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FUNÇÕES HIPERBÓLICAS COM APLICAÇÕES

Prof. Ms Paulo Sérgio C. Lino

http://fatosmatematicos.blogspot.com/

Agosto de 2010

Sumário

1 Funções Hiperbólicas 4

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Conceitos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 A Regra de Osborn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Outras Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 A Interpretação Geométrica das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Resolvendo Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Funções Hiperbólicas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.1 A função arcsinh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.2 A função arccosh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.3 A função arctanh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Funções Hiperbólicas e os Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 O Cálculo e as Funções Hiperbólicas 19

2.1 Limites e Derivadas de Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Integrais Através das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 A Função Gudermaniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Expansão em Séries das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Arcos e Cabos Suspensos 22

3.1 Um Pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 A Catenária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Aplicações Adicionais 26

4.1 A Velocidade Terminal de um Pára-Quedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Triângulos Obtusângulos Sobre a Hipérbole Equilátera . . . . . . . . . . . . . . 28

2

Prefácio

Devido ao tratamento restrito deste assunto em vários livros de Cálculo, achei necessário escre-

ver estas notas com o objetivo de suprir esta necessidade, além de apresentar algumas de suas

aplicações nas diversas áreas da Matemática.

Direitos Autorais

O objetivo destas notas é divulgar este

assunto de forma ampla, buscando

deste modo melhorar a Educação do

país. Peço a compreensão de todos

vocês, no caso de copiar qualquer as-

sunto, que seja educado fazendo as

devidas referências bibliográ�cas.

As sugestões serão sempre bem-vindas e podem ser encaminhadas para [email protected]

Atenciosamente,

Prof. Ms. Paulo Sérgio Costa Lino

3

Capítulo 1

Funções Hiperbólicas

1.1 Introdução

De acordo com Barnett, Johann Heinrich Lambert é responsável pelo primeiro tratado sobre as

funções trigonométricas em um documento apresentado a Academia de Ciências de Berlim em

1761, que rapidamente se tornou famoso. Em sua "Mémoire Sur Quelques Propriétés Remar-

quables Des Quantités Transcendantes Circulaires et Logarithmiques", 1 Lambert comparou

as funções transcendentes circulares sinu e cosu, com suas expressões análogas "Quantitiés

Transcendantes Logarithmiques", (eϕ + e−ϕ)/2 e (eϕ − e−ϕ)/2 funções as quais ele tratou ex-

plicitamente na sua forma funcional e como série de potência, mas não nomeou-as por cosseno

hiperbólico e seno hiperbólico respectivamente. Isso ocorreu mais tarde em sua "Observa-

tions Trigonométriques" de 1768 em que ele faz uma comparação dos quocientes das funções

trigonométricas e hiperbólicas:sinϕ

cosϕe

sinhyp ϕ

coshyp ϕ

Barnett continua, apesar da notação de Lambert para estas funções, diferente da nossa con-

venção atual, as funções hiperbólicas já tinha obtido seu importante papel na Matemática.

1.2 Conceitos e Propriedades

De�nição 1.1 A função cosseno hiperbólico, denotada por coshx é de�nida por

coshx =ex + e−x

2(1.1)

De�nição 1.2 A função seno hiperbólico, denotada por sinhx é de�nida por

sinhx =ex − e−x

2(1.2)

1Este artigo tornou-se famoso não por causa das funções hiperbólicas, mas devido a uma prova explícita

que π é irracional.

4

Funções Hiperbólicas com Aplicações Prof. Ms. Paulo Sérgio C. Lino

Observação 1.1 Segue direto das de�nições acima que cosh 0 = 1, sinh 0 = 0, coshx é

uma função par e que sinhx é uma função ímpar. Isto sugere que elas possuem propriedades

semelhantes as funções trigonométricas cosx e sinx, mas estas funções carecem da propriedade

de periodicidade.

Os grá�cos das funções cosseno e seno hiperbólico são mostrados abaixo.

Figura 1.1: y = cosh x e y = sinh x

Proposição 1.1

i) cosh2 x− sinh2 x = 1;

ii) cosh(2x) = cosh2 x+ sinh2 x;

iii) sinh(2x) = 2 sinhx coshx.

Demonstração: Adicionando e subtraindo as expressões (1.2) de (1.1), segue que

coshx+ sinhx = ex (1.3)

coshx− sinhx = e−x

Assim, o item i) é dado por

cosh2 x− sinh2 x = (coshx+ sinhx)(coshx− sinhx) = ex · e−x = 1

Elevando ao quadrado a primeira expressão de (1.3), temos

e2x = (coshx+ sinhx)2 = cosh2 x+ 2 coshx sinhx+ sinh2 x (1.4)

Elevando ao quadrado a segunda expressão de (1.3), temos

e2x = (coshx− sinhx)2 = cosh2 x− 2 coshx sinhx+ sinh2 x (1.5)

Adicionando (1.4) e (1.5), segue o item ii), ou seja,

e2x + e−2x = 2 cosh2 x+ 2 sinh2 x ⇒ cosh(2x) =e2x + e−2x

2= cosh2 x+ sinh2 x

Fazendo (1.4) - (1.5), segue o item iii). Deixo os detalhes para o leitor.

5


Proposição 1.2

i) cosh(x+ y) = coshx cosh y + sinhx sinh y

ii) sinh(x+ y) = sinhx cosh y + sinh y cosh y

Demonstração: Usando a de�nição, temos

cosh(x+ y) =ex+y + e−(x+y)

2=

exey + e−xe−y

2

=(coshx+ sinhx)(cosh y + sinh y) + (coshx− sinhx)(cosh y − sinh y)

2

= coshx cosh y + sinhx sinh y

De forma análoga, prova-se o item ii).

Observação 1.2 Um outro modo de provar os ítens ii) e iii) da Prop. (1.1) é fazendo x = y

na Prop. 1.2.

1.3 A Regra de Osborn

Você deve ter notado que as expressões da Prop. (1.2) são semelhantes as identidades

trigonométricas para o cosseno e o seno da soma. De fato, podemos transformar as fór-

mulas trigonométricas nas fórmulas para as funções hiperbólicas através da regra de Osborn, o

qual a�rma que o cos pode ser convertido em cosh e o sin em sinh, exceto quando existir um

produto de dois senos, o qual devemos efetuar uma mudança de sinal.

Exemplo 1.1 Use a regra de Osborn e transforme as identidades abaixo:

1. cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y

2. sin(2x) = 2 sinx cosx

Resolução:

1. cos(x+ y) = cosx cos y− sinx sin y ⇒ cosh(x+ y) = coshx cosh y+sinhx sinh y

2. sin(2x) = 2 sinx cosx ⇒ sinh(2x) = 2 sinhx coshx

1.4 Outras Funções Hiperbólicas

Em correspondência as funções trigonométricas tanx, cotx, secx e cscx, de�nimos:

6


De�nição 1.3

1. tanhx =sinhx

coshx=

ex − e−x

ex + e−x

2. cothx =coshx

sinhx=

ex + e−x

ex − e−xpara x = 0

3. sech x =1

coshx=

2

ex + e−x

4. csch x =1

sinhx=

2

ex − e−xpara x = 0

Observação 1.3 Segue imediatamente desta de�nição que:

1. 1− tanh2 x = sech 2x

2. coth2 x− 1 = csch 2x

A veri�cação destes fatos é deixada como exercício. O grá�co destas funções são exibidos

abaixo:

Figura 1.2: y = tanh x e y = coth x

Figura 1.3: y = sech x e y = csch x

7


1.5 A Interpretação Geométrica das Funções Hiperbólicas

As funções sinα, cosα e tanα são de�nidas pelos segmen-

tos BC, OB e AD respectivamente na circunferência de raio

unitário (Fig. ao lado), onde o ângulo central α = AOC. Por

outro lado, a área S de qualquer setor circular de raio R cujo

ângulo central é θ é S = R2θ/2. Assim, a área do setor COK

que será denotada por x é dada por

x = SCOK =12(2α)

2= α

Assim para de�nir estas funções, poderíamos usar a área x do

setor COK sombreada na �gura ao lado, donde segue que BC =

sinx, OB = cosx e AD = tanx.

De forma análoga, para as funções hiperbólicas podemos considerar a área de um setor

sobre a hiperbóle x2 − y2 = 1. Para isto, considere o ramo direito desta hiperbóle, conforme a

�gura abaixo:

Proposição 1.3 Denotando por x a área do setor COK, então:

1. BC = sinhx

2. OB = coshx

3. AD = tanhx

Demonstração: Note que

x = SCOK = 2(S△BOC − SCAB) = 2S△BOC − 2SCAB (1.6)

Por outro lado, (OB)2 − (BC)2 = 1 ⇒ OB =√

(BC)2 + 1. Sendo OB = OA+AB =

1 +AB, então

1 +AB =√

1 + (BC)2 ⇒ (1 +AB)2 − 1 = (BC)2 (1.7)

8


Analisando a �gura acima, vemos que a área do setor SCAB é dada por

SCAB =

∫ 1+AB

1

√u2 − 1du

=1

2

[u√

u2 − 1− ln(√u2 − 1 + u)

]1+AB

1

=1

2

[(1 +AB)

√(1 +AB)2 − 1− ln[

√(1 +AB)2 − 1 + 1 +AB]

] (1.8)

Substituindo (1.7) em (1.8), temos:

2SCAB = BC√

1 + (BC)2 − ln(BC +√

1 + (BC)2 ) (1.9)

Mas,

2S△BOC = OB ·BC = BC√

(BC)2 + 1 (1.10)

Substituindo (1.10) em (1.9), segue que

2SCAB = 2S△BOC − ln(BC +√

1 + (BC)2 ) ⇒

2S△BOC − 2SCAB = ln(BC +√

1 + (BC)2 )(1.11)

Substituindo (1.11) em (1.6), temos

x = ln(BC +√

1 + (BC)2) ⇒ ex = BC +√

1 + (BC)2 ⇒ (ex −BC)2 = 1 + (BC)2

e2x − 2BCex = 1 ⇒ BC =e2x − 1

2ex=

ex − e−x

2= sinhx

Para �nalizar a demonstração, note que

OB =√

(BC)2 + 1 =√

sinh2 x+ 1 = coshx

Da semelhança dos triângulos OAD e OBC, segue que

AD

BC=

OA

OB⇒ AD

sinhx=

1

coshx⇒ AD =

sinhx

coshx= tanhx

1.6 Resolvendo Equações

Vejamos nesta seção algumas equações envolvendo as funções da trigonometria hiperbólica.

Sendo cosh2 x − sinh2 x = 1 e que sec2 x − tan2 x = 1, para facilitar a resolução de al-

guns problemas envolvendo as funções hiperbólicas, iremos fazer as seguintes correspondências:

coshx ↔ secx e sinhx ↔ tanx. Deste modo, tanhx ↔ sinx, pois

tanhx =sinhx

coshx↔ tanx

secx=

sinx

cosx· cosx = sinx

Sendo sech x = 1/ cosh x, então sech x ↔ cos x e de modo análogo, csch x ↔ cot x e

cothx ↔ cscx. Sendo cos2 x + sin2 x = 1, usando as relações anteriores, a identidade

continua válida, isto é, sech 2x + tanh2 x = 1. Estas relações são úteis na resolução de

algumas equações e também no cálculo de integrais quando é necessário o uso da técnica de

substituições trigonométricas. Essas equivalências estão representadas na �gura abaixo:

9


Exemplo 1.2 Determine x sabendo que sinhx = 3/4.

Resolução: Como sinhx relaciona-se com a função sinx, construímos um triângulo retângulo

de catetos 3 e 4, conforme a �gura abaixo.

Para achar x, encontramos primeiro coshx, que pelo diagrama acima relaciona-se com a

secx. Pelo triângulo retângulo, secx = 5/4. Assim, coshx = 5/4, donde segue que de (1.3)

que

ex = coshx+ sinhx =3

4+

5

4= 2 ⇒ x = ln 2

Observação 1.4 Outro modo de resolver a equação sinhx = 3/4 é usar a de�nição da função

seno hiperbólico e resolver uma equação quadrática na variável ex.

Exemplo 1.3 Determine x sabendo que coshx = 13/5.

Resolução: Do diagrama acima, secx = 13/5. Construímos um triângulo retângulo de

hipotenusa 13 e catetos 5 e 12 =√132 − 52, conforme a �gura abaixo.

Para achar x, determinamos inicialmente sinhx. Assim, analogamente ao exemplo anterior,

sinhx = tanx = 12/5. Logo,

ex = coshx+ sinhx =13

5+

12

5= 5 ⇒ x = ln 5

10


Exemplo 1.4 Resolva a equação

2 cosh(2x) + 10 sinh(2x) = 5

Resolução: Sendo

cosh(2x) =e2x + e−2x

2e sinh(2x) =

e2x − e−2x

2

então

e2x + e−2x + 5e2x − 5e−2x = 5 ⇒ 6e2x − 5− 4e−2x = 0 ⇒

6e4x − 5e2x − 4 = 0 ⇒ 6u2 − 5u− 4 = 0

onde u = e2x. Aplicando a fórmula de Bháskara, segue que u1 = 4/3 e u2 = −1/2. Pela

de�nição de u, a segunda solução u2 deve ser desprezada. Assim,

e2x = u1 ⇒ e2x =4

3⇒ 2x = ln

4

3⇒ x =

1

2ln

4

3

1.7 Funções Hiperbólicas Inversas

Outras funções importantes são as inversas das funções hiperbólicas. Para que uma função

admita inversa, ela deve ser bijetora. Nesta seção veremos as funções inversas das funções

seno, cosseno e tangente hiperbólica.

1.7.1 A função arcsinh x

Analisando o grá�co da função sinh : R → R, vemos que ela é bijetora e portanto, admite uma

função inversa que será denotada por sinh−1 ou arcsinh , isto é,

arcsinh : R −→ Rx 7−→ y = arcsinh x

Os grá�cos das funções y = sinhx e sua inversa y = arcsinh x estão na �gura abaixo.

É possível achar uma representação em função do logaritmo neperiano para a função y =

arcsinh x do seguinte modo:

y = arcsinh x ⇒ sinh y = x ⇒ x =ey + e−y

2=

e2y − 1

2ey⇒

e2y − 2xey − 1 = 0 ⇒ ey =2x±

√4x2 + 4

2= x±

√x2 + 1

11


Sendo a exponencial positiva, segue que

ey = x+√

x2 + 1 ⇒ arcsinh x = ln(x +√

x2 + 1) (1.12)

1.7.2 A função arccosh x

A função f(x) = coshx não bijetora em todo seu domínio. Restringindo D(f) = R+, ela

torna-se bijetora com imagem dada pelo conjunto Im(f) = {y ∈ R : y ≥ 1}. Assim, de�nimos

sua função inversa por

arccosh : {x ∈ R : x ≥ 1} −→ R+

x 7−→ y = arcsinh x

Esta função também é denotada por y = cosh−1 x. Os grá�cos das funções y = coshx e sua

inversa y = arccosh x são dadas na �gura abaixo.

Fica como exercício mostrar que esta função em termos de logaritmo neperiano esta função

é dada por

arccosh x = ln(x +√

x2 − 1) para x ≥ 1 (1.13)

12


1.7.3 A função arctanh x

Sendotanh : R −→ (−1, 1)

x 7−→ y = tanhx =sinhx

coshx

uma fuñção bijetora sobre esses conjuntos, então de�nimos a sua função inversa y = arctanh x

ou y = tanh−1 x por

arctanh : (−1, 1) −→ Rx 7−→ y = arctanh x

Na �gura abaixo, estão os grá�cos destas duas funções.

Para achar uma expressão da função y = arctanh x em termos do logaritmo neperiano,

procedemos do seguinte modo.

y = arctanh x ⇒ tanh y = x ⇒ x =ey − e−y

ey + e−y=

e2y − 1

e2y + 1⇒

e2y − 1 = x(e2y + 1) ⇒ e2y(1− x) = 1 + x

Sendo x ∈ (−1, 1), podemos efetuar a divisão na expressão anterior para obter:

e2y =1 + x

1− x⇒ 2y = ln

(1 + x

1− x

)⇒ arctanh x =

1

2ln

(1 + x

1− x

)(1.14)

Observação 1.5 As funções arcsech x, arccsch x e arccoth x são de�nidas de maneira análoga.

Exemplo 1.5 Mostre que y = arcsech x = arccosh 1/x

Resolução: De fato,

y = arcsech x ⇒ x = sech y =1

cosh y⇒ cosh y =

1

x⇒ y = arccosh

1

x

Exemplo 1.6 Ache os valores de x tal que

13


arcsinh x + arccosh (x + 2) = 0

Resolução: Observe que x = −2. Fazendo u = arccosh (x + 2), temos coshu = x + 2, de

modo que

arcsinh x + u = 0 ⇒ x = sinh(−u) ⇒ sinh u = −x

Assim,

tanhu =sinhu

coshu=

−x

x+ 2tanh2 u =

x2

(x+ 2)21− sech 2x =

x2

(x + 2)2⇒

sech 2x = 1− x2

(x + 2)2=

4(x + 1)

(x + 2)2⇒ (x + 2)2 = cosh2 u =

(x + 2)2

4(x + 1)⇒

4(x+ 1) = 1 ⇒ x = −3

4

Observação 1.6 Este problema também pode ser resolvido usando adequadamente um triân-

gulo retângulo de hipotenusa x+ 2 e catetos −x e√

(x+ 2)2 − x2 = 2√x+ 1.

Existem também as fórmulas de adição para as funções hiperbólicas inversas.

Proposição 1.4 Para as funções hiperbólicas inversas valem as fórmulas de adição:

i) arcsinh u± arcsinh v = arcsinh (u√1 + v2 ± v

√1 + u2);

ii) arccosh u± arccosh v = arccosh (uv ±√

(u2 − 1)(v2 − 1));

iii) arctanh u± arctanh v = arctanh

(u± v

1± uv

).

Demonstração: Veremos o item 1, os outros seguem de maneira análoga e são deixados

como exercício. Queremos provar que

arcsinh u± arcsinh v = arcsinh (u√

1 + v2 ± v√

1 + u2) (1.15)

Sabemos que

sinh(x± y) = sinhx cosh y ± sinh y coshx (1.16)

Fazendo x = arcsinh u, segue que

sinhx = u ⇒ cosh2 x = 1 + sinh2 x = 1 + u2 ⇒ coshx =√

1 + u2 (1.17)

e fazendo y = arcsinh v, temos

sinh y = v ⇒ cosh2 y = 1 + sinh2 y = 1 + v2 ⇒ cosh y =√

1 + v2 (1.18)

Substituindo (1.17) e (1.18) em (1.16), segue que

sinh(x± y) = u√

1 + v2 ± v√

1 + u2

Logo,

x± y = arcsinh u± arcsinh v = arcsinh (u√

1 + v2 ± v√

1 + u2)

14


1.8 Funções Hiperbólicas e os Números Complexos

Pela relação de Euler, sabemos que eix = cosx+ i sinx, donde segue que

cosx =eix + e−ix

2e sinx =

eix − e−ix

2i(1.19)

Analisando as expressões (1.19), notamos

cosx =eix + e−ix

2= cosh(ix) e sinh(ix) =

eix − e−ix

2= i sinx (1.20)

Segue dessas expressões que

tanh(ix) =sinh(ix)

cosh(ix)=

i sinx

cosx= i tanx (1.21)

Portanto, as funções hiperbólicas são periódicas com período 2π se os argumentos são com-

plexos. Além disso, podemos também obter as identidades das funções hiperbólicas a partir

das identidades trigonométricas, usando argumentos complexos.

Exemplo 1.7 Usando a identidade cos2 x+ sin2 x = 1, mostre que cosh2 x− sinh2 x = 1.

Resolução: Substituindo x por ix na identidade trigonométrica e usando as relações acima,

temos:

1 = cos2(ix) + sin2(ix) = cosh2 x+ i2 sinh2 x = cosh2 x− sinh2 x

Exemplo 1.8 A função complexa f(z) = u+ iv = cos z pode ser escrita como

cos z =eiz + e−iz

2

Determine as partes real u(x, y) e imaginária v(x, y) desta função em termos das funções

hiperbólicas e trigonométricas.

Resolução: Sendo z = x+ iy, então

cos z =ei(x+iy) + e−i(x+iy)

2=

eixe−y + e−ixey

2=

eixe−y

2+

e−ixey

2

Usando a relação de Euler e as expressões de (1.3), temos

cos z =(cosx+ i sinx)(cosh y − sinh y)

2+

(cosx− i sinx)(cosh y + sinh y)

2

= cosx cosh y − i sinx sinh y

donde segue que u(x, y) = cosx cosh y e v(x, y) = − sinx sinh y.

15


1.9 Exercícios Propostos

1. Use os ítens i) e ii) da Prop. (1.1) e mostre que

(a) cosh(2x) = 2 cosh2 x− 1

(b) cosh(2x) = 1 + 2 sinh2 x

2. Mostre que

(a) sinh(−x) = − sinhx, ou seja, seno hiperbólico é uma função ímpar.

(b) cosh(−x) = coshx, ou seja, cosseno hiperbólico é uma função par.

3. Prove o item ii) da Prop. (1.2).

4. Mostre que

(a) sinhx =1√

coth2 x− 1;

(b) tanhx =sinhx√

sinh2 x+ 1;

(c) cothx =coshx√

cosh2 x− 1;

(d) coshx =1√

1− tanh2 x.

5. Mostre que

(a) cosh(x− y) = coshx cosh y − sinhx sinh y

(b) sinh(x− y) = sinhx cosh y − sinh y coshx

(c) sinhA+ sinhB = 2 sinh(A+B

2) cosh(

A−B

2)

(d) coshA− coshB = 2 sinh(A+B

2) sinh(

A−B

2)

6. Use indução �nita e prove as fórmulas de De Moivre para as funções hiperbólicas:

(coshx± sinhx)n = coshnx± sinhnx, ∀n ∈ N

7. Prove que

(a)

tanhx

2=

coshx− 1

sinhx=

sinhx

coshx+ 1;

(b)

cothx

2=

sinhx

coshx− 1=

coshx+ 1

sinhx.

8. Use as regras de Osborn e transforme as expressões abaixo:

16


(a) cos2 x+ sin2 x = 1

(b) sin(3x) = 3 sinx− 4 sin3 x

(c) sinA− sinB = 2 cos(A+B

2) sin(

A−B

2)

9. Prove as identidades da Obs. (1.3) de dois modos: usando a de�nição e usando a regra

de Osborn.

10. Calcule x sabendo que:

(a) tanhx =√3/2;

(b) sech x = 3/5.

11. Sendo sinhx = 5/12, determine:

(a) coshx;

(b) tanhx;

(c) sech x;

(d) cothx;

(e) csch x.

12. Resolva as equações abaixo, apresentando a resposta em termo de logaritmos naturais.

(a) 4 coshx+ sinhx = 4;

(b) 3 sinhx− coshx = 1;

(c) 4 tanhx = 1 + sech x.

13. Determine as condições sobre A e B para o qual a equação

A coshx+B sinhx = 1

tenha pelo menos uma raiz real.

14. Expresse y = 25 coshx− 14 sinhx na forma y = R cosh(x− α), exibindo os valores de

R e tanhα. Determine a seguir o valor mínimo de y em termos de logaritmos naturais.

15. Sejam a, b e c reais positivos. Mostre que para a > b, a coshx+ b sinhx pode ser escrita

na forma R cosh(x + α). Desta forma, determine as condições adicionais para o qual a

equação

a coshx+ b sinhx = c

tenha soluções reais.

16. Mostre que arccosh x = ln(x +√x2 − 1) para x ≥ 1.

17. Mostre que

17


(a) arccoth x = arctanh 1/x;

(b) arccsch x = arcsinh 1/x.

18. Mostre que

arcsech x = ln1 +

√1− x2

xpara 0 < x ≤ 1

19. Resolva a equação

2arctanh

(x− 2

x + 1

)= ln 2

20. Prove os ítens ii) e iii) da Prop. (1.4).

21. A partir das desigualdades trigonométricas abaixo, obtenha as identidades hiperbólicas

correspondentes.

(a) sec2 x = tan2 x+ 1;

(b) cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y;

(c) sin2 x =1− cos(2x)

2.

22. Determine as partes real u(x, y) e imaginária v(x, y) da função sin z dada por

sin z =eiz − e−iz

2i

18

Capítulo 2

O Cálculo e as Funções Hiperbólicas

2.1 Limites e Derivadas de Funções Hiperbólicas

O comportamento da funções hiperbólicas para valores de x muito grandes positivamente

ou negativamente são importantes para estudar o comportamento assintótico e as soluções

estacionárias de alguns problemas práticos. Vejamos uma proposição sobre esse assunto.

Proposição 2.1 Mostre que

1. limx→±∞

tanhx = ±1;

2. limx→±∞

cothx = ±1;

3. limx→±∞

sech x = 0;

4. limx→±∞

csch x = 0.

Demonstração: Basta usar a de�nição de funções hiperbólicas. Vejamos o item i).

limx→+∞

tanhx = limx→+∞

sinhx

coshx= lim

x→+∞

ex − e−x

ex + e−x

= limx→+∞

e2x − 1

e2x + 1= lim

x→+∞

1− 1/e2x

1 + 1/e2x= 1

Em muitas aplicações surgem essas funções e o primeiro passo é compreender suas derivadas.

Proposição 2.2

i)d

dx(sinhx) = coshx;

ii)d

dx(coshx) = sinhx.

19


Demonstração:

i)d

dx(sinhx) =

d

dx

(ex − e−x

2

)=

ex + e−x

2= coshx;

O item ii) é deixado como exercício.

Usando a regra da derivada do quociente de duas funções, segue também que

Proposição 2.3

1.d

dx(tanhx) = sech 2x;

2.d

dx(sech x) = −sech x tanh x;

3.d

dx(csch x) = −csch x coth x;

4.d

dx(cothx) = −csch 2x.

Demonstração: Vejamos o item i).

d

dx(tanhx) =

sinhx

coshx=

coshx coshx− sinhx sinhx

cosh2 x=

1

cosh2 x= sech 2x

É claro que em determinadas situações, será necessário usar a regra da cadeia. Vejamos o

exemplo abaixo.

Exemplo 2.1 Calcule a derivada das funções abaixo:

1. y = 2 cosh(3x)− 4 sinh(2x);

2. f(x) = sin(2x) sinh(4x)− cos(4x) cosh(2x).

Resolução:

1. Usando a regra da cadeia, segue que:

dy

dx= 2 sinh(3x) · 3− 4 cosh(2x) · 2 = 6 sinh(3x)− 8 cosh(2x)

2. Usando a regra da cadeia e a regra para derivar o produto de duas funções, temos:

f ′(x) = 2 cos(2x) · 4 cosh(4x) + 4 sin(4x) · 2 sinh(2x)

= 8 cos(2x) cosh(4x) + 8 sin(4x) sinh(2x)

A derivada das funções hiperbólicas inversas são facilmente calculadas através da regra de

derivação de funções inversas ou usando suas expressões logarítmicas. Vejamos na Proposição

abaixo.

Proposição 2.4 Mostre que

20


1.d

dx(arcsinh x) =

1√x2 + 1

;

2.d

dx(arccosh x) =

1√x2 − 1

;

3.d

dx(arctanh x) =

1

1− x2;

2.2 Integrais Através das Funções Hiperbólicas

2.3 A Função Gudermaniana

2.4 Expansão em Séries das Funções Hiperbólicas

2.5 Exercícios Propostos

1. (a) Use o fato que ex e e−x são positivos e prove que −e−x/2 < sinhx < ex/2;

(b) Mostre que

limx→−∞

(sinhx+

e−x

2

)= 0

(c) Mostre que

limx→+∞

(sinhx− ex

2

)= 0

2. Complete a prova da Prop. (2.1).



5. Mostre que y = cosh(2x) satisfaz a equação diferencial

d2y

dx2− 4y = 0

6. Mostre que y = tanhx é solução de equação diferencial não-linear abaixo:1

2y′′ = y3 − y

y(0) = y′(∞) = 0

21

Capítulo 3

Arcos e Cabos Suspensos

3.1 Um Pouco de História

Figura 3.1: Arco em forma de cosh invertido de St. Louis-USA

Pitágoras, na antiga Grécia foi o primeiro a estudar o comportamento de uma corda ten-

sionada. A ele é creditado a descoberta do intervalo de uma oitava como sendo referente a

uma relação de frequência de 2 : 1, uma quinta em 3 : 2, uma quarta em 4 : 3, e um tom

em 9 : 8. Os seguidores de Pitágoras aplicaram estas razões ao comprimento de �os de corda

em um instrumento chamado cânon, ou monocorda, e, portanto, foram capazes de determinar

matematicamente a entonação de todo um sistema musical.

Leonardo da Vinci (1452 − 1519), entre tantos problemas da Mecânica estudado por ele,

dedicou ao problema do equilíbrio dos cabos e cordas. Seus trabalhos foram somente publicados

postumamente, e embora suas anotações fossem conhecidas já de há muito tempo, boa parte de

seus escritos não foram transcitos senão no século passado. De qualquer forma, é nos escritos

22


de Leonardo que aparece pela primeira vez o ideia do paralelogramo de forças, redescoberto

mais tarde por Simon de Bugres em 1586.

Em 1615, Beeckman mostrou que a forma de uma corda inextensível sob carregamento ver-

tical uniformemente distrbuído é uma parábola. O cientista italiano Galileu Galilei (1564−1642)

motivado pelo sucesso que foi a aplicabilidade de cônicas ao mundo natural, nomeadamente

à forma da trajetória de um projétil, por ele próprio deduzida, e de um planeta em rotação

à volta do Sol, fruto dos trabalhos de Kepler, estava plenamente convencido que a forma da

corda dependurada representa um cabo suspenso (problema da catenária) era uma parábola.

De fato, o que Galileu resolveu foi o problema da ponte pênsil; a forma de um cabo sem peso

suportando uma carga uniformemente distribuida horizontalmente.

Em 1690, Jacob Bernoulli chamou a atenção sobre este problema, e um ano depois ele era

resolvido por Leibniz, Huyghens e Johann Bernoulli, irmão de James. Foi Leibniz que deu o

nome de catenária (do latim catena que quer dizer corrente).

3.2 A Catenária

O problema que agora que consideramos é o determinação

da forma tomada por um cabo �exível e inextensível, sus-

penso em dois pontos A e B, e sujeito a seu próprio peso.

Flexível signi�ca que a tensão no cabo é sempre no sen-

tido da tangente. Para resolver este problema, considere-

mos um sistema de coordenadas com a origem no ponto

mais baixo da curva, e com a curva situada no plano xOy,

sendo o eixo y coincidente com a vertical. Seja P (x, y)

um ponto genérico da corda, e vamos considerar o trecho

OP que está em equilíbrio devido à ação das seguintes

forças:

i) T : tensão atuando tangencialmente em P e formando um ângulo α com o eixo x;

23


ii) H: tensão da corda em seu ponto mais baixo, atuando horizontalmente;

iii) ρgs: peso do pedaço OP da corda cujo comprimento é s, agindo verticalmente para

baixo, sendo ρ a densidade do cabo e g a aceleração da gravidade.

Como o sistema está em equilíbrio, então a somatória das forças neste sistema é nula.

Assim, devemos ter

H = T cos θ (3.1)

e

ρgs = T sin θ (3.2)

Dividindo a expressão (3.2) por (3.1), temos

tan θ =ρg

Hs (3.3)

Mas o coe�ciente angular da reta tangente em um ponto qualquer da curva é dado por

tan θ =dy

dx(3.4)

Comparando as expressões (3.3) e (3.4), segue que

dy

dx=

ρg

Hs ⇒ d2y

dx2=

ρg

H· dsdx

(3.5)

Por outro lado, a derivada do arco s em relação a x é dada por

ds

dx=

√1 +

(dy

dx

)2

(3.6)

Substituindo (3.6) em (3.5), obtemos a equação diferencial da catenária, isto é,

d2y

dx2=

ρg

H

√1 +

(dy

dx

)2

(3.7)

24


Exemplo 3.1 Uma linha de telefone é pendurada entre dois postes separados a 14 m na forma

da catenária y = −15 + 20 cosh(x/20), onde x e y são medidos em metros.

1. Encontre a inclinação dessa curva quando ela encontra o poste à direita.

2. Encontre o ângulo θ entre a reta e o poste.

Exemplo 3.2 Prendeu-se uma corda de 8 metros, pelas suas extremidades, ao topo de dois

postes cuja altura é 5 metros. O ponto mais baixo da corda encontra-se a 1 metro do chão. A

que distância se encontram os dois postes?

25

Capítulo 4

Aplicações Adicionais

4.1 A Velocidade Terminal de um Pára-Quedas

O pára-quedas é um aparelho normalmente feito de tecido com um formato semi-esférico

com objetivo de diminuir a velocidade de pessoas (por exemplo, soldados) ou objetos que

despredem de grandes alturas.

Existem evidências de que Leonardo da Vinci fez projetos de um pára-quedas um pouco

rudimentar mas que funcionou em testes recentes. O pára-quedas de da Vinci consisita em

um quadrado com quatro pirâmides de pano espesso e em cujo centro (onde se cruzam as

diagonais) se prendiam cordas que seguravam o corpo do paraquedista.

Suponhamos que em um pára-quedas+pessoa esteja agindo apenas a força da gravidade

referente ao peso da pessoa P = mgj e uma força resistiva R = −kv2j, cujo módulo é

proporcional ao quadrado da velocidade. A constante k depende apenas das dimensões do

pára-quedas e é determinado experimentalmente. Suponhamos ainda que a queda ocorra numa

26


linha vertical, de modo que podemos adotar o eixo y como um eixo vertical de referência,

adotando o sentido de cima-para baixo como sendo positivo. Assim, pela 2a Lei de Newton,

segue que

P + R = ma ⇒ mg − kv2 = ma

Sendo a =dv

dt, então

dv

dt+

k

mv2 − g = 0 (4.1)

Se a velocidade inicial do pára-quedas é dada por y′(0) = v(0) = v0, teremos um problema

de valor inicial. Para determinar a velocidade terminal, basta fazer dv/dt = 0 na equação acima,

pois neste estágio há um equilíbrio entre a força da gravidade e a força resistiva. Indicando por

v essa velocidade, segue que

0 +k

mv2 − g = 0 ⇒ v =

√mg

k(4.2)

Mas será que esse argumento do equilíbrio das forças está correto? Claro que sim, e para

veri�car essa hipótese, iremos calcular v de outro modo, ou seja, resolveremos o problema de

valor inicial acima por integração e mostraremos que

limt→∞

v(t) = v (4.3)

Separando as variáveis em (4.1), temos:

dt =dv

g − k

mv2

⇒ t =

∫dt =

∫dv

g − k

mv2

=1

g

∫dv

1−(√

k

mgv

)2 (4.4)

Neste ponto usaremos as técnicas da trigonometria hiperbólica. Sabemos que

cosh2 θ − sinh2 θ = 1 ⇒ 1− tanh2 θ = sech 2θ (4.5)

ed

dθ(tanh θ) = sech2θ (4.6)

Fazendo √k

mgv = tanh θ ⇒ dv =

√mg

ksech2θdθ (4.7)

usando a expressão (4.6). Substituindo (4.7) na expressão (4.4), temos

t =1

g

∫ √mg

ksech2θdθ

1− tanh2 θ=

√m

gk

∫dθ

pela expressão (4.5). Logo,

t =

√m

gkarctanh

(√k

mgv

)+ C (4.8)

27


Para t = 0, v(0) = v0, de modo que

C = −√

m

gkarctanh

(√k

mgv0

)(4.9)

Substituindo (4.9) em (4.8) e invertendo a função, obtemos a velocidade do pára-quedas em

qualquer instante t, ou seja,

v(t) =

√mg

ktanh

[√gtk

m+ arctanh

(√k

mgv0

)](4.10)

Um outro modo de escrever a expressão (4.10) é usar a fórmula da tangente hiperbólica da

soma, isto é,

tanh(x+ y) =sinh(x+ y)

cosh(x+ y)=

tanhx+ tanh y

1 + tanhx tanh y

Assim,

v(t) =

√mg

k

[ tanh

(√gtk

m

)+

√k

mgv0

1 + tanh

(√gtk

m

)√k

mgv0

]

Quando t → ∞, tanh(αt) → 1. Logo,

limt→∞

v(t) =

√mg

k

[1 +√k

mgv0

1 +

√k

mgv0

]=

√mg

k= v

o que mostra realmente que a velocidade instantânea atinge um limite. Em termos práticos, a

velocidade terminal é atingida poucos segundos após a abertura do pára-quedas.

4.2 Triângulos Obtusângulos Sobre a Hipérbole Equilátera

Sejam P (x1, y1), Q(x2, y2) e R(x3, y3) três pontos sobre um mesmo ramo da hipérbole equi-

látera x2 − y2 = a2, sendo a > 0. Mostraremos que o triângulo PQR é obtusângulo. Sem

perda de generalidade, suponhamos que estes pontos estão sobre o ramo direito da hipérbole

conforme a �gura abaixo.

Observe que a hiperbóle x2 − y2 = a2 pode ser parametrizada através das funções seno e

cosseno hiperbólico, isto é, r(t) = (a cosh t, a sinh t). Como os pontos estão sobre o ramo dire-

ito da hipérbole, então t ≥ 0. Desta parametrização, podemos escrever P (a cosh t1, a sinh t1),

Q(a cosh t2, a sinh t2) e R(a cosh t3, a sinh t3). Como os pontos são distintos, podemos supor

que os pontos P e Q estejam no 1◦ quadrante e que o ponto R(x3, y3) no 4◦ quadrante.

Considere os vetores−−→QP e

−−→QR dados por

−−→QP = P −Q = a(cosh t1 − cosh t2, sinh t1 − sinh t2)

28


e−−→QR = R−Q = a(cosh t3 − cosh t2, sinh t3 − sinh t2)

Usando o produto escalar, temos

−−→QP · −−→QR = a2[(cosh t1 − cosh t2)(cosh t3 − cosh t2) + (sinh t1 − sinh t2)(sinh t3 − sinh t2)]

(4.11)

Por outro lado, sabemos que

coshA− coshB = 2 sinh

(A+B

2

)sinh

(A−B

2

)(4.12)

e que

sinhA− sinhB = 2 cosh

(A+B

2

)sinh

(A−B

2

)(4.13)

Substituindo as expressões (4.12) e (4.13) em (4.11), segue que

−−→QP ·

−−→QR = 4a2 sinh

(t1 + t2

2

)sinh

(t2 + t3

2

)sinh

(t1 − t2

2

)sinh

(t3 − t2

2

)+ 4a2 cosh

(t1 + t2

2

)cosh

(t2 + t3

2

)sinh

(t1 − t2

2

)sinh

(t3 − t2

2

)= 4a2 sinh

(t1 − t2

2

)sinh

(t3 − t2

2

)[sinh

(t1 + t2

2

)sinh

(t2 + t3

2

)+

cosh

(t1 + t2

2

)cosh

(t2 + t3

2

)]= 4a2 sinh

(t1 − t2

2

)sinh

(t3 − t2

2

)cosh

(t2 +

t1 + t32

)(4.14)

Sendo y3 < 0 ⇒ a sinh t3 < 0 ⇒ t3 < 0, pois a > 0. Sendo Q ∈ 1◦ quadrante, então

y2 > 0 ⇒ a sinh t2 > 0 ⇒ t2 > 0. Assim, t3 − t2 < 0 ⇒ sinh[(t3 − t2)/2] < 0.

Analogamente, sinh[(t1 − t2)/2] > 0, de modo que a expressão (4.14) é negativa, ou seja,

−−→QP · −−→QR < 0 ⇒ θ > 90◦

29


onde θ é o ângulo entre os vetores−−→QP e

−−→QR.

30

Hall da Fama

Procure identi�car o maior número de matemáticos na �gura abaixo.

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Referências Bibliográ�cas

[1] Raughy Michael. The Catenary and Hiperbolic Functions. 2009.

[2] Bronshtein, I. N. et al. Handbook of Mathematics. 5a ed. 2005.

[3] Anton, H. Cálculo Um Novo Horizonte. 6a ed. Vol. 1. Porto Alegre, 2000.

[4] Oliveira Pauletti, Ruy Marcelo. Sobre Cabos e Cordas, USP. São Paulo.

[5] Figueiredo, Djairo Guedes de, Neves, Aloisio Freiria. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio

de Janeiro, 1997.

[6] Bassanezi, Rodney Carlos e Ferreira Jr., Wilson Castro. Equações Diferenciais com Apli-

cações. Ed. Harbra, São Paulo, 1988.

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