Aula 8 -Deslocamentos Em Vigas

Resistência dos Resistência dos Materiais IMateriais IMateriais IMateriais I

AULA 8 AULA 8 –– DESLOCAMENTOS DESLOCAMENTOS EM VIGASEM VIGAS

Prof José Julio de C PitubaDepto de Engenharia Civil

Campus Catalão

Deslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigasDeslocamentos em vigas

8.1 Introdução

� A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga

em relação a sua posição inicial.

� Por isso, deve-se frequentemente limitar os valores de deflexão de � Por isso, deve-se frequentemente limitar os valores de deflexão de

maneira a impedir desalinhamentos em elementos de máquinas, e

deflexões excessivas de vigas em prédios na construção civil.

� Métodos de determinação de deflexão e inclinações em pontos

específicos da viga serão discutidos.

8.2 Linha elástica

� Definir a forma defletida da viga sob a carga a fim de visualizar todos os

resultados calculados.

� Diagrama de deflexão: linha elástica


� Apoios podem limitar o deslocamento e/ou a rotação

8.2 Linha elástica

� Se a linha elástica for difícil de traçar desenhar primeiro o diagrama de

momento fletor.


8.3 Relação Momento-Curvatura

� Relação importante entre o momento fletor interno da viga e o raio de curvatura ρ da linha elástica em determinado ponto.

� Determinar a inclinação e o deslocamento da linha elástica de uma viga (ou eixo)

� No desenvolvimento da teoria de deflexão de vigas, deve-se considerar a hipótese fundamental da teoria da flexão na qual as seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão.




A variação de comprimento ∆u das fibras pode ser expressa por:

onde du/ds é a deformação linear de uma fibra da viga a uma distância y do eixo neutro. Assim:

onde κ é definido como sendo a curvatura.

⇒I

My

E

−=σ

ε=σ

EI

M1 =ρ⇒



Para regime elástico linear

dx

d1

ddx

θ=ρ

θρ=

Inclinação da curva de deflexão

⇓

8.4 Inclinação e deslocamento pelo método da integração direta

� A linha elástica é expressa matematicamente como ν = f(x).

� Para obter esta equação, é preciso representar a curvatura (1/ρ) em termos da

deflexão ν e x.

dxd1 22ν


( )[ ]

( )[ ] EI

M

dxd1

dxd

dxd1

dxd1

23

2

22

23

2

22

=ν+

ν

ν+

ν=ρ Equação infinitesimal não-linear de segunda

ordem. Sua solução dá a forma exata da linha

elástica⇒

Inclinação da linha elástica ⇒ dx

dν=θ

� A inclinação da linha elástica determinada por dν/dx é muito pequena e seu

quadrado desprezível em comparação a unidade.

� A curvatura portanto, pode ser aproximada por:

Mdd1 22 νν



EI

M

dx

d

dx

d12

2

2

2

=ν⇒

ν=ρ

ν=−⇒=−

ν=⇒=

2

2

2

2

2

2

dx

dEI

dx

dw

dx

dVw

dx

dEI

dx

d)x(V

dx

dMV

�É possível escrevê-la de duas formas:

� Os resultados podem ser

escritos da seguinte

forma:



)x(Mdx

dEI

)x(Vdx

dEI

)x(wdx

dEI

2

2

3

3

4

4

=ν

=ν

−=ν

Como um exemplo geral de cálculo de deflexão de vigas, pode-se considerar uma viga com carga distribuída. A deflexão neste caso é obtida após quatro integrações sucessivas.



As constantes C1, C2, C3 e C4 sãodeterminadas impondo as condições decontorno. Para o caso de w(x), V(x) econtorno. Para o caso de w(x), V(x) eM(x) descontínuos, a solução pode serachada para cada segmento da vigaonde as funções são contínuas,impondo a continuidade de deflexãonos contornos comuns de cadasegmento da viga.

� Convenção de sinais:



� Condições de contorno:



� Continuidade: equações usadas para determinar as constantes de integração



)a()a(

)a()a(

21

21

ν=νθ=θ

APLICAÇÕES !!!APLICAÇÕES !!!

8.5 Superposição de efeitos

Deslocamentos e inclinação tabelados


( ) ( )( ) ( )2C1CC

2A1AA

ν+ν=νθ+θ=θ

8.6 Vigas estaticamente indeterminadas

PARA RESOLVER O


PROBLEMA: EQUAÇÕES

DE CONTORNO E/OU

CONTINUIDADE


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