Equações de primeiro grauIntroduçãoEquação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer “igual”.

Exemplos:2x + 8 = 05x – 4 = 6x + 83a – b – c = 0

A equação geral do primeiro grau:ax+b = 0

Considera a equação 2x – 8 = 3x -10A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa ”

desconhecida”.

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

 

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

 

Exemplos1) Qual é o conjunto solução da equação 4x - 8 = 10?

4x=10+84x = 18x= 18: 4X= 4,5 Portanto: S = { 4,5 }.

2) Qual é a raiz da equação 7x - 2 = -4x + 5?

7x-2=-4x+5

7x+4x=5+2

11x=7

X=7/11

Portanto:

7/11 é a raiz da equação.

3) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?

X + x + 7 = 37

2x= 30

X= 15

MInha idade: 15

Idade de meu irmão 22

Prova: INTEGRI - 2010 - Prefeitura de Votorantim - SP - Médico - Cardiologia Disciplina: Matemática | Assuntos: Equação de 1º Grau;

1) Qual o valor de x que satisfaz a equação 3x + 4(1+x)+2= 5x-x-6? • a) -4 • b) 4 • c) 3 • d) 8

3x+4+4x+2=5x-x-67x-4x=-6-63x=-12X=-4

Prova: VUNESP - 2010 - TJ-SP - Escrevente Técnico Judiciário Disciplina: Matemática | Assuntos: Razão;  Equação de 1º Grau;

2) Considere dois níveis salariais apontados em uma pesquisa de mercado para um mesmo cargo, o mínimo (piso) e o máximo (teto). Sabe-se que o dobro do menor somado a 1/5 do maior é igual a R$ 3.700,00. Se a diferença entre o nível máximo e o nível mínimo é igual a R$ 3.100,00, então o teto salarial para esse cargo é de

• a) R$ 4.800,00. • b) R$ 4.500,00. • c) R$ 3.800,00. • d) R$ 3.600,00. • e) R$ 3.400,00.

2P+1/5T= 3.700

P= T-3100

2(T-3100)+ 1/5T= 3700

2T-6200+0,2T=3700

2,2T=9900

T=9900:2,2

T=4500

• 3)

R: a

Exs. Apostilapag. 52

• 1

• 5

• 10

• 12

Equação 2 grau

Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na forma

com a, b e c IR e

02 cbxax0a

Exemplos

3x52x2

1223 2xxx

1223 22 xxx

É uma equação

do 2º grau

012x32x22x

0332 xx

0352 2 xx

Exemplos de equações do 2º grau:

•

•

•

0342 2 xx

054 2 xx

0362 x

a=2, b=4 e c=3

Equação do 2º grau completa

Equações do 2º grau incompletas

a=4, b= -5 e c=0

a=1, b=0 e c= -36

A Fórmula de Báscara

Essa fórmula, que permite obter as raízes da equação do 2° grau é conhecida como fórmula de Báscara(1114-1185, nascido na Índia, o mais importante matemático do séc. XII

Existência de Raízes Reais

• Denominamos discriminante da equação do 2° grau ax²+bx+cx = 0 ao número

• b² -4ac, que representamos pela letra grega ∆ (leia:delta).

Observando a dedução da fórmula de Báscara, podemos concluir que: A equação do 2° grau tem raízes reais se, e somente se, ∆≥ 0.As raízes são dadas por:

Temos ainda: ∆>0 as duas raízes são números reais distintos.∆=0 as duas raízes são números reais iguais.∆<0 não existem raízes reais.

Exemplo 1

Exemplo 22) Na equação 9x² + 12 + 4 = 0 • Temos: a= 9 b= 12 c= 4

• ∆=b² -4ac= • ∆= 12² - 4.9.4 =• ∆=144 – 144=• ∆= 0• Como ∆= 0, a equação possui duas raízes reais iguais.• As raízes são:• x’ = -12+ 0 = -2

• x= -12 ± √0 = 18 3• 2.9 x’’ = -12 – 0 = -2• 18 3

Exemplo 33) Na equação 2x² + 5x + 9 =0• Temos: a= 2 b=5 c= 9

• ∆=b² -4ac= • ∆=5² - 4 .2. 9=• ∆= 25 – 72 =• ∆= - 47

Como ∆< 0, a equação não possui raízes reais. O conjunto solução em R é S =Ø.

• 1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

• Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:

• 3x2 = 63 - 12x

• Que pode ser expressa como:

• 3x2 + 12x - 63 = 0

Prova: ACEP - 2004 - BNB - Assistente Administrativo Disciplina: Matemática | Assuntos: Equação de 2º Grau; 

• Sabendo-se que 0 < a < b são as raízes da

equação x3 - 4x + x = 0, pode-se afirmar que • a) a2 + b2 = 14 e ab =-6 • b) a2 + b2 = 14 e a + b = 4 • c) a2 + b2 = 14 e ab = 2 • d) a2 + b2 = 18 e a + b = 4 • e) as respostas acima são todas falsas

R: a

Questão de matemática da IBFC - Equação do segundo grau

• Para que a equação 2x² + (m - 3)x - (m - 1) tenha raízes simétricas, o valor de m deve ser:

• a) 6

• b) 4

• C) 5

• D) 3

Resolução próximo slide

Se b= 0 , então as raízes serão simétricas.

Como b= (m-3) , para m-3=0

m=3

R; d

Questões apostilapag. 58

• 1

• 5

• 9

Raciocínio logico

Habilidades para este tipo de raciocínio é adquirida, não inata.Elaborar estratégias mentais para solução de problemas (de qualquer ordem) é algo que só se consegue vivenciando a situação, na ação, atividade do sujeitoQuando mais se vivencia, mas existe possbilidades deaquisição de novas estratégias e, portanto, mais habilidoso o sujeito se torna

HABILIDADE ≠ DESEMPENHO

Lógica

“A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade”

Origem

• Preocupava-se com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos conhecimentos.

• A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento.

Lógica Matemática

• Princípio da não contradição

• Princípio do terceiro excluído

Proposições

• Sete mais três é igual a dez.– Declaração (afirmativa)

• Marcone é professor de Contabilidade.– Declaração (afirmativa ou negativa)

• Maria é linda?– Interrogativa

• Levante-se.– Imperativa

Bi-Condicional: “Se......somente se” ()

A proposição composta resultante da operação da dupla implicação de uma proposição em outra só será verdadeira se ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas)

Condicional

P Q P Q

Verdadeiro Verdadeiro V

Verdadeiro Falso F

Falso Verdadeiro F

Falso Falso V

Exs. Pag. 64• 18) João é mais alto que Pedro, e Antonio é mais baixo que João.• Qual das alternativue as abaixo estaria mais correta:• A) Antonio é mais alto que Pedro• B) Antonio é mais baixo que Pedro• C) Antonio tem a mesma altura Pedro• D) ë impossível dizer quem é mais alto, se Antonio ou Pedro.

D)

Joao

Pedro

Antonio

OU

Exercício

Sejam 9 moedas idênticas na aparência mas com uma falsa que não se sabe se mais leve ou mais pesada. Com uma balança de dois pratos, com três pesadas, determinar a moeda falsa determinando se é mais leve ou mais pesada.

Resp. dividir em grupo de tres moedas.(continua outro slide)

v

v

v

vvv

v

v

vv

Pesa-se 2 grupos:

se for igual, a moeda diferente está no outro grupo, então pese uma moeda de Cada vez e na segunda pesada já é possivel saber .

Se for diferente: pegar o grupo mais leve ( ou mais pesado) e pesar uma moeda em cada prato.

Questão 1: Considere a seguinte seqüência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa seqüência é:

a) 36,b) 40,c) 42,d) 44,e) 48.

Resolução: Verifique os intervalos entre os números dados fornecidos.Dados os números:

3          12        27        __        75            108,      obtemos os seguintes     9          15        __           __      33                  intervalos. Observamos que     3x3       3x5       3x7         3x9          3x11    Logo:                     21           27Então: 21+27 = 48. A alternativa correta é a E.

+ =

2. (Ufrrj 2003) Ronaldo brincava distraído com dois dados que planificados ficavam da seguinte forma:

Marcelo seu primo, observava e imaginava quais seriam as possíveis somas dos resultados dos dois dados, se esses, quando lançados sobre a mesa, ficassem apoiados sobre as suas faces sem numeração.O resultado da observação de Marcelo corresponde aa) 3, 4, 6 e 8.b) 3, 4, 8 e 10.c) 4, 5 e 10.d) 4, 6 e 8.e) 3, 6, 7 e 9.

R: d

Estudar a partir da pag. 60