Engenharia_Economica

1Prof. Amaral, M.Eng.

Engenharia Econmica

Engenharia de Produo Mecnica

Engenharia

Econmica

Engenharia Engenharia

EconmicaEconmica


Engenharia Econmica

Engenharia de Produo MecnicaContedo Programtico

Captulo 2 Mtodos de Anlise de Investimentos

Captulo 3 Mtodos de Depreciao de Ativos

Captulo 4 Modalidades de Financiamento de Ativos

Captulo 5 ndices, Taxas e Inflao

Captulo 6 Substituio de Equipamentos

Captulo 7 Anlise de Investimentos em condies de risco

Captulo 8 Viabilidade Econmico-Financeira de empreendimentos

Captulo 1 Matemtica Financeira e Introduo Engenharia Econmica


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Cap.1 Matemtica Financeira e Introduo Engenharia Econmica

a) Qual a importncia da Matemtica Financeira nas tomadas de deciso dentro da empresa?

1.1.1 1 -- GeneralidadesGeneralidades

A Matemtica Financeira fornece um instrumental fundamental avaliao de negcios, de modo a identificar os recursos mais atraentes em termos de custos e os mais rentveis no caso de investimentos financeiros ou de bens de capital.

b) Como feita a aplicao da Matemtica Financeira no dia-a-dia?

Nas situaes mais simples e corriqueiras, como por exemplo, se voc tem dinheiro em algum tipo de poupana/investimento, ou em um pequeno negcio, ou ambos, e quer comprar um carro ou um eletrodomstico. Voc deve decidir se paga vista, mediante saque da aplicao ou do capital de giro da empresa, ou se acolhe o financiamento oferecido pelo vendedor. As ferramentas da Matemtica Financeira vo lhe indicar a melhor deciso.

Nas avaliaes econmico-financeiras sempre existe o binmio risco-retorno. Avaliao ou apurao do retorno de investimentos um problema da Matemtica Financeira. J o Risco um problema da Estatstica e pode ser definido como a possibilidade de perda.O risco diz respeito apenas probabilidade de ocorrer um resultado diferente do esperado.

c) Como prever e mensurar riscos atravs da Matemtica Financeira?


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1.1.2 2 MatemMatemtica Financeiratica Financeira


Os JUROS so o pagamento pela oportunidade de se

poder dispor de um capital durante um determinado tempo.

1.1.2.1 2.1 Conceito de JurosConceito de Juros

FATORES DE PRODUFATORES DE PRODUO FATORES DE REMUNERAO FATORES DE REMUNERAOO

TRABALHO

TERRA

CAPITAL

SALRIO

ALUGUEL

JUROS


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1.1.2.2 2.2 Equivalncia e JurosEquivalncia e Juros


A existncia do Juro deve-se, entre outros fatores de menor

importncia, a:

. Oportunidade

. Inflao

. Risco

. Utilidade

Uma quantia de dinheiro pode ser equivalente a outra num

ponto diferente no tempo. O que proporciona a equivalncia o dinheiro

pago pelo uso do dinheiro: os JUROS.

Enfim, o juro quem incrementa o valor de uma quantia de dinheiro no tempo!


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1.1.2.3 2.3 Juros SimplesJuros Simples


o juro calculado sobre o principal, por todo o perodo durante

o qual este foi emprestado.

Se um principal P for tomado emprestado a uma taxa de juros

simples de i% ao ano (onde i expresso em decimal), durante um

perodo de n anos, o juros J ser:

J = P.i.nOnde:

J = Juros

P = Principal

i = Taxa de juros (decimal)

n = nmero de perodos

(1)


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O montante (quantia) F devido ao final de n perodos a soma

do principal P emprestado e do juro J cobrado, isto :

F = P+J = P + P.i.n = P(1+i.n)

Uma empresa toma emprestado R$ 10.000,00 por 6 meses a uma taxa de juros simples de 10% ao ano. De quanto o juro cobrado? Qual o valor devido aps o perodo?

Exemplo 1.1: Clculo dos Juros e Valor Devido

(2)

Soluo: O perodo efetivo durante o qual o dinheiro emprestado de 6 meses, que corresponde a 6/12 de um ano, logo:

a) Juro cobrado:

b) Valor devido: F = P + J = 10.000,00 + 500,00 = R$ 10.500,00


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Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados por um perodo de 9 meses. Qual a taxa de juros simples i% (anual) que est sendo cobrada, se o valor F a ser devolvido aps o perodo for de R$ 1.045,00

Exemplo 1.2: Clculo da Taxa de Juros

Soluo: Utilizando-se a frmula (2) temos:

06,03.1000

45.4

)4

3.(.100045

)12

9.(.100010001045

==

=

+=

i

i

i

A taxa de juros anual cobrada de 6% a.a.


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Uma companhia toma R$ 1.000.000,00 emprestados por um perodo de 3 meses a uma taxa de juros de 9% ao ano. Quanto a companhia ter que pagar ao final do perodo?

Exemplo 1.3: Calculando o Valor Devido


Ao final do perodo a Companhia ter que pagar R$ 1.022.500,00

00,500.022.1$06,03.1000

45.4

12

3.09,01.1000000

RF

F

===

+=


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Se um financiador deduzir o juro do valor do emprstimo na ocasio em que o emprstimo tomado, o emprstimo dito descontado. O juro deduzido do valor do emprstimo o desconto. O valor que o tomador do emprstimo recebe denominado valor recebido.

Exemplo 1.4: Emprstimos descontados


Juros no perodo:

Fernando recorre a um agiota para descontar vista antecipadamente um cheque de R$ 870,00 que est pr-datado para 3 meses. Sabendo-se que o agiota cobra uma taxa de desconto de cheques em 3,5% ao ms. Quanto Fernando ir perceber no ato do fechamento do negcio?

35,91$)3).(035,0).(870( RJ ==

Valor lquido recebido: 870 91,35 = R$ 778,65


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Exerccio 1.1 Escreva cada decimal como uma porcentagem

a) 0,60 b)1,1 c) 0,06 d) 0,0025 e) 0,00015

Exerccio 1.2 Escreva cada porcentagem como um decimal

a) 25% b) 100% c) 575% d) 0,3% e) 92%

Exerccio 1.3 Quanto por cento de 80 4?

Exerccio 1.4 Para compra um carro Ricardo toma emprestado R$ 23.700,00 por um perodo de 3 anos, a uma taxa de juros simples de 10% a.a. Determineo valor do juro a ser pago sobre este emprstimo e o valor devido.

Exerccio 1.5 A sra. Rosana tomou emprestados US$ 6,000.00 a um juro simples de 8,5% ao ms. Sabendo que a um final do perodo pagou US$ 896.00 de juros, determine qul foi o perodo de emprstimo.

Exerccio 1.6 Voc precisa tomar emprestado R$ 2.400,00 agora mesmo, mas s poder quitar o emprstimo daqui a 6 meses. Como deseja pagar o menor juro possvel, que tipo de emprstimo dever fazer: um emprstimo descontado a 9% ao ano ou um emprstimo a juro simples de 9,3% ao ano?



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Resoluo exerccio 1.6:

1 Opo: tomar emprstimo descontado a 9% a.a.

Valor lquido = Principal Juros


09,513.2$

)12

6.09,01(2400

)1(

RP

P

inPVL

PinPVL

=

=

=

=

2 Opo: tomar emprstimo a juros simples a 9,3% a.a.

60,511.2$

)12

6.093,01.(2400

)1(

RE

E

inPE

PinPEmprstimo

=

+=

+=

+=

Portanto, a melhor opo para pagar o menor juro possvel a de tomar um emprstimo a juros simples de 9,3% a.a.

Diferena = R$ 1,49.


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1.1.2.4 2.4 Juros CompostosJuros Compostos

Neste caso, os juros de cada perodo so calculados sempre

em funo do saldo devedor existente no incio do referido perodo.

Assim, aps cada perodo de capitalizao os juros so incorporados ao

principal e passam, tambm, a render juros (So os "juros sobre juros").

Exemplo 1.5:

Uma empresa toma emprestados R$ 10.000,00 a uma

taxa de juros compostos de 10% ao ms. Quanto ela dever

pagar ao final de 6 meses?


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MS JUROS SALDO DEVEDOR

JUROS: 0,1 X 10.000,00 = 1.000,00+ 0,1 X 1.000,00 = 100,00

1.100,00


0 10.000,00

1 10.000x0,1= 1.000,00 11.000,00

2 11.000x0,1= 1.100,00 12.100,00

3 12.100x0,1= 1.210,00 13.310,00

4 13.310x0,1= 1.331,00 14.641,00

5 14.641x0,1= 1.464,10 16.105,00

6 16.105x0,1= 1.610,50 17.715,00


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Se P for o principal e i for a taxa de juro por perodo de pagamento, ento o valor A1 ao final do primeiro perodo de pagamento ser:

( ) ( )( ) ( )21112

1111 iPiiPii AAAA +=++=+=+=

( )iPPiPA +=+= 11

( ) ( ) ( ) ( )322223

1111 iPiiPii AAAA +=++=+=+=

Ao final do segundo perodo de pagamento e nos subseqentes os valores sero:

( )nn

iPA += 1

FFrmula do Juro Composto: rmula do Juro Composto:

(3)


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Comparao grfica entre Juros Simples e Juros Compostos:

8000

9000

10000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

0 1 2 3 4 5 6

SIMPLES

COMPOSTO

Prog. Geomtrica

Prog. Aritmtica


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Exemplo 1.6: Se R$ 1.000,00 forem investidos a uma taxa anual de 10%, qual

ser o valor aps 5 anos se a composio ocorrer:

a) Anualmente? b)Mensalmente? c)Diariamente?

a) Para juro composto anualmente, i = 0,1 e n = 5, logo A ser:

( ) 31,645.1$12

1,01.10001

60

RiPn

A =

+=+=

( ) 51,610.1$)1,01.(10001 5 RiP nA =+=+=

b) Para juro composto mensalmente, h n=5.12 = 60 perodos de pagamentos,

em 5 anos. A taxa de juro por perodo de pagamento i = 0,1/12 e o valor

de A ser:

c) Para juro composto diariamente, h n=5.365 = 1825 perodos de

pagamentos, em 5 anos. A taxa de juro por perodo de pagamento i =

0,1/365 e o valor de A ser:( ) 61,648.1$

365

1,01.10001

1825

RiPn

A =

+=+=


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1.1.2.5 2.5 Fluxo de Caixa: Diagrama e ConvenFluxo de Caixa: Diagrama e Conveneses

No diagrama so obedecidas as seguintes convenes:

a) A linha horizontal representa intervalos (perodos) de tempo (meses, trimestres, anos, etc.). Os pontos da reta correspondem aos instantes (datas). Vemos que o mesmo ponto (instante) representa o fim de um perodo ou o incio do perodo seguinte. O perodo 1 comea no instante 0 e termina no instante 1, onde comea o perodo 2, e assim por diante.

b) As despesas e receitas so consideradas ocorrendo no fim do perodo, mesmo que normalmente sejam distribudas ao longo dele. Esta simplificao do modelo afeta pouco as comparaes das alternativas, uma vez que todas esto sujeitas mesma regra. Se quisermos maior preciso, basta considerar perodos menores.

c) Os valores so representados por flechas. As flechas para cima (positivas) significam entradas de caixa (receitas). As flechas para baixo (negativas) correspondem as sadas de caixa (despesas). Em conseqncia da conveno b), s pode haver flechas nos instantes (comeo ou fim de um perodo). No hescala vertical; os valores so indicados numericamente sobre as flechas ou ao lado


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No exemplo abaixo, o diagrama representa um investimento

inicial (desembolso) de R$ 1.000,00, produzindo receitas de R$ 700,00 no

segundo perodo, de R$ 500,00 no terceiro, e de R$ 800,00 no quarto

perodo, com uma despesa constante de R$ 200,00 por perodo, a partir

do segundo perodo.

d) No caso de r valores consecutivos iguais, costume indic-los por uma reta horizontal encimada pelo valor comum. Coerentemente com a

conveno b), esta reta deve comear no incio do perodo e cobri rperodos.

700 500 800

1.000

1 2 3 4

200


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Exemplo 1.7: Comparando Taxa de Juro Composto com Juro Simples

(a) Se US$ 120 forem investidos a uma taxa de juros anual de 10% composto

mensalmente, qual ser o juro recebido ao final de 1 ano?

(b) Que taxa de juros simples ser necessria para obter esse valor de juro?

( ) 56.132$12

10,01.1201

12

USiPn

A =

+=+=(a)

(b)

O juro recebido ser de: 132,56 120 = US$ 12.56

%47,101047,01.120

56,12

.==== i

nP

Ji

Assim, uma taxa de juros simples de 10,47% a.a. ser necessria para obter um juro igual quele obtido com 10% a.a. de juro composto mensalmente.

Descrevemos isso dizendo que a taxa efetiva de juro de 10%, composta mensalmente, de 10,47%


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Se isolarmos P, na expresso (3),

1.1.2.6 2.6 Valor PresenteValor Presente

( )( ) n

niA

i

AP

+=

+= 1

1 (4)

P chamado de valor presente da quantia A devida ao final de n

perodos de juros a uma taxa i de juros, por perodo de pagamento. Em

outras palavras, P o valor que deve ser investido durante n perodos de

pagamento a uma taxa de juros i por perodo de pagamento, a fim de

acumular a quantia A.

Exemplo 1.8: Quanto dever ser investido hoje a uma taxa de juros de 8% a.a.,

de forma que aps 2 anos o valor seja R$ 10.000,00, quando o juro for

composto da forma: (a) anual (b) mensal (c) diria

( ) ( ) 39,573.8$08,01100001 2 RiAP n =+=+= (a)


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Exemplo 1.9: Qual a taxa anual de juros, compostos anualmente, que voc

deve procurar se voc deseja duplicar o seu investimento em 5 anos?

( )

( )

%87,141487,012

12

12

12

2

5

5

5

5

===

+=

+=

+=

=

ii

i

i

iPP

PA

Exemplo 1.10:

(a) Quanto tempo ser necessrio para que o valor de um investimento seja

duplicado, se ele recebe 5% a.a composto mensalmente?

(b) Quanto tempo ser necessrio para que seja triplicado mantendo esta taxa.


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( )

mesesn

garitmolodedefinioaplicando

PP

PA

n

n

7,1660041667,1log

2log2log

:.

0041667,12

12

05,012

2

0041667,1 ===

=

+=

=(a)

13 anos e 11 meses.

Exerccio 1.7 Determine o valor se US$ 1,000.00 forem investidos a 4% a.a. de juro, composto mensalmente, por um perodo de 36 meses.

Exerccio 1.8 Determine o valor se R$ 1.800,00 forem investidos a 6% a.a., composto diariamente, por um perodo de 200 dias.

Exerccio 1.9 Determine o Principal necessrio hoje para obter R$ 500,00 em um ano a 7% a.a, composto diariamente.


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Exerccio 1.10 Se US$ 1,000.00 forem investidos a 6% a.a., composto trimestralmente, qual ser o valor aps:

(a) 2 anos? (b) 3 anos? (c) 4 anos?

Exerccio 1.11 Determine a taxa efetiva de juro para:

(a) 8% a.a. composto semestralmente; (b) 4% a.a. composto mensalmente

Exerccio 1.12 Gustavo precisa tomar emprestado R$ 1.000,00 por 2 anos. A

ele so dadas as opes (a) um emprstimo a juro simples de 12% a.a. ou (b) um emprstimo a 10% a.a. composto mensalmente. Qual forma de emprstimo

resultar em um menor valor de juro devido?

Exerccio 1.13 Qual das duas taxas gerar o maior valor ao final de 1 ano? 9% composto mensalmente ou 8,8% composto diariamente?

Exerccio 1.14 Se os preos de residncias em uma certa localidade aumentarem em mdia 5% ao ano, nos prximos 4 anos, qual ser o preo de venda de um imvel, daqui a 4 anos, se o mesmo est sendo posto a venda por R$ 235.000,00.?


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Exerccio 1.15 O casal Meirelles precisar, em 4 anos, de R$ 40.000,00 para liquidar o financiamento de uma casa. Quanto o casal dever investir em uma caderneta de poupana hoje, para alcanar este objetivo? O banco paga 6,5% a.a de juro compostos mensalmente.

Exerccio 1.16 Roberto a ttulo de investimento est pensando em comprar 1000 aes de um papel que custa R$ 15,00 por ao. Suponha que estas aes no pagam dividendos. A partir do histrico das aes, Roberto estconvicto que poder revend-las, em quatro anos, ao preo de R$ 20,00 por ao. O objetivo de Roberto no fazer qualquer investimento, a menos que retorne no mnimo 7% de juro composto trimestralmente. O Sr. Roberto dever adquirir as aes?

Exerccio 1.17 Quantos anos levar para que um investimento inicial de US$ 10,000.00 aumente para US$ 25,000.00? Admita uma taxa de juros de 6% composta diariamente

Exerccio 1.18 Suponha uma taxa de inflao de 4%. Quanto tempo sernecessrio para que o poder de compra da moeda caia pela metade?


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1.1.2.7 2.7 Anuidades ou Rendas CertasAnuidades ou Rendas Certas

Frequentemente as pessoas e as instituies financeiras no depositam o

dinheiro e ficam esperando sentados para v-lo crescer com o tempo. Ao

contrrio, o capital investido em pequenas quantidades, em intervalos

peridicos. Exemplos de tais investimentos so os prmios anuais de seguro de

vida, depsitos mensais em um banco, pagamentos de prestaes de um

emprstimo, poupana, etc.

Uma Anuidade, Renda Certa ou Srie de pagamentos, uma seqncia

de depsitos peridicos de igual valor. Os depsitos podem ser, anuais,

semestrais, trimestrais, mensais, ou qualquer outro intervalo de tempo fixo.

O montante de uma anuidade a soma de todos os depsitos efetuados,

incluindo o valor de todos os juros acumulados.


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Exemplo 1.11: Determine o montante de uma anuidade aps 5 depsitos, se cada

depsito for igual a R$ 100,00 e for efetuado anualmente, a uma taxa de juro de 10% a.a, composto anualmente.

Soluo:

( ) 00,110$)1,01(1001 14

RiPn

depsitoA =+=+=

( ) 10,133$)1,01(1001 32

RiPn

depsitoA =+=+=

00,100$5

RAdepsito =

( ) 00,121$)1,01(1001 23

RiPn

depsitoA =+=+=

( ) 41,146$)1,01(1001 41

RiPn

depsitoA =+=+=

O montante da anuidade, aps 5 depsitos, ser:

51,610$00,10000,11000,121

10,13341,14654321

R

AAAAA

=+++

++=++++


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Agora, suponha que n depsitos, de R$P cada um, sejam efetuados no

incio de cada perodo de pagamento. Quando o ltimo depsito for efetuado,

o primeiro depsito de R$P recebeu o juro composto para n-1 perodos de

pagamento, o segundo depsito de R$P recebeu o juro composto para n-2

perodos de pagamento, e assim por diante.

][ 121

)1()1(1

)1()1()1(

+++++=

+++++++=

n

nn

iiP

PiPiPiPA

O montante A da anuidade a soma dos montantes a cada perodo...

A expresso entre colchetes a soma de uma seqncia (progresso)

geomtrica com n termos e razo 1 + i .

Montante de uma anuidade: Suponha que P seja o valor do depsito, efetuado a

cada perodo de pagamento, por uma anuidade que paga uma taxa de juros de i %

por perodo de pagamento. O montante A da anuidade, aps n depsitos, ser:

( )

i

iPA

n11 +

= (5)


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O juro ganho o montante, aps 5 anos, menos os 5 depsitos anuais de

R$ 100,00 cada:Juro ganho = A 500 = 610,51 500 = R$ 110,51

( ) ( )51,610$

10,0

110,01100

115

Ri

iPA

n

=

+=

+=

Exemplo 1.12: Determine o montante de uma anuidade aps 5 depsitos, se cada depsito for igual a R$ 100,00 e for efetuado anualmente, a uma taxa de

juro de 10% a.a, composto anualmente.

Exemplo 1.13: Augusto decide aplicar R$ 100,00 todo ms em um fundo de

penso, que remunera 8% de juro ao ano, composto mensalmente. Aps efetuar

8 depsitos, quanto dinheiro possui Augusto.

( )92,818$

12

08,0

112

08,01

10011

8

Ri

iPA

n

=

+

=

+=


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Exemplo 1.14: Carlos Martins decide poupar R$ 50,00 todo ms para educao superior

de seu filho. A aplicao escolhida paga 10% a.a de juro compostos mensalmente. Se ele iniciar este programa de poupana quando seu filho estiver com 3 anos de idade, quando

ele ter poupado at que seu filho tenha 18 anos.

( )52,723.20$

12

10,0

112

10,01

5011

180

Ri

iPA

n

=

+

=

+=

Soluo: Durante este perodo sero efetuados 15 X 12 = 180 depsitos.

Exemplo 1.15: Ronaldo, com 35 anos, decide investir em um Fundo de Previdncia Privada. Ele ir depositar R$ 2.000,00 por ano, pelos prximos 30 anos. Quanto ter

quando atingir a idade de 65 anos, se a taxa de retorno for assumida com 10 % por ano?

( ) ( )05,988.328$

10,0

110,012000

1130

Ri

iPA

n

=

+=

+=


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Exemplo 1.16: No exerccio anterior se Carlos Martins ao invs de comear os depsitos

anuais aos 35 tivesse comeado quando tinha 25 anos? Quanto estaria valendo sua aplicao ao completar 65 anos?

( ) ( )11,185.885$

10,0

110,012000

1140

Ri

iPA

n

=

+=

+=

( )

( )

===

=

=

+=

+

=

25,359005,1log

6log6log

005,16

1005,15

112

06,01

12.500

06,0.500000

12

06,0

112

06,01

500500000

005,1n

n

n

n

n

Exemplo 1.17: Determine quanto tempo levaria para poupar R$ 500.000,00, se voc

depositar R$ 500,00 por ms em uma conta que paga 6% a.a. de juros compostos

mensalmente?

anos3012/25,359


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1.1.2.8 2.8 Fundos de AmortizaFundos de AmortizaooUma pessoa ou empresa com uma dvida pode decidir acumular recursos

suficientes para saldar a sua dvida, poupando o bastante a cada ms (ou

trimestre, ou ano) de modo que, quando a dvida se torne pagvel, o dinheiro

poupado a cada ms mais os juros ganhos seja igual dvida. O fundo

constitudo por tal planejamento e denominado fundo de amortizao.

Exemplo 1.18: Uma professora toma emprestados R$ 3.000,00, que devero

ser ressarcidos ao financiador em uma nica parcela dentro de 5 anos. Ela

concorda em pagar um juro mensal a uma taxa anual de 12%. Ao mesmo tempo,

ela inicia um fundo de amortizao, a fim de reembolsar o emprstimo ao final de

5 anos. Ela decide fazer depsitos mensais no seu fundo de amortizao, o qual

rende 8% a.a. de juros compostos mensalmente.

(a) Qual ser o valor do depsito mensal no fundo de amortizao?

(b) Construa uma tabela que mostre como o fundo de amortizao cresce com o

passar do tempo.


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(a) Qual ser o valor do depsito mensal no fundo de amortizao?

montante a ser ressarcido em 5 anos taxa de 12% a.a ( comp. Mensal/e)

41,923$

12

08,0

112

08,01

.17,74

12

12 RT =

+

=

17,74$

12

08,0

112

08,01

09,5450

60

RPP =

+

=

(b) Construa uma tabela que mostre como o fundo de amortizao cresce com o passar do tempo.

=

+= 09,450.5$

12

12,013000

512

R

X

A


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1.1.2.9 2.9 Valor Presente de uma AnuidadeValor Presente de uma AnuidadeO valor presente de uma anuidade a soma dos valores atuais dos

saques. Em outras palavras, o valor presente de uma anuidade a quantia de dinheiro necessria neste momento, de modo que ele seja investido a i por

cento, n parcelas iguais podem ser sacadas sem que seja deixado qualquersaldo.

Exemplo 1.19: Determine a quantia de dinheiro necessria para render US$ 10,000.00 por ano, durante um perodo de 5 anos, a uma taxa de 10% a.a., composto anualmente.

( ) 21.209,6$10,0110000 55 USV =+=

( ) 46.264,8$10,0110000 22 USV =+=

( ) 13.830,6$10,0110000 44 USV =+=

Para o primeiro saque de US$ 10,000.00, o valor presente V1 (os dlares necessrios hoje para que sejam sacados os US$ 10,000.00 em um ano) :

Similarmente:

( ) 15.513,7$10,0110000 33 USV =+=

( ) 91.090,9$10,0110000 11 USV =+=


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O Valor presente V para 5 saques de US$ 10,000.00 cada ao ano, ser:

86.907,37$

21.209,613.830,615.513,746.264,891.090,9

54321

USV

V

VVVVVV

=

++++=

++++=

Valor Presente de uma AnuidadeValor Presente de uma Anuidade

Suponha uma anuidade que remunera a uma taxa de juros i por cento por perodo de pagamento. Se n saques P forem efetuados a cada perodo de pagamento, a quantia V necessria obedece a:

( )

i

iPV

n+

=11


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12,881.18$

12

12,0

12

12,011

420

60

RV =

+

=

Exemplo 1.20: Um homem concorda em pagar R$ 420,00 por ms, durante 60 meses, para pagar o financiamento de um automvel. Se a taxa de juros cobrada de 12% a.a., cobrada mensalmente, (a) quanto custava o carro originalmente? (b) Quanto juro foi pago?

(a)

(b) Juro Pago = Total de Pagamentos V

Juro Pago= 60.(420,00) 18.881,12 = R$ 6.318,88


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1.1.2.10 2.10 AmortizaAmortizaooQuando um emprstimo V amortizado (vem de mort = morte em latim) a

uma taxa de juros i por perodo de pagamento, durante n perodos de

pagamentos, a questo comum : Qual ser o pagamento P?

Obs.: Um emprstimo dito amortizado (morto) se ambos, o principal e os juros, forem pagos em um nmero de parcelas iguais, em iguais perodos de tempo.

AmortizaAmortizaoo

O pagamento P necessrio para saldar um emprstimo V, tomado emprestado por n perodos de pagamentos, a uma taxa de juros i por perodo de pagamento :

( )

+=

ni

iVP

11


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Exemplo 1.21: Qual o pagamento mensal necessrio para saldar um emprstimo de R$ 8.000,00 a 10% por ano?(a) Em 2 anos (b) Em 3 anos (c) Qual o valor total que ser pago em cada emprstimo?

16,369$

12

10,011

12

10,0

800024

RP =

+

=

(a)

(b)14,258$

12

10,011

12

10,0

800036

RP =

+

=

(c) Para 2 anos, o valor total a ser pago ser de (369,16).(24) = 8.859,84

Para 3 anos, o valor total a ser pago ser de (258,14).(36) = 9.293,04


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Exerccio 1.19: O Sr. e a Sra. Camargo acabaram de comprar uma casa por R$

300.000,00 e para isso deram uma entrada de R$ 60.000,00. Eles podem

amortizar o saldo devedor em 30 anos, a uma taxa de 6% ao ano.

(a) Qual ser o valor do pagamento mensal?

(b) Qual ser o valor total dos juros a serem pagos?

(c) Aps vinte anos, qual o valor patrimonial de sua casa ( i.,, qual a soma da

entrada e do valor pago sobre o emprstimo)?

1.1.2.11 2.11 Arrendamento Mercantil (Arrendamento Mercantil (LeasingLeasing))

Exemplo 1.22: Uma empresa pode adquirir um equipamento particular arrendando-o por 4 anos ( a vida til) com um aluguel mensal de US$ 80.00 ou

pode compr-lo por US$ 3,000.00

(a) Qual das alternativas prefervel, se a empresa pode investir dinheiro a 10% ao ano?

(b) O que aconteceria se ela pudesse investir a 14% ao ano?


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(a)

25.154,3$

12

10,0

12

10,011

80

48

USV =

+

=

56.927,2$

12

14,0

12

14,011

80

48

USV =

+

=

(b)

Este valor excede o preo de compra vista. Portanto, prefervel comprar o equipamento vista.

Como o valor presente inferior ao valor de aquisio do equipamento vista, mais conveniente o leasing.


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Exerccio 1.20: Determine o montante de cada anuidade,

(a) Aps 12 depsitos mensais no valor de R$400,00, a uma taxa de juros de 12%

a.a. compostos mensalmente;

(b) Aps 10 depsitos anuais no valor de R$ 9.000,00, a uma taxa de juros de 5%

a.a. compostos anualmente.

Exerccio 1.21: O montante necessrio R$ 20.000,00, aps 2,5 anos, a uma

taxa de juros de 6% a.a. , compostos trimestralmente. Qual ser o valor do

pagamento trimestral?

Exerccio 1.22:Quantos anos sero necessrios para poupar R$ 1.000.000,00 se

voc depositar R$ 600,00 por ms em uma caderneta de poupana que rende

6% de juros, compostos mensalmente. Estima-se uma correo monetria

anual devido a inflao de 2,4%.

Exerccio 1.23: Determine o valor presente da anuidade cujo o saque dever ser

de R$100,00 por ms, durante 9 meses, a um juro de 12% composto

mensalmente.


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Exerccio 1.24: O Sr. Joo Silva tem 45 anos e deseja se aposentar aos 65. Ele

deseja depositar mensalmente em uma conta, que remunera 9% a.a. composta

mensalmente, de modo que ao se aposentar-se ele possa sacar R$ 300,00 por

ms, durante 30 anos. Quanto o Sr. Joo dever depositar a cada ms?

Exerccio 1.25: Um carro custa R$ 46.000,00. Voc deu 20% de entrada e

amortiza o restante em parcelas mensais iguais durante um perodo de 3 anos,

a uma taxa de juros de 15%a.a. composta mensalmente. Quais sero os

valores das parcelas mensais?

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