SERVIO PBLICO FEDERALUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARINSTITUTO DE TECNOLOGIAFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL FEC/ITEC/UFPaGRUPO DE ANLISE EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS E MATERIAISProf. Dr. Alcebades Negro Macdo1 Estados Limites ltimos devido ao Momento Fletora) Flexo Simples Reta-NBR 7190/97 recomenda que se adote para o vo terico (L) o menor dos valores apresentados a seguir:cm. 10 que maioracrscimo do consideranse no mas vo, do meio no seo da altura da acrescido livre vo o -apoios; dos eixos entre distnciaL-Para as peas de madeira submetidas a momento fletor devem ser feitas as seguintes verificaes de segurana:d , 0 ccsdd , cfWM = d , 0 ttsdd , tfWM = c,d e t,d - tenses atuantes de clculo nas bordas comprida e tracionada da seoconsiderada, conforme fig. 1.emdulos de resistncia da seo transversal da pea:I - o momento de inrcia.fcd eftd - so as resistncias de clculo compresso e trao.ccyIW =ttyIW = borda 1 c,d y y =Seo retangularFigura 1 - Flexod ao de plano de d Msy t c y G Msborda 2 t,d d , c d , tC tt tC tW WyIyIy y ====b) Flexo Simples Oblqua-Verificao feita para as sees submetidas a um momento fletor cujo plano deao no contm um dos seus eixos principais de inrcia.1fkfwdd My,Mwdd Mx, +1ffkd My, d Mx,M +Mx,d e My,d - tenses mximas devidas as componentes de flexo.fwd- a resistncia de clculo (trao ou compresso).kM - coeficiente de forma geomtrica da seo considerada:* Retangular: kM = 0,5*Outras sees: kM = 1,01f fkwd wdM +c) Estado Limite ltimo de Instabilidade Lateral- Deve ser verificada por teoria com validade comprovadaexperimentalmente;- A NBR 7190/97 no apresenta nenhum critrio comprovadoexperimentalmente;- No caso de vigas de seo retangular pode-se dispensar estaverificao quando: verificao quando: Os apoios de extremidade da viga impedirem a rotao de suas seesextremas em torno do eixo longitudinal da pea; Existir um conjunto de elementos de travamento ao longo docomprimento L da viga, afastados de uma distncia L1; Atender a condio:d 0 c Mef , 0 c01bfEbL = =L1 - distncia entre os elementos de travamentob - largura da seo transversal da viga.M - coeficiente de correo, expresso por:2123wcEM63 , 0hbh26 , 01||

|||

\| =h - altura da seo transversal da viga.E - coeficiente de correo.wc - coeficiente de ponderao de resistncia compresso (1,4).*Para wc = 1,4 e E = 4, a NBR 7190/97 fornece os valores de M: 63 , 0bh||

\|MM1 6,0 11 41,22 8,8 12 44,83 12,3 13 48,54 15,9 14 52,15 19,5 15 55,86 23,1 16 59,47 26,7 17 63,08 30,3 18 66,79 34,0 19 70,3b h / b h /9 34,0 19 70,310 37,6 20 74,0Para tambm se dispensa a verificao do estado limite ltimo de instabilidade lateral, desde que sejam satisfeitas as exigncias da flexo simples reta, com:0 b >Mbef , 0 ccdE 2 Estados Limites ltimos para Solicitaes Tangenciais2.1 Estado Limite ltimo para Esforo Cortante na Flexo Simples RetaA condio de segurana em relao s tenses cisalhantes :d - mxima tenso de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado da peafv0,d - a resistncia ao cisalhamento paralelo s fibras.Para seo retangular de largura b e altura h, d expresso por:d , 0 v df Vd - esforo cortante de clculo*ANBR7190/97apresentaconsideraes especiais nocasodocisalhamento,variando com o tipo de carregamento e com a variao da seo transversal.bhV23dd = a) Cargas concentradas prximo regio dos apoios- Sees prximas aos apoios, os esforos de cisalhamento podem ser reduzidos ata distncia de 2h. Assim, o clculo de d utiliza um valor reduzido:onde: a - distncia do ponto de aplicao da carga ao eixo do apoio.b) Vigas entalhadas- Em vigas cuja seo transversalsofra bruscas variaes decorrentes de entalhes,h 2aV Vred =- Em vigas cuja seo transversalsofra bruscas variaes decorrentes de entalhes,deve ser feita a majorao dos valores de d, levando-se em considerao a relao(h/h1).onde: h1 - altura da seo enfraquecida.h/h1- fator de amplificao para d.h/h1 4/3.|||

\| =1 1ddhhbhV23h1hh1h1aSituao: h1> 0,75 hFIGURA Variao de seo (Fonte: NBR 7190/97).2aSituao: h1< 0,75 h- NestasituaoaNBR7190/97recomendaautilizaodeparafusos verticaish1hh1hdimensionados traoaxial obtidapelatotalidadedoesforocisalhanteasertransmitido;- Ou adotar variaes de seo atravs do emprego de msulas cujo comprimento sejamaior ou igual a trs vezes a altura do entalhe, respeitando o limite h/h1 2.FIGURA Utilizao de parafusos verticais ou msula (Fonte: NBR 7190/97).hh1h3(h-h ) 11h2.2) Estado Limite ltimo para Esforo Cortante na Flexo Oblqua- Recomenda-se, neste caso, determinar para o mesmo ponto as tensescisalhantes para cada componente de esforo cortante Vdxe Vdy, de acordocomfrmuladeZuravischi, calculandoemseguidaatensotangencialresultante:t IS Vyy dxdx= V 3- Seo Retangulart Iy 2dy2dx d + =h bV23dxdx = h bV23dydy = t IS Vxx dydy= 3 Estados Limites de Utilizao3.1 Estados limites de deformaesa) Deformaes limites para as construes correntes- verificadooestadolimitededeformaesexcessivasquepossamafetar autilizao normal da construo ou seu aspecto esttico.- Paraasaespermanentes, asflechaspodemser compensadaspor contra-flechas, dadas na construo.-A flechaefetivaobtidacomacombinaodeaesdeveatenderasseguintes -A flechaefetivaobtidacomacombinaodeaesdeveatenderasseguinteslimitaes:* No caso de flexo oblqua, permite-se atender os limites anteriores para cada planode flexo isoladamente.balano do o compriment do1001vo do2001d fb)Deformaeslimitesparaaconstruocommateriaisfrgeisnoestruturais verificado o estado limite de deformaes que possam causar danos aosmateriaisfrgeisnoestruturais ligadosaestrutura. Nestasituao, asflechas totais incluindo o efeito da fluncia, tem seus valores limitados por:1vo do3501 f-Asflechascorrespondentesapenassaesvariveistemseuslimitesfixados em:balano do o compriment do1751 cm 1,5balano do o compriment do1501vo do3001fc) Deformaes limites para construes especiais-Estas deformaes tmseus limites estabelecidos peloproprietriodaconstruo ou por normas especiais referentes s mesmas.3.2 Estados Limites de Vibraes- Devem ser evitadas as vibraes excessivas nas estruturas atravs dasdisposies construtivas adequadas, demodo a asseguraro conforto e asegurana dos usurios.- Em estruturas regularmente utilizadas, tais como pisos de residncias e deescritrios, deve ser obedecido o limite de freqncia natural de vibrao 8Hz.- Emconstruescorrentes, tal condiosatisfeitaseaaplicaodocarregamento correspondente combinao de curta durao resultar numaflecha 1,5cm.Exemplo 1 Flexao simples retaa) MLC em piso de Bibliotecab) G = 550daN/mc) S = 350daN/md) Q = 300daN/me) Dicotilednea (Amb. Seco)f) L = 30m; L1 = 6mg) b = 30cm; h = x10cm e cf = 8cmSoluo -Resistncias e rigidez de clculo.Kmod= Kmod1.Kmod2.Kmod3 = 0,7.1,0.1,0 =0,7fc0,d= Kmod.fc0,k/ wc= 0,7.40 / 1,4 = 20MPa = 200daN/cmf = K .f / = 0,7.6 / 1,8 = 2,33MPa = 23,3daN/cm fv0,d= Kmod.fv0,k/ wv= 0,7.6 / 1,8 = 2,33MPa = 23,3daN/cmEc0,ef= Kmod.Ec0,m= 0,7.19.500 = 13.650MPa = 136.500daN/cm-Solicitaes de clculo. = =((

+ + =n1 im2 jk , Qj j 0 k , 1 Q Q k , Gi G dF F F F m / daN 582 . 1 ) 350 8 , 0 300 ( 4 , 1 550 4 , 1 ) S Q ( G qm / daN 596 . 1 ) 300 8 , 0 350 ( 4 , 1 550 4 , 1 ) Q S ( G qS , 0 Q G dQ , 0 Q G d= + + = + + = = + + = + + =

daN 940 . 23230 596 . 12L qVcm daN 10 179550 m daN 550 . 179830 596 . 18L qMdsd22 2dsd=== = === -Condio de Segurana (momento).W = bh/6 = 30h/6 = 5hd , 0 csdd , t d , cfWM = = cm 134 h 200h 5 10 1795502 ) adotado ( cm 140 h =-Condio de Segurana (instabilidade).ELI = bh/12 = 30.140/12 = 6.860.000cm4301404 1bh12323||

\|||

\|d 0 c Mef , 0 c01bfEbL = =55 , 1763 , 030140304 , 1426 , 0163 , 0bhb26 , 012121wcEM=||

\||

\ =||

\||

\ = 9 , 3820 55 , 17650 . 13fE2030600bLd 0 c Mef , 0 c01b== = = = = ok-Condio de Segurana (Cortante). cm / daN 55 , 8140 30940 . 2323bhV23dd= = = d , 0 v df cm / daN 3 , 23 f cm / daN 55 , 8d , 0 v d= = ok-Estados Limites de Utilizao (longa durao - estruturas correntes). = = + =m1 jk , Qj j 2n1 ik , Gi util , dF F F m / daN 940 300 6 , 0 350 6 , 0 550 Q S G qQ , 2 S , 2 d= + + = + + = cm 6 , 10000 . 860 . 6 500 . 136 3843000 40 , 9 5I E 384L q 5f4ef , 0 c4dd= = = cm 153000 Lf cm 60 , 2 8 6 , 10 cf f f = = = < = = = OK!cm 15200 200f cm 60 , 2 8 6 , 10 cf f flim d ef , d= = = < = = = OK!Exemplo 2 Flexo Simples Oblquaa) MLC (Confera C30)b) G = 140daN/m (vertical)c) P = 80daN (vertical)d) Q = 40daN/m (plano do telhado)e) Dicotilednea (Amb. Seco)f) L = 30m; L1 = 6mg) b = 15cm; h = 40cmA = 15.40 = 600cmIx=bh/12 = 15.40/12 = 80.000cm4Ix=bh/12 = 15.40/12 = 80.000cmIy=bh/12 = 15.40/12 = 11.250cm4Wx=bh/6 = 15.40/6 = 4.000cmWx=bh/6 = 15.40/6 = 1.500cm-Resistncias e rigidez de clculo.Kmod= Kmod1.Kmod2.Kmod3 = 0,7.1,0.1,0 =0,7fc0,d= Kmod.fc0,k/ wc= 0,7.30 / 1,4 = 15MPa = 150daN/cmfv0,d= Kmod.fv0,k/ wv= 0,7.6 / 1,8 = 2,33MPa = 23,3daN/cmEc0,ef= Kmod.Ec0,m= 0,7.14.500 = 10.150MPa = 101.500daN/cm-Solicitaes de clculo. = =((

+ + =n1 im2 jk , Qj j 0 k , 1 Q Q k , Gi G dF F F F - x-x.m daN 7 , 487 M) 80 5 , 0 5 , 72 ( 4 , 1 254 3 , 1 M) M M ( M Md , xd , xQ , x Q , 0 P , x Q G , x G d , x = + + =+ + = ) 5 , 72 4 , 0 80 75 . 0 ( 4 , 1 254 3 , 1 M) M M 75 , 0 ( M Md , xS , x S , 0 Q , x Q G , x G d , x + + =+ + =

= 80dan.mm daN 8 , 454 M) 5 , 72 4 , 0 80 75 . 0 ( 4 , 1 254 3 , 1 Md , xd , x = + + =daN 95 , 436 V) 80 5 , 0 25 , 36 ( 4 , 1 254 3 , 1 V) V V ( V Vd , yd , yQ , y Q , 0 P , y Q G , y G d , y= + + =+ + = daN 5 , 434 V) 25 , 36 4 , 0 80 75 . 0 ( 4 , 1 254 3 , 1 V) M V 75 , 0 ( V Vd , yd , yS , y S , 0 Q , y Q G , y G d , y= + + =+ + =

-Solicitaes de clculo. = =((

+ + =n1 im2 jk , Qj j 0 k , 1 Q Q k , Gi G dF F F F - y-y.m daN 12 , 201 M81 , 33 4 , 1 3 , 118 3 , 1 MM M Md , yd , yP , y Q G , y G d , y = + =+ = 9 , 16 4 , 1 3 , 118 3 , 1 VV V VP , x Q G , x G d , x + = + =

= 80dan.mdaN 45 , 177 V9 , 16 4 , 1 3 , 118 3 , 1 Vd , xd , x= + =

-Condio de segurana (momentos).1fkfwdd My,Mwdd Mx, +1ffkwdd My,wdd Mx,M +1fkfd c0,d My,Md c0,d Mx, +1ffkd c0,d My,d c0,d Mx,M + cmdaN19 , 12000 . 4770 . 48WMxd , xd Mx,= = = cmdaN41 , 13500 . 1112 . 20WMyd , yd My,= = =1 126 , 015013,415 , 015012,19 = + 1 13 , 015013,4115012,195 , 0 = +OK!-Condio de Segurana (instabilidade).d 0 c Mef , 0 c01bfEbL = =68 , 1063 , 0154015404 , 1426 , 0163 , 0bhbh26 , 0121232123wcEM=||

\|||

\| =||

\|||

\| = 36 , 6315 68 , 10150 . 10fE3 , 1315200bLd 0 c Mef , 0 c01b== = = = = OK!-Condio de Segurana (Cortante). cm / daN 44 , 040 1545 , 17723bhV23d , xd , x= = = d , 0 v df cm / daN 3 , 23 f cm / daN 85 , 0d , 0 v d= = cm / daN 73 , 040 1595 , 43623bhV23d , yd , y= = = cm / daN 85 , 0 73 , 0 44 , 02 2 2d , y2d , x d= + = + = OK!-Estados Limites de Utilizao (longa durao - estruturas correntes). + =m nF F F 0 e 2 , 0 = = = = + =1 jk , Qj j 21 ik , Gi util , dF F F cm 052 , 0000 . 80 500 . 101 384400 269 , 1 5I E 384L ) 25 cos( G 5f4x ef , 0 c4 oG , x= = = 0 e 2 , 0Q 2 P 2= = - x-x.Q , x Q 2 P , x P 2 G , x d , xf f f f + + =cm 012 , 0000 . 80 500 . 101 48400 5 , 72I E 48L ) 25 cos( Pf3x ef , 0 c3 oP , x= = = cm 2200Lf cm 544 , 0 012 , 0 2 , 0 052 , 0 f f flim P , x P 2 G , x d , x= =