Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente · regime permanente ... Equação...

Aerodinâmica I

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

y

v

yx

v

y

u

xy

p

y

vv

x

vu

x

v

y

u

yx

u

xx

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

ννρ

ννρ

21

21

0

Aerodinâmica I



Viscosidade constante, ν=constante

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

0

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ

νρ

Aerodinâmica I



Adimensionalização das equações

Valores de referência

VelocidadeComprimentoPressão *22

**

**

,

,

pUpU

LyyLxxL

vUvuUuU

ee

eee

ρρ =→

==→

==→

Aerodinâmica I


Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente

( ) ( )

( ) ( )

====

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

2*

*2

2*

*2

*

*

*

**

*

**

2*

*2

2*

*2

*

*

*

**

*

**

*

*

*

*

1

1

0

L

UL

UU

LULUR

y

v

x

v

Ry

p

y

vv

x

vu

y

u

x

u

Rx

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

e

ee

eee

e

e

µ

ρ

νµ

ρ efeitos convectivosefeitos difusivosO[ ]

Aerodinâmica I



• Aplicações práticas são normalmente escoamentos a números de Reynolds, Re, elevados

y

u

∂

∂= µτ (tensão de corte em uni-dimensional)

Ar µ ≃ 1,8×10-5kgm-1s-1 ν ≃1,1×10-5m2s-1

Água µ ≃ 1,0×10-3kgm-1s-1 ν ≃1,0×10-6m2s-1

Aerodinâmica I



• Efeito das tensões de corte restritos a pequenas regiões em que existem grandesvariações de velocidade em pequenasdistâncias

• Camadas de corte delgadas (thin shear layers)- Espessura da camada de corte delgada, δ,é muito inferior a L, δ/L≪1

Aerodinâmica I



Camada Limite(Boundary-layer)

Esteira(Wake)

Camada de Mistura(Mixing layer)

Jacto(Jet)

Aerodinâmica I



Camadas de corte espessas (corpos não fuselados)(Bluff body)

Aerodinâmica I


Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)

Simplificações de Prandtl(1904)

Análise da ordem de grandeza dos termos das equações da continuidade e de balanço de quantidade de movimento

Hipótese de partida Re≫1. (δ/L≪1)ν

xUR e

e =

Aerodinâmica I



Simplificações de Prandtl(1904)

Ordem de grandeza da variável ξ, O[ξ], é dadapelo limite superior de variação de ξ

Ordens de grandeza conhecidas

O[x]→ L

O[y] → δ O[u]→ Ue

Aerodinâmica I



Equação da continuidade

[ ]

[ ]L

Uv

v

L

U

y

v

x

u

e

e

δ

δ

=

=+

=∂

∂+

∂

∂

0

0

O

O

Aerodinâmica I



Equação de Bernouilli aplicada ao escoamentoexterior (fluido perfeito)

L

U

L

p

dx

dp

dx

dUU

dx

dp

constUp

ee

ee

e

e

2

2

11

0

.2

1

==

=+

=+

ρρ

ρ

ρ

O

Aerodinâmica I



Balanço de quantidade de movimento na direcção x

++=+

++=+

++=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

2

22222

22

222

2

2

2

2

11

111

1

1

δ

δ

ν

δν

νρ

L

R

L

LUL

U

L

U

L

U

L

U

U

L

U

L

U

L

U

L

U

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

e

e

eeee

eeeee

Aerodinâmica I



Balanço de quantidade de movimento na direcção x

Análise do termo difusivo

+

2

11

δ

L

Re

111

01

2

2

2

2

2

ee

e

RL

L

Rx

u

Rx

u

=⇒

=

∂

∂

≅=

∂

∂

δ

δν

ν

O

O

≪

Aerodinâmica I



Balanço de quantidade de movimento na direcção y

O

O

++

∂

∂−=+

++

∂

∂−=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

32

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

δ

δδν

ρ

δδ

δ

δν

ρ

δδ

νρ

L

L

U

L

U

LUy

p

L

U

L

U

L

U

L

U

y

p

L

U

L

U

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

ee

e

ee

eeee

Aerodinâmica I


2

2

2

2

1

111

11

L

U

y

p

Ry

p

U

L

e

ee

δ

ρ

ρδ

=

∂

∂−

++

∂

∂−=+



Como eR

L=

2

δ

O

O

Aerodinâmica I




Através da camada limite

pelo que

0

2

11 222

2

0

≅∂

∂

=

=

∂

∂∫

y

p

UUR

UL

dyy

pee

e

e ρρρδδ

O ≪

Aerodinâmica I


∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

21

0

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ


• O sistema de coordenadas tem de respeitar asseguintes condições:

1. A coordenada x tem de estar alinhada com oescoamento exterior

2. A coordenada y é normal à superfície

Aerodinâmica I


∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

21

0

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ


• A pressão estática é independente da coordenada y.A variação de pressão com x (dp/dx) pode ser obtidaa partir do escoamento exterior, p(x)≃pe(x), pelo quea pressão não faz parte das incógnitas.

A pressão é um dado do problema

Aerodinâmica I



• As equações deixam de exibir carácter elíptico nadirecção x. Para um valor de x qualquer, o escoamento depende apenas do que se passa a montante. Nestas condições, é possível obter a solução através de um processo de marcha na direcção x (problema de valor inicial).

∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

21

0

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

• Integrar equações de camada limite na direcçãonormal à parede

• Equação da continuidade

∫

∫

∂

∂−=

=

∂

∂+

∂

∂

h

h

dyx

uv

dyy

v

x

u

0

00

( )δ>h


Equação Integral de von Kármán

Aerodinâmica


• Escoamento exterior (fluido perfeito)

dx

dUU

dx

dp

constUp

ee

e

−=

=+

ρ

ρ

1

.2

1 2



Aerodinâmica


• Equação de balanço/transporte de quantidade demovimento na direcção x

∫ ∫ ∂

∂=

+

∂

∂+

∂

∂h h

dyy

udy

dx

dp

y

uv

x

uu

0 0 2

21ν

ρ



Aerodinâmica


→

−=

=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∫

∫∫

w

w

hh

hh

dyy

dyy

dyy

u

τ

ρ

τ

ρ

ττ

ρ

τ

ρν

00

00 2

2

1

1

� Tensão de corte na parede

� Para h>δ, τ≃0

― Termo difusivo



Aerodinâmica


[ ] ∫∫

∫ ∫

∫ ∫

−=

∂

∂

∂

∂

−=

−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

hhh

h y

hwe

e

y

dyygyfygyfdyygyf

dyy

udy

x

u

dydx

dUU

y

udy

x

u

x

uu

00

0

0 0

0 0

)()(')()()(')(

)2(ρ

τ

― Integração por partes do termo



Aerodinâmica


∫∫∫ ∫

∫∫∫ ∫

∫

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂=

hh

e

h y

hh

yh y

h

dyx

uudy

x

uUdy

y

udy

x

u

dyux

uudy

x

udy

y

udy

x

u

y

uyg

dyx

uyf

000 0

00

00 0

0

)('

)(



Aerodinâmica


∫ =

∂

∂−+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

hwe

ee dyx

u

dx

dUU

x

uU

x

uu

x

u

0

2

2

)3(

2

ρ

τ

e substituindo em (2)

― Utilizando a igualdade



Aerodinâmica


( )

( )

( ) ( )∫

∫

=

−+−

∂

∂

=

∂

∂−+−

∂

∂

+∂

∂=

∂

∂

hw

ee

e

hwe

eee

ee

e

dyuUdx

dUuuU

x

dyx

u

dx

dUU

dx

dUu

x

uU

dx

dUu

x

uU

x

uU

0

2

0

2

ρ

τ

ρ

τ



Aerodinâmica


( ) ( )

∫∫

∫∫

=

−+

−

=−+

−

hw

e

ee

h

ee

e

hw

ee

h

e

dyU

uU

dx

dUdy

U

u

U

uU

dx

d

dyuUdx

dUdyuUu

dx

d

00

2

00

11ρ

τ

ρ

τ

• O limite de integração h não depende de x pelo queas derivadas em ordem a x podem permutar com a integração em y

• Adimensionalizando a variável u com Ue



Aerodinâmica


Espessura de deslocamento, δ*

(Displacement thickness)

• Para h≥δ, u/Ue≃1, pelo que

∫

−=

h

e

dyU

u

0

* 1δ

∫

−≅

δδ

0

* 1 dyU

u

e


Parâmetros Integrais

Aerodinâmica




• Caudal na secção δ×1 em condições de fluido perfeito

• Caudal na secção δ×1 em condições de fluido real (viscoso)

∫=δ

ρ0

dyUQ eideal&

∫=δ

ρ0

udyQreal&



Aerodinâmica




• A espessura de deslocamento está relacionada com o deficit de caudal devido à presença da camada limite

∫∫ −=−=δδ

ρρδρ00

*udydyUQQU erealideale

&&



Aerodinâmica




• δ∗ equivale à distância que as linhas de corrente do escoamento exterior (fluido perfeito) são deslocadas, devido ao efeito da camada limite.

∫

−≅

δδ

0

* 1 dyU

u

e



Aerodinâmica


• Definindo obtem-se

exclusivamente função do perfil adimensionalde velocidade



δη

y=

∫

−=

1

0

*

1 ηδ

δd

U

u

e

=

δ

yf

U

u

e



Aerodinâmica


• Para h≥δ, u/Ue≃1, pelo que

∫

−=

h

ee

dyU

u

U

u

01θ

Espessura de quantidade de movimento, θ(Momentum thickness)

∫

−≅

δθ

01 dy

U

u

U

u

ee



Aerodinâmica


• Caudal de quantidade de movimento na secção δ×1

em condições de fluido perfeito (massa real)

• Caudal de quantidade de movimento na secção δ×1

em condições de fluido real

∫==δ

ρ0

dyuUUQM eerealideal&&

∫=δ

ρ0

2dyuM real&




Aerodinâmica


• A espessura de quantidade de movimento está relacionada com o deficit de quantidade de movimento devido à presença da camada limite.θ tem de ser calculado para o caudal real que atravessa a secção δ×1, tendo em consideraçãoo valor de δ*

∫∫ −=−=δδ

ρρθρ0

2

0

2 dyudyuUMMU erealideale&&




Aerodinâmica


• Sendo θ um deficit de quantidade de movimentoa sua variação tem de estar relacionada com asforças aplicadas


∫

−≅

δθ

01 dy

U

u

U

u

ee



Aerodinâmica


• Definindo obtem-se

exclusivamente função do perfil adimensionalde velocidade

δη

y=


=

δ

yf

U

u

e



∫

−=

1

01 η

δ

θd

U

u

U

u

ee

Aerodinâmica


Factor de Forma, H(Shape Factor)

• H quantifica a forma do perfil de velocidade. Comoa função integranda da definição de θ é sempreinferior à de δ*, H≥1, sendo 1 no caso limite deum perfil uniforme.

δ

θδ

δ

θ

δ

*

*

==H depende apenas de

=

δ

yf

U

u

e



Aerodinâmica


Factor de Forma, (Shape Factor)

• Coeficiente de tensão de corte superficial, Cf

θ

δ *

=H

2

21

e

wf

UC

ρ

τ=



Aerodinâmica


• Substituindo os parâmetros integrais de camada limite obtem-se

( )

2

2

*2

fe

e

weee

C

dx

dU

U

H

dx

d

dx

dUUU

dx

d

=+

+

=+

θθ

ρ

τδθ



Aerodinâmica


( )

( )[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )η

νδ

δηη

FxUyxu

U

xyF

U

u

yxFU

u

e

ee

e

=

===

=

,

,

• Caso geral

• Escoamento em condições de semelhança

OOcom e


Escoamentos semelhantes em regime laminar

Aerodinâmica


[ ]

[ ]δ

θδ

δ

θ

δ

*

*

==H

• Nestas condições, factor de forma H é constante

O

O



Aerodinâmica


• Velocidade exterior obedece a uma equação do tipo

• Solução do escoamento de fluido perfeito em tornode uma cunha de abertura πβ

m

e CxU =

β

ββ

−=

+=

21

2m

m

m



Aerodinâmica


• m=0→ Escoamento em gradiente de pressão nulo

• m=1→ Escoamento de ponto de estagnação

• m=-0.0904→ Perfil de velocidade com τw=0

β

ββ

−=

+=

21

2m

m

m

m

e CxU =



Aerodinâmica



Soluções de camada limite semelhantes em regime laminar

Aerodinâmica




• Gradiente de pressão nulo

• Perfil adimensional de velocidade é suficiente para obter a solução

=

δ

yf

U

u

e

2

fC

dx

d=

θ

Aerodinâmica




• 2 incógnitas, θ e Cf, para 1 equação

.2

2

1

0

0

1

0

constanty

Uu

Udx

d

y

Uu

UC

dU

u

U

u

y

e

e

y

e

e

f

ee

=

∂

∂

=

∂

∂=

−=

=

=

∫

δ

δ

δ

ν

θ

δδδ

δδ

ν

ηδ

θ

2

fC

dx

d=

θ

Aerodinâmica


0

2

00

0

0

2

2

2

.2

=

=

=

∂

∂

=

∂

∂

=

=

∂

∂

=

∫∫

δ

δ

δ

δ

δ

ν

θ

δδ

δ

ν

θ

δδδ

δ

ν

θ

δδδ

y

e

e

x

y

e

e

y

e

e

y

Uu

U

x

dxy

Uu

Ud

constanty

Uu

Udx

d



Aerodinâmica


5.0

0

0

2

0

2

4

4

4

−

=

=

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

xe

y

e

y

e

e

y

e

e

Ry

Uu

x

y

Uu

xUx

y

Uu

U

x

δ

δ

δ

δθ

δδ

δ

ν

θ

δδ

δ

ν

θ

δδ



Aerodinâmica



• Parâmetros de camada limite

( )

( ) ( )

LU

dxC

UC

LUR

xURH

duudu

y

U

uufu

e

L

w

D

e

wf

ee

ee

e

Lx

2

0

2

*

1

0

1

0

*

21,

21

,,

1,1

,

ρ

τ

ρ

τ

ννθ

δ

ηδθηδδ

δηη

∫

∫∫

==

===

−=−=

===

com

Aerodinâmica



Gradiente de pressão nulo

• Soluções aproximadas e exacta

3,464 1,732 0,578 3,00 0,578 1,16

4,64 1,74 0,646 2,70 0,646 1,29

5,84 1,752 0,687 2,55 0,687 1,37

4,791 1,741 0,655 2,66 0,655 1,31

―(5) 1,721 0,664 2,59 0,664 1,33

( )ηf

32123 ηη −

4322 ηηη +−

η

π

2sin

exacto

η

xeRxδxeRx*δ

xeRxθ Hxef RC

xeD RC

Aerodinâmica I



Efeito do gradiente de pressão

• Forma do perfil de velocidade

• Aplicação da equação de Bernoulli ao longo de umalinha de corrente no interior da camada limite desprezando o efeito do atrito

• Efeito do gradiente de pressão é tanto maior quanto menor for u

dx

dp

ux

u

s

p

us

u

ρρ

11−≅

∂

∂⇔

∂

∂−≅

∂

∂

dx

dp

Aerodinâmica I


dx

dUy

U

uu

u e

e ν

δ

δη

η

2

2

2

, −=Λ==Λ=∂

∂




• Segunda derivada na parede é função do gradientede pressão

e

2

21

y

u

dx

dp

∂

∂=ν

ρ

com

Aerodinâmica I





( )43243

2

2

2

2

336

22

0011

00

ηηηηηηη

ηηη

ηη

−+−Λ

−+−=

=∂

∂=

∂

∂=⇒=

Λ=∂

∂=⇒=

u

uuu

uu

Aerodinâmica I





0 0.25 0.5 0.75 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Λ=-12

Λ=-6

Λ=0

Λ=12

Λ=24

η

u

→(τw=0)

Aerodinâmica I


δ

δ *

δ

θH )1(fC

dx

dp

0>

0<

Adverso

Favorável

(1) Cf é igual a zero no ponto de separação




Aerodinâmica I




• Camada limite em gradiente de pressão nulo cresce por difusão de quantidade de movimento


• Escoamento exterior

dyx

uv

y

v

x

u y

∫ ∂

∂−=⇔=

∂

∂+

∂

∂0

0

dx

dp

Udx

dU

e

e

ρ

1=−

Aerodinâmica I




• Efeito da convecção na taxa de crescimento(δ)

v δdx

dp

0>

0<

Adverso

Favorável

Aerodinâmica I


θ H )1(fCdx

dp

0>

0<

Adverso

Favorável

(1) Cf é igual a zero no ponto de separação

*δδ



• Efeito global

Aerodinâmica I


Transição de Regime Laminar a Turbulento

• Transição no escoamento em tubos

Aerodinâmica I



• Transição em camada limite

Parâmetros que influenciam mais a transição

• Gradiente de pressão

• Características da parede (rugosidade)

• Natureza das perturbações exteriores (intensidade deturbulência do escoamento exterior)

Aerodinâmica I




Reynolds crítico

Reynolds de transição

Aerodinâmica I



• Fases do processo de transição de uma camadalimite

1. Instabilidade da camada limite a perturbações essencialmente bi-dimensionais. Ondas de

Tollmien-Schlichting

2. Aparecimento de perturbações secundárias produzindo tri-dimensionalidade

3. Formação aleatória de erupções turbulentas

4. Degenerescência em regime turbulento

Aerodinâmica I




Curva de estabilidade neutra de um perfil de camada limite

• α é o número de ondada perturbação(comprimento de onda )

• Rcrit corresponde aonúmero de Reynoldsmínimo que separa aszonas estável e instáveldo diagrama

• Rtrans corresponde aonúmero de Reynolds apartir do qual temosregime turbulentoRtrans>Rcrit

α

π2=

00 >Λ≤Λ

Aerodinâmica I




Curva de estabilidade neutra de um perfil de camada limite

Instabilidadeviscosa

Instabilidadeinvíscida

Perfil sem pontode inflexão

Perfil com pontode inflexão

∞→⇒∞→ ααeR

0→⇒∞→ αeR

00 >Λ≤Λ

Aerodinâmica I




• Gradiente de pressãoadverso, Λ>0, favorece a ocorrência de transição

• Gradiente de pressãofavorável, Λ<0, contraria a ocorrência de transição

dx

dUe

ν

δ 2

−=Λ

Aerodinâmica I




• O aumento da rugosidadefavorece a ocorrência de transição

Efeito de um elementode rugosidade no Reynoldsde transição de uma camadalimite numa placa plana

Aerodinâmica I




Evolução do perfil de velocidade

θ

δ *

=H

Aerodinâmica I




Evolução do perfil de velocidade

• O factor de forma, H, diminui

• A espessura de quantidade de movimento, θ, é aproximadamente constante, se xcrit≃xtrans

• A espessura de deslocamento, δ*, diminui

• O coeficiente de tensão de corte superficial,Cf, aumenta

• Expressão empírica para a determinação de H após atransição

( ) 9698,0log

4754,1

10

+=transeR

Hθ

Aerodinâmica I


Rex

Re

θ

1.0x10+06 2.0x10+06 3.0x10+06 4.0x10+06 5.0x10+060

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

dp/dx=0



Correlações empíricas

com

Cebeci&

Smith

7546,0 1041022400

1174,1 ×<<

+= exex

ex

e RRR

R θ

Aerodinâmica I


H

Lo

g1

0(R

ex)

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.95

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

dp/dx=0



com( ) 32

10 3819,37538,268066,644557,40log HHHRex +−+−= 8.21.2 << H

Correlações empíricas

exRH −

Aerodinâmica I


Escoamento em Regime Turbulento

Aproximações de Reynolds(Reynolds-averaged equations)

1. Média espacial (Spatial averaging)

Turbulência homogénea(Homogeneous turbulence)

( )

n

zyxu

U

n

i

iiij

nj

∑=

∞→= 1

,,~

lim

Aerodinâmica I




2. Média temporal (Time averaging)

T

dtuU

To

o

t

ti

Ti

∫+

∞→=

~

lim

O escoamento éestatisticamentepermanente/estacionário

Aerodinâmica I




3. Média de conjunto (Ensemble averaging)

( )

n

tu

U

n

iij

nj

∑=

∞→= 1

)(~

lim

As propriedades médiasvariam com o tempo.A estatística requer soluções periódicas.

Aerodinâmica I


Escoamento em Regime TurbulentoEquações de Reynolds

• Média temporal aplicada às variáveis dependentes e aos princípios de “conservação”

representa qualquer uma das variáveis dependentes(escoamento incompressível u,v,w,p)

i

t

ti

Ti

T

dtTo

o Φ==∫

+

∞→

φφ

~

lim~

__

iφ~

Aerodinâmica I



• Decomposição das variáveis instantâneas

→

→Φ

→

+Φ=

i

i

ii

φ

φ

φφ

~

~

Variável instantânea

Valor médio

Flutuação em torno do valor médio

Aerodinâmica I



• Consequências da média temporal

→=∂

∂

→=∂

∂

→=∂

Φ∂

0

0

0

ix

t

t

φ

φ__

__

Derivada temporal do valor médio é nula

Média temporal das derivadas das flutuações é nula

Aerodinâmica I



• Termos lineares

0

~~

=∂

∂⇒

∂

∂+

∂

Φ∂=

∂

∂

tttt

φφφ

iiiii xxxxx ∂

Φ∂=

∂

∂⇒

∂

∂+

∂

Φ∂=

∂

∂ φφφ~~

___

___

Aerodinâmica I



• Termos não lineares

____

z

w

y

v

x

u

zw

yv

xu iiiiii

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ φφφφφφ~~~~~~~

~~

~~

~

jj

ij

j

ij

x

u

xU

x

u

∂

∂+

∂

Φ∂=

∂

∂ φφ~~

___

Aerodinâmica I


0

0

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

w

y

v

x

u

z

W

y

V

x

U



- Flutuações de velocidade também satisfazem

Aerodinâmica I


−

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

wwz

W

xwv

y

W

ywu

x

W

xz

P

z

WW

y

WV

x

WU

vwz

W

zvv

y

V

yvu

x

V

xy

P

z

VW

y

VV

x

VU

uwz

U

xuv

y

U

yuu

x

U

xx

P

z

UW

y

UV

x

UU

νννρ

νννρ

νννρ

1

1

1


• Equações de transporte de quantidade de movimento

__

__ __

__ __

____

__

• Tensões de Reynolds• O número de equações é inferior ao número de

incógnitas

jiuuρ−

__

__

Aerodinâmica I


jiuuρ−


• Equações de transporte de

__ __ ____

___________

____ __ __

__ ____

• Sistema continua com menos equações do queincógnitas

__

( )

k

j

k

i

i

ji

j

i

i

j

kji

k

i

j

j

i

k

j

ki

k

iji

k

ji

k

jiji

x

u

x

u

x

uu

x

pu

x

puuuu

x

x

u

x

up

x

Uuu

x

Uuu

x

uuU

t

uu

Dt

uDu

∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂=

νν

ρ

ρ

2

1

2

2

Aerodinâmica I



• Modelos de tensões de Reynolds

- 6 equações de transporte adicionais

- A maioria dos termos das equações de transportedas tensões de Reynolds tem de ser modelado,incluindo as flutuações de pressão

- Existem modelos que determinam as tensões deReynolds a partir de equações algébricas

- Anisotropia da turbulência está incluida no modelo

Aerodinâmica I



• Modelos de viscosidade turbulenta

- Hipótese de Boussinesq: as tensões de Reynoldssão proporcionais aos gradientes de velocidade média

- A constante de proporcionalidade é designadapor viscosidade turbulenta

- Anisotropia da turbulência é difícil de modelar. Maioria dos modelos são isotrópicos

Aerodinâmica I



• Equações de Reynolds

tef

efefef

efefef

efefef

z

W

zy

W

z

V

yx

W

z

U

xz

P

z

WW

y

WV

x

WU

y

W

z

V

zy

V

yx

V

y

U

xy

P

z

VW

y

VV

x

VU

x

W

z

U

zx

V

y

U

yx

U

xx

P

z

UW

y

UV

x

UU

ννν

νννρ

νννρ

νννρ

+=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

21

21

21

Aerodinâmica I



• Equações de Reynolds

−νt é a viscosidade turbulenta

- Escala de velocidade vezes escala de comprimentoda turbulência

- Diferentes tipos de modelos disponíveis

Aerodinâmica I




- Modelos algébricos

- Escala de comprimento da turbulência

- Escala de velocidade da turbulência

ωωrr

→l

Comprimento de mistura

é o vector vorticidade

→= yl κ

ωνr2

lt =

Aerodinâmica I




- Modelos algébricos

- Escala de comprimento da turbulência é multiplicadapor uma função de amortecimento na vizinhançada parede. Tem também de ser alterado para a região exterior da camada limite e para jactos

-Modelo simples, mas com muitas limitações. Implementação numérica pode ser complicada emescoamentos complexos

Aerodinâmica I




- Modelos de 1 equação (antigos)

- Escala de comprimento da turbulência é o comprimento de mistura dos modelos algébricos

- Escala de velocidade é obtida da equação dede transporte de energia cinética da turbulência

222

2

1wvuk ++=

________

Aerodinâmica I



• Energia cinética da turbulência, k

- Equação de transporte(balanço)

2

2

2

2

11

∂

∂−

∂

∂+

+

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂=

j

i

j

jiij

jj

iji

j

j

x

u

x

k

uuupuxx

Uuu

x

kU

t

k

Dt

Dk

νν

ρ

_____

__

__

Aerodinâmica I




→

+

∂

∂−

→

∂

∂−

→∂

∂

jiij

j

j

iji

j

j

uuupux

x

Uuu

x

kU

2

11

ρ

___

__

__

Convecção

Produção de k

Difusão turbulenta

Aerodinâmica I




→

∂

∂−

→∂

∂

2

2

2

j

i

j

x

u

x

k

ν

ν

__Difusão viscosa

Taxa de dissipação, ε

• Maioria dos termos tem de ser modelada como veremos à frente para os modelos de 2 equações

Aerodinâmica I




- Modelos de uma equação

Spalart & Allmaras

( ) ( )[ ]

→→

−∇⋅∇+∇+⋅∇+=

∂

∂+

∂

∂

wvwbb

wwb

s

b

ffccc

dfccSc

yV

xU

,,,

~~~~~1~~

~~

1121

2

121

νννννν

σν

νν

νν ~1vt f=

FunçõesConstantes

Aerodinâmica I




- Modelo de uma equação de Spalart & Allmaras

- Aplicável junto à parede

- Viscosidade turbulenta proporcional à variáveldependente

- Necessita da distância à parede,d, e na versão original da localização da transição

Aerodinâmica I




- Modelos de 2 equações: escala de velocidade é k

- Modelo k-ε

→

−

∇

+⋅∇+=

∂

∂+

∂

∂

−

∇

+⋅∇+=

∂

∂+

∂

∂

εµ

ε

σσ

εε

σ

ννν

εεε

εσ

ννν

,,,, 21

2

2

2

1

2

k

tt

k

tt

CCC

kCS

kC

yV

xU

kSy

kV

x

kU

εν µ

2k

Ct =

Constantes

Aerodinâmica I




- Modelo k-ε

- Muito popular no cálculo de jactos e em escoamentoscom transmissão de calor

- Pouco adaptado a escoamentos com gradiente de pressão adverso

Aerodinâmica I




- Modelo k-ε

- Não é válido junto a paredes

- Pode ser combinado com um modelo de 1 equaçãojunto a paredes (modelo de 2 camadas)

- Existem variadas formulações de baixos números deReynolds para se poder aplicar junto a paredes

Aerodinâmica I




- Modelo k-ω

( )

→→

−∇⋅∇−

∇

+⋅∇+=

∂

∂+

∂

∂

−

∇

+⋅∇+=

∂

∂+

∂

∂

ωω

ω

ω

σσαββ

βωωω

ωσ

ννα

ωω

ωβσ

ννν

F

kF

Sy

Vx

U

kkSy

kV

x

kU

k

t

k

tt

,,,,*

22

*2

ων

kt =

Constantes Função

Aerodinâmica I




- Modelo k-ω

- Pode-se aplicar junto a paredes

- ω tende para infinito na parede

- Existem várias formulações sendo a mais populara SST (shear-stress transport) que inclui um limitadorpara a viscosidade turbulenta

Aerodinâmica I




- Modelo k-ω

- Muito popular no cálculo de escoamentos em gradiente de pressão adverso

- Implementação numérica não é trivial e em algumasversões (SST por exemplo) requer a distância àparede

Aerodinâmica I


- Número de equações é inferior ao número de incógnitas

- Única tensão de Reynolds retida:-ρuv


• Aproximações de camada limite

__

−

∂

∂

∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

uvy

U

ydx

dP

y

UV

x

UU

y

V

x

U

ρµρρ

11

0

__

Aerodinâmica I




- Análise das tensões de Reynolds desprezáveis temde ser experimental

Aerodinâmica I




- Equação integral de von Kármán mantém a mesmaforma

uvy

U

dyy

turblamturblamT

w

hh

TT

ρτµττττ

ρ

τ

ρ

ττ

ρ

−=∂

∂=+=

−=

=

∂

∂∫

,

1

00

com__

Aerodinâmica I


Escoamento em Regime TurbulentoPerfil de velocidade média, U

• Camada da parede:

- Zona de equilíbrio local. Produção de k ≡ Dissipação de k (ε)

- Na parede, y=0, a equação de balanço de quantidade de movimento na direcção xreduz-se a

dx

dP

y

T =∂

∂τ

Aerodinâmica I




- Admitindo que junto à parede os efeitos convectivos são desprezáveis (U�0)

- Para gradientes de pressão próximos de zeroa camada da parede é uma região de tensãoconstante, τT≈τw

ydx

dPwT +=ττ

Aerodinâmica I




- Região em que as 3 variáveis fundamentais (LMT)para construir parâmetros adimensionais são

- Massa específica, ρ

- Viscosidade do fluido, ν

- Tensão de corte na parede, τw

Aerodinâmica I




- Velocidade de fricção (friction velocity):

- Comprimento de referência

2

f

ew

CUu ==

ρ

ττ

τ

ν

uLref =

Aerodinâmica I



• Sub-camada linear:

- Para valores de y muito pequenos (-ρuv�0)

- Integrando e aplicando a condição de nãoescorregamento (y=0⇒U=0)

y

UlamwT

∂

∂=== µτττ

νρ

τ

µ

τ yyU ww

==

Aerodinâmica I



• Sub-camada linear:

- Em termos adimensionais

ν

ν

ν

ν

νρ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

yuy

u

UU

yUyu

u

U

u

u

yu

u

U

==

=⇔=

=

++

++

Aerodinâmica I


• Sub-camada linear válida para

- uτ=1m/s, νar=1,5×10-5⇒ y<7,5×10-5m


• Consequências:

- Experimentalmente é muito complicado determinara tensão de corte na parede a partir de

- Numericamente a aplicação directa da condiçãode não escorregamento requer malhas com

5<+y

12 <+y

0=

∂

∂

yy

U

Aerodinâmica I


• Sub-camada linear válida para

Escoamento em Regime TurbulentoPerfis das variáveis dos modelos de turbulência

- Modelo de Spalart & Allmaras

- Energia cinética da turbulência, k

- “Frequência” da turbulência, ω

5<+y

νννκν ~~,~ == +++ y

( ) 2625.05.0,

*

τ

ββukkyCk k == +++++

( )( ) ( ) 22,6 τωνωβω uy == +++

Aerodinâmica I


• Camada tampão,


- Nesta região a maior contribuição para a tensão total passa de origem laminar a turbulenta (Reynolds)

- Para a tensão turbulenta (Reynolds)é practicamente nula

- Para as tensões de corte de origemturbulenta (Reynolds) são predominantes

50305 −<< +y

5≤+y

5030 −=+y

Aerodinâmica I


• Camada tampão,


- A zona do perfil de velocidade com y+ inferiora 30-50 é designada por sub-camada viscosa

50305 −<< +y

Aerodinâmica I


• Lei da parede,


- Tensão turbulenta (Reynolds) é predominante

- Análise dimensional aplicada à região detensão aproxidamente constante

- O gradiente de velocidade é dado por

5030 −>+y

=

=

=

∂

∂

ννννντττττττ yu

gy

uyuf

yu

y

uyuf

u

y

U''

2

=

ντ

τ

yuf

u

U

Aerodinâmica I


• Lei da parede,


5030 −>+y

y

u

y

U

constyu

g

κ

κν

τ

τ

=∂

∂

=≅

1

- Verifica-se experimentalmente que a função

donde

- Integrando

( ) CyUCyu

u

U+=⇔+

= ++ ln

1ln

1

κνκτ

τ

Aerodinâmica I



2,5

41,0

≅

=

C

κ

• Lei da parede, 5030 −>+y

Aerodinâmica I


- Pode-se determinar experimentalmente atensão de corte na parede medindo a velocidademédia numa região suficientemente afastadada parede

- As condições de fronteira de um cálculo numéricopodem ser aplicadas na região da lei da parede.Sub-camada viscosa é evitada.

• Lei da parede,


5030 −>+y

Aerodinâmica I


Escoamento em Regime TurbulentoPerfis das variáveis dos modelos de turbulência

- Modelo de Spalart & Allmaras

- Energia cinética da turbulência, k

- “Frequência” da turbulência, ω

νννκν ~~,~ == +++ y

2,1 τµ ukkCk == ++

( ) ( ) 2,1 τµ ωνωκω uyC == +++

• Lei da parede, 5030 −>+y

Aerodinâmica I


1. Evolução linear na sub-camada linear,

2. Evolução semi-logarítmica na lei da parede,

3. Transição contínua de 1 para 2 ao longo da camada tampão


++ = yU

5<+y

( ) 2,541,0ln1

≅=+= ++CkCyU

κ

δ2,01,0,5030 −<−>+yy

Aerodinâmica I


3. Transição contínua de 1 para 2 ao longo da camada tampão


y+

u+

100

101

102

1030

5

10

15

20

25Viscous sublayer

Law of the wall

Blending, [8]

Aerodinâmica I


4. Desvio do perfil em relação à lei semi-logarítmica onde a velocidade tende para


+eU

f

ee

Cu

UU

2==+

τ

Aerodinâmica I


• Perfil tipo potência

• Parâmetros integrais

Escoamento em Regime TurbulentoFormas simplificadas do perfil de velocidade média

n

e

y

U

U1

=

δ

( )( ) nH

nn

n

n

21

211

1*

+=++

=+

=δ

θ

δ

δ

Aerodinâmica I


δ=≠∂

∂y

y

U0


1. Não respeita a evolução da sub-camada linear

2. Não respeita a lei da parede

3.

4.


n

e

y

U

U1

=

δ

0=∞=∂

∂y

y

U

em

em

Aerodinâmica I



- Por comparação com resultados experimentais


n

e

y

U

U1

=

δ

730

1070

70

−≈→>

−≈→<

≈→=

ndx

dP

ndx

dP

ndx

dP

Aerodinâmica I


• Integração da equação integral de von Kármán


• τw obtido a partir de uma lei de fricção para tubosem escoamento completamente desenvolvido

Escoamento em Regime TurbulentoEscoamento em gradiente de pressão nulo

7

1

=

δ

y

U

U

e

maxmax

4/1

2

8,0

3164,021

4

UURUU

DURR

U

emed

medee

med

w

≈≈=

===−

δ

νρ

τλ

2

e

w

Udx

d

ρ

τθ=

Aerodinâmica I


• Tensão de corte na parede

• Equação integral de von Kármán com δ como variável dependente


41

20225,0

=

δ

ν

ρ

τ

ee

w

UU

41

0225,072

7

=

δ

νδ

eUdx

d

Aerodinâmica I


• Admitindo regime turbulento desde x=0 (δ=0)


51

51

51

51

*

51

072,00576,0

29,1036,0

046,037,0

−−

−

−−

==

==

==

xx

x

xx

eDef

e

ee

RCRC

HRx

Rx

Rx

θ

δδ

Aerodinâmica I


• Qualitativamente o efeito é semelhante ao analisado em regime laminar

• Perfil mais cheio para gradiente favorável menoscheio para gradiente adverso

Escoamento em Regime TurbulentoEfeito do gradiente de pressão

Aerodinâmica I


• Gradientes de velocidade média na zona exteriordo perfil fundamentais para o arrastamento (produçãode energia cinética da turbulência proporcional aosgradientes de velocidade média)


Aerodinâmica I



• Efeito na camada da parede

• Validade da lei da parede em escoamento separadoé bastante duvidosa

Aerodinâmica I


• Escoamento em regime turbulento resiste maisà separação do que em regime laminar.

1. Perfil de velocidade mais cheio junto à parede

2. Difusão muito superior à difusão em regime laminar (separação depende da razão entreforça de pressão e força de corte)


Aerodinâmica I


Escoamento em Regime TurbulentoControlo de Camada Limite

• Transição forçada: rugosidade ou arame de transição. Objectivo é retardar ou eviter a ocorrência de separação da camada limite

826≥=ν

arameee

dUR

arameCritério de Gibbings

Aerodinâmica I



Aerodinâmica I



• Sucção na parede. Retarda (ou evita) a separação da camada limite e atrasa a transição a regime turbulento

Aerodinâmica I



• Sopro. Retarda ou evita a separação da camada limite,mas favorece a transição a regime turbulento

Aerodinâmica I



Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente · regime permanente ... Equação...

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