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ANTENAS – IST – A. Moreira 1

Equações integrais de corrente

• A computação electromagnética consiste no desenvolvimento e aplicação de métodos computacionais destinados à resolução de problemas de radiação electromagnética

• Em geral a formulação do problema pode conduzir a equaçõesdiferenciais, integrais ou integro-diferenciais; estas equações podemser resolvidas quer no domínio do tempo quer no domínio da frequência.

• Referem-se explicitamente dois tipos de métodos:

– o método dos momentos (MoM): resolução de uma equação integro-diferencial no domínio da frequência

– FDTD: baseado na resolução de equações diferenciais no domínio do tempo, por método de diferenças finitas


Equação de Pocklington

Excitação por onda plana incidindo sobre condutor linear

)()()( rrr sitotal EEE +=

0)()(

0)(

=+

=

PP

P

tangtang

tang

si

total

EE

E

Particularizando para a componente tangencial de E num ponto P sobre a superfície do condutor

)(PiE)(Pi

tangE

)(riE

Pocklington desenvolver um equação integro-diferencial para o caso de uma onda incidente sobre um condutor linear – excitação distribuida. Posteriormente foi adaptada ao caso de uma antena linear com excitada concentrada.

Ei campo incidente, Es campo “scattered”devido à corrente excitada no condutor

)(PinormalE

z

x

y


Equação de Pocklington

Campo “scattered” (reradiado) pela corrente induzida no condutor

[ ])(

)()(

AA

AArE

⋅∇∇+=

⋅∇∇−−=

2

s

k1j

1jj

ωμε

ωμεω

Campo tangencial do campo “scattered” sobre a superfície do condutor

z2

22 A

zk1j ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+=ωμε

)(rE sz

')'(4

''4

'4

2

0

2/

2/

2

0

2/

2/

dzR

ezI

dzdaR

eJdsR

eJA

jkRL

L

jkR

z

L

L

jkR

zS

z

−

−

−

−

−

∫∫

∫∫∫∫

≈

==

π

π

πμ

φπμ

πμ

Nota: sobre um condutor cilíndrico fino de raio a podemos tomar

)'(zIaJ2 z =π

Potencial vector construido para a corrente induzida no condutor


Equação integro-diferencial de Pocklington• Substituindo Az na equação relativa à componente tangencial do campo Es “scattered” e tendo

em conta que a componente tangencial sobre o condutor total deverá ser nula, obtem-se a equação integro-diferencial de Pocklington

)(

)(')'( 2

222/

2/

zEj

zEjdzR

ez

kzI

iz

sz

jkRL

L

ωε

ωε

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+−

−∫

( )( ) ( )[ ] )('321)'( 22222/

2/zEjdzkaRaRjkR

RezI s

z

jkRL

Lωε=+−+

−

−∫

Aplicando a um condutor cilíndrico de raio a, obtem-se


Para prosseguir com uma resolução numérica da equação de Pocklington, torna-se necessário segmentar a estrutura da antena.

Torna-se conveniente substituir o kernel por outro equivalente construido segundo um modelo de concentração da corrente no eixo do condutor

Nota:

Segmentação de um dipolo linear e corrente “equivalente”

I(z’)

Zm •

“gap”

I(z’)

• Zm

“gap”

• Z’n • Z’n

222

222

zza2a

zzyyxxR

)'()'cos((

)'()'()'(

−+−−+=

−+−+−=

φφρρ

Rn

Rn

Modelo “equivalente” com corrente concentrada

Modelo com corrente distribuida em superfície


Modelização da fonte para excitação concentrada• Para a equação de Pocklington ser aplicada a uma antena linear em emissão, considera-se como

“campo incidente” o campo originado directamente pela fonte sobre a superfície do condutor. O “campo scattered” resulta da reacção do condutor onde se excitou uma distribuição de corrente.

• Habitualmente consideram-se dois modelos de excitação concentrada

1. Gerador concentrado “delta” (delta gap)

Campo incidente não nulo para

( )Δ

=

Δ≤≤

Δ−=

igap

iz

VE

za2

'2

ρΔ Vi


Modelização da fonte

2. “Magnetic frill” (anel magnético)

baab2

Vifril <<= 'ˆ

)/ln('ρ

ρρE

Nota: sobre os condutoresobtem -se com esta fonte

222

221

2

jkR

1

jkRii

z

bzRazRc

Re

Re

ab2V

E21

+=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−≈

−−

/

)/ln(“frill”

2a

2b


Modelização da fonte

“Magnetic frill” (anel magnético)A escolha do parâmetro b faz-se normalmente igualando a impedância característicada linha de transmissão que alimenta o dipolo à impedância de uma linha coaxial

Ex:

Nota: a excitação real de um dipolo não é, regra geral, correctamente representadapor nenhum dos modelos considerados, mas as diferenças dos resultados obtidos sãonormalmente pequenas

3.2 005.0

ln 2

50 0

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ω=

aba

abZ

ZZ cc

λ

π


Resolução de equações integrais

A equação de Pockligton é da forma

Como a integração é uma operação linear podemos definir um operador integral linear, “L”, que actua sobre a função f , neste caso, a corrente I(z)

g(z) representa a função de excitação e I(z) a resposta

)(')',()'( zgdzzzKzIA

=∫núcleo, ou “kernel”

{ } )()( zgzfL =


Resolução de equações integraisMétodo dos MomentosFunções de base• Admitamos que a solução pode ser aproximada por uma combinação linear de funções, que

designamos por funções de base, fn(z)

• Com uma escolha apropriada das funções de base, e para N suficientemente elevado a diferença residual, ou erro, tenderá para 0

{ }∞→ =

=−∑N

nn

N

n

zgzfLIlim 0)()(1

• Nota: aqui usou-se a linearidade do operador

{ })()(11

zfLIzfIL nn

N

nnn

N

n∑∑==

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

)()(')(1

zfIzfzf nn

N

n∑=

=≈


Resolução de equações integraisMétodo dos Momentos

Temos agora N equações a N incógnitas, os coeficiente In , o que por si só não permite a resolução do problema.

Podemos testar a solução recorrendo a novas funções, as funções de teste Wm(z)Tendo em conta que o resíduo deve ser nulo,

[ ] 0')'()'()'(' =−∫A

m dzzWzgzf

0')'()'()'({1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−∫ ∑

=Amnn

N

ndzzWzgzfLI

A é o domínio de integração

no caso de um dipolo linear

–L/2 <z´ < L/2

{ } 0W,gfLIN

1nmnn =−∑

=

Funções de teste

ou, numa notação mais compacta, introduzindo um produto interno



Podemos escrever este resultado na forma

{ } ')'()'(')'()'(1

dzzWzgA

dzzWzfLA

I m

N

nmnn ∫∫ =∑

=

mnZ mV

[ ][ ] [ ]mnmn VIZ =

nI

“Matriz de impedâncias”



• Se o número de equações for igual ao número de incógnitas (N funções de teste e N funções de base) e a matriz (NXN) não for singular os coeficientes In obtêm-se por inversão do sistema

[ ] [ ] [ ]mmnn VZI 1−=

)()('1

zfIzf nn

N

n∑=

=

[ ] [ ] [ ]mmnT

n VZfzf 1)(' −=

[ ] [ ]NT

n ffff ,,, 21 L=

a função f’(z) que descreve a solução aproximada para a corrente vem dada por

ou

onde

“Solução”



• Escolha das funções de base e funções de teste:– As funções de base devem ser linearmente independentes– Uma combinação linear de um número finito e desejavemente pequeno

de funções de base deve ser uma boa aproximação da solução– A integração (produto interno) deve ser facilmente

calculável

• Alguma escolhas típicas– Funções de base: impulsos rectangulares, triangulares e sinusoidais– Funções de teste:

• iguais às funções de base escolhidas – método de Galerkin• Impulsos localizados (“Dirac”) (z-zm) – método de colocação

(o produto interno, uma integração, reduz-se à recolha da integranda nos pontos escolhidos

{ } mn WfL ,

Notas


Escolha de funções de base

Quanto à escolha das funções de base, podem ser:

– de domínio completo, se definidas em todo o domínio do operador, excepto eventualmente num conjunto de pontos de medida nula

– de sub-domínio, se são nulas em intervalos de extensão finita no domínio do operador

Ex. de domínio completo: séries de Fourier, séries de McLaurin, polinómios de ChebyshevEx. de sub-domínio: impulsos rectangulares; impulsos triangulares, “triângulos sinusoidais”


Ex de funções de base de sub-domínio e aproximação por troços

Z1 Z2 Z3 ... ZN

Z1 Z2 Z3 ... ZN

Funções de base impulsos rectangulares

Z1 Z2 Z3 ... ZN

Segmentação

Aproximação por troços em degrau


Ex de funções de base de sub-domínio e aproximação por troços

Z1 Z2 Z3 ... ZN

Z1 Z2 Z3 ... ZN

Funções de base impulsos triangulares

Z1 Z2 Z3 ... ZN

Segmentação

Aproximação por troços em degrau


Escolha de funções de teste

Método de GalerkinNeste método escolhem-se para funções de teste as mesmas funções que se escolhem para funções de base

• Nota: neste caso podemos dizer que se procura satisfazer globalmente (se as funções usadas forem de domínio completo) a condição de anulação dos resíduos, ou seja no fundo as condições fronteira do problema electromagnético

)()( zfzW mm = Nm ,,1 L=

{ } ')'()'(')'()'(1

dzzfzgA

dzzfzfLA

I mmnn

N

n∫∫ =∑

=


Escolha de funções de teste

Método de colocaçãoNeste método escolhem-se como funções de teste “funções de Dirac”

• Neste caso podemos dizer que se procura satisfazer localmente (número finito de pontos) a condição de anulação dos resíduos, ou seja, garante-se que a aproximação para a solução obtida impõe que seja nula acomponente tangencial do campo eléctrico nos pontos seleccionados.

)()( mm zzzW −= δ

{ } )()(1

mmnn

N

n

zgzfLI =∑=

Z1 Z2 Z3 ZN...

Funções de testeMétodo de colocação


Notas sobre a aplicação do método dos momentosEstruturas modelizáveis por grelhas de condutores

• O método dos momentos é aplicado naturalmente a equações integrais desenvolvidas para antenas lineares (anteriormente foram usadas figuras relativas a distribuições de corrente e a impedâncias de dipolos isolados ou em agregados)

• O método dos momentos pode ser estendido facilmente a situações em que os objectos possam ser modelizados por troços lineares de condutores, ou “grelhas de condutores”, como se sugere na figura. Existem vários programas desenvolvidos para modelizar uma grande variedade de estruturas.

fenda

disco

esferareflector

outros objectos de maior complexidade


Notas sobre a aplicação do método dos momentos a outras estruturas

Embora tenhamos descrito o MoM para a resolução de equações integrais de corrente para estruturas lineares, o método é aplicado àresolução de outras equações integrais apropriadas a outros tipos de problemas. Por exemplo, para estudar antenas impressas habitualmente recorre-se a uma equação de “potenciais mistos”.

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