº 20

Autor(a): NATALIA SILVA NASCIMENTO

QUESTÃO Nº 21

Autor(a): RICHARD DE SOUZA COSTA

QUESTÃO Nº 22

Autor(a): RAYNER FERREIRA BARBOSA DA COSTA

QUESTÃO Nº 23

Autor(a): BRUNNA BRITO PASSARINHO

QUESTÃO Nº 24

Autor(a): SÉRGIO REIS FERNANDES QUESTÃO Nº 25

Autor(a): REGINA ISHIBASHI

QUESTÃO Nº 26

Autor(a): FABIANA CHAGAS

QUESTÃO Nº 27

Autor(a): FANG CHOU LEE

QUESTÃO Nº 28

Autor(a): GABRIELLA BARROS VIANA MARQUES GONÇALVES

QUESTÃO Nº 29

Autor(a): BERCHOLINA HONORATO ALVES

QUESTÃO Nº 30

Autor(a): BRUNNA BRITO PASSARINHO

QUESTÃO Nº 31

Autor(a): LYGIANNE BATISTA VIEIRA

QUESTÃO Nº 32

Autor(a): SILVIA CRISTINA BELO E SILVA

QUESTÃO Nº 33

Autor(a): SILVIA CRISTINA BELO E SILVA QUESTÃO Nº 34

Autor(a): SAMUEL LIMA PICANÇO

QUESTÃO Nº 35

Autor(a): SAMUEL LIMA PICANÇO

QUESTÃO Nº 09

O conjunto M2(Z) é formado pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas inteiras. Esse conjunto é fechado sob as operações usuais de soma e multiplicação de matrizes, uma vez que as entradas das matrizes resultantes da soma e da multiplicação são números inteiros. Com relação à estrutura algébrica desse conjunto com as operações descritas, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas. I. O conjunto M2(Z), munido das operações usuais de soma e multiplicação, forma um anel.

PORQUE II. O conjunto M2(Z), munido da operação usual de soma de matrizes, forma um grupo e existe o elemento unidade dado pela matriz identidade de ordem 2. A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: (A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. (B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. (C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. (D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. (E) As asserções I e II são falsas.

Gabarito: B

Tipo de questão: Objetiva

Conteúdo avaliado: Estruturas Algébricas, Anéis, Grupos

Autor(a): Richard de Souza Costa

Comentário: RESOLUÇÃO Asserção I: PROPOSIÇÃO VERDADEIRA Para indicar que consideramos no conjunto M2(Z) as operações usuais de adição (+) e multiplicação (.), escrevemos (M2(Z), +, .). Este conjunto será considerado anel, se obedecer os seguintes axiomas, conhecidos como axiomas de anel.

1. Comutatividade da adição 2.Associatividade da adição 3. Existência de elemento neutro para a adição 4. Existência de elemento simétrico em relação à adição 5. Associatividade da multiplicação 6. Distributividade da multiplicação em relação à adição Vamos demonstrar cada um deles para a estrutura citada e para isso vamos fixar as seguintes notações: X = [xij], Y=[y ij], Z = [zij] pertencentes ao conjunto M2(Z), onde xij, yij, zij são inteiros com 2121 ≤≤≤≤ jei . Axioma (i): X+Y = Y+X X+Y = [x ij]+[y ij] = [xij + yij] = [yij + xij] = [yij] + [x ij] = Y+X Axioma (ii): X + (Y + Z) = (X + Y) + Z X + (Y + Z) = [xij] + ([yij] + [zij]) = [xij] + [yij + zij] = [xij + (yij + zij)] = [(xij + yij) + zij] = [xij + yij] + [zij] =([xij] + [yij]) + [zij] = (X + Y) + Z Axioma (iii): Elemento Neutro

Tomemos E = [0] =

00

00. Para todo ( )ZMX 2∈ temos E + X = X + E = X.

Axioma (iv): Elemento Simétrico Tomemos [ ] ( )ZMxX ij 2∈−=− . Então,

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ExxxxXX ijijijij ==−=−+=−+ 0

Axioma (v): ( ) ( )ZXYYZX = Escrevendo

[ ][ ] [ ]ijijij azyYZ == . , com ∑=

=2

1

.t

tjitij zya

( ) [ ][ ] [ ]ijijij baxYZX == . , com kt

[ ][ ] [ ]ijijij cyxXY == . , com ∑=

=2

1

.k

kjikij yxc

( ) [ ][ ] [ ]ijijij dzcZXY == . , com ∑=

=2

1

.t

tjitij zcd

devemos provar que ijij db =

( )

( )

( )

ij

n

ttjit

tjt k

ktik

tjk t

ktik

k ttjktik

k ttjktik

kkjikij

d

zc

zyx

zyx

zyx

zyxaxb

=

=

=

=

=

==

∑

∑∑

∑∑

∑∑

∑ ∑∑

=

= =

= =

= =

= ==

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

.

..

..

.

Axioma (vi): ( ) ( ) YZXZZYXeXZXYZYX +=++=+ .. ,

( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ][ ] [ ]ijijijijijijij azyxzyxZYX =+=+=+ .. , onde

( ) ( ) ∑∑∑∑====

+=+=+=2

1

2

1

2

1

2

1 kkjik

kkjik

kkjikkjik

kkjkjikij zxyxzxyxzyxa

Por outro lado, [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]ijijijijijij cbzxyxXZXY +=+=+ . , onde

∑∑ ===

kjikijt

kjikij zxceyxb2

1

.

Segue que, ijijij acb =+ e então

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )ZYXacbcbXZXY ijijijijij +==+=+=+ .

Portanto, ( )( ).,,2 +ZM é um anel. Asserção II: PROPOSIÇÃO VERDADEIRA Para demonstrarmos a veracidade, vamos dividi-la em duas partes. i -"O conjunto M2(Z), munido da operação usual de soma de matrizes, forma um grupo." Representamos essa estrutura por ( )( )+,2 ZM e a demonstração de que essa estrutura algébrica forma um grupo é análoga ao que foi feito na assertiva anterior para os axiomas de anel para a operação de adição, com possível exceção da comutatividade, ou seja: 1.Associatividade da adição 2. Existência de elemento neutro para a adição 3. Existência de elemento simétrico em relação à adição. e são demonstrados de maneira análoga ao que foi feito para a asserção I, o que garante que M2(Z) forma realmente um grupo. ii - "Existe o elemento unidade dado pela matriz identidade de ordem 2."

Seja 1 a unidade de Z. Tomemos

=

10

01I e note que

jiparaaea ijii ≠== 01 com 2121 ≤≤≤≤ jei . Dado [ ] ( )ZMxX ij 2∈= temos:

[ ][ ] [ ] kjk

ikijijijij axbondebaxIX .,..2

1∑

=

=== .

Como 1,0 =≠= jjkj aejkparaa , temos que

∑=

====2

1

1...k

ijijjjijkjikij xxaxaxb .

Assim, [ ] [ ]ijij xb = , ou seja, X . I = X.

Analogamente, prova-se que I . X = X, portanto

=

10

01I é a unidade de

( )ZM 2 . Assim, podemos dizer que as Asserções I e II são proposições verdadeiras, porém a II não é justificativa correta da I, pois o fato da estrutura algébrica ( )( )+,2 ZM ser um grupo, não gera condição suficiente para garantir a estrutura ( )( ).,,2 +ZM como anel. O contrário disso seria verdadeira, pois a estrutura de anel garantiria os axiomas de adição necessárias para demonstrar a estrutura algébrica como grupo. Referências: Álgebra I / JANESCH, Oscar Ricardo; TANEJA, Inder Jeet - 2 ed. rev - Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM,2011 Álgebra II / JANESCH, Oscar Ricardo - Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM,2008

QUESTÃO Nº 10

No contexto de investimento e formação de capital, se ���� representa o montante do capital de uma empresa existente em cada instante � e ���� representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então

� = � ����� �

Fornece o montante acumulado no período � ≤ � ≤ . Disponível em: http://www.ime.uerj.br. Acesso em 3 ago. 2014. (adaptado). Considere que a função ���� = ������ definida para � ≥ 1, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando ln �3� ≅ 1,1, o valor do montante acumulado no período 1 ≤ � ≤ 3 é igual a

A. R$ 1 100,00. B. R$ 2 100,00. C. R$ 2 950,00.

D. R$ 3 750,00. E. R$ 4 950,00.

Gabarito: C

Tipo de questão: fácil, difícil, média? Fácil/Média

Conteúdo avaliado: Integral por partes, integral definida e Teorema fundamental do Cálculo.

Autor (a): JOELMIR DIVINO CARLOS FELICIANO VILELA

Comentário: Essa questão está relaciona com a disciplina CÁLCULO DIFERENCIAL E

INTEGRAL I cursada por todos os alunos que fazem o curso de MATEMÁTICA (LICENCIATURA).

Esse tema é encontrado em todos os livros de CÁLCULO e estudado com frequência pelos alunos das áreas de exatas e afins.

Vamos analisar por partes esta questão, pois é necessário o conhecimento da teoria de limites, derivadas, integrais indefinidas, integrais por partes e por fim do Teorema Fundamental do Cálculo que define as integrais definidas.

1. A definição formal de Limite

Definição: Diremos que � é o limite de uma função �, quando � → �� se, para todo � > 0 existe > 0 tal que 0 < |� − ��| < ⇒ |���� − �| < �

2. A derivada de uma função.

Definição: A derivada de uma função $ = ���� é a função denotada por �%���, (lê-

se � linha de �, tal que seu valor em qualquer � ∈ '��� é dado por: �%��� = lim∆+→� ,�+-∆+�.,�+�∆+ , se limite existir.

Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos

de seu domínio. 3. A definição de Integral indefinida.

Uma função /��� para a qual /%��� = ����para todo � pertencente ao domínio de � é uma primitiva (ou integral indefinida) de �. Onde a notação da integral indefinida e dada por:

kxFdxxf +=∫ )( )(

Para exprimir o fato de toda primitiva de ���� ser da forma /��� + 1.

O símbolo ∫ chama-se sinal de integração e indica que queremos encontrar a

forma mais genérica da primitiva da função que o segue. O sinal de integração lembra um “S” alongado, que representa “SOMA”. Mais adiante veremos uma relação tão importante entre derivadas e somas, que recebe o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Na expressão kxFdxxf +=∫ )( )( , a função ���� a ser integrada denomina-se

integrando. A constante 1 (não especificada), acrescentada a /��� a fim de tornar mais genérica à expressão da primitiva, denomina-se constante de integração. O símbolo � que segue o integrando serve para indicar que � é a variável em relação a qual efetuaremos a integração.

4. Definição da integral indefinida (ou primitiva) uti lizando a notação de integral

∫ ∈∀=⇔+= Dom(f) x f(x), F' (x) k F(x) f(x) dx

5. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES

Suponhamos � e 2 funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo �. Temos, pela regra do produto:

[����. 2���]% = �%���. 2��� + ����. 2%��� ou ����. 2%��� = [����. 2���]% − �%���. 2���

Supondo, então, que �%���. 2��� admita primitiva em � e observando que ����. 2��� é uma primitiva de [����. 2���]%, então �%���. 2��� também admitirá primitiva em � e

∫ ⋅∫ ⋅=⋅ g(x) dx f'(x)g(x) - f(x)g'(x) dx f(x) (1)

que é a regra de integração por partes. Fazendo 6 = ���� e 7 = 2���, teremos 6 = �%��� e 7 = 2% ����, o que nos permite escrever a regra (1) na seguinte forma usual:

∫ ⋅∫ ⋅=⋅ du vv - udv u

Suponha, agora, que se tenha que calcular ∫ ⋅ dxxx )()( βα . Se você perceber que,

multiplicando a derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função que possui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes.

6. Teorema Fundamental do Cálculo

Se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então:

F(b)-F(a) dxf(x)ba =∫ .

Notas: • A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral

indefinida, obtidos para � = � e � = , respectivamente. • É possível provar que toda função contínua em [�, ] é integrável em [�, ]. Temos então pelo TFC que, se f é contínua em [�, ] e / é uma primitiva de � em [�, ], então:

F(b)-F(a) dxf(x)ba =∫

• É usual denotar a diferença )]()([ aFbF − por b

a )]([ xF . Assim,

F(b)-F(a)[F(x)] dxf(x) ba

ba ==∫

7. Comentários e Resolução da Questão 10.

Após analisarmos as teorias matemática apresentadas acima, temos a seguinte situação para ser resolvida. � = 8 ������ , para � ≤ � ≤ .

Onde ���� = �ln ���, para � ≥ 1 e � ≤ � ≤ 3.

Assim, substituindo ���� na integral definida acima juntamente com seus respectivos intervalos temos, � = 8 �������9: , para 1 ≤ � ≤ 3.

Neste caso temos uma multiplicação entre duas funções � e ln ���. Assim para

podermos resolver esta integral utilizaremos e teoria de integrais por partes citada anteriormente que nos apresenta a seguinte definição:

Fazendo 6 = ���� e 7 = 2���, teremos 6 = �%��� e 7 = 2% ����, o que nos permite escrever a integral da seguinte forma usual:

∫ ⋅∫ ⋅=⋅ du vv - udv u

Neste caso, teremos que 6 = ln���⇒ 6 = :; � e

7 = �� ⇒ 7 = � �� = �<2

Utilizando a definição do Teorema Fundamental do Cálculo para resolver

problemas de integrais definidas e escrevendo a integral por partes conforme a definição acima, temos:

Observação: a questão informa que ��3 ≅ 1,1 e por definição ��1 = 0, temos que:

� = 6. 7 − � 769: = �<2 . ln��� |:9 − � �<2 . 1� � =9

:

= �<2 . ln��� |:9 − 12 � �� = �<2 . ln��� − �<4 |:9 =9:

= 3<2 . ��3 − 3<4 − ?1<2 . ��1 − 1<4 @ = 92 . 1,1 − 94 − B12 . 0 − 14C =

= 18.1,1 − 9 + 14 = 20,8 − 94 = 11,84 = 2,95

Como a questão é dada em milhares de reais, então 2,95 milhares de reais

representam a resposta da letra C de R$ 2.950, 00.

Referências:

1. FLEMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo B, São Paulo,

Makron. 1986

2. MORETIN, P. A.; HASSAN, S.; BUSSAB, W. O. Calculo; funções de uma

variável, Ed 4, São Paulo. Saraiva. 2003

3. SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática básica para cursos

superiores. São Paulo; Atlas, 2007.

4. SWOKOWSKI, Earl William. O calculo com geometria analítica. 2 ed. São

Paulo, Makron, 1994.

5. WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo; Pearson Markron

Books, 2000.

QUESTÃO Nº 11

Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e borracha, de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, procuraram resolver o problema: “A partir das compras efetuadas e dos respectivos valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha?”. Pra isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das mercadorias. Esse sistema de equações é

a) Possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis. b) Impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de

solução. c) Possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da

caneta, do lápis e da borracha. d) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta,

do lápis e da borracha é igual a cinco vezes o preço do lápis subtraído de R$ 9,00.

e) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do lápis e da borracha é igual a 1 5⁄ da adição do preço da borracha com R$ 28,00.

Gabarito: E

Tipo de questão: Múltipla escolha

Conteúdo avaliado: Sistemas Lineares

Autor(a): Márcio Mariano

Comentário: Referências:

QUESTÃO Nº 12

Deseja-se pintar a superfície externa e lateral de um monumento em forma de um parabolóide que pode ser descrita pela equação z = �< + $<, situada na região do espaço de coordenadas cartesianas (x, y, z) dada pela condição z ≤ 9. Os eixos coordenados estão dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície a ser pintada.

A quantidade de tinta, em litros, necessária para se pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla

A 4 89� 8 rH[4I< + 1]9� dr dθ

B 6 89� 8 x< + y< √N.+O� dr dθ

C 4 8P <Q� 8 rH[4I< + 1]9� dr dθ

D 6 8P <Q� 8 rH[4I< + 1]9� dr dθ

E 6 8P <Q� 8 rH[4I< + 1]9.9 dr dθ

Gabarito:

A área de uma superfície é dada por:

A = ∬ |6S � 6T|U dA = 8VW 8 |6S � 6T|� dr dθ.

Então, primeiramente iremos parametrizar a superfície dada.

A superfície dada é um parabolóide descrito pela equação z = �< + $<. As coordenadas cilíndricas, fornece uma parametrização. Um ponto típico do parabolóide tem:

x = r sin θ

y = r cos θ

z = �<+$< = I<

Como z<9, então 0<r<3.

Logo:

u(r,θ) = (x(r, θ), y(r, θ), z(r, θ)), 0≤ r≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2π

u(r,θ) = (r sin θ), r cos θ), I<),

Calculando o produto vetorial 6S � 6T, obtemos:

6S � 6T = X Y Z 1[�\[I [$\[I []\[I[�\[^ [$\[^ []\[^_ = ` Y Z 1sin ^ bcd^ 2IIbcd^ −IdY�^ 0 e

Portanto,

6S � 6T = (2I<sin θ, 2I<cos θ, - r dY�<� − r bcd<� ), e:

|6S � 6T| = H4If[dY�<+bcd<] + I<

= √4If + I<

= HI<[4I< + 1] = rH[4I< + 1].

Logo,

A = ∬ |6S � 6T|U dA = 8<P� 8 rH[4I< + 1]9� dr dθ = 4 8P <Q� 8 rH[4I< + 1]9� dr dθ

Como gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área da superfície que deve ser pintada, a quantidade de tinta, em litros,necessária para pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral,

�1,5�. � 4 8P <Q� 8 rH[4I< + 1]9� dr dθ )=

6 8P <Q� 8 rH[4I< + 1]9� dr dθ

Portanto o item correto é o item D.

Tipo de questão: Via cálculos

Conteúdo avaliado: Cálculo de superfícies.

Autor(a): Silvia Cristina Belo e Silva.

Comentário: Além de ser uma questão interdisciplinar, envolvendo os conteúdos de Geometria Analítica e Calculo 3, ainda conseguiu trazer para o nosso cotidiano o conteúdo estudado. Referências: : Calculo 2, GEORGE B. THOMAS.

QUESTÃO Nº 13

Muitos fenômenos probabilísticos seguem uma lei de distribuição denominada Normal, na qual os valores mais frequentes se encontram próximos à média. A curva que representa essa distribuição tem a forma de um sino, é simétrica em torno da média µ , tem nos eixos das abscissas uma assíntota horizontal e é determinada pela seguinte função de densidade:

2x21

2e

2

1)x(f

σµ−−

πσ=

Levando em consideração que cada curva de distribuição Normal é determinada pela sua média µe pelo seu desvio-padrão σ , Gauss desenvolveu uma forma de padronizá-las em uma única Normal, caracterizada por ter média 0 e desvio-padrão 1. Assim, a

Normal Padrão é determinada pela função 2z2

e2

1)z(f

−

π= , na qual cada um dos

valores de x da função de distribuição Normal ),(N σµ é convertido em uma nova variável adimensional, designada genericamente por z, a qual tem distribuição Normal

N(0,1). A conversão dessa variável se dá por meio da seguinte expressão: σ

µ−= xz .

Sabe-se que a área sob o gráfico da função de densidade de probabilidade em determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo. Assim, considera-se que a área entre a curva Normal e a assíntota determinada pelo eixo das abscissas é igual a 1. De acordo com dados obtidos no portal do INEP/MEC relativos a 11.303 estudantes de Licenciatura em Matemática que realizaram a prova do Enade em 2011, a média e o desvio-padrão do desempenho geral desses estudantes foram, respectivamente, iguais a 32,4 e 11,6 pontos. Considerando que a distribuição do desempenho desses alunos no ENADE 2011 pode ser aproximada pela distribuição Normal, assinale a alternativa cuja expressão fornece o percentual de estudantes com desempenho inferior a 20,8 ou superior a 55,6 pontos.

A) ∫−

2

1

dz)z(f

B) ∫6,55

8,20

dz)z(f

C) ∫−

−2

1

dz)z(f1

D) ∫4,32

6,11

dz)z(f

E)

+− ∫∫

∞−

∞− 2

1

dz)z(fdz)z(f1

Gabarito: Queremos descobrir o percentual de estudantes com desempenho inferior a 20,8 pontos ou superior a 55,6 pontos. Graficamente, temos a seguinte situação:

)8,20X(P < ou )6,55X(P > Utilizando a expressão que transforma para a norma padronizada, temos:

σµ−= X

Z

8,20X1 = ⇒ 16,11

4,328,20Z −=−=

6,55X2 = ⇒ 26,11

4,326,55Z =−=

Dessa forma:

)8,20X(P < + )6,55X(P > = )1Z(P −< + )2Z(P > = 1 - )2Z1(P <<− = 1 -∫−

2

1

dz)z(f .

Graficamente, para a distribuição normal padronizada, temos:

= -

onde 2z

21

e2

1)z(f

−

π=

Resposta correta: Alternativa C

Tipo de questão: Objetiva

Conteúdo avaliado: Distribuição Normal de Probabilidades

Autor(a): Prof. M. Sc. Renato Resende Borges

Comentário: “ A distribuição normal foi estudada pela primeira vez no século XVII, quando se observou que os padrões em erros de medidas seguiam uma distribuição simétrica em forma de sino. Ela foi apresentada pela primeira vez em forma

55,6 32,4

20,8 x

0

2 0

- 1 z 2 z

0 - 1

Área = 1

matemática em 1733, por DeMoivre, que deduziu como forma limite da distribuição binomial. A distribuição era, também, conhecida por Laplace antes de 1775. Por um erro histórico tem sido atribuída a Gauss, cuja primeira referência publicada relativa a essa distribuição apareceu em 1809, e o termo distribuição gaussiana tem sido usado com frequência. Várias tentativas foram feitas durante os séculos XVIII e XIX para estabelecer essa distribuição como a lei de probabilidade subjacente a todas as variáveis aleatórias contínuas; assim o nome normal passou a ser usado.” Texto retirado do livro: Probabilidade e Estatística na engenharia / William W. Hines – Rio de Janeiro: LTC, 2013 Comentários sobre a questão: A distribuição normal é uma das mais importantes dentro da Estatística e com várias aplicações nas áreas de Engenharia, Administração, Economia, Ciências Contábeis e nas áreas da saúde em geral. A questão elaborada foi de fácil resolução, pois o examinador colocou a parte teórica no seu enunciado, restando apenas ao aluno ter uma breve noção do cálculo de probabilidades (área abaixo da curva), que é dado através de uma integral definida. Referências: Probabilidade e Estatística na engenharia / William W. Hines – Rio de Janeiro: LTC, 2013

QUESTÃO Nº 14

Um problema muito comum em geometria é o das trajetórias ortogonais, o que

equivale a dizer que, dada uma curva de uma família, ela intercepta uma curva de outra

família de modo que suas tangentes são perpendiculares entre si, no ponto de

interseção. Esse problema pode ser abordado também, pelo cálculo diferencial e

integral e, consequentemente, pelas equações diferenciais ordinárias.

Com o auxilio dessas informações, conclui-se que, para c e k números reais não nulos,

no plano de coordenadas cartesianas �g$, a família de trajetórias ortogonais a família

de hipérboles �$ = b é dada por

A) � − $< = 1. B) �< + $ = 1. C) �< − $ = 1. D) �< + $< = 1. E) �< − $< = 1.

Gabarito: E.

Tipo de questão: média.

Conteúdo avaliado: Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e Equações

Diferenciais Exatas.

Autor(a): Leonardo Antônio Souto.

Comentário:

A questão exige do aluno conhecimento básicos de Equações diferenciais ordinárias

de primeira ordem. Além disso, o aluno precisa aplicar os conhecimentos de Cálculo

Diferencial para trabalhar com trajetórias ortogonais a uma família de curvas, como

derivada implícita, inclinação da reta tangente e inclinação da reta normal ao gráfico de

uma curva.

Suponha que a função $ = $��� seja dada implicitamente pela equação h��, $� = b, onde c é constante real. Derivando implicitamente a equação em relação à x, obtemos

� h��, $� = � b ⇒ h� = [h[� �� + [h[$ $� = 0 ⇒ [h[� + [h[$ $� = 0. Tomando h� = j��, $� k [h[$ = l��, $�, Concluímos que a função $ = $��� dada implicitamente pela equação h��, $� = b

será solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem

j��, $� + l��, $� $� = 0 ⇔ j��, $�� + l��, $�$ = 0. �1�

Definição 1. A equação diferencial �1� será exata se existir uma função h = h��, $�

tal que

h� = j��, $� k [h[$ = l��, $�, Onde j��, $� e l��, $�são funções contínuas num conjunto aberto R do ℝ<.

Neste caso, as soluções da equação $ = $��� ou x= ��$� serão dadas implicitamente

pelas equações h��, $� = b. Teorema 1. Condição necessária e suficiente para a equação �1� ser exata numa região

R do ℝ<. Suponha que as derivadas parciais de j��, $� e l��, $� sejam contínuas num

conjunto aberto R do ℝ<. Então

j��, $�� + l��, $�$ = 0

será exata em R se e somente se VoVp = qrq+ ks t.

Agora, vamos obter um método para resolver equações exatas. Seja a equação

j��, $�� + l��, $�$ = 0. Ela será exata quando se existir um função h��, $� tal que:

uvwh� = j��, $�[h[$ = l��, $�

Integrando a primeira equação em relação a x, obtemos:

h��, $� = � j��, $�� + 1�$�. �2�

Para obter x�$�, derivamos o 2º membro da equação anterior em relação a y e

igualamos a l��, $� que é igual a qyqp . Logo

[[$ B� j��, $��C + 1%�$� = l��, $�. Integrando a equação acima em relação a y, obtemos 1�$� a menos de uma constante.

Substituindo 1�$� na equação �2�, obtemos h��, $�. A solução $ = $��� é dada

implicitamente por h��, $� = b. Observação: Às vezes pode começar integrando a 2ª equação em relação a y.

Voltando ao exercício, considere a família de curvas descritas por /��, $� = b, onde c

é constante. Para cada curva na família, a inclinação da reta tangente num ponto da

curva é dada por:

$� = − [/[� [/[$z

A inclinação de uma curva que é ortogonal a esta curva é dada pela negativa da inversa

da inclinação da reta tangente, ou seja,

$� = [/[$ [/[�z �3�. Seja h��, $� = 1 a família de curvas ortogonais a família de curvas /��, $�. Da

equação �3� obtemos a equação diferencial

[/[$ ��, $�� − [/[� ��, $�$ = 0 �4�. Usando a equação �4�, iremos determinar as trajetórias ortogonais da hipérbole �$ =b. Denotando /��, $� = �$ e derivando F em relação a x e y respectivamente,

obtemos

[/[� ��, $� = $ k [/[$ ��, $� = �. Substituindo as derivadas acima na equação �4�, obtemos a família de curvas que serão

ortogonais a hipérbole �$ = b, que é a solução da equação diferencial ordinária �� − $$ = 0. Esta equação diferencial é exata, onde j��, $� = � k l��, $� = −$, pois

[j[$ ��, $� = [l[� ��, $� = 0.

Para obtemos as curvas h��, $�, temos:

uvw h� = �[h[$ = −$

Integrando a primeira equação em relação a x obtemos:

h��, $� = �<2 + 1�$�. �5� Derivando a equação anterior em relação y e igualando a

qyqp = −$, obtemos

[[$ ?�<2 @ + 1%�$� = −$ ⇔ 1%�$� = −$. Portanto, obtemos 1�$� = − pO< . Substituindo 1�$� na equação �5�, temos as trajetórias

ortogonais de �$ = b que são as curvas h��, $� dadas pelas hipérboles

�<2 − $<2 = b ⇔ �< − $< = 1, c�k 1 = 2b. Portanto, a alternativa correta é a letra E como queríamos demonstrar.

Referências:

1. GUIDORIZZI , Hamilton L. Um Curso de Cálculo, vol. IV. São Paulo: LTC,

2000

2. NAGLE, R. Kent; SAFF, Edward B. e SNIDER, Arthur David. Equações

Diferenciais, São Paulo: Pearson, 2012.

QUESTÃO Nº 15

Uma função diferenciável, f, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de 0 até x, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos (0,0), (x,y) e (x,0), em que y=f(x). A equação diferencial que descreve esta situação é

(A) xy’ – 9y = x. (B) xy’ – 9y = 0. (C) x2y’ – 9y = 0. (D) y’ – 9xy = 0. (E) y’ – 9x2y = 0.

Gabarito: (B)

Tipo de questão:

Conteúdo avaliado: interpretação de equação diferencial ordinária

Autor(a): João Eduardo Reis

Comentário: Uma idéia geométrica da situação do problema é visualizada na figura abaixo:

A área sob o gráfico de f e acima do eixo das abscissas, de 0 a x, é expressa

algebricamente pela integral definida:

Por outro lado, a área do triângulo com vértices nos pontos (0,0), (x,y) e (x,0) tem a expressão

Deste modo, dizer que a primeira área vale um quinto da segunda equivale a montarmos a seguinte equação:

Como nenhuma das alternativas tem integral em suas expressões, vamos derivar a última igualdade com respeito à x (em ambos os aldos):

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à esquerda da igualdade e a regra do produto de derivadas à direita, temos

Uma vez que f é apenas o nome de y como função de x, isto é, y=f(x), temos

Portanto, (B) é a alternativa correta.

Referências: W. Boyce; Richard DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 9ª Edição, Editora LTC, ISBN: 9788521627357.

QUESTÃO Nº 16

Considere uma função �: ℝ → ℝ, diferenciável em todo o seu domínio, com �′��� ≤ �, ∀� ∈ ℝ. Se ��1� = 1, então, pelo Teorema do Valor Médio, o valor máximo de ��3� é igual a

a) 3. b) 5. c) 7. d) 9. e) 11.

Gabarito: C

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Diferenciabilidade, Continuidade e Teorema do Valor Médio

Autor(a): Bianka Carneiro Leandro

Comentário: Esta questão envolve o conteúdo de diferenciabilidade, continuidade e o Teorema do Valor Médio. Teorema: Se a função � é derivável no ponto � então a função � é contínua no ponto �. Teorema do Valor Médio: Seja �: [�, ] → ℝ uma função contínua em seu domínio e derivável no intervalo ��, �. Então, existe b ∈ ��, � tal que �� � − ���� = �′�b�[ − �]. Sendo assim, como na questão a função �: ℝ → ℝ é diferenciável em todo o seu domínio, logo também é contínua em todo o seu domínio. Tendo-se [1,3] ⊂ ℝ e aplicando-se o Teorema do Valor Médio, neste intervalo, obtém-se ��3� − ��1� = �′�b�[3 − 1], com b ∈ �1,3�. Tem-se, por hipótese do exercício, ��1� = 1 e �′�b� ≤ b. Então ��3� − 1 ≤ 2b. Donde, ��3� ≤ 2b + 1,

com b ∈ �1,3�. Tem-se 2b + 1 ≤ 2 × 3 + 1 = 7, pois no máximo o valor de b é 3. Assim, ��3� ≤ 7. O que confere a resposta C.

1) Referências: Fleming, Diva Maria e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

2) Guidorizzi, Hamilton Luís. Um curso de Cálculo Vol. I. Ed. L.T.C., 2011. 3) Lima, Elon Lages. Curso de Análise Vol.1. Rio de Janeiro, Projeto Euclides,

2002.

QUESTÃO Nº 17

Como por hipótese a seqüência ���� satisfaz ��-: = +��-:, escrevamos seus enésimos

primeiros termos e observemos suas relações: �: = +�: , �< = +�< = +�:∙<, �9 = +O9 = +�/<9 = +�:∙<∙9, �f = +�f = +�/�f = +�:∙<∙9∙f, ⋮, �� = +��!. Desta forma, como �� > 0, por hipótese, e �� é constante. Então, lim�→� �� = lim�→�

���! = 0.

Gabarito: B

Tipo de questão: Objetiva

Conteúdo avaliado: Seqüências e Séries

Autor(a): Danillo Flugge

Comentário: Questão básica de Cálculo Diferencial, onde um aluno que já tenha estudado limite tem condição de resolvê-la. Na solução não utilizamos nenhum resultado elaborado, senão

a lógica própria da definição de seqüência. Referências: Lima, Elon Lagens. Curso de Análise; volume 1.12 edição,--Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2007.

QUESTÃO Nº 18

Em uma festa infantil, um grupo de 7 crianças- Ana, Beatriz, Carlos, Davi, Eduardo, Fernanda e Gabriela - reuniu-se próximo a uma mesa para brincar de "esconde-esconde", um jogo no qual uma criança é separada dos demais, que procuram locais para se esconder, sem que a escolhida as veja, pois essa tentará encontrá-las após algum tempo estabelecido previamente. Assim, era necessário escolher qual delas seria aquela que iria procurar todas as outras.

Para efetuar essa escolha, as crianças se dispuseram em um círculo na mesma ordem descrita anteriormente e, simultaneamente, mostraram um número de dedos das mãos. Os números de dedos mostrados foram somados, resultando em uma quantidade que vamos chamar de TOTAL. Ana começou a contar de 1 até o TOTAL,e, a cada número dito, apontava para uma criança da seguinte forma: 1- Ana, 2 - Beatriz, 3 - Carlos, 4 - Davi, e assim por diante. Quando chegasse ao número TOTAL, a criança correspondente a esse número seria aquela que iria procurar as demais.

Se o número TOTAL é igual a 64, a criança designada para procurar as demais é a)Ana. b)Beatriz. c)Carlos. d)Davi. e)Eduardo.

Gabarito: a)

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Algoritmo da Divisão.

Autor(a): Daniel Antônio Mendonça da Silva.

Comentário: Pré requisitos: Algoritmo da Divisão: Dados dois inteiros a e b, b>0, existe um único par de inteiros q e r tais que I) a = qb +r, com 0 ≤ r < b,

II) se b divide a então a = qb e r = 0, (q é chamado de quociente e r de resto da divisão de a por b). Observação:

Proposição 1: Seja N um número inteiro positivo. Ao realizarmos a divisão de N por 7 temos os seguintes resultados para o resto 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Resolução: Na figura abaixo temos a distribuição das 7 crianças. Onde Ana(A), Beatriz(B), Carlos(C), Davi(D), Eduardo(E), Fernanda(F) e Gabriela(G).

Vamos utilizar a tabela abaixo para organizar as informações.

Numeração/Contagem Nome Resto

1 Ana (A) 1

2 Beatriz (B) 2

3 Carlos (C) 3

4 Davi (D) 4

5 Eduardo (E) 5

6 Fernanda (F) 6

7 Gabriela (G) 0

Na primeira coluna temos a numeração das crianças, essa numeração é a ordem para realizar a contagem. A segunda coluna temos os nomes das crianças. E na terceira coluna, temos os restos {0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6} . Para escolher a criança desejada vamos usar o algoritmo da divisão e dividir o TOTAL por 7. Na segunda linha observamos que a criança Ana corresponde aos números 1 e 1, na terceira linha observamos que a criança Beatriz corresponde aos números 2 e 2 e assim sucessivamente. Como a Gabriela é a sétima criança, temos que a contagem são múltiplos de 7, logo o resto é 0. Com isso, se o resto for 1, sabemos que a criança é a Ana. Se o resto for 2, sabemos que é a Beatriz e assim sucessivamente. Se o resto for 0 a criança é a Gabriela. Sabemos que Total = 64, assim, 64 = 9x7 +1. Logo, sabemos que o resto = 1 e a criança escolhida é a Ana. Portanto, letra A. Referências: DOMINGUES, Hygino; IEZZI, Gelson. Álgebra Moderna. 4.ed. São Paulo: Editora Atual, 2003. Volume Único. Santos, José Plínio de Oliveira. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. Coleção matemática universitária.

QUESTÃO Nº 19

Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto uma situação problema, depois de modelada, recaiu num sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M. Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do sistema(Pa) era

igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (Pa) e (Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n. Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, avalie as informações que se seguem. I. A matriz M é singular. II. O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. III. È impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema modelado. IV. O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das sbmatrizes quadradas de M que tenham determinantes não nulos. È correto apenas o que se afirma em A I. B II. C I e III. D II e IV. E III e IV.

Gabarito: D

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Cálculo do posto de uma Matriz

Autor(a): Carmen Lúcia Soares de Souza

Comentário: A Afirmação I é falsa, pois uma matriz é dita singular se for uma matriz quadrada e não possuir inversa. A Afirmação II é verdadeira, pois se Pa = Pc = n, o sistema tem uma única solução. A Afirmacao III é falsa já que é a negação da Afirmação II que é verdadeira. A Afirmação IV é verdadeira, pois o posto de uma matriz A é dado pela maior ordem possivel das submatrizes quadradas de A com determinantes diferentes de zero. O item correto é o item D. Referências: BOLDRINI, Luis José e outros. Álgebra Linear. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1986.

QUESTÃO Nº 20

Considere uma parábola de foco / e reta diretriz . Denote por j um ponto pertencente

à parábola e por ' a sua projeção ortogonal na reta diretriz . Representado por I a reta bissetriz do ângulo /j�', avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.

I. A reta I é tangente à parábola no ponto j. PORQUE

II. Para qualquer ponto l pertencente à reta I, l ≠ j, a distância de l ao ponto ' é maior que a distância de l à reta .

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

A. As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

B. As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

C. A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. D. A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E. As asserções I e II são falsas.

Gabarito: A

Tipo de questão: Componente Específico/ Objetiva

Conteúdo avaliado: Geometria Analítica

Autor(a): Natália Silva Nascimento Araujo

Comentário: Primeiramente demostraremos que a segunda asserção é verdadeira. De fato, pois como mostra a figura abaixo, o segmento l����� é perpendicular a , já que representa a distância do ponto l a reta diretriz , logo forma um triângulo retângulo com hipotenusa l'����, que em triângulos retângulos é sempre maior do que a medida de qualquer outro lado. Concluímos então que a distância de l ao ponto ' é maior do que a distância de de l à reta . Agora, concluiremos não só que a primeira asserção é verdadeira mas que ela é justificada usando a segunda. De acordo com a figura, suponhamos que essa reta I não seja tangente a parábola no ponto j, ou seja, que existe um outro ponto de intersecção entre a reta e a parábola, que será chamado de l. Como I é bissetriz, o ângulo /j�l (de laranja) é igual ao ângulo 'j�l (de azul) e os segmentos /j���� e j'���� são iguais, por definição de parábola. Então temos que os triângulos /jl e 'jl são congruentes (pelo caso LAL), o que implica que os segmentos /l���� e 'l���� possuem mesmo comprimento. Mas o segmento /l���� é igual ao segmento �l���� (que representa a distância do ponto l a reta ), por definição de parábola, concluindo que os segmentos �l���� e 'l���� possuem mesmo tamanho, o que é impossível, como demonstrado anteriormente. Sendo assim, a reta I não pode interceptar a parábola em outro ponto, significando que I é tangente a parábola em j.

Referências: Livro: Vetores e Geometria Analítica – 2ª Edição; Paulo Winterle, 2014.

QUESTÃO Nº 21

No estudo de funções de várias variáveis reais, buscam-se informações sobre continuidade e diferenciabilidade, entre outras. Considere uma função de duas variáveis ℜ→ℜ 2:f , definida por

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

≠+=

0,0,,0

0,0,,, 44

22

yx

yxyx

yxyxf

A respeito dessa função, avalie as afirmações a seguir. I. Ao longo das retas y = cx, o valor da função f é constante. II. A função f é descontínua em (0, 0).

III. A função f satisfaz ( )2

1, <yxf , quaisquer que sejam ( ) 2, ℜ∈yx com yx ≠ .

É correto o que se afirma em: (A) II, apenas. (B) III, apenas. (C) I e II, apenas. (D) I e III, apenas. (E) I, II e III.

QUESTÃO Nº 22

Um dos problemas mais importantes estudados pelo cálculo diferencial e integral diz respeito à maximização e minimização de funções. Um desses problemas está relacionado à função cúbica definida por ���� = ��9 + �< + b� + , Em que �, , b e são constantes reais, com � ≠ 0. Acerca dessa cúbica, avalie as afirmações a seguir.

I. A função � possui apenas um ponto de inflexão, independente dos valores de �, , b e .

II. Se < − 3�b > 0, então � possui um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local.

III. Se � possui um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, então a média aritmética das abscissas desses dois pontos extremos corresponde à abscissa do ponto de inflexão.

É correto o que se afirma em A) I, apenas. B) II, apenas. C) I e III, apenas. D) II e III, apenas. E) I,II e III.

Gabarito: E

Tipo de questão: Médio

Conteúdo avaliado: Máximos e Mínimos de funções e ponto de inflexão.

Autor(a):Rayner Ferreira Barbosa da Costa

Comentário: Esta questão envolve o conteúdo de máximos e mínimos de funções e ponto de inflexão. ______________________________________________________________________ Definição: Sejam � uma função e � ∈ ',, com � contínua em �. Dizemos que � é ponto de inflexão de � se existirem números reais � e , com � ∈ ]�, [ ⊂ ', , tal que � tenha concavidades de nomes contrários em ]�, �[ e em ]�, [. Teorema 1: Seja � uma função que admite derivada até a 2ª ordem no intervalo aberto �.

a) Se �%%��� > 0 em �, então � terá concavidade para cima em �. b) Se �%%��� < 0 em �, então � terá concavidade para baixo em �.

Teorema 2: Sejam � uma função que admite derivada de 2ª ordem contínua no intervalo aberto � e � ∈ �.

a) �%��� = 0 e �%%��� > 0 ⇒ � é ponto de mínimo local. b) �%��� = 0 e �%%��� < 0 ⇒ � é ponto de máximo local.

______________________________________________________________________Solução:

A afirmação I é verdadeira. Com efeito, como ���� = ��9 + �< + b� + , segue que �%��� = 3��< + 2 � + b e �%%��� = 6�� + 2 . Temos dois casos a analisar:

• Se � > 0, tem-se �%%��� > 0 em ] − �9 , ∞[ e �%%��� < 0 em ] − ∞, − �9 [ , logo pelo Teorema 1, � terá concavidade para cima em ] − �9 , ∞[ e terá

concavidade para baixo em ] − ∞, − �9 [ . Consequentemente tem-se que − �9 é

o único ponto de inflexão de �.

• Se � < 0, tem-se �%%��� < 0 em ] − �9 , ∞[ e �%%��� > 0 em ] − ∞, − �9 [ logo pelo Teorema 1, � terá concavidade para baixo em] − �9 , ∞[ e terá

concavidade para cima em ] − ∞, − �9 [ . Consequentemente tem-se que − �9 é

o único ponto de inflexão de �.

A afirmação II é verdadeira. Com efeito, como �%��� = 3��< + 2 � + b, se < − 3�b > 0, temos que duas raízes

reais e distintas da equação 3��< + 2 � + b = 0 , dadas por �: = . � - √�O.9W9 e

�< = . �. √�O.9W9 .

Logo,

�%%��:� = 6� − + √ < − 3�b3� + 2b, o que implica, �%%��:� = 2 √ < − 3�b > 0. Temos também que:

�%%��<� = 6� − − √ < − 3�b3� + 2b, o que implica, �%%��<� = −2 √ < − 3�b < 0. Segue-se pelo Teorema 2, que �: e �< são pontos de mínimo e de máximo de �, respectivamente. A afirmação III é verdadeira. Com efeito, se � possui um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, segue que estes pontos são dados pelas raízes da equação �%��� = 0, ou equivalentemente, são

as soluções de 3��< + 2 � + b = 0. Estas raízes são dadas por �: = . � - √�O.9W9 e

�< = . �. √�O.9W9 . Donde

�: + �<2 = − + √ < − 3�b3� + − − √ < − 3�b3� 2

Portanto �: + �<2 = − 3�

Concluindo que a média aritmética das abscissas desses dois pontos extremos corresponde à abscissa do ponto de inflexão. Referências:

4) Fleming, Diva Maria e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.

5) Guidorizzi, Hamilton Luís. Um curso de Cálculo Vol. I. Ed. L.T.C., 2011. 6) Lima, Elon Lages. Curso de Análise Vol.1. Rio de Janeiro, Projeto Euclides,

2002.

QUESTÃO Nº 23

Um professor de Matemática, após trabalhar pontos notáveis e áreas de triângulos com uma de suas turmas, propõe a seguinte atividade aos alunos: divida um triângulo escaleno, no qual os ângulos internos são inferiores a 90º, em três triângulos de mesma área. Avalie as seguintes propostas de solução feitas pelos estudantes.

I. Os triângulos ���, ��� e ���, em que � é o ortocentro de ���, têm a mesma área.

II. Os triângulos ���, ��� e ���, em que o � é o incentro de ���, têm a mesma área.

III. Os triângulos ���, ��� e ��� em que � e � dividem o lado �� em três partes de mesma medida, têm a mesma área.

É correto o que se afirma em

A. I, apenas. B. III, apenas. C. I e II, apenas. D. II e III, apenas. E. I, II e III.

Gabarito: B

Tipo de questão: Média

Conteúdo avaliado: Geometria Euclidiana.

Autor(a): Brunna Brito Passarinho

Comentário: Esta questão explora os elementos de um triângulo, a saber, pontos notáveis (ortocentro, baricentro e incentro) e a área. Para fazê-la o aluno necessita ter clara a definição de tais conceitos bem como algumas propriedades decorrentes. A seguir será feita uma breve revisão deste conteúdo para posteriormente analisarmos as afirmações do exercício. Do livro de Machado (2012), temos as seguintes definições: Def.1. Dados um triângulo de vértices ABC os segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto são dito mediana do triângulo. E o ponto de encontro das

Figura 1 - Baricentro.

medianas de um triângulo é denominado baricentro do triângulo, figura 1. Resultado 1. A distância do baricentro a cada um dos vértices é 2/3 do comprimento das respectivas medianas. Agora ao consideramos as alturas de um triângulo referentes a cada um dos vértices, elas se intersectam em um ponto. Def.2. O ponto de interseção das alturas de um triângulo é denominado ortocentro do triângulo, figura 2.

Def. 3. A reta que passa pelo vértice de um triângulo dividindo na metade o ângulo formado por este vértice, é denominada bissetriz deste ângulo. Def. 4. O ponto de encontro das três bissetrizes de um ângulo é dito incentro do triângulo, figura 3.

Resultado 2. Todo triângulo é circunscritível, isto é, existe um círculo interno ao triângulo que é tangente a cada lado do triângulo. Além disto, este círculo possui como centro o incentro do triângulo, figura 3. Com base nestes conceitos e resultados façamos a análise das afirmações.

Figura 2 - Ortocentro.

Figura 3 - Incentro e círculo inscrito.

I. Os triângulos ���, ��� e ���, em que � é o ortocentro de ���, têm a mesma área.

Com base na figura 4, considere o ponto � como o ortocentro do triângulo ��� e sejam

• �: = ÁIk� c �IYâ�26�c ��� = ��.  �<

• �< = ÁIk� c �IYâ�26�c ��� = �¡.  �<

• �9 = ÁIk� c �IYâ�26�c ��� = ¡�.  O<

• � = ÁIk� c �IYâ�26�c ��� = ��.¡ �< = �¡.� �< = ¡�.� O<

Observe que o triângulo ��� tem sua área decomposta pelos triângulos formados a partir do ortocentro, de tal forma que � = �: + �< + �9. Suponha, por contradição, que �: = �< = �9. Com isso reescrevemos � = 3�:, e substituindo nesta igualdade a fórmula da área �, considerando a base ��, e a fórmula da área de �: obtemos ��. ��:2 = 3 ��. ��:2 ⇒ ��: = 3��: ⇒ ��: = ��:3 . Analogamente, reescrevendo � = 3�<, com base �� para �, e considerando � = 3�9, com base �� para �, teremos ��9 = � �9 e ��< = � O9 , respectivamente.

Porém o ponto notável que tem esta característica é o baricentro (Resultado 1). Assim se H coincidir com o baricentro teremos que as alturas (��:, ��9 k ��<) do triângulo ��� coincidem com as medianas deste triângulo e �: é ponto médio do lado ��. Como consequência, o triângulo ��� será isósceles, �� = ��. O que é um absurdo, pois por hipótese o triângulo é escaleno (possui todos os lados e ângulos diferentes). Portanto a afirmação I é incorreta.

Figura 4 - Decomposição de ABC através do ortocentro.

II. Os triângulos ��¢, ��¢ e ��¢, em que o ¢ é o incentro de ���, têm a mesma área.

A decomposição do triângulo ��� em triângulos menores (���, ��� e ���) com vértice no encentro (I) pode ser observada na figura 5. Pelo Resultado 2, o triângulo ��� tem uma circunferência inscrita, com centro em I, que tangencia cada lado do triângulo. Desta forma, observe que o raio I da circunferência coincide com a altura dos triângulos ���, ��� e ���. Suponha, por contradição, que os triângulos ���, ��� e ��� possuem a mesma área, temos ��. I2 = ��. I2 = ��. I2 ⇒ �� = �� = ��

O que é um absurdo, visto que o triângulo ��� é escaleno, isto é, possui todos os lados diferentes. Portanto a afirmação II é incorreta. III. Os triângulos �£�, �¤£ e ��¤ em que £ e ¤ dividem o lado �� em três

partes de mesma medida, têm a mesma área.

Observe a situação da afirmação III na figura 6. O triângulo ��� foi decomposto em três triângulos (���, ��� e ���) com vértice � em comum e as bases (��, �� e ��) iguais, visto que elas surgiram da partição do lado BC em três segmentos de

Figura 5 - Triângulo ABC decomposto pelo incentro e círculo inscrito.

Figura 6 - Decomposição do triângulo ABC pela partição de AC em três

partes iguais.

mesmo comprimento delimitados pelos pontos � e �. Desta forma temos que a altura (ℎ) dos três triângulos (���, ��� e ���) relativa ao vértice � será a mesma, figura 6.

Como a área de triângulo é � = �.¦< , e os três triângulos possuem mesma base e altura,

concluímos que a área dos triângulos ���, ��� e ��� será a mesma. Portanto a afirmação III é correta. Com isso a alternativa correta da questão será a letra B (III, apenas). Referências: MACHADO, P.F. Fundamentos de Geometria Plana. Belo Horizonte: CAED-UFMG, 2012. 151p.

QUESTÃO Nº 24

Uma tendência no ensino de geometria é adotar metodologias que partem de uma situação problema, oportunizando o envolvimento do aluno na manipulação de material concreto, construções, experimentações e conjecturas para a construção do seu conhecimento. Nessa perspectiva, um professor propõe aos seus alunos que determinem a quantidade de papel necessário para confeccionar balões para enfeitar a festa junina da escola. Deseja-se fazer 10 balões de diversas cores. O professor informa que devem ser comprados 20% a mais de papel de cada cor, devido aos recortes, colagem e perdas eventuais. Além disso, os balões devem ter a forma de um octaedro regular cuja planificação está representada na figura abaixo.

Os alunos observam, pela planificação do octaedro, que ele é um sólido com faces semelhantes, sendo todas elas triângulos equiláteros. Em certa fase do trabalho, eles concluem que, para obter a resposta do problema, precisam saber que altura o professor quer que os balões tenham. Nesse momento, o professor informa que deseja um balão cuja característica seja ter todas as faces com 20 centímetros de altura. Com base nessas informações, a quantidade total de papel necessária para confeccionar

os 10 balões solicitados, em metros quadrados, é igual a. A. 4√375

B. 8√325

C. 4√325

D. 2√375

E. 32√325

Gabarito: E

Tipo de questão:

Conteúdo avaliado: Geometria Plana e Geometria Espacial

Autor(a): Sérgio Reis Fernandes

Comentário: Inicialmente devemos calcular a área de cada octaedro, que representa a quantidade de material necessária para construir suas faces. Como a figura é um octaedro regular, ele é formado por oito faces na forma de um triângulo equilátero, e já sabemos altura de cada um destes, assim devemos primeiramente encontrar o valor da medida dos lados dos triângulos, com isso determinamos sua área, posterirormente multiplicando por 8 obtemos a área de cada octaedro. Sabemos que a área de um triângulo equilátero é dada pela expressão: A= l²34.

Temos que h=20 cm. E utilizando o Teorema de Pitágoras obtemos o valor de l² para determinar a área do triângulo equilátero.

l2=(l2)2+202l2-l4=4003l²4=400l²=16003 cm Logo podemos encontrar a área do triângulo, que será:

A=1600334A=40033 cm²

Desta forma obtemos a área total de um octaedro regular, com altura da face de 20 cm, dada por:

A1=8.A=320033 cm² Como temos um total de 10 balões, pra encontrar o total da área formada por estes basta multiplicarmos por 10, daí:

A2= 3200033 cm² Este valor representa a quantidade de material necessária para cobrir a área formada por estes balões. Como o professor informou deve se com 20% a mais de material. Observamos que,

20%= 20100=15 Assim para determinarmos a quantidade total de papel devemos calcular a quinta parte de A2 e somarmos com A2. Assim, AT= 3200033+ 3200033 (15) AT= 3200033+ 32000315AT= 192000315 AT= 128003

cm² Como o exercício quer a resposta em m², devemos dividir a área total (AT) por 1000, para transformar cm² em m². Logo:

AT= 128003 10000 Simplificando tudo por 400 obtemos o seguinte valor:

AT= 323 25 m². Portanto a alternativa correta é a alternativa E. Referências: DANTE, LUIZ ROBERTO. Matemática: Contexto e Aplicações. 3. ed. São Paulo: Ática, 2008. 4 v. Dolce, Osvaldo. Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 9: Geometria Plana, 6ª ed., Atual Editora, São Paulo, 1990. PAIVA, MANOEL. Matemática. São Paulo: Moderna, 2009. 3 v.

QUESTÃO Nº 25

As políticas educacionais no Brasil e no mundo têm avaliado a qualidade da educação, ou mesmo das politicas públicas, por meio de indicadores quantitativos. A análise de

um indicador não pode ser feita sem levar em consideração as características do meio em que ele está inserido. Por sua natureza, um indicador fornece uma visão parcial do que se pretende aferir. Essa Parcialidade é inerente ao método, ao processo ou às escolhas para a constituição do indicador. De qualquer forma, indicadores educacionais como taxas de acesso, de repetência, de reprovação, de defasagem idade-série e de evasão são sinais que orientam uma avaliação diagnóstica no que diz respeito às suas implicações com a permanência e o sucesso dos estudantes nas escolas. Observe os gráficos abaixo, que contêm alguns indicadores do ensino médio brasileiro no período de 2001 a 2012.

FRISTSCH, R.;VITELLI, R; ROCHA, C. S. Defasagem idade-série em escolas estaduais de ensino médio do Rio Grande do Sul. Rev. Bras. Esud. Pedagog.(online), Brasilia, v. 95, n. 239, p. 218-236, jan./abr. 2014. Disponível em http://rbep.inep.gov.br. Acesso em: 18 jul. 2014 (adaptado). Com base nos dados apresentados, avalie as afirmações a seguir.

I. A evolução da taxa de abandono escolar no ensino médio brasileiro mostra a tendência de queda, sinalizando que não há mais necessidade de políticas públicas para corrigir esse problema.

II. Ao contrário das demais taxas, a taxa de reprovação no ensino médio brasileiro sinaliza uma tendência de estabilidade, aproximando-se de 12%.

III. A taxa de defasagem idade-série apresentou grande variação de ano para ano no período de 2001 a 2012.

IV. Um diagnostico feito a partir dos três gráficos aponta para uma situação favorável em termos de aprendizado dos estudantes brasileiros que concluem o ensino médio.

É correto apenas o que se afirma em: A) I. B) II. C) I e III. D) II e IV. E) III e IV.

Gabarito: B

Tipo de questão: Objetiva

Conteúdo avaliado: Esta questão é considerada difícil, para resolvê-la, é necessário o conhecimento de estatística descritiva e análise de situações de ensino e aprendizagem em aulas da escola básica.

Autor(a): Regina Ishibashi Magna

Comentário:

A afirmação I é falsa

Embora a evolução da taxa de abandono escola no ensino médio brasileiro apresente

tendência de queda, a partir do ano de 2006, como mostra o Gráfico 2, as políticas

públicas deveram sempre estar voltadas para a melhoria da qualidade do ensino.

Segundo Kuenzer (2010), universalizar o ensino médio com qualidade social pressupõe

ações que visem à inclusão de todos no processo educativo, com garantia de acesso,

permanência e conclusão de estudos com bom desempenho; respeito e atendimento à

diversidade socioeconômica cultural, de gêneros, ética, racial e de acessibilidade,

promovendo igualdade de direitos; e o desenvolvimento da gestão democrática.

A afirmação II é verdadeira

Ao contrário das demais taxas, a taxa de reprovação no ensino médio brasileiro sinaliza

uma tendência de estabilidade, aproximando-se de 12%.

A média aritmética obtida pelo quociente da divisão da soma das taxas de reprovação

pela quantidade de anos analisados é igual a 12,7% com desvio padrão igual a 1,0,

demostrando assim que a taxa de reprovação possui uma tendência de estabilidade,

visto que, um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar

próximos da média e um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão

espalhados por uma ampla gama de valores.

A afirmação III é falsa

Ao analisar o Gráfico 1, é possível observar que houve pouca variação no resultado da

taxa de defasagem idade-série de ano para ano, inclusive entre os anos de 2003 a 2005

e 2008 a 2010. Diferente de quando analisado durante o período acumulado de uma

década, demostrando variação significativa de 38,78%.

A afirmação IV é falsa

Segundo o MEC, a taxa de defasagem idade-série deve continuar reduzindo e aponta

que o patamar adequado seria entre 3% e 4%, muito longe da situação atual. Este fato é

preocupante, pois, a taxa de abandono de quem está em defasagem idade-série é muito

superior a quem não está nessa condição. Segundo estudos, não acontece reprovação

maior entre os estudantes em defasagem, pois abandonam a escola antes de efetivarem

a reprovação.

Referências: CRESPO, A. A.. Estatística Fácil. 17.ed. São Paulo: Saraiva, 2002. FRITSCH, R.; VITELLI, R. e ROCHA, C. S.. Defasagem idade-série em escolas estaduais de ensino médio do Rio Grande do Sul. Rev. Bras. Estud. Pedagog. [online]. 2014, vol.95, n.239, pp.218-236. KUENZER, A. Z. O ensino médio no plano nacional de educação 2011- 2020: superando a década perdida? Campinas: Educação & Sociedade. v. 31, n. 112, p. 851-873, 2010.

QUESTÃO Nº 26

No século XII surgiu, na Índia, um matemático conhecido historicamente como Bháskara II. Esse matemático fez grandes avanços para a resolução da equação quadrática. Bháskara II dedicou-se a estudar Astronomia e Matemática, escreveu obras sobre aritmética e resolveu equações do tipo ��< + � = b, utilizando o método de “completar quadrados”. Atribui-se a ele o seguinte problema: “A oitava parte de um bando de macacos, elevada ao quadrado, brinca em um bosque. Além disso, 12 macacos podem ser vistos sobre uma colina. Qual o total de macacos?

Gabarito: Seja s é o total de macacos. Como 12 macacos estão na colina, então s − 12 macacos estão no bosque, mas de acordo com o problema essa quantidade de macacos representa a oitava parte de s elevada ao quadrado, logo: § ©̈ ª< = s − 12 ou s< − 64s + 768 = 0 De acordo com a fórmula de Bháskara para equações do segundo grau temos:

s = �f-√�fO.f.:.«�©<.: = �f-9<< = 48 ou

s = �f.√�fO.f.:.«�©<.: = �f.9<< = 16

Portanto a quantidade de macacos pode ser 48 ou 16 macacos.

Tipo de questão: Modelagem de problemas com equações do segundo grau

Conteúdo avaliado: Equações do segundo grau

Autor(a): Fabiana Chagas

Comentário: . Referências:

QUESTÃO Nº 27

Gabarito: b

Tipo de questão: alternativo

Conteúdo avaliado:

Autor(a): fang chou lee

Comentário: I é falso, pois a maioria dos livros didáticos de nível alto possui 3 representações. II é falso, Algumas equações do grau 2, como x² + 1 =0 não haviam solução até o século XVI, pois para os matemáticos da época a raiz negativa não existia. Porém, não foi este o motivo pelo qual os números complexos surgiram. Ao passar dos anos, alguns matemáticos viram o mesmo problema para equações do 3º, onde que se percebeu que os números reais não eram suficientes para resolver este tipo de equação. Para resolver este problema, alguns matemáticos europeus, principalmente italianos desenvolveram pesquisas, e houve algumas disputas. Antes das lutas, os números complexos começaram a ser desenvolvidos por Scipione dal Ferro. Ferro desenvolveu uma teria para a solução das equações do tipo x³ + px + q = 0, mas acabou não publicando sua teoria.

III é verdadeiro, pois ρ cos ^ representa o valor real e ρ i sen θ representa o valor imaginário. IV é falso, pois cada número real possui infinitas representações, quando θ é múltiplos de 360. Referências:

QUESTÃO Nº 28

Gabarito: C

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: História da Matemática

Autor(a): Gabriella Barros V.M.Gonçalves

Para a resolução desta questão o aluno deve organizar de forma cronológica o

surgimento das frações, raízes quadradas, números negativos, números complexos e a

constante de Euler. A cronologia decorre da seguinte maneira:

• Cerca de 3000 a.C no Egito, as primeiras frações egípcias foram criadas a partir

das necessidades de repartir as colheitas, medir terras, medir tecidos e outros.

Eram frações unitárias, pois o numerador tinha sempre o valor unitário 1;

• A raiz quadrada teve origem com os pitagóricos.

Hipaso, discípulo de Pitagoras, descobriu que a medida da diagonal de um

quadrado de lado 1 era:√2. Além disso, Hipaso descobriu que √2 era um

numero irracional ;

• Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga, em meados

do século XVI a.C.. Apesar de acostumados a calcular com duas coleções de

barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos,

os chineses não aceitavam a possibilidade de um número negativo ser solução

de uma equação. Já os indianos descobriram os números negativos quando

tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas.

Vários matemáticos europeus, por exemplo, Cardano, não apreciavam os

números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eram

considerados falsos ou impossíveis. A situação mudou a partir do Século XVIII

quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e

negativos como sendo segmentos de direções opostas;

• O conceito de número complexo começou a ser utilizado formalmente no

século XVI em fórmulas de resolução de equações de 3º e 4º graus;

• A constante de Euler aparece pela primeira vez no artigo De Progressionibus

harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a

constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais.

De acordo com a ordem cronológica feita acima, o item correto é o C.

Referências: BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. 11. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1974

QUESTÃO Nº 29

Gabarito: D

Tipo de questão:

Conteúdo avaliado: Divisibilidade e Técnicas de Contagem

Autor(a):

Comentário: Se 2± − 1 é primo, �1 > 1� => 2±.:. �2± − 1� é perfeito. I – �: = 2<. 4<. 127 = 2<. 2f. 127 = 2�. 127 = 2��2« − 1� Como 127 é primo => �: = 2��2« − 1� é perfeito. Vamos analisar o número de divisores: �: = 2+ . 127p, sendo que x = 0,1,2,3,4,5 ou 6 (7 possibilidades) e y = 0 ou 1 (2 possibilidades). Número de divisores = 7.2 = 14 (Princípio Fundamental da Contagem) Sendo 13 próprios. Assim, a alternativa I é FALSA. II – �< = 28 = 2<. 7 = 2<. �29 − 1� Como 29 − 1 = 7 é primo, então �< = 28 é perfeito.

Assim, a alternativa II é VERDADEIRA . III – �9 = �2� + 2: + 2< + 29 + 2f�. 2f = 31. 2f 31: O décimo primeiro número primo = 2f�2² − 1� => �9 = 2f. 31 é um número perfeito. Assim, a alternativa III é VERDADEIRA. Referências:

QUESTÃO Nº 30

As imagens de uma tela plana de televisão digital são representadas por pontos, chamados pixels. Os movimentos das imagens correspondem às mudanças desses pontos representados em um sistemas cartesiano ortogonal, que, em computação gráfica, são realizadas por operações de matrizes. Uma rotação de ³ graus de um ponto ��, $�, no sentido anti-horário e em torno da origem desse sistema, é feita pela

multiplicação da matriz �<×< dada por §bcd³ −dk�³dk�³ bcd³ ª pela matriz coluna �<×:,

sendo � a primeira linha e $ a segunda linha, gerando uma matriz coluna que dá a nova posição do ponto ��, $� após a rotação. Nessa situação, qual a nova posição do ponto �3, −1� após uma rotação de 150° no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal?

A. §:.9√9< , 9-√9< ª

B. §.9-√9< , :-9√9< ª

C. §:-9√9< , 9.√9< ª

D. §.:.9√9< , .9-√9< ª

E. §9-√9< , .:-9√9< ª

Gabarito: A

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Multiplicação de matrizes; Trigonometria – redução de ângulos ao 1º quadrante e seno, cosseno de ângulos notáveis.

Autor(a): Brunna Brito Passarinho

Comentário: A questão traz uma aplicação interessante do conteúdo de operações de matrizes juntamente com trigonometria. Para resolvê-la basta que o aluno se recorde do produto entre matrizes, da redução de ângulos ao 1º quadrante e dos valores das funções trigonométricas nos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°). Relembraremos a seguir estes conceitos. Def.1. Dadas duas matrizes � = µ�¶·¸�ר e � = � S¹�º×», o produto �. � = � está

definido se s = �, isto é, a quantidade de colunas de � for igual a quantidade de linhas de �, e a matriz produto � = ��¼½� terá ordem � × � e cada elemento b¼½ é dado por

b¼½ = ¾ �¼±. ±½ = �¼:. :½ + ⋯ + �¼�. �½�

±À:

Por exemplo, para obter o elemento b<9 basta considerar a 2ª linha de � e a 3ª coluna de � fazendo a multiplicação dos elementos correspondentes, respeitando a ordem – primeiro da linha vezes primeiro da coluna e etc. - e somando os resultados. No que diz respeito a parte de trigonometria, para reduzir ao 1º quadrante ângulos que se encontram nos demais quadrantes basta que o aluno utilize da simetria da circunferência trigonométrica para encontrar com qual ângulo do 1º quadrante poderá ser comparado o ângulo em questão, figura 1.

Figura 7 - Redução ao 1º quadrante.

Observe que o ângulo de 150º pertence ao segundo quadrante, mas utilizando da simetria da circunferência em relação ao eixo vertical (no qual analisamos os valores de seno), vemos que seu correspondente no primeiro quadrante é o ângulo notável de 30º. Desta forma, temos que dk�150° = dk�30° e bcd150° = −bcd30°. Para os valores das funções trigonométricas nos ângulos notáveis podemos construir, facilmente, a tabela 1.

Tabela 1 - Seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis.

Com base nesta revisão podemos retornar para solução da questão.

De acordo com o enunciado teremos as matrizes �<×< = §bcd³ −dk�³dk�³ bcd³ ª e �<×: = §+pª. Fazendo o produto �<×< ∗ �<×:, obtemos

�<×< ∗ �<×: = B� bcd³ − $ dk�³� dk�³ + $ bcd³C. A questão quer saber qual a nova posição do ponto �3, −1� após uma rotação de 150° no sentido anti-horário e em torno da origem do sistema cartesiano ortogonal. Desta forma substituiremos na matriz produto ��, $� por �3, −1� e ³ por 150°. Em seguida utilizando a redução ao primeiro quadrante do ângulo de 150º e o que vimos anteriormente, teremos

?3 bcd150° − �−1�dk�150°3 dk�150° + �−1�bcd150°@ =ÂÃ−3. √32 + 1232 + √32 Ä

Å =ÂÃ1 − 3√323 + √32 Ä

Å. Com a correspondência de matriz para vetor, concluímos que a nova posição do ponto

será §:.9√9< , 9-√9< ª.

Portanto a alternativa correta é a letra A.

ÆÇ° ÈÉ° ÊÇ° ËÌÍ 1/2 √2/2 √3/2 ÎÏË √3/2 √2/2 1/2 ÐÑÍ √3/3 1 √3

Referências: BOLDRINI, J. L; COSTA S.I.R.; FIGUEIREDO, V.L.; WETZLER, H. G. Álgebra Linear. 3ª edição. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980. DANTE, L.R. Matemática: Contexto e aplicações. 2ª edição. São Paulo: Àtica, 2013. V.2

QUESTÃO Nº 31

Gabarito: D

Tipo de questão: Múltipla escolha

Conteúdo avaliado: Gestão democrática da educação

Autora: Lygianne Batista Vieira

Comentário: Afirmativa I – Verdadeira:

Essa afirmação é verdadeira, pois a democratização da gestão constitui-se como

uma possibilidade de melhoria da qualidade pedagógica por ser pautada em uma

formação que valoriza a realidade local e a integração dos agentes envolvidos,

privilegiando a sua participação no desenvolvimento do trabalho escolar.

Na afirmativa, é apresentado que a formação qualificada dos estudantes deve ter

a participação como prática cotidiana de todos os envolvidos, para Santos e Sales

(2012), isso representa um caminho no sentido contrário à transferência de

responsabilidade da escola e dos professores, pois a efetiva participação da comunidade

é necessária nesse processo, elas explicam, que nesse tipo de gestão, o controle e a

intervenção da comunidade escolar nas políticas públicas são fundamentais, não

somente para executá-las, mas também para analisar, intervir, cobrar e elaborar

propostas mais contextualizadas e qualitativas para a escola.

Afirmativa II – Verdadeira:

Essa afirmativa é verdadeira, pois uma gestão democrática de fato propicia uma

cultura crítico-reflexiva na escola, para Bastos (1999), Gadotti (1997), Zeichner (2002)

e Libâneo (2003) a gestão democrática envolve um processo de reflexão,

desenvolvimento e avaliação das políticas públicas dentro da escola. O professor, por

exemplo, que é uma das dimensões dessa gestão, “contribui para a construção de uma

cultura democrática na escola e para um processo de reflexão, individual e coletivo, no

qual o próprio professor passa a autogerir e gestar a sua profissionalização” (SANTOS;

SALES, 2012, p. 173).

Na afirmativa, é apresentado que os envolvidos tenham discernimento em

relação aos conteúdos que necessitam ou não para tomarem decisões, o que representa a

flexibilidade nas relações no interior da escola, “a autonomia dos sujeitos nos processos

de elaboração-desenvolvimento e avaliação das propostas da escola, não a inexistência

de parâmetros e objetivos que norteiam o trabalho” (SANTOS; SALES, 2012, p. 178).

Afirmativa III – Falsa:

Essa afirmativa é falsa, pois a gestão democrática da educação não

pressupõe a existência de líderes que definem sozinhos os objetivos de ações na escola.

Pelo contrário, é entendida como a participação efetiva dos vários segmentos da

comunidade escolar nos processos decisórios da escola. É uma forma de administração

que implica em um permanente processo de fazer coletivo, garantindo a autonomia e as

instâncias colegiadas de caráter deliberativo.

Afirmação IV – Verdadeira:

Essa afirmativa é verdadeira, pois uma gestão democrática da educação implica na

implementação do processo de escolha e participação coletiva em todas ações dentro da

escola, inclusive na participação de todos os segmentos da comunidade escolar na

construção do projeto pedagógico.

Santos e Sales (2012) reforça essa perspectiva de gestão democrática que

compreende em:

Buscar a autonomia da escola por meio da partilha de ideias, com oportunidade de deliberação; através da construção de um Projeto Político Pedagógico autêntico, com personalidade própria; e também por meio de grupos colegiados, constituídos por representantes de todos os segmentos da comunidade escolar, são caminhos pensados e trilhados atualmente pelas escolas que perseguem a gestão democrática (p. 172).

Na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (1996) em seu artigo 14

refere-se à construção do projeto pedagógico da seguinte forma:

Art. 14. Os sistemas de ensino definirão as normas da gestão democrática do ensino público na educação básica, de acordo com as suas peculiaridades e conforme os seguintes princípios: I - participação dos profissionais da educação na elaboração do projeto pedagógico da escola; II - participação das comunidades escolar e local em conselhos escolares ou equivalentes.

A referida lei define que os sistemas de ensino numa gestão democrática devem

estabelecer normas de gestão e levar em consideração com as peculiaridades de escola

tendo como princípio a “participação dos profissionais da educação na elaboração do

projeto pedagógico da escola” e a “participação das comunidades escolar e local em

conselhos escolares ou equivalentes”. Nessa lei, está claro a relação de gestão

democrática com o processo de construção coletiva do projeto pedagógico.

Referências: BASTOS, J. B. (org.). Gestão democrática. Rio de Janeiro: SEPE, 1999. BRASIL. Congresso Nacional. Lei n. 9.394 de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da educação nacional. Diário Oficial da União [da] República Federativa do Brasil, Poder Executivo, Brasília, DF, 20 de dezembro de 1996. GADOTTI, M. Gestão Democrática e Qualidade de Ensino. In: Fórum Nacional desafio da qualidade total no Ensino Público, 1. 28 a 30 de julho de 1997. Belo Horizonte- MG. Disponível em: <http://www.paulofreire.org/pub/Institu/SubInstitucional1203023491It003Ps002/Gest_democ.pdf.>. Acesso em: 20 maio 2017. LIBÂNEO, J. C.; OLIVEIRA, J. F. de; TOSCHI, M. S. Educação escolar: políticas, estrutura e organização. São Paulo: Cortez, 2003. (Coleção Docência em Formação). SANTOS, M. do C. G.; SALES, M. P. da S. Gestão democrática da escola e gestão do ensino: a contribuição docente à construção da autonomia na escola. Revista Ensaio, Belo Horizonte, v.14, n. 02, p. 171-183, ago/nov, 2012. ZEICHNER, K. Formando professores reflexivos para uma educação centrada no aprendiz: possibilidades e contradições. In: ESTEBAN, Teresa; ZACCUR. Professora-pesquisadora: uma práxis em construção. Rio de Janeiro: DP&A, 2002.

QUESTÃO Nº 32

O Plano Nacional de Educação (PNE) inclui 20 metas e estratégias traçadas para o setor nos próximos 10 anos. Entre as metas, está a aplicação de valor equivalente a 10% do Produto Interno Bruto (PIB) na educação pública, promovendo a universalização do acesso à educação infantil para crianças de quatro a cinco anos, do ensino fundamental e médio. Esse plano também prevê a abertura de mais vagas no ensino superior, investimentos maiores em educação básica em tempo integral e educação profissional, além da valorização do magistério. BRASIL. Conheça as 20 metas definidas pelo PNE. Disponível em http://www.brasil.gov.br. A Lei no. 13.005, de 25 de Junho de 2014, que aprova o PNE, prevê importantes dispositivos, tais como: Art. 5º. A execução do PNE e o cumprimento de suas metas serão objeto de monitoramento contínuo e de avaliações periódicas.

Art. 10º. O plano plurianual, as diretrizes orçamentárias e os orçamentos anuais da União, dos Estados, do Distrito Federal e dos Municípios serão formulados de maneira a assegurar a consignação de dotações orçamentárias compatíveis com as diretrizes, metas e estratégias deste PNE e com os respectivos planos de educação, a fim de viabilizar sua plena execução. Art. 11º. O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica, coordenado pela União, em colaboração com os Estados, o Distrito e os Municípios, constituirá fonte de informação para a avaliação da qualidade da educação básica e para a orientação das políticas desse nível de ensino. Art. 13º. O poder público deverá instituir, em lei específica, contados 2 anos da publicação desta lei, o Sistema Nacional de Educação, responsável pela articulação entre os sistemas de ensino, em regime de colaboração, para efetivação das diretrizes, metas e estratégias do Plano Nacional de Educação. Considerando as informações acima, conclui-se que o PNE:

a. possibilita aos país iniciar seu processo de desenvolvimento, pois prevê aumento anual de 10% nos patamares de aplicação do PIB em educação e sistema de monitoramento da aplicação de investimentos, o Sistema de Avaliação da Educação Básica, a ser instituído nos próximos dois anos.

b. prevê meta de aplicação de 10% do PIB em educação, sinalizando que os

gestores escolares terão 10 vezes mais possibilidades de atingir patamares mais elevados de educação nos próximos 10 anos, pois vincula os investimentos com a educação aos níveis de desenvolvimento do país, aferidos pelo PIB;

c. estabelece que a melhoria da educação básica universalização do acesso à

educação infantil, aumento de vagas no ensino superior, maior investimento em educação em tempo integral e em educação profissional- evidencia a base para o desenvolvimento, pois o crescimento econômico é o indicador do percentual de recursos do PIB a ser aplicado na educação.

d. permite planejar a educação para os próximos 10 anos e institui mecanismos de

monitoramento e avaliação, tanto da execução do Plano como da qualidade de educação, por meio do estabelecimento de metas educacionais e definição dos investimentos a serem disponibilizados para o alcance dessas metas.

e. disponibiliza para os gestores escolares o crescimento de 10% dos investimentos do PIB em educação, ao ano, durante os próximos 10 anos e um Sistema Nacional de Avaliação para verificar a efetivação das diretrizes e metas dispostas no referido Plano;

Gabarito: A) Não está correto, pois as metas do Plano Nacional de Educação (PNE) não

prevê o aumento anual de 10% nos patamares de aplicação do PIB em educação e sim

a aplicação de valor equivalente a 10% do Produto Interno Bruto (PIB).

B) Apesar de prevê meta de aplicação de 10% do PIB em educação, o texto não afirma

que os gestores escolares terão 10 vezes mais possibilidades de atingir patamares mais

elevados de educação nos próximos 10 anos.

C) A aplicação de valor equivalente a 10% do Produto Interno Bruto (PIB) na melhoria da

educação básica, universalização do acesso à educação infantil, aumento de vagas no

ensino superior, maior investimento em educação em tempo integral e em educação

profissional, não evidencia a base para o desenvolvimento, pois mudar o percentual

do PIB, é quase um salto de trapezista. Primeiro, porque não se sabe qual o valor do

PIB que o País alcançará. Segundo, porque as receitas e despesas de impostos, de

Salário Educação e de outros tributos que comporão o percentual do gasto em

educação são sujeitos não somente a previsões, como a imprevistos. Terceiro, porque

o percentual final da aplicação em educação pública será resultado da soma de

diversos percentuais – da União, do conjunto de 26 Estados e do DF e do “pequeno”

coletivo de 5.564 Municípios, que variam de um mil a onze milhões de habitantes.

D) Dizer que permite planejar a educação para os próximos 10 anos fica um tanto vago e

talvez até enganoso. Por exemplo, tivemos um aumento enganoso em 2014, em vista

da estagnação do PIB. Toda essa complexidade leva até alguns estudiosos e políticos a

invalidar o critério de melhorar a educação via percentual do PIB – preferindo as

medidas de aumento real de arrecadação ou até mesmo de aumento dos percentuais.

E) O item e) esta totalmente em concordância com o que diz no texto.

Tipo de questão: Dissertativa

Conteúdo avaliado: Plano Nacional de Educação.

Autor(a): Silvia Cristina Belo e Silva.

Comentário: O Plano Nacional de Educação (PNE) determina diretrizes, metas e estratégias para a política educacional. O primeiro grupo são metas estruturantes para a garantia do direito a educação básica com qualidade, e que assim promovam a garantia do acesso, à universalização do ensino obrigatório, e à ampliação das oportunidades educacionais. Um segundo grupo de metas diz respeito especificamente à redução das desigualdades e

à valorização da diversidade, caminhos imprescindíveis para a equidade. O terceiro bloco de metas trata da valorização dos profissionais da educação, considerada estratégica para que as metas anteriores sejam atingidas, e o quarto grupo de metas refere-se ao ensino superior. Referências: Portal do MEC

QUESTÃO Nº 33

Os currículos organizam conhecimentos, culturas, valores e artes a que todo ser humano tem direito. Assim, o currículo deve ser analisado conforme as experiências vividas pelos estudantes, nas quais se articulam os saberes, aprendidos por eles na vivência e na convivência em suas comunidades, com os conhecimentos sistematizados que a escola deve lhes tornar acessíveis. (ARROYO, M. G. Educandos e educadores: seus direitos e o currículo. In: ARROYO, M. G. Indagações sobre o currículo: educandos e educadores: seus direitos e o currículo. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2007, p. 67. Adaptado.) A partir da definição de currículo abordada pelo autor, avalie as afirmações a seguir. I. A construção do currículo constitui um processo de seleção cultural, o que pode colocar em desvantagem determinados grupos sociais e culturais. II. O sistema educativo confere ao currículo efetividade que envolve uma multiplicidade de relações, razão pela qual este deve ser considerado práxis e sua materialização corresponder à forma como foi idealizado. III. As teorias críticas reconhecem a existência de poderes diversos diluídos nas relações sociais, conferindo ao currículo a função de atuar em processos para a inclusão escolar. IV. É desafio da escola incluir no currículo experiências culturais diversificadas, que não reproduzam estruturas da vida social em suas assimetrias e desigualdades. É correto afirmar o que se afirma em A I apenas, B II e III apenas, C II e IV apenas, D I, III e IV apenas, E I, II, III e IV.

Gabarito:

I. De fato, levando-se em conta determinados grupos sociais e culturais, não

são igualitárias, democráticas, a garantia do direito de todos ao

conhecimento, à cultura e a formação.

II. O sistema educativo não deve ser considerado práxis, uma vez que o

direito ao trabalho, base da cidadania e de todos os direitos humanos e os

saberes sobre o trabalho não tem merecido ainda a devida atenção nos

saberes curriculares.

III. O texto traz crítica ao aprendizado desenvolvido por competências e

habilidades como balizadores da catalogação de alunos desejados e

aponta o direito a educação, entendido como o direito à formação e ao

desenvolvimento humano pleno.

IV. Há ênfase quanto à necessidade de se mapearem imagens e concepções

dos alunos, para subsidiar o debate sobre currículos. É proposta do texto

que se desconstruam visões mercantilizadas de currículo, do conhecimento

e dos sujeitos.

Desta forma o item D está correto.

Tipo de questão: Discursiva

Conteúdo avaliado: Currículo

Autor(a): Silvia Cristina Belo e Silva.

Comentário: O que está em discussão é a elaboração de um documento que, mais do que a distribuição de materiais, promova, por meio de uma estratégia dinâmica, a reflexão, o questionamento e um processo de discussão em cada uma das escolas e Secretarias de Educação sobre a concepção de currículo e seus desdobramentos. Referências: (ARROYO, M. G. Educandos e educadores: seus direitos e o currículo. In: ARROYO, M. G. Indagações sobre o currículo: educandos e educadores: seus direitos e o currículo. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2007, p. 67. Adaptado.)

QUESTÃO Nº 34

O Projeto Político-Pedagógico (PPP) relaciona-se à organização do trabalho pedagógico da escola, indicando uma direção, explicitando os fundamentos teóricos metodológicos, os objetivos, o tipo de organização e as formas de implementação e avaliação da escola. VEIGA, I. P. A; RESENDE, L.M.G. (Org). Escola: espaço do Projeto Político- Pedagógico. 4.ed. Campinas-SP: Papirus, 1998 (adaptado) Considerando a elaboração do PPP, avalie as seguintes afirmações: I. O PPP constitui-se em processo participativo de decisões para instaurar uma forma

de organização do trabalho pedagógico que desvele os conflitos e as contradições no interior da escola. II. A discussão do PPP exige uma reflexão acerca da concepção de educação e sua relação com a sociedade e a escola, o que implica refletir sobre o homem a ser formado. III . A construção do PPP requer o convencimento dos professores, da equipe escolar e dos funcionários para trabalharem em prol do plano estabelecido pela gestão educacional. É correto o que se afirma em:

A) I, apenas B) III, apenas C) I e II apenas D) II e III apenas E) I, II e III.

Gabarito: C

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Construção do Projeto Político Pedagógico.

Autor(a): Samuel Lima Picanço

Comentário: O projeto político pedagógico tem por finalidade ser uma forma de organização do trabalho pedagógico. Ele caracteriza a identidade da escola e serve de referencial para a prática educativa. É necessário que a escola assuma o compromisso de construir o seu PPP pois a autonomia da escola é uma questão importante para o delineamento de sua identidade. A construção coletiva do PPP deve envolver os sujeitos participantes do processo e eles devem ter entendimento e compreensão do que se está querendo para a escola, a partir do diagnóstico de sua realidade. Baseado nisso, julgamos verdadeiro os itens I e II. Já o terceiro item é falso. O plano estabelecido para a gestão, na verdade, é estabelecido juntamente com a equipe que constrói o PPP, ou seja, professores, pais, alunos e administrativos. Sendo assim, o trabalho de convencimento deve ser em prol da construção de um PPP que busque atender às necessidades vivenciadas no diagnóstico escolar e a gestão irá adequar seu plano dentro destas necessidades. Referências: VEIGA, I. P. A; RESENDE, L.M.G. (Org). Escola: espaço do Projeto Político- Pedagógico. 4.ed. Campinas-SP: Papirus, 1998 (adaptado) VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Coordenação do trabalho pedagógico: do

projeto político- pedagógico ao cotidiano da sala de aula. 6.ed, São Paulo: Libertad, 2006.

QUESTÃO Nº 35

Da visão dos direitos humanos e do conceito de cidadania fundamentado no recolhimento das diferenças e na participação dos sujeitos, decorre uma identificação dos mecanismos e processos de hierarquização que operam na regulação e produção de desigualdades. Essa problematização explica os processos normativos de distinção dos alunos em razão de características intelectuais, físicas, culturais, sociais e lingüísticas, estruturantes do modelo tradicional de educação escolar. BRASIL, MEC. Políticas Nacional de Educação Especial na Perspectiva da Educação Inclusiva, 2008, p.6 (adaptado). As questões suscitadas no texto ratificam a necessidade de novas posturas docentes, de modo a atender a diversidade humana presente na escola. Nesse sentido, no que diz respeito a seu fazer docente frente aos alunos, o professor deve.

I. Desenvolver atividades que valorizem o conhecimento historicamente elaborado pela humanidade e aplicar avaliações criteriosas com o fim de aferir, em conceitos ou notas, o desempenho dos alunos.

II. Instigar ou compartilhar as informações e a busca pelo conhecimento de forma coletiva, por meio de relações respeitosas acerca dos diversos posicionamentos dos alunos, promovendo o acesso às inovações tecnológicas

III. Planejar ações pedagógicas extraescolares, visando o convívio com a diversidade; selecionar e organizar os grupos, a fim de evitar conflitos.

IV. Realizar práticas avaliativas que evidenciem as habilidades e competências dos alunos, instigando esforços individuais para que cada um possa melhorar o desempenho escolar

V. Utilizar recursos didáticos diversificados, que busquem atender a necessidade de todos e de cada um dos alunos, valorizando o respeito individual e coletivo.

É correto apenas o que se afirma em: A) I e III B) II e V C) II, III e IV D) I, II, IV e V E) I, III,IV e V.

Gabarito: B

Tipo de questão: Média

Conteúdo avaliado: Política Nacional Para Educação Inclusiva

Autor(a): Samuel Lima Picanço

I - A primeira afirmação é falsa. O professor deve sim desenvolver atividades que valorizem o conhecimento historicamente elaborado pela humanidade, mas a avaliação deve ser formativa e somativa, levando em consideração outros fatores. Não se pode avaliar somente com os instrumentos de teste e prova. O professor deve lembrar ainda que ao avaliar está também fazendo uma avaliação do seu próprio trabalho pedagógico. II – Afirmação Verdadeira III – Afirmação falsa. O professor deve organizar ações pedagógicas dentro do ambiente escolar, buscando sim fazer com que os alunos se respeitem e se aceitem. O aluno ainda deve escolher seus grupos de trabalhos para que consiga lidar com as diferenças de opiniões nos debates e discussões. Caso o conflito ocorra, cabe ao professor ser o seu mediador. IV – Afirmação falsa. As habilidades e competências dos alunos podem ser exploradas pelo docente, mas sempre deve ser exaltado o trabalho em equipe. Os alunos devem ser incentivados a trabalhar em grupo, oportunizando a ajuda mútua entre eles. Aqueles que possuírem mais habilidades ajudam seus pares com mais dificuldade. V – Afirmação Verdadeira. Referências: BRASIL. Ministério da Educação. Plano de Desenvolvimento da Educação: razões, princípios e programas. Brasília: MEC, 2007. BRASIL, MEC. Políticas Nacional de Educação Especial na Perspectiva da Educação Inclusiva, 2008