EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PVI E APLICAÇÕES (Nota de aula 2)

Vimos que a equação dydx

=f ( x ) tem como solução função y=F ( x )+C e esta representa uma família de

funções dependendo de um parâmetro. O gráfico dessas funções formam uma família de curvas no plano

dependente de um parâmetro e, por um ponto (x1 , y1 ) qualquer do plano, passa uma única curva da família.

Isso motiva a encontrar a solução de uma equação diferencial satisfazendo condições iniciais (PVI).

Ex1. Encontre a solução dydx

=4 x−5 determinada pelas condições iniciais y=−6 quando x=3

Para encontrar a solução da equação diferencial satisfazendo a condição inicial, substituímos esses valores na solução geral e determinamos a constante vejamos:

dydx

=4 x−5 ⇒ dy=(4 x−5 )dx ⇒ ∫ dy=∫ (4 x−5 )dx ⇒ y=2x2−5 x+C , substituindo

nessa equação y=−6 e x=3 obtemos −6=2 (3 )2−5 ∙3+C ⇒ C=−9

Logo, a solução da equação diferencial dydx

=4 x−5 é y=2x2−5 x−9

Aplicação.1. Ache a solução da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais.

a)dydx

=x2−2x−4 ; y=−6 quando x=3

b)dydx

= cos3 xsen2 y

; y= π3

quando x=π2

c)d2ud v2

=4 ∙ (1+3v ) ; u=−1 e dudv

=−2 quando v¿−1

Sabemos que se considerarmos o movimento de uma partícula ao longo de uma linha reta, quando é dada uma equação do movimento, s=f ( t ), então a velocidade e a aceleração instantâneas poderão ser determinadas pelas

expressões: v=dsdt

e a=dvdt

Assim sendo, se nos for dado v ou a como uma função de t , bem como condições laterais e/ou condições iniciais, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial. Esse procedimento está ilustrado no exemplo a seguir:

Ex1. Uma partícula move-se ao longo de uma reta; em t s, scm é a distância da partícula a origem, vcm / s é a

sua velocidade e acm /s2 é a sua aceleração.

Se a=2 t−1 e v=3 e s=4 quando t=1, expresse v e s como funções de t .

Como dvdt

=2 t−1 ⇒ dv=(2t−1 )dt ⇒ ∫ dv=∫ (2 t−1 )dt ⇒ v=t 2−t+C1

Curso: Licenciatura em Física (P.4)_Dep

Aluno(a):

Professor: José Carlos Vieira de Souza 11/05/2012

‘’Se a educação sozinha não pode transformar a sociedade, tampouco sem ela a sociedade muda. ‘’ Paulo Freire

Substituindo v=3 e t=1 temos que C1=3 o que implica que v=t 2−t+3 que expressa v como função de

t .

Agora, tomando v=dsdt

=t 2−t+3 ⇒ ds=(t 2−t+3 )dt ⇒ ∫ ds=∫ (t2−t+3 )dt ⇒

⇒ s=13t3

−12t2

+3 t+C2 , substituindo s=4 e t=1 temos que C2=76

o que implica que

s=13t3

−12t2

+3 t+ 76

que expressa s como função de t .

Ex2. Uma partícula move-se sobre uma linha reta onde vcm / s é a velocidade da partícula em t s e v=cos2 πt. Se a direção positiva estiver à direita da origem e a partícula estiver a 5cm à direita da origem, no início do

movimento, ache a posição 13

s depois.

EXERCÍCIOS

1. Ache a solução completa de cada equação diferencial:

a) dydx

=3 x2+2 x−7 y=x3+x2−7 x+C

b) dydx

=3 x y2 y=−23 x2+C

c) dudv

=3v √1+u2

u 2 ∙√1+u2=3 v2+C

d) dydx

= sec2 x

tg2 y tgx−tgy+ y=C

e) d2 yd x2

=5 x2+1 y=5 x4

12+ x

2

2+C1 x+C2

f) d2 sd t 2

=sen3 t+cos3 t s=−19

(sen3 t+cos3 t )+C1t+C2

2. Ache a solução das equações diferenciais determinada pelas condições iniciais.

a) dydx

=( x+1 ) ∙ ( x+2 ) ; y=−32

quando x=−3

b) dsdt

=cos 12t ; s=3 quando t=

π3

c) d2 yd x2

=−3x4

; y=12

e dydx

=−1 quando x=1

3. Nos exercícios abaixo uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t s, s é a distância orientada até a origem, vm / s é sua velocidade e am / s2 é sua aceleração.

a) v=√2t+4 ; s=0 quando t=0. Expresse s em termos de t .

s=13

(2t+4 )32−83

b) a=5−2t ; v=2 e s=0 quando t=0. Expresse v e s em termos de t .

v=2+5 t−t2 ; s=2t+52t2−1

3t3

c) a=800 ; v=20 quando s=1. Ache uma equação envolvendo v e s1600 s=v2+1200

d) a=5 s+2 ; v=4 quando s=2. Ache uma equação envolvendo v e s5 s2+4 s=v2+12