SEBENTA DE

ELECTROMAGNETISMO

CURSO

ENGENHARIA DE SISTEMAS DAS TELECOMUNICAÇÕES E ELECTRÓNICA

Junho 2004

João Manuel Amado Frazão Francisco José Fernandes Pólvora

- ii -

PROGRAMA I - FUNDAMENTOS 1.1 - Electrostática

1.1.1 - Definição de campo 1.1.2 - Campo eléctrico E 1.1.3 - Dipolo eléctrico 1.1.4 - Campo electrostático em condutores e condensadores 1.1.5 - Energia do campo electrostático 1.1.6 - Campos electrostáticos na presença de matéria. Campo D, polarização P e permitividade ε

1.2 - Corrente eléctrica e equação de continuidade

1.2.1 - Corrente e densidade de corrente eléctrica 1.2.2 - Equação de continuidade ou lei de conservação das cargas 1.2.3 - Força electromotriz

1.3 - Magnetostática

1.3.1 - Força entre duas correntes e campo de indução magnética B 1.3.2 - Lei de Ampère 1.3.3 - Força de Lorentz e Efeito de Hall 1.3.4 - Potencial vector A 1.3.5 - Energia do campo magnetostático 1.3.6 - Dipolo magnético 1.3.7 - Campos magnetostáticos na presença de matéria. Campo H, magnetização M e permeabilidade μ

1.4 - Campos variáveis no tempo (Dinâmica)

1.4.1 - Lei de indução de Faraday 1.4.2 - Coeficientes de indução 1.4.3 - Corrente de deslocamento 1.4.4 - Equações de Maxwell na forma geral 1.4.5 - Equações de Maxwell para meios lineares, homogéneos e isotrópicos 1.4.6 - Vector de Poynting 1.4.7 - Potenciais vector e escalar. Potenciais retardados 1.4.8 - Condições de fronteira numa superfície de descontinuidade

II - ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 2.1 - Ondas planas

2.1.1 - Separação das equações para E e B 2.1.2 - Ondas planas num meio sem perdas 2.1.3 - Ondas planas numa direcção arbitrária 2.1.4 - Polarização 2.1.5 - Soluções complexas e relações para a energia média 2.1.6 - Generalização do conceito de ondas planas em meios com perdas ou dispersivos 2.1.7 - Velocidade de grupo

2.2 - Reflexão e refracção de ondas planas 2.2.1 - Leis da reflexão e refracção 2.2.2 - Campo eléctrico E perpendicular ao plano de incidência 2.2.3 - Campo eléctrico E paralelo ao plano de incidência 2.2.4 - Reflexão total (n1 > n2 , θi > θc) 2.2.5 - Expressões para a energia 2.2.6 - Reflexão sobre a superfície de um condutor

- iii -

III - FUNDAMENTOS DE ÓPTICA 3.1 - Óptica

3.1.1 - Introdução 3.1.2 - Interferência de feixes luminosos por divisão da frente de onda 3.1.3 - Difracção 3.1.4 - Holografia

- iv -

BIBLIOGRAFIA Roald K. Wangsness, “Electromagnetic Fields”, Ed. John Wiley & Sons, 2ª Edição, 1986 Matthew N. O. Sadiku, “Elements of Electromagnetics”, Ed. Oxford University Press, 3ª Edição M. de Abreu Faro, “Propagação e radiação de ondas electromagnéticas”, Volume 1- “Ondas e meios materiais” e Volume 2 – “Radiação”, Ed. Técnica A.E.I.S.T. Lisboa, 1979 e 1980 Eugene Hecht, “Óptica”, Ed. Fundação Calouste Gulbenkian, 1991 (Tradução do original inglês, Eugene Hecht, “Optics”, Ed. Wesley) L. Brito, M. Fiolhais e C. Providência, “Campo electromagnético”, Ed. McGraw-Hill, 1999 Jaime E. Villate, “Electromagnetismo”, Ed. McGraw-Hill, 1999 Berkeley, “Curso de Física”, Volumes II e III Alonso & Finn, “Curso de Física”, Volume II – “Campos e Ondas” Jack Vanderlinde, “Classical Electromagnetic Theory”, Ed. John Wiley & Sons, 1993 F. Gardiol, “Electromagnétisme”, Ed. Dunod Sushil Kumar Mendiratta, “Introdução ao Electromagnetismo”, Ed. Fundação Calouste Gulbenkian Joseph A. Edminister, “Electromagnetismo - 310 problemas resolvidos”, Ed. Schaum McGraw-Hill Syed A. Naser, “2000 solved problems in Electromagnetics”, Schaum McGraw-Hill Constantine A. Balanis, “Advanced Engineering Electromagnetics”, Ed. John Wiley & Sons, 1989 Mário Ferreira, “Óptica e Fotónica”, Ed. Lidel

- v -

FORMULÁRIO Electrostática

Campo eléctrico E(r) = 0 i

N

i 1

qi24 R= πε

∑ Rie E(r) =

0 V '

( ')1dV '

24 R

ρ

πε ∫∫∫ Rr e

C

0=∫ E . dL

Lei de Gauss 0 int eriorS

1dS qiε

= ∑∫∫ E.n 0S int erior

1dS dVρ

ε=∫∫ ∫∫∫E.n

Potencial eléctrico E(r) = -∇ Φ(r) ΔΦ = Φ(r1) - Φ(r2) = 2

1∫E . dL

Φ(r) = 0 i

N

i 1

qi4 R= πε

∑ Φ(r) = 0 V '

1 ( ')dV '

4 R

ρ

πε ∫∫∫r

Dipolo eléctrico ED(r) = 0 0

p 2cosθ p senθ+3 34πε 4πεr re er θ ΦD(r) ≅

0 0

1 pcosθ 1=2 24πε 4πεr r

p.er

Condensador C = Q/ΔΦ Condensador plano C = 0A

d

ε

Energia electrostática Ue =0

N N

i=1 j=1j i

q1 jq ( )i2 4 Rij

≠π ε

∑ ∑ = N

i=1

1q ( )i i2 Φ∑ ri

Ue = 1/2 Q ΔΦ = Q2/(2C) = 1/2 C ΔΦ2

Ue =todo o espaço

1( ) ( )dV

2ρ Φ∫∫∫ r r Ue = 0

todo o espaço

1 2 E dV2

ε∫∫∫

Presença de matéria ρp = -∇ . P σp = P. n D = ε0E + P int eriores

S V

dS dV Qρ ==∫∫ ∫∫∫D.n

P = χeε0 E D = (1 + χe) ε0 E = εr ε0 E = ε E

Energia electrostática Ue =todo o espaço

1dV

2 ∫∫∫ D.E ue = 1

2D.E = 1 2E

2ε =

21 D

2 ε

- vi -

Corrente eléctrica e equação de continuidade

Corrente eléctrica I = dtdq J =

iiρ∑ vi

Iatravés de S = ( dq

dt)através de S =

S

dS∫∫ J.n

Condutividade Jl = σ E R = I

Aσ

Equação de continuidade ∇. J + t

∂ρ

∂ = 0

Força electromotriz ξ = Wqq

= 1q

C∫ F . dLq =

C∫ E. dL ξ = C∫ ncE . dL

Magnetostática

Lei de Biot-Savart B(r) = 10

C1 1

I x 24 R

μ

π ∫1 R1

dL e= 0 1

C1 1

I x 34 R

μ

π ∫ 1 1dL R

B(r) = 0

V '

( ) x dV'24 R

μ

π ∫∫∫ RJ' r' e

Lei de Ampère 0

correntes.iClim itadaspor.C

Ii= μ ∑∫ B.dL 0

C S

dS= μ∫ ∫∫B.dL J.n

Força de Lorentz F = q (E + v x B) Potencial vector B(r) = ∇ x A(r)

S

dS 0=∫∫ B.n

A(r) = 0C

I

4 R

μ

π ∫dL

A(r) = 0

V '

( ')dV '

4 R

μ

π ∫∫∫J r

∇ . A = 0 ∇2 A = - μ0 J Fluxo φ =

S S C

dS ( x ) dS= =∫∫ ∫∫ ∫B.n A .n A.dL∇

- vii -

Energia magnetostática Um =N

j=1

1I j j2

φ∑ Um =C j

N

j=1

1( ) I j2

∑ ∫ A r . dLj j

Um =todo o espaço

1( ) ( )dV

2 ∫∫∫ J r .A r Um =

0todo o espaço

21 B dV

2 μ∫∫∫

Presença de matéria Jm = ∇ x M Km = M x n

H = B/μ0 - M C S

dS=∫ ∫H.dL J.n =I limitadasipor.C

Ii∑

M = χ m H B = μ0 (1 + χ m)H = μ0 μrH = μ H

Energia magnetostática Um = todo o espaço

1dV

2 ∫∫∫ H. B um =1

2

H . B =2B

2μ=

2H

2

μ

Campos variáveis no tempo (Dinâmica)

Indução de Faraday ξind = C S

dd dSdt dtφ

= − = −∫ ∫∫E .dL B.nind ξind = C

x ∫ (v B).dL

Equações de Maxwell ∇ . D = ρ

S V

dS dV= ρ∫∫ ∫∫∫D.n

∇ x E = -t

∂

∂

B

C S

dSt

∂= −

∂∫ ∫∫B

E.dL .n

∇ . B = 0 S

dS 0=∫∫ B.n

∇ x H = J + t

∂

∂

D

C S S

dS dSt

∂= +

∂∫ ∫∫ ∫∫D

H.dL J.n .n

Equações de Maxwell para meios lineares, homogéneos e isotrópicos

∇ . E = ρ/ε ∇ x E = - ∂B/∂t ∇ . B = 0 ∇ x B = μ σ E + μ ε ∂E/∂t

- viii -

Teorema de Poynting V S

( . . )dV W ( x ) dSt t

∂ ∂− + = +

∂ ∂∫∫∫ ∫∫D B

E H E H . n

Vector de Poynting S = E x H Potenciais E = - ∇ Φ - ∂A/∂t Condições de fronteira E2t = E1t H2t – H1t = K x n B2n = B1n D2n - D1n = σ Φ1 = Φ2 Ondas planas

Meio sem perdas v = 1με

v = c/n n = μ εr r

k =v

ω v = λf

|k| = 2π/λ ω = 2πf = 2π/T

Propagação segundo ez _E =

_E0 ej(kz - ωt)

_B =

_B0 ej(kz - ωt)

E real = E0a cos(kz - ωt + ϕ) B real = B0a cos(kz - ωt + ϕ)

k ez._E = 0 k ez.

_B = 0

k ez x _E = ω

_B k ez x

_B = - (ω/v2)

_E

_B = k/ω ez x

_E = 1/v ez x

_E

Propagação segundo ek k = k n = k ek k = kx ex + ky ey + kz ez

_E =

_E0 ej(k . r - ωt) _

B = _B0 ej(k . r - ωt)

k . _E = 0 k .

_B = 0

k x_E = ω

_B k x

_B = - μεω

_E

- ix -

_B = k/ω ek x

_E

_H = (1/μv) ek x

_E = (ε/μ)1/2 ek x

_E = (1/Z) ek x

_E

Z = (μ/ε)1/2 = (μr μο/εrεο)1/2 = (μr/εr)1/2 Z0 Polarização

ϕ2 − ϕ1 E1, E2 Polarização ϕ2 − ϕ1 E1, E2 Polarização

0 ≠ 0

Linear positiva

0 ≠ 0

Linear positiva

]0, π/2[ ≠ 0

Elíptica direita

]0, −π/2[ ≠ 0

Elíptica esquerda

π/2 ≠ 0

Elíptica direita

− π/2 ≠ 0

Elíptica esquerda

] π/2, π[ ≠ 0

Elíptica direita

]−π/2,−π[

≠ 0

Elíptica esquerda

π ≠ 0

Linear negativa

− π ≠ 0

Linear negativa

π/2 E =E1 20≠

Circular direita

− π/2 E =E1 20≠ Circular esquerda

] −π, π[ E 01E 02

≠

= Linear nula

] −π, π[ E 01E 02

=

≠ Linear infinita

yE2

E1

x

y E2

E1

x

yE2

E1

x

yE2

E1

x

y E2

E1

x

yE2

E1

x

E2

E1

x

yE2

E1

x

yE2

E1

x

yE2

E1

x

E2

E1

x

E2

E1

x

yE2

E1

x

y E2

E1

x

- x -

Energia média < S > = 1/2 Re (_E x

_H *)

<ue> = 1/2 <ε E2> = 1/4 ε _E .

_E * <um> = 1/2 <μ H2> = 1/4 μ

_H .

_H *

< S > = 1/2 (ε/μ)1/2 |_E0 |2 ek = 1/2 (μ/ε)1/2 |

_H0 |2 ek

<ue> = 1/4 ε _E .

_E *= 1/4 ε |

_E0 |2 = 1/4 μ |

_H0 |2 = <um>

<u> = <ue> + <um> = 1/2 ε |_E0 |2 = 1/2 μ |

_H0 |2

< S > = <u> (με)-1/2 ek = <u> v ek = <u> v

Meio com perdas _γ = α + jβ λ = 2π/β

α = 22 BAA-2

1++ β = 22 BAA

21

++

A = ω2(ε’μ’- ε”μ”) – ωμ”σ B = [ω2(ε’μ”- ε”μ’) + ωμ’σ]/cos ζ

_E (r) =

_E0 e -

_γ . r

_B (r) =

_B0 e -

_γ . r

_E (r) =

_E0 e - . rα e-j( . rβ - ωt) _

B (r) = _B0 e - . rα e-j( . rβ - ωt)

_γ x

_E = jω

_μ

_H

_γ x

_H = - (jω

_ε + σ)

_E

_γ .

_E = 0

_γ .

_H = 0

_H = (

_γ / jω

_μ ) x

_E =

_Y x

_E

_E = [-

_γ / (jω

_ε + σ)] x

_H =

_Z x

_H

_Z = 1/

_Y =

_j_

j

ωμ

ω ε +σ

Z0 = 1/ Y0 = (μo/εo)1/2 ≅ 120π ≅ 376,6 Ω

Vector de Poynting _S =

_E x

_H *= (-

_Z x

_H ) x

_H * =

_Z |

_H |2 -

_H (

_Z .

_H *)

< S > = 1/2 Re (_S )

- xi -

Assumindo que ζ = 0 (onda palna uniforme); _μ = μ’ = μ ;

_ε = ε’ = ε.

Valor exacto Bom dieléctrico

(σ/ωε)2 << 1 Bom condutor (σ/ωε)2 >> 1

Constante de atenuação α = ω

212

112

/

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

ωεσ+

με ≅ ε

μσ2

≅ 2

ωμσ

Constante de fase β = ω

212

112

/

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

ωεσ+

με ≅ μεω ≅

2ωμσ

Impedância da onda Z =σ+ωε

ωμj

j ≅ ε

μ ≅ j)(1

2+

σμω

Comprimento de onda λ =β

π2 ≅

μεω

π2 ≅ 2π

ωμσ2

Velocidade de fase v =β

ω ≅

με

1 ≅

μσω2

Profundidade de penetração δ =α1 ≅

μ

ε

σ2

≅ ωμσ

2

Velocidade de grupo vg = dkdω = v + k

dkdv

Reflexão e refracção de ondas planas Vectores de propagação krτ = kiτ ktτ = kiτ krn = - kin

ktn2 = k2

2- kiτ2

kin = k1 cos θi kiτ = k1 sen θi

θr = θi

Lei de Snell n1 senθi = n2 senθt

Ângulo crítico sen θc = n2/n1 Ei ⊥ plano incidência 1 + (Er/Ei)⊥ = (Et/Ei)⊥ Z1 = (μ1/ε1)1/2 e Z2 = (μ2/ε2)1/2

(Er/Ei)⊥ =t

t

θ+θθ−θ

cosZcosZcosZcosZ

1i2

1i2 (Et/Ei)⊥ = tcosZcosZ

cos2Z

1i2

i2

θ+θθ

- xii -

Com μ1 = μ2 (Er/Ei)⊥ = -)sen()sen(

t

t

θ+θθ−θ

i

i (Et/Ei)⊥ = )sen(

)sen2/n(n

t

21

θ+θθ

i

i

Ei plano incidência 1 + (Er/Ei)|| = (Et/Ei)||

(Er/Ei)|| = t

t

θ+θθ+θ

cosZcosZcosZcos-Z

2i1

2i1 (Et/Ei)|| = t2i1

i2

cosZcosZcos2Z

θ+θθ

Com μ1 = μ2 (Er/Ei)|| = -tg( )i ttg( )i t

θ −θ

θ +θ (Et/Ei)|| =

))cos(sen(sencos2

titi

ti

θ−θθ+θθθ

Ângulo de Brewster tgθp = n2/n1

Reflexão total _Et =

_E0t e-αz ej(ωt - βx)

α = (n2ω/c)[(senθi/senθc)2-1]1/2 β = k1senθi = (ω/v1)senθi = (ωn1/c)senθi

v2x = c/n1senθi = (senθc/senθi) v2

_ _E / Er i = e-j2ϕ |

_ _E / Er i | = 1

tg ϕ|| = ( )[ ]

i

1/2i

2221

21

12

cos1sen/nn

nn

θ−θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

tg ϕ⊥ = 2

12

21

nn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μμ

tg ϕ||

Energia R = | _ _E / Er i |2

R⊥ = 2

Z cos Z cos2 i 1 tZ cos Z cos2 i 1 t

⎛ ⎞θ − θ⎜ ⎟⎜ ⎟θ + θ⎝ ⎠

R|| = 2

Z cos Z cos1 i 2 tZ cos Z cos1 i 2 t

⎛ ⎞− θ + θ⎜ ⎟⎜ ⎟θ + θ⎝ ⎠

T = iθ

θcosZcosZ

2

t1 | _ _E / Et i |2

T⊥ = ( )

4Z Z cos cos1 2 i t2

Z cos Z cos2 i 1 t

θ θ

θ + θ T|| =

( )4Z Z cos cos1 2 i t

2Z cos Z cos1 i 2 t

θ θ

θ + θ

R + T = 1

- xiii -

Reflexão em superfície Et = E0t e- z p Re[ej(ωt - β2e e

Ψ . r)]

de condutor eΨ = senψ2 ex + cosψ2 ey β2e =[(β1 senθi)2 + q2]1/2

p = s (α2 cosζ – β2senζ) ψ2 = arctg (β1 senθi/q)

q = s(α2 senζ + β2cosζ) s ejζ = i2

2

22

1 senj

j1 θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+α

β− =

____cos tθ

v = ω/β2e = ( ) 22

i1 qsen +θβ

ω

(_ _E / Er i )⊥ =

_ ____Z cos Z cos2 i 1 t_ ____Z cos Z cos2 i 1 t

θ − θ

θ + θ

(_ _E / Er i )|| =

_ ____- Z cos Z cos21 i t

_ ____Z cos Z cos21 i t

θ + θ

θ + θ

Com meio 2 α2 ≅ β2 ≅ 2

22σωμ e θt ≅ 0 ⇒

____cos tθ =1 = sejζ ⇒ s =1 e ζ = 0 ⇒ p ≅ α2 e q ≅ β2

bom condutor ψ2 ≅ arctg [(2ωεo/σ2)1/2 senθi]

(_ _E / Er i )⊥ ≅

_cos Z / Z2i 1

_cos Z / Z2i 1

θ −

θ +

≅ -1 (_ _E / Er i )|| ≅

_-cos Z / Z2i 1

_cos Z / Z2i 1

θ +

θ +

≅ -1

Óptica Interferência I = 4 Io cos2 k(d2-d1)/2 I ≈ 4 Io cos2 (πdz/λD) zImax = mλD/d e zImin = mλD/d + λD/2d

Difracção(f. rectang.) Er = A ( )a / 2

a / 2cos k R z 'sen t dz '

+

−− θ − ω⎡ ⎤⎣ ⎦∫ = A

( )( ) ( )sen / 2d

cos kR tR / 2

ϕ− ω

ϕ

ϕ = ka sen θ = (2π/λ)a sen θ

IP = Io 2sen ( / 2)

2( / 2)

ϕ

ϕ z = OP = f tg θ ≅ f sen θ

Difracção(f. circular) I(θ) = I(0)( ) 2

2J kasen1kasen

θ

θ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

- xiv -

senθ = 1,22 λ/D q1 = 1,22 λf/D

Difracção(rede) IP = Io 2 2sen ( / 2) sen (p / 2)

2 2( / 2) sen ( / 2)

ϕ Φ

ϕ Φ

ϕ = ka sen θ = (2π/λ)a sen θ Φ = kd sen θ = (2π/λ)d sen θ z = OP = f tg θ ≅ f sen θ sen θ = Φ/kd = ϕ/ka

z = λfΦ/2πd = λfϕ/2πa