ESCOAMENTOS EM REGIME...

1

ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE

Regime permanente: são escoamentos que não

apresentam variação com o tempo /t = 0

Escoamentos uni-dimensionais: só apresentam um

componente de velocidade que só varia em uma direção

Escoamentos simples hidrodinamicamente

desenvolvidos: não apresentam variação na direção

principal do escoamento

Escoamentos externos: película de filme com

espessura constante

Escoamento ao redor de esfera com baixa rotação

2

Adimensionalização

02

2

x

p

y

ug sin

a

yY

U

y x

gy

gx

h=2 a

sinygpP 02

2

x

P

y

u

Pressão reduzida, ou pressão modificada

refu

uU 0

2

2

2

x

P

Y

Uref

a

u

2a

ux

Pref 01

2

2

Y

U

2a

u

x

P

U

3

Fator de atrito

2

2

1m

hx

P

u

D

f

Número de Reynolds

hm Du

Re

m

hx

P

hm

m

hx

P

u

D

Du

u

D

f

2

2

2

2

1Re

a

u

x

PU

22

a

D

Uf h

mRe

4

Hipóteses:

1. Fluido Newtoniano

2. Propriedades constantes (cte, =cte)

3. Regime permanente / t = 0

4. 2-D (largura b >> h) / z = 0

5. L >> h esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento inclinado de com a

horizontal, gravidade vertical

7. p constante

8. laminar

g

U

y x

gy

gx

h=2 a

Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido

entre duas placas paralelas e infinita)

Continuidade:

ctev

z

w

y

v

x

u

0

4050 )()(

00

2

VVt

cte

)(

)(

0vCondição de contorno: y=a=h/2 ; v=0

iyuV

)(

VpgtD

VD

2

Q. M. L - direção z

Q.M.L. (Navier-Stokes):

),(

)()(

)()(

yxppz

pw

z

pg

tD

wD

wzero

z

wzero

0

40

2

0

40

Q. M. L - direção y

cos

)()(cos

)()(

gy

pv

y

pg

tD

vD

decontinuidavzerog

y

decontinuidavzero

0

2

0

)()(cos xfygp )(xfx

p

logo

então

5

Q. M. L - direção x

)()(

)()(sin

)()()()( 405040005030

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

g

xz

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pgwvu

x

p

y

ug

sin

2

2

Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão

cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional

Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então

para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas

parcelas seja iguais a uma constante, logo

Kgx

p

y

u

sin

2

2

x

p

yg

sinou y

u pois

6

Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade

entre as duas placas

K

y

u

2

2

Condições de contorno:

1) y=a; u =U U=(K/ ) a2/2 + C1 a + C2

2) y=-a ; u=0 0=(K/ ) a2/2 - C1 a + C2

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

21

2

12

CyCyK

uCyK

y

u

As constante C1 e C2 podem ser

facilmente determinadas

(I)+(II) 2

2

22

2 Ca

U

22

2

2aU

C

(I) - (II) aCU 12a

UC

21

Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil

de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos

7

8

Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

Vazão:

TATTm AduAuQ

a

a

ydbuQ

baUa

Q

2

3

2

; baAT 2 ;

U

aum

2

1

3

1 2

O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd

ud

a

Uy

2 onde

x

pseng

)(

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão

cisalhante

Vazão:

TATTm AduAuQ

a

a

ydbuQ

baUa

Q

2

3

2

; baAT 2 ;

U

aum

2

1

3

1 2

O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd

ud

a

Uy

2 onde

x

pseng

)(

Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:

9

Caso 1: U≠ 0x

p

(1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)

a

yUu 1

2;

a

U

2

Caso 2: U0

x

p

(2º. exemplo):

22

12 a

yaKu

2

22

12 a

yau

y

maxmax ;)/(

uuaxp

u m3

2

2

2

2

22

12 a

yaKu

yK

ab

ab

P

AD

u

Ddxpf

m

th

m

h 42

244

21 2

)(;

)/(

)/(

a

yU

a

yaKu 1

21

2 2

22

a

UyK

2

U

2a

Caso 2: =0 , U=0, p/x

2a

96Ref

10

Caso 3: U 0x

p

a

yU

a

yau 1

21

2 2

22

;

a

Uy

2

umax onde 00 yd

ud

y U

u

11

Caso 4: U 0x

p

; 22

0a

U

x

p

y U u

Caso 5: U 22 a

U

x

p

Neste caso, a tensão na parede inferior é nula

u

y U

0222 2

entãoa

UKse

a

UKaayem

a

UKy

12

Caso 6: U 22 a

U

x

p

O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a parede inferior

escoa para a esquerda.

A tensão para parede inferior é negativa, 02

a

x

p

a

Us

u

y U

13

u

U

Considerando agora 0, temos

Caso 7: 0U 0

seng

x

p

seng

x

p

seng

x

p (

x

p

pode ser positivo)

( sensen )

Caso 8: 0U 0

seng

x

p

seng

x

p

seng

x

p

x

p

pode ser zero, K > 0

u

U

U

u U

u

Já vimos que com as hipóteses acima

14

Exemplo: Determine o perfil de

velocidade para uma película de água

escoando ao longo de uma parede

inclinada, com espessura constante.

Qual a vazão para obter filme com

espessura h?

Desprezando as perturbações na

entrada e saída.

Hipóteses:

1. fluido Newtoniano, propriedades constantes (=cte, cte): div V

2. Largura grande: /z0, w=0

3. Regime permanente: /t=0

4. Espessura h=cte: /x0

5. Laminar

6. Pressão uniforme igual a pressão atmosférica: p/x0

iyuV

)(

1CKyKgg

Dt

Du

y

zero

zy

zero

x

zero

x

px

zero

xyxzxyxx

cos

y

x

Eq. de quant. de movimento na direção x

condição de contorno: y = h ; H2O=ar H2O 0 C1 = -K h

condição de contorno:

y=0, u=0 C2=0

15

2

2

2Cyh

yuhyK K

y

u )()(

y

x

2

2

22

2

h

y

h

yu

hK

30

2

32

20

32

3

hKh

hKh

h

y

h

ybdyuQ

3

3hbgQ

cos

y

x

h

u(y)

(y)

vazão

16

Hipóteses:




4. 2-D (largura w >> h=2b) / z = 0

5. L >> h=2b esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento inclinado de com a

horizontal, gravidade vertical

7. p constante

8. laminar

g

ESCOAMENTO DE DOIS FLUIDOS IMISCÍVEIS ENTRE DUAS PLACAS

PLANAS (Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido)

Continuidade:

ctev

z

w

y

v

x

u

0

4050 )()(

00

2

VVt

cte

)(

)(

Condição de contorno:

y=b; vI=0

y=-b; vII=0 iyuV

iyuV

)(

)(

IIII

II

y I b

x II b

Para ambos os fluidos: Q. M. L - direção x

)()(

)()()()()()( 405040005030

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

z

u

v

y

u

x

u

t

u

x

pwvu

x

p

y

u

2

2

Integrando para cada fase

L

pp

L

p

x

p

yLo

ouyu

pois

17

21

2

11 II

II

II

2Cy

CyuCy

yd

udCy

L

p

L

p

L

p

43

2

33 IIII

IIII

IIII

2Cy

CyuCy

yd

udCy

L

p

L

p

L

p


Subtraindo as equações: (3) - (4)

21

2

II20 Cb

Cb

L

p

18

43

2

IIII20 Cb

Cb

L

p

0I uby ;

0II uby ;

1)

2)

3)

4)

42III0 CCuuy ;

31III0 CCy ;

)( III

122

bC

L

p

21

2

IIII20 Cb

Cb

L

p

Somando as equações I (3) + II (4)

III

III

21

bC

L

p

IIIIII

1111

2

CCb

L

p

Os perfis de tensão e

velocidade de cada fase são

19

III

IIII

2

1

b

yb

L

p

III

I

III

III

2I

I 2

2

22

b

y

b

ybu

L

p

III

II

III

III

2II

II 2

2

22

b

y

b

ybu

L

p

y

x y

20

Hipóteses:




4. 2-D (simetria angular) v / = 0

5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento horizontal, gravidade

vertical

7. p constante

8. laminar

ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:

(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido

em um duto circular)

Continuidade:

00

2

VVt

cte

)(

)(

0vEntão r v = constante.

Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV

)(

eveveuV rx

cos; ggsenggr

g g

D=2 R

r

x

r

gr

0

54

)()(zerozero

x

u

r

v

rr

vr

VpgtD

VD

2

Q. M. L - direção r

Q.M.L. (Navier-Stokes):

v

rr

v

r

vr

rr

r

pseng

r

vuvv

r

v

r

v

x

v

r

v

r

v

t

v

22

2

21

2

2

22

2

A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0, então a equação

acima se reduz para

),(1 xfsenrgpsengr

p

11cos

1 f

rg

p

rlogo (*)

21

Q. M. L - direção

Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0,

então a equação acima se reduz para

comparando esta equação com a equação (*)

v

rr

v

r

vr

rr

r

pg

r

vvuvv

x

v

r

v

x

v

r

v

r

v

t

v

22

212

2

22

2

cos

cos

1g

p

r

concluímos que

)(01

111

xfff

r

)(1 xfsenrgp

22

11cos

1 f

rg

p

r

Q. M. L - direção x

Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio

de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão

constante

Relembrando que a tensão cisalhante é

)()(

)()()()(

54

5403

2

2

22

21

zero

x

u

zero

r

u

zero

x

u

zero

r

u

vzero

r

u

zero

t

u

r

ur

rr

x

puvv

)()( '1

1

xfrg

x

p

r

ur

rr

r

u

r

r

r

)(1

23

senrgpp ref

A variaçao da pressão é só

hidrostática

Integrando esta equação, podemos determinar o

campo de velocidade e tensão cisalhante

Relembrando que a

tensão cisalhante é r

u

r

r

r

)(1

r

CrC

rr 1

1

2

22

r

Cr

r

u

1

2

21

2

4Cr

Cru ln

24

2) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + C2 C2 =-(K/ ) R2/4


1) r= 0 ; u e finitos (simetria; / r =0) C1 =0

22

14 R

rRKu

25

O perfil de velocidade é

2

22

14 R

rRu

ou

2

22

14 R

rR

x

pu

note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro

4)0(

2

maxmaxR

x

puruu

2

2

1R

ruu max

u R

r

x

u

26

Vazão:

TATTm AduAuQ

R

rdruQ0

2

2max

2

42

max242

2 Ru

R

RRuQ

2RAT 2

maxuum

328

22 D

x

pR

x

pum

O perfil de tensão cisalhante é : 2

r

x

p

Se 0

x

pentão < 0

n

u

R

r

x

u

27

Na parede 2

)(R

x

pRr

tensão na parede 42

)(D

x

pR

x

pRrs

O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu

Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222

onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4

Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps

o fator de atrito também pode ser escrito como 22

2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

Na parede 2

)(R

x

pRr


)(D

x

pR

x

pRrs


Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222


Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps


2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

Na parede 2

)(R

x

pRr


)(D

x

pR

x

pRrs


Du

u

Dx

p

fm

m

m

m

64

2

1

32

2

1 222


Re

64f ;

DumRe

Note que como 4

D

x

ps


2

1

4

2

1m

s

m uu

Dx

p

f

28

O relação 4

D

x

ps

também poderia ter sido obtida através de um balanço de

forças no seguinte volume de controle

0xF 0

dxmPsTAdx

x

ppTAp

4

hD

x

p

mP

TA

x

ps

Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e

turbulento

p+ dxx

p

R

r

x

p s

dx

29

Exemplo : Escoamento para cima em um duto anular vertical

Raio externo: R, raio interno; k R

Comprimento: L

Hipóteses:




4. 2-D (simetria angular) v / = 0

5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0

6. Escoamento vertical para cima, gravidade vertical

7. p constante. Escoamento para cima, devido a

um diferencial de pressão imposto p = po - pL

8. laminar

Já vimos que com as hipóteses acima

29

xeruV

)(

Eq. de quant. de movimento na direção x

][][

)()()()()()( 54

5403

2

2

22

21

zero

x

u

zero

r

u

zero

x

u

zero

r

u

vzero

r

u

zero

t

u

r

ur

rrg

x

puvv

g

x

3030

Kg

x

p

r

r

r

1A equação pode ser rescrita como onde

Podemos definir uma pressão modificada que incorpora a pressão hidrostática

Kgx

p

x

PxgpP

r

u

A tensão e a velocidade podem ser obtidos integrando como no exemplo anterior

21

21

42Cr

CrKu

r

CrK ln;


1) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + (C1 / ) lnR + C2 C2 =-(K/ ) R2/4 - (C1 / ) lnR

R

rC

R

rRKu ln

122

14

L

PPg

L

ppK LoLo

2) r=k R ; u=0 0=(-K R2 /4 ) [1- k2] + (C1 / ) ln (k) C1 / =(K R2 /4 ) [1- k2] /ln (k)

R

r

k

k

R

r

L

RPPu Lo

lnln

)()( 2221

14

3131

A velocidade máxima ocorre onde u / r = 0 (=0)

A vazão volumétrica Q e velocidade média são

)ln(

)(*

)ln(

)(*

k

kRr

k

kKRConde

K

Cr

r

CrK

2

1

4

120

2

222

111

)ln(

)(ln

)ln(

)()(max

k

k

k

k

L

RPPu Lo

2

11

2

11

4

222

)ln(

)()(

)(

k

kk

L

RPPdrruddrruAuQ Lo

R

kR

R

kRtm

224

42

0

11

82

)ln(

)(

)(

)()()(

k

k

k

k

L

RPPukRddrrA Lo

m

R

kRt

2

2

4222

2

0

1

1

1

81

A velocidade máxima é deslocada para a parede interna, pois como a área

interna é menor a derivada é maior

A força do fluido nas superfícies

tLotLoRrkRrx ALgppAPPLRLRkF ])[()( 22

A força de pressão é contrabalanceada pela força viscosa e gravitacional

32

Exemplo: Deseja-se bombear glicerina a 20 C [=1000 Kg/(m3),

=1,4 Kg/(ms)] em um tubo anular horizontal. O diâmetro interno é 1 in e o

externo de 2 in. A tubo possui 2 m de comprimento. Deseja-se uma vazão

de 0,15 m3/s. Qual a potência de bombeamento necessária?

)/ln(

)()(

)(

k

kk

L

RPPQ Lo

1

11

8

224

4

QPuAPuFPot mtm

122

4

4 1

11

8

)/ln(

)()()(

k

kk

R

LQPPP Lo

kWk

kk

R

LQPot 191

2501501

1

025402

2418150

1

11

8

2244

21

224

4

2

)ln(/),(),(),(

,,

)/ln(

)()(

Rin=k Rex k=0,5

hDumRe

smkR

Q

A

Qu

tm

/,)(

7961 22

)()(

)(kR

kR

kR

P

AD

m

th

12

12

144 22

laminar1790

hDum

Re

33

Exemplo : Viscosímetro de Couette - Escoamento laminar

permanente entre dois cilindros

Raio externo: R, raio interno; k R

Comprimento: L

Torque medido: THipóteses:




4. Escoamento puramente tangencial v = u (r ) e

33

g

5. Gravidade na vertical: g = - g ez

6. Não há variações na direção

angular: p = p (r, z )

3434

Equação de continuidade

0

zr u

zu

rur

rrt

Com as hipóteses apresentadas, todos os termos são nulos e a equação de

continuidade é identicamente satisfeita

Equação de quantidade de movimento linear

Direção radial

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

r

pgρ

r

uuuuρ

θ

2z

u

θr

u

2

rr

r

2θ

z

uzθr

uθr

urt

u

2r

2

22r

2

rrrr

r

p

r

uρ

2θ

Direção axial

2z

2

22z

2

zzzz

z

u

θr

uz

zz

uzθr

uθr

urt

u

r

ur

rr

1μ

z

pgρuuuρ

z

pρg

0

35


Direção angular

θ

u

r

2

r

u

r

ur

rr

1μ

θr

pgρ

r

uuuuuρ

r

2z

u

θr

u

2

θθ

θθr

z

uzθr

uθr

urt

u

2θ

2

22θ

2

θθθθ

ou

zrr

rr

1

θr

pgρ

r

uuuuuρ

zθθr

θθr

z

uzθr

uθr

urt

u θθθθ

122

02

2

θrrrr

1

2r

C1θr

2

1

r

C

r

u

rr

r

u

rr

u

r

u

r

u rθr

22

1

3

1

2C

r

C

r

u

r

C

r

u

r

rCr

Cu 2

1

2

A tensão em coordenadas cilindricas

36

r

Rk

Rk

r

k

Rku o

21

O torque T é 2212

1 4222 )()( kRLCLCLrr

CrLrrFrT r

Note que o torque em qualquer posição independente do raio


(1) r=kR, u =

(2) r=R , u = o R

221 2 )(kRCC

rCr

Cu 2

1

2

)/(2

2 1 kC o

])(

[r

kRrCu

2

2

O torque T para girar o cilindro externo é

2

2

1

4

k

kRLT o

)(

37

R

r

r

R

kk

Rku i

/1

Para o caso de cilindro externo estacionário, enquanto o cilindro interno

gira com velocidade angular i, a distribuição de velocidade é

As soluções apresentadas são válidas somente para pequenas velocidades

angulares. Para grandes velocidades, as forças inerciais se tornam importantes e o

escoamento deixa de ser puramente tangencial, e vórtices toroidais aparecem

Vórtices de Taylor

Linhas de corrente: hélices (b)

Puramente periódico periódico

tangencial simples duplo

Vórtices de Taylor

filme

Filmes/Filmes_permanente/taylor3.mov



38

O diagrama abaixo ilustra regiões correspondentes a diferentes regimes

de escoamento. A validade das hipóteses iniciais devem ser sempre

verificadas, freqüentemente experimentalmente.

39

Com essas hipóteses, vimos que

Exemplo : Formato da superfície do líquido em rotação

Hipóteses:








r

p

r

uρ

2θ

z

pρg

0

rCr

Cu

r

Cr

rr

1θrθr 2

1

2

12

2 20

ru


(1) r=0, u e r finito

(2) r=R , u = R

C1 =0

C2 =

A única solução possível de

regime permanente é o

movimento de corpo rígido. Note

que = 0 independente se o

fluido é Newtoniano ou não.

40

Sobre a superfície, a pressão é igual a pressão atmosférica, o que

permite determinar zsup, i.e. forma da superfície,

Condição de contorno: z=zo, r=0 p=patm

Integrando podemos obter a distribuição de pressão

gρz

p

rρr

p

2

)( oatm zzgr

ρpp

2

22

g

rzz o

2

22

sup

Czgr

ρp

2

22

41

Com essas hipóteses, as equações de quantidade de movimento na direção radial

e axial e angular não se modificam para um fluido não newtoniano e como vimos

são

Exemplo : Viscosímetro de Couette com fluido Lei de

PotênciaHipóteses:

1. Fluido Lei de Potência:

2. Propriedades constantes (cte)






r

p

r

uρ

2θ

z

pρg

0 02

2

θrrrr

1

r

u

rr

r

u

rrm

r

u

rr

n

θr

1

A tensão de um fluido power-law em coordenadas cilindricas é

1 nm

n

θrr

u

rrm

A equação de quantiddade de movimento na

direção angular pode ser rescrita como02

n

r

u

rrmr

dr

d

212

r

C

r

u

rrCte

r

u

rrmr

nn

integrando

21

1

2

2CC

n

rru

nn

//

/


1) r=kR, u = nn

Cn

kRC /

/

/

)( 11

2

22

n

CrkRru

nnn

/)(

///

2

1122

n

nn

n

Cn

kRC

n

rru /

//

/

/

)(

/

11

21

1

2

22

nn

nn

r

C

r

C

rr

u

r /)(

//

2

11

1

211

43

n

n

ok

rkR

ru/

/)/(

2

2

1

1

n

n

o

n

k

kR

n

C

/

//)(

/ 2

211

12

Torque para manter cilindro externo girando

Condição de contorno

(2) r=R , u = o R

RLRr

u

rrmLRRT

Rr

n

Rrr )()(

22

n

nok

nLkRmT

/

/)(

2

2

1

22

n

CrkRru

nnn

/)(

///

2

1122

n

C

r

kR

kR

ru

nn

n /)(

//

/ 21

11

2

2

n

Ck

kR

RR

nn

no/)(

//

/ 21

112

2

LCmLRRT Rrr 22 1)(

21

r

C

r

u

rr

n

Mas vimos que

Equação de continuidade em coordenadas esféricas é satisfeita com as hipóteses

listadas:

Exemplo : Escoamento ao redor de uma esfera com

baixa rotaçãoHipóteses:

1. Fluido Newtoniano:



4. Escoamento puramente azimutal v = uf (r, ) ef



azimutal: p = p (r,)

esinecoseeeg ggggg rrrz

Vetor aceleração da gravidade:

01

11 2

2

)(sin

)(sinsin

)(

f

f

ur

ur

urrrt

r

g

cosrgpP Pressão modificada:

44rgr

p

r

P

g

r

p

r

P


Direção radial

f

f

f

f

f

f

sinsin

)(sin

sin

sin

sinsin

u

θ

urθr

u

θr

rr

22θ

r

u

θr

uθr

urt

u

r

u

rμ

r

ur

rr

1

r

pgρ

r

uuuuuρ

r

rrrr

22

2

22

1

2

2

21

0

2

r

u

r

P f

Direção

f

f

f

f

f

f

f

u

θ

u

rr

u

θr

u

θr

r

2r

r

u

θr

uθr

urt

u

ru

rμ

r

ur

rr

1

r

pgρ

r

uuuuuuρ

sin

cot

sin

cot

sinsin

)(sin

sin

222

2

2

2

22

1

2

2

1

0

2

r

u

r

P f

fcot

45

Baixa rotação

4646


Direção f

f

f

f

ff

ff

f

f

f

ffff

f

f

uu

rθr

u

θr

r

r

u

θr

u

θr

u

rt

u

ru

rμ

r

ur

rr

1

r

pgρ

r

uuuuuuuρ

cotsin

sin

cot

sinsin

)(sin

sin

2

2

2

2

22

1

2

2

1

012

2

θr

u

θrr

ur

rr

1

f f

sin

)(sin

Distribuição de pressão: P = cte .

Condição de contorno: r ∞ p po então P=po p = po – g r cos

Distribuição hidrostática de pressão

47


(1) r=R, uf= R sin

(2) r ∞ uf 0

01

2

12

2

θ

u

θrr

ur

rr

1

f f

)(sin

sin

Hipótese: uf = f (r) g()

Para satisfazer a condição de contorno:

uf = f (r) sin()

então 01 2

2

θd

d

θd

df

rd

fdr

rd

d )(sin

sinsin

ou022

f

rd

fdr

rd

dEsta é uma equação

equidimensional, cuja solução

é do tipo rn

2102

1

212

1122

nnnn

rnnrndr

drnr

rd

fdrrf nnnn

;

)(;

Distribuição de velocidade:

4848

então

f sin

2

r

RRu

f sin

2

212

21

r

CrCu

r

CrCf


(1) r ∞ uf 0 C1=0 (2) r=R, uf= R sin C2= R3

Torque para manter a esfera girando:

Força infiniesimal na superfície da esfera:

FeT dR r

RrrRrr pdAdAd

τ)I(eσeF

Os componentes não nulos de :

ff

f

sinsin u

θrμ

r

u

rrr rμf

ff

)eee(e)eee(eτ rrr ffffff

f

fff

fesineeτe 3

r

u

rRrrRrr rμ

4949

então

Componente axial do torque: Tz = d T • ez ; ez= er cos – e sin

f

2

2

0

34

0

333 ddRdTT zz

/

sin

ff

esineeeeT

e

dARdARPRd

Rr

rr

zero

rr 3

f ddRRdARTd z sinsinsin222 33

38 RTz

Este é o torque que o fluido exerce sobre a superfície da esfera. Para manter a

esfera girando com velocidade angular , é necessário fornecer ao eixo, um

torque de igual valor da direção oposta.

Validade das hipóteses iniciais: A

medida que cresce, aparece um

escoamento secundário, pois a força de

inércia deixa de ser desprezível. O

líquido é ”puxado” em direção aos

pólos da esfera e empurrado para fora

no equador.

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