ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL · 2019-04-07 · cabeceo (sobre el eje transversal) y de alabeo...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

grilla 24)

ESCUELA DE INGENIERÍA

MODELACIÓN SIMULACIÓN Y CONTROL DEL MOVIMIENTO LONGITUDINAL Y DE CABECEO DE UN AVIÓN

PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE

INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL

COYAGO CHANATAXI DARWIN GIOVANNY [email protected]

GÓMEZ REYES ALEJANDRO PAÚL [email protected]

DIRECTOR: MSc. Ing. RAMIRO VALENZUELA [email protected]

Quito, JUNIO 2008

INTRODUCCIÓN

En este trabajo, se estudia la estabilidad y control, para los movimientos de

cabeceo (sobre el eje transversal) y de alabeo (sobre el eje longitudinal),

utilizando la teoría de control clásico, la teoría de control moderno y la teoría

de control óptimo.

Para el análisis de estos sistemas, se utilizan los modelos numéricos de un

avión comercial, luego se analiza el comportamiento dinámico y

posteriormente se diseñan los diferentes tipos de control, utilizando las

técnicas antes mencionadas.

El análisis se desarrolla usando funciones de transferencia y matrices en el

espacio de estado en un ambiente Matlab/Simulink, con las cuales se obtienen

las respuestas dinámicas de los sistemas, en lazo abierto y en lazo cerrado,

en tiempo continuo y en tiempo discreto.

Este trabajo está organizado en siete capítulos. En el capítulo uno se presenta

un marco conceptual, en el que se tratan ciertas definiciones generales,

introducción a los movimientos en estudio y la modelación de sistemas.

El capítulo dos está dedicado a la modelación de los sistemas en tiempo

continuo y discreto, en base a funciones de transferencia, variables de estado

y ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias.

En el capítulo tres se analiza el comportamiento dinámico de los sistemas, en

tiempo continuo y discreto, utilizando la simulación de la respuesta temporal,

el lugar geométrico de las raíces y la respuesta en frecuencia.

En el capítulo cuatro se diseñan los controladores utilizando como técnicas de

control clásico: controladores del tipo PID y como técnicas del control

moderno: la realimentación de estado, para tiempo continuo y tiempo discreto.

En el capítulo cinco se realiza el análisis de estabilidad de los sistemas según

Liapunov y se diseñan los controladores utilizando el regulador óptimo

cuadrático, para los sistemas continuos y discretos.

En el capítulo seis, se presentan los resultados y se realiza la simulación

dinámica del control.

Para finalizar, en el capítulo siete se presentan las conclusiones y

recomendaciones a las que se llegaron después del desarrollo del proyecto de

titulación.

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

grilla 24)

ESCUELA DE INGENIERÍA

MODELACIÓN SIMULACIÓN Y CONTROL DEL MOVIMIENTO LONGITUDINAL Y DE CABECEO DE UN AVIÓN

PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE

INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL

COYAGO CHANATAXI DARWIN GIOVANNY [email protected]

GÓMEZ REYES ALEJANDRO PAÚL [email protected]

DIRECTOR: MSc. Ing. RAMIRO VALENZUELA [email protected]

Quito, JUNIO 2008

DECLARACIÓN

Nosotros, DARWIN GIOVANNY COYAGO CHANATAXI y ALEJAN DRO PAÚL

GÓMEZ REYES, declaramos bajo juramento que el trab ajo aquí descrito

es de nuestra autoría; que no ha sido previamente p resentada para

ningún grado o calificación profesional; y, que hem os consultado las

referencias bibliográficas que se incluyen en este documento.

A través de la presente declaración cedemos nuestro s derechos de

propiedad intelectual correspondientes a este traba jo, a la Escuela

Politécnica Nacional, según lo establecido por la L ey de Propiedad

Intelectual, por su Reglamento y por la normativida d institucional vigente.

______________________ ______________________

Darwin Coyago Alejandro Gómez

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por DARWIN GIOVANNY

COYAGO CHANATAXI y ALEJANDRO PAÚL GÓMEZ REYES, bajo mi

supervisión.

________________________

MSc. Ing. Ramiro Valenzuela

DIRECTOR DEL PROYECTO

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1. MARCO CONCEPTUAL.

1.1 Definiciones. 2

1.2 Ejes del Avión. 3

1.3 Superficies Primarias. 4

1.4 Introducción al Movimiento de Cabeceo de un Avión. 7

1.5 Introducción al Movimiento Longitudinal (Alabeo) de un

Avión.

9

1.6 Estabilidad y Maniobrabilidad. 10

1.7 Modelación de Sistemas. 10

CAPÍTULO 2. MODELACIÓN DE LOS SISTEMAS.

2.1 Movimiento de Cabeceo del Avión. 17

2.1.1 Modelos Continuos. 22

2.1.1.1 Modelo a Función de Transferencia. 22

2.1.1.2 Modelo a Espacio de Estado. 23

2.1.1.3 Modelo a Ecuación Diferencial. 24

2.1.2 Modelos Discretos. 24

2.1.2.1 Modelo a Función de Transferencia Discreta. 24

2.1.2.2 Modelo a Ecuación de Diferencias. 26

2.1.2.3 Modelo a Espacio de Estado Discreto. 27

2.2 Movimiento sobre el eje Longitudinal (Alabeo) del Avión. 28

2.2.1 Modelos Continuos. 28

2.2.1.1 Modelo a Ecuación Diferencial. 28

2.2.1.2 Modelo a Espacio de Estado. 30

2.2.1.3 Modelo a Función de Transferencia. 31

2.2.2 Modelos Discretos. 32

2.2.2.1 Modelo a Función de Transferencia Discreta. 32

2.2.2.2 Modelo a Ecuación de Diferencias. 33

2.2.2.3 Modelo a Espacio de Estado Discreto. 33

CAPÍTULO 3. SIMULACIÓN DE LOS SISTEMAS.

3.1 Movimiento de Cabeceo del Avión. 36

3.1.1 Sistema Continuo. 36

3.1.1.

1

Análisis del comportamiento Dinámico mediante la

Respuesta Temporal.

37

3.1.1.

2

Sistema en Lazo Abierto. 37

3.1.1.

3

Sistema en Lazo Cerrado. 39

3.1.1.

4

Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar

Geométrico de las Raíces.

40

3.1.1.

5


Respuesta en Frecuencia.

42

3.1.2 Sistema Discreto. 45

3.1.2.

1


Respuesta Temporal.

45

3.1.2.

2


3.1.2.

3


3.1.2.

4



48

3.1.2.

5



48

3.2 Movimiento Longitudinal del Avión. 51

3.2.1 Sistema Continuo. 51

3.2.1.

1


Respuesta Temporal.

51

3.2.1.

2


3.2.1.

3


3.2.1.

4



54

3.2.1.

5



55

3.2.2 Sistema Discreto. 57

3.2.2.

1


Respuesta Temporal.

57

3.2.2.

2


3.2.2.

3


3.2.2.

4



60

3.2.2.

5



61

CAPÍTULO 4. DISEÑO DE LOS CONTROLADORES

4.1 Introducción. 64

4.2 Técnicas para calibrar los controladores PID. 70

4.3 Sistemas Continuos. 72

4.3.1 Control Clásico del Sistema de Movimiento de Cabeceo. 72

4.3.2 Control Clásico del Sistema Continuo del Movimiento de

Alabeo.

76

4.4 Sistemas Discretos. 79

4.4.1 Control Clásico del Sistema Discreto del Movimiento de

Cabeceo.

79

4.4.2 Control Clásico del Sistema Discreto del Movimiento de

Alabeo.

80

4.5 Análisis y Control en Espacio de Estado. 80


4.6.1 Análisis del Movimiento de Cabeceo en el Espacio de

Estado.

84

4.6.1.

1

Controlabilidad. 86

4.6.1.

2

Observabilidad 86

4.6.2 Realimentación de Estado. 87

4.6.3 Análisis del Movimiento de Alabeo en el Espacio de

Estado.

89

4.6.3.

1

Controlabilidad. 90

4.6.3.

2

Observabilidad 90

4.6.4 Realimentación de Estado. 91


4.7.1 Control Discreto en el Espacio de Estado para el

Movimiento de Cabeceo.

92

4.7.1.

1

Controlabilidad. 93

4.7.1.

2

Observabilidad 93

4.7.2 Regulador del Sistema Discreto del Movimiento de

Cabeceo.

94

4.7.3 Control Discreto en el Espacio de Estado para el

Movimiento de Alabeo.

94

4.7.3.

1

Controlabilidad. 95

4.7.3.

2

Observabilidad 95

4.7.4 Regulador del Sistema Discreto del Movimiento de

Alabeo.

96

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV Y C ONTROL

ÓPTIMO.

5.1 Introducción. 98


5.2.

1

Estabilidad del Movimiento de Cabeceo. 101

5.2.

2

Estabilidad del Movimiento de Alabeo. 103


5.3.

1

Análisis de Estabilidad según Lyapunov de Sistemas en

Tiempo Discreto.

104

5.3.

2

Estabilidad de un sistema en tiempo Discreto obtenido al

discretizar un sistema en tiempo Continuo.

106

5.3.

3

Análisis de estabilidad según lyapunov del sistema del

movimiento de Cabeceo en tiempo discreto.

107

5.3.

4

Análisis de estabilidad según lyapunov del sistema del

movimiento de Alabeo en tiempo discreto.

108

5.4 Sistema Regulador Óptimo Cuadrático (LQR). 109

5.4.

1

Control Óptimo del Movimiento de Cabeceo. 109

5.4.

2

Control Óptimo del Movimiento de Alabeo. 110


5.5.

1

Control Óptimo del Movimiento de Cabeceo. 111

5.5.

2

Control Óptimo del Movimiento de Alabeo. 112

CAPÍTULO 6. ANÁLISIS DE RESULTADOS

6.1 Sistema Continuo del Movimiento de Cabeceo. 114

6.1.

1

Resultados del Control Clásico. 116

6.1.

2

Resultados del Control Moderno y Óptimo. 117

6.2 Sistema Continuo del Movimiento de Alabeo. 119

6.2.

1


6.2.

2


6.3 Sistema Discreto del Movimiento de Cabeceo. 123

6.3.

1


6.3.

2


6.4 Sistema Discreto del Movimiento de Alabeo. 128

6.4.

1


6.4.

2


6.5 Simulación Dinámica. 132

CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

7.1 Conclusiones. 145

7.2 Recomendaciones. 147

MARCO CONCEPTUAL

1.1 DEFINICIONES

1.1.1 ÁNGULO DE ATAQUE. Es el ángulo agudo formado por la cuerda del

ala y la dirección del viento relativo. Este ángulo es variable, pues depende de

la dirección del viento relativo y de la posición de las alas con respecto a este,

ambos extremos controlados por el piloto.

Es conveniente tener muy claro el concepto de ángulo de ataque pues el vuelo

está directa y estrechamente relacionado con el mismo.[1]

Figura 1.1 Ángulo de ataque y viento relativo

1.1.2 DIEDRO. Visto el avión de frente, ángulo en forma de "V" que forman

las alas con respecto al horizonte. El ángulo diedro puede ser positivo, neutro,

o negativo. Volviendo a nuestros brazos en cruz, en posición normal tenemos

diedro neutro, si los subimos tienen diedro positivo y si los bajamos tienen

diedro negativo.

1 [1] Principios de la Aeronaútica, Cap. 3 http://www.airbus.com

Figura 1.2 Ángulos diedros

1.1.3 SUSTENTACIÓN. La sustentación es la fuerza que hace volar a un

aeroplano. La mayor parte de la sustentación de un aeroplano procede de sus

alas. La sustentación que crea un ala se controla mediante el ajuste de la

velocidad aerodinámica y el ángulo de ataque, es decir, el ángulo en que el ala

se encuentra con el viento de frente.

En general, a medida que aumenta la velocidad aerodinámica o el ángulo de

ataque de un avión, se incrementa la sustentación generada por las alas. A

medida que aumenta la velocidad del avión, debe reducir el ángulo de ataque

(bajar la nariz ligeramente) para mantener una altitud constante. A medida que

disminuye la velocidad, debe aumentar el ángulo de ataque (subir la nariz

ligeramente) para generar mayor sustentación y mantener la altitud.

Incluso en un ascenso o descenso, la sustentación se iguala al peso. El índice

de ascenso o descenso de un avión está relacionado principalmente con el

empuje generado por sus motores, no por la sustentación generada por las

alas

1.2 EJES DEL AVIÓN.

Se trata de rectas imaginarias e ideales trazadas sobre el avión. Su

denominación y los movimientos que se realizan alrededor de ellos son los

siguientes:

1.2.1 EJE LONGITUDINAL. Es el eje imaginario que va desde la nariz hasta

la cola del avión. El movimiento alrededor de este eje (levantar un ala bajando

la otra) se denomina alabeo. También se le denomina eje de alabeo, nombre

que parece más lógico pues cuando se hace referencia a la estabilidad sobre

este eje, es menos confuso hablar de estabilidad de alabeo que de estabilidad

transversal.

1.2.2 EJE TRANSVERSAL O LATERAL. Eje imaginario que va desde el

extremo de un ala al extremo de la otra. El movimiento alrededor de este eje

(nariz arriba o nariz abajo) se denomina cabeceo . También denominado eje

de cabeceo, por las mismas razones que en el caso anterior.

Figura 1.3 Ejes Bidimensionales del Avión

1.3 SUPERFICIES PRIMARIAS.

Son superficies aerodinámicas movibles que son accionadas a través de los

mandos de la cabina, modifican la aerodinámica del avión provocando el

desplazamiento de este sobre sus ejes y de esta manera el seguimiento de la

trayectoria de vuelo deseada.

Las superficies de control son tres: alerones, timón de profundidad y timón

de dirección. El movimiento en torno a cada eje se controla mediante una de

estas tres superficies.

La diferencia entre un piloto y un conductor de aviones es el uso adecuado de

los controles para lograr un movimiento coordinado. Veamos cuales son las

superficies de control, como funcionan, y como las acciona el piloto.

1.3.1 ALERONES. Son unas superficies móviles, situadas en la parte

posterior del extremo de cada ala, cuyo accionamiento provoca el movimiento

de alabeo del avión sobre su eje longitudinal. Su ubicación en el extremo del

ala se debe a que en esta parte es mayor el par de fuerza ejercido.

Se accionan los alerones girando el volante de control a la izquierda o la

derecha.

Figura 1.4 Alerones y mando de control.

Funcionamiento: Los alerones tienen un movimiento asimétrico. Al

girar el volante hacia un lado, el alerón del ala de ese lado sube y el del ala

contraria baja, ambos en un ángulo de deflexión proporcional a la cantidad de

giro dado al volante.

El alerón arriba en el ala hacia donde se mueve el volante implica menor

curvatura en esa parte del ala, lo cual provoca que esa ala baje; el alerón

abajo del ala contraria supone mayor curvatura lo que hace que esa ala suba.

Esta combinación de efectos contrarios es lo que produce el movimiento de

alabeo hacia el ala que desciende.

Figura 1.5 Funcionamiento de los alerones.

Suponiendo por ejemplo que se quiere realizar un movimiento de alabeo a la

derecha: se gira el volante a la derecha; el alerón del ala derecha sube con lo

cuál esa ala desciende; por el contrario, el alerón abajo del ala izquierda

provoca que ésta ascienda.

1.3.2 TIMÓN DE PROFUNDIDAD. Es la superficie o superficies móviles

situadas en la parte posterior del empenaje horizontal de la cola del avión. Su

accionamiento provoca el movimiento de cabeceo del avión (nariz arriba o

nariz abajo).

El timón de profundidad es accionado por el piloto empujando o tirando del

volante o la palanca de control.

Figura 1.6 Timón de profundidad y mando de control.

1.3.3 EMPENAJE DE COLA. El empenaje de cola está formado por unas

pequeñas alas o timones, colocadas de forma vertical y horizontal. Permiten

controlar el rumbo, además de proporcionar estabilidad al avión.

Habitualmente consta de partes fijas y móviles, aunque existen diseños en

donde toda la superficie es móvil.

1.4 INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO DE CABECEO DE

UN AVIÓN

La actitud de un aeroplano se define como su orientación relativa al horizonte

y a la dirección de su movimiento.

Se controla por medio de tres sistemas de mandos de vuelo, cada uno de los

cuales actúa en su eje correspondiente moviendo el timón de profundidad, el

de dirección o los alerones que se encuentran en la parte posterior de las alas.

Todos se accionan desde la cabina de pilotos: el primero con la palanca, el

segundo con los pedales, y los alerones con el volante.

Como se ha visto ya el movimiento de cabeceo de un avión es el que se da en

el eje longitudinal, y se origina debido al movimiento del timón de profundidad.

Al tirar del volante de control, esta superficie sube mientras que al empujarlo

baja, en algunos aviones se mueve la totalidad del empenaje horizontal.

El timón arriba produce menor sustentación en la cola, con lo cual esta baja y

por tanto la nariz sube (mayor ángulo de ataque). El timón abajo aumenta la

sustentación en la cola, esta sube y por tanto la nariz baja (menor ángulo de

ataque).

De ésta manera se produce el movimiento de cabeceo del avión y por

extensión la modificación del ángulo de ataque.

1.4.1 ESTABILIDAD

El concepto de estabilidad se define simplemente como la cualidad en la que

un avión estable tiende a regresar a la condición de estabilidad de forma

autónoma.

1.4.2 ESTABILIDAD SOBRE EL EJE TRANSVERSAL

Se refiere al movimiento del avión sobre su eje transversal (nariz arriba/abajo)

y es la más importante porque determina en gran medida las características de

movimiento del mismo, particularmente las relativas a la pérdida.

De todas las características que afectan al balance y controlabilidad del avión,

la de mayor importancia es la estabilidad sobre el eje transversal.

Es bastante inseguro y poco confortable que un avión muestre tendencia a

encabritarse o picar, cuando nuestra atención se encuentra ocupada en otra

cosa.

Aunque es difícil obtener un grado exacto de estabilidad sobre éste eje para

todas las condiciones de vuelo, es esencial conseguir un compromiso

aceptable para que el vuelo sea seguro y confortable.

La estabilidad sobre el eje transversal del avión esta resuelta primariamente

por el estabilizador horizontal de cola mostrado en la figura 1.7.

Puesto a propósito en la parte más alejada de las alas, este estabilizador

aerodinámico genera las fuerzas necesarias para contrarrestar el efecto de

fuerzas externas.

Al ser la parte más alejada del centro de gravedad cualquier fuerza, por

pequeña que sea, ejercida sobre este dispositivo tendrá un gran efecto de

corrección (mayor par de fuerza).

Figura 1.7 Estabilidad sobre el eje transversal

1.5 INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO SOBRE EL EJE

LONGITUDINAL (ALABEO) DE UN AVIÓN

Éste movimiento se realiza sobre el eje longitudinal del avión, y depende de

los movimientos de los alerones de las alas de la aeronave.

Los alerones están colocados cerca de la punta del ala y hacia el borde

posterior, y permiten el movimiento de alabeo y hacen girar al avión sobre el

eje longitudinal.

Si se mueve el volante de mando a la izquierda o se inclina en la misma

dirección la palanca cuando no hay volante, el alerón izquierdo se levanta y el

derecho baja, produciéndose así una inclinación de las alas hacia la izquierda.

Si se mueve el mando a la derecha, se inclinarán hacia ese lado.

1.5.1 ESTABILIDAD SOBRE EL EJE LONGITUDINAL:

Un avión que tiende a volver a su posición de alas niveladas después de que

una ráfaga de viento levante o baje una de ellas se dice que es lateralmente

estable.

La estabilidad lateral del avión viene proporcionada básicamente por el diseño

en ángulo diedro de las alas.

El efecto estabilizador de este diseño, ocurre cuando un ala es bajada

súbitamente por una ráfaga de aire y el avión rota. Esto produce un aumento

del ángulo del ala bajada con respecto del ala que está más alta; este

incremento produce sustentación adicional en el ala bajada haciendo que esta

suba y recupere el equilibrio.

1.6 ESTABILIDAD Y MANIOBRABILIDAD

Los aviones comerciales son moderadamente estables. Los aviones

comerciales están construidos de modo que den vuelta suavemente para no

perturbar a los pasajeros.

Algunos aviones militares, especialmente los de caza, no son nada estables.

Esto hace que el avión sea mucho más difícil de volar, pero el piloto puede

maniobrar es decir dar vuelta muy rápidamente. (Esto podría ser muy

importante en un duelo aéreo).

Hay que tener en cuenta que no es del todo deseable que un avión sea

“demasiado estable” ya que sino sería prácticamente imposible divergir de las

condiciones estables, por lo que no tendría maniobrabilidad.

Hay que llegar a un acuerdo entre la maniobrabilidad y la estabilidad.

1.7 MODELACIÓN DE SISTEMAS:

Modelación es obtener un modelo analítico matemático conociendo los

componentes y estructuras aplicando las leyes físicas y de ingeniería.[2]

Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas formas distintas.

Dependiendo del sistema que se trate y de las circunstancias específicas, un

modelo matemático puede ser más conveniente que otro.

Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema se pueden usar

diversas herramientas analíticas y computacionales con el objeto de realizar

un adecuado análisis y síntesis.

2 [2] Apuntes de Control Automático. Ing. Patricio Burbano. EPN.

Para el análisis del comportamiento dinámico y el diseño de los diferentes

tipos de controladores se utilizan modelos analíticos del sistema de control,

que pueden estar descritos a:

• Ecuaciones diferenciales.

• Función de transferencia.

• Variables de estado.

Análogamente para sistemas discretos los modelos se describen en base a:

• Ecuación de diferencias.

• Función de transferencia discreta.

• Variables de estado.

1.7.1 CLASES DE MODELOS

1.7.1.1 Modelo de control clásico continuo.

La planta o sistema y sus señales (función que representa una cantidad física)

evolucionan en tiempo continuo, esto es, las señales del sistema son

analógicas y el sistema es de tipo continuo. Es por esta razón que para

manejar éste tipo de sistemas, es necesario que la señal de entrada y salida

sean de tiempo continuo.

Figura 1.8 Sistema en lazo abierto

Para el presente trabajo se utiliza un modelo de sistema realimentado porque

el objetivo de la modelación es tendiente a realizar control.

y(t) u(t)

SISTEMA

En la figura 1.9 se muestra un diagrama de bloques del sistema de control

realimentado.

Figura 1.9 Sistema de Control en lazo cerrado con realimentación unitaria.

1.7.1.2 Modelo de control clásico discreto.

Los sistemas de tiempo discreto son sistemas dinámicos en los cuales una o

más variables pueden variar solamente en ciertos instantes.

Estos sistemas difieren de los de tiempo continuo, en que la señales para un

sistema de tiempo discreto, aparecen en forma de datos muestrales.

Para modelos discretos hay que utilizar el sistema de datos muestreados que

se indica en la figura 1.10.

u(kT)

- +

e(kT) e(t) y(t) r(t)

A/D PLANTA ∑ CONTRO D/A

RELOJ

u(t)

- +

U(s) E(s) Y(s) R(s)

Gc(s)

Gp(s) ∑

Figura 1.10 Sistema de datos muestreados.

Se debe discretizar la señal de error a través del conversor análogo digital

(A/D) muestreando los datos para obtener e(kT) y utilizar un conversor digital

análogo (D/A) para obtener una señal de control continua u(t), donde T es el

período de muestreo, que da la característica de un control en tiempo real del

tipo digital directo

1.7.1.3 Modelo de control moderno.

Mientras la teoría de control clásica se basa en la relación entrada – salida, o

función de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la

descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones

diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial

vectorial de primer orden.

Para el diseño de un sistema de control en el espacio de estado se utiliza el

método de asignación de polos que es algo análogo al método del lugar de las

raíces.

La diferencia básica es que en el diseño del lugar de las raíces se sitúan sólo

los polos en lazo cerrado dominantes, mientras que en el diseño por

asignación de polos se colocan todos los polos en lazo cerrado en las

posiciones que se desee.

El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación

matemática de los sistemas de ecuaciones.

SISTEMA DE CONTROL MODERNO CONTINUO

Figura 1.11 Realimentación de estado.

SISTEMA DE CONTROL MODERNO DISCRETO

Figura 1.12 Realimentación de estado

1.7.1.4 Modelo de control óptimo.

Los problemas de control óptimo han recibido gran atención debido a la

creciente demanda de sistemas de alta eficiencia y a la fácil disponibilidad de

la computadora digital.

El concepto de optimización de sistemas de control abarca una selección de

índices de comportamiento y un diseño que brinda el sistema de control óptimo

dentro de límites impuestos por las restricciones físicas.

y(k) x(k) u(k) ( ) ( ) ( )kuBkxAkx DD +=+1

- K

LEY DE

PLANTA

C

PLANTA y x u

BuAxx +=.

- K

C

LEY DE CONTROL

CAPÍTULO 2

2.1 MOVIMIENTO DE CABECEO DEL AVIÓN

El movimiento de un avión, considerando cambios de actitud del avión como

sólido rígido alrededor de su centro de gravedad, viene definido por 6

variables, grados de libertad, relacionadas a través de ecuaciones

diferenciales no lineales. Estas 6 variables son las tres componentes del

vector velocidad del avión (V) y las tres componentes de la velocidad angular

(ω) del avión.

Estas ecuaciones diferenciales están acopladas pero pueden ser

desacopladas en dos grupos básicos, aquellas que definen el movimiento

longitudinal del avión y aquellas que definen el movimiento lateral-direccional.

Igualmente estas ecuaciones pueden ser linealizadas considerando pequeñas

perturbaciones a partir de un movimiento estacionario de referencia (V y ω

constantes).

Figura 2.1

Se realiza una serie de hipótesis para la obtención de las ecuaciones que

rigen el movimiento del avión, como son vuelo simétrico, rectilíneo y uniforme,

altitud y velocidad constantes.

Se asume igualmente por simplificación que las perturbaciones en ángulo de

ataque no van acompañadas de cambios de velocidad.

Las fuerzas básicas que actúan sobre el avión son peso (weight), sustentación

(lift), resistencia aerodinámica (drag) y empuje no mostrado en la figura 2.1.

Definimos las variables y coeficientes que aparecen en las ecuaciones:

* Ángulo de ataque ( α ):

Relacionado con el ángulo de ataque esta el ángulo de incidencia, este es el

ángulo que se da al ala respecto al avión y más concretamente con el

estabilizador horizontal. El fin del ángulo de incidencia no es otro que evitar

que para conseguir un ángulo de ataque ideal (alrededor de 3 o 4 grados) el

avión tuviese que ir demasiado inclinado hacia atrás.

La relación entre la sustentación y la resistencia se muestra en la figura 2.2,

donde observamos que la relación ideal como hemos dicho esta en torno a los

4 grados y que por encima de este ángulo la sustentación aumenta pero sin

embargo menos que la resistencia aerodinámica hasta que a los 16 grados

aproximadamente el ala entraría en la temida perdida proceso por el cual el

régimen de flujo del aire pasa de ser laminar a ser turbulento y despegarse de

la superficie del ala provocando una casi repentina perdida de sustentación.

Por debajo de los 4 grados la resistencia desciende mucho pero la

sustentación prácticamente desaparece también.

Figura 2.2

Por la grafica también sabemos que por debajo de –2 grados la sustentación

es negativa y que para volar entre este ángulo y el ideal es necesario llevar

altas velocidades mientras que para volar a una velocidad lenta es necesario ir

aumentando el ángulo de ataque si queremos mantener la altura constante.

Sin embargo llegara una velocidad mínima de vuelo en la que el ángulo de

ataque supere los 16 grados, el avión entre en perdida y empiece a caer como

una piedra.

* Velocidad angular de cabeceo ( q )

* Ángulo de asiento ó de cabeceo ( θ )

* Deflexión del elevador ( δe ): inclinación longitudinal

* Densidad del aire ( ρe )

* Superficie alar ( S )

* Cuerda media aerodinámica ( )cccc : es el lugar del perfil donde el momento de

cabeceo del perfil es constante para cualquier ángulo de ataque.

* Masa del avión ( m )

* Componente longitudinal de velocidad ( U )

* Coeficiente de empuje ( CT )

* Coeficiente de resistencia ( CD )

SV

DCD 2

21 ρ

=

ρ es la densidad del fluido en el que se mueve el cuerpo,

V es la velocidad relativa de la corriente de aire incidente sin perturbar.

D es la resistencia aerodinámica.

* Coeficiente de sustentación ( CL )

SV

LCL 2

21 ρ

=

L : Sustentación.

* Coeficiente de momento de cabeceo ( CM )

ScV

MCM 2

21 ρ

=

M es la suma de los momentos alrededor del mismo punto.

* Coeficiente de peso ( CW )

* Ángulo de asiento de la velocidad ( γ ): ángulo de la trayectoria de vuelo.

* Velocidad angular del sistema rotacional coordenado ( Ω )

Momento de inercia normalizado ( η )

Se considera como entrada al sistema el ángulo de deflexión del elevador ( δe

) y como salida el ángulo de asiento o cabeceo ( θ ).

Se asigna una serie de valores a los coeficientes definidos anteriormente,

estos datos han sido suministrados por BOEING como válidos para un avión

comercial.

Con ellos las ecuaciones quedan configuradas de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sqs

sesqssq

sesqss

=

+−−=

++−=

.

.

.

151.1426,0788.0

232,0313,0

θ

δα

δαα

2.1.1 MODELOS CONTINUOS:

2.1.1.1 MODELO A FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Para obtener la función de transferencia del sistema tomamos la transformada

de Laplace con condiciones iniciales cero.

Así se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )sqss

sesqsssq

sesqsss

=+−−=

++−=

θδα

δαα

)3(

151.1426,0788,0:)2(

232,0313,0:)1(

De(2)y(3)

De(1)y(3)

Reemplazando (5) en (4) y

aproximando cifras decimales se llega a la siguiente función de transferencia

continua:

( )( ) sss

s

se

s

921,0739,0

1774,0151,123 ++

+=δθ

313.0

)(232.0)()(:)5(

)(426.0

)(151.1)(788.0)(:)4(

++++++++====

====++++

++++−−−−====

s

sesss

sss

sessq

δθα

θδα

2.1.1.2 MODELO A ESPACIO DE ESTADO

Aprovechando el modelo de espacio de estado obtenido de BOEING se tiene

que:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sesqss

sesqssq

sqs

δαα

δα

θ

232,0313,0

151.1426,0788,0.

.

.

++−=

+−−=

=

[ ]eqq δα

θ

α

θ

+

−−−=

232.0

151.1

0

313.010

788.0426.00

010

.

.

.

Entonces la ecuación de estado queda de la siguiente manera

[ ]ux

x

x

x

x

x

+

−−−=

232.0

151.1

0

313.010

788.0426.00

010

3

2

1

.

3

.

2

.

1

Considerando que la salida es el ángulo de asiento o de cabeceo del avión, la

ecuación de salida es:

[ ] [ ][ ]u

x

x

x

y 0001

3

2

1

+

=

2.1.1.3 MODELO A ECUACION DIFERENCIAL

Se parte de la función de transferencia continua y multiplicando miembro a

miembro:

( )( )

( )[ ] ( )[ ]1774,0151,1921,0739,0

921,0739,0

1774,0151,1

23

23

+=++++

+=

ssessss

sss

s

se

s

δθδθ

eds

ed

ds

d

ds

d

ds

d δδθθθ1774,0151,1921,0739,0

2

2

3

3

+=++

2.1.2 MODELOS DISCRETOS:

2.1.2.1 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DISCRETA

Para poder obtener la función de transferencia discreta se parte de la función

de transferencia continua y se la discretiza aplicando el método del ZOH,

tomando un tiempo de muestreo de T= 0.1 segundos.

( ) ( ) (−=−s

sGZzzG11

Tomamos la función de transferencia en tiempo continuo:

( ) ( )( ) sss

s

se

ssG

921,0739,0

1774,0151,123 ++

+==δθ

( )[ ]

( ) ( )[ ]222

23

8857.03695.0

1774.1151.1

921.0739.0

1774.1151.1

+++=

+++=

ss

s

sss

s

s

sG

Utilizando la técnica de fracciones parciales:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) 222

222222

8857.03695.01774.1151.1

8857.03695.08857.03695.0

1774.1151.1

sDCssBAss

s

DCs

s

BAs

ss

s

+++++=+

+++++=

+++

Al resolver el sistema obtenemos los siguientes parámetros:

57008.1

38397.1

192617.0

38397.1

−=−===

D

C

B

A

Reemplazando los valores en la ecuación anterior se tiene:

( )( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )22222

222222

8857.03695.0

09147.1

8857.03695.0

3695.038397.1

192617.038397.1

8857.03695.0

57008.138397.1192617.038397.1

8857.03695.0

1774.1151.1

++−

+++−+=

+++−+=

+++=

ss

s

sss

sG

s

s

s

s

ss

s

s

sG

Tomando la transformada Z nos queda:

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

+−−

+−−−

−+

−=

−−−−

−−

−−−−

−−

−

−

23695.0213695.0

13695.0

23695.0213695.0

13695.0

21

1

8857.0cos21

8857.0232325.1

8857.0cos21

8857.0cos138397.1

1192617.0

138397.1

zeTze

Tsenze

zeTze

Tze

z

Tz

z

z

s

sGZ

TT

T

TT

T

Luego multiplicamos por el valor de ( )11 −− z a la ecuación anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

+−−

+−−−

−+

−−=

−=

−−−−

−−

−−−−

−−

−

−−−

23695.0213695.0

13695.0

23695.0213695.0

13695.0

21

111

8857.0cos21

8857.0232325.1

8857.0cos21

8857.0cos138397.1

1192617.0

138397.111

zeTze

Tsenze

zeTze

Tze

z

Tz

z

zz

s

sGZzzG

TT

T

TT

T

Finalmente se reemplaza el tiempo de muestreo de T= 0.1 seg. y se obtiene la

siguiente función de transferencia discreta:

( )9288.0849.292.2

005447.010268.2005641.023

52

−+−−−=

−

zzz

zxzzG

2.1.2.2. MODELO A ECUACIÓN DE DIFERENCIAS.

Tomando como partida la ecuación de transferencia discreta procedemos a

dividir tanto al numerador como al denominador para Z elevada a la potencia

más alta con el fin de tener valores de potencia negativa:

( )

( ) ( )( ) 321

325

3

3

23

52

9288.0849.292.21

005447.010268.2005641.0

*9288.0849.292.2

005447.010268.2005641.0

−−−

−−−−

−

−−

−+−−−==

−+−−−=

zzz

zzxz

zu

zyzG

z

z

zzz

zxzzG

Multiplicando los términos miembro a miembro:

( )[ ] ( )[ ]3251321 005447.010268.2005641.09288.0849.292.21 −−−−−−− −−=−+− zzxzzuzzzzy

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]3005447.0210268.2100564.0

39288.02849.2192.25 −−−−−

=−−−+−−− kukuxku

kykykyky

2.1.2.3 ESPACIO DE ESTADO DISCRETO

Para encontrar el modelo a variables de estado discretas se parte de la

ecuación de diferencias y se despeja el término y[k]:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]3005447.0210268.2100564.0

39288.02849.2192.25 −−−−−+

−+−−−=− kukuxku

kykykyky

Seguidamente se construye el diagrama de bloques correspondiente a la

ecuación anterior, con el fin de plantear las ecuaciones matriciales de estado.

Con la ayuda del diagrama se construye el modelo a variables de estado:

[ ][ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ]

[ ] [ ][ ][ ][ ]

−−=

+

−=

+++

−

kx

kx

kx

xky

ku

kx

kx

kx

kx

kx

kx

3

2

15

3

2

1

3

2

1

00564.010268.2005447.0

1

0

0

92.2849.29288.0

100

010

1

1

1

2.2 MODELACIÓN DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO SOBRE EL EJE

LONGITUDINAL (ALABEO) DE UN AVIÓN

• MODELOS CONTINUOS

2.2.1.1 MODELO A ECUACION DIFERENCIAL

Si recordamos la 1ª ley del movimiento esta dice: "un cuerpo en reposo tiende

a permanecer en reposo mientras que un cuerpo en movimiento tiende a

permanecer en movimiento en línea recta salvo que esté sujeto a una fuerza

externa".

1−z1−z 005447.0−1−z

510268.2 −−−−−−−− x

00564.0

92.2

849.2−

9288.0

∑

u[k]

y[k]

x1[k]

x2[k]

x3[k]

x1[k+1] x2[k+1]

x3[k+1]

∑

Si un avión está volando en línea recta y queremos hacerle girar será

necesaria la aplicación de alguna fuerza lateral que cambie la trayectoria. Esta

fuerza es el componente horizontal de la sustentación.

Comencemos por algo que sabemos: la sustentación total que resulta de

componer las fuerzas de sustentación parciales actúa de forma perpendicular

al eje transversal del avión.

En vuelo recto y nivelado la sustentación total actúa vertical y directamente

opuesta a la gravedad (peso), pero al alabear el avión la sustentación, que

sigue siendo perpendicular al eje transversal del aeroplano, actúa ahora en un

plano inclinado.

Si desglosamos esta sustentación en dos vectores, uno vertical y otro

horizontal, en ángulo recto el uno del otro, el vector "componente vertical de la

sustentación" se opone al peso (gravedad) mientras que el vector

"componente horizontal de la sustentación" actúa como fuerza centrípeta

tirando del avión hacia el centro de un eje imaginario e impulsándolo a girar

alrededor de dicho eje, contribuyendo la sección de cola a mantener el

aeroplano alineado con el viento relativo en la trayectoria curvada.

En síntesis: el objeto de alabear el avión para virar consiste en inclinar la

sustentación para que además de soportar el peso del avión provea la fuerza

centrípeta que mantiene al avión alrededor del eje vertical de giro,

contrarrestando la fuerza centrífuga que tiende a expulsar al avión de la

trayectoria curvada.

Figura 2.3 Alabeo del avión

Un modelo simplificado puede consistir de una función de transferencia que

describa la relación de entrada-salida entre las deflexiones del alerón de la

aeronave y el ángulo de alabeo de la aeronave.

Figura 2.4

Al realizar las suposiciones de simplificación y linealizando respecto a la

condición de vuelo nivelado respecto a las alas, se puede obtener la ecuación

diferencial que describe la salida, ángulo de alabeo ( φ ), con la entrada

deflexión del alerón (((( ))))δ

δϕϕk

ds

da

ds

d =+ 02

2

(1)

Si se considera que para un avión comercial a0 = 1.181 y k = 2.11, entonces el

modelo a ecuación diferencial es:

δϕϕ11.2181.1

2

2

=+ds

d

ds

d

2.2.1.2 MODELO A ESPACIO DE ESTADO

Este movimiento se lo puede expresar como un conjunto de ecuaciones

diferenciales ordinarias de primer orden. Esto es una representación a

variables de estado.

Tomando las variables de posición y velocidad de alabeo como estados, se

define el vector de estado x, como:

δϕ

ϕ

kxaxx

xxx

+−==

==

20

.

2

.

2

2

.

11

Al agrupar los estados en una matriz columna x, los coeficientes de las

ecuaciones de estado en una matriz cuadrada A y los coeficientes de la

entrada en un vector B, la forma matricial del modelo es:

x = Ax + Bu

y = Cx

[[[[ ]]]]δ

++++

−−−−====

kx

x

ax

x 0

0

10

2

1

0.

2

.

1

[ ] [ ][ ]δ0012

1 +

=

x

xy

Reemplazando a0 y k, se tiene:

[[[[ ]]]]δ

++++

−−−−====

11.2

0

181.10

10

2

1

.

2

.

1

x

x

x

x

[ ] [][δ02

101+

=x

xy

2.2.1.3 MODELO A FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Aplicando la transformada de Laplace a (1), se tiene:

s2φ(s) + a0s φ(s) = k δ(s)

Reemplazando se tiene:

s2φ(s) + 1.181s φ(s) = 2.11 δ(s)

( )( ) ( )181.1

11.2

+=

sss

s

δϕ

2.2.2. MODELOS DISCRETOS

2.2.2.1 MODELO A FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DISCRETA

Aplicando la técnica de discretización ZOH, el modelo discreto es:

( ) ( ) (−=−s

sGZzzG11

De la función de transferencia encontrada

( )( )181.1

11.22 +

=sss

sG

Utilizando la técnica de fracciones parciales:

( )181.1)181.1(

11.222 +

++=+ s

C

s

B

s

A

ss

Al resolver el sistema obtenemos los siguientes parámetros:

5 1 2 8.15 1 2 8.1

7 8 6 6.1

=−=

=

CB

A

Reemplazando los valores en la ecuación anterior se tiene:

( ))181.1(

5128.15128.17866.1

)181.1(

11.222 +

+−=+

=ssssss

sG

Tomando la transformada Z nos queda:

( )( )

−+

−+

−−=

−−−

−

121

1

1

15128.1

17866.1

15128.1

zez

Tz

z

z

s

sGZ

aT

Finalmente el modelo discreto es:

( )8886.0889.1

009755.001015.02 +−

+=zz

zzG

2.2.2.2 MODELO A ECUACIÓN DE DIFERENCIAS.

Partiendo de la función de transferencia discreta se procede a multiplicar el

numerador y el denominador por la variable z elevada al negativo de la más

alta potencia de la función de transferencia

( )2

2

2*

8886.0889.1

009755.001015.0−

−

−−−=

z

z

zz

zzG

La función de transferencia discreta es:

( )21

21

8886.0889.11

009755.001015.0−−

−−

−−−=

zz

zzzG

Multiplicando los términos miembro a miembro:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2009755.0101015.028886.01889.1 −−−=−−−− kukukykyky

2.2.2.3 MODELO A VARIABLE DE ESTADO DISCRETAS

Para encontrar el modelo a variables de estado discretas se despeja el término

y[k]:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2009755.0101015.028886.01889.1 −−−+−+−= kukukykyky

El diagrama de bloques correspondiente a la ecuación anterior es:

El modelo a variables de estado es:

[ ][ ]

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

−=

+

=

++

kx

kxky

kukx

kx

kx

kx

2

1

2

1

2

1

01015.0009755.0

1

0

889.18886.0

10

1

1

1−z1−z 009755.0−

01015.0

889.1

8886.0

∑

u[k]

y[k]

x1[k]

x2[k]

x1[k+1]

x2[k+1]

∑

SIMULACIÓN DE LOS SISTEMAS

En éste capítulo se presenta el análisis del comportamiento dinámico de los

sistemas continuos y discretos, mediante una interfaz gráfica desarrollada en

el paquete computacional MATLAB.

• MOVIMIENTO DE CABECEO DEL AVIÓN

3.1.1 SISTEMA CONTINUO

Una vez obtenido el modelo matemático del sistema se analiza el

comportamiento dinámico del mismo mediante la respuesta temporal, el lugar

geométrico de las raíces y la respuesta e frecuencia, seleccionando la opción

análisis dinámico en la pantalla 3.1.

Pantalla 3.1 Cabeceo en tiempo Continuo

3.1.1.1 Análisis del comportamiento Dinámico median te la Respuesta

Temporal.

Considerando que el sistema de control en estudio está sometido a

perturbaciones bruscas, se usa como señal de entrada de prueba una función

escalón unitario.

El análisis se realiza para el sistema en lazo abierto y en lazo cerrado con

realimentación unitaria, opciones que se seleccionan de la pantalla 3.2.

Pantalla 3.2 Análisis Dinámico

3.1.1.2 Sistema en Lazo Abierto.

La función de transferencia en lazo abierto es:

( ) ( )

+++=

+++=

921,0739,0

1541,0151,1

921,0739,0

1774,0151,1223 sss

s

sss

ssGLA

El cero se encuentra en:

1541,0−=s

Los polos se encuentran en:

886,0369,0

0

3,2

1

js

s

±−==

La respuesta escalón unitario de este sistema aparece en la figura 3.1 . La

respuesta muestra una oscilación al inicio debido al cero en s = -0.1541. El

tiempo de asentamiento tiende al infinito, es decir no tiene punto de equilibrio

debido al polo en el origen, por lo tanto el sistema es inestable.

Figura 3.1 Respuesta a un escalón unitario en tiempo continuo

Como se puede ver la respuesta de la simulación, cuando a la entrada es

sometida a un paso unitario no tiene punto de equilibrio.

Por ser el sistema inestable el estado estacionario tiende a infinito, entonces

no se puede analizar la estabilidad relativa ni el error en estado estacionario.

3.1.1.3 Sistema en Lazo Cerrado.

La función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria está

dada por:

( )( )

++++=

++++

015,26509,00881,0

1541,0151,1

1774,0072,2739,0

1774,0151,1223 sss

s

sss

sGLC


1541,0−=s


38,1325,0

0881,0

3,2

1

js

s

±−=−=

La respuesta escalón unitario de este sistema aparece en la figura 3.2. En

este caso la respuesta tiene una oscilación al inicio y tiene una amplitud de 1

debido al cero en s = -0.1541y a los polos 38,1325,03,2js±−=.

La respuesta la controla el polo en s1 = -0.0881, este polo dominante en lazo

cerrado desacelera la respuesta. El tiempo de asentamiento es de

aproximadamente 35 segundos.

El sistema aún no tiene una respuesta suficientemente rápida.

Figura 3.2 Lazo cerrado continuo.

3.1.1.4 Análisis del comportamiento Dinámico median te el Lugar


En este método se grafican las raíces de la ecuación característica para todos

los valores de un parámetro del sistema, por lo general este parámetro es la

ganancia de la función de transferencia en lazo abierto.

La función de transferencia en lazo cerrado es.

( )( ) )()(1

)(

015,26509,00881,0

1541,0151,1

2 sHsG

sG

sss

s

+=

++++

Se cumple la condición de ángulo:

( ) ( )( ) ( ) ( ),...3,2,1,0 ,12º180/ =+±= kksHsG

Y la condición de amplitud:

( ) ( ) 1=sHsG

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de

magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo

cerrado.

El lugar geométrico de las raíces presenta los puntos del plano complejo que

sólo satisfacen la condición de ángulo.

Las raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor

específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

La figura 3.3 representa el lugar geométrico de las raíces para el movimiento

de cabeceo.

Figura 3.3 Lugar geométrico de las raíces

Al analizar la estabilidad utilizando el criterio de Routh Hurwitz se tiene:

1 + GLA(s) = 0

s3 + 0.739s2 + (0.921 + 1.151K)s + 0.1774K = 0

s3 1 0.921 + 1.151K 0

s2 0.739 0.1774K 0

s1 0.9209+0.91096K 0

s0 0.1774K

Se tiene que:

Todos los términos de la primera columna del conjunto tienen signo positivo y

K debe ser mayor que cero para que el sistema sea estable.


en Frecuencia.

Este método presenta la respuesta del sistema en régimen permanente, ante

una entrada sinusoidal.

La función de transferencia sinusoidal, se caracteriza por su magnitud y

ángulo de fase, con la frecuencia como parámetro.

En este capítulo se analizarán los sistemas en estudio utilizando las trazas de

Bode que consta de dos gráficas: una que ofrece el logaritmo de la magnitud

y otra que muestra el ángulo de fase.

En la figura 3.4 se presenta la respuesta de frecuencia del sistema continuo,

esto es, el diagrama de magnitud y fase para el sistema en lazo abierto, y en

la figura 3.5 de la pantalla 3.4 se presenta el diagrama de magnitud y fase

para el sistema en lazo cerrado.

Figura 3.4 Diagrama de Bode

Al analizar el sistema en lazo abierto se tiene:

• El margen de fase (MF) es la cantidad de retardo de fase adicional

necesaria, a la frecuencia de cruce, para que el sistema quede al borde

de la inestabilidad, para el presente caso se tiene un valor de: MF =

46.9db.

• La frecuencia de cruce de ganancia ( ω1 ) es la frecuencia para la cual

el valor absoluto de G(jω) de la función de transferencia en lazo abierto,

es la unidad. Siendo el margen de fase 180º más el ángulo de fase de

la función de transferencia en lazo abierto a la frecuencia de cruce de

ganancia. Se tiene un valor de ω1 = 1.27rad/s.

• La frecuencia de cruce de fase ( ωπ) está definida como la frecuencia

a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto

es igual a -180º, para este caso no se tiene ningún valor ya que el

ángulo de fase no es igual a -180º en ningún momento.

• El margen de ganancia (MG) es la recíproca del valor absoluto de

G(jω) a la frecuencia a la cual el ángulo de fase es -180º, y es MG = -

20logG(jωπ), en este caso no existe.

Del sistema realimentado se tiene:

Figura 3.5 Diagrama de Magnitud de lazo cerrado.

• La frecuencia de resonancia ( ωr )es a la cual se le da el valor pico de

G(jωπ), y tiene un valor de: 1.32rad/s.

• El máximo de resonancia (Mr) es el valor pico de G(jω), y tiene un

valor de: 2.09dB.

• El ancho de banda (AB) es el rango de frecuencias en el cual el valor

del lazo cerrado no cae por debajo de -3dB. Tiene un valor de: 1.8rad.

3.1.2 SISTEMA DISCRETO

Al ingresar en la pantalla del sistema discreto se presentan las figuras de la

respuesta temporal, lugar geométrico de las raíces y la respuesta en

frecuencia de igual manera como fue para el sistema continuo.

La pantalla 3.3 presenta el sistema discreto con la opción de análisis

dinámico.

Pantalla 3.3 Cabeceo del avión en tiempo discreto.


Temporal.

Para el sistema discreto también está sometido a perturbaciones bruscas se

usa como señal de entrada de prueba una función escalón.


realimentación unitaria.

3.1.2.2 Sistema en lazo abierto


( )9288.0849.292.2

005447.000002288.000564.023

2

−+−−−=

zzz

zzzGLA

Los ceros están en:

00564.0

981.0

985.0

2

1

====−−−−====

====

Ganancia

z

z


0852.096.0

1

3,2

1

jz

z

±±±±========

Existe un polo sobre el círculo unitario, por cuanto el sistema es inestable.

Figura 3.6 Respuesta Escalón Unitario Discreto.

Las respuestas del sistema en lazo abierto en tiempo discreto y en tiempo

continuo son muy similares.

3.1.2.3 Sistema en lazo cerrado


dada por:

( )9342.0849.2914.2

005447.000002288.000564.023

2

−+−−−=

zzz

zzzGLA

Los ceros y los polos en lazo cerrado están en:

Ceros: 981.0

985.0

2

1

−−−−========

z

z Polos: 134.0962.0

991.0

3,2

1

jz

z

±±±±========

El sistema no es satisfactoriamente estable como se puede ver en la figura

3.7.

Figura 3.7 Lazo cerrado discreto.



Para el análisis mediante el lugar geométrico de las raíces es necesario tener

en la respectiva pantalla el círculo unitario. El análisis es similar que en el

caso continuo, la figura 3.8 describe dicho análisis.

Figura 3.8


en Frecuencia

En la figura 3.9 correspondiente a la pantalla 3.7 se presenta la respuesta de

frecuencia del sistema continuo, esto es, el diagrama de magnitud y fase para

el sistema en lazo abierto, y en la figura 3.10 de la pantalla 3.8 se presenta el

diagrama de magnitud y fase para el sistema en lazo cerrado.

Figura 3.9


• El margen de fase (MF) = 43.3º

• La frecuencia de cruce de ganancia( ω1 ) = 1.26rad/s

• La frecuencia de cruce de fase( ωπ) = 3.59rad/s

• El margen de ganancia(MG) = 20.4dB


• La frecuencia de resonancia( ωr )= 1.34rad/s

• El máximo de resonancia(Mr) = 2.89dB

• El ancho de banda(AB) = 1.9rad/s

Figura 3.10 Respuesta de frecuencia para el sistema discreto de Cabeceo

3.2 MOVIMIENTO LONGITUDINAL DEL AVIÓN

• SISTEMA CONTINUO

Se sigue el procedimiento similar como el descrito para el movimiento de

cabeceo tras la selección de la pantalla que describe el movimiento de alabeo.

Pantalla 3.4 Movimiento de Alabeo


Temporal.

Se considera que el sistema esta sometido a señales bruscas y se utiliza una

entada escalón unitario como señal de prueba.

Pantalla 3.5

3.2.1.2 SISTEMA EN LAZO ABIERTO


)181.1(

11.2)(

+=

sssGLA


181.1

0

3,2

1

−==

s

s

La respuesta escalón unitario de este sistema aparece en la pantalla 3.9 y que

corresponde a la figura 3.11.

Se puede ver en la simulación que la salida diverge sin límite de su estado de

equilibrio cuando es sometido a la entrada escalón unitario.

Figura 3.11

3.2.1.3 Sistema en lazo cerrado


dada por:

11.2181.1

11.2)(

2 ++=

sssGLC


33,1591,01 js ±−=

El sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria es un sistema de

segundo orden, tiene un coeficiente de amortiguamiento ξ = 0.41 y un

sobrepico máximo de 24.7%, es decir el sistema es subamortiguado y la

respuesta presenta oscilación, el tiempo de establecimiento es de 5.79s.

La figura 3.12 muestra la respuesta paso para el sistema realimentado.

Figura 3.12 Respuesta paso del sistema de alabeo en lazo cerrado



La figura 3.13 representa el lugar geométrico de las raíces para el movimiento

de alabeo.

Figura 3.13

Al analizar la estabilidad utilizando el criterio de Routh Hurwitz se tiene:

1 + GLA(s) = 0

s2 + 1.181s + 2.11K = 0

s2 1 2.11K 0

s1 1.181 0

s0 2.11K

Se tiene que: todos los términos de la primera columna del conjunto tienen

signo positivo y K debe ser mayor que cero para que el sistema sea estable.


en Frecuencia.

En la figura 3.14 se presenta la respuesta de frecuencia del sistema continuo,

esto es, el diagrama de magnitud y fase para el sistema en lazo abierto, y en

la figura 3.15 se presenta el diagrama de magnitud y fase para el sistema en

lazo cerrado.

Figura 3.14


• El margen de fase (MF) no corta el eje por lo tanto MF es infinito

• La frecuencia de cruce de ganancia ( ω1 )es de:1.24rad/s

• La frecuencia de cruce de fase ( ωπ) para este caso no se tiene ningún

valor ya que el ángulo de fase no es igual a -180º en ningún momento.

• El margen de ganancia(MG) es infinito


• La frecuencia de resonancia ( ωr ) tiene un valor de: 1.29rad/s

• El máximo de resonancia (Mr) tiene un valor de: 2.46dB.

• El ancho de banda(AB) Tiene un valor de: 2.01rad/s

Figura 3.15

3.2.2 SISTEMA DISCRETO

Pantalla 3.6


Temporal.

Debido que el sistema discreto también está sometido a perturbaciones

bruscas se usa como señal de entrada de prueba una función escalón.


realimentación unitaria, opciones que se seleccionan de la pantalla 3.14

Pantalla 3.14 Presentación de Análisis de Alabeo Discreto

3.2.2.2 Sistema en lazo abierto.


( )8886.0889.1

009755.001015.02 −−

−=zz

zzGLA


961.0−−−−====z


889.0

1

2

1

========

z

z

Existe un polo sobre el círculo unitario, por cuanto el sistema es inestable

La figura 3.16 muestra la respuesta a una entrada escalón unitario del sistema

discreto.

Figura 3.16

3.2.2.3 Sistema en lazo cerrado.


dada por:

( )8984.0878.1

009755.001015.02 −−

−=zz

zzGLC


961.0−−−−====z

Los polos de lazo cerrado son:

127.0939.02,1 jz ±±±±====

El sistema no es satisfactoriamente estable como se puede ver en la figura

3.17.

Figura 3.17



Para el análisis mediante el lugar geométrico de las raíces es necesario tener

en la respectiva pantalla el círculo unitario.

El análisis es similar que en el caso continuo, la figura 3.18 describe dicho

análisis en lazo abierto.

Figura 3.18


en Frecuencia.

En la figura 3.19 de la pantalla 3.15 se presenta la respuesta de frecuencia del

sistema continuo, esto es, el diagrama de magnitud y fase para el sistema en

lazo abierto, y en la figura 3.20 de la pantalla 3.16 se presenta el diagrama de

magnitud y fase para el sistema en lazo cerrado.

Figura 3.19


• El margen de fase (MF) = 40.2º

• La frecuencia de cruce de ganancia ( ω1 ) = 1.23rad/s

• La frecuencia de cruce de fase ( ωπ) = 4.88rad/s

• El margen de ganancia(MG) = 21.2dB


• La frecuencia de resonancia ( ωr )= 1.34rad/s

• El máximo de resonancia (Mr) = 2.89dB

• El ancho de banda (AB) = 1.9rad/s

Figura 3.20

CAPÍTULO 4 DISEÑO DE LOS CONTROLADORES.

En este capítulo se emplearán técnicas de control clásico y moderno con la

finalidad de obtener el mejor comportamiento de los sistemas.

Se desarrollan rutinas dentro del paquete computacional MATLAB con la

finalidad de obtener una respuesta confiable y una presentación interactiva de

fácil manejo.

En primer lugar se detalla una breve descripción de lo que son los

controladores tanto clásicos como modernos utilizados.

4.1 INTRODUCCIÓN

4.1.1 ACCIÓN PROPORCIONAL

La figura 4.1 muestra un control proporcional de una planta. Provee una

relación lineal continua entre el valor del error y la salida del controlador; y

básicamente se trata de un amplificador.

Figura 4.1 Control proporcional

La salida corresponde a la siguiente relación:

( ) ( )teKtVopP.= Donde:

KP = ganancia proporcional del amplificador.

e(t) = error.

Vop(t) = salida del controlador proporcional.

Una desventaja de este tipo de control es que puede existir una diferencia

permanente entre el valor real y el valor de referencia en estado permanente.

Sin embargo este tipo de control es uno de los más utilizados por su sencillez,

buena estabilidad y rapidez de respuesta.

4.1.2 ACCIÓN PROPORCIONAL DERIVATIVA

Esta acción se basa en la velocidad de variación de la señal de error,

entregando una salida que es proporcional a la derivada del error con respecto

al tiempo.

La figura 4.2 muestra un control PD de una planta.

Figura 4.2 Control PD

La salida del control derivativo responde a la siguiente expresión:

( ) ( )dt

tdeTtVDOD.=

Donde:

TD = tiempo de acción derivativa.

VOD = salida del control derivativo.

Esta acción resulta muy útil para mejorar la respuesta del control en los

transitorios, es decir, reduce el tiempo de estabilización y evita oscilaciones en

un sistema continuo.

El uso de esta acción en ciertos sistemas puede causar una desestabilización

por lo que su uso debe ser muy cauteloso.

Para un control PD en cascada con un sistema, la señal de control aplicada al

proceso es:

( ) ( ) (dt

deKteKtuDP..+=

Y la función de transferencia correspondiente es la siguiente:

()KKsGcDP+=

Donde:

KP = constante proporcional.

KD = constante derivativa.

El control PD equivale a añadir un cero simple en: D

P

K

Ks −= a la función de

transferencia de lazo abierto.

En el sistema ( )

dt

tde representa la pendiente de e(t), el control PD es en

esencia un control anticipativo. Esto significa que al conocer la pendiente, el

controlador puede anticipar la dirección del error y emplearla para controlar

mejor el proceso.

Normalmente, en sistemas lineales si la pendiente de e(t) debido a la entrada

escalón es grande, se producirá un sobreimpulso grande. El control derivativo

mide la pendiente instantánea, predice el MP grande adelante en el tiempo y

realiza una acción correctiva antes que se presente este MP excesivo.

El control derivativo afecta el error en estado estable de un sistema sólo si el

error en estado estable varía con el tiempo.

El controlador PD no altera el tipo del sistema que gobierna el error en estado

estable de un sistema con realimentación unitaria.

Para un sistema dado, existe un intervalo de valores de D

P

K

K que es óptimo

para mejorar el amortiguamiento del sistema, se debe elegir KP y KD según la

implementación física del controlador. Debido a su característica de filtro pasa

altos en la mayoría de los casos se aumenta el ancho de banda y reduce el

tiempo de subida del sistema a la entrada escalón.

4.1.2.1 EFECTOS DE LA ACCIÓN PD.

• Mejora el amortiguamiento y reduce el MP.

• Reduce el tiempo de levantamiento y establecimiento.

• Incrementa el ancho de banda.

• Mejora el margen de ganancia, margen de fase y máximo de

resonancia.

• No es efectiva en sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente

inestables.

• Puede requerir un capacitor muy grande en la implementación del

circuito.

Muchas situaciones pueden no ser apropiadas para aplicar un controlador PD.

4.1.3 ACCIÓN PROPORCIONAL INTEGRAL

Es una acción de control de reajuste automático que responde a una

integración de la señal de error. La señal de salida del controlador varía

completamente con una proporcionalidad a la magnitud de cambio de error. La

figura 4.3 muestra el control PI de una planta.

Figura 4.3 Control PI

De esta forma se obtiene que la señal que proporciona este tipo de controlador

persista en tanto en cuanto persista la magnitud del error.

La salida de este controlador responde a la siguiente expresión.

() ()∫=dtteTtVIOI

1

Donde:

T I = tiempo de acción integral.

VOI = salida del controlador integral.

La función de transferencia para el controlador a ser conectado en cascada

con la planta es la siguiente:

()s

KKsGcIP+=

Donde:

KP = constante proporcional.

KI = constante integral.

El control PI equivale a añadir un cero en: P

I

K

Ks −= y un polo en el origen en

la función de transferencia de lazo abierto. Mejora el error de estado estable a

costa de la estabilidad.

En esencia el control PI es un filtro pasa bajos, el sistema compensado tendrá

un tiempo de levantamiento más bajo y un tiempo de establecimiento más

largo.

Un método para diseñar un control PI es seleccionar el cero relativamente

cerca del origen y lejos de los polos significativos del proceso, y los valores de

KI y KP deben ser relativamente pequeños.

4.1.3.1 EFECTOS DE LA ACCIÓN PI :

4 El error en estado estable del sistema original se mejora en su orden.

5 Mejora el amortiguamiento y reduce el máximo sobreimpulso.

6 Incrementa el tiempo de levantamiento.

7 Disminuye el ancho de banda.

8 Mejora el margen de ganancia, margen de fase y máximo de

resonancia.

9 Filtra el ruido de alta frecuencia.

10 Hay que elegir bien las constantes KI y KP para que los elementos que

componen el controlador sean físicamente realizables.

4.1.4 ACCIÓN PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVA

Figura 4.4 Control PID

Es una modalidad de control muy sofisticada que cambia las tres acciones

antes explicadas en un solo controlador físico, siendo la relación a la que

responde la siguiente:

( ) ( ) ( )dt

tdeTkdtte

T

kteKVo Dp

t

I

pPPID .* ++= ∫

∞−

Y como función de transferencia puede ser expresada como:

()

++=TsTKsFcDIP

11

Donde:

Fc(s) = función de transferencia del controlador P.I.D.

En controladores PID reales no se ajusta la ganancia proporcional, sino una

banda proporcional, que es igual a KP-1 y se expresa como porcentaje.

Banda proporcional de 25% → KP = 4 → 25% = 1/KP

KP -1→ banda proporcional.

4.2 TÉCNICAS PARA CALIBRAR LOS CONTROLADORES PID

El primer problema que se enfrenta cuando se sintoniza un controlador es

definir cuál es el mejor control.

El ajuste de los controladores, generalmente se basa en métodos que tratan

de cumplir con algunos criterios de control basados en la experiencia y que

han dado buenos resultados en procesos industriales.

La calidad de desempeño de un sistema se evalúa de acuerdo a los

parámetros como: la estabilidad, exactitud, precisión y respuesta transitoria.

Entre los criterios con los que se podría evaluar la respuesta de un sistema

están: el método analítico y el método experimental.

4.2.1 MÉTODO ANALÍTICO

• Se determinan las ecuaciones o función de transferencia para cada

componente del sistema.

• Se escoge un modelo para representar al sistema (diagrama de

bloques).

• Se implementa el modelo del sistema.

• Se determinan las características del sistema.

4.2.2 MÉTODO EXPERIMENTAL

Las características estáticas y dinámicas del sistema se obtienen a partir de

una serie de medidas que se realizan al sistema físico.

4.2.3 MÉTODOS DE AJUSTE EN LAZO CERRADO:

4.2.3.1 MÉTODO DE TANTEO:

Para que se pueda aplicar este método se requiere que el sistema esté

implementado en su totalidad y trabajando en forma normal. El método se

basa en poner en marcha al sistema con ganancias mínimas en las acciones

proporcional, integral y derivativa del controlador, e irlas incrementando en

pasos mínimos individualmente hasta conseguir la respuesta deseada del

sistema.

4.2.3.2 CALIBRACIÓN DEL CONTROLADOR PID

Se ajusta la ganancia proporcional con las ganancias integral y derivativa en

cero o en un valor mínimo. Se incrementa la ganancia proporcional hasta tener

una relación de amortiguamiento de 0,25 para luego incrementar la ganancia

integral.

Como la acción integral al ser incrementada pretende conseguir un error en

estado estable igual a cero, sacrificando la estabilidad, se recomienda

disminuir un poco la ganancia proporcional e incrementar en pasos pequeños

la ganancia integral mientras se evalúa el comportamiento del sistema en cada

caso.

Es recomendable, que del último ajuste ensayado se disminuya un poco el

valor de la ganancia integral, hasta acercarse al punto de inestabilidad.

Aquí se aumenta la ganancia derivativa en pasos pequeños, creando al mismo

tiempo desplazamientos de la referencia hasta obtener en el proceso un

comportamiento cíclico, reduciendo ligeramente la última ganancia derivativa.

Después de estos ajustes se puede incrementar la ganancia proporcional para

conseguir mejores resultados en el control. Con este tipo de control se

pretende llevar a la variable lo más rápidamente posible a su valor deseado

ante cualquier cambio de set-point o perturbación que interfiera en el sistema,

además de conseguir un error de estado estable de casi cero.

Otro procedimiento de calibración es el que procede de la siguiente

manera:

Se trabaja primero con una ganancia proporcional que da lugar a una ligera

oscilación ante una perturbación, con la acción integral al mínimo.

Se aumenta a continuación la acción derivativa hasta eliminar la oscilación. Se

aumenta de nuevo la ganancia proporcional hasta que la oscilación se reinicia

y se aumenta aún más la ganancia derivativa hasta eliminarlo, continuando

con estos pasos hasta que el aumento de la ganancia derivativa no mejore la

oscilación producida.

Finalmente se ajusta la acción integral en la forma descrita anteriormente para

eliminar el error u offset.

4.3 SISTEMAS CONTINUOS

4.3.1 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO DE CABECEO

Una vez planteadas las ecuaciones que ayudan a modelar el movimiento de

cabeceo del avión se toma la transformada de Laplace (asumiendo

condiciones iniciales nulas) obteniendo la siguiente función de transferencia

que relaciona la salida del problema con la entrada:

sss

ssG

921.0739.0

1774.0151.1)(

23 ++++++++++++====

Considerando el sistema de la figura 1, en el cual se utilizará un controlador

PID para controlar el sistema cumpliendo con los siguientes requerimientos:

4 Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.

5 Tiempo de establecimiento inferior a 10 segundos, esto es, la respuesta

se estabiliza en una banda del 5 % alrededor del valor en estado

estable en un tiempo inferior a 10 segundos.

Figura 4.5 Control PID para el movimiento de Cabeceo

El controlador PID tiene la función de transferencia:

s

kskk I

DP ++sss

s

921,0739,0

1774,0151,123 +++ ( )sθ( )seδ

+

+=skds

kikpsGc)(

Se determina la función de transferencia en lazo cerrado con realimentación

unitaria, relacionando la salida con la entrada mediante un control

proporcional:

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )sss

skpsss

skp

sR

sY

Gpkp

Gpkp

sR

sY

921,0739,0

1774,0151,11

921,0739,0

1774,0151,1

1

23

23

++++

+++

=

+=

( )( )

( )( ) kpskpss

skp

sR

sY

1774,0921,0151,1739,0

1774,0151,123 ++++

+=

La ecuación característica es:

( ) 01774,0921,0151,1739,0 23 =++++ kpskpss

01 7 7 4.0

00 8 9 0.09 2 0 9.001 7 7 4.07 3 9.0

1 5 1.09 2 1.01

0

2

3

k ps

k psk psk ps

−

+

La ganancia crítica es:

kcr = 10.35

La ecuación característica con Kp igual a kcr (= 10.35), es:

08361.18338.12739,0 23 =+++ sss

Ahora se sustituye s = jω en la ecuación característica, para encontrar la

frecuencia de oscilación:

08361.18338.12)(739,0)( 23 =+++ ωωω jjj

0)484.2()484.2(739.0 22 =−+− ωωω j

A partir de lo cual se encuentra que la frecuencia de oscilación es ω = 1.576,

así el período de oscilación es:

987.3576.1

22===πωπPcr

Utilizando la regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica

kcr se tiene:

Kp = 0.6kcr = 6.21

Ti = 0.5Pcr = 2 -› k i = 3.11

Td = 0.125Pcr = 0.5 -› kd = 3.09

Por lo tanto la función de transferencia del controlador PID es

++++

++++==== ss

sGc 09.311.3

21.6)(

A continuación se examina la respuesta escalón unitario del sistema.

Figura 4.6 Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un

controlador PID de parámetros kp=6.21, ki=3.11 y kd=3.09

La figura 6 muestra la curva de respuesta escalón unitario resultante. El

sobrepico máximo en la respuesta a un escalón unitario es de 11.9% y un

tiempo de establecimiento de 2.94 segundos. El objetivo es alcanzar un

sobrepico menor al 10%, entonces se debe reducirlo mediante una sintonía

fina de los parámetros del controlador. Dicha sintonía se puede hacer en el

computador. Se encuentra que para kp = 24, ki = 12, kd = 12, es decir

utilizando el controlador PID

+

+= ss

sGc 1212

24)(

Se tiene que el sobrepico se reduce a 6.1%, y el tiempo de establecimiento es

de 0.85 segundos, como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7 Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un

controlador PID de parámetros kp=24, ki=12 y kd=12

4.3.2 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA CONTINUO DEL MOVI MIENTO

DE ALABEO (SOBRE EL EJE LONGITUDINAL)

La función de transferencia es:

( )181.1

11.2)(

+=

sssG

Se utilizará un controlador PD para controlar el sistema cumpliendo con los

siguientes requerimientos:

6 Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.

7 Tiempo de establecimiento inferior a 6 segundos

Para cumplir con estos requerimientos se tiene que: ξ = 0.59, ωn = 3.389 rad/s,

por lo tanto los polos deseados son:

21 ξωξω −−−−±±±±==== njnpd

pd= -2 ±j2.74

()

+=D

PDk

ksksGc

A partir de la condición de ángulo se tiene que:

07.4

º180º64.106º13.1262

74.2tan

180181.1

1

74.2274.22

74.22

=

−=−−+−

−=+∠−∠−+∠

−

+−=+−=+−=

D

D

jsjs

jsD

k

kp

k

kp

ssk

kps

A partir de la condición de modulo, se halla el valor de kd

1)181.1(

11.2*)07.4(

74.22

=+

+

+−= jsss

skd

kd = 1.34

kp = 4.07*1.34 = 5.44

Por lo tanto la función de transferencia del controlador PID es

Gc(s)=1.34(s + 4.07)

A continuación se examina la respuesta escalón unitario del sistema.

Figura 4.8 (a) Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un

controlador PD de parámetros kp=5.44 y kd=1.34

Se tiene que el sobrepico es 16.6%, y el tiempo de establecimiento es de 1.48

segundos, como se muestra en la figura 4.8 a.

Una respuesta mucho mejor se la obtiene con kp=32.56 y kD=8, con un

sobrepico de 8.44% y un tiempo de establecimiento de 0.6segundos, como se

ve en la figura 4.8b, donde el controlador queda determinado por:

Gc=8(s+4.07)

Figura 4.8b Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un

controlador PD de parámetros kp=16.4 y kd=8

4.4 SISTEMAS DISCRETOS

Para el sistema discreto se realiza el diseño del control clásico y moderno,

usando la técnica de discretización.

4.4.1 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVI MIENTO DE

CABECEO

Para el control clásico, se utiliza un sistema de control discretizado en lazo

cerrado.

El diseño del controlador PID se realiza de la misma forma que el sistema

continuo, y luego de obtener la función de transferencia se discretiza utilizando

el método ZOH, con el comando c2d en el MATLAB.

La figura 4.9 presenta la respuesta escalón del sistema discretizado

Figura 4.9 Respuesta a un escalón unitario del sistema discreto controlado con

un controlador PID

Se tiene un sobrepico del 4.09% y se estabiliza en 2.66 segundos, para un

periodo de muestreo de 0.07s, es decir cumple con los requerimientos de

diseño.

4.4.2 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVI MIENTO DE

ALABEO.

La figura 4.10 presenta la respuesta escalón del sistema discretizado.

Figura 4.10 Respuesta a un escalón unitario del sistema discreto controlado

con un controlador PD.

Existe sobrepico de 9.64% y se estabiliza en 0.6 segundos para un período de

muestreo de 0.02s, es decir cumple con los requerimientos de diseño.

• 4.5 ANÁLISIS Y CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO

En tanto que la teoría de control convencional se basa en la descripción de las

ecuaciones de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la

descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones

diferenciales de primer orden.

El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación

matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en la cantidad de

variables de estado, de entradas y de salidas no aumenta la complejidad de

las ecuaciones.

4.5.1 DEFINICIONES

• Estado: El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño

de variables de modo que el conocimiento de estas variables en t=t0,

junto con el conocimiento de la entrada para t>=t0, determina por

completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t>=t0.

• Variables de estado: Las variables de estado de un sistema dinámico

son las que forman el conjunto más pequeño de variables que

determinan el estado del sistema dinámico. Si se necesitan al menos n

variables x1, x2... xn para describir por completo el comportamiento de

un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada

para t>=t0 y se especifica el estado inicial t=t0 el estado futuro del

sistema se determina por completo), tales n variables son un conjunto

de variables de estado.

• Vector de estado : Si se necesitan n variables de estado para describir

por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n

variables de estado se consideran los n componentes de un vector x.

Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado

es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para

cualquier tiempo t>=t0, una vez que se obtiene el estado en t=t0 y se

especifica la entrada u(t) para t>=t0.

• Espacio de estados: El espacio de n dimensiones cuyos ejes de

coordenadas están formados por el eje x1, eje x2..., eje xn se

denominan espacio de estados. Cualquier estado puede representarse

mediante un punto en el espacio de estados.

4.5.2 FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE UN SI STEMA

En el análisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de

variables en el modelado de sistemas dinámicos:

• Variables de entrada

• Variables de salida

• Variables de estado

Suponemos que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene n

integradores. También suponemos que existen r entradas y m salidas.

Definimos n salidas de los integradores como variables de estado. El sistema

se describe mediante:

en donde la primera es la ecuación de estado y la segunda la ecuación de

salida.

Si las funciones vectoriales f y g involucran explícitamente el tiempo t, el

sistema se denomina sistema variante con el tiempo.

Si se linealizan las ecuaciones alrededor del estado de operación, tenemos las

siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas.

A(t) matriz de estado.

B(t) matriz de entrada.

C(t) matriz de salida.

D(t) matriz de transmisión directa.

Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explícitamente, el

sistema se denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso las

ecuaciones son:

En la figura 4.11 se representa el diagrama de bloques del sistema de control

lineal en tiempo continuo representado en el espacio de estados.

Figura 4.11

Existen muchas maneras diferentes de describir un sistema de ecuaciones

diferenciales lineales. La representación en espacio de estado está dado por

las ecuaciones:

DuxCy

BuxAdt

xd

++++====

++++====

donde x es un vector n por 1 que representa el estado (comúnmente en

sistemas mecánicos variables posición y velocidad ), u es un escalar que

representa la entrada (comúnmente una fuerza o un torque en sistemas

mecánicos), e y es un escalar que representa la salida. Las matrices A (n por

n), B (n por 1), y C (1 por n) determinan las relaciones entre las variables de

estado, entrada y salida


4.6.1 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE CABECEO EN EL ESPA CIO DE

ESTADO

La representación el espacio de estado del sistema es:

u

x

x

x

x

x

x

+

−−=

1

0

0

739.0921.00

100

010

3

2

1

.

3

.

2

.

1

[ ]

=

3

2

1

0151.11774.0

x

x

x

y

Donde:

−−=739.0921.00

100

010

A

=1

0

0

B

[151.11774.0=C

Figura 4.12 Sistema de cabeceo en el espacio de estado.

4.6.1.1 CONTROLABILIDAD

1 ∑ ∫ ∫ ∫ 0.1774

∑

-

-

-

u .

3X

.

1X.

2X

3x 2x 1x

y

Un sistema es considerado controlable si el estado se puede mover a

cualquier dirección deseada mediante la elección adecuada de las señales de

control en un intervalo de tiempo finito. Esto se da si sólo si la matriz de

controlabilidad tiene rango total.

[2BAABBMc=

Es decir,

−−−−−−−−−−−−====

375.0739.01

739.010

100

Mc

El rango de la matriz Mc es 3, por lo tanto el sistema es totalmente

controlable.

4.6.1.2 OBSERVABILIDAD

La observabilidad se define como la capacidad rededucir información de todos

los modos del sistema midiendo las salidas detectadas.

Se tiene que el sistema es observable si sólo si matriz de observabilidad es de

rango completo.

La matriz de observabilidad del sistema es:

(((( ))))[[[[ ]]]]TTTTT CACACMo **2====

Es decir,

−−−−====

673,0151.10

06.11774.0151.1

001774.0

Mo

El rango de la matriz Mo es 3, por lo tanto el sistema es totalmente

observable.

4.6.2 REALIMENTACIÓN DE ESTADO

Figura 4.13 Sistema realimentado.

El sistema utiliza el control mediante realimentación de estado u = -Kx. Se

escogen los polos en lazo cerrado en

0.15s

2.099*j--2.365s

2.099;*j+-2.365=s

−==

Se han escogido estos polos ya que con ellos se obtiene una respuesta

transitoria aceptable.

Para determinar la matriz de ganancias de realimentación de estado, se

utilizará el método de sustitución directa debido a que el sistema es de orden

3, para orden mayor a éste, el método utilizado se volvería muy tedioso.

Defiendo la matriz de ganancia de realimentación del estado K deseada como:

[[[[ ]]]]321 kkkk ====

e igualando BkAsI ++++−−−− con la ecuación característica deseada se obtiene:

• La ecuación característica deseada es:

5.1705.1088.4s 0.15)2.099)(s*j2.3652.099)(s*j-2.365(s 23 +++=++++ ss

• Cálculo de BkAsI ++++−−−−

[[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) 12921.03739.0

321

1

0

0

739.0921.00

100

010

00

00

00

23 ksksks

kkk

s

s

s

BkAsI

++++++++++++++++++++====

++++

−−−−−−−−−−−−

====++++−−−−

(((( )))) (((( )))) 5.1705.1088.412921.03739.0 2323 ++++++++++++====++++++++++++++++++++ sssksksks

[[[[ ]]]]141.4784.95.1====k

La respuesta al escalón llega al valor de 0.118 lo cuál debería llegar hasta el

valor de la unidad.

Para llegar al valor unitario, al sistema le damos una compensación en

amplitud multiplicando por una ganancia de N = 8.47 obteniendo así la

respuesta deseada.

La respuesta al escalón se muestra en la figura 4.14 donde el sobrepico es de

0.56% y el tiempo de establecimiento es de 1.18s.

Figura 4.14 Respuesta escalón del sistema controlado

4.6.3 ANÁLISIS DEL SISTEMA CONTINUO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO

EN EL ESPACIO DE ESTADO

La representación el espacio de estado del sistema es:

ux

x

x

x

++++

−−−−====

1

0

181.10

10

2

1.

2

.

1

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]ux

xy 0011.2

2

1 ++++

====

Figura 4.15 Sistema de alabeo en el espacio de estado.


La matriz de controlabilidad del sistema es:

[ABBMc=

Es decir,

−=49.211.2

11.20Mc

La matriz Mc es de orden 2.


controlable.



[TTTCACMo*=

Es decir,

1 ∑ ∫ ∫

-

u .

1X.

2X

2x 1x

y

=

10

01Mo


observable.

4.6.4 REALIMENTACIÓN DE ESTADO

El sistema utiliza el control mediante realimentación de estado u = -Kx. Se

escogen los polos en lazo cerrado en

0.74;*j-2.73=s±

Se han escogido estos polos ya que con ellos se obtiene una respuesta

transitoria aceptable.

Defiendo la matriz de ganancia de realimentación del estado K deseada como:

[[[[ ]]]]21 kkk ====

(((( )))) 12181.12 ksksBkAsI ++++++++++++====++++−−−−

(((( )))) 846.512181.1 22 ++++++++====++++++++++++ ssksks

[[[[ ]]]]279.48====k

La respuesta al escalón llega al 0.264. Para hacerla unitaria cambiamos por

una ganancia N = 3.79

La respuesta al escalón se muestra en la figura 4.16, El sobrepico es nulo y el

tiempo de establecimiento es de 1.92s.

Figura 4.16 Respuesta escalón del sistema controlado


4.7.1 CONTROL DISCRETO EN EL ESPACIO DE ESTADO PARA EL

MOVIMIENTO DE CABECEO .

Se realiza el análisis del sistema discreto, obteniendo controlabilidad y

observabilidad.

)(

0

001235.0

04907.0

)(

)(

)(

104998.0001235.0

09989.004907.0

004519.09626.0

)1(

)1(

)1(

3

2

1

3

2

1

ku

kx

kx

kx

kx

kx

kx

+

−=

+++

[ ]

=)(

)(

)(

1774.0151.10)(

3

2

1

kx

kx

kx

ky



[2BAABBMc=

Es decir,

=0004.00001.00

0060.00036.00012.0

0452.00472.00491.0

Mc


controlable.



(((( ))))[[[[ ]]]]TTTTT CACACMo **2====

Es decir,

=1774.01635.11116.0

1774.01586.00567.0

1774.0151.10

Mo


observable.

4.7.2 REGULADOR DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE

CABECEO

Figura 4.17 Respuesta escalón unitario del sistema controlado.

La figura 4.17 presenta la respuesta escalón del sistema controlado, con un

sobrepico máximo de 0.56%, y un tiempo de establecimiento de 1.2 segundos.

4.7.3 CONTROL DISCRETO EN EL ESPACIO DE ESTADO PARA EL

MOVIMIENTO DE ALABEO .

)(199.0

01015.0

)(

)(

8886.00

09432.01

)1(

)1(

2

1

2

1 kukx

kx

kx

kx

+

=

++

[ ]

=)(

)(01)(2

1

kx

kxky



[ABBMc=Mc = [B AB]

Es decir,

=1768.0199.0

0289.0101.0Mc


controlable.



[TTTCACMo*= Mo = [CT AT *CT ]

Es decir,

=0943.01

01Mo

El rango de la matriz Mo es 2, por lo tanto el sistema es totalmenteobservable.

4.7.4 REGULADOR DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENT O DE

ALABEO

Figura 4.18 Respuesta Escalón del sistema controlado

La figura 4.18 presenta la respuesta escalón del sistema discreto controlado,

con un sobrepico nulo, y un tiempo de establecimiento de 2 segundos.

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV Y

CONTROL ÓPTIMO

5.1 INTRODUCCIÓN

De la teoría de la mecánica clásica, se sabe que un sistema es estable si su

energía total se reduce continuamente, hasta alcanzar un estado de equilibrio.

Sin embargo para sistemas puramente matemáticos, no existe una forma

simple de definir una “función energía”.

Para vencer esta dificultad, Lyapunov introdujo la función de Lyapunov, una

función ficticia de energía.

• DEFINICIÓN POSITIVA DE FUNCIONES ESCALARES

Se dice que una función escalar V(x) es definida positiva en una región Ω (que

incluye el origen del espacio de estado) si V(x) > 0 para todos los valores x no

cero de la región Ω y si V(0) = 0.

• DEFINICIÓN NEGATIVA DE FUNCIONES ESCALARES

Una función escalar V(x) es definida negativa si –V(x) es definida positiva.

• SEMIDEFINICIÓN POSITIVA DE FUNCIONES ESCALARES.

Una función escalar V(x) es semidefinida positiva en todos los estados en la

región Ω excepto en el origen.

• SEMIDEFINICIÓN NEGATIVA DE FUNCIONES ESCALARES.

Una función escalar V(x) es semidefinida negativa si –V(x) es positiva

semidefinida.

• ESTADO DE EQUILIBRIO.

f(xe, para todo t) = 0, es el punto en el que las variables de estado son igual a

cero.

Respuesta al estado inicial:

• ESTABILIDAD EN EL SENTIDO DE LIAPUNOV.

Si suponemos que S(δ) está formada por todos los puntos tales que

y si suponemos también que S(ε) está formada por todos los puntos tales que

El número real δ depende de ε, y en general, también depende de to. Si δ no

depende de to, se dice que el estado de equilibrio es uniformemente estable.

• ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DE SISTEMAS EN

TIEMPO CONTINUO

Considerando el siguiente sistema lineal:

Axx =.

(1)

Donde x es un vector de estado y A es una matriz de coeficientes constantes.

Se selecciona una función de Liapunov (V)

PxxxV T=)(

En donde P es una matriz definida positiva. La derivada con respecto al tiempo

de V(x) es

xPAPAxxV

PAxxPxAxxV

PAxxPxAxxV

xPxPxxxV

TT

TTT

TT

TT

)()(

)(

)()(

)(

.

.

.

...

+=

+=

+=

+=

Dado que V(x) es definida positiva, para una estabilidad asintótica se requiere

que )(.

xV sea definida negativa. Por tanto se requiere que

)()(.

PxxxV T−=

(PAPAQT+−== definida positiva

Así, para estabilidad asintótica del sistema de la ecuación (1), es suficiente

que Q sea definida positiva. Para una prueba de definidad positiva de una

matriz, se aplica el criterio de Silvester, que plantea que una condición

necesaria y suficiente para que la matriz sea definida positiva, es que los

determinantes de todos los menores principales sucesivos de la matriz sean

positivos.

Es conveniente primero especificar una matriz Q definida positiva y después

examinar si P es definida positiva. La matriz P se determina a partir de

QPAPAT−=+


5.2.1 ESTABILIDAD DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO DE CAB ECEO

Considerando el sistema de control realimentado de la figura 1

Figura 5.1 Sistema de control realimentado de Cabeceo.

y que las variables de estado son

=

αθθ.

3

2

1

x

x

x

El sistema está descrito mediante

−−−=

3

2

1

.

3

.

2

.

1

739.0072.21774.0

100

010

x

x

x

x

x

x

Es evidente que el estado de equilibrio es el origen. Suponiendo una función

de Lyapunov V(x)

PxxxV T=)(

Donde P va a determinarse a partir de

IPAPAT−=+)(AT P + PA = − Q

De aquí se obtiene

=2.6741.4762.818

1.476 3.813 2.557

2.8182.5576.101

P

Se observa que

02 2 . 4 2 2 )d e t (

7 2 5.1 68 1 3.35 5 7.25 5 7.21 0 1.601 0 1.6

>=

>=

>

P

Por lo tanto P es positiva definida. Por tanto, el estado de equilibrio en el

origen es asintóticamente estable y una función de Lyapunov es

)()(

952.2636.5114.5674.2813.3101.6)(

)(

23

22

21

.

32312123

22

21

xxxxV

xxxxxxxxxxV

PxxxV T

++−=

−−−++==

El sistema del movimiento de cabeceo es estable si:

0)(

0)(.

<

>

xV

xV

Es decir si

0)()(

0952.2636.5114.5674.2813.3101.6)(

23

22

21

.

32312123

22

21

<++−=

>−−−++=

xxxxV

xxxxxxxxxxV

5.2.2 ESTABILIDAD DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO DE ALA BEO

Considerando el sistema de control realimentado de la figura 2

Figura 5.2 Sistema realimentado de Alabeo.

y que las variables de estado son

=

..

2

.

1

φφ

x

x

El sistema esta descrito mediante

−−=

2

1.

2

.

1

181.111.2

10

x

x

x

x

Es evidente que el estado de equilibrio es el origen. Suponiendo una función

de Lyapunov V(x)

PxxxV T=)(

IPAPAT−=+)((AT P + PA) = − I

Entonces:

=0.6240.237

0.2371.597 P

Se observa que

00.940359624.0237.0

237.0597.1

0597.1

>=

>

Por lo tanto P es positiva definida. Por tanto, el estado de equilibrio en el

origen es asintóticamente estable y una función de Lyapunov es

.

22

21

.

2221

21

)()(

624.0474.0597.1)(

)(

xxxV

xxxxxV

PxxxV T

+−=

+−==

El sistema del movimiento de alabeo es estable si:

0)(

0)(.

<

>

xV

xV

Es decir si

0)()(

0674.2474.0597.1)(

22

21

.

2221

21

<+−=

>+−=

xxxV

xxxxxV


5.3.1 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DE SIS TEMAS EN

TIEMPO DISCRETO

Como en el caso de los sistemas en tiempo continuo, la estabilidad asintótica

es el concepto más importante en la estabilidad de los estados de equilibrio de

los sistemas en tiempo discreto.

Considerando el siguiente sistema en tiempo discreto

()1(kxAkxD=+ x(k 1) A x(k) (2)

Donde

nxndeteconsgularnomatrizunaesA

estadodevectorx

D tansin

=

El origen x=0 es el estado de equilibrio.

Se escoge como posible función de Liapunov

()())((kPxkxkxVT=V (x(k)) = xT (k)Px(k)

Donde P es una matriz positiva definida. Entonces

)())(())((

)()()()())((

)()()]([)]([))((

)()()1()1())((

))(()1(())((

kxPPAAkxkxV

kPxkxkxPAAkxkxV

kPxkxkxAPkxAkxV

kPxkxkPxkxkxV

kxVkxVkxV

DT

DT

TD

TD

T

TD

TD

TT

−=∆

−=∆

−=∆−++=∆

−+=∆

Dado que V(x(k)) se ha seleccionado para ser positiva definida, se requiere,

para la estabilidad asintótica, que ∆V(x(k)) sea negativa definida. Por lo tanto

()())((QxkxkxVT−=∆∆ V (x(k)) = − xT (k)Qx(k)

Donde

)( PPAAQ DTD −−= = definida positiva

De esta manera, para la estabilidad asintótica del sistema en tiempo discreto

de la ecuación (2), es suficiente que Q sea positiva definida.

Como en el caso de sistemas de tiempo continuo, es conveniente especificar

primero una matriz Q positiva definida y luego ver si la matriz P determinada

por

TD

es o no positiva definida. Nótese que P positiva definida es una condición

necesaria y suficiente.

5.3.2 ESTABILIDAD DE UN SISTEMA EN TIEMPO DISCRETO OBTENIDO

AL DISCRETIZAR UN SISTEMA EN TIEMPO CONTINUO

Si el sistema se describe en términos de ecuaciones en el espacio de estado,

la estabilidad asintótica de un estado de equilibrio de un sistema en tiempo

discreto obtenido al discretizar un sistema en tiempo continuo, equivale a la

del sistema en tiempo continuo original.

Considere un sistema en tiempo continuo

Axx =.

y el sistema correspondiente en tiempo discreto

()1(kxAkxD=+ x(k 1) A x(k)

Siendo

ATD eA =

Si el sistema en tiempo continuo es asintóticamente estable, es decir, si todos

los valores propios de la matriz A tienen partes reales negativas, entonces

∞→→ ncuandoA nD ,0

Y el sistema discretizado también es asintóticamente estable. Esto se debe a

que, si las λi son los valores característicos de A, entonces las eλ iT son los

valores propios de AD.

Se debe notar que si se discretiza un sistema en tiempo continuo con polos

complejos, entonces en casos excepcionales puede ocurrir inestabilidad

oculta, en función de la selección del período de muestreo T. Es decir, en

algunos casos donde el sistema en tiempo continuo no es asintóticamente

estable, el sistema discretizado equivalente pudiera parecer estable

asintóticamente, si se observan únicamente los valores de salida en los

instantes de muestreo.

Este fenómeno ocurre sólo para algunos valores del período de muestreo T. Si

se varía el valor de T, entonces esta inestabilidad oculta aparece en forma de

inestabilidad explícita.

5.3.3 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DEL SI STEMA DEL

MOVIMIENTO DE CABECEO EN TIEMPO DISCRETO

El sistema discreto es el siguiente

=

+++

)(

)(

)(

0.97280.07760

0.0612-0.96410

0.0025-0.07861

)1(

)1(

)1(

3

2

1

3

2

1

kx

kx

kx

kx

kx

kx

Para determinar la estabilidad del origen del sistema, se escoge Q como I. A

continuación, la ecuación de Lyapunov se convierte en

IPPAADTD−=−)(

De aquí se obtiene

=14.29425.4989-10.0223-

5.4989-15.29425.4989-

10.0223- 5.4989- 16.2942

P

Al aplicar el criterio de Silvester, se encuentra que P es positiva definida. Por

tanto, el sistema es asintóticamente estable global en el origen x=0,.

5.3.4 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DEL SI STEMA DEL

MOVIMIENTO DE ALABEO EN TIEMPO DISCRETO

El sistema esta descrito mediante

=

2

1.

2

.

1

0.9762 0.0417-

0.01980.9996

x

x

x

x

IPPAADTD−=−)(

Entonces

=66.301825.0436-

25.0436-45.7112 P

Se observa que

02403.5574 3018.660436.25

0436.257112.45

07112.45

>=−

−>

Por lo tanto P es positiva definida. Por tanto, el sistema es asintóticamente

estable en el origen.

5.4 SISTEMA REGULADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO (LQR)

El Regulador Óptimo Cuadrático consiste en minimizar un funcional con

respecto a las entradas de control sujetas a las restricciones lineales en el

sistema.

La ventaja de la formulación de problemas de Regulador Óptimo Cuadrático es

que da lugar a leyes de control que son fáciles de implementar.

El trabajo se restringe a problemas de regulación. Se asume que el sistema

está en equilibrio y se desea mantener en equilibrio aún en presencia de

perturbaciones.

El LQR calcula la matriz óptima de ganancias K , tal que la ley de

realimentación kxu −−−−==== minimiza la función de costo J .

( )dtRuuxQxJT

TT

∫ +=−−

0

Para el caso de los sistemas discretos:

El control óptimo cuadrático tiene una ventaja respecto del método de

asignación de polos, la cual es que proporciona un procedimiento sistemático

para calcular la matriz de ganancia de control de realimentación del estado.

5.4.1 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO

Utilizando el comando lqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación

k

k = [100 7.22 -0.56]

La respuesta paso para el sistema diseñado es:

Figura 5.3 Estados del movimiento

Se observa que la respuesta del sistema actual es menos oscilatoria y

presenta menor sobrepico en la respuesta de la posición (x1)

5.4.2 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO

Utilizando el comando lqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación

k

k = [100 13.41]


Figura 5.4 Estados del movimiento


presenta menor sobrepico en la respuesta de la posición


5.5.1 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO

Utilizando el comando dlqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación

k

k = [1.39 1.5 0.97]


Figura 5.5 Respuesta escalón unitario del sistema controlado


presenta menor sobrepico

5.5.2 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO

Utilizando el comando dlqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación

k

k = [5.94 -5.618]


Figura 5.6 Respuesta escalón unitario del sistema controlado


presenta menor sobrepico.

ANÁLISIS DE RESULTADOS

En esta sección se presentan los resultados obtenidos del análisis y

simulación del comportamiento dinámico, de los sistemas de movimiento de

cabeceo y alabeo de un avión.

6.1 SISTEMA CONTINUO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO

Figura 6.1 (a) Análisis de lazo abierto de Cabeceo Continuo.

Para nuestro sistema en lazo abierto mostrado en la figura 6.1 (a), en el

diagrama de la respuesta Escalón Unitario, el sistema tiende a crecer hacia el

infinito debido a que tiene un cero en el origen lo cuál origina un integrador

puro que lo lleva a crecer hacia el infinito provocando una inestabilidad en el

sistema.

Para poder corregir el problema de inestabilidad, se realiza un lazo

realimentación unitario para poder tener una respuesta un poco aceptable

como se analiza a continuación.

Figura 6.1 (b) Análisis de lazo cerrado de Cabeceo Continuo.

Como se puede ver en la figura 6.1 (b), el valor del tiempo de establecimiento

es de 35 segundos, la respuesta del sistema no es óptima ya que le toma

mucho tiempo alcanzar el valor deseado del ángulo de cabeceo.

La estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema de control

están relacionados con la localización en el plano s de las raíces de la

ecuación característica. Se observa además que los polos están en 0881.0====s ;

38.1325.0 js ±±±±−−−−==== , es decir se encuentran en el lado izquierdo del plano s con

lo que se puede asegurar que el sistema es estable.

Al tratar el problema por técnicas en el dominio de la frecuencia, se asegura el

control del comportamiento de respuesta transitoria en términos de

especificaciones del dominio de frecuencia tales como: Margen de fase,

margen de ganancia y ancho de banda; este procedimiento indica claramente

las características del sistema.

6.1.1 RESULTADOS DEL CONTROL CLÁSICO

Para el sistema de movimiento de cabeceo, se utiliza un controlador PID

debido a las características de diseño requerido para este sistema y a los

buenos resultados obtenidos con el mismo.

La figura 6.2 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y del lugar

geométrico de las raíces del sistema con el controlador PID. Para cumplir con

las especificaciones:

• Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.

• Tiempo de establecimiento inferior a 10 segundos, esto es, la respuesta

se estabiliza en una banda del 5 % alrededor del valor en estado

estable en un tiempo inferior a 10 segundos.

En un inicio se diseña un controlador PID con los valores kp=6.21, ki=3.11 y

kd=3.09 el sobrepico máximo en la respuesta a un escalón unitario es de

11.9% y un tiempo de establecimiento de 2.94 segundos.

Para alcanzar un sobrepico menor al 10%, se hace otro ajuste mediante

método de tanteo con lo cuál se tiene kp = 24, ki = 12, kd = 12, con lo que se

llega a un sobrepico de 6.1%, y un tiempo de establecimiento de 0.85

segundos, como se muestra en la figura 6.3.

Figura 6.2 Controlador sin ajuste de ganancias.

Figura 6.3 Respuesta del sistema del movimiento de cabeceo controlado con

kp=24, ki =12, kd=12.

6.1.2 RESULTADOS DEL CONTROL MODERNO Y CONTROL ÓPTI MO

En la realimentación de estado, para encontrar el vector K se emplea la

localización de polos, utilizando la técnica de sustitución directa, ver figura

6.4, mientras que para el control óptimo se utiliza el comando lqr de MATLAB,

ver figura 6.5

Figura 6.4 Realimentación de Estado Continuo de Cabeceo

En la figura 6.4 el sobrepico es de 0.56% y el tiempo de establecimiento es de

1.18s lo que cumple con los requisitos de diseño, además que los valores de

ganancias son bajos por lo que su implementación no requeriría de circuitos

electrónicos muy complicados de diseñar.

Figura 6.5 Control Óptimo Continuo de Cabeceo

En la figura 6.5 se observa que la respuesta del sistema actual es casi

instantánea, no presenta oscilaciones por lo tanto no aparece sobrepico y

tiene un tiempo de establecimiento alrededor de 1.18 segundos.

6.2 SISTEMA CONTINUO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO

Para el sistema mostrado en la figura 6.6 (a), se tiene que el sistema es

inestable debido a que tiene un cero en el origen, lo cuál origina un integrador

puro que lo lleva a crecer hacia el infinito provocando una inestabilidad en el

sistema.

Para poder corregir este problema, se realiza la realimentación unitaria con lo

cuál se logra obtener una estabilidad en el sistema pero con cierto retardo en

el tiempo y un sobreimpulso considerable como se puede observar en la figura

6.6 (b).

Figura 6.6 (a) Análisis de lazo abierto de Alabeo Continuo.

Figura 6.6 (b) Análisis de lazo cerrado de Alabeo Continuo.

La respuesta del sistema en lazo cerrado no es óptima ya que tiene un

sobrepaso máximo del 24.7% que es mayor al deseado, a pesar de tener un

tiempo no muy grande de estabilización.

La estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema de control

están relacionados con la localización en el plano S de las raíces de la

ecuación característica.

Además se puede observar que los polos de lazo cerrado están en

33.15911.0 js ±±±±−−−−==== , es decir al lado izquierdo del plano s lo que garantiza que

el sistema es estable.


Para el sistema de movimiento de alabeo, se utiliza un controlador PD ya que

con este se logra obtener una mejor respuesta tanto en tiempo de

establecimiento como en el sobreimpulso.

La figura 6.7 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y del lugar

geométrico de las raíces del sistema con el controlador PD. Para cumplir con

las especificaciones de diseño que son:

• Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.

• Tiempo de establecimiento inferior a 6 segundos

Se diseña un controlador PD, con los siguientes valores para las constantes

56.32====Kp y 8====kd con los que se tiene que el sobrepico es nulo, y el tiempo

de establecimiento es de 0.617 segundos.

Figura 6.7 Controlador PD continuo para el Alabeo.


En la realimentación de estado, para encontrar el vector K se emplea la

localización de polos, utilizando la técnica de sustitución directa, ver figura

6.8.

Figura 6.8 Realimentación de Estado Continuo de Alabeo.

Mientras que para el control óptimo se utiliza el comando lqr de MATLAB que

calcula la matriz óptima de realimentación K en forma simple, ver figura 6.9.

Figura 6.9 Control Óptimo de Alabeo Continuo.

6.3 SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO

Para nuestro sistema en lazo abierto mostrado en la figura 6.10 (a), podemos

observar que el sistema va incrementando en el tiempo en presencia de una

entrada Escalón Unitario, pero además tenemos un polo en z = 1, que coloca

al sistema en el límite de estabilidad.

Para corregir el inconveniente se procede a realizar la realimentación unitaria

con la finalidad de mejorar la respuesta del sistema.

Figura 6.10 (a) Análisis de lazo abierto de Cabeceo Discreto.

Como se puede ver en la figura 6.10 (b) correspondiente al sistema con

realimentación unitaria, el valor del tiempo de establecimiento es de 35

segundos, de la misma forma que el sistema continuo, en el sistema en tiempo

discreto la respuesta del sistema no es óptima ya que le toma mucho tiempo

poder alcanzar el valor deseado del ángulo de cabeceo.

Las respuestas de salida de los sistemas en tiempo discreto y en tiempo

continuo son muy similares, para el período de muestreo de T=0.07.

Además se puede comprobar que los polos están en z=0.991, z=0.962 ±

j0.134, dentro del círculo unitario, por lo tanto el sistema es estable.

Figura 6.10 (b) Análisis de lazo cerrado de Cabeceo Discreto.


Para el sistema de movimiento de cabeceo, se utiliza un controlador PID.

• La figura 6.11 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y

del lugar geométrico de las raíces del sistema con el controlador PID.

Para cumplir con las especificaciones de diseño, se tiene que los valores de

las constantes del controlador son: kp = 24, ki = 12, kd = 12, se llega a un

sobrepico de 2.64%, y un tiempo de establecimiento de 2.73 segundos, como

se muestra en la figura 6.11.

Figura 6.11 Controlador PID de Cabeceo Discreto.


En el control moderno del sistema discreto del movimiento de cabeceo se tiene

que el sistema tiene un sobrepico del 0.523% y un tiempo de estabilización de

1.2s, para un período de muestreo de T=0.1, como se muestra en la figura

6.12.

Mientras que para el control óptimo el sistema tiene un sobrepico nulo y un

tiempo de establecimiento de 0.8s mostrados en la figura 6.12, además que

los valores de ganancia K óptimos son pequeños y se mejora en forma muy

significativa a las condiciones de diseño planteadas en capítulos anteriores.

Figura 6.12 Realimentación de Estado Discreto de Cabeceo.

Figura 6.13 Control Óptimo Discreto de Cabeceo.

6.4 SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO

Para nuestro sistema en lazo abierto, se tiene que en el diagrama de Bode, el

margen de ganancia es 21.2dB y el margen de fase es de 40.2º con lo cuál se

determina que el sistema es estable. A diferencia con el sistema con

realimentación unitaria se puede ver en la figura 6.14 (b), que el valor del

tiempo de establecimiento es de 7.5 segundos, y el sobrepico de 28,6%, pero

la respuesta no es óptima.

Figura 6.14 (a) Sistema en lazo abierto de Alabeo Discreto.

Figura 6.14 (b) Sistema en lazo cerrado de Alabeo Discreto.

Las respuestas de salida de los sistemas en tiempo discreto y en tiempo

continuo son muy similares, para un período de muestreo de T=0.02.

Se puede notar que los polos de lazo cerrado están en 127.0939.0 jz ±±±±==== ; es

decir, están dentro del circulo unitario, se puede decir que sistema es estable.


Para el sistema de movimiento de alabeo, se utiliza un controlador PD

discreto.

• La figura 6.15 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y

del lugar geométrico de las raíces del sistema con el controlador PID.

Para cumplir con las especificaciones de diseño, se tiene que los valores de

las constantes del controlador son: kp = 32.56, kd = 8, se tiene un sobrepico

de 1.08%, y un tiempo de establecimiento de 0.62 segundos, como se muestra

en la figura 6.15.

Figura 6.15 Controlador PD de Alabeo Discreto.


En el control moderno del sistema discreto del movimiento de alabeo se tiene

que el sistema tiene un sobrepico nulo y un tiempo de estabilización de 2s,

con un período de muestreo de T=0.1, ver figura 6.16, mientras que para el

control óptimo el sistema tiene un sobrepico nulo y un tiempo de

establecimiento de 0.6s, mostrado en la figura 6.17.

Figura 6.16 Control moderno discreto del sistema del movimiento de Alabeo.

Figura 6.17 Control Óptimo Discreto Alabeo.

6.5 SIMULACIÓN DINÁMICA

Figura 6.18 Simulación

En la figura 6.18 se presenta el diagrama de control implementado, para la

simulación de los sistemas tanto para el movimiento Longitudinal como para el

movimiento de Cabeceo.

Las señales de entrada son dos bloques con una señal paso, que simulan las

entradas del sistema, la señal que va al puerto In1, representa a los alerones

que producen el movimiento de alabeo sobre el eje longitudinal del avión, y la

señal que va al puerto In2, representa al timón de profundidad que produce el

movimiento de cabeceo del avión.

Como lo indica la figura 6.19, el bloque subsystem contiene al subsistema de

alabeo y al subsistema de cabeceo.

Figura 6.19 Subsistema general de Alabeo y Cabeceo

Estos subsistemas son unos bloques que tienen una función similar a un

macro que es poder almacenar dentro de ellas funciones o elementos que

pueden ser utilizados por el programador en algún otro sistema evitando así

que se vuelvan a repetir las variables o las operaciones realizadas dentro de

ellas.

También se las está utilizando como una manera de proteger al sistema de

cualquier cambio realizado en forma involuntaria por algún otro operador ya

que cada bloque viene definido con los parámetros necesarios para tener un

buen control en forma individual para cada movimiento.

Los elementos que se encuentran dentro de cada subsistema se muestran en

las figuras presentadas a continuación.

Figura 6.20 Subsistema de alabeo.

Figura 6.21 Subsistema de cabeceo.

La figura 6.20 y 6.21, muestran la posición del avión, durante los movimientos

de cabeceo y alabeo, en presencia de una perturbación aleatoria.

En las salidas se encuentran instrumentos indicadores que normalmente

existen en un avión.

Los instrumentos de control de un avión , son una serie de indicadores,

mediante los cuales el piloto mantiene control seguro de la aeronave en caso

de no contar con referencia visual exterior (Vuelo Visual), y así poder

desarrollar con ellos un vuelo por instrumentos.

6.5.1 INDICADOR DE ACTITUD (ARTIFICIAL HORIZON)

El indicador de actitud u horizonte artificial ,

muestra la actitud - relación del eje longitudinal

del avión con respecto al horizonte natural, es

decir: si está girado, si está con la nariz

levantada o bajada.

Sirve de gran ayuda en condiciones que la

visibilidad es poca o nula, con el indicador de

actitud se puede saber si se va recto y nivelado.

Si el indicador se mueve hacia arriba, el avión estará realizando un ascenso y

si está abajo, está descendiendo, además debe mostrar, respecto a la barra

del horizonte, un alabeo en la misma dirección que el alabeo real.

6.5.2 INDICADOR DE RUMBO (COURSE INDICADOR)

El indicador de rumbo o giroscopio

direccional , proporciona al piloto la dirección

del avión en grados magnéticos. Antiguamente

se usaba la brújula, pero debido a que ésta se

ve afectada por las variaciones magnéticas y si

el viento es turbulento se vuelve aún menos

precisa. En cambio, el indicador de rumbo es

muy preciso y da al piloto una indicación mucho más fácil de interpretar,

aunque todos los aviones deben disponer también de una brújula con la cual

se toma referencia para ajustar el giro direccional.

6.5.3 COORDINADOR DE GIRO E INCLINÓMETRO (TURN COOR DINATOR)

El coordinador de giro y el inclinómetro , en el

coordinador de giro hay una figura de un avión

que nos indica el movimiento de las alas. Debajo

hay el inclinómetro, contiene tres bloques, hay una

bola azul, si la bola se sitúa en el bloque del

centro, el avión va bien en el sentido de giro. Si la

bola se pone en uno de los bloques 1 o 3,

entonces el avión está derrapando, está haciendo un giro incorrecto porque le

falta ascenso u otras causas, entonces el avión gira.

6.5.4 INDICADOR DE VELOCIDAD VERTICAL (CLIMB RATE)

El indicador de velocidad vertical , indica si el

avión está ascendiendo, descendiendo o va

nivelado y la velocidad vertical a la que

asciende o desciende generalmente en pies por

minuto (f.p.m). Si la manecilla indica cero, el

avión está nivelado, si está por encima del cero

entonces está ascendiendo y si está por abajo

de cero, entonces el avión desciende. A partir de esta información, se pueden

mirar los números que indican la velocidad de ascenso y descenso.

6.5.5 ALTÍMETRO(ALTIMETER)

El Altímetro da la lectura de la altitud a la cual está volando el avión en pies.

Algunos aviones tienen una aguja más que indica las décimas, como la

mayoría de aviones.

6.5.6 INDICADOR DE SITUACIÓN HORIZONTAL (HORIZONTAL

SITUATION)

El indicador de situación horizontal, se usa para ver la dirección del avión.

Al comenzar la simulación, los instrumentos comienzan a funcionar y los

osciloscopios empiezan a registrar las salidas.

Las figuras a continuación, muestran la posición del avión, durante los

movimientos de cabeceo y alabeo, en presencia y ausencia de una

perturbación aleatoria.

Figura 6.22 Posición de alabeo con perturbación aleatoria.

Figura 6.23 Posición de cabeceo con perturbación aleatoria.

Figura 6.24 Posición de alabeo sin perturbaciones.

Figura 6.25 Posición de cabeceo sin perturbaciones.

La figura 6.26, presenta el diagrama implementado de los sistemas en el

control moderno.

Figura 6.26 Diagrama de control moderno

La señal de entrada es una onda cuadrada que proviene de un generador de

señal.

Para la representación de los sistemas se utilizan bloques de ganancias, como

se indica en la figura 6.27.

Figura 6.27 Subsistemas

Las figuras a continuación, muestran la posición del avión, durante los

movimientos de

cabece

o y alabeo, en presencia de una perturbación aleatoria.

Figura 6.28 Posición de alabeo con perturbaciones.

Figura 6.29 Posición de cabeceo con perturbaciones.

La siguientes figuras muestran la posición del avión, durante los movimientos

de cabeceo y alabeo, sin perturbaciones.



A continuación, se muestra la posición del avión, durante los movimientos de

cabeceo y alabeo, en presencia de una perturbación aleatoria, utilizando el

control óptimo.

Figura 6.32 Posición de alabeo con perturbaciones.

Figura 6.33 Posición de cabeceo con perturbaciones.

Las siguientes figuras, muestran la posición del avión, durante los

movimientos de cabeceo y alabeo, sin perturbaciones, utilizando el control

óptimo.



CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

7.1 CONCLUSIONES

En esta tesis se ha cumplido con:

• La modelación y simulación de los sistemas y el diseño de los

controladores con técnicas clásicas y modernas de control.

• La realización de la simulación de los sistemas tanto en tiempo continuo

como en discreto por varios métodos para el análisis del desempeño del

sistema.

• La realización del Análisis de Estabilidad de Liapunov a fin de sentar la

base para el diseño de Sistemas de Control Óptimo.

• Los ejes longitudinal y transversal, son los que determinan los

movimientos de alabeo y cabeceo de un avión. Así que es importante

mantener un avión en equilibrio y estable.

• La simulación dinámica permite entender como funcionan los sistemas,

utilizando el control clásico, moderno y óptimo, debido a que los

diagramas de bloques implementados son muy ilustrativos.

• En el presente trabajo, se han desarrollado tres estrategias de control,

estas tres estrategias propuestas cumplen con los objetivos iniciales, ya

que permiten controlar las posiciones de alabeo y cabeceo con gran

precisión.

• Trabajar con MATLAB y SIMULINK, permite encontrar los bloques

necesarios para el control del avión de una forma amigable.

• Se puede concluir a partir de los gráficos de la simulación dinámica,

que los objetivos de control planteados para este trabajo han sido

cumplidos en forma satisfactoria, si bien la respuesta obtenida en

presencia de perturbaciones no es excelente se puede mejorarla,

mediante la implementación de algún tipo de filtro o con técnicas de

control mas avanzadas.

A partir de la simulación dinámica, se puede concluir que:

11 Utilizando el control clásico, en los sistemas sin realimentación, las

salidas de los mismos es decir las posiciones de alabeo y de cabeceo

salen de control, es decir, los sistemas son inestables en presencia y en

ausencia de perturbaciones.

12 Para el caso de nuestros sistemas, al utilizar la realimentación unitaria,

se logra estabilizar al sistema, pero aún no se logra tener una respuesta

que satisfaga los requerimientos para un adecuado funcionamiento de

los sistemas, por esto se debe realizar una compensación mediante

controladores PID.

13 Los controladores PID utilizados en estos sistemas, hacen que las

salidas tengan un buen seguimiento de las entradas, aún en presencia

de perturbaciones de cierta magnitud.

14 Al utilizar la técnica de realimentación de estado, las salidas de los

sistemas, tienen un buen seguimiento de las señales de entrada, en

ausencia de perturbaciones. Cuando existe presencia de

perturbaciones, el seguimiento de las salidas es mejor que cuando se

utiliza el controlador PID.

15 Mediante el control óptimo la rapidez de respuesta y el seguimiento de

las señales de salida, son mucho mejores que las que se tienen con los

controladores PID y con la realimentación de estado.

16 Al parecer con cualquiera de las técnicas de compensación utilizadas

en este trabajo, se logra una buena relación entre maniobrabilidad y

estabilidad.

Los controladores utilizados en este trabajo, permiten un adecuado

funcionamiento de los sistemas.

1.4 RECOMENDACIONES

• Los modelos utilizados en este trabajo aunque fueron lineales, sirvieron

mucho para el desarrollo de los sistemas de control, se propone

estudiar alternativas de modelación no lineal para obtener una

respuesta más precisa.

• Existen ciertas modificaciones de los esquemas de controladores PID,

que pueden ser analizadas en trabajos posteriores.

• En este trabajo se desarrolló el método de emulación, para el análisis

de los sistemas discretos, por lo que se propone realizar un análisis

más detallado de los sistemas en tiempo discreto.

BIBLIOGRAFÍA

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Edición. Prentice Hall. Australia.

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RONCERO, Sergio. Aeronaves y Vehículos Espaciales. Escuela Superior de Ingeniería.

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MUÑOZ, M. A. Estabilidad.

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Anónimo. Tutoriales de Control para MATLAB y SIMULINK.

Anónimo. Técnicas de Aterrizaje. Flight Safety Foundation.

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Aeroguarda. Porqué vuelan los aviones.

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The Boeing Company, http://www.boeing.com

The Boeing Company,

http://www.library.cmu.edu/ctms/ctms/examples/pitch/mpitch.htm

Wikipedia, http://es.wikipedia.org

MANUAL DE USUARIO

El programa desarrollado en el presente proyecto de titulación tiene como

nombre “tita” la cuál es la palabra clave para poder ingresar en el mismo.

REQUERIMIENTOS RECOMENDADOS DE HARDWARE Y SOFTWARE.

Procesador Intel Core Duo 1.6 Ghz o superior.

Memoria RAM 512 MB o superior.

Resolución de Pantalla de 1280 x 800 píxeles, calidad de color de 32 bits.

Instalador MATLAB 7.0 o superior.

INICIALIZACIÓN DEL PROGRAMA

• Tener activa la ventana de comando del MATLAB.

• Escribir “tita” y presionar la tecla ENTER para ejecutar el programa

con la cuál aparecerá la pantalla de carátula mostrada a continuación.

•

•

• Se deberá pulsar sobre la tecla CONTINUAR para acceder a la pantalla

de selección de movimiento o simulación mostrada en la figura abajo, caso

contrario pulse sobre la tecla SALIR para abandonar el programa.

•

• Dentro de ésta se puede observar que se tienen cuatro opciones de

selección que corresponden a los dos casos en estudio y a las simulaciones

basadas en los mejores resultados obtenidos tanto con el control clásico como

con el control moderno.

•

• Si en la pantalla de selección escogió la opción de alguno de los

movimientos sea Longitudinal ó de Cabeceo ingresa a su pantalla donde se

presentan opciones de análisis y diseño de controladores con la facilidad de

hacerlo en tiempo continuo como en discreto aplicando diferentes técnicas de

control tanto clásicas como modernas.

•

• Por definición aparece el sistema en tiempo continuo pero se tiene la

opción de cambiar sea del tiempo continuo al tiempo discreto y viceversa

pulsando en el botón ubicado en la parte inferior de la pantalla.

•

• Dentro del análisis se puede ver el estado en el que se encuentra el

presente movimiento tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, simplemente

seleccionando uno de los dos lazos como se muestra en la pantalla siguiente.

•

• En los diseños de controladores se tiene la facilidad de ver el

comportamiento de dicho sistema para técnicas de control clásica como es el

caso de un PID ó de control moderno con realimentación de estado y control

óptimo.

• Dentro de estos ambientes de HMI se puede probar diferentes tipos de

controladores y obtener sus respuestas del comportamiento mediante la

respuesta escalón unitario y lugar de las raíces con la finalidad de obtener los

valores de tiempo de respuesta, máximo sobreimpulso, cancelación de polos

no deseados.

• Si en la pantalla de selección se escogió cualquiera de las

opciones de simulación se accederá al paquete SIMULINK con el cual se

puede físicamente observar el comportamiento del avión en presencia o no de

perturbaciones de la manera como lo vería el piloto dentro de la cabina de

mando desarrollados en base al control moderno.

•

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL · 2019-04-07 · cabeceo (sobre el eje transversal) y de alabeo...

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