EMPREGO DOS MTODOS DE ENERGIA NO CLCULO DOS DESLOCAMENTOS EM VIGAS Samuel Sander de Carvalho Departamento de Eng.Mecnica Universidade Federal de So Joo del-Rei UFSJ, So Jao del-Rei - MG E-mail: sandercomputacao@yahoo.com.br Cristiano Gabriel PerschDepartamento de Eng. Civil Universidade Federal de Santa Maria UFSM, Santa Maria - RS E-mail: cristianog.persch@bol.com.br Andr Luis Christoforo Departamento de Eng.Mecnica Universidade Federal de So Joo del-Rei UFSJ, So Jao del-Rei - MG E-mail: alchristoforo@ufsj.edu.br Paulo Csar Monteiro Lamim Filho Departamento de Eng.Mecnica Universidade Federal de So Joo del-Rei UFSJ, So Jao del-Rei - MG E-mail: lamim@ufsj.edu.br RESUMO:Nodimensionamentoestrutural,vrioscritriosdevemserabordadosparaa projeodeumaestruturaqueatendaaosparmetrosmnimosdefuncionalidadeede integridade.Dentreelesestoosestadoslimitesltimoseosestadoslimitesdeutilizao. Ambossoparmetrosquelevamemconsideraoadeformabilidadedaestrutura,para tanto,oseuconhecimentotorna-senecessrio.Amecnicaclssicadeterminaessas deformaespormeiodaresoluodaequaodalinhaelstica,queexigeasoluode uma equao diferencial de segunda ordem, porm, nem sempre a soluo simples, ainda maisemestruturascomplexasouatmesmoemestruturassimples,sobaaodevrios carregamentos.Paracontornaraproblemtica,opresentetextoabordaumaalternativa paraoclculodedeformaesemvigasempregandoosmtodosdeenergia.Aideologia baseia-senosconceitosdeequilbrioenergticoenvolvidosemumaestruturaquando submetida a um determinado carregamento. Palavras-chave: Vigas, Deformaes, Mtodos de Energia 1 CONEMAT 4 SEAA Sinop, Mato Grosso, 22 a 25 de Setembro de 2010 Anais do 1 CONEMAT Congresso das Engenharias, Arquitetura e Agronomia de Mato Grosso | 2 1INTRODUO Nodimensionamentoestrutural,inmeroscritriossolevadosemconsiderao. Dentre os principais esto a natureza e a intensidade dos carregamentos ao qual uma estrutura estarsujeita.Apartirdisso,concebido umelementoousistemaestruturalquesuporte os esforos e mantenha a sua funcionalidade sem perder a estabilidade. Quandoumaestruturasubmetidaaumdadocarregamento,aenergiapotencial proveniente das foras atuantes convertida, dentre outras formas, em energia cintica, que se manifesta em forma de pequenos deslocamentos (deformaes). Esses deslocamentos, por sua vez,no devem exceder o que se denomina de estadoslimites, que soestados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenhos inadequados s finalidades da construo. Duassituaessoconsideradas:osestadoslimitesltimoseosestadoslimitesde utilizao. Para os estados limites de utilizao, a estrutura deve ter um deslocamento que no comprometaacondiodeusodesejada,ouseja,adeformaonodevetrazerum desconforto para o ambiente e seus usurios. J para o estado limite ltimo, quando alcanado tem-seocomprometimentoeparalisaodaestruturaemfunodediversasdeficincias como ruptura, instabilidade e perda de equilbrio. Dessaforma,nodimensionamento,essescritriosdeestadoslimitessolevadosem considerao,paraqueapeaconcebidaeseusrespectivosdeslocamentos(deformaes) atendamadequadamenteaosparmetrosdefuncionalidade.Porm,adeterminaodos requisitosparaoclculodessesdeslocamentosnamaioriadoscasosconstituiumatarefa complexa e bastante laboriosa. O mtodo abordado tradicionalmente pela mecnica dos materiais para a determinao dedeformaesemestruturaseaanlisedosparmetrosdeutilizaocontempladopela resoluo da equao diferencial da elstica, proveniente da geometria diferencial, e que exige o conhecimento dos esforos solicitantes intrnsecos estrutura.Devidoacomplexidadededeterminadasestruturas,nemsemprearesoluoda equaodiferencialsimples.Emfunodisso,paraadeterminaodedeslocamentosem estruturas,podemserempregadososmtodosdeenergia,queummtodoalternativo,de fcil entendimento e aplicabilidade. Essemtodosebaseianosconceitosdeenergiaenvolvidosemumaestrutura submetida a um determinado carregamento. O presente trabalho visa desenvolver a teoria dos mtodos de energia aplicada ao clculo de deformaes em vigas. Como mtodo auxiliar, as deformaes sero substitudas por funes que, atendendo as devidas condies de contorno, traro um deslocamento aproximado daquele que se dispe na realidade. 2 DESENVOLVIMENTO DA EQUAO DIFERENCIAL DA ELSTICA Oclculo dosdeslocamentos(deformaes)emvigaspelaaodecargasexternas tradicionalmente contemplada pela resoluo da equao diferencial da elstica. Essa equao seaplicaparaestruturasquesecomportamdentrodoquesedenominaderegimeelstico-linear1. Considere a estrutura daFigura 1 que representa uma viga bi-apoiada solicitada por momentos fletores2 externos.

1 Materiais que apresentam caractersticas em conformidade com a lei de Hooke, onde a tenso proporcional deformao. 2 Esforo atuante na estrutura que tende a flexionar a pea. 1 CONEMAT 4 SEAA Sinop, Mato Grosso, 22 a 25 de Setembro de 2010 Anais do 1 CONEMAT Congresso das Engenharias, Arquitetura e Agronomia de Mato Grosso | 3 Pelaaodomomentofletorexterno,avigasedeformaemrelaoasuaposio inicial. A essa deformao se d o nome de flexo e caracterizada pela curvatura do eixo da viga.Apartirdessacurvasedefinealinhaelsticacujaequaopossibilitadeterminaro deslocamento transversal ou flecha v de qualquer posio ao longo do comprimento da viga. Na geometria diferencial, a curvatura (1/r) determinada por meio da equao: 2322211(((

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\|+=dxdvdxv dr (1) Onde: v deslocamento da estrutura; r raio da curvatura; Admitindo pequenas deformaes, o termo (dv/dx) pode ser desprezado em relao a unidade. Assim, a equao (1) torna-se: 221dxv dr =(2) Da teoria de flexo em barras, e da lei de Hooke, as seguintes equaes so vlidas, respectivamente: ry= (3) yIMz. = (4) . E = (5) Onde: Figura 1 - Viga bi-apoiada solicitada por momentos fletores externos 1 CONEMAT 4 SEAA Sinop, Mato Grosso, 22 a 25 de Setembro de 2010 Anais do 1 CONEMAT Congresso das Engenharias, Arquitetura e Agronomia de Mato Grosso | 4 c - deformao da estrutura; o - tenso atuante; M momento fletor; Iz momento de inrcia; E mdulo de elasticidade Assim: ryE yIMz. . =ou zI EMr .1= (6) Das equaes (2) e (6), resulta a equao (7): zI EMdxv d.22= (7) O produto E.Iz denominado de rigidez contra a flexo, e sempre positivo. Assim, os sinais do momento fletor (M) e da derivada segunda (dv/dx) devem ser coerentes. Admite-sedeslocamentotransversalvpositivopara osentido da partetracionadapor um momento fletor positivo. Na viga horizontal, v positivo de cima para baixo. Respeitandoasconvenesdesinaisadotadas,tem-se:M>0traonasfibras inferioresev>0parabaixo.Dessaforma,paraM>0,resulta(dv/dx)