UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO

DIRETORIA DE CIÊNCIAS EXATAS

Cálculo Numérico

Método de Resolução de Equações

(Determinação e separação de raízes)

Método de Newton –Raphson

Interpretação geométrica

Nome: Aldher Ferreira Duarte R.A: 2210101355

Nome: Anderson Queiroz R.A: 2210108911

Nome: Antonio Alves Ferreira Neto R.A: 2210111468

Nome: Davi Carlos Chaves da Mouraria R.A: 2210107799

Nome: Mauro Bezerra da Silva R.A: 2210109099

Nome: Leonardo José dos Santos R.A: 2210107789

Nome: Paulo Henrique Guerra R.A: 2210100894

Nome: Wanderley Neves Oliveira Mouraria R.A: 2210107796

Grupo: Para que serve o π

Turma: 03A

Professor: Ms. William Kfouri

SÃO PAULO, MAIO 2011

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ConteúdoIntrodução....................................................................................................................................2

Newton –ConvergênciaTeorema 1...............................................................................................2

Newton –Convergência Teorema 2..............................................................................................2

Exercícios......................................................................................................................................4

Resolução dos Exercícios..............................................................................................................6

Bibliografia...................................................................................................................................7

Introdução

O método de Newton, ou Newton-Raphson, é um dos mais conhecidos e poderosos métodos para a determinação de raízes de equações não lineares.Neste método utiliza-se o conhecimento da derivada de f para se chegar mais rapidamente à

solução.

Newton –ConvergênciaTeorema 1

Seja z uma raiz da equação f(x) = 0. Se f(x), f’(x) e f’’(x) forem contínuas numa vizinhança de z, f’(z) ≠0 e x0estiver suficientemente próximo de z, então a sucessão do método de Newton converge para z.Condições suficientesde convergência

Newton –Convergência Teorema 2

Seja z uma raiz da equação f(x) = 0. Se:f(x), f’(x) e f’’(x) forem contínuas num intervalo [a, b] que contém z,f’(x) não se anular em [a, b],f(a).f(b) < 0,f’’(x)<0 ou f’’(x) > 0 em [a,b]

então, se se partir de um ponto x0 ∈[a, b] tal que f(x0).f’’(x0) ≥0, a sucessão do método de Newton converge monotonamente para z.

Exercícios

3.12.15 – O preço a vista (PV) de uma mercadoria é Cr $ 312.000,00 mas pode ser financiado

com uma entrada (E) de Cr $ 91.051,90 e 12 (P) Prestações Mensais (PM) de Cr $ 26.000,00.

Calcular os juros (j) sabendo que:

1−(1+ j)❑−P

j=PV−E

PM

3.12.15 – Quais serão os juros se o plano de pagamento for uma entrada de Cr $ 112.000,00 e

18 prestações mensais de Cr $ 20.000,00?

3.12.18 – A capacidade calorífica Cp. (cal x KK−1∗mol−1) da água em função da temperatura

T (K) é dada por:

Cp (T) = 7,219 + 2,374 * 10−3T+2,6∗10−7T2;

300 ≤ T ≤ 1.500

Para sabermos a que temperatura temos uma determinada capacidade calorífica c fazemos:

Cp(T) – c = 0

Em vista disto, em que temperatura a água tem capacidade calorífica igual a 10 cal * K−1?

3.12.19 – Determinar o comprimento (L) de um cabo suspenso em dois pontos do mesmo

nível e distantes (2x) 400 m, com flecha (f) de 100 m, sabendo que:

L = 2ª senh xa

Sabendo que a raiz da equação

a (consa xa−1)−f=0

3.12.20 – O pH de solução de diluídas fraco é calculado pela formula:

[H30+]3+Ka[H30+]2-(KaCa+Kω )❑[H30+]-K𝝎Ka=0

Onde:

pH: - log [H30+]

Ka: Constante de dissociação do sódio

Ca: Concentração do acido

K𝝎: Produto iônico da água

Calcular o PH de uma solução de Acido bórico a 24ºC, sabendo que:

Ka = 6,5∗10−10M

Ca = 1,0∗10−5M

K𝝎 =1,0∗10−14M 2

Resolução dos Exercícios

312.000,00 - 91.051,90 =

8,526.000,00

JA B B1

1-A

J(1+j)¹²

0,1

0,31863

0,681

6,81

0,03

0,701

0,2986

9,954

0,05

0,5568

0,443

8,86

0,0575

0,519

0,4858

8,5

Resposta:Logo J= 0,0575 ou 5,75%

JA B B1

1-A

J(1+j)¹²

0,027

0,726

0,273

10,13

0,028

0,7179

0,282

10,07

Resposta.:Logo J= 10

Bibliografia

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Raphson

http://www.labspot.ufsc.br/~campagno/numerico/Aula_6.pdf

http://www.docstoc.com/docs/4951387/Newton-Raphson

http://www.suapesquisa.com/biografias/isaacnewton/

http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Raphson.html

Livro: Calculo Numérico (com aplicações) 2ª edição