ENG 03031 Dinâmica de Veículos Mecânica analítica1 Objetivos: Apresentar o enfoque lagrangeano...

Mecânica analítica 1ENG 03031 Dinâmica de Veículos

Objetivos:

• Apresentar o enfoque lagrangeano na formulação das equações de movimento.

• Mostrar como o método lagrangeano resolve as dificuldades da aplicação direta das leis de movimento de Newton em sistema complexos.

• Mostrar como as equações de Lagrange apresentam as equações de movimento numa forma padrão mais conveniente.

MECÂNICA ANALÍTICA


Graus de liberdade (GDL)

• O número de GDL é igual ao número de coordenadas (n) usadas para especificar o sistema menos o número de equações independentes de restrição (m).

• Partícula em movimento na superfície de uma esfera fixa de raio R. As coord. de posição (x,y,z) estão relacionadas pela equação de restrição.

220

20

20 Rzzyyxx

Usando a posição (x0,y0,z0) de um ponto arbitrário da barra e as coordenadas esféricas e para orientação; GDL=5.

• O número de GDL é uma característica do sistema, não depende do conjunto particular coordenadas de configuração. Assim, a escolha de coordenadas só influencia n e m.

O centro da esfera está localizado em (x0,y0,z0). Assim n=3, m=1 e GDL=2.

• Movimento de duas partículas m1 e m2 conectadas por uma barra sem massa, rígida e de comprimento l; restrita por,

2221

221

221 lzzyyxx

Assim n=6, m=1, GDL=n-m=5

Duas partículas unidas por uma barra rígida

mnGDL


Coordenadas generalizadas• Coordenadas generalizadas. Conjunto

de números que serve para especificar a configuração de um sistema, por exemplo os sistemas coordenados ou qualquer parâmetro de configuração.

• Para sistemas em movimento, estes números variam com o tempo e são tratados como variáveis algébricas.

• O termo coordenada generalizada pode-se referir aos sistemas coordenados, ou a qualquer conjunto de parâmetros de configuração.

• A análise matemática de um sistema dinâmico é simplificada escolhendo um conjunto de coordenadas generalizadas independentes igual ao número de GDL, sem equações de restrição.

• Equações de transformação, para N partículas, de um conjunto de 3N coordenadas x cartesianas para n coordenadas q generalizas,

tqqqfx

tqqqfx

tqqqfx

nNN

n

n

,,...,,

...

,,...,,

,,...,,

2133

2122

2111

• Para l equações de restrição relacionando os x´s e m equações de restrição dos q´s.

mnlNGDL 3


RestriçõesRestrições holonômicas

Sistema descrito por n coordenadas generalizadas q1,q2,q3; sujeito a m equações de restrições holonômicas independentes da forma:

mjtqqq nj ,...,2,1 0,,...,, 21

Procura-se um conjunto de coordenadas generalizadas que assumindo valores arbitrários não viole as restrições.

Um sistema sujeito só a restrições holonômicas permite encontrar um conjunto de coordenadas generalizadas, igual ao número de GDL.

Exemplo: pendulo duplo.

As barras de comprimento l1 e l2 são rígidas e sem massa. Sistema com pino em m1 e O para ter movimento no plano.

Equações de restrição:

22

21212

21

21

21

)( lyyxx

lyx

• Restrições holonômicas escleronômicasNão dependem do tempo.

• Restrições holonômicas rheonômicasSão funções explícitas do tempo.


Restrições (cont.)

Restrições holonômicas (cont.)

No exemplo do pendulo duplo é possível encontrar um conjunto de coordenadas generalizadas independentes (1, ) com o mesmo número dos GDL.

O pendulo duplo constitui um sistema conservativo.

• Sistema holonômicoSem equações de restrição ou todas elas holonômicas.

• Sistema escleronômicoi) As eqs. de restrição não apresentam funções explicitas do tempo

ii) As eqs. de transformação expressam as coordenadas cartesianas x´s só como função das q´s, não do tempo.

Os sistemas sem atrito com restrições escleronômicas são conservativos.

Seja uma equação de restrição da forma:

0,,...,, 21 tqqqf n

ela pode ocorrer quando por exemplo um conjunto de partículas está contido dentro de uma superfície fechada.



Restrições não holonômicas

Restrições colocadas em termos de expressões diferenciais não integráveis das coordenadas e do tempo

),...,2,1( 01

mjdtadqan

ijtiji

a: função dos q´s e do tempo

Não da para eliminar as coordenadas utilizando as equações de restrição.

Os sistemas contendo estas restrições precisam mais coordenadas para sua descrição que os GDL.

As condições de exatidão, necessárias para integração da expressão são:

)21( , ,...,n,i,kq

a

t

a

q

a

q

a

i

jtji

i

jk

k

ji


Exemplo: disco vertical que rola sem deslizamento no plano horizontal xy

Coordenadas: posição (x,y) do ponto de contacto, ângulo de rotação do disco, ângulo entre plano do disco e o plano yz.


Restrições não holonômicas (cont.)

Assim, GDL=4-2=2:

As expressões não são diferencias exatos:

0),,,(

dF

dF

dyy

Fdx

x

FyxdF

As restrições não holonômicas não reduzem os possíveis valores das coordenadas generalizadas (x,y,,).

Em nível de pequenos deslocamentos, só dois deslocamentos diferenciais independentes ficam, correspondentes aos GDL. Arbitrando d e d obtêm-se dx e dy pelas eqs. de restrição.

Equações de restrição de rolamento sem deslizamento, não integráveis:

0

0

dsenrdy

dsenrdx


Trabalho virtual

os deslocamentos virtuais x estão relacionadas pelas m equações

obtidas ao fazer dj=0, onde foi substituido os dx’s por t’s, além de que t=0.

onde Fi é a força aplicada à partícula i cujo vetor posição é ri.

Caso. Se as coordenadas cartesianas estão sujeitas às restrições holonômicas,

N

i

ii

N

j

jj xFW1

3

1

rF

),..,2,1( 03

1

mjxx

N

ii

i

j

Da mesma forma, para caso de restrições não-holonômicas, os x’s são restritos por equações da forma,

),..,2,1( 03

1

mjxaN

iiji

Deslocamento e trabalho virtual

Seja um sistema com N partículas, definido em coordenadas cartesianas x1,x2,...,x3N, onde três coordenadas especificam a posição da partícula.

Suponha as forças F1,F2,...,F3N ou F1,F2,...,FN aplicadas nessas coordenadas na direção positiva.

Imagine o sistema submetido a pequenos e arbitrários deslocamentos virtuais 1,2,..., 3N, os quais ocorrem sem a passagem do tempo e com detenção das restrições de movimento.

O trabalho virtual das forças aplicadas, as quais resultam constantes, é:

m,...,,jt,x,...,x,x Nj 2 1 0321


Condições de restrição implicam em...

rR eRR 221

forças impostas ao sistema de partículas....

logo, consideremos o trabalho feito por alguns tipos de forças de restrição.

As forças transmitidas pela barra às partículas devem ser iguais, opostas e colineares.

Assumindo que R1 é a força de restrição em m1 e R2 é a força de restrição em m2,

Seja os deslocamentos virtuais r1 e r2, o trabalho virtual das forças de restrição é,

2211 rRrR W

O trabalho virtual das forças de restrição é nulo.

Trabalho virtual (cont.)

Forças de restrição

Exemplo: Duas partículas unidas por uma barra rígida sem massa

er: vetor unitário de m1 a m2

mas as componentes de deslocamento ao longo da barra rígida devem ser iguais, o que resulta na restrição,

21 rere rr

logo,

0

)(

122

1212

2212

re

rere

rere

r

rr

rr

RR

RR

RRW


Separa-se a força total que atua na partícula mi na força de restrição que não realiza trabalho Ri e na força aplicada Fi.

Se um sistema de N partículas está em equilíbrio estático, logo em cada partícula

) ..., ,2 ,1( , Niii 0RF

O trabalho virtual das forças a partir dos deslocamentos virtuais ri é,

A condição para equilíbrio estático de um sistema escleronómico sem movimento sujeito a restrições bilaterais que não fazem trabalho é o trabalho virtual nulo das forças aplicadas ao se mover através de deslocamentos virtuais.


O princípio do trabalho virtual - P.T.V.

Logo,

Seja um sistema de N partículas onde as forças aplicadas são conservativas.

Usando coordenadas cartesianas para definir a posição das partículas, a função de energia potencial pode ser escrita,

),...,,()( 321 NxxxVxVV

0)(111

N

iii

N

iii

N

iiii rRrFrRF

O trabalho virtual das forças forças de restrição é nulo,

01

N

iii rR

01

N

iiiW rF

A componente da força aplicada na direção xi é:

ii x

VF


Colocando a energia potencial em termos das coordenadas generalizadas q1,...,qn:

Via PTV, condição necessária e suficiente para equilíbrio estático de um sistema conservativo com restrições bilaterais,


O princípio do trabalho virtual (cont.)

Trabalho virtual das forças aplicadas para um deslocamento virtual consistente com as restrições:

N

ii

i

N

iii x

x

VxFW

3

1

3

1

0V

N

ii

i

xx

VV

3

1

A primeira variação na energia potencial devido a um deslocamento arbitrário é:A primeira variação na energia potencial devido a um deslocamento arbitrário é:

n

ii

i

qq

VV

1

Assume-se um conjunto de coordenadas generalizadas independentes com restrições holonômicas. Em equilíbrio V=0, para uma escolha arbitrária dos q’s, os coeficientes devem se anular,

)1,2,...,( ,0 niq

V

i

A configuração de equilíbrio estático de um sistema holonômico conservativo com restrições fixas que não realizam trabalho ocorre quando a energia potencial mostra um valor estacionário.


Considere um sistema de N partículas com restrições bilaterais que não geram trabalho.

Utiliza-se o PTV para obter a forma Lagrangeana do Princípio de D’Alembert :


Princípio de D’Alembert

Seja uma partícula de massa m sujeita à aceleração absoluta a, por causa da força externa F, resulta:

0 aF m

0)(1

i

N

iiii m rrF

A força de inércia (–ma) é considerada como uma força adicional na partícula.

Fi: força aplicada em mi

ri: deslocamento virtual de mi

Logo, usa-se os métodos da estática para obter as equações de movimento de um sistema dinâmico.


Seja um sistema de N partículas com posições especificadas pelas coordenadas x1,x2,...,x3N.

Sejam as forças x1,x2,...,x3N aplicadas na direção positiva das coordenadas.

O trabalho virtual das forças em um deslocamento virtual arbitrário consistente com as restrições é:

Forças generalizadas

3

1

N

jjj xFW

Supondo que as coordenadas cartesianas estão relacionadas às coordenadas generalizadas.

Assumindo t=0, podemos obter o deslocamento virtual:

1

n

iii qQW

onde a força generalizada Qi associada com a coordenada generalizada qi é:

)1,2,...,3( 1

Njqq

xx

N

ii

i

jj

N

j

n

ii

i

jj q

q

xFW

3

1 1

O trabalho virtual resulta:

)1,2,...,( 3

1

niq

xFQ

N

j i

jji

Qi é o trabalho virtual por deslocamento unitário de qi pelas forças atuando no sistema quando as outras coordenadas generalizadas ficam constantes.


Forças generalizadas (cont.)

Mas, as forças de restrição (R’s) não devem ser ignoradas, pois juntamente com as forças aplicadas ao sistema, neste caso especial, contribuem com a força generalizada Qi.

Como exemplo, existem forças de restrição generalizadas que ocorrem na análise de sistemas não holonômicos ao ser impossível a escolha de coordenadas generalizadas independentes.

Estas forças de restrição generalizadas são geralmente obtidas através dos multiplicadores de Lagrange.

Considere um sistema holonômico inicialmente sem movimento com restrições fixas que não geram trabalho.

Se sua configuração é expressa em termos de coordenadas generalizadas independentes, a condição necessária e suficiente para equilíbrio estático é zerar os Q’s devido às forças aplicadas.


Derivações das Equações de Lagrange

2

1 3

1

2

N

jjjxmT

Para n coordenadas generalizadas, das equações de transformação resulta:

Considere um sistema de N partículas, cujas posições são definidas em coordenadas cartesianas x1,x2,...,x3N.

A Energia Cinética T do sistema é:

),...,,,(

1

321

t

xq

q

xx

tqqqxx

jn

ii

i

jj

jj

assim tqqxx jj },{},{

Então:

2

1 3

1

2

1

N

j

jn

ji

i

jj t

xq

q

xmT

e,

),}{},({

},{

},{

tqqTT

tqt

x

t

x

tqq

x

q

x

jj

i

j

i

j

Para sistemas reonômicos, a energia cinética total pode ser escrita como,

012 TTTT

ao expandir T e mudando j para k

23

10

3

111

3

11 12

2

1

e ,

e ,2

1

t

xmT

t

x

q

xmaqaT

q

x

q

xmmjimijqqmT

kN

kk

kN

k i

kki

n

iii

j

kN

k i

kk

n

i

n

jjiij


Derivações das Equações de Lagrange (cont.)

Observa-se que pi é um escalar

Para sistemas simples de coordenadas indica a componente do vetor momentum na direção da coordenada qi.

Para um sistema de coordenadas não ortogonal, pi é a projeção do momentum total na direção do eixo qi.

Para coordenadas mais gerais, pi não expressa significância física simples.

O momentum generalizado pi associado com a coordenada generalizada qi é,

i

j

i

j

q

x

q

x

Para o sistema de de N partículas, resulta

ii q

Tp

Mas de,

3

1

2

1 3

1

2

N

j i

jjji

xmT

ii q

xxmp

q

Tp

N

jjj

Então:

3

1

N

j i

jjji q

xxmp

A mudança do momentum generalizado é,

N

j i

jjj

N

j i

jjj

i

q

x

dt

dxm

q

xxm

dt

dp 3

1

3

1

Momentum generalizado Equações de Lagrange

1 t

xq

q

xx j

n

ii

i

jj

e fazendo i=k na mudança da expressão,

i

j

i

jn

kk

ki

j

i

j

q

x

tq

xq

qq

x

q

x

dt

d

2

1

2


Derivações das Equações de Lagrange (cont.)

Assim,

i

N

j i

jjj

i

q

T

q

xxm

dt

dp

3

1

Equações de Lagrange (cont.)

2

1 3

1

2

N

jjj xmT

3

1

N

j i

jjj

i q

xxm

q

T

Aplica-se a lei de Newton de movimento, onde a força total atuante na partícula j na direção xj é a soma das forças de restrição que não geram trabalho Rj e as forças aplicadas Fj.

i

N

j i

jj

Q

N

j i

jj

i

jjjj

q

T

q

xR

q

xF

dt

dp

RFxm

i

0

3

1

3

1

Da energia cinética,A quantidade de q’s deve ser igual ao número de GDL se as forças generalizadas devidas às restrições que não produzem trabalho são zero.

ii

i

q

TQ

dt

dp

Assumindo q’s independentes,

,..,n,iQq

T

q

T

dt

di

ii

21

Com a definição de pi e rearranjando a expressão, encontra-se a forma fundamental das n equações de Lagrange:

A mudança no tempo do momentum generalizado pi é igual à força generalizada Qi, referente às forças aplicadas, mais a força de inércia generalizada devido ao movimento nas outras coordenadas generalizadas.


Outra forma de das equações de Lagrange pode ser obtida para sistemas em que todos os Q’s são deriváveis de uma função potencial V=V(q,t):

Definindo a função Lagrangiana L:

ii q

VQ

VTL Substituindo as duas expressões acima na forma fundamental das equações de Lagrange, encontramos a forma padrão das equações de Lagrange:

niq

L

q

L

dt

d

ii

,..,2,1 0

Quando as forças generalizadas do sistema não são completamente deriváveis de uma função potencial, a equação será igual a estas forças generalizadas, representadas por Qi’:

niQq

L

q

L

dt

di

ii

,..,2,1 '

Derivações das Equações de Lagrange (cont.)Equações de Lagrange (cont.)

Exemplos típicos de Qi’ são as forças de atrito, funções de força variável no tempo e forças de restrições não holonômicas.


Multiplicadores de Lagrange

Os termos de forças generalizada representando as forças de restrição devem aparecer nas equações.

A natureza não integrável das equações de restrição em sistemas não holonômicos requer mais coordenadas que GDL.

As equações de restrição não holonômicas (e holonômicas) podem ser escritas da forma:

O método dos multiplicadores de Lagrange, aplicável a restrições holonômicas e não holonômicas, permite resolver essas forças de restrição.

midtadqan

ijtiji ,..,2,1 0

1

Considere um sistema com restrições sem atrito holonômicas ou não holonômicas.

As variações das coordenadas (t=0) generalizadas individuais devem satisfazer,

miqan

iiji ,..,2,1 0

1

Seja Ci a força de restrição generalizada correspondente a qi, para qualquer conjunto de q’s, que satisfaça a equação anterior,

01

n

iii qC

Multiplicando (*) por um fator conhecido como multiplicador de Lagrange obtém-se,

miqan

iijii ,..,2,1 0

1

Subtraindo a soma das m equações de (**) e mudando a ordem da soma,

(*)

(**)

01 1

n

ii

m

jjiji qaC


Multiplicadores de Lagrange (cont.)

m

jjiji aC

1

A partir da equações padrão, obtém-se a forma padrão não-holonômica das equações de Lagrange :

niaq

L

q

L

dt

d m

jjii

ii

,..,2,1 1

Sendo os q’s independentes resulta,

Com isto, possuímos n equações de movimento, mas (n+m) incógnitas, os n q’s e os m ’s.

As m equações adicionais são obtidas escrevendo as eqs. de restrição na forma,

niaqan

ijtiji ,..,2,1 0

1

O sistema com (n-m) incógnitas foi substituído por outro com (n+m) incógnitas, considerando as variáveis ’s.

Este procedimento resulta em equações mais simples, a simetria do problema é preservada e ainda as forças de restrição são obtidas durante a solução.

Caso as restrições envolvam forças dissipativas, como o atrito por deslizamento, estas forças generalizadas são escritas como termos separados envolvendo os Ci e outros termos.


Sistemas conservativosCondições para definir um sistema como conservativo:

)21( 01

,..,m,jqam

jiji

nihLqq

Lm

ji

i

,..,2,11

• A forma padrão das equações de Lagrange (holonômica ou não-holonômica) se aplica.

• A função Lagrangeana L(q,dq/dt) não é uma função explícita do tempo.

• Qualquer equação de restrição (holonômica ou não-holonômica) pode ser expressa na forma seguinte de forma que os coeficientes ajt são nulos.

Aplicando estas três condições, podemos resolver o problema utilizando a equação:

Onde h é uma constante.


ExemploO ponto O de um pêndulo simples de comprimento l desloca-se horizontalmente de acordo com a expressão abaixo, no plano de movimento em . Encontre a equação diferencial de movimento.

Como o problema depende do tempo, se trata de sistema reonômico. Como a força de restrição atua sobre O, esta não contribui para Q..

Para obter a energia cinética, calcula-se primeiro a velocidade absoluta da massa m.

Conforme a figura:

tAx sen

O

m

l V

x=A.sent

g

X

l

cos22222 xllxv Então:

)coscos2

cos(2

2

1

22222

2

tAl

ltAm

T

mvT


Exemplo (cont.)

A energia potencial é Desta forma, utilizando a forma original da equação de Lagrange, encontramos a seguinte equação de movimento para o sistema:

Como L=T-V, temos que:

cosmglV

tmAl

tmAlmlL

dt

d

cossen

sencos22

sencossen mgltmAlL

0sen

sencos22

mgl

tmAlml

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