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EPR503 - ESTATÍSTICA APLICADA Universidade Federal de Itajubá

Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva 1

EPR503

Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva - IEPG 1

ESTATÍSTICA APLICADA

Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva

[email protected]

(35) 3629-1272

EPR503


ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE – PARTE I

Estatística Descritiva

Distribuições de Probabilidade

Inferência



EPR503


SUMÁRIO

PARTE I

1 – Estatística Descritiva

2 – Distribuições de Probabilidade

3 – Estimação

4 – Intervalos de Confiança

PARTE II

5 – Testes de Hipótese

6 – Análise de Variância

PARTE III

7 – Séries Temporais

8 – Correlação e Regressão

Bibliografia básica:

• Montgomery, D.C., Runger, G.C.,Estatística Aplicada e Probabilidadepara Engenheiros, 2ª ed., LTC LivrosTécnicos e Científicos, 2002, 461 p.

• Software Minitab 16®

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Atividades e Cronograma

1 – Avaliação: 4 Notas de Prova, 2 Notas de Trabalho

1 Exame

2 – Composição da Nota:

• N1 = 0,4*P1+ 0,4*P2+ 0,2T1 N2 = 0,4*P3+ 0,4*P4+ 0,2T2

• N3 = Exame

3 – Trabalhos em Grupo (± 12 alunos) = Listas de Exercício;

4 – Aulas Práticas (Software Estatístico Minitab® 15.0).

AVALIAÇÃO



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Estatística para a Engenharia

-3,0

-1,5

0,0500,075

0,100f 0,125

0,0500,0750,075

0,0

0,10,125

0,3

0,2

0,3

d

f

d

0,0950,0900,0850,0800,0750,070

0,42

0,39

0,36

0,33

0,30

0,27

Hold Values

V 218

T

2

Tt

2,5

3

Kp

7

8

MRR

6

8

Ra

0,39

6

0,41

7

Ct

1,5

MMSE

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1 - Estatística Descritiva

“Uma mente que se abre para uma nova idéia, jamais retornará ao seu tamanho

original”. (Albert Einstein)



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A População (ou Distribuição) é a coleção de todas as observaçõespotenciais sobre determinado fenômeno.

O conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos, constituiuma Amostra da população.

Um Censo é uma coleção de dados relativos a Todos os elementos de umapopulação.

Um Parâmetro está para a População assim como uma Estatística está paraa Amostra.

A essência da ciência é a observação. Estatística é, portanto, a

ciência que se preocupa com a organização, descrição, análise

e interpretação dos dados experimentais. É um ramo da

Matemática Aplicada. Entre os principais conceitos, tem-se:

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Variável Tipo

Estado: Perfeita ou defeituosa; Tipo de ferramenta de usinagem, tipode gás de proteção em soldagem.

Qualitativa Nominal

Qualidade: 1a, 2a ou 3a categoria Qualitativa Ordinal

No de peças defeituosas, No de defeitos, No de reclamações porsemana.

Quantitativa Discreta

Diâmetro das peças, rugosidade, largura de cordões de solda. Quantitativa Contínua

Variável

Qualitativa

Nominal

Ordinal

Quantitativa

Contínua

Discreta



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Prof. Dr. Anderson Paulo de Paiva - IEPG

Média Variância Desvio Padrão

Variância (Opcional)Variável Reduzida ou

PadronizadaCoeficiente de Variação

Mediana Primeiro Quartil Terceiro Quartil

9

( )

11

2

2

−

−

=∑

=

n

xx

S

n

i

i

−−

= ∑∑

=

=n

i

n

i

i

in

x

xn

S1

2

122

1

1

n

x

x

n

i

i∑=

=1

x

SCV =

σ

x-μZ =

( )

11

2

−

−

=∑

=

n

xx

S

n

i

i

( ) ( ) ( )312 4

13

4

1 ~

2

1312

Qn

PQn

PxQn

PQQQ

⇒+

=⇒+

==⇒+

=

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~xn

o

=+

1

2termo ~x

n n

=

+ +

2 21

2

o o

termo termo

35 36 37 38 40 40 41 43 46 40, , , , , , , , ~⇒ =x

12 14 14 15 16 16 17 2015 16

215 5, , , , , , , ~ ,⇒ =

+=x

Ex.:

Se n é ímpar: Se n é par:

Mediana é o valor que representa o “meio” de um conjunto de dadosdispostos em ordem crescente ou decrescente. Representa o quinquagésimopercentil, ou seja, 50% dos dados da amostra ou população estarão acima e/ouabaixo deste valor. A mediana não sofre a interferência de valores extremos(Outliers). Seu cálculo, assim como quartis e percentis, depende exclusivamenteda quantidade de termos n da sequência. Sua representação gráfica é feitaatravés de um boxplot. Assim, tem-se que:



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*Outlier Upper (x ≥ Q3 + 1,5D)

Outlier Lower (x ≤ Q1 - 1,5D)

Q3=75ª Percentil

Observação Máxima

Q1=25ª Percentil

Q2=Mediana (50ª Percentil)

D=Q3-Q1

1,5D

Q3

Q1

D

X máx

X min

Q2

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25,5 26,126,8 23,224,2 28,425,0 27,827,3 25,7

Média: 26,00

Durabilidade (Y)Supõe-se que a durabilidade de bateriasusadas em aparelhos celulares seja normalmentedistribuída. Uma amostra aleatória de 10 baterias ésubmetida a um teste de vida acelerada, fazendo-asfuncionar continuamente a uma alta temperatura, atéacabarem. Estes resultados estão na tabela ao lado.

Determine:a) A médiab) A variância e o desvio padrão;c) Mediana;d) 1º e 3º Quartil;e) Coeficiente de Variação;f) Z, para x = 30 h.g) Construa um boxplot para os dados.

29

28

27

26

25

24

23

Du

rab

ilid

ad

e

Boxplot of Durabilidade



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i xi Desvio (ei) (ei)2 (xi)

2

1 23,2 -2,8 7,8 538,22 24,2 -1,8 3,2 585,63 25,0 -1,0 1,0 625,04 25,5 -0,5 0,3 650,35 25,7 -0,3 0,1 660,56 26,1 0,1 0,0 681,27 26,8 0,8 0,6 718,28 27,3 1,3 1,7 745,39 27,8 1,8 3,2 772,810 28,4 2,4 5,8 806,6

Soma: 260,0 0,0 23,8 6783,8

( )

( )

CV S

S

n

x

xn

S

n

xx

S

n

x

x

n

i

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

%25,6000,26

625,1625,164,2

64,29

10260

8,6783

1

1

64,29

8,23

1

0,2610

260

2

2

1

2

122

1

2

2

1

====

=−

=

−−

=

==−

−

=

===

∑∑

∑

∑

=

=

=

=

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )ãointerpolaç425,275,54

33

4

13

ãointerpolaç8,2475,24

11

4

1

9,252

1,267,25~5,52

11

2

1

46,2625,1

2630-x 30xZ

3

1

2

3

1

2

⇒=⇒==+

=

⇒=⇒==+

=

=+

==⇒==+

=

=−

===

Qn

P

Qn

P

xQn

P

Q

Q

Q

σ

µ

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Metal de base

Cordão de Solda

W

P

HAR

AP

•Aplicações convencionais •Soldagem de revestimento



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Largura (W) do cordão (mm)

10,373 10,745 11,041 10,395 11,554

10,334 10,211 10,248 10,660 10,754

11,146 10,625 11,169 10,461 10,684

10,525 10,500 10,793 11,041 10,680

10,681 11,158 10,394 10,391 10,414

Em processo de soldagem de deposiçãopor FCAW de aço inoxidável ABNT 316Lem aço carbono 1020, deseja-se que ocordão de solda tenha a máxima largura(W) possível. Em um dado setup, umaamostra de 25 seções transversais destescordões foram obtidas as largurasdescritas na tabela ao lado.

Determine:

a) A largura média dos cordões;b) A variância e o desvio padrão das

larguras;c) A largura “Mediana”;d) O 1º e 3º Quartil dos dados;e) Coeficiente de Variação;f) O valor de Z para x = 11 mm.

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Penetração (P) do cordão (mm)

1,738 1,659 1,363 1,772

1,456 1,810 1,566 1,338

1,439 1,604 1,732 1,615

1,539 1,320 1,742 1,529

1,467 1,783 1,638 1,672

1,490 1,596 1,874 1,752

1,821 1,868 1,533 1,622

Como se trata de um processo dedeposição superficial apenas, deseja-seque os cordões tenham mínimapenetração (P). Analogamente ao Caso1, pede-se:

Determinar:

a) A penetração média dos cordões;b) A variância e o desvio padrão dos

dados;c) A “Mediana”;d) O 1º e 3º Quartil dos dados;e) Coeficiente de Variação;f) O valor de Z para x = 1,800 mm;g) Construa um boxplot, um

histograma e um gráfico de ramo-e-folhas e um CDF para os dados.



EPR503


Reforço (H) do cordão (mm)

2,429 2,472 2,693 2,643

2,601 2,576 2,657 2,638

2,335 2,707 2,355 2,368

2,895 2,182 2,774 2,719

2,774 2,659 2,607 2,397

2,719 2,656 2,622 2,561

2,845 2,653 2,556 2,421

Para o reforço ou altura do cordão (H),determine:

a) O reforço médio dos cordões;b) A variância e o desvio padrão dos

dados;c) A “Mediana”;d) O 1º e 3º Quartil dos dados;e) Coeficiente de Variação;f) O valor de Z para x = 3,000 mm.

g) Represente os dados através deum boxplot e de um histograma.

h) Construa um gráfico de Ramo-e-folhas;

i) Construa um CDF empírica.

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Área de Penetração (AP) do cordão (mm2)

2,429 2,472 2,693 2,643

2,601 2,576 2,657 2,638

2,335 2,707 2,355 2,368

2,895 2,182 2,774 2,719

2,774 2,659 2,607 2,397

2,719 2,656 2,622 2,561

2,845 2,653 2,556 2,421

Área de Reforço (AR) do cordão (mm2)

2,429 2,472 2,693 2,643

2,601 2,576 2,657 2,638

2,335 2,707 2,355 2,368

2,895 2,182 2,774 2,719

2,774 2,659 2,607 2,397

2,719 2,656 2,622 2,561

2,845 2,653 2,556 2,421

Repita a análise estatística para as variáveis aleatórias AR e AP.



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CC6049 CC6050W CC650 CC650W PCBN7024 PCBN7025W

42,00 43,50 40,50 42,00 43,50 43,50

41,50 43,00 41,00 42,50 44,50 44,50

42,50 44,50 42,00 41,50 42,50 42,50

41,00 44,00 41,50 42,00 43,25 43,25

42,25 45,00 42,00 43,00 44,00 44,00

19

Os dados a seguir referem-se à Vida (durabilidade, em min.) de 6 tipos deferramentas utilizadas no torneamento de aços endurecidos H13, usandoVc=162,5 m/min, avanço f= 0,16 mm/rev e profundidade de corte de 0,24 mm.Construa um boxplot para comparar as propriedades destas ferramentas.

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PCBN7025WPCBN7025CC650WCC650CC6050WCC6050

45

44

43

42

41

40

TOOL

T

Boxplot of Vida



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1,876 1,990 1,724 1,815 3,475 3,475

1,857 1,969 1,708 1,797 3,421 3,421

1,898 2,015 1,743 1,836 3,538 3,538

1,855 1,967 1,707 1,795 3,416 3,416

1,836 1,946 1,692 1,778 3,364 3,364

21

Para as mesmas condições de usinagem, calcule as estatísticas descritivas econstrua os respectivos boxplots para o custo (Kp) do processo de torneamentodo aço H13 com cada uma das ferramentas disponíveis.

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1,14 0,47 0,82 0,31 0,21 0,21

1,13 0,49 0,83 0,32 0,22 0,22

1,12 0,49 0,81 0,35 0,23 0,23

1,14 0,48 0,82 0,32 0,21 0,21

1,13 0,47 0,83 0,34 0,23 0,23

22

Considerando as condições de usinagem anteriores, utilizando um boxplot, qualferramenta deveria ser selecionada de modo que a rugosidade (Ra) promovidapela ferramenta fosse a menor possível?



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x

(Variável

Aleatória)

xi

(Ponto

médio)

ni

(Frequência

absoluta)

Fi

(Frequência

relativa)

f%

(Frequência

percentual)

Ni

(Absoluta

Acum.)

Fi

(Relativa

Acum.)

F%

(Percentual

Acum.)

10 20 15 2 0.04 4 2 0.04 4

20 30 25 12 0.24 24 14 0.28 28

30 40 35 18 0.36 36 32 0.64 64

40 50 45 13 0.26 26 45 0.9 90

50 60 55 5 0.1 10 50 1.0 100

S 50 1 100

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS

( )

∑

∑

=

==n

i

i

n

i

ii

n

nx

X

1

1i

iF

FaaPhLxMediana

)(~ −+==

mediana classe

da à Anterior Acumulada FrequênciaFaa

mediano elemento do PosiçãoP

ão;distribuiç da classe de Intervaloh

mediana; classe da inferior LimiteL

Onde

i

=

=

=

=

:

EPR503


3,57 3,63 3,64 3,65 3,67 3,67 3,67 3,69 3,69 3,71 3,71 3,71 3,71 3,72 3,72

3,73 3,74 3,74 3,74 3,74 3,74 3,75 3,75 3,75 3,76 3,76 3,77 3,77 3,77 3,77

3,77 3,77 3,78 3,78 3,79 3,79 3,79 3,79 3,80 3,81 3,81 3,81 3,81 3,81 3,82

3,82 3,82 3,82 3,82 3,84 3,84 3,85 3,85 3,86 3,86 3,87 3,87 3,88 3,89 3,89

3,90 3,91 3,93 3,93 3,94 3,94 3,94 3,94 3,95 3,96 3,96 3,98 3,99 4,06 4,11

The demand for bottled water increases during the hurricaneseason in Florida. The operations manager at a plant thatbottles drinking water wants to be sure that the filling processfor one-gallon bottles is operating properly. Currently, thecompany is testing the weights of one-gallon (3,78 l) bottles. Arandom sample of 75 bottles is tested and the weights aredescribed in the following table.

Find the descriptive statistics for these data and write your conclusions aboutthe process. If the specifications for the process are LSL=3,70 and USL=3,90,calculate the percentage of Nonconformity.



EPR503


∑=

=−n

i

i xx a1

0)()

( )( )

∑ ∑∑ ∑== =

−=−=−n

i

i

i

n

i

n

i

iin

xxxnxxx b

1

2

22

1 1

22)

( ) ∑∑==

−=−k

i

iii

k

i

ixnxnxxn c

1

222

1

)

( ) ∑∑==

−=−k

i

iii

k

i

ixxfxxf d

1

222

1

)

Mostre que:

EPR503


e) Mostre que a soma de uma constante k a todos os elementosde uma série é igual à média da série mais k.

f) Mostre que a multiplicação de cada elemento de uma série poruma constante é igual à média vezes a constante.

g) Mostre que a variância de uma série não se altera quando seadiciona uma constante a cada um de seus termos.

h) Mostre que multiplicando-se cada elemento de uma série porconstante, a variância fica multiplicada pelo quadrado daconstante.



EPR503


Mostre que: ( )n

x

xxx

n

i

in

i

i

n

i

i

2

1

1

22

1

−=−∑

∑∑ =

==

( ) ( )

( )

( )n

x

xn

x

nn

x

xxx

n

x

nxn

x

xxnxxxxx

xxxxxxxxn

x

xxx

n

i

in

i

i

n

i

i

n

i

in

i

i

n

i

i

n

i

in

i

i

n

i

in

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

in

i

i

n

i

i

2

1

1

22

2

1

2

1

1

22

1

2

1

1

1

1

22

11

22

1

1

2

11

2

1

22

2

1

1

22

1

2

22

22

−=

+

−=−

+

−=+−=−

+−=+−=

−=−

∑∑

∑∑∑∑

∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑

=

=

==

==

=

=

=

====

====

=

==

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Mostre que a variância não se altera se uma constante k for somadaa todas as observações de um conjunto.

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

+

+

−++−

=

=

+

−+−

=

+

−+−

=

+

−+−

=

+

−+−

=

−−

=

∑∑ ∑∑∑

∑ ∑∑

∑ ∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

== ==

=

= =

=

= =

=

=

=

=

=

=

=

n

kkxx

kkxxn

s

n

kx

kxnn

kx

kxn

s

n

kx

kxnn

kx

kxnn

x

xn

s

n

i

n

i

n

i

i

n

i

in

i

ii

n

i

n

i

in

i

i

n

i

n

i

in

i

i

n

i

in

i

i

n

i

in

i

i

n

i

in

i

i

2

11 1

2

1

1

222

2

1 1

1

2

2

1 1

1

22

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

22

2

21

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1



EPR503


Logo, tem-se:

( )

( )

−=

+

+

−++−

=

+

+

−++−

=

∑∑

∑∑∑∑

∑∑ ∑∑∑∑∑

=

=

==

==

== ==

===

n

x

xn

knxnkx

nkxkxn

s

n

kkxx

kkxxn

s

n

i

in

i

i

n

i

i

n

i

in

i

i

n

i

i

n

i

n

i

n

i

i

n

i

in

i

n

i

i

n

i

i

2

1

1

2

2

22

1

2

12

11

22

2

11 1

2

1

1

2

11

22

2

21

1

2

21

1

( ) ( ) ( ) 111

111

kkn

xn

kxn

n

i

n

i

i

n

i

i+=+=+ ∑∑∑

===

µ

No caso da média, porém, tem-se:

EPR503


Mostre que se todas as observações de um conjunto de dados foremmultiplicadas por uma constante k, a média fica multiplicada por k e avariância, multiplicada pelo quadrado de k.

( ) ( ) ( ) xkxn

kkxn

xxn

xn

i

i

n

i

iT

n

i

i =

==⇒= ∑∑∑

=== 111

111

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

( ) 222

2

1

1

22

2

2

1

1

22

2

1

1

22

1

1

1

1

1

sksn

x

xn

ks

n

xk

xknn

kx

kxn

s

T

n

i

in

i

iT

n

i

in

i

i

n

i

in

i

iT

=⇒

−−

=

=

−

−=

−−

=

∑∑

∑∑

∑∑

=

=

=

=

=

=

Para a variância:

Para a média:



EPR503


3 7

Processo A

Processo B

Tempo Total (A+B)

?

= 3s = 1

X = 7s = 2

X

3 2 1

2.23 5 (2) (1) S S S222

B2ABA

=+≠

==+=+=+

Correto; Some as

variâncias e depois

obtenha o Desvio Padrão

Incorreto;

EPR503


-10 -5 0 5 10 15

Linha A

Linha B

Diferença:Linha A – Linha B

?

= 3s = 1X = 7

s = 2X

4 - 7 - 3 X -X X BABA ===−

121

2.235(2)(1)SSS222

B2ABA

= −−≠

==+=+=–

Correto

Incorreto



EPR503


111 )(.)( µkXEkkXE ==

112

12

2111

)(

)()(

σ

µ

kXVark

kkXEkXVar

==

−=

µ=)(XE

Considere que uma variável aleatória simples, X,que represente uma dimensão de uma peça, por exemplo.Então, o valor esperado e a variância de X, serão dados,respectivamente por:

212121

212121

)()()(

)()()(

µµ

µµ

+=+=+

−=−=−

XEXEXXE

XEXEXXE22)()( σµ =−= XEXVar

Em uma articulação (Knuckle), por exemplo, o comprimento total é a soma doscomprimentos individuais e a folga entre os garfos, uma diferença. Se oprocesso que produziu a articulação tem variação, esta variação se propagapara o acoplamento. Se uma variável aleatória simples, X1, for multiplicada poruma constante k, então:

EPR503


Se X2 é uma segunda variável aleatória e se a e b são constantes,então, usando a propriedade da adição na expectância, vem que:

12

21

2211

221121

),(

))((

))((),(

σ

µµ

µµ

ab

XXabCov

XXabE

bbXaaXEbXaXCov

=

=

−−=

−−=

222

111

)()(

)()(

µ

µ

bXbEbXE

aXaEaXE

==

==

34



EPR503


Covariância é a medida da variância conjunta de duas variáveisaleatórias. Ela mede o grau de associação, dependência ou relaçãoentre elas. Tal como a variância, a covariância não possuisignificado físico, o que a torna de difícil interpretação.

Matematicamente, pode-se escrever que:

(Covariância Populacional) (Covariância Amostral)

( )( )

n

xxxxn

i

n

j

jjii

xx ji

∑∑= =

−−

=1 1σ

COVARIÂNCIACOVARIÂNCIA

35

( )( )

11 1

−

−−

=∑∑

= =

n

xxxx

S

n

i

n

j

jjii

xx ji

EPR503


Correlação (ρxixj) é a medida da dependência ou relaçãoentre duas variáveis, escrita na forma adimensional como a razãoentre a covariância de xi e xj e o produto das variâncias individuaisdestas variáveis aleatórias, tal que:

Diferentemente da covariância, a correlação possui fácilinterpretação se considerarmos a escala de Pearson, tal que:

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )jiji xxn

j

jj

n

j

ii

n

i

n

j

jjii

n

j

jj

n

j

ii

n

i

n

j

jjii

xx r

xxxx

xxxx

n

xxxx

n

xxxx

=

−×−

−−

=

−×−

−−

=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

= =

==

= =

1

2

1

2

1 1

1

2

1

2

1 1

ρ

CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO

36

11 +≤≤−ji xxr



EPR503


Considere os dados a seguirreferentes ao torneamento do açoH13. Calcule a correlação entre osseguintes pares de variáveis:

a) T e Kp;

b) T e Fr;

c) T e Ecc; Fr e Kp

EXEMPLOEXEMPLO

37

T Kp Ra Rt Fr ECC

62 2,555 0,13 1,18 340,221 0,0042233 1,583 0,11 1,09 236,493 0,01434

52 2,04 0,41 2,82 432, 593 0,0065430,5 1,325 0,72 3,52 240,32 0,03165

63 3,173 0,34 2,44 451,47 0,00776

30 1,856 0,09 0,66 244,18 0,0303452 2,499 0,08 0,72 459, 395 0,01623

28,5 1,174 0,42 2,23 246,31 0,0673759 3,352 0,22 1,74 485,87 0,00487

24,5 1,231 0,29 1,42 224,48 0,0469639 2,875 0,13 1,18 319,28 0,00734

40,25 1,518 0,49 2,6 358,85 0,02953

51 1,512 0,22 1,48 330,98 0,0072747,5 1,984 0,12 0,92 359,24 0,02841

43,5 1,99 0,47 0,98 336,52 0,0187843 1,969 0,49 0,97 335,28 0,01858

44,5 2,015 0,49 0,96 334,92 0,0189644 1,967 0,48 0,98 337,83 0,01837

45 1,946 0,47 0,97 334,78 0,01895

EPR503


EXEMPLOEXEMPLO

38

3,53,02,52,01,51 ,0

60

50

40

30

20

Kp

T

Scatterplot T x Kp

500450400350300250200

60

50

40

30

20

Fr

T

Scatterplot T x Fr

0,070,060,050,040,030,020,010,00

60

50

40

30

20

ECC

T

Scatterplot T x ECC



EPR503


( ) ( )

( ) ( ) 2121

22221111

21212,121

21

)()(

),(

µµ baXbEXaE

dxxfxbdxxfxa

dxdxxxfbxaxYE

bxaxY

xx

xx

+=+=

+=

+=∴

+=

∫∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

Suponha que uma combinação linear possa ser escrita como:

Obs.: Acoplamentos são exemplostípicos de combinações lineares dotipo soma, nos quais ocomprimento final é o resultado dasoma das dimensões de várioscomponentes.

Projeto de TolerânciasProjeto de Tolerâncias

39

EPR503


( ) ( )

( ) ( ) 2121

22221111

21212,121

)()(

),(

µµ baXbEXaE

dxxfxbdxxfxa

dxdxxxfbxaxYE

xx

xx

−=−=

−=

−=

∫∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

21 bXaXY −=Analogamente, se , então:

Obs.: FOLGAS são exemplos típicos decombinações lineares do tipo “Diferença”. Porexemplo, em um sistema pistão-cilindro, a folgamédia que separa os dois elementos será dadapor:

EixoFuroFbXaXY −=⇒−= 21 EixoFuroF µµµ −=⇒

Combinações LInearesCombinações LIneares

40



EPR503


A variância da combinação linear é dada por:

( ) ( )[ ]2212121 )( µµ babXaXEbXaXVar +−+=+

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( )( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]2122

12

2211

222

2211

2

22211

,2

2

XXabCovXVarbXVaraE

XXabE

XbXaE

bbXaaXE

++=

−−+

−+−=

−+−=

µµ

µµ

µµ

( ) 221112222

112

21

12222

112

21

2)(

2)(

σσσσ

σσσ

×++=+

++=+

rabbabXaXVar

abbabXaXVar

=Σ

2212

1211

σσ

σσ

Onde Σ é a matriz de variância-covariância e r12 é o coeficiente decorrelação amostral de Pearson entre as variáveis X1 e X2.

Variância de FunçõesVariância de Funções

41

EPR503


3 7

Processo A

Processo BTempo Total (A+B)

?

= 3s = 1

X = 7s = 2

X

3 2 1

2.23 5 (2) (1) S S S222

B2ABA

=+≠

==+=+=+

Correto; Some as variâncias e depois obtenha o Desvio Padrão

Incorreto!

Utilizando-se as demonstraçõesanteriores para Média e Variância de“Combinações Lineares”, tem-se, nocaso da soma de variáveis aleatórias,a soma das médias e a raiz quadradada soma das variâncias comomedidas resultantes.

SomasSomas

42



EPR503


-10 -5 0 5 10 15

Linha A

Linha BDiferença:Linha A – Linha B

?

= 3s = 1X = 7

s = 2X

4 - 7 - 3 X -X X BABA ===−

121

2.235(2)(1)SSS222

B2ABA

= −−≠

==+=+=–

CorretoIncorreto

Para o caso de uma diferençaentre variáveis aleatórias, amédia resultante é igual àdiferença entre as médias e odesvio padrão é igual à raizquadrada da Soma dasvariâncias! (Prove!)

E se tivéssemos uma função devariáveis aleatórias, como seria amédia e o desvio-padrão destafunção?

EXEMPLOEXEMPLO

43

EPR503


Exemplo 1: Em um projeto é necessário avaliar-se a folga que separa doiscomponentes, já que se desconfia que em algumas vezes a montagem dodispositivo não será possível. O componente A (eixo) tem sua dimensão comdistribuição normal, com média 9,90 mm e desvio-padrão de 0,02mm. Ocomponente B (Furo) tem também distribuição normal, mas com média 10,05mm e desvio-padrão de 0,04 mm, conforme mostra a figura.

Determine a média e o desvio padrão paraa folga entre os componentes supondo queestas medidas sejam:

a) independentes;

b) correlacionadas (r=0.8);

c) correlacionadas (r=-0.75).

d) Em cada caso descrito anteriormente,determine a probabilidade do sistemanão poder ser montado.

44



EPR503


Exemplo 2: Quatro processos de fabricação sãousados sequencialmente para se fabricar umlote de 25 peças de um sistema Pistão-Cilindro.Supondo que o tempo de execução de cadaoperação seja uma variável aleatórianormalmente distribuída com médias e desviopadrão descritos na figura ao lado, determine:

a) O tempo médio de fabricação do lote depistões e sua respectiva variância;

b) O tempo médio de fabricação do lote decilindros e sua respectiva variância;

c) A probabilidade de se gastar mais de 85minutos para se produzir o lote de pistões;

d) A probabilidade de se gastar entre 80 e 90minutos para se produzir o lote decilindros.

EXEMPLOEXEMPLO

45

EPR503


Expandindo-se a série em torno da média, tal que:

( )( )( )( )

∑∞

=

−=

0 !n

nn

n

axafxf

xa µ=

( )( )( )( )

∑∞

=

−=

0 !n

n

xx

n

n

xfxf

µµ

Consideremos a série de Taylor unidimensional:

Tomando-se o valor esperado da função, E[f(x)], tem-se:

( )[ ]( )( )( )

−= ∑

∞

=0 !n

n

xx

n

n

xfExfE

µµ

MÉDIAS DE FUNÇÕESMÉDIAS DE FUNÇÕES

46



EPR503


Truncando-se a série no termo quadrático, tem-se:

( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )

−+

−+=

!2!1

' 2''xxxx

x

xfxffExfE

µµµµµ

Distribuindo-se o operador de valor esperado (E) por todos ostermos, decorre que:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]2''

2' x

xxxx xE

fxEffExfE µ

µµµµ −

+−+=

Considerando que:

(Prove!) e , temos:( )[ ] 0=− xxE µ ( )[ ] 22xxxE σµ =−


47

EPR503


O valor esperado para uma função de variáveis aleatórias pode serescrita como:

Esta é a forma da Expansão em Série de Taylor para o momento deprimeira ordem (média) de uma função de variáveis aleatórias.

Desconsiderando a derivada segunda, o valor esperado será escritoapenas como:

( )[ ] ( )[ ] ( ) 2''

2 xx

x

ffExfE σ

µµ

+=


48

( )[ ] ( )[ ]xfExfE µ=



EPR503


É possível generalizar estes resultados para uma função de variávelaleatória multidimensional.

Se , o valor aproximado para a média deY pode ser obtido pela expansão da série de Taylor em torno dovetor de médias .

( )xfxxxfY n == ),...,,( 21

),...,,( 21 nxxx

( ) ( )

ji

n

i

n

j

jjii

i

n

i

iinxx

xfxxxx

x

xfxxxxxfY

∂∂

∂−−+

∂

∂−+= ∑∑∑

= ==

2

1 1121 ))((

2

1)(),...,,(

Avaliemos o segundo termo da expansão:

( )

i

n

i

iix

xfxx

∂

∂−∑

=1

)(


49

Truncando-se a expansão no termo quadrático, tem-se:

EPR503


Então:

Portanto:( )

ji

n

i

n

j

jjiinxx

xfxxxxxxxfY

∂∂

∂−−+= ∑∑

= =

2

1 121 ))((

2

1),...,,(

Admitindo-se que o segundo termo é nulo e que o terceiro termopode ser desprezado por uma questão de simplificação, a médiade uma função de variáveis aleatórias poderá ser escrita como:

),...,,( 21 nxxxfY =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0)(

)()(

1

1 111

=−∂

∂=

∂

∂−

−

∂

∂=

−

∂

∂=

∂

∂−

∑

∑ ∑∑∑

=

= ===

ii

ii

n

i

ii

n

i

n

i

ii

i

n

i

ii

ii

n

i

ii

xnxnx

xf

x

xfxx

xxx

xfxx

x

xf

x

xfxx


50



EPR503


Considere que a Série de Taylor seja truncada no termo linear eaplicada para duas variáveis aleatórias x1 e x2. Assim, tem-se:

Como:

Ou:

( ) ( )

i

n

i

iix

xfxxfxxf

∂

∂−+= ∑

=

=

2

12121 )(),(, µµ

( ) ( ) ( )

−

∂

∂+−

∂

∂+= )()(),(,

2

2

1

1

22

11

2121 xx xx

xfx

x

xffxxf

xx

µµµµµµ

( ) ( ) ( )

−

∂

∂+−

∂

∂=− )()(),(,

2

2

1

1

22

11

2121 xx xx

xfx

x

xffxxf

xx

µµµµµµ

VARIÂNCIA DE FUNÇÕESVARIÂNCIA DE FUNÇÕES

51

EPR503


Elevando-se ao quadrado os termos dos dois lados da equaçãoanterior e aplicando-se o operador de valor esperado E, tem-se:

( )[ ] ( ) ( )2

22

11

22121 )()(),(,

2

2

1

1

−

∂

∂+−

∂

∂=− xx x

x

xfx

x

xfEfxxfE

xx

µµµµµµ

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

−−

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂+

−

∂

∂=

))((2

)()(,

21

21

2

2

1

1

2121

2

22

2

11

21

xx

xx

xxx

xf

x

xfE

xx

xfx

x

xfExxfVar

xx

xx

µµ

µµ

µµ

µµ


52



EPR503


E a variância da função bivariada avaliada no vetor de médias setorna:

Genericamente, tem-se:

( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

21

21

2

2

1

1

21

2

2

2

2

2

121 2, xx

xx

x

x

x

x

x

f

x

f

x

f

x

fxxfVar σ

µµσ

µσ

µ

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

( )[ ] ( ) ( ) ( )jii xx

n

i

n

ij

x

i

xx

n

i i

x

xj

f

x

f

x

ffVar σ

µµσ

µ∑ ∑∑

−

= +==

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

1

1 1

2

1

2

2x

Obs.: Embora a demonstração seja complexa, Var[f(x)] é uma importanteidentidade matemática extremamente útil para cálculo de incertezascombinadas, programação estocástica, projeto de tolerâncias e ProjetoRobusto de Parâmetros (RPD)!


53

EPR503


Considerando que a covariância pode ser escrita em função dacorrelação, Var[f(x)] se torna então:

Voltando ao caso anterior, se as variáveis aleatórias foremindependentes (r=0), então:

( )[ ] ( ) ( ) ( )

××

∂

∂

∂

∂+

∂

∂= ∑ ∑∑

−

= +==

221

1 1

2

1

2

2jijii xxxx

n

i

n

ij

x

i

xx

n

i i

x rxj

f

x

f

x

ffVar σσ

µµσ

µx

( )[ ] ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) 2

1

2

0

22

0

1

1 1

2

1

2

2

i

jijii

x

n

i i

x

xxxx

n

i

n

ij

x

i

xx

n

i i

x

x

ffVar

rxj

f

x

f

x

ffVar

σµ

σσµµ

σµ

∑

∑ ∑∑

=

−

= +==

∂

∂=

××

∂

∂

∂

∂+

∂

∂=

x

x

44444444 344444444 21


54



EPR503


Considere que a impedância de um sistema seja: . Dados históricosdestas variáveis revelam que V é normalmente distribuída tal que V~N(5.136;0.2318) e I também é normalmente distribuída com I~N(0.01860;0.001051). Asvariáveis são corrrelacionadas tal que rVI=0.818. Determine o valor esperado, avariância e o CV% de Z.

1−×= IVZ

0.0210.0200.0190.0180.0170.016

5.75

5.50

5.25

5.00

4.75

4.50

I

V

Scatterplot of V vs I

Pearson correlation of V and I = 0.818

EXEMPLOEXEMPLO

55

EPR503


Usando os conceitos de funções de v.a.’s, temos:

( )[ ]2121

21

2

2

2

2

2

121 2, xxxx

x

f

x

f

x

f

x

fxxfVar σσσ

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

( )[ ] 2222

22

2, IVVIIV rI

Z

V

Z

I

Z

V

ZIVZVar σσσσ ×××

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

( )[ ] 222

2

2

22

21

21

,IVVIIV

rI

V

II

V

IIVZVar σσσσ ×××

−

+

−+

=

EXEMPLOEXEMPLO

56



EPR503


Substituindo-se os valores dados no problema, tem-se:

( )[ ] ( ) ( )

( )( )001051.02318.0818.00186.0

136.5

0186.0

12

001051.00186.0

136.52318.0

0186.0

1,

2

22

2

22

××

−

+

−+

=IVZVar

( )[ ] 56.7119.32745.24331.155, =−+=IVZVar

( )[ ] 13.2760186.0

136.5, ===

I

VIVZE

( )[ ] ( )[ ]( )[ ]

%06.313.276

46.8

,

,,.%. ===

IVZE

IVZVarIVZVC

EXEMPLOEXEMPLO

57

EPR503


2 – PROBILIDADE E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE



EPR503


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−=−=

−=−=

==

Ω

Ω

ΩΩ

n

nBPBP

n

nAPAP

n

nBP

n

nAP

Bc

Ac

BA

11

11

;

PROBABILIDADEPROBABILIDADE

Probabilidade é a razão entre onúmero de ocorrências (sucessos) deum dado evento e o número deelementos do espaço amostral aoqual pertence este evento.

Matematicamente, tem-se:

( )

( ) ( ) ( )

=

+++=

≤≤

∑∞

=

∞

=

∞

=

11

211

10

i

i

i

i

i

i

i

APAP

APAPAPAP

AP

U

U L

59

EPR503


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) tesIndependenBPAPBAP

BPBAPAPABPBAP

AP

BAP

n

nABP

n

nnnBAPBPAP

n

nBAP

n

nnBPAP

n

nBAP

BA

BABABA

BABA

⇒×=∩

×=×=∩

∩==

−+=∩−+==∪

+=+==∪

Ω

∩

Ω

∩

Ω

∪

ΩΩ

∪

*

;

PROBABILIDADEPROBABILIDADE

Com base no Diagrama de Venn, podemser escritas as seguintes relações:

60



EPR503


( ) 234.0

!45!5!50

!17!3!20

!28!2!30

5

50

3

20

2

30

=

×

××

×=

×

==Ωn

nAP A

Um lote com 50 peças contém 30 peças defeituosas. Retirando-seuma amostra de tamanho 5, determine a probabilidade de se obter 2peças defeituosas e 3 boas.

Solução: Supondo que o evento A seja formado por todas asamostras de 2 peças defeituosas e 3 boas que podem serselecionadas aleatoriamente de um conjunto com 30 e 20 peçasdefeituosas e boas, respectivamente, então, pelo “Princípio daContagem”, tem-se que:

PROBABILIDADESPROBABILIDADES

61

EPR503


( ) ( )( )

( ) ( ) ( )APABPBAPAP

BAP

n

nABP BA ×=∩⇒

∩==

Ω

∩

*

PROBABILIDADE CONDICIONALPROBABILIDADE CONDICIONAL

A=Ω*

B

Ω (A∩B)

Ω*

A

62



EPR503


( ) ( ) 833.060

50;50.0

60

30====== ∩∩

P

PF

P

PF

n

nMMP

n

nPFP

EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Prof. Pedro Paulo ministra aulas de “Previsão” para as turmas deEngenharia Mecânica e Produção, que têm as quantidades de alunosdiscriminadas pela tabela a seguir. Por “descuido”, Pepê misturou asprovas das duas turmas. Suponha que ele decida sortear alguém para“tirar um zero”. Qual é a probabilidade do “sortudo (a)” ser uma aluna,dado que ela faz produção. E um aluno da mecânica?

Curso/Sexo Masculino Feminino Total

Mecânica 50 10 60

Produção 30 30 60

Total 80 40 120

63

EPR503


ÁRVORE DE DECISÃOÁRVORE DE DECISÃO

Início

Evento (A)

Evento (B)

Evento (Bc)

Evento (Ac)

Evento (B)

Evento (Bc)

P(Ac)

P(A)

P(B)

P(B)

P(Bc)

P(Bc)

É uma maneira simples de tratar as probabilidadescondicionais.

64



EPR503


EXEMPLOEXEMPLO

Em um lote de 40 peças, 10 são defeituosas e 30 são boas. Se duaspeças forem selecionadas aleatória e sequencialmente (amostragemsem reposição), determine:

A probabilidade das duas peças sorteadas serem defeituosas;

A probabilidade das duas não serem defeituosas;

A probabilidade de uma ser defeituosa (primeira ou segunda) e aoutra ser não ser defeituosa (primeira ou segunda).

Considere como eventos: A – 1a. Peça é defeituosa;

Ac – 1a. Peça não é defeituosa;

B – 2a. Peça é defeituosa;

Bc – 2a. Peça não é defeituosa.

65

EPR503


ÁRVORE DE DECISÃOÁRVORE DE DECISÃO

Início

Evento (A):

1ª. Peça é defeituosa

Evento (B):


Evento (Bc):

2ª. Peça não é defeituosa

Evento (Ac):


Evento (B):


Evento (Bc):


P(Ac)=30/40

P(A)=10/40

P(B)=9/39

P(B)=10/39

P(Bc)=29/39

P(Bc)=30/39

Solução: considere a seguinte árvore de probabilidades:

66



EPR503


( ) ( ) ( )

( ) 058.040

10

39

9=

×

=∩

×=∩

BAP

APABPBAP

b) A probabilidade das duas não serem defeituosas é igual àinterseção entre Ac e Bc. Então:

c) A probabilidade de uma ser defeituosa e a outra não:

a) A probabilidade das duas peçassorteadas serem defeituosas é igual àinterseção entre A e B. Então:

( ) ( ) ( ) 558.040

30

39

29=

×

=×=∩ ccccc APABPBAP

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] 3846.040

30

39

10

40

10

39

30=

×

+

×

=∩∪∩

×+×=∩∪∩

BABAP

APABPAPABPBABAP

cc

ccccc

SOLUÇÃOSOLUÇÃO

67

EPR503


( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPAPABPBAPAP

BAPABP ×=×=∩⇒

∩=

Se os eventos A e B foremconsiderados independentes, então aprobabilidade de ocorrência de B nãoserá influenciada pela ocorrência de Aporque não há alteração no espaçoamostral (Ω). Logo:

Analogamente, tem-se:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPBPBAPBAPBP

BAPBAP ×=×=∩⇒

∩=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cccccccBPAPBPBAPBAP ×=×=∩

EVENTOS INDEPENDENTESEVENTOS INDEPENDENTES

68



EPR503


0.99

0.95

0.95

0.90

0.90

0.90

A B

O circuito mostrado a seguir opera somente de A para B. Aprobabilidade de que cada elemento do circuito funcione émostrada na figura a seguir. Determine a probabilidade de queo circuito opere sabendo-se que os componentes podem falharde maneira independente.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPAPABPBAPAP

BAPABP

BAPBPAPBAP

×=×=∩⇒∩

=

∩−+=∪


69

EPR503


F6

F5

F4

F3

F2

F1

A B

Generalizando as probabilidades em cada componente esupondo que seus funcionamentos são independentes, vem:

∏

=

n

i

iF

1

=

Un

i

iF1

=

Un

i

iF1

=

Un

i

iF1


70



EPR503


Logo, para as ligações em paralelo, haverá passagem de corrente sepelo menos um dos componentes funcionar. Já para as ligações emsérie, só haverá passagem de corrente se todas funcionarem.Combinando os dois tipos de ligações, teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]32132

3121321321

3213231

21321321

FPFPFPFPFP

FPFPFPFPFPFPFPFFFP

FFFPFFPFFP

FFPFPFPFPFFFP

××+×−

×−×−++=∪∪

∩∩+∩−∩−

∩−++=∪∪

Analogamente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )654321

545454

FPFFPFFFP

FPFPFPFPFFP

∩∪∩∪∪

×−+=∪

Combinando o sistema todo, teremos:


71

EPR503


Substituindo as probabilidades fornecidas noproblema anterior , teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) 999.09.09.039.03 32321 =+−=∪∪ FFFP

Analogamente:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 9865.09900.09975.09990.0

9975.095.095.095.0

654321

254

=××=

∩∪∩∪∪=

=−+=∪

FuncionarP

FPFFPFFFPFuncionarP

FFP

Combinando o sistema todo, teremos:

Logo:

F1 F2

Ω F1∩F2

F3

F2∩F3F1∩F3 F1∩F2∩F3


72



EPR503


Em confiabilidade, uma definição geral para aprobabilidade de funcionamento de um circuitocomo o da figura ao lado pode ser escritogenericamente como:

( ) ( ) 23

22

21

23213

22132

21323121321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxFFFP +++−++=∪∪

Onde xi e xj são probabilidades de funcionamento ou falha dosrespectivos componentes i e j.

( ) ( ) ( )( )( )[ ]3231211

111111 xxxxxxxxxn

i

jii −−−−=−−= ∏=

φ

CircuitosCircuitos

73

1 2

1 3

2 3( ) ( ) jixxxn

i

jii <−−= ∏=1

11φ

EPR503


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cc

c

c

APABPAPABPBP

BABAPBP

BAPBAPBP

×+×=

∩+∩=

∩∪∩=

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTALTEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

( ) ( )BABABc ∩∪∩=

Considere os eventos A e B, com:

Se A e Ac formam uma partiçãodo espaço amostral e B é umoutro evento qualquer, então:

A

Ac

74



EPR503


Se Ai forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos, então:

(B∩A1)

B

A1

A5

A4

A3

A2

(B∩A2)

(B∩A6)

(B∩A4)

(B∩A5)

(B∩A3)

A6

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )i

m

i

i

m

i

i

m

APABPBAPBP

BAPBAPBAPBP

×=∩=

∩++∩+∩=

∑∑== 11

21 L

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTALTEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

75

EPR503


TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES

Uma das relações mais importantes envolvendo probabilidadescondicionais é dada pelo Teorema de Bayes que expressa umaprobabilidade condicional em termos de outras probabilidadescondicionais. Se A1, A2, ... An são eventos mutuamente excludentes(Ai∩Aj = Φ para todo i≠j) de um espaço amostral Exaustivo E, tal que:

Então cada Ai é denominado de partição de E. Se B é um eventoarbitrário de B com P(B) > 0, então a probabilidade de ocorrência deuma das partições Ai, dado que ocorreu o evento B, pode ser expressapor:

=

=

AAn

i

iU1

( )( )

( )

( )∑=

∩

∩=

∩=

n

i

i

iii

ABP

BAP

BP

BAPBAP

1

)|(

76



EPR503


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )BP

APABP

APABP

APABP

BAP

APABPBAP

ii

n

i

ii

ii

n

i

i

ii

i

×=

×

×=

∩

×=

∑∑== 11


( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )BP

APABPBAP

APABPBAP

AP

BAPABP

BP

BAPBAP

×=

×=∩

∩=

∩=

Verifica-se no Diagrama de Venn que:

Então, pode-se escrever genericamente que:

( ) ( ) ( ) ( )i

n

i

i

n

i

i APABPBAPBP ×=∩= ∑∑== 11

77

EPR503


F1

(D∩F1) (D∩F3)D

F2 F3

(D∩F2)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )DP

FPFDP

FPFDP

FPFDP

DFP

FPFDPDFP

ii

n

i

ii

ii

n

i

i

ii

i

×=

×

×=

∩

×=

∑∑== 11


78



EPR503



Ex.: Uma companhia produz circuitos integrados em trêsfábricas, I, II e III. A fábrica I produz 30% dos circuitos, enquanto II e IIIproduzem 45% e 25% respectivamente. As probabilidades de que umcircuito integrado produzido por estas fábricas não funcione P(Di) são0.01, 0.02 e 0.04, respectivamente. Escolhido um circuito da produçãocom defeito, qual a probabilidade de ele ter sido fabricado em I?

Fábrica Produção [P(F)] P(D) P(D|F).P(F)

F1 30% 0,01 0,003

F2 45% 0,02 0,009

F3 25% 0,04 0,010

Total 100% Total 0,022

( ) ( ) ( )

( ) ( )%66.13

022.0

003.0

|

|| 3

1

111 ==

×

×=

∑=

=

n

i

ii FPFDP

FPFDPDFP

79

EPR503


Por árvore de falhas, tem-se:

PRODUÇÃO

FÁBRICA I

P(F1)=30%

Peça defeituosa

P(D|F1)=1%

Peça Não defeituosa

P(DC|F1)=99%

FÁBRICA II

P(F2)=45%

Peça defeituosa

P(D|F2)=2%


P(DC|F2)=98%

FÁBRICA III

P(F3)=25%

Peça defeituosa

P(D|F3)=4%


P(DC|F3)=96%

Fábrica Produção D P(D|F).P(F)

I 30% 1% 0,003

II 45% 2% 0,009

III 25% 3% 0,010

- - - 0,022


80



EPR503


TRÊS EVENTOSTRÊS EVENTOS

• Para dois eventos A e B, sabe-se que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P

APABPBPBAPBAP

APABPBPAPBAPBPAPBAP

ACBPBCAPCBAPCBAP

BPCAPCBAPCBAP

CBAPCBP

CAPBAPCPBPAPCBA

×=×=∩

×−+=∩−+=∪

∩∩=∩∩=∩∩=∩∩

∩∩=∩∩=∩∩

∩∩+∩−

∩−∩−++=∪∪

• Para três eventos A, B e C, tem-se:

81

EPR503


QUATRO EVENTOSQUATRO EVENTOS

Das figuras a seguir, pode-se deduzir as seguintes relações:

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )APCBP

ACBPCBAP

BPCAP

BCAPCBAP

CPBAP

CBAPCBAP

∩∩=

∩∩=∩∩

∩∩=

∩∩=∩∩

∩∩=

∩∩=∩∩

82



EPR503


QUATRO EVENTOSQUATRO EVENTOS

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )DCBAPDCBP

DBAPCBAPDCP

DBPCBPDAPCAP

BAPDPCPBPAPDCBAP

∩∩∩−∩∩+

∩∩+∩∩+∩−

∩−∩−∩−∩−

∩−+++=∪∪∪

Para quatro eventos A, B, C e D, pode-se escrever que:

83

EPR503


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

×+×=

∩∪∩=cc

c

APABPAPABPBP

BAPBAPBP

BRIDGEBRIDGE

BRIDGE são sistemas complexos de engenharia (circuitos, sistemasmecânicos ou mapas de processos) cuja confiabilidade total deve sercalculada como uma combinação de elementos independentes econdicionais. Sua modelagem e resolução utiliza o Teorema de Bayes.

84



EPR503


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cccAPABPAPABPBAPBAPBP ×+×=∩∪∩=

BRIDGE: COMPLEX NETWORK SYSTEMSBRIDGE: COMPLEX NETWORK SYSTEMS

Considere na figura anterior que possam ocorrerdois eventos, respectivamente A e Ac, tal que:

Evento A: Se o elemento 5 funciona,tem-se a configuração mostrada naFigura 1:

Evento B: Logo, a probabilidade de o sistema funcionar será:

Evento Ac : Já se o elemento 5falha, a configuração resultanteserá como na Figura 2:

(Figura 1) (Figura 2)

85

EPR503


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

×××−×+×=

−=

×−+××−+=

=

×+×=

43214321

5

42423131

5

1

RRRRRRRRAB

RAP

RRRRRRRRABP

RAP

APABPAPABPBP

c

c

cc

BRIDGEBRIDGE

Então, para o sistema tem-se:

( )

( )

cABP

ABP

Assim:

86



EPR503


2.2 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

Variáveis Contínuas

EPR503


( ) 0≥xf

( ) 1=∫∞

∞−xf

( ) ∫ >=≤≤b

aabdxxfbXaP )( )(

Algumas Distribuições Contínuas:

Normal Uniforme Chi-square Fisher(F) Student(t)

Beta Cauchy Exponential Gamma Laplace Logistic Lognormal Weibull

Função densidade de probabilidade:

Área da curva é unitária:

Probabilidade está associada à área:

Distribuições de Probabilidade contínuas são as funções de densidadede probabilidade e de distribuição de frequências associadas à variáveiscontínuas. Variável contínua é aquela que pode ser medida por alguminstrumento. Possuem:

900

0,5404

13001200



EPR503


Suponha que f(x)=1/8x seja um função de densidade de probabilidade (FDP)no domínio [0, k]. Determine o valor de k, a média, a variância, a mediana e o3° quartil desta distribuição.

Solução:

(Adota-se o valor positivo porque k é limite superior do domínio).

4

416116

18

1)(

2

0

2

0

=

±=⇒=⇒=

=

⇒= ∫∫

+∞

∞−

k

kkx

dxx

dxxf

k

k

Exemplo

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4 -2 0 2 4 6 8 10

8)(

xxf =

89

EPR503


( ) 67.23

8

8)(

4

0

==

=== ∫∫

+∞

∞−

dxx

xdxxxfXEµ

Uma vez definido o domínio da fdp, tem-se:

( ) ( ) 89.083

8)(

4

0

222 =

−=−== ∫∫

+∞

∞−

dxx

xdxxfxXVar µσ

Exemplo

83.250.016

50.016

50.08 2

22

0

2

0

22

=⇒=

⇒=

⇒=

∫ Q

Qxdx

xQQ

46.375.016

75.016

75.08 3

23

0

2

3

0

33

=⇒=

⇒=

⇒=

∫ Q

Qxdx

xQ

Quartil

Q

o

44 344 21

00.225.016

25.016

25.08 1

21

0

2

0

11

=⇒=

⇒=

⇒=

∫ Q

Qxdx

xQQ

90



EPR503


e) M áx f(x) ocorre em x = µ

f) Os pontos de inflexão são x = µ ± σ

g) E(X ) = µ

h) Var(X ) = σ2

a) f x dx( )− ∞

∞

∫ = 1

b) f(x ) ≥ 0

c ) lim ( ) lim ( )x x

f x f x→ ∞ → − ∞

= =0 0 e

d ) f (µ + x) = f (µ - x)

DISTRIBUIÇÃO NORMALDISTRIBUIÇÃO NORMAL

260240220200180160140

Data

200,0 19,88 1000

200,4 9,937 1000

199,8 4,915 1000

Mean StDev N

Y1

Y2

Y3

Variable

3210-1-2-3

X

( ) ( )2

2

1

2

1:;

−−

= σ

µ

πσσµ

x

exfN

( ) ( )( )2

2

1

2

1:1;0

z

ezfNZ−

==π

A distribuição Normal é uma fdp simétricacom parâmetros µ e σ.

Pode ser padronizada, tal que:σ

µ−=

xZ

EPR503


3210-1-2-3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

0

0.4Fmáx d[f(x)]=0

Exemplo

Mostre que o ponto de máximo da função de densidade eprobabilidade Normal ocorre no ponto em que a variável aleatória éigual à média, x=μ.

( )2

21

2

1

−−

= σ

µ

πσ

x

exf

92



EPR503


Derivada

Como se nota na figura, a condição de máximo ocorrerá noponto onde a derivada da função é nula. Assim, tem-se:

( ) ( )

( )

( )

µσ

µ

πσσ

µ

πσ

πσπσ

σ

µ

σ

µ

πσπσ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

=⇒=

−−∴

=

×

−−==

=

=−

−××−=⇒

−−=

=

=⇒=

−−

−−

−−

−−

xx

ex

duexfLogo

edu

de

dx

dxfseTem

xdu

xuFazendo

edx

dxfexfSe

x

u

u

x

xx

0

02

1

2

1':

2

1

2

1':

22

1

2

1:

02

1'

2

1:

2

2

22

21

2

1

2

2

1

2

1

93

EPR503


Exemplo 1: Uma companhia produz lâmpadas cuja vidasegue uma distribuição normal com média 1.200 horas edesvio padrão de 250 horas. Escolhendo-sealeatoriamente uma lâmpada, qual é a probabilidade desua durabilidade estar entre 900 e 1.300 horas?

0,0018

0,0016

0,0014

0,0012

0,0010

0,0008

0,0006

0,0004

0,0002

0,0000

X

Densi

ty

900

0,5404

13001200

Distribution PlotNormal; Mean=1 200; StDev=250



EPR503


Exercício: A demanda antecipada de consumo de um certo produto érepresentada por uma distribuição normal com média 1.200 unidadese desvio padrão de 100.

a) Qual é a probabilidade de que as vendasexcedam 1.000 unidades?

b) Qual é a probabilidade de que as vendasestejam entre 1.100 e 1300 unidades?

c) A probabilidade de se vender mais do quek unidades é de 10%. Determine k.

d) Determine o octagésimo percentil dadistribuição.

EPR503


Reforço (H) do cordão (mm)

2,429 2,472 2,693 2,643

2,601 2,576 2,657 2,638

2,335 2,707 2,355 2,368

2,895 2,182 2,774 2,719

2,774 2,659 2,607 2,397

2,719 2,656 2,622 2,561

2,845 2,653 2,556 2,421

Faça um teste de normalidade para os dadosda tabela.

3,02,92,82,72,62,52,42,32,22,1

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

1 0

5

1

Mean 2,590

StDev 0,1 668

N 28

AD 0,508

H

Per

cen

t

Probability Plot of H

Como P-Value>5%, aceita-se a hipótese nulade que os dados são normalmentedistribuídos.



EPR503


Das demonstrações anteriores, depreende-se que se a área sob a curva normalé unitária e simétrica, então:

( )( ) ( )

∫∫−

∞−

−

+==≤k zk z

dxedxekxPLogo0

21

21 22

2

1

2

1

2

1:

ππ

Área da Normal

Mas como se calcula a integral da função normal? Para isto precisaremosempregar a “Série de Taylor”.

( )( )

2

1

2

10

02

1 2

==≤ ∫ ∞−

−

dxexPz

π( )

( )

∫−

=≤≤k z

dxekxP0

2

1 2

2

10

π

97

EPR503


A Série de Taylor é uma das mais importantes contribuiçõesdo cálculo integral e diferencial para a engenharia. Por definição, aSérie de Taylor é uma série infinita1 que pode ser usada comoaproximação de qualquer função contínua em torno de um ponto deinteresse a. Na sua forma genérica, a série pode ser escrita como:

Ou, de maneira resumida, como:

1 - Embora seja infinita, a série truncada (interrompida) no termo quadrático já apresentaexcelentes aproximações das funções originais.

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )!

...!2

''

!1

' 2

n

axafaxafaxafafxf

nn −++

−+

−+=

SÉRIE DE TAYLOR

( )( )( )( )

∑=

−=

n

i

nn

n

axafxf

0 !

98



EPR503


Considere a Série de Taylor:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )!

...!3

'''!2

''!1

' 32

n

axafaxafaxafaxafafxf

nn −++

−+

−+

−+=

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )!

00...

!3

0'''

!2

0''

!1

0'0

32

n

xfxfxfxffxf

nn −+++++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10...0'''0''0'0 ======⇒= nx fffffexf

22

2

1

2

1z

xx −=

−−=

σ

µ

Para a=0, a seqüência se torna uma Série de Maclaurin:

Considere agora que:

Usando a função , tem-se: ( ) xexf =

Série de Maclaurin

99

EPR503


( )( )

( ) ( )( )

+−+−+−+−=≤≤

=≤≤ ∫

−

!2121...

34563364061

20

2

10

28642

0

2

1 2

nn

xxxxxxztP

dzeztP

n

nn

xz

π

π

Ou seja, utilizando uma expansão em Série de Maclaurin pode-secalcular a integral definida da função Normal que, via de regra,não apresenta solução analítica. Assim, pode-se demonstrar que:

Série de Maclaurin

100



EPR503


( ) ∫ ∞−

−−

=≤k

x

dxekxP

2

2

1

2

1 σ

µ

πσ

( ) ( )( )

−=→+=≤=≤ ∫

−

σ

µ

π

xzdxexzPkxP

zx z

0

2

1 2

2

1

2

1

( )

+−+−+=≤ ...

3456

1

336

1

40

1

6

1

2

1

2

1 9753 xxxxxkxP

π

( )( ) ( )

∫∫−

∞−

−

+==≤x zk z

dxedxekxP0

2

1

2

1 22

2

1

2

1

2

1

ππ

Série de Maclaurin

101

EPR503


( )

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

+−+−+−+−=

+−+−+−+−=

−+++−+−=

−++

−+

−+

−+=

+−

+−

−

−

∫

∫

∫∫

∫∫

!2121...

3456

1

336

1

40

1

6

1

2

1

2

1

!2121...

3456

1

336

1

40

1

6

1

2

1

2

1

!21...

384

1

48

1

8

1

2

11

2

1

2

1

!

1

2

1...

!3

1

2

1

!2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

129753

0

2

1

0

129753

0

2

1

0

28642

0

2

1

0

23

22

22

0

21

2

2

2

2

nn

xxxxxxdxe

nn

zzzzzzdxe

dzn

zzzzzdxe

dzn

zzzzdxe

n

nnx z

x

n

nnx z

x

n

nnx z

xn

x z

ππ

ππ

ππ

ππ

Série de Maclaurin

102



EPR503


( )( )

( )

( )1554.04.0

3456

14.0

336

14.0

40

14.0

6

14.0

2

1

2

1

!2121...

3456

1

336

1

40

1

6

1

2

1

2

1

97534.0

0

2

1

129753

0

21

2

2

=

+−+−=

+−+−+−+−=

∫

∫

−

+−

ππ

ππ

dxe

nn

xxxxxxdxe

z

n

nnx z

Série de Maclaurin

103

EPR503


CDF - NORMAL

2

2

1

2

1)(

−−

= σ

µ

πσ

x

exf

104



EPR503


Exemplo 3: Quatro processos de fabricação sãousados sequencialmente para se fabricar umlote de 25 peças de um sistema Pistão-Cilindro.Supondo que o tempo de execução de cadaoperação seja uma variável aleatórianormalmente distribuída com médias e desviopadrão descritos na figura ao lado, determine:

a) A probabilidade de se gastar mais de 85minutos para se produzir o lote de pistões;

b) A probabilidade de se gastar entre 80 e 90minutos para se produzir o lote decilindros.

EXEMPLOEXEMPLO

105

EPR503


F(x)

a b

( ) ∫+∞

∞−

== dxxxfXE )(µ

( ) ( ) ( )12

1

2)(

2222 ab

dxab

baxdxxfxXVar

−=

−

+−=−== ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

µσ

1)()(.

1

=−==

=

xfabhbA

A

( )2

1 badx

abxXE

b

a

+=

−== ∫µ

( ) ( )∫+∞

∞−

−== dxxfxXVar )(22 µσ

)(

1)(

abxf

−=



EPR503


Exemplo

A espessura de um componente é uma variável aleatóriauniformemente distribuída entre os valores 0,95 a 1,05 cm.

a) Determine a proporção de componentes que excedem a espessurade 1,02 cm.

b) Qual é o valor de espessura que é excedida por 90% doscomponentes?

c) Qual é o valor da espessura abaixo da qual estão 75% doscomponentes?

d) Qual é a probabilidade de haver componentes com espessuraentre 0,98 e 1,04?

EPR503


x

F(x)

140120100806040200

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

0

0

Função Exponencial

( ) ( )2

0

222 11

)(λ

λλ

µσ λ =

−=−== ∫∫

+∞−

+∞

∞−

dxexdxxfxXVarx

( )λ

λµ λ 1

0

=== ∫∞

−dxexXE

x

( ) ixexf

λλ −= .



EPR503


Mostre que a área de uma distribuição exponencial é unitária.

Logo:

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

X

De

nsit

y

1,609

0,8

0

( )

( ) ( )( ) ( )10

10

0

00

0

−−=−−−

−=

==∞≤≤

−∞−

∞−∞

−

∞−

∫

∫

λλ

λλ

λ

λ

λ

ee

edxe

dxexP

xx

x

( ) ixexf

λλ −= .

( ) 100

==∞≤≤ ∫∞

− dxexP xλλ

Integração

109

EPR503


Estimador de Máxima Verossimilhança (MLE) é definido comovalor do parâmetro a ser estimado em uma distribuição deprobabilidade que mais se aproxima da estatística realdefinidora desta distribuição.

Por definição, uma função de verossimilhança é escrita como oprodutório da pdf da distribuição para todos os valores de umconjunto xi, tal que:

( ) ( )i

n

i

xfL ∏=

=1

θ

MLEMLE

110

Para determiná-lo, iguala-se a derivada ou o gradiente dafunção de verossimilhança (caso das distribuições de mais doque um parâmetro) a zero.



EPR503


Consideremos a distribuição exponencial, cuja pdf é dada por:

Sua função de verossimilhança será:

( ) ixexf

λλ −= .

( ) ixn

i

eLλλλ −

=

∏= .1

( )∑

=××××== =

−−−−−−

=∏

n

i

i

ni

xnxxxxx

n

i

eeeeeeL 1321 .....1

λλλλλλ λλλλλλλ

( )[ ]

∑= =

−n

i

ixn

enLn 1.λ

λλ ll ( )[ ] ( )

∑+= =

−n

i

ixn

ennLn 1

λ

λλ lll

( )[ ] nexnnLnn

iilll ∑−+=

=1. λλλ

MLEMLE

Calculando-se o logaritmo dessa função, vem que:

Loglikelihood( )[ ]⇒θLnl

111

EPR503


xnxxn

xn

i

i

n

i

i =⇒= ∑∑== 11

1

( )[ ] xnnnnexnnnLn λλλλλ −=−= llll ..

( )[ ] ( )0

.=

∂

−∂=

∂

∂

λ

λλ

λ

λ xnnnLn ll ( )[ ]0=−=

∂

∂xn

nLn

λλ

λl

xnn

=λ x

1=λ

MLE – FUNÇÃO EXPONENCIALMLE – FUNÇÃO EXPONENCIAL

Sabe-se que:

Logo, pode-se escrever que:

Então, o Estimador MLE da do parâmetro de definição da distribuiçãoExponencial será:

112



EPR503


⇒====∑ =

06,0100

61

1

n

i ix

n

xλ ( ) x

exf06,006,0 −=

10

0

06,010

0

06,006,0)10( xxedxexP

−− −==< ∫

( ) ( )

4512,0)10(

548,0106,0)10( 006,01006,010

0

06,0

=<

−=+−==< −−−

∫

xP

eedxexPx

Dado o conjunto A=[26, 22, 21, 19, 8, 4], determinar aprobabilidade de x ser menor que 10, dado que x é uma variávelaleatória exponencial.

EXEMPLO - MLEEXEMPLO - MLE

113

EPR503


Um procedimento de Integração bastante útil em Estatística é o Método deIntegração Por Partes (IPP). Este procedimento permite simplificar o processode integração de funções mais complexas por uma combinação de integraçõesde funções mais simples. De maneira geral, o método de IPP pode ser descritocomo:

Onde: u e v são duas funções cujas derivadas são, respectivamente, du e dv.

Exemplo: Mostre que a média e a variância da distribuição exponencial sãodadas por:

a) b)

IPP

∫∫ −=a

b

a

b

vduuvudv

( )λ

µ1

)( === ∫+∞

∞−

dxxxfXE ( ) ( )2

22 1)(

λµσ =−== ∫

+∞

∞−

dxxfxXVar

114



EPR503


( )

( )λλλ

λ

λ

λλλ

λλ

λλλλ

λλλ

λλ

λλλ

λ

111

1

1

0

0

000

000

0

=

−−=

−−=

−−−=⇒−=

=−=

==∴−=−=

==

∞

∞−

∞

−∞

∞−−

∞−

∞∞

−−

−−

−−−

∞−

∫

∫∫∫ ∫

∫

∫

eeexedxex

dxexedxexvduvuudv

dxedvev

dxduxueedxe

dxexxE

xxx

xxx

xx

xxx

x

IPP1

Mostre que a média da distribuição exponencial é:

( )λ

µ1

)( === ∫+∞

∞−

dxxxfXE

Considerando que o domínio da exponencial é [0, +∞], tem-se que:

Empregando a técnica de IPP, tem-se:

115

EPR503


( )

220

2

0

2

200

2

0

2

0 0

2

0

2

0 0 0

2

0

2

121

121

1121

121

λλλλ

λ

λλ

λλλ

λ

λλλ

λλλ

λ

λλ

λλλ

λ

λλ

λλλ

λλλ

λλλλ

+−=

−

+

−=

−

+−=

−

+−=

−=

∫∫

∫∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫

∞−

∞−

∞−

∞−

∞−

∞ ∞−−

∞−

∞ ∞ ∞−−−

∞−

43421

44 344 2143421

a

xx

b

x

a

xx

xxx

xxxx

dxexdxex

dxexdxexdxex

dxexdxexdxex

dxedxexdxexdxexxVar

IPP2

Mostre que a Variância da distribuição exponencial é:

( ) ( )2

22 1)(

=−== ∫

+∞

∞−λ

µσ dxxfxXVar x

116



EPR503


( )

( )222

0

2

00

0

0

2

0

2

2

220

2

0

2

112121

221

12

121

λλλλλλ

λ

λλλλ

λ

λλλλ

λ

λ

λλλλ

λλ

λλ

=+−

=

−=

=

−−

−=

=−=

==

+−=

−=

∫

∫∫∫

∫∫

∞−

∞−

∞−

∞

−∞

−

−−

∞−

∞−

dxexxVar

dxxedxex

exdxex

edvev

xdxduxu

dxexdxexxVar

x

xxxx

xx

a

xx

44 344 21

43421

IPP2

Empregando a integração por partes em (a), tem-se:

Logo, a variância da distribuição exponencial é igual a:

117

EPR503


Ex. 5.73 (Montgomery e Runger, 2003): Otempo entre as chamadas telefônicas para uma lojade suprimentos é distribuído exponencialmente comum tempo médio de 15 minutos entre as chamadas.Determine:

a) A probabilidade de não haver chamadas por um período de 30 minutos. 1-P(x<30)

b) A probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 minutos. 1-P(x<1)

c) A probabilidade de que a primeira chamada chegue entre 5 e 10 minutos. P(x<10)-P(x<5)

d) O intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade de 90% de haver no mínimo uma chamada no intervalo. P(x<k)=0,90

EXPOEXPO



EPR503


Exercício 5.77 (Montgomery e Runger, 2003)

O tempo entre as chegadas de ônibus a uma estação rodoviária édistribuído exponencialmente, com média 10 min. Determine:

a) x, tal que a probabilidade de vc esperarmais de x minutos seja de 10%.

b) x, tal que a probabilidade de vc esperarmenos de x minutos seja de 90%.

c) x, tal que a probabilidade de vc esperarmenos de x minutos seja de 50%.

EXPOEXPO

EPR503


Exemplo 5.22 - Adaptado (Montgomery e Runger, 2003)

Propriedade da Falta de memória da Exponencial

O tempo entre a detecção de uma partícula por um contadorgeiger é distribuído exponencialmente com média=1,4 minutos.Após esperarmos 3 minutos, qual a probabilidade de que apartícula seja detectada nos próximos 30 segundos?

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) 30,00,35,3

0,3

0,35,35,33

0,35,3

=><

>

<−<=<<

><=∩

=

xxP

xP

xPxPxP

xxPBP

BAPBAP

EXPONENCIALEXPONENCIAL



EPR503


0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.03

0.03523

3.50

P(A)

P(B)

121

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) 30,00,35,3

1173.0

8827.09179.0

0,3

0,35,35,33

0,35,3

=><

−=

>

<−<=<<

><=∩

=

xxP

xP

xPxPxP

xxPBP

BAPBAP

FALTA DE MEMÓRIA…FALTA DE MEMÓRIA…

EPR503


0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

0.5

0.3003

0

• A probabilidade de detecção 0.5 minutodepois de se esperar 3 minutos é amesma do que uma detecção 0.5 minutosapós o início da contagem.• O fato de esperar 3 minutos não altera aprobabilidade de detecção nos próximos30 segundos.



EPR503



O tempo entre a chegada de e-mails em seucomputador é distribuído exponencialmente commédia igual a duas horas. Determine:

a) Qual é a probabilidade de receber e-mails antes de 75 minutos?

b) Qual é a probabilidade de receber e-mails entre 45 e 95minutos?

c) Qual a probabilidade de vc não receber uma mensagem duranteo período de duas horas?

d) Se vc não tiver recebido uma mensagem na últimas quatrohoras, qual será a probabilidade de vc não receber mensagensnas próximas duas horas?

EPR503


Um sistema mecânico composto por três elementos de máquina émontado em dois subsistemas em série, R1 e R2, conforme o diagramada figura a seguir. Suponha que as taxas de falha dos trêscomponentes sejam, respectivamente, . .

A confiabilidade de cada elemento é dada por:

Determine a confiabilidade dos subsistemas R1 e R2 e a confiabilidadedo sistema total.

A B

Comp. 2

Comp. 3

Comp. 1

R1 R2

1λ

2λ

2λ

EXERCÍCIOEXERCÍCIO

( ) ∫−=

t

t

ii dtetR i

0

λλ21 λλ e

124



EPR503


O circuito da figura opera se, e somente se, houver um caminho decomponentes funcionais, de T1 para T2. Considere que cada um dos 7componentes opere de maneira independente, com as probabilidadesde funcionar SEM falhar dadas pelas funções densidade deprobabilidade descritas em cada componente. Determine aprobabilidade de cada bloco não falhar isoladamente e a probabilidadedo sistema não falhar como um todo.

EXERCÍCIOEXERCÍCIO

T1 T2

Bloco 1 Bloco 3Bloco 2

∫−=

10

0

1.0)( 1.0 dxeP x

A

∫ −−=07,1

95,0

)( )1,1)(9,0( dxxxkPG

∫=9,0

0

2)( 5,1 dxxPE

∫

−−

=17

0

155.0

)(

2

22

1dxeP

x

C

σ

π

∫−=

12

0

4.0)( 4.0 dxeP x

D

( )∫

−−=8,12

5,12

5,1220)( 20 dxeP

x

B

∫

−−

=167

0

1505.0

)(

2

27

1dxeP

x

F

σ

π

125

EPR503


A distribuição de Weibull é usada para modelaro tempo até que uma falha ocorra, assim comopara determinar o tempo médio esperado destaocorrência (MTTF – Mean Time to Failure).

Neste modelo, o número de falhas é função dotempo (desgaste).

Exemplo:

126

( )β

δ

β

δδ

β

−

−

=

x

ex

xf

1

Shape

Scale

WEIBULLWEIBULL

2

222 21

21

11

+Γ−

+Γ=

+Γ=

βδ

βδσ

βδµ

( ) ( )22

1

2

1!11

2

1

2

3 π=

Γ=Γ==+Γ=

+Γ=

Γ nnnn

( ) ( ) π=

Γ−=Γ

2

1 !1nn



EPR503


X-Data

Y-D

ata

1086420

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0

0

Variable

C7 * Weibull 1 1

C8 * Weibull 3,4 2

C9 * Weibull 4,5 6.2

Weibull

( )β

δ

β

δδ

β

−

−

=

x

ex

xf

1

WEIBULLWEIBULL

EPR503


Exemplo 1 (Montgomery e Runger, 2003 – Ex. 5.25)

O tempo de falha (em horas) de um mancal de rolamentosem um eixo mecânico é modelado segundo uma distribuiçãode Weibull, com beta=0,5 e delta=5.000 horas.

WEIBULLWEIBULL

Determine:

a) O tempo médio até que uma falha ocorra;

b) A probabilidade do mancal durar entre 4.000 e 5.500 horas;

c) A probabilidade do mancal durar no mínimo 6000 horas.

d) A probabilidade do mancal durar 1000 h dado que ele já está emoperação a 5000 h.

h10000

5,0

115000

11

=

+Γ×=

+Γ=

µ

βδµ ( )

( ) 5754,010006000

6394,0

3679,0

1000

600010006000

=≥≥

=≥

≥=≥≥

ttP

t

tttP



EPR503


Exemplo 2: A vida útil de uma mola operandocontinuamente em condições normais segue uma distribuiçãoWeibull com beta=1,28 e delta=715 horas.

h66228,1

11715

11 =

+Γ×=

+Γ=

βδµ

WEIBULLWEIBULL

Determine:

a) O tempo médio até que uma falha ocorra;

b) A probabilidade operar por 500 horas;

c) Dado que a mola já operou por 200 horas, qual a probabilidade dela operarpor mais 500 horas?

0,0010

0,0008

0,0006

0,0004

0,0002

0,0000

X

Den

sity

500

0,4688

0

Distribution PlotWeibull; Shape=1 ,28; Scale=71 5; Thresh=0

( )

( ) 4596,0200700

8222,0

3779,0

200

700200700

=≥≥

=≥

≥=≥≥

ttP

t

tttP

EPR503


0,000006

0,000005

0,000004

0,000003

0,000002

0,000001

0,000000

X

Den

sity

2995

0,01

0

Distribution PlotWeibull; Shape=1 ,22; Scale=1 30000; Thresh=0

130

Exemplo 3: Um fabricante de veículos sabe que otempo até a ocorrência da primeira falha em um motorutilizado em condições normais de operação segue umadistribuição Weibull com beta=1,22 e delta=130.000 horas.

WEIBULLWEIBULL

∫ =

−

−t

x

ex

0

1

01,0

β

δ

β

δδ

β

a) Encontre o tempo médio de funcionamento dos motores em condiçõesnormais de operação;

b) Determine o período de garantia dos motores que permita que apenas 1%dos itens fabricados falhem durante o mesmo.

hxdxext

x

299501,00

1

=⇒=

∫

−

−β

δ

β

δδ

β

h121778

22,1

11000.130

11

=

+Γ×=

+Γ=

µ

βδµ



EPR503


( )

( )

( )[ ]

( )[ ]

93,2994

13000099,0ln

99,0ln

99,0ln

99,0lnln

22,11

1

=

×−=

×−=

=

−

=

−

t

t

t

t

e

t

δ

δ

β

β

δ

β

99,001,01

01,001,0

01,0

0

0

1

0

1

−=−⇒=−

=+−∴=−

−=⇒=

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

∫

ββ

βββ

β

β

δδ

δδδ

β

βδ

δ

β

δδ

β

δδ

β

tt

tt

x

x

tx

ee

eee

xdueu

dxex

EPR503


A vida de rolamentos de esferas segue uma distribuiçãoWeibull com beta=2,00 e delta=10.000 horas.

WEIBULL - BINOMIALWEIBULL - BINOMIAL

c) Determine a probabilidade do rolamento durar 8000 horas;

d) Dado que um certo rolamento de esferas já está em funcionamento há3000 horas, qual é a probabilidade dele durar mais 5000 horas?

e) Se 10 rolamentos estão em uso e, supondo-se que eles possam falharde maneira independente, qual é a probabilidade de que todos os 10durarão no mínimo 8000 horas? (Binomial x Weibull)

a) Determine a probabilidade de um rolamento durarno mínimo 8000 horas;

b) Determine o tempo médio até a falha do rolamento(MTTF);



EPR503


X-Data

Y-D

ata

302520151050

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

0

0

Variable

C4 * C1

C5 * C2

C6 * C3

Treshold

Usada em modelagem de estoques e tamanho de partículas.

( )( )

πσσµ

σ

µ

2,,ln

2

2

2

ln

2

x

exf

x −−

=

133

LOGNORMALLOGNORMAL

EPR503


( )( )

2

2

2

ln2

2

1,,ln σ

µ

πσσµ

−−

=x

ex

xf

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )n

x

i

n

i

n

x

n

n

xxx

n

i

in

i

i

n

e

x

e

xxxxL

x

e

x

e

x

exL

πσπσσµ

πσπσπσσµ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

2

1

2...

1,,ln

222,,ln

12

2

12

2

2

2

2

22

2

21

2

ln

1

2

ln

21

2

2

ln

2

2

ln

1

2

ln

2

∑

×

=

∑

×=

×××=

==

−−

=

−−

−−

−−

−−

∏

L

MLE - LOGNORMALMLE - LOGNORMAL

Deduza os estimadores de máxima verossimilhança(MLE) para a função de densidade e probabilidade“Lognormal”, que tem pdf dada por:

134

302520151050

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

0

0



EPR503


( )( )

( ) ( )∑

×=

∑

×= =

=−

−

=

−−

−

=∏∏

n

i

i

n

i

i

x

i

n

i

n

n

x

i

n

i

e

x

e

x

xL 12

2

12

2

2

ln

1

222

ln

1

2 2

2

1,,ln σ

µσ

µ

πσ

πσ

σµ


( )[ ] ( ) ( )

∑

×= =

−−

=

−

∏

n

i

inx

i

n

i

n

e

x

nxLn 12

2

2

1

222 2

,,ln σ

µπσ

σµ

l

ll

( )[ ] ( )( )

∑+

−

= =

−−

=

−

∏

n

i

inx

i

n

i

n

enxnnnxL 12

2

2

1

222 2,,ln σ

µ

πσσµ

l

llll

135

EPR503


( )[ ] ( ) ( ) ( )1

12

2

1

222

22,, en

nxxnnnxLn

n

i

ii

n

i

n

ll

llll ∑−

−

−

=

==

−

∏σ

µπσσµ

[ ] ( )∑∏==

=+++=×××=

n

i

inni

n

i

xnnxnxnxxxxnxn1

21211

... llllLll


( )[ ] ( )∑ −−−−−===

∑n

ii

n

i

i nxnxnn

nn

nxLn1

2

21

22

2

1

22

2,, µ

σσπσµ llllll

Logo, a função log da verossimilhança (Loglikelihood) poderá ser definidacomo:

136



EPR503


( )[ ] ( )

∑ −−−−−

∂

∂=

∂

∂

==

∑n

ii

n

i

inxnxn

nn

nnxLn

1

2

21

22

2

1

22

2

,,µ

σσπ

µµ

σµllll

ll

( )[ ] ( )∑ =−=∂

∂

=

n

iinx

nxLn

12

2

02

2,,µ

σµ

σµl

ll

( )∑ =−=

n

iinx

10µl

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ =−=−∑ =−= = ==

n

i

n

i

n

iii

n

ii nnxnxnx

1 1 110µµµ lll

( )∑==

n

iinx

n 1

1lµ

( )[ ] ( )

n

nxnxLn

n

ii∑ −

=⇒=∂

∂ =1

2

22

2

0,, µ

σσ

σµ lll

Calculando-se o gradiente da função log de verossimilhança (Loglikelihood) eigualando-o a zero, define-se o estimador de máxima verossimilhança(Maximum Loglikekihood Estimator), tal que:


137

EPR503


2.3 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

Variáveis Discretas



EPR503


AtributosAtributos

Atributo

Classificação

DefeituosoBinomial

(p)

Não

Defeituoso

Binomial

(q=1-p)

Contagem

DefeitosPoisson

(k)

Defeitos porUnidade

Poisson

(λ=k/n)

Em engenharia, os atributos podem ser classificados quanto ao modelode distribuição de probabilidade discreta associado a um sistema declassificações ou contagem.

As distribuições discretas mais comuns em engenharia são: Binomial, Poisson,Hipergeométrica e Multinomial.

139

EPR503


( )( )

( )pnpxVar

npxE

nx

ppxnx

nxXP xnx

−==

=

=

−

−== −

1)(

)(

,,1,0

)1(!!

!

σ

L

BINOMIAL x POISSONBINOMIAL x POISSON

npnp

,, , Xk

ekXP

k

====

===−

µσµλ

λλ

210 !

)( L

Distribuição Binomial

Defeituosos: quantidade ou percentual latasamassadas em lote de tamanho n=16. P=6/16=37,5%de itens defeituosos no lote.

Defeitos: Reclamações/hora

Distribuição de Poisson

140



EPR503


Distribuição Binomial é uma distribuição discreta de probabilidadeque surge na observação de sequencias conhecidas como “Provas deBernoulli”, eventos que permitem apenas dois resultados possíveis em cadatentativa: sucesso (p) ou fracasso (1-p). Estas probabilidades são fixas e,portanto, não mudam a cada teste. Os testes são considerados eventosindependentes (não viciados). Sua função densidade de probabilidade é escritacomo:

Usando máxima verossimilhança, pode se determinar o parâmetro p.

( )( )

xnx ppxnx

nxXP −−

−== )1(

!!

!

BINOMIALBINOMIAL

( )[ ]( ) ( )

( )[ ]( )

( )

( )[ ] ( )( )

0

)1ln(ln!!

!

,ln

)1ln(ln!!

!,ln

)1ln(ln!!

!)1(

!!

!ln,ln

=∂

−−××

−∂

=∂

∂

−−××

−=

−××

−=

−

−= −−

p

pxnpxxnx

nl

p

xnpl

pxnpxxnx

nxnpl

ppxnx

npp

xnx

nxnpl

xnxxnx

141

EPR503


BINOMIALBINOMIAL

( )[ ] ( )( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )

n

xppnxxppnxpx

xnppxp

xn

p

x

p

xn

p

x

p

xnpl

p

pxnpxxnx

n

p

xnpl

=⇒=⇒−=−

−=−⇒−

−=⇒=

−

−−=

∂

∂

=∂

−−+×

−∂

=∂

∂

)1()1(

0)1(

,ln

0

)1ln(ln!!

!

,ln

Por exemplo, se existem 6 latasamassadas em uma amostra de tamanhon=16 o valor do parâmetro p será:

375,016

6===

n

xp

142



EPR503


a1 a2 a3 a4 a5 a6

143

A probabilidade de haver uma lata amassada (defeituosa) emum lote de fabricação é de 0,375 (p). Selecionando-se uma amostraaleatória de 6 unidades (n), qual é a probabilidade de que exatamente2 latas (x) estejam amassadas? Deduza a pdf desta distribuição.

Há dois eventos independentes nesteproblema que podem ocorrer emcada uma das n provas:

1) o evento A, da lata estaramassada, que ocorre comprobabilidade (pA=0,375);

2) o evento B, da lata estar perfeita,com probabilidade de ocorrênciaigual a (pB=0,625).

EPR503


a1 a2 a3 a4 a5 a6 Probabilidade

(p)x.(1-p)n-x

0,375 0,375 0,625 0,625 0,625 0,625 (0,375)2×(0,625)4=0,02146

(p)x.(1-p)n-x

0,625 0,625 0,375 0,625 0,625 0,375 (0,375)2x(0,625)4=0,02146

144

Nota-se que, além de se multiplicar a probabilidade (p) x vezes pelaprobabilidade (1-p), (n-x) vezes, este resultado se repetirá para todas ascombinações de n provas (itens) tomadas x a x.

Desse modo, a pdf da distribuição Binomial será: ( )( )

xnx ppxnx

nxXP −−

−== )1(

!!!

Com o resultado particular de: ( ) ( ) 3219,0)625,0(375,0!4!2

!62 42

=

×==XP



EPR503


0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

bab

ilit

y

2

0,5960

6

Distribution PlotBinomial; n=6; p=0,375

145

O valor desta probabilidade assim como o resultado da probabilidadeacumulada [P(X≤2)] podem ser representadas graficamente através doshistogramas das figuras a seguir.

0,35

0,30

0,25

0,20

0,1 5

0,1 0

0,05

0,00

XP

rob

ab

ilit

y2

0,3219

0 6


[P(X=2)]

[P(X≤2)=P(0)+P(1)+P(2)]

EPR503


Suponha que um componente eletrônico instalado em determinadocircuito, tenha probabilidade p=0.2 de funcionar durante o tempo de garantia.São testados 20 componentes. Desse modo:

a) Qual a probabilidade de que deles, exatamente k, funcionem duranteo tempo de garantia (k = 0, 1, 2, ... 20)?

b) Qual a probabilidade de que 4 funcionem durante o tempo degarantia?

c) Qual o número médio e o desvio padrão de componentes que irãofuncionar durante o tempo de garantia?

( ) ( ) kk

kkXP

−

208.02.020

=)=(

0,25

0,20

0,1 5

0,1 0

0,05

0,00

X

Pro

babil

ity

3

0,4114

10




EPR503


( ) ( )

( )

( ) ( ) 2,38,02,0201

42,020

2182,08.02.04

20)4=( 164

=××=−=

=×==

=

=

pnpxVar

npxE

XP

x P(x) Acumulado

0 0,01153 0,01153

1 0,05765 0,06918

2 0,13691 0,20608

3 0,20536 0,41145

4 0,21820 0,62965

5 0,17456 0,80421

6 0,10910 0,91331

7 0,05455 0,96786

8 0,02216 0,99002

9 0,00739 0,99741

10 0,00203 0,99944

11 0,00046 0,99990

12 0,00009 0,99998

13 0,00001 1,00000

14 0,00000 1,00000

15 0,00000 1,00000

16 0,00000 1,00000

17 0,00000 1,00000

18 0,00000 1,00000

19 0,00000 1,00000

20 0,00000 1,00000

0,25

0,20

0,1 5

0,1 0

0,05

0,00

X

Pro

babil

ity

4

0,6296

10


EPR503


Exercício: Complete a tabela referente a Distribuição Binomial a seguir:

n p k P(X=k) P(X>k) P(X≥k) P(X<k) P(X≤k) E(x) Var(x)

4 0,2 2

8 0,5 4

12 0,7 3

20 0,8 12

100 0,6 63



EPR503


Exercício: Mostre que a média da Distribuição Binomial é igual a np.

( ) ( ) ( )∑∑=

−

=

−

==

n

k

knkn

k

kk ppk

nkxPxXE

00

1..

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )∑∑=

−−

=

−

−

−−

−=

−

−=

n

k

knkn

k

knk pppknkk

nnkpp

knk

nkXE

1

1

1

1.!!1

!1.1

!!

!.

( ) ( )( ) ( )

( )

−

−−

−= ∑

=

−−n

k

knkpp

knk

nnpXE

1

1 1!!1

!1

( ) ( )( ) ( )

( )

( )[ ]

npppsms

mnpXE

n

s

kX

n

s

sms =

−

−=

=∑ =

=

−

=

∑44444 344444 21

1

0

0

1!!

!

Renomeando as variáveis m=n-1 e s=k-1, tem-se:

EPR503


Exercício: Mostre que a variância da Binomial é igual a np(1-p).

( ) ( ) ( )∑∑=

−

=

−

===

n

k

knkn

k

ppk

nkkXPkXE

0

2

0

22 1..

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )∑∑=

−−

=

−

−

−−

−=

−

−=

n

k

knkn

k

knkppp

knkk

nnkpp

knk

nkXE

1

12

1

22 1.!!1

!1.1

!!

!.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )∑

∑∑

=

−

=

−

=

−

−

+=

=

−

=

−

−=

n

s

sms

n

s

smsn

s

sms

pps

msnpXE

pps

mknppp

sms

mknpXE

0

2

00

2

1.1

1.1!!

!.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−

+−

=

−

+= ∑ ∑∑

= =

−−

=

−n

s

n

s

smssmsn

s

sms pps

mpp

s

msnppp

s

msnpXE

0 00

2 11.1.1

( ) ( ) ( )( ) ( )1111.2 +−=+−=+= pnpnppnnpmpnpXE

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )pnpnppnpnpxExExVar −=−+−=−= 11 222



EPR503


Considere uma população de N elementos, r dos quais sejamsucessos e N - r sejam falha. Escolhendo ao acaso n elementos dapopulação (n ≤≤≤≤ N), sem reposição, e adotando X como o númerode sucessos obtidos, temos a seguinte distribuição deprobabilidade hipergeométrica:

P X k

r

k

N r

n k

N

n

k( )= =

−

−

= 0, 1, 2, L

Este é um exemplode uma amostragemSEM REPOSIÇÃO!

E X np Var X npqN n

N( ) ( )= =

−

− e

1

HIPERGEOMÉTRICAHIPERGEOMÉTRICA

EPR503


Ex.: Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50unidades. Antes que uma remessa seja aprovada, um inspetorescolhe 5 desses motores e os inspeciona. Se nenhum dos motoresinspecionados for defeituoso, o lote é aprovado. Se um ou mais foremverificados defeituosos, todos os motores da remessa sãoinspecionados. Suponha que existam, de fato, três motoresdefeituosos no lote. Qual a probabilidade de que a inspeção 100%seja necessária?

28.0

5

50

5

47

0

3

1)0(1)1( ≅

×

−==−=≥ XPXP

HIPERGEOMÉTRICAHIPERGEOMÉTRICA



EPR503


Ex.: Uma empresa recebe, em média, quatro reclamações por dia.Qual a probabilidade de haver 6 reclamações em um determinadodia?

Tem-se que:

Utilizando a distribuição de Poisson com λ = 4, então:

1042.0!6

4)6(

64

===−e

XP

npnp

Xk

ekXP

k

====

===−

µσµλ

λλ

2,1, , L0!

)(

EPR503


Encontre o MLE para o parâmetro λ da função de Poisson, cuja pdf é:

POISSON - MLEPOISSON - MLE

( ) ⇒=−

!x

exf

xλλ

( )!

!!!!

1

211

121

i

n

i

xn

n

xxx

i

xn

i x

e

x

e

x

e

x

e

x

eL

n

i

i

ni

∏∏

=

−−−−−

=

∑

=×××===λλλλλ

λλλλλλ

L

( ) ( )!!...!.lnlnln!

lnln 211

1

1

n

n

ii

i

n

i

xn

xxxxen

x

eL

n

i

i

−∑+−=

∑

==

=

−

∏

=

λλλ

λλ

( ) [ ]!ln!...ln!lnlnlnln 211

n

n

ii xxxxenL +−∑+−=

=

λλλ

( ) ( )∑−∑+−===

n

ii

n

ii xxenL

11!lnlnlnln λλλ

( )∑=⇒=∑+−=

∂

∂

==

n

ii

n

ii

xn

xnL

11

10

1lnλ

λλ

λ

154



EPR503


Exercício: Complete a tabela referente à Distribuição Poisson:

n k P(X=k) P(X>k) P(X≥k) P(X<k) P(X≤k) E(x) Var(x)

4 2

8 4

12 3

20 12

100 63

EPR503


Ex. 1: Chegam, em média, 10 navios-tanque pordia a um movimentado porto, que tem capacidade para 15desses navios. Qual a probabilidade de que, emdeterminado dia, um ou mais navios tanque tenham deficar ao largo, aguardando vaga?

%9,40487.09513.01)15(1)15( ==−=≤−=> XPXP

Ex. 2: Uma central telefônica recebe em média300 chamadas por hora e pode processar no máximo 10ligações por minuto. Estimar a probabilidade de acapacidade da mesa ser ultrapassada.

Solução: λ = 300/60 = 5 chamadas/min.

%4,1014.0986.01)10(1)10( ==−=≤−=> XPXP



EPR503


P X kn

kp p

k n k( ) ( )= =

− −1

!)(lim

k

ekXP

k

n

λλ−

∞→==

Seja X uma v.a. distribuída binomialmente com parâmetro p

(baseado em n repetições de um experimento). Isto é,

Admita-se que quando n → ∞, p →0 e np → λ. Nessas condições, épossível demonstrar que, para um n suficientemente grande, adistribuição binomial se aproxima da distribuição de Poisson, talque:

EPR503


Ex. 1: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa acerta injeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que de 2.000indivíduos injetados, exatamente 3 tenham reação negativa.

Usando a distribuição binomial com n = 2.000 e p = 0.001, temos:

19973 )999.0()001.0(3

2000)3(

==XP

O cálculo desses números dá origem a considerável dificuldade. Pelaaproximação de Poisson, temos:

1804.0!3

2)3(

32

===−

eXP

2)001.0)(2000( === npλ



EPR503


Ex. 2: Consideremos um experimento binomial com n = 200,p = 0.04 em que se pede a probabilidade de, no máximo, 5 sucessos.O cálculo direto é impraticável, usando a Distribuição Binomial.

kk

k kXP −

=

∑

=≤ 5

5

0

)96.0()04.0(200

)5(

λ = np = (200) (0.04) = 8 P(X ≤ 5) = 0.1912

051423

324150

)96.0()04.0(5

200)96.0()04.0(

4

200)96.0()04.0(

3

200

)96.0()04.0(2

200)96.0()04.0(

1

200)96.0()04.0(

0

200)5(

+

+

+

+

+

=≤XP

Pela aproximação, contudo, o cálculo se torna extremamentesimples.

EPR503


Ex. 3: A probabilidade de um indivíduo ter reação negativa acerta injeção é de 0,001. Determinar a probabilidade de que de 2.000indivíduos injetados, mais de quatro tenham reação negativa.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0526.0122

4

6

8

24

161

!0

2

!1

2

!3

2

!4

21

]01234[14

2

0223242

=

++++−=

+++−=

=+=+=+=+=−=>

−

−−−−

e

eeee

XPXPXPXPXPXP

2)001.0)(2000( === npλ



EPR503


NORMAL X BINOMIALNORMAL X BINOMIAL

Considerando que a média da distribuiçãoBinomial (n, p) é np e que a sua variância énp(1-p), então pode-se aproximá-la pelaNormal (0.1) fazendo:

7060504030

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

De

nsit

y

Binomial 100 0.5

Distribution n p

Normal 50 5Distribution Mean StDev

Distribution Plot: Bin (100;0.5) x N(50; 5)

( )

−

−=

00

00

1 pnp

npXZ

Exemplo:

( )

( )( ) ( )

≈

×

−=

==

−

−=

5;505.0;100

50.0100

50

50.0;100

1

2

00

0

ZBin

XZ

pn

pnp

npXZ

161

EPR503


POISSON X BINOMIALPOISSON X BINOMIAL

Para valores grandes de n, a distribuição Binomial aproxima-seconsideravelmente da distribuição de Poisson. Considere que:

( )!

1limk

epp

k

n knk

n

λλ −−

∞→=−

λλ −

∞→∞→=

−⇒=

+ e

ne

x

an

n

a

x

n1lim1lim

Aplicando-se a Regra de L’Hopital, com a=-λ e x=n, tem-se:

Para p=λ/n: ( )

( )( )

−×

×

−=−

−×

×

=−

−

∞→

−

∞→

−

∞→

−

∞→

43421ξ

λλ

λλ

knk

n

knk

n

knk

n

knk

n

nnkkn

npp

k

n

nnk

npp

k

n

1!!

!lim1lim

1lim1lim

162



EPR503



( ) ( )

−×

−×

×

−=

−

−

−

−

∞→

−

∞→43421434214434421434214342132143421

43214321

11!!

!lim1.1..

!!

!lim

ξξξξξξξξ

λλλλλλknk

kn

kn

k

k

n nnknkn

n

nnnkkn

n

( ) ( ) ( ) ( )( )

−×

−×

×

−

−×

+−×

−×

−×

−

=

∞→4342143421

44444444 344444444 21

444444 3444444 21L

432

1

11!!

!121lim

ξξξ

ξ

λλλknk

n

n nnkkn

kn

n

kn

n

n

n

n

n

n

k

( ) ( ) ( ) ( )( )

−×

−×

×

−

−×

+−×

−×

−×

−

=

∞→4342143421

44444444 344444444 21

444444 3444444 21L

432

1

11!!

!121lim

ξξξ

ξ

λλλknk

n

n nnkkn

kn

n

kn

n

n

n

n

n

n

k

163

EPR503


Considerando que , então:1

1

1lim =

−

∞→ kn

n

λ

=

=

==

−λξλ

ξ

ξξ

ek

k

32

41

;!

1

( )!

1!

11lim 4321k

ee

kpp

k

n kknk

n

λλ λλ

ξξξξ−

−−

∞→=××

×=×××=−

Substituindo-se estes valores na expressão anterior, tem-se:

Logo, demonstra-se que a Binomial tende para Poisson à medida que n tendeao infinito, ou seja, quanto maior for o valor de n, melhor será a aproximação.

( )!

1limk

epp

k

n knk

n

λλ −−

∞→=−


164



EPR503


Suponha que se deva calcular a probabilidade de haver a ocorrência de umacausa especial nos próximos Δt minutos dado que ela não ocorreu até oinstante t. Suponha que esta probabilidade siga distribuição exponencial.Então, tem-se:

Nota-se que a ocorrência não depende do tempo decorrido t. Logo, pode-sedizer que as causas especiais ocorrem de maneira aleatória.

[ ] ( ) ( )( )

( )( )

( )

[ ]( )( )

( )

[ ] t

t

tt

t

x

tt

x

t

x

tt

x

x

etxttxP

e

e

e

e

dxe

dxetxttxP

exfComo

txP

ttxP

BP

BAPBAPtxttxP

∆−

−

∆+−

∞−

∞

∆+

−

∞−

∞

∆+

−

−

=>∆+>

−−

−−=

−

−==>∆+>

=

>

∆+>=

∩==>∆+>

∫

∫

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ:

EXPONENCIAL X POISSONEXPONENCIAL X POISSON

165

EPR503


Suponha que ocorram n causas especiais entre 0 e t. Se o tempo decorridoentre a ocorrência de duas causas especiais consecutivas forexponencialmente distribuído [E(x)=1/λ], então o número de ocorrências N(t)será uma variável de Poisson com média μ=λt. Sem perda de generalidade,dado que o intervalo de tempos entre chegadas é exponencialmentedistribuído, então a probabilidade de não haver uma causa especial nospróximos Δt minutos será:

Isto significa que o sistema fica estacionário no mesmo estado que estava atét, ou seja, com o mesmo número de ocorrências anterior. Consideremos aexpansão em Série de Taylor para a expressão anterior, em torno de um Δtmuito pequeno :


( ) ( )[ ] [ ] tetxPntNnttNP

λ−=∆>===∆+

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )L+

∆−+

∆−+∆−===∆+

===∆+ ∆−

!3!21

32tt

tntNnttNP

entNnttNPt

λλλ

λ

166



EPR503


Então, pode-se escrever que nenhuma causa especial ocorreu da seguintemaneira:


( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] tntNnttNP

tntNnttNP

∆≈=+=∆+

∆−≈==∆+

λ

λ

1

1

Analogamente, se ocorrer uma causa especial no intervalo, então:

Logo, há duas possibilidades do sistema estar no estado (n) no instante t+Δt:(1) a probabilidade do sistema estar no estado n no instante t E/ANDpermanecer neste estado no instante t+Δt OU/OR (2), estar no estado (n-1) noinstante t E/AND haver uma ocorrência no intervalo Δt. Logo:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )87687648476

ccBPAP

n

BPAP

nn ttPttPttP ∆×+∆−×=∆+ − λλ

)(

11

E/AND E/ANDOU/OR

167

EPR503


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ttPBAP

ABPAPBAP

n ∆+×=∩

×=∩

λ1

b) A probabilidade do sistema estar no estado (n-1) no instante t, P(Ac), E/ANDpassar para o estado (n) no instante t+Δt, é:

c) Portanto, a probabilidade total do sistema estar no estado (n) nos instantest e t+Δt [P(A∩B)], dado que estava nos estados (n) e (n-1) respectivamente noinstante t, é:

a) A probabilidade do sistema estar no estado (n) no instante t, P(A), E/ANDpermanecer no estado (n) no instante t+Δt, P(B) é:

( ) ( ) ( ) ( )( )ttPABPAPBAP n

ccccc ∆=×=∩ − λ1

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )ttPttPBABAP nn

cc ∆×+∆+×=∩∪∩ − λλ 11


168



EPR503


Considere que:


( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tPtPt

tPttP

tPtPttPttP

ttPttPtPttP

ttPttPttP

nnnn

nnnn

nnnn

nnn

1

1

1

11

−

−

−

−

+−=∆

−∆+

+−∆=−∆+

∆+∆−=∆+

∆+∆−×=∆+

λλ

λλ

λλ

λλ

Para n=0, tem-se:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )tPt

tPttP

ttPttP

000

00 1

λ

λ

−=∆

−∆+

∆−=∆+

169

EPR503


Considere que:


( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]dt

tPdtPtP

t

tPttP nnn

nn

t=+−=

∆

−∆+−

→∆1

0lim λλ

Aplicando-se o conceito de derivada, temos:

( ) ( )[ ] ( ) ( )x

xfxxf

dx

xfdxf

x ∆

−∆+==

→∆ 0

' lim

( ) ( ) ( ) ( )[ ]dt

tPdtP

t

tPttP

t

00

00

0lim =−=

∆

−∆+→∆

λ

Procedendo de maneira análoga para P0(t), tem-se:

170



EPR503


Resolvendo as Equações Diferenciais anteriores, obtém-se:


( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) 000

00 =+⇒−= tP

dt

tPdtP

dt

tPdλλ

Utilizando o Fator de Integração , temos:dtdt

eeFI λλ=∫=

( )[ ] ( ) [ ]

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) tt

ttt

tt

etPCCetPtP

CtPedttPedt

tPed

dx

dvu

dx

duvvudtPe

dt

tPde

λλ

λλλ

λλ

λ

λ

−− =⇒=⇒=⇒∆−=

=⇒=⇒=×

+=×=+

∫

000

0

000

00

110

00

0

171

EPR503


Analogamente:


( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ttt

tttt

ttttt

tt

nnn

ettPCCetePComo

CeettPCttPedttPe

dt

tPedeetPe

dt

tPde

etPdt

tPdetP

dt

tPd

tPtPdt

tPdtPtP

dt

tPd

λλλ

λλλλ

λλλλλ

λλ

λλ

λλλ

λλλ

λλλλ

λλλλ

−−−

−−

−

−−

−

=∴=⇒−=⇒=

+=⇒+=⇒=

=⇒=+

=+⇒+−=

+−=⇒+−=

∫

11

111

11

1

11

11

011

1

000:

172



EPR503


Estendendo o resultado anterior para n=2, tem-se que :


( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ttt

ttttt

t

et

tPCt

tPetdttPe

tdt

tPedeettPe

dt

tPde

ettPtPtPdt

tPd

λλλ

λλλλλ

λ

λλλ

λλλ

λλλλ

−

−

−

=⇒+=⇒=

=⇒×=+

+−=+−=

∫ 22

2

2

22

22

2

2222

2

2212

2

Genericamente, pode-se escrever que:

( ) ( ) ( ) λλ λλ −− =⇒=⇒= ek

PtPen

ttP

k

k

t

n

n !11/

!(Poisson)

173

EPR503


Vimos que, para duas categorias, temos a distribuição “Binomial”.Generalizando a idéia para múltiplas categorias, teremos a distribuiçãoMultinomial. Sua pdf definida como:

Onde:

Por exemplo, a rugosidade de uma peça pode ser medida em três posições (oucategorias): no contra-ponto, no centro ou na castanha.

MULTINOMIALMULTINOMIAL

174

( )!!!

!;;;

21212211

21

k

x

k

xx

kkxxx

npppxXxXxXP k

×××××××====

LLL

∑=

=+++=k

i

ik xxxxn1

21 L



EPR503


a) Qual é a probabilidade de que haja 1 peça cuja rugosidade foi medida nocentro, 1 que tenha sido medida na castanha e 2 medidas no contra-ponto?

b) Qual a probabilidade das 4 peças terem sido medidas no contra-ponto?

Um lote de peças esbeltas usinadas por torneamento,contém peças que podem ter suas rugosidades medidaspelo inspetor de controle de qualidade em três posições:Centro (x1), Castanha (x2) e Contra-ponto (x3). Sabe-seque a probabilidade de haver peças medidas no centro dapeça é de 90%, na castanha, 8% e no contra-ponto, 2%.Suponha que sejam selecionadas 4 amostras do lote.


175

( ) ( ) ( ) ( ) 4211 1046,3!2!1!1

!402,008,09,02;1;1 −×=

×××××==== ZYXP

( ) ( ) ( ) ( ) 7400 106,1!0!0!0

!402,008,09,00;0 −×=

×××××=== YXP

EPR503


Vejam como ficariam outras combinaçõespossíveis com as probabilidades citadasanteriormente.


176

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=××

×××====

×=××

×××====

×=××

×××====

×=××

×××====

×=××

×××====

×=××

×××====

−

−

−

−

−

01516,0!1!1!2

!402,008,09,01;21,2

1046,3!2!1!1

!402,008,09,01;11,1

1088,2!3!0!1

!402,008,09,00;10,1

1054,1!2!2!0

!402,008,09,01;02,0

1056,2!3!1!0

!402,008,09,01;01,0

106,1!0!0!0

!402,008,09,00;00,0

112

4211

5301

5220

6310

7400

YXPf

YXPf

YXPf

YXPf

YXPf

YXPf

XY

XY

XY

XY

XY

XY



EPR503


43210

4

3

2

1

0

x

y

0

06,56E-01

2,33E-01

5,83E-02

3,11E-02

1,56E-02

1,94E-03

1,84E-03

1,38E-03

3,46E-04

2,88E-05

4,10E-05

4,10E-05

1,54E-05

2,56E-06

1,60E-07

O exemplo anterior serve também para explicar o conceito deprobabilidade conjunta. Uma fdp conjunta é definida como:

( ) ( )yYxXPyxf XY === ;,

JOINT PROBABILITYJOINT PROBABILITY

177

( )yxf XY ,

EPR503


Se a fdp conjunta é definida como ,então, as probabilidades marginais de X e Y serão escritas como:

( ) ( )yYxXPyxf XY === ;,

MARGINAL PROBABILITYMARGINAL PROBABILITY

178

( ) ( ) ( )xXPyxfyxfRx

XYX ===∑ ,,

( ) ( ) ( )yYPyxfyxfRy

XYY ===∑ ,,

Similarmente, o valor esperado e a variância de X serão escritoscomo:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∑ ===x Rx

XY

Rx

XY

x

X

x

yxxfyxfxxfxxE ,,

( ) ( ) ( )∑∑ −=x Rx

XYX yxfxxVar ,2µ



EPR503


Para o exemplo em questão, o valor esperado e a variância de Xserão, respectivamente:

EXEMPLOEXEMPLO

179

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) 6,3,

6561,040292,03

0486,020036,010001,00,

0,44

1,30,33

2,21,20,22

3,12,11,10,11

4,03,02,01,00,00,

==

×+×+

×+×+×==

×+

+×+

++×+

+++×+

++++×==

∑∑

∑∑

∑∑

x Rx

XY

x Rx

XY

XY

XYXY

XYXYXY

XYXYXYXY

XYXYXYXYXY

x Rx

XY

yxxfxE

yxxfxE

f

ff

fff

ffff

fffffyxxfxE

( ) ( ) ( ) 36,0,2=−=∑∑

x Rx

XYX yxfxxVar µ

EPR503


Do conceito de probabilidade condicional, tem-se:

Analogamente para uma fdp conjunta, a probabilidade condicionalpode ser definida como:

Com valor esperado e variância, respectivamente iguais a:

Por exemplo:

CONDITIONALCONDITIONAL

180

( ) ( )( )AP

BAPABP

∩=

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )xXyYPxf

yxfyf

AP

BAPABP

X

XY

xY====⇒

∩=

,

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

800,02916,0

2333,0

3

1,331

200,02916,0

05832,0

3

0,330

===⇒==

===⇒==

X

XY

xY

X

XY

xY

f

fyfXYP

f

fyfXYP

( ) ( )∑==Rx

xYxYyfyxYE µ ( ) ( ) 222

xY

Rx

xYxY yfyxYVar µσ ∑ −==



EPR503


43210

4

3

2

1

0

x

y

0

01,0000

0,8000

0,2000

0,6400

0,3200

0,0400

0,5110

0,3830

0,0960

0,0080

0,4100

0,4100

0,1540

0,0256

0,0016

Determine as probabilidades condicionais para o exemplo deste capítulo.Encontre o E(Y|x) e Var(Y|x) para x=2.

CONDITIONALCONDITIONAL

181

( )yfxY

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 32,064,06,12

32,06,1104,06,10

6,164,0232,0104,00

64,00486,0

0311,0

2

2,222

32,00486,0

0155,0

2

1,221

04,00486,0

001944,0

2

0,220

2

22

=×−+

×−+×−=

=×+×+×==

=====

=====

=====

xYVar

yfxYE

f

fXYP

f

fXYP

f

fXYP

xY

X

XY

X

XY

X

XY

EPR503


3 - INFERÊNCIA



EPR503


“Para uma população não normal com média m e desvio padrão s, adistribuição da média amostral para amostras de tamanho n

suficientemente grande é aproximadamente normal com média m edesvio padrão , isto é ~ N : (0,1)”

X

nσ

n

X

σ

µ−=Ζ

Ou seja:

Se X:(m, s) então a distribuição amostral de é N:(m, ) X nσ

“Para uma população Normal com média µ e desvio padrão σ, adistribuição da média amostral para amostras de tamanho n

suficientemente grande é aproximadamente normal com média m edesvio padrão , isto é ~ N : (0,1)”

X

nσ

EPR503


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

n

X

n

n

n

nXn

n

n

n

nXn

n

nXn

n

nX

nxVarxVarxVarxVarXVar

nxExExExEXE

XnxxxxxX

k

k

k

i

ik

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

µµµµµ

−=

−

=

−

=−

=−

=Ζ

=++++=

=++++=++++=

==++++= ∑=

2

2222

2321

321

1321

...

......

...

Considere uma variável aleatória X que denote uma soma de v.a.´s:

Tomando-se seu valor esperado E[X] e a variância Var[X], tem-se:

Logo, a variável Z relativa à X poderá ser escrita como:



EPR503


0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Den

sity

-1,960

0,025

1,960

0,025

0

185

Consideremos uma população normal com média µ, desvio padrão σ euma amostra dessa população. Fixando α em 0.05, ou seja, 1- α=0.95, entãopelos resultados do Teorema do Limite Central, tem-se:

95.0)96.196.1( =<<− ZP

INTERVALOS DE CONFIANÇAINTERVALOS DE CONFIANÇA

n

uX

σ

−~ N : (0,1)

EPR503


α : Nível de significância

1- α: Nível de confiança

95.096.196.1 =

<

−<−

n

XP

σ

µ

[ ] 95.0)(96.1)(96.1 =+<<− nXnXP σµσ

CONFIANÇA X SIGNIFICÂNCIACONFIANÇA X SIGNIFICÂNCIA

201 9181716151 413121 110987654321

503

502

501

500

499

498

497

496

Sample

C1

500

95% CI for the Mean

Individual standard deviations were used to calculate the intervals.

Interval Plot of Y

Ela não significa que aprobabilidade do parâmetroµ cair dentro de umintervalo especificado sejaigual a 0.95. Como µ é umparâmetro, ele pode estarou não dentro do intervalode confiança. “0.95 é aprobabilidade de que umintervalo aleatóriocontenha µ .”



EPR503


Sabe-se que os diâmetros internos de rolamentosusados no trem de pouso de aviões têm um desviopadrão de 0,002 cm (conhecido a priori). Umaamostra aleatória de 15 rolamentos mostrou umdiâmetro interno de 8,2535 cm. Construa um IC95%para o diâmetro médio (populacional) do rolamento.

[ ]

254212,8252488,8

15

002,096.12535,8

15

002,096.12535,8

95.0)(96.1)(96.1

≤≤

+≤≤

−⇒+≤≤−

=+≤≤−

µ

µµ

σµσ

EXEX

nXnXP

EPR503


- tα/2 0 tα/2

α/2 α/2

1-α

t

( ) ( )[ ]nStXnStXIC 22 ; )100)1(:( αααµ +−=−

nS

Xt

)( µ−= ∑

=

−−

=n

i

iXX

nS

1

22 )(1

1

IC – SIGMA DESCONHECIDOIC – SIGMA DESCONHECIDO



EPR503


nS

Xt

)( µ−= ∑

=

−−

=n

i

iXX

nS

1

22 )(1

1

“Distribuição t de

Student”, com vgraus de liberdade

v = n - 1Tal distribuição é

usualmente tabelada para alguns valores de v

e α

Normal

hv(t)

t

EPR503


9630-3-6

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

Data

De

nsit

y

0,07920 1,395 500

-0,04086 1,130 500

-0,02822 0,9521 500

Mean StDev N

t5

t10

t50

Variable

T-Student



EPR503


Para se construir intervalos de confiança para a variânciaou o desvio padrão, utiliza-se a distribuição do Qui-quadrado .

( )( )

( )( ) 21,1

2

2

2,12

2 11

αα χσ

χ −−−

−≤≤

−

nn

snsn

( )2χ

Desse modo, o intervalo de confiança para o desvio padrãopopulacional pode ser escrito como:

24201612840

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

Data

De

nsit

y

2,078 1,906 500

5,061 3,431 500

9,800 4,522 500

Mean StDev N

Qui2

Qui5

Qui10

Variable

( )

( )

( ) bound Upper:χ

bound Lower:χ

ncia significâde nível:α

amostra da variância:s

dfn

2α,11n2

2α,1n2

2

−−

−

− :1

EPR503


25,5 26,126,8 23,224,2 28,425,0 27,827,3 25,7

Média: 26,00DP.: 1,625

Durabilidade (Y)Considere o caso da durabilidade de bateriasusadas em aparelhos celulares avaliada apartir de uma amostra aleatória de 10 baterias.

Com base nesta amostra, construa um IC95%para média e o desvio padrão da durabilidadepara a população de baterias.

( )( )

( )( )

( ) ( )

966,2118,1%95

70,2

625,19

02,19

625,1911 22

21,12

2

2,12

2

≤≤⇒

≤≤⇒−

≤≤−

−−−

σ

σχ

σχ αα

IC

snsn

nn

185,27815,24%95

10

625,1306,20,26

10

625,1306,20,26

≤≤⇒

+≤≤

−

µ

µ

IC



EPR503


( ) ( )n

ppZpp

n

ppZp

ˆ1ˆˆ

ˆ1ˆˆ 22

−+≤≤

−− αα

)1( pnp

npXZ

−

−=

Da aproximação da BINOMIAL pela NORMAL, segue que:

Dividindo-se cada termo por n, tem-se:

n

pp

pp

n

ppn

pp

n

pnp

n

np

n

X

Z)ˆ1(ˆ

ˆ

)ˆ1(ˆ

ˆ

)1(

0

2

0

−

−=

−

−=

−

−=

Logo, o IC pode ser escrito como:

IC - PROPORÇÕESIC - PROPORÇÕES

EPR503


Exemplo 8.16 (Montgomery e Runger, 2003): Uma amostra aleatóriade 85 camisas, 10 apresentaram algum tipo de defeito (furos,manchas, costuras soltas, etc). Construa um intervalo de confiançade 95% para a proporção populacional de defeituosos. Use aaproximação pela NORMAL.

( ) ( )

186,0049,0

85

882,0118,096,1118,0

85

882,0118,096,1118,0

ˆ1ˆˆ

ˆ1ˆˆ 22

≤≤

×+≤≤

×−

−+≤≤

−−

p

p

n

ppZpp

n

ppZp αα



EPR503


2/12

2/1

α

α

ν

ν

Fv

FP

L+

=

Este método utiliza a distribuição F

( )

trialsn

eventsx

xnv

x

Onde

=

=

+−=

=

12

2

:

2

1ν

( )

( )2/112

2/11

α

α

ν

ν

−

−

+=

Fv

FPU

( )( )

trialsn

eventsx

xnv

x

Onde

=

=

−=

+=

2

12

:

2

1ν

3,02,41,81,20,6-0,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

Data

De

nsit

y 1,187 0,7184 100

1,060 0,4298 100

1,102 0,6318 100

Mean StDev N

F1

F3

F2

Variable

EPR503


1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

X

De

nsit

y

0,467

0,025

1,80

0,025

0

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

X

0,485

0,025

1,77

0,025

0

Distribution Plot Distribution Plotdf1=20; df2=152 df1=22; df2=150

196

( ) ,PL 05780

80,120152

467,020=

×+

×=

( )2057,0

77,122150

485,022=

×+

×=UP



EPR503


Exemplo 8.45 (Montgomery e Runger, 2003)

De 1000 casos selecionados aleatoriamente de câncer depulmão, 823 resultam em morte. Construa um intervalobilateral de confiança de 95% para a taxa de mortepopulacional por este tipo de câncer.

Exemplo 8.47 (Montgomery e Runger, 2003)

Uma amostra aleatória de 50 capacetes para motociclistas foisujeita a um teste de impacto, sendo observado que 18 delessofreram algum tipo de dano quando submetidos ao esforço emquestão. Encontre intervalos de 95 e 99% para a taxa populacionalde falha.

EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS

EPR503



Uma amostra de 500 eleitores revelou que 315 eram favoráveis àredução da maioridade penal. Encontre o intervalo de confiança de90, 95 e 99% para a opinião geral da população sobre estamudança no código penal.

Determine o tamanho da amostra necessáriapara se testar a hipótese de que a proporçãopopulacional é de 75% de concordância com amodificação da lei.



EPR503


Uma amostra de 600 cidadãos revelou que 87,9%deles concordam com a construção de barragensno Sul de Minas para a contenção das enchentesde verão.

Baseado nesta amostra, um estatístico calculou ointervalo de confiança para o percentual deconcordância com o projeto de toda a populaçãoda região, tal que 85,8% < p < 90%. Encontre onível de confiança associado a este intervalo.

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