SIMULAC˘AO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTOS...
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SIMULAC ¸ ˜ AO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTOS TRANSIENTES COM CAVITAC ¸ ˜ AO Elias do Carmo Dias Projeto de Gradua¸c˜ao apresentado ao Curso de Engenharia Mecˆanica da Escola Polit´ ecnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´arios ` aobten¸c˜ ao do t´ ıtulo de Engenheiro. Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande Rio de Janeiro Fevereiro de 2020
Transcript of SIMULAC˘AO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTOS...
SIMULACAO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTOS TRANSIENTES COM
CAVITACAO
Elias do Carmo Dias
Projeto de Graduacao apresentado ao Curso
de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessarios a obtencao do
tıtulo de Engenheiro.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2020
Dias, Elias do Carmo
SIMULACAO COMPUTACIONAL DE
ESCOAMENTOS TRANSIENTES COM CAVITACAO/
Elias do Carmo Dias. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola
Politecnica, 2020.
XIII, 41 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/
Curso de Engenharia Mecanica, 2020.
Referencias Bibliograficas: p. 38 – 41.
1. Introducao. 2. Revisao Bibliografica. 3.
Modelo Matematico. 4. Metodo de Solucao. 5.
Resultados e Discussoes. 6. Conclusoes e Sugestoes.
7. Referencias Bibliograficas. I. Rangel Barreto
Orlande, Helcio. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia Mecanica. III.
SIMULACAO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTOS
TRANSIENTES COM CAVITACAO.
iii
Agradecimentos
Agradeco a Deus pelo dom da vida eterna, se a Ele for fiel. Sou grato tambem ao
Senhor, pela forca e condicao na realizacao de todas as etapas deste trabalho.
Agradeco aos meus pais, Ubiracy Tadeu Soares Dias e Maristela do Carmo Dias,
por me ensinar o caminho de Deus, pela educacao e pelo apoio em todos os momentos
da minha vida.
Agradeco a minha esposa, Maiely Marcia Alves Dias, pela paciencia, pelo apoio
e pelo incetivo em todo processo da minha vida academica.
Agradeco a minha irma, Ingrid, aos meus irmaos, Peterson, Emerson e Daniel e
a todos os demais membros da minha famılia que nunca deixaram de acreditar no
sucesso da minha trajetoria.
Agradeco ao professor, Helcio Orlande, pela paciencia, pela orientacao e pelos
conhecimentos transmitidos em toda elaboracao deste projeto.
Agradeco a toda equipe do Laboratorio de Transmissao e Tecnologia do Calor
(LTTC) pela amizade e pelo auxılio durante este trabalho. Sobretudo ao Raphael
Carvalho, Felipe Nunes e Bruno Jaccoud.
iv
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico
SIMULACAO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTOS TRANSIENTES COM
CAVITACAO
Elias do Carmo Dias
Fevereiro/2020
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Programa: Engenharia Mecanica
O estudo do fenomeno da cavitacao possui diversas aplicacoes praticas. Logo
existe grande interesse neste tema devido a sua grande importancia economica. No
presente trabalho e realizada a simulacao computacional de um modelo unidimen-
sional com mistura homogenea de escoamentos transientes com cavitacao em tu-
bulacoes. Um metodo numerico via volumes finitos com um esquema monotono e
de primeira ordem, chamado FORCE, e utilizado para obter a solucao numerica. Os
resultados obtidos sao comparados com dados experimentais e computacionais pre-
sentes na literatura, a fim de verificar e validar o codigo computacional desenvolvido
neste trabalho.
Palavras-chave: Cavitacao, Mistura Homogenea, Esquema FORCE.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Mechanical Engineer
COMPUTATIONAL SIMULATION OF TRANSIENT FLOWS WITH
CAVITATION
Elias do Carmo Dias
February/2020
Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande
Department: Mechanical Engineering
Cavitation has several practical applications. Hence, there is great interest in this
subject due to its economical importance. In this work, it is performed the numer-
ical simulation of a one-dimensional transient flow with cavitation in pipelines. A
numerical method based on finite volumes, with a monotone and first-order scheme,
called FORCE, is used. Numerical results available in the literature are used for the
verification of the numerical code developed in this study.
Keywords: Cavitation, Homogeneous Mixture, FORCE Scheme.
vi
Sumario
Lista de Figuras ix
Lista de Tabelas x
Lista de Sımbolos xi
1 Introducao 1
2 Revisao Bibliografica 4
3 Modelo Matematico 9
3.1 Equacao da Continuidade e Equacao da Quantidade de Movimento
Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Equacao de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Equacao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Metodo de Solucao 16
4.1 Natureza do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Fracionamento das Equacoes Nao Homogeneas . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Discretizacao Por Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Esquemas Monotonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Metodo de Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.6 Volumes Fictıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.7 Criterio de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.8 Calculo da Pressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Resultados e Discussoes 24
5.1 Caso Teste 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
vii
5.2 Caso Teste 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Conclusoes e Sugestoes 35
7 Referencias Bibliograficas 38
viii
Lista de Figuras
2.1 Pulso de Pressao Oriundo da Cavitacao (Adaptado de SIMPSON, 1986) 6
4.1 Discretizacao por Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Volumes Finitos e Fictıcios (LUCUMI, 2015) . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1 Pressao na valvula - Convergencia de Malha caso Teste 1 - Esquema
FORCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Pressao na valvula - Convergencia de Malha Caso Teste 1 - Esquema
FORCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Pressao na Valvula - Caso Teste 1 (SUMAM et al. 2009) - MacCor-
mack e Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Pressao na Valvula - Caso Teste 1 - Esquema FORCE e Metodo
MacCormack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5 Fracao Volumetrica na Posicao da Valvula - Caso Teste 1 . . . . . . . 30
5.6 Pressao na Valvula - Convergencia de Malha - Caso Teste 2 - Esquema
FORCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.7 Pressao na Valvula - Convergencia de Malha - Caso Teste 2 - Esquema
FORCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.8 Pressao na valvula - Caso Teste 2 (SUMAM et al., 2009) - MacCor-
mack e Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.9 Pressao na Valvula - Caso Teste 2 - Esquema FORCE e Metodo
MacCormack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ix
Lista de Tabelas
5.1 Dados para o Caso Teste 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Pressao Maxima - Caso Teste 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Picos de Cavitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Dados para o Caso Teste 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5 Pressao Maxima - Caso Teste 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
x
Lista de Sımbolos
am Velocidade de onda da mistura
Cc Constante empırica para condensacao
Ce Constante empırica para evaporacao
Ccfl Coeficiente Courant-Friedrichs-Lewy
D Diametro do duto
e Espessura da parede
E Modulo de Young
f Fator de friccao de Darcy-Wisbach
fv Fracao massica de vapor
F Vetor de fluxo
FFORCE Fluxo FORCE
FLF Fluxo de Lax-Friedrichs
FRI Fluxo de Richtmyer
g Aceleracao da gravidade
i Indice espacial de discretizacao
J Matriz Jacobiana
k Energia cinetica turbulenta
Kl Modulo de elasticidade do lıquido
Km Modulo de elasticidade da mistura
n Expoente politropico
N Numero de volumes
p Pressao
pv Pressao de vapor
po Pressao inicial
xi
rb Raio da bolha
R Constante dos gases
Rc Taxa de geracao de lıquido
Re Taxa de geracao de vapor
S Vetor termo fonte
S() Operador EDO
Smax Velocidade da onda mais rapida
t Tempo
T Temperatura
u Velocidade do escoamento
U Vetor das variaveis de estado
vl Viscosidade cinematica
x Posicao Axial
Z() Operador EDP
αv Fracao volumetrica de vapor
∆L Distancia especıfica na tubulacao
∆t Passo de tempo
∆x Comprimento do volume
λ Autovalor
ρ Massa especıfica da mistura
ρl Massa especıfica do lıquido
ρlo Massa especıfica nas condicoes padrao
ρv Massa especıfica do vapor
σ Tensao Superficial
τo Tensao de cisalhamento na parede
xii
Capıtulo 1
Introducao
Quando o escoamento em uma tubulacao sofre mudancas repentinas de velocidade
e gerada uma onda de pressao que se propaga na velocidade do som. Tal fenomeno
e conhecido como golpe de arıete e dentre suas principais causas podemos citar a
parada de bombas, vazamentos e fechamento de valvulas (JENSEN et al., 2018).
Durante o escoamento transiente, quando a pressao atinge a pressao de saturacao
do gas dissolvido ou a pressao de vapor o escoamento passa de monofasico (lıquido)
para bifasico (lıquido-gas), a partir do aparecimento de bolhas. Este fenomeno e
conhecido como cavitacao (BERGANT et al., 2006).
Um dos parametros mais importantes durante a cavitacao e a fracao volumetrica
de vapor, que pode ser definida como a razao entre o volume de vapor e o volume
total da mistura (BERGANT et al., 2006). A fracao massica de vapor e definida
pela razao entre a massa de vapor e a massa total da mistura. A fracao volumetrica
de vapor pode ser relacionada com a fracao massica de vapor atraves da massa
especıfica da mistura e da massa especıfica do vapor (SINGHAL et al., 2002).
Segundo BERGANT et al. (1999), ha dois tipos de cavitacao, sendo a cavitacao de
gas e a cavitacao de vapor. A primeira envolve a liberacao de gas quando a pressao
esta abaixo da pressao de saturacao do gas dissolvido, mas nao atinge a pressao de
vapor. Ja a segunda ocorre quando a pressao no escoamento atinge a pressao de
vapor do lıquido, ocorrendo assim a evaporacao.
A cavitacao de vapor, tambem conhecida como quebra de coluna (column
separation), pode ser classificada de duas formas, de acordo com o valor da fracao
1
volumetrica de vapor. A cavitacao com cavidades localizadas e caracterizada
por um alto valor da fracao volumetrica de vapor enquanto a cavitacao de vapor
distribuıdo possui um baixo valor para este parametro e, nesse caso, as bolhas estao
distribuıdas podendo se estender por uma longa parte da tubulacao (BERGANT et
al., 1999).
O surgimento e colapso de bolhas no lıquido pode levar a ondas de pressao com
maior amplitude que as ondas provenientes do golpe de arıete. Tal fenomeno e um
problema de grande importancia sob o ponto de vista da engenharia, visto que pode
levar a diversos fatores indesejaveis tais como: carregamento assimetrico, vibracao,
ruıdo e em muitos casos danos irreparaveis a tubulacao (SUMAM et al., 2009).
Em alguns casos, consequencias mais extremas podem ocorrer, como no acidente
na estacao de Oigawa, Japao, onde houve a morte de tres trabalhadores (BONIN,
1960). A fim de evitar os problemas anteriormente descritos, ha uma grande
motivacao na criacao e aplicacao de modelos que descrevam a cavitacao transiente
e que sejam capazes de prever a intensidade dos picos de pressao durante o fenomeno.
A maior dificuldade na modelagem da cavitacao transiente esta na grande
variacao de massa especıfica associada a mudanca de fase. As correlacoes para
mudanca de fase tambem devem ter o mınimo de formulacao empırica, para que
seja possıvel simular diversas aplicacoes sem a necessidade de ajustar constantes e
funcoes (SINGHAL et al., 2002).
O modelo aplicado no presente trabalho considera a hipotese de cavitacao de
vapor distribuıdo onde, durante a cavitacao, as bolhas estao distribuıdas no lıquido
formando uma mistura homogenea. A cavitacao de gas nao e tratada neste trabalho.
Nesse projeto foi desenvolvido um codigo computacional, na linguagem C++,
com o objetivo de resolver numericamente a equacao de conservacao da massa e a
equacao da quantidade de movimento durante o transiente hidraulico, que por sua
vez foi gerado a partir de fechamento de uma valvula presente no final da tubulacao.
Como durante este evento a pressao atinge a pressao de vapor do lıquido, tornando
o escoamento bifasico, e necessario a adicao de uma equacao de transporte, descrita
por (SINGHAL et al., 2002), capaz de descrever a vaporizacao e a condensacao.
A fim de completar o modelo e tornar possıvel a obtencao de todas as variaveis,
2
sao incorporadas a equacao de estado e uma equacao constitutiva (SUMAM et al.,
2009). Para resolver as equacoes governantes foi utilizado um metodo explicito de
volumes finitos com um esquema monotono e de primeira ordem chamado FORCE
(TORO, 2009).
A organizacao do trabalho e dada da seguinte forma: No Capıtulo 2, e realizada
uma revisao bibliografica sobre cavitacao; no Capıtulo 3, sao deduzidas as equacoes
presentes no modelo a partir das hipoteses consideradas; no Capıtulo 4, e explicado
em detalhes todo o metodo de solucao; no Capıtulo 5, sao apresentados os resultados
e estes sao comparados com dados experimentais e simulados presentes na literatura;
no Capıtulo 6, sao apresentadas as conclusoes e sugestoes para trabalhos futuros; e
no Capıtulo 7, sao listadas as referencias bibliograficas.
3
Capıtulo 2
Revisao Bibliografica
Neste capıtulo e realizada uma revisao bibliografica das referencias consultadas, que
sao pertinentes ao tema desenvolvido. Dois tipos de cavitacao podem ocorrer em
tubulacoes, a cavitacao de vapor ocorre quando o lıquido vaporiza se tornando vapor
e a cavitacao de gas que ocorre quando ha liberacao de gas (BERGANT et al., 1999).
A partir do seculo XX, diversos esforcos para desenvolver modelos que sejam capazes
de descrever a cavitacao foram feitos. Nesta revisao serao apresentados alguns deles.
WYLIE (1984), utilizou um modelo discreto para simular cavitacao de gas em
situacoes em que ha grande quantidade de gas liberado na tubulacao. O modelo
discreto foi amplamente utilizado ao longo do seculo XX para modelagem de
cavitacao. Tal modelo considera que o gas esta acumulado em secoes isoladas e as
cavidades de gas se expandem e se contraem de acordo com a lei dos gases perfeitos.
Lıquido puro e considerado entre as secoes de gas. Segundo o autor, este modelo e
viavel desde que o volume de gas nas cavidades discretas seja razoavelmente menor
que o volume de lıquido puro entre as secoes.
SIMPSON (1986) propos uma classificacao para os modelos que descrevem
quebra de coluna. Segundo ele ha quatro grandes grupos:
• Modelos com cavidades de vapor discreta: Nesse tipo de abordagem, o vapor
fica preso em secoes especıficas e nunca distribuıdo. Entre as cavidades sempre e
considerado lıquido puro.
• Modelos com escoamento de agua rasa: Esse grupo descreve a regiao de ca-
vitacao usando a teoria do escoamento de agua rasa. A regiao do golpe de arıete e
4
descrita pelo metodo das caracterısticas.
• Cavitacao de vapor ou Modelo de Bolhas: Nesse caso a velocidade e a fracao de
vazio sao computados ao longo da tubulacao. Ha uma distincao entre as regioes com
apenas golpe de arıete e as regioes com cavitacao de vapor, que podem se estender
por parte do duto.
• Modelo Combinado: Possui cavitacao de vapor distribuıdo, mas tambem leva
em conta a formacao de cavidades discretas na tubulacao.
SIMPSON (1986) analisou o fenomeno de quebra de coluna para dutos in-
clinados aplicando o modelo combinado. O objetivo deste trabalho foi entender
melhor a ocorrencia de pequenos pulsos de pressao associados a cavitacao. A
partir da analise dos resultados foi possıvel concluir que o modelo descreve melhor
situacoes em que a velocidade inicial e mais baixa. Tambem foi possıvel observar
que a inclinacao do duto e um fator importante na formacao de cavidades e que o
aumento da velocidade inicial leva a um aumento da largura e a uma diminuicao
da magnitude do pulso de pressao proveniente da cavitacao.
Durante a cavitacao ha formacao de cavidades de vapor e o colapso dessas cavi-
dades podem levar a picos de pressao, que sao chamados de ”pulsos de pressao com
curta duracao”. O pulso de pressao com curta duracao pode ter magnitude maior
que o pico do golpe de arıete, calculado pela equacao de Joukowsky (SIMPSON,
1986). Um exemplo para pulsos de pressao pode ser observado na figura (2.1).
SIMPSON et al. (1991), investigaram a duracao, forma e magnitude de pulsos
de pressao utilizando o modelo discreto. Os autores conseguiram estimar a duracao
maxima dos pulsos.
No trabalho de BERGANT et al. (1992), os autores propuseram um modelo
mais geral, chamado de modelo de interface (GIVCM), capaz de descrever as
interacoes entre o vapor distribuıdo, cavidades intermediarias e cavidades na
fronteira. Tambem foi apresentado uma formulacao alternativa para o tratamento
de choques. O metodo das caracterısticas foi usado como solucao numerica.
Os resultados do modelo de interface estao mais proximos do experimental em
comparacao com o modelo discreto.
BERGANT et al. (1999), realizaram uma comparacao entre o modelo de
5
Figura 2.1: Pulso de Pressao Oriundo da Cavitacao (Adaptado de SIMPSON, 1986)
cavidade de vapor discreta (DVCM), o modelo de cavidade de gas discreta (DGCM)
e o modelo generalizado para cavitacao de vapor (GIVCM). Nesse trabalho foi
tambem proposta uma nova forma para classificar a cavitacao, sendo modelos
ativos aqueles em que o pico de pressao excede a pressao calculada pela equacao
de Joukowsky e modelos passivos aqueles em que a pressao nao atinge a pressao
prevista na equacao de Joukowsky.
SHU (2003), fez uma crıtica aos modelos anteriores utilizados para quebra de
coluna e propos um novo modelo chamado de cavitacao de vapor com equilıbrio
homogeneo bifasico. No modelo proposto foi adicionado um termo de atrito
que depende da frequencia. Para solucao numerica foi utilizado o metodo das
caracterısticas.
6
NOVAK (2005), analisou a cavitacao de gas a partir de experimentos. A autora
verificou presenca de cavitacao de gas no experimento em situacoes em que os
modelos teoricos nao indicariam cavitacao. Dentre as principais conclusoes deste
trabalho podemos citar: A suscetibilidade a cavitacao e maior quando ha uma
maior concentracao inicial de gas dissolvido, maiores temperaturas levam a bolhas
maiores e diminuem a eficiencia da bomba e o pH da agua tem grande influencia
sobre a cavitacao de gas.
SUMAM et al. (2009), propuseram um modelo baseado na equacao de con-
servacao da massa, equacao da quantidade de movimento, equacao de transporte
e uma equacao constitutiva para simular cavitacao de vapor distribuıdo. A
comparacao com dados experimentais mostraram resultados satisfatorios para os
primeiros picos de pressao.
SADAFI et al. (2012), utilizaram o modelo de interface, conhecido como
GIVCM, para analisar numericamente a cavitacao de vapor devido ao fechamento
de uma valvula no final da tubulacao. Os autores compararam os resultados com
dados experimentais e verificaram que o modelo GIVCM e consistente, levando a
resultados mais proximos dos valores experimentais que o modelo DVCM.
SOARES et al. (2012) utilizaram o modelo discreto para cavitacao transiente
em tubulacao de polietileno. Os resultados mostraram que o modelo DGCM leva a
valores mais satisfatorios que o modelo DVCM.
PEZZINGA et al. (2014) propuseram um modelo 2D para a cavitacao de
vapor distribuıdo, baseado na equacao de conservacao da massa e equacao da
quantidade de movimento. A comparacao entre o modelo 1D, o modelo 2D e os
dados experimentais mostraram que o modelo 2D descreve melhor a dissipacao de
energia.
SOARES et al. (2015) realizaram uma comparacao entre o modelo de cavidade
de gas discreta (DGCM) e o modelo de cavidade de vapor discreta (DVCM) em
uma tubulacao de cobre. A solucao utilizando o DGCM leva a melhores resultados.
CARVALHO (2018) realizou um estudo numerico do golpe de arıete a partir da
equacao de conservacao da massa e equacao da quantidade de movimento. O autor
7
utilizou o esquema WAF-TVD como metodo de solucao. O esquema WAF-TVD
utiliza uma discretizacao feita por volumes finitos com fluxo medio ponderado
e diminuicao da variacao total. Os resultados obtidos foram comparados com
resultados presentes na literatura.
O presente trabalho utilizou um modelo baseado na abordagem de SUMAM et
al. (2009), em que a cavitacao e modelada a partir da equacao de conservacao da
massa, equacao da quantidade de movimento, equacao de transporte e uma equacao
constitutiva. SUMAM et al. (2009), utilizaram o metodo MacCormack para obter a
solucao numerica enquanto que neste trabalho a solucao numerica foi obtida atraves
do esquema FORCE.
8
Capıtulo 3
Modelo Matematico
Neste capıtulo serao apresentadas as equacoes governantes do modelo, bem como
suas respectivas deducoes. O problema fısico proposto envolve um escoamento
unidimensional em uma tubulacao reta. Agua e o unico fluido inicialmente presente
e encontra-se no estado lıquido. O escoamento transiente e gerado a partir do
fechamento de uma valvula localizada da secao final do duto. Na outra extremidade,
a pressao e mantida constante. Inicialmente, a pressao ao longo do duto pode ser
obtida atraves do calculo da perda de carga por atrito em regime permanente. Du-
rante o transiente hidraulico, se a pressao no escoamento atingir a pressao de vapor
da agua, ocorrera o surgimento de bolhas de vapor, caracterizando assim a cavitacao.
SUMAM et al. (2009), estabeleceram as hipoteses abaixo para que o modelo
possa ser aplicado:
• Escoamento unidimensional.
• As bolhas de vapor sao pequenas, esfericas e estao uniformemente distribuıdas.
Esta hipotese e valida em transientes com pequena duracao, quando as bolhas sao
pequenas e nao se agrupam formando cavidades.
• A diferenca de pressao ao longo da bolha, devido a tensao superficial, pode
ser desprezada.
• As bolhas de vapor e o lıquido possuem a mesma velocidade, indicando a
ausencia de deslizamento entre as duas fases. Podemos assim considerar mistura
homogenea.
9
• As bolhas de vapor seguem uma compressao politropica, em que o coeficiente
politropico indicado por n esta entre 1,2 e 1,3.
3.1 Equacao da Continuidade e Equacao da
Quantidade de Movimento Linear
Para uma mistura homogenea, as equacoes unidimensionais de conservacao da massa
e da quantidade de movimento linear, na forma conservativa, sao dadas respectiva-
mente por (WYLIE et al., 1978):
∂ρ
∂t+∂(ρu)
∂x= 0 (3.1)
∂(ρu)
∂t+∂(p+ ρu|u|)
∂x+ ρgsenθ +
4τoD
= 0 (3.2)
onde ρ, p e u sao a massa especıfica, pressao absoluta e velocidade da mistura; D e
o diametro interno; x e a distancia na direcao do escoamento; t e o tempo e τo e a
tensao de cisalhamento na parede.
Para escoamento transientes, a tensao de cisalhamento τo sera primeiramente
considerada a mesma como se a velocidade fosse constante. Portanto em termos do
fator de friccao de Darcy-Weisbach f temos (WYLIE et al., 1978):
τo =ρf |u|u
8(3.3)
Substituindo (3.3) em (3.2), chega-se na seguinte equacao para a quantidade de
movimento linear:
∂(ρu)
∂t+∂(p+ ρu|u|)
∂x+ ρgsenθ +
ρf |u|u2D
= 0 (3.4)
3.2 Equacao de Transporte
Na abordagem apresentada em (SINGHAL et al., 2002), a massa especıfica do fluido
e funcao da fracao massica de vapor, que e contabilizada resolvendo a equacao de
10
transporte acoplada com as equacoes da continuidade e da quantidade de movimento
linear. A relacao entre a massa especıfica ρ e a fracao massica de vapor fv e dada
por (SINGHAL et al., 2002)
1
ρ=fvρv
+1− fvρl
(3.5)
onde ρv e a massa especıfica do vapor e ρl a massa especıfica do lıquido.
A fracao volumetrica de vapor αv e calculada da seguinte forma (SINGHAL et
al., 2002):
αv = fvρ
ρv(3.6)
Sendo assim, a equacao de transporte que governa a fracao massica de vapor
pode ser escrita como (SINGHAL et al., 2002):
∂(ρfv)
∂t+∂(ρufv)
∂x= Re −Rc (3.7)
onde Re denota a taxa de geracao de vapor (cavitacao) e Rc a taxa de colapso
de bolhas de vapor (condensacao).
Em (SINGHAL et al., 2002) sao descritas tambem as relacoes para Re e Rc,
onde o objetivo principal e representar de forma correta o crescimento e colapso das
bolhas. Nao havendo velocidade de escorregamento entre as fases, a equacao para
dinamica de bolhas pode ser obtida da equacao de Rayleigh-Plesset generalizada,
que introduz este efeito no modelo de cavitacao. Desconsiderando o termo viscoso,
termo de tensao superficial e considerando que a pressao da bolha pb e igual a
pressao de saturacao de vapor pv, a equacao de Rayleigh-Plesset pode ser escrita
como (SINGHAL et al., 2002)
rbd2rbdt2
+3
2
(drbdt
)2
=
(pv − pρl
)− 4vl
rb
drbdt− 2σ
ρlrb(3.8)
onde rb e o raio da bolha, vl a viscosidade cinematica do lıquido e σ a tensao
superficial. A equacao (3.8) pode ser entendida como sendo uma propagacao de
11
vazio e fornece uma abordagem fısica para introduzir o efeito da dinamica de bolhas
no modelo de cavitacao (SINGHAL et al., 2002).
Para obter uma expressao para a taxa de mudanca de fase R, que e igual a Re-Rc
em (3.7), escreve-se as seguintes equacoes de continuidade para a fase lıquida e de
gas respectivamente:
∂
∂t[(1− αv) ρl] +
∂
∂x[(1− αv) ρlu] = −R (3.9)
∂
∂t(αvρv) +
∂
∂x(αvρvu) = R (3.10)
Combinando as equacoes (3.9), (3.10) e (3.1) chega-se em uma equacao que
relaciona a massa especıfica da mistura e a fracao volumetrica de vapor, dada por
dρ
dt= −(ρl − ρv)
dαv
dt(3.11)
A fracao volumetrica de vapor αv pode ser relacionada com o expoente politropico
n e com o raio da bolha rb como
αv = n4
3πr3
b (3.12)
Substituindo a equacao (3.12) em (3.11), combinando as equacoes (3.8), (3.9)
e (3.10), desconsiderando o termo de segunda ordem resultante da combinacao e
reescrevendo em funcao do raio da bolha, chega-se na seguinte expressao para a
taxa de mudanca de fase R
R =3αv
rb
ρvρlρ
[2
3
pv − pρl
] 12
(3.13)
Atraves de simplificacoes e argumentos limitantes apresentados em (SINGHAL
et al., 2002), as expressoes para a taxa de evaporacao e condensacao em termos da
fracao massica de vapor podem ser escritas como
Re = Ce
√k
σρlρv
[2
3
pv − pρl
] 12
(1− fv) (3.14)
12
Rc = Cc
√k
σρlρl
[2
3
p− pvρl
] 12
fv (3.15)
onde k e a energia cinetica turbulenta, dada por√k = 0, 1(u) ; ρl e a massa
especıfica do lıquido, ρv e a massa especıfica do vapor, σ e a tensao superficial,
Ce e Cc sao constantes empıricas com valores recomendados de 0,02 e 0,01,
respectivamente e pv e a pressao de vapor. Como durante a cavitacao o colapso
de vapor acontece de forma muito rapida o valor de 0,01 para Cc nao e capaz de
representar a condensacao. Cc = 1 e um valor que melhor descreve o rapido colapso
das bolhas (SUMAM et al., 2009). Este valor foi utilizado neste trabalho.
Na forma vetorial, as equacoes (3.1), (3.4) e (3.7) podem ser escritas como
∂U
∂t+∂F(U)
∂x= S(U) (3.16)
onde
U =
ρ
ρu
ρfv
(3.17)
F(U) =
ρu
p+ ρu|u|
ρufv
(3.18)
e o termo fonte e dado por:
S(U) =
0
−fρ|u|u2D
− ρgsenθ
Re −Rc
(3.19)
Nas equacoes (3.16) a (3.19), U e o vetor das variaveis de estado, F e o vetor
que representa o fluxo de U e S e o vetor que representa o termo fonte. Nota-se que
F e S sao funcoes do vetor de variaveis de estado ou seja F = F(U) e S = S(U).
13
3.3 Equacao Constitutiva
A relacao constitutiva para a massa especıfica da mistura, que liga a pressao com
as outras variaveis dependentes, e dada por (SUMAM et al., 2009):
ρ = ρl(1− αv) + αvρv (3.20)
Em (COUTIER-DELGOSHA et al.,2005), a equacao dos gases perfeitos e utili-
zada para determinar a massa especıfica de vapor durante o processo de cavitacao,
ou seja,
ρv =p
RT(3.21)
onde R e a constante dos gases e T a temperatura absoluta.
Em (HADJ-TAIEB et al., 2000) e apresentada uma equacao para a massa es-
pecıfica de lıquido, dada por
ρl = ρlo e(p−po)
Kl (3.22)
onde po e a pressao inicial e Kl e o modulo de elasticidade do lıquido nas condicoes
padrao. A equacao (3.22) mostra uma relacao exponencial entre massa especıfica e
a pressao onde o valor e calculado a partir do valor nas condicoes padrao.
Em (LEE et al., 2002) sao definidas as seguintes expressoes para o modulo de
elasticidade efetivo da mistura, Km, e velocidade de onda da mistura lıquido-vapor,
am:
1
Km
=1
Kl
+αv
n+cD
Ee(3.23)
am =
√Km
ρ
onde c e um parametro que depende do tipo de suporte do duto e grau de liberdade
com que o mesmo pode se movimentar longitudinalmente, e e a espessura da parede
14
do duto, E o modulo Young do material presente na tubulacao e n o expoente
politropico do gas.
A partir da equacao da continuidade, equacao da quantidade de movimento
linear, equacao de transporte e da equacao constitutiva e possıvel obter uma solucao
numerica para o problema de cavitacao. As variaveis de maior interesse durante o
escoamento transiente sao a fracao volumetrica de vapor, velocidade do escoamento
e pressao. No proximo capıtulo e apresentado a abordagem numerica utilizada no
presente trabalho.
15
Capıtulo 4
Metodo de Solucao
4.1 Natureza do Problema
Um sistema de equacoes diferenciais parciais pode ser classificado como elıptico,
parabolico, hiperbolico ou misto (OZISIK et al., 2017). A fim de analisar a natureza
do problema proposto, o sistema de equacoes (3.16) pode ser escrito na forma quasi-
linear como (TORO, 2009):
∂U
∂t+
(∂F
∂U
)∂U
∂x= S(U) (4.1)
∂U
∂t+ J
∂U
∂x= S(U) (4.2)
onde J e a matriz Jacobiana do sistema, que e igual a
J ≡ ∂F
∂U=
∂F1
∂U1
∂F1
∂U2
∂F1
∂U3
∂F2
∂U1
∂F2
∂U2
∂F2
∂U3
∂F3
∂U1
∂F3
∂U2
∂F3
∂U3
(4.3)
Para as equacoes (3.17) e (3.18) obtem-se a seguinte matriz Jacobiana
J =∂F
∂U=
u 1 0
u|u| |u| 0
ufv fv u
(4.4)
16
cujos autovalores sao λ1 = 0, λ2 = u e λ3 = u + |u|. Nota-se que, para velocidades
positivas, os autovalores sao reais e distintos. Portanto, nesse caso, o sistema de
equacoes (3.16) e hiperbolico (TORO, 2009; OZISIK et al., 2017).
4.2 Fracionamento das Equacoes Nao Ho-
mogeneas
O sistema 3.16 possui um termo fonte, o que pode tornar a resolucao numerica
complicada. Para facilitar a solucao e possıvel dividir o sistema em dois; sendo
um homogeneo de equacoes diferenciais parciais (EDP) e um nao-homogeneo de
equacoes diferenciais ordinarias (EDO) (TORO, 2009; MADEIRA, 2011 e OZISIK
et al, 2017)
Cada sistema possui uma condicao inicial e o fracionamento e feito em cada passo
de tempo da seguinte forma. Seja
U = Un (4.5)
onde, Un e o vetor das variaveis de estado no instante tn = n∆t. O vetor Un evolui
para Un+1 quando o tempo passa de tn para tn+1, realizando assim um passo de
tempo com valor ∆t = tn+1 − tn.
Realizando o fracionamento de primeira ordem obtemos (TORO, 2009 e OZISIK
et al, 2017):
∂U∂t
+ ∂F(U)∂x
= 0
U = Un
=⇒ Un+1
(4.6)
dUdt
= S(U)
U = Un+1
=⇒ Un+1 (4.7)
A solucao do sistema (4.6) e a condicao inicial do sistema (4.7).
Uma forma alternativa para reescrever os sistemas (4.6) e (4.7) e dada por
17
Un+1 = S(∆t)Z(∆t)(Un) (4.8)
onde, Z(∆t) e S(∆t) sao os operadores dos sistemas (4.6) e (4.7), respectivamente.
Integrando a equacao presente no sistema (4.7) obtemos:
Un+1 = Un+1
+ S∆t (4.9)
que e solucao para o sistema de equacoes representado por S(∆t).
O sistema (4.6), representado por Z(∆t), e mais complexo e sua solucao sera
descrita a seguir.
4.3 Discretizacao Por Volumes Finitos
Para obter a solucao utilizando o esquema FORCE e feita uma discretizacao por
volumes finitos que assume propriedades constantes localmente, sendo assim Uni e
uma media integral de U(x, tn) no intervalo [xi− 12, xi+ 1
2] no instante t = tn, conforme
representado na figura 4.1. A equacao que representa esta media e apresentada
abaixo.
Uni =
1
∆x
∫ xi+ 12
xi− 12
U(x, tn)dx (4.10)
A equacao presente no sistema homogeneo (4.6) dada por
∂U
∂t+∂F(U)
∂x= 0 (4.11)
pode ser resolvida pelo esquema explicito abaixo:
Uni
+1 = Uni +
∆t
∆x(Fn
i − 12− Fn
i + 12) (4.12)
onde Fni + 1
2e uma aproximacao numerica para o fluxo F calculado na fronteira
i+ 12.
18
Figura 4.1: Discretizacao por Volumes Finitos
4.4 Esquemas Monotonos
Segundo TORO (2009) um esquema do tipo
un+1i = H(uni−kl+1, ..., u
ni+kR
) (4.13)
com kL e kR dois numeros inteiros nao negativos, e monotono se
∂H
∂unj≥ 0, ∀j (4.14)
isto e, H e uma funcao nao decrescente para cada um de seus argumentos.
Se um esquema da forma
un+1i = uni +
∆t
∆x(fn
i− 12− fn
i+ 12) (4.15)
for monotono, entao
∂
∂uni+1
fi+ 12(uni , u
ni+1) ≤ 0 (4.16)
e
∂
∂uni−1
fi− 12(uni−1, u
ni ) ≥ 0 (4.17)
19
4.5 Metodo de Solucao
Para resolver o esquema explıcito apresentado na equacao (4.12) e necessario calcular
o fluxo na fronteira. Neste trabalho sera utilizado o fluxo FORCE que trata-se
de uma media aritmetica entre os fluxos para os esquemas de Richtmyer e Lax-
Friedrichs (TORO, 2009 e ZEIDAN, 2016). Sendo assim, podemos escrever:
FFiO+R12
CE =1
2(FL
iF+ 1
2+ FR
iI+ 1
2), (4.18)
onde FFiO+R12
CE e o fluxo FORCE, FLiF+ 1
2e o fluxo de Lax-Friedrichs e FR
iI+ 1
2e o fluxo
de Richtmyer.
Os fluxos de Lax-Friedrichs e Richtmyer sao dados respectivamente por
FLiF+ 1
2=
1
2[F(Un
i ) + F(Uni +1)] +
1
2
∆x
∆t[Un
i −Uni +1], (4.19)
e
FRiI+ 1
2= F(UR
iI+ 1
2), (4.20)
onde
URiI+ 1
2=
1
2(Un
i + Uni +1) +
1
2
∆t
∆x[F(Un
i )− F(Uni +1)] (4.21)
Utilizando as equacoes acima e possıvel obter os parametros necessarios para o
calculo do fluxo FORCE (ZEIDAN, 2016).
4.6 Volumes Fictıcios
Em volumes finitos, para calcular o valor da solucao em uma celula, em um deter-
minado instante de tempo, e necessario conhecer a solucao na mesma celula e nas
celulas vizinhas no instante de tempo anterior. Para que seja possıvel o calculo do
fluxo nas fronteiras e necessario impor condicoes de contorno numericas. A con-
figuracao das celulas nas fronteiras pode ser verificada na figura 4.2. De acordo
20
com LANEY (1998) e possıvel criar dois volumes fictıcios em cada fronteira e a
extrapolacao e feita de acordo com as equacoes abaixo:
Uno = Un
1 (4.22a)
Un−1 = Un
2 (4.22b)
UnM+1 = Un
M (4.22c)
UnM+2 = Un
M−1 (4.22d)
Figura 4.2: Volumes Finitos e Fictıcios (LUCUMI, 2015)
Para as aplicacoes deste trabalho, apenas a pressao sera prescrita na entrada
enquanto as variaveis do vetor de estado: ρ, ρu e ρfv, serao extrapoladas. Na saıda,
a segunda variavel do vetor de estado, que corresponde a ρu, sera imposta. Ja as
demais variaveis do vetor de estado, ρ, ρfv e a pressao, p, serao extrapoladas.
4.7 Criterio de Estabilidade
Para o calculo do incremento ∆t foi utilizado a formula baseada no criterio proposto
por TORO (2009) que e dada por
∆t = Ccf l∆x
S(n)max
(4.23)
onde Ccf l e o coeficiente CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) com Ccf l no intervalo de
]0, 1]. ∆x e o comprimento da celula e S(n)max e a velocidade de propagacao da onda
mais rapida no instante de tempo tn dada por (TORO, 2009):
21
S(n)max = max|uni |+ ani (4.24)
onde i e a posicao do volume finito, uni e a velocidade do escoamento local e ani e a
celeridade local.
4.8 Calculo da Pressao
A solucao do sistema de equacoes (3.16), pelo Esquema FORCE, torna possıvel
a obtencao das variaveis presentes no vetor de estado dado pela equacao (3.17).
Dentre essas variaveis nao encontramos a pressao. Abaixo e descrito como, a partir
da equacao constitutiva apresentada no capıtulo 3, podemos obter a pressao em
todo o duto para cada instante de tempo.
Em (CRESPO et al., 2001, apud SUMAM et al., 2009) e estabelecido que a lei
politropica pode ser considerada para gases atraves do uso da equacao de Rayleigh-
Plesset para a dinamica de bolhas, pelo fato do expoente politropico n nao ser de
grande relevancia na regiao de cavitacao. Desta forma, a expansao politropica de
uma bolha de vapor pode ser escrita como:
pαn = poαno (4.25)
A fracao volumetrica de vapor varia em cada ponto da malha, devido a variacao
de pressao ao longo do duto. Esta variacao e computada escrevendo a equacao (4.25)
na forma
αki
+1 =
(pkipki
+1
) 1n
(αki ) (4.26)
na qual os ındices i e k representam as localizacoes na malha ao longo do compri-
mento do duto e do tempo, respectivamente.
Retomando a equacao constitutiva, podemos agora substituir as equacoes (3.21)
e (3.22) na equacao (3.20) obtendo
22
ρ = ρlo e(p−po)
Kl (1− αv) + αvp
RT(4.27)
Substituindo a equacao (4.26) na equacao (4.27), reorganizando os termos e
expressando a equacao para um novo passo de tempo, obtemos a equacao dada por
αkvi
(pkipki
+1
) 1n pki
+1
RT+
(1− αk
vi
(pkipki
+1
) 1n
)ρlo e
(pki+1−po)
Kl − ρki +1 = 0 (4.28)
O valor da fracao massica de vapor, αv, pode ser obtido de forma simples a partir
das variaveis de estado utilizando a equacao
αv = fvρ
ρv(4.29)
que foi apresentada no capıtulo 3.
Como a equacao (4.28) e nao linear e diferenciavel em pki+1 foi utilizado o metodo
de Newton-Raphson (PRESS et al., 1992) para obter a solucao. Tal metodo implica
que
pqi+1 = pqi −
f(pqi )
f ′(pqi )(4.30)
onde q e o numero da iteracao, f(pqi ) e o valor da funcao apos a iteracao de numero
q e f′(pqi ) e o valor da derivada de f(pqi ) apos a iteracao de numero q.
A utilizacao do metodo de Newton-Raphson leva a pressoes absolutas negativas,
o que caracteriza uma inconsistencia fısica na solucao. A fim de solucionar esse
problema e utilizada uma tecnica chamada de sub relaxacao, que consiste em mul-
tiplicar o termo de correcao de pressao na equacao (4.30) por um fator entre 0 e 1,
caso pqi+1 seja negativo. Caso apos a utilizacao do fator de sub relaxacao a pressao
continue negativa, o fator e multiplicado por ele mesmo a fim de reduzir o valor
do termo de correcao da pressao. Tal procedimento e repetido ate que pqi+1 seja
positivo. O valor do fator utilizado foi de 0,25 (SUMAM et al., 2009).
23
Capıtulo 5
Resultados e Discussoes
Para a verificacao e validacao dos resultados obtidos via Esquema FORCE, serao
utilizados os resultados numericos e experimentais apresentados por SUMAM et
al. (2009) para dois casos teste. SUMAM et al. (2009) utilizaram o metodo
MacCormack para resolver o modelo. Uma comparacao e feita neste capıtulo entre
as solucoes obtidas a partir dos metodos MacCormack e FORCE.
O codigo utilizado para obter a solucao via Esquema FORCE foi escrito na
linguagem de programacao C++ e foi rodado em um computador com processador
Intel(R) Core(TM) i7-3770 CPU @ 3.40GHz e 8GB de memoria RAM.
5.1 Caso Teste 1
Para o caso teste 1, apresentado por SUMAM et al. (2009), foi utilizado uma
tubulacao horizontal de comprimento 32, 5 metros, diametro de 5, 3 centımetros e
espessura de 0, 37 centımetros. Inicialmente, a valvula, que se encontra no final da
tubulacao, esta aberta e agua escoa com uma velocidade de 0, 255 m/s. A pressao
absoluta a montante e de 0, 267MPa. Considerando as perdas de carga pode-se
obter a pressao inicial em toda a tubulacao atraves da equacao (SZYDLOWSKI,
2002)
p = 0, 267− f ∆L
Dρu2
0
2(5.1)
onde u0 e a velocidade inicial e ∆L e a distancia entre o inıcio da tubulacao e
24
uma posicao especıfica. O valor do fator de friccao, f e de 0,03. O fechamento da
valvula acontece de forma linear comecando em t = 0s e terminando em t = 0, 02s.
A tabela 5.1 resume os parametros utilizados para o caso teste 1.
Tabela 5.1: Dados para o Caso Teste 1
Pressao Absoluta a Montante p0 0,267MPa
Velocidade Inicial u0 0,255m/s
Comprimento do Duto L 32,5m
Diametro do Duto D 0,053m
Espessura do Duto e 0,0037m
Modulo de Elasticidade do Duto E 200 GPa
Fator de Friccao f 0,03
Temperatura T 32oC
Massa Especıfica Inicial do Lıquido ρ0 998 kg/m3
Pressao de Vapor pv 4,2 kPa
Tensao Superficial σ 0,07 N/m
Coeficiente Politropico n 1,25
Constante de Evaporacao Ce 0,02
Constante de Condensacao Cc 1
As figuras (5.1) e (5.2) apresentam os graficos da pressao manometrica, na
posicao da valvula de fechamento, para o caso teste 1 variando o numero de
volumes em que o duto e divido. A partir dos graficos de pressao apresentados
podemos observar um primeiro pico que ocorre no intervalo de 0, 02s ate 0, 038s.
Este corresponde ao golpe de ariete proveniente do fechamento da valvula. O valor
da pressao comeca entao a cair, atingindo valores menores que a pressao de vapor
fazendo com que o lıquido evapore formando bolhas de vapor. Quando o valor da
pressao sobe novamente e observado um segundo pico (primeiro pico de cavitacao),
mais intenso que o primeiro, que e proveniente do colapso das bolhas. Podemos
tambem observar que os picos de pressao sao atenuados com o tempo devido ao
atrito.
25
As figuras (5.1) e (5.2) tambem mostram que ha uma convergencia de malha
com o aumento do numero de volumes usados na discretizacao. A magnitude do
primeiro pico de cavitacao, que ocorre em torno de 0, 14s, e diretamente influenciado
pela malha utilizada. O valor maximo da pressao e de 0, 556MPa para N = 80,
enquanto que para N = 2560 este valor chega a 0.696MPa. O aumento de N leva
a uma diminuicao do ∆x o que por sua vez diminui ∆t, de acordo com a equacao
(4.23). O colapso de bolhas acontece de forma muito rapida. Logo, e necessario um
menor valor de ∆t para descrever o fenomeno (SUMAM et al., 2009). Utilizando
esta ideia podemos entender melhor a necessidade de uma malha mais refinada. Os
graficos para N = 1280 e N = 2560 possuem grande concordancia na escala grafica,
exceto para os picos que acontecem em maiores tempos. O valor maximo de pressao
pouco varia, podemos entao concluir que para 2560 volumes a malha ja convergiu
satisfatoriamente.
Figura 5.1: Pressao na valvula - Convergencia de Malha caso Teste 1 - Esquema
FORCE
26
Figura 5.2: Pressao na valvula - Convergencia de Malha Caso Teste 1 - Esquema
FORCE
A figura (5.3) apresenta os resultados experimentais e computacionais presentes
em SUMAM et al. (2009), para a pressao na posicao da valvula de fechamento.
Na figura (5.4) podemos observar uma comparacao entre os resultados a partir
do esquema FORCE e do metodo MacCormack para a pressao na posicao da valvula .
Comparando os resultados computacionais obtidos por SUMAM et al. (2009),
na figura (5.3), com os resultados deste trabalho, na figura (5.4), podemos observar
que o metodo MacCormack possui diversas oscilacoes numericas enquanto que o
esquema FORCE e mais estavel. Para o primeiro pico de cavitacao, a pressao
maxima experimental esta em torno de 0.71 MPa. Para o metodo MacCormack
esta possui um valor aproximado de 0.78 MPa, enquanto que para a solucao via
o esquema FORCE este valor e de 0.696MPa. Devido as oscilacoes numericas do
metodo MacCormack, este produz uma pressao maior que a pressao verificada no
resultado experimental para o primeiro pico de cavitacao.
27
Figura 5.3: Pressao na Valvula - Caso Teste 1 (SUMAM et al. 2009) - MacCormack
e Experimental
Figura 5.4: Pressao na Valvula - Caso Teste 1 - Esquema FORCE e Metodo Mac-
Cormack
28
A tabela (5.2) apresenta o valor maximo da pressao, devido a colapso de bolhas,
para os diversos resultados. O tempo computacional para cada numero de volumes
na malha (N) tambem e apresentado.
Tabela 5.2: Pressao Maxima - Caso Teste 1
Tipo de Solucao Pressao Maxima (MPa) Volumes Tempo CPU (s)
FORCE 0,556 80 1
FORCE 0,599 160 2
FORCE 0,638 320 6
FORCE 0,668 640 19
FORCE 0,686 1280 65
FORCE 0,696 2560 242
MacComarck 0,78 - -
Experimental 0,71 - -
Para cavitacao a analise mais importante se da em torno do primeiro pico de
cavitacao, pois e onde a pressao alcanca seu valor maximo. O modelo matematico
utilizado neste trabalho tambem e capaz de descrever o amortecimento para os
picos de cavitacao posteriores. Porem para maiores valores do tempo , t, ha uma
pequena defasagem na frequencia de oscilacao entre o resultado experimental e o
computacional. A tabela (5.3) mostra uma comparacao entre o valor aproximado
da pressao, na valvula, para os diversos picos de pressao, a fim de mostrar a
capacidade do modelo em simular o amortecimento.
Tabela 5.3: Picos de Cavitacao
- FORCE MacCormack Experimental
1o Pico de Cavitacao (MPa) 0,696 0,78 0,71
2o Pico de Cavitacao (MPa) 0,57 0,67 0,58
3o Pico de Cavitacao (MPa) 0,514 0,52 0,49
29
A figura (5.5) mostra a fracao volumetrica de vapor, calculada no esquema
FORCE, na posicao da valvula. Os valores para αv sao baixos, o que e esperado
para um modelo com cavitacao distribuıda. E possıvel observar que o aumento da
fracao volumetrica coincide com o momento em que a pressao e igual a pressao de
vapor e que os picos de pressao ocorrem logo apos a fracao volumetrica retornar ao
valor zero, mostrando que os picos de cavitacao sucedem o colapso de bolhas.
Figura 5.5: Fracao Volumetrica na Posicao da Valvula - Caso Teste 1
Para picos de cavitacao posteriores a pressao nao permanece por um longo tempo
na pressao de vapor, logo podemos observar, na figura (5.5), que o valor alcancado
pela fracao volumetrica de vapor e menor para maiores valores de tempo.
30
5.2 Caso Teste 2
Para o caso teste 2 foi utilizado o mesmo experimento do caso teste 1. Dentre os
parametros de entrada, o unico que mudou foi a velocidade inicial do escoamento.
A tabela (5.4) mostra os dados da simulacao.
Tabela 5.4: Dados para o Caso Teste 2
Pressao Absoluta a Montante p0 0,267MPa
Velocidade Inicial u0 0,327m/s
Comprimento do Duto L 32,5m
Diametro do Duto D 0,053m
Espessura do Duto e 0,0037m
Modulo de Elasticidade do Duto E 200 GPa
Fator de Friccao f 0,03
Temperatura T 32oC
Massa Especıfica Inicial do Lıquido ρ0 998 kg/m3
Pressao de Vapor pv 4,2 kPa
Tensao Superficial σ 0,07 N/m
Coeficiente Politropico n 1,25
Constante de Evaporacao Ce 0,02
Constante de Condensacao Cc 1
O fechamento da valvula, que se encontra no final da tubulacao, comeca em 0s
e termina em 0,02s. O fluido utilizado tambem e agua.
As figuras (5.6) e (5.7) mostram a convergencia de malha para o caso 2. Os
graficos apresentam a pressao na valvula para diversos numeros de volumes. E
possıvel observar que ha pouca diferenca na escala grafica entre os resultados para
N = 1280 e N = 2560. Sendo assim, podemos dizer que a malha com 2560 volumes
esta satisfatoriamente convergida.
31
Figura 5.6: Pressao na Valvula - Convergencia de Malha - Caso Teste 2 - Esquema
FORCE
Figura 5.7: Pressao na Valvula - Convergencia de Malha - Caso Teste 2 - Esquema
FORCE
32
A figura (5.8) mostra a pressao na valvula a partir dos resultados presentes em
SUMAM et al. (2009). A figura (5.9) apresenta a pressao na valvula utilizando
o esquema FORCE e o metodo de MacCormack. Novamente podemos concluir
que o modelo matematico consegue descrever de forma satisfatoria o fenomeno
apresentando boa concordancia com os resultados experimentais.
Figura 5.8: Pressao na valvula - Caso Teste 2 (SUMAM et al., 2009) - MacCormack
e Experimental
A tabela (5.5) apresenta o valor maximo da pressao, na posicao da valvula,
para o esquema FORCE com diversas malhas. Tambem e apresentado valores
aproximados para a pressao na valvula a partir do metodo MacCormak e a partir
dos resultados experimentais presentes em SUMAM et al. (2009).
Tambem e possıvel observar que as oscilacoes numericas presentes no metodo de
MacCormack levam a valores de pressoes que nao estao de acordo com a realidade.
E possıvel concluir que o esquema FORCE possui uma grande vantagem devido a
sua estabilidade, que permite a representacao de descontinuidades na solucao, sem
as oscilacoes tıpicas do metodo de MacCormack.
33
Figura 5.9: Pressao na Valvula - Caso Teste 2 - Esquema FORCE e Metodo Mac-
Cormack
Tabela 5.5: Pressao Maxima - Caso Teste 2
Tipo de Solucao Pressao Maxima (MPa) Volumes Tempo CPU (s)
FORCE 0,643 80 1
FORCE 0,659 160 2
FORCE 0,673 320 6
FORCE 0,681 640 19
FORCE 0,685 1280 65
FORCE 0,687 2560 235
MacComarck 1,02 - -
Experimental 0,73 - -
34
Capıtulo 6
Conclusoes e Sugestoes
Neste trabalho foi utilizado o modelo matematico apresentado por SUMAM et al.
(2009), para simular cavitacao de vapor transiente. A hipotese de uma mistura
lıquido-vapor homogenea foi utilizada nesta abordagem. O modelo matematico
utiliza a equacao de conservacao da massa, equacao da quantidade de movimento
linear, equacao de transporte e uma equacao constitutiva.
Para obter a solucao numerica das equacoes na forma vetorial foi utilizado
o esquema FORCE que se baseia em volumes finitos. Tal metodo de solucao se
mostrou bastante estavel. Para simular o problema de fechamento de valvula,
foi utilizado como condicoes de contorno, pressao na entrada e vazao na saıda.
Volumes fictıcios nos extremos foram considerados a fim de ajudar a obter a valor
das variaveis no volumes reais que se encontram nos extremos.
Para obter a pressao a partir das variaveis de estado, presentes no vetor de
estado U, foi utilizada a equacao constitutiva e tambem a suposicao de que as
bolhas seguem uma compressao e expansao politropica. Como foi obtida uma
equacao nao linear, o metodo numerico de Newton-Raphson foi utilizado com
objetivo de calcular a pressao.
Foi mostrado que, para o esquema FORCE, e necessario a utilizacao de
aproximadamente 2560 volumes, no mınimo, para obter uma malha convergida que
seja capaz de obter um resultado satisfatorio. Como o fenomeno de colapso de
bolhas acontece muito rapido, e necessario um menor ∆t, para que seja possıvel
captar os picos de cavitacao.
35
Para verificacao e validacao dos resultados obtidos foram simulados dois casos
testes, com agua, onde a solucao atraves do esquema FORCE foi comparada com
os resultados numericos e experimentais presentes em SUMAM et al. (2009).
SUMAM et al. (2009) utilizaram o metodo MacCormack para obter os resultados
computacionais. Os resultados computacionais mostraram uma boa concordancia
com os resultados experimentais.
Dentre as principais conclusoes a partir dos resultados podemos citar:
• Apos a valvula ser fechada, uma onda de pressao se propaga no duto. Essa
onda corresponde ao fenomeno conhecido como golpe de arıete. Devido ao golpe
de arıete, a pressao pode alcancar valores menores que a pressao de vapor, o que
leva ao surgimento de bolhas de vapor. Quando a pressao aumenta novamente, o
colapso das bolhas pode levar a picos de cavitacao que podem produzir pressoes
maiores que a pressao calculada pela equacao de Joukowsky.
• Como o colapso de bolhas ocorre de forma rapida, e necessario um pequeno
∆t para simular o fenomeno, o que corresponde a uma malha mais fina para o
esquema FORCE.
• A abordagem matematica apresentada leva a resultados que possuem boa
concordancia com os resultados experimentais.
• O esquema FORCE, por ser mais estavel, produz resultados mais consistentes
em comparacao ao metodo MacCormack. Devido as suas grandes oscilacoes
numericas, o metodo de MacCormack produz picos de pressao mais distantes dos
resultados experimentais. A pressao maxima proveniente da solucao atraves do
esquema FORCE esta muito proxima da pressao obtida experimentalmente.
• Para maiores valores de tempos, os resultados numericos sofrem uma defasa-
gem em comparacao com os dados experimentais.
Como sugestao para trabalhos futuros podemos citar a adicao de um fator de
atrito transiente que possa descrever melhor a dissipacao de energia melhorando
os resultados. Em estudos posteriores tambem podem ser realizadas comparacoes
com resultados provenientes de outros experimentos bem como resultados a partir
de outros modelos como o modelo de cavidade de vapor discreta (DVCM), modelo
de cavidade de gas discreta (DGCM) e o modelo de interface generalizado para
36
cavitacao de vapor (GIVCM).
37
Capıtulo 7
Referencias Bibliograficas
BERGANT, A., SIMPSON, A. R., Interface Model for Transient Cavitating Flow
in Pipelines, Unsteady Flow and Fluid Transients, pp 333-342, 1992.
BERGANT, A., SIMPSON, A. R., Pipeline Column Separation Flow Regimes,
Journal of Hydraulic Engineering, vol. 125 (8), pp. 835-848, 1999.
BERGANT, A., SIMPSON, A. R., TIJSSELING, A. S., Water Hammer With
Column Separation: A Historical Review, Journal of Fluids and Structures, vol. 22
(2), pp. 135-171, 2006.
BONIN, C.C., Water Hammer Damage to Oigawa Power Station, Journal of
Engineering for Power, vol. 82, pp. 111-119, 1960.
CARVALHO, R.C., Estudo Numerico do Problema do Golpe de Arıete em
Tubulacoes, Projeto Final de Graduacao, DEM/UFRJ, RIO DE JANEIRO, RJ,
BRASIL, 2018.
COUTIER-DELGOSHA, O., FORTES-PATELLA, R., REBOUD, J. L.,
HAKIMI, N., HIRSCH, C., Stability of Preconditioned Navier Stokes Equations
Associated with a Cavitation Model, Computers and Fluid, v.34, pp. 319-349, 2005.
CRESPO, A., GARCIA, J., FERNANDEZ, J. J., Stability Criteria of the Steady
Flow of a Liquid Containing Bubbles Along a Nozzle, Journal of Fluids Engineering,
v. 123, pp.836-840, 2001.
HADJ-TAIEB, E., LILI, T., Validation of Hyperbolic Model for Water Hammer
in Deformable Pipes Journal of Fluids Engineering, v. 122 (1), pp. 57-64, 2000.
38
JENSEN, R. K., LARSEN, J. K., LASSEN, K. L., MANDO, M., ANDREASEN,
A., Implementation and Validation of a Free Open Source 1D Water Hammer Code,
Journal of Fluids, pp. 3-64, 2018.
LANEY, C, B., Computational Gasdynamics, Cambridge, Cambridge University
Press, 1998.
LEE, T. S., NGOH, K. L., Air Entrainment Effects on the Pressure Transient
of Pumping Systems with Weir Discharge Chamber, Journal of Fluids Engineering,
v. 124, pp. 1034-1043, 2002.
LUCUMI, M. A.R., Comparacao dos Algoritmos de Filtros de Particulas
SIR e ASIR na Deteccao de Fechamento de Valvulas em Gasodutos, 96 p. Tese
(Mestrado em Engenharia Mecanica) - Instituto COPPE de Engenharia Mecanica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.
MADEIRA, I.M., Deteccao do Fechamento de Valvula em Gasodutos Pela
Utilizacao de Filtros de Partıculas, 150 p. Tese (Doutorado em Engenharia
Mecanica) - Instituto COPPE de Engenharia Mecanica, Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2011.
NOVAK, J. A., Cavitation and Bubble Formation in Water Distribution
Systems, Thesis, Faculty of the Virginia at Blacksburg, Virginia, USA, 2005.
OZISIK, N., ORLANDE, H. R. B., COLACO, M. J., COTTA, R. M., Finite
Difference Methods in Heat Transfer, 2 ed., CRC Press, 2017.
PEZZINGA, G., CANIZZARO., Analysis of Transient Vaporous Cavitation in
Pipes by a Distributed 2D Model, Journal of Hydraulic Engineering, vol. 140 (6),
2014.
PRESS, W. H., TEUKOLSKY, S. A., VETTERLING, W. T., FLANNERY, B.
P., Numerical Recipes in C, Cambridge, Cambridge University Press, 1992.
SADAFI, M., RIASI, A., NOURBAKHSH, S. A., Cavitating Flow During
Water Hammer Using a Generalized Interface Vaporous Cavitation Model, Journal
of Fluids and Structures, vol. 34, pp. 190-201, 2012.
39
SHU, J. J., Modelling Vaporous Cavitation on Fluid Transients, International
Journal of Pressure Vessels and Piping , vol. 80 (3), pp. 187-195, 2003.
SIMPSON, A. R., Large Water Hammer Pressures Due to Column Separation
in Sloping Pipes. Ph.D. Thesis, University of Michigan at Ann Arbor, Michigan,
USA, 1986.
SIMPSON, A. R., WYLIE, E. B., Large Water Hammer Pressures for Column
Separation in Pipelines, Journal of Hydraulic Engineering, vol. 117 (10), pp.
1310-1316, 1991.
SINGHAL, A.K., ATHAVALE, M.M, LI, H., JIANG, Y., Mathematical Basis
and Validation of Full Cavitation Model, Journal of Fluids Engineering, vol. 124,
pp. 617-624, 2002.
SOARES, A. K., COVAS, D. I. C., CARRICO, N. J. G., Transient Vaporous
Cavitation in Viscoelastic Pipes, Journal of Hydraulic Research, vol. 50 (2), pp.
228-235, 2012.
SOARES, A. K., MARTINS, N., COVAS, D. I. C., Investigation of Transient
Vaporous Cavitation: Experimental and Numerical Analyses, 13th Computer
Control for Water Industry Conference, CCWI, Procedia Engineering 119, pp.
235-242, 2015.
SUMAM, K. S., THAMPI, S. G., SAJIKUMAR, N., An Alternate Approach for
Modelling of Transient Vaporous Cavitation, International Journal for Numerical
Methods in Fluids, vol. 63, pp. 564-583, 2009.
SZYDLOWSKI, M., Finite Volume Method for Water Hammer Simulation,
International Scientific and Technical Conference on Technology, Automation and
Control of Wasterwater and Drinking Water Systems, TiASWiK’02, pp. 159-165,
2002.
TORO, E. F., Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, 3
ed., Berlin, Springer, 2009.
WYLEN, V., BORGNAKKE, C., SONNTAG, R. E., Fundamentos da Termo-
dinamica, 8 ed., Sao Paulo, Blucher, 2013.
40
WYLIE, E. B., Simulation of Vaporous and Gaseous Cavitation, Journal of
Fluids Engineering, vol. 106 pp. 307-311, 1984.
WYLIE, E. B., STREETER, V. L., Fluid Transients. 2 ed. United States of
America, McGraw-Hill, 1978.
ZEIDAN, D., Assessment of Mixture Two Phase Flow Equations for Volcanic
Flows Using Godunov Type Methods, Applied Mathematics and Computation, vol.
272, pp. 707-719, 2016.
41
