ERROS EM ALG. NUMÉRICOSE SUAS CONSEQUÊNCIASProf. Renata S.S. Guizzardi

Dpto. de Informática (CT/DI)

2010/01

AGENDA

Tipos de Erros Erro de Modelagem Erro Grosseiro Erro de Truncamento Erro de Arredondamento

Possíveis Consequências Erro absoluto e Relativo Outros Conceitos Relevantes

TIPOS DE ERROS (1/6)

Erro na Modelagem Devido à expressão matemática que não reflete

perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem sido obtidos com pouca exatidão.

Erro Grosseiro Devido a erro na elaboração ou implementação

do algoritmo ou a erro de digitação.

TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO

Erro de Truncamento: Devido à aproximação de uma fórmula.

expansão da função exponencial

em séries de potência

Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.

TIPOS DE ERROS (3/6) - ARREDONDAMENTO

Erro de Arredondamento: Devido à forma de representação de números no

computador. Conversão de base (decimal→binário)

Problema com o número de bits que são usados para representar os números (números fracionários).

Nem sempre um número decimal exato tem representação exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 = 0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).

Exercícios

TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Números em ponto flutuante (reais) são representados no formato normalizado: 5 = 0.5 x 101

0,007 = 0.7 x 10-2

35,42 = 0,3542 x 102

Representação no computador

TIPOS DE ERROS (5/6) - ARREDONDAMENTO

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Suponha uma mantissa de tamanho 2: Represente 35,42 Some 4,32 e 0,064 Subtraia 372 e 371 Multiplique 1234 por 0,016

TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO

ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Formato IEEE de ponto flutuante

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (1/3)

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

9

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits)

Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)

10

Erro de trajetória 36,7 sapós o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (2/3)

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS SOLUÇÕES (3/3)

Exemplo 3: Afundamento de Plataforma Marítima

(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega – Plataforma Sleipner)

Rompimento de uma das Células que compunham a

parede

Parcialmente causada por erro de análise no elemento finito

Prejuízo: U$ 700 milhões

ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO

Duas formas de medir o erro.

Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.

Erro Relativo = valor real – valor aproximado valor real

Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios anteriores.

OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES Complexidade computacional

Medida do esforço computacional despendido para resolver o problema.

Medido pelo número necessário de operações aritméticas e lógicas.

Convergência Propriedade de gerar solução exata. Ordem de Convergência: rapidez com que a

sequência gerada por dado método converge para a solução exata.

PÁGINA DO CURSO

http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/civil20101.htm

http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/mecanica20101.htm