Formulação de Lagrange

MecanicaLagrangiana

Joao V. C.Fontes

ConceitosFundamentais

FormulacaoLagrangiana

Princıpio doTrabalho Virtual

Princıpio deD’Alembert

Equacoes deLagrange

Exemplos

Mecanica Lagrangiana

Joao V. C. Fontes

Escola de Engenharia de Sao CarlosUniversidade de Sao Paulo

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Equacoes deLagrange

Exemplos

Organizacao

1 Conceitos Fundamentais

2 Formulacao LagrangianaPrincıpio do Trabalho VirtualPrincıpio de D’AlembertEquacoes de LagrangeExemplos

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Exemplos

Partıcula, Posicionamento e Movimento

Partıcula

O mesmo que ponto material, isto e, um corpo cujas asdimensoes podem ser desprezadas ao descrevermos omovimento do mesmo.

Vetor posicao

r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez

Quantidade de Movimento

p = mv

Segunda Lei de Newton

F = mv =dp

dt= p

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Exemplos

Coordenadas Generalizadas e Graus de Liberdade

Numero de graus de liberdade

Numero de grandezas independentes, que devemos identificarpara determinar a posicao (ou a configuracao) de um sistema

Coordenadas generalizadas

Grandezas independentes dadas ao sistema para que possa serdefinido completamente

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Exemplos

Representacoes e Exemplos

Para cada (ri) existe 3 graus de liberdade introduzidos nosistema, assim o sistema possui 3N graus de liberdade

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Exemplos

Vınculos

Vınculo

Restricoes impostas aos sistema

Quando o movimento de um sistema mecanico esta de algumaforma restrito a uma regiao qualquer do espaco.Podem ser variantes no tempo ou naoPodem ser bem definidos por equacoes ou por inequacoesRestringem os graus de liberdade (Ex.: juntas)

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Exemplos

Representacoes e Exemplos

Exemplo: Vibracao em uma barra

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Exemplos

Espaco de Fase e Espaco de Configuracao

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Organizacao

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2 Formulacao LagrangianaPrincıpio do Trabalho VirtualPrincıpio de D’AlembertEquacoes de LagrangeExemplos

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Exemplos

Deslocamento Virtual

Deslocamento Virtual

Os deslocamentos infinitesimais de cada partıcula que a leva deuma configuracao possıvel a outra configuracao possıvelinfinitesimalmente proxima no mesmo instante t

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Exemplos

Trabalho Virtual

Se um corpo modelado por N partıculas esta em equilıbrio, aforca resultante Fi aplicada no corpo i e nula.O trabalho virtual δWi da forca Fi por um deslocamentovirtual δri e nulo.Portanto, a soma dos trabalhos virtuais de todas partıculastambem e nulo:

δW =

N∑i=1

Fi · δri = 0

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Exemplos

Trabalho Virtual

Considerando que as forcas podem ser separadas por forcas

externas (F(a)i ) e forcas de vınculo (fi).

Fi = F(a)i + fi

Vamos nos restringir ao caso de sistema que os trabalhosvirtuais das forcas de vınculo sao nulas, assim:

δW =

N∑i=1

F(a)i · δri = 0

Esta equacao e conhecida com o princıpio do trabalho virtual.Base da estatica!

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Exemplos

Trabalho Virtual

Os deslocamentos virtuais δri nao sao independentes.Assim, reescrevemos a equacao usando coordenadasgeneralizadas!

δri =

n∑j=1

∂ri∂qj

δqj

δW =

N∑i=1

n∑j=1

Fi ·∂ri∂qj

δqj =n∑

j=1

Qj · δqj

Onde Qj sao as forcas generalizadas e podemos dizer queQj = 0 para cada j = 1...n.

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Exemplos

Exemplo

Uma prancha, de massa uniforme m e comprimento 2b, eencostada em uma parede fazendo um angulo α com o chao. Aextremidade da prancha que esta no chao e ligada a parede poruma corda de massa desprezıvel e inextensıvel. Qual e a tensaona corda?

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Exemplos

Princıpio de D’Alembert

Segunda lei de Newton:

Fi = pi ⇒ Fi − pi = 0

pi denominada forca inercial ou forca efetiva reversa.

δW =

N∑i=1

(Fi − pi) · δri = 0

Exemplo: prancha

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Exemplos

Equacoes de Lagrange

Reescrever a equacao de D’Alembert utilizando as coordenadasgeneralizadas

N∑i=1

pi · δri =N∑i=1

n∑j=1

miri ·∂ri∂qj

δqj

N∑i=1

pi · δri =N∑i=1

n∑j=1

mi

[d

dt

(ri ·

∂ri∂qj

)− ri ·

d

dt

(∂ri∂qj

)]δqj

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Exemplos


Sabendo que:

∂vi

∂qj=∂ri∂qj

=∂ri∂qj

ed

dt

(∂ri∂qj

)=∂vi

∂qj

Conseguimos escrever os dois fatores do somatorio como:

N∑i=1

mid

dt

(ri ·

∂ri∂qj

)=

d

dt

(∂T

∂qj

)N∑i=1

miri ·d

dt

(∂ri∂qj

)=∂T

∂qj

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Exemplos


Assim, temos que a equacao de D’Alembert reescrita nascoordenadas generalizadas e:

n∑j=1

{[d

dt

(∂T

∂qj

)− ∂T

∂qj

]−Qj

}δqj = 0

Dividindo Qj em forcas conservativas Q(c)j e forcas

nao-conservativas Q(nc)j , podemos dizer que as forcas

conservativas sao o gradiente de um campo escalar potencialV , assim:

F(c)i = −∇V ⇒ Q

(c)j = −

n∑i=1

∇V · ∂ri∂qj

= −∂V∂qj

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Exemplos


Algumas forcas nao-conservativas que dependem da velocidadee da posicao podem ser reescritas como:

Q(nc)j =

d

dt

∂V

∂qj− ∂V

∂qj

Introduzimos esses termos na equacao D’Alembert e obtivemosa seguinte expressao:

n∑j=1

{[d

dt

(∂(T − V )

∂qj

)− ∂(T − V )

∂qj

]−Qj

}δqj = 0

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Exemplos


Como qj sao todos independentes podemos dizer que:

d

dt

(∂(T − V )

∂qj

)− ∂(T − V )

∂qj= Qj

Define-se entao a Lagrangiana do sistema e a equacao deLagrange

L = T − V ;

d

dt

(∂(L)

∂qj

)− ∂(L)

∂qj= Qj

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Dissipacao de Rayleigh

Utilizando do conhecimento da modelagem de atrito viscoso eoutras forcas dependentes da velocidade, podemos encontraruma energia de dissipacao D tal que:

Q(nc)j = −∂(D)

∂qj

Assim, na equacao de Lagrange

d

dt

(∂L

∂qj

)− ∂L

∂qj+∂D

∂qj= Qj

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Exemplos

Exemplos

Considere uma partıcula de massa m, presa a uma corda demassa desprezıvel, que e deslocada de sua posicao de equilıbriode um angulo θ em relacao ao eixo vertical, conforme mostra afigura abaixo, e e solta neste ponto. Encontre a Lagrangeana eas equacoes de movimento do sistema.

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Exemplos

Exemplos

Considerando a modelagem de um alto-falante mostradaabaixo, determine as equacoes dinamica que regem o sistema.

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