EST 15 - ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I Capítulo 2. EST 15 - ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I Flambagem...

EST 15 - ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I

Capítulo 2Capítulo 2

FLAMBAGEM DE COLUNAS


Flambagem PrimáriaFlambagem Primária


Flambagem SecundáriaFlambagem Secundária


O Método do Equilíbrio NeutroO Método do Equilíbrio Neutro


A Coluna Simplesmente Apoiada - HipótesesA Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

1 . A p o i o s S i m p l e s

2 . C o l u n a P e r f e i t a m e n t e R e t a e C a r g a C e n t r a l

3 . M a t e r i a l E l á s t i c o L i n e a r

4 . E i x o s P r i n c i p a i s

5 . P e q u e n a s D e f o r m a ç õ e s " '1" 212 www


A Coluna Simplesmente ApoiadaA Coluna Simplesmente Apoiada

z, wP

x

P

P

w

My

P

x

P

P

L


Coluna Simplesmente Apoiada - SoluçãoColuna Simplesmente Apoiada - Solução

P

w

My

P

x

"wEIM yyy

0"" 0 PwEIwEIwPwMPwM y

EIP

kwkw 22 com , 0" kxBkxAxw cos sen )(

Lxxw e 0 em 00 00cos 0)0( BBw

kxAxw sen)(

0senou 0ou 0sen 0)( kLAkLALw

......3 ,2 ,1 onde , 0sen nnkLkL

Lxn

Axw

sen)( 2

22

L

EInP


O Comportamento da Coluna de EulerO Comportamento da Coluna de Euler

P

max

2

2

L

EIP

Equilíbrio Estável

Equilíbrio Instável

Equilíbrio Neutro

2

24

L

EIP


Coluna Bi-EngastadaColuna Bi-Engastada

P

P

P PM0

M0

M0

w

x

L

z , w

x

-EIw”


Coluna Bi-Engastada - SoluçãoColuna Bi-Engastada - Solução

P

PM0

w

x

-EIw”

EI

Pk

EI

MwkwMPwEIw 202

0 com , "ou 0"

P

MkxBkxAw 0cossen

0 e 00' , 00 Lwww

P

M- e 0 0 BA kx

P

Mw cos10

nkLLw 2kL 1cos 0)(

2

2

cr4

L

EIP

L

x

P

Mxw

2cos10


Coluna Equivalente de EulerColuna Equivalente de Euler

22

cr2L

EIP

A carga crítica de qualquer coluna pode ser obtida de uma coluna equivalente de Euler


Coluna em BalançoColuna em Balanço

L

P

Px

z, w

P

P

L

2L

Coluna

Equivalente

de Euler

22

cr2L

EIP

P


Coluna em Balanço - SoluçãoColuna em Balanço - Solução

22"ou " kwkwPPwEIw

kxBkxAw cossen

)cos1()( que modo de

; 0)0( ; 0 0)0('

kxxw

BwAw

2

12 0cos )(

nkLkLLw

2

2

cr 4L

EIP

Lx

xw2

cos1)(

w

P

P

P

EIw”

x

w

-EIw”


Coluna com Restrições ElásticasColuna com Restrições Elásticas

M

P

PM / L

M / L

z, w

k

P

P

L

x

M = k


Coluna com Restrições Elásticas - SoluçãoColuna com Restrições Elásticas - Solução

PM / L

P

M / L

w

x

-EIw”

EILk

2

tan

kL

kLkL

2

21

cr LEIkL

P

EIL

Mxwkw

L

MxPwEIw 2 "ou 0"

PLMx

kxBkxAw cossen

kLkLkEIM

kLkLk

LPM

dxdw

tan11

sencos1

k

MLx , em

kLkLk

kEI

kLkLkEI

M

k

M

tan

11ou

tan

11

; 0 0)0( BwkLP

MALw

sen 0)(

kLkx

Lx

PM

wsensen


Restrição Elástica – Casos ParticularesRestrição Elástica – Casos Particulares

kLkLkL

kLkL 0tan

tan 2

kL

kL

kL

kL

kLkL

1

lim

limtan 22

49,4kL 22

2cr7,0

2,20

L

EI

L

EIP

L

x

L

x

P

MLx

L

x

P

Mxw 49,4sen02,1

49,4sen

/49,4sen)(

Coluna Simplesmente Apoiada

Coluna Simplesmente Apoiada - Engastada


Coluna em Pórtico Coluna em Pórtico

P

P

L

x

z, w

L

EI

EI

M

4

4tan 2

kL

kLkL

4 4 4

L

EIk

LEI

M

829,3 kL 22

2cr82,0

66,14

L

EI

L

EIP

L

x

L

x

P

MLx

L

x

P

Mxw 829,.3sen635.0

829.3sen

/829,3sen)(


Comprimento EfetivoComprimento Efetivo

Condições de Contorno Carregamento

2.0 L

1.0 L

1.0 L

0.7 L

0.5 L

1.69 L

-

0.732 L

0.58 L

0.365 L

1.12 L

0.72 L

0.732 L

0.43 L

0.365 L

Fig. 2-9

-

Fig. 2-9

Fig. 2-9

Fig. 2-9

1.43 L

0.84 L

0.57 L

0.45 L

0.36 L

-

-

0.49 L

0.24 L

P P

P = qL q = cte

P = PA+ qL

q = cte

PA

q = cte e simétrico

P = qL/2 P = qL/2

P = qL q = cte


Coeficientes de FixaçãoCoeficientes de Fixação

Restrições de Rotação

nas Extremidades:

a) Numa Extremidade

b) Iguais, em Ambas as Extremidades

2

2

2

2

' LEIc

LEI

Pcr

2

'

L

Lc


Coeficientes de FixaçãoCoeficientes de Fixação

Restrições de

Rotação

Distintas nas

Extremidades


Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente

EIP

kekwkw

wePEIw

222 onde , "

ou 0"

ekxBkxAxw cossen)(

kLkL

eALw

eBw

sencos1

0)(

0)0(

1sen

sencos1

cos)( kxkLkL

kxexy

1

2sec1

2sec

EPP

ekL

e


Coluna Carregada ExcentricamenteColuna Carregada Excentricamente

Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente


Coluna com Forma ImperfeitaColuna com Forma Imperfeita

EIPkwkwkw 20

22 com , "

kxBkxAxwc cossen)(

1

0 sen)(n

n Lxn

wxw

dxLxm

xwL

wL

m 0

0 sen)(2

1

22 sen"n

n Lxn

wkwkw

1

sen)(n

np Lxn

cxw



111 2

2

22

2

2

PP

n

w

Ln

k

w

kLn

kwc

E

nnnn

Lxn

PP

n

wkxBkxAxw

n E

n sen

1cossen)(

1 2

1

22 sen"n

n Lxn

wkwkw

Lxn

wAxwn

nn

sen)(

1

1

1

2

PP

nA

En

Lxn

wAxwxwxwn

nnT

sen1)()()(

10



Lxn

wn

Aw

L

xwxw

Lxw

nn

nT sen

1)()()(

1

0

P/PE A1 A2 A3

0,00,40,80,9

0,951,0

0,00,6674,009,5020,0

0,00,1110,250,290,330,33

0,00,0470,080,110,120,13

E

T

PPw

LLw

1)2(


Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)


Forma Imperfeita – Teoria Não-LinearForma Imperfeita – Teoria Não-Linear

0212

2

2

1

wEIP

wEIP

dsdw

dswd

E

ET

PPPP

LLw

34122)2/(


Colunas Imperfeitas - ObservaçõesColunas Imperfeitas - Observações

1) A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ;

2) Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem

rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3) Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel-mente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se

aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero;

4) As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P PE ;

5) As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ; 6) Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.


Colunas Imperfeitas - ConclusõesColunas Imperfeitas - Conclusões

A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada.

Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais).

Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.


Flambagem Inelástica de ColunasFlambagem Inelástica de Colunas


Comportamento Mecânico de MateriaisComportamento Mecânico de Materiais

Aço Doce Material Aeronáutico Típico


Curva Tensão-Deformação (Ligas Clad)Curva Tensão-Deformação (Ligas Clad)


Propriedades dos Materiais - Definições Propriedades dos Materiais - Definições

Fp

Fy

Fu

ruptura

Fp : Limite de Proporcionalidade

Fy : Tensão de Escoamento

Fu : Tensão Última Alongamento Percentual = ruptura 100


Módulos de Elasticidade Módulos de Elasticidade

Módulo de Young: ddffE (região linear)

Módulo Tangente: ddfEt

Módulo Secante: fEs

f

1

E

Es

1

1Et


Razão de Poisson Razão de Poisson

bbLL translong

longtrans

5,0 , peps

p E

E p a r a p r o c e s s o i s o - v o lu m é t r i c o

f f

L

b

b/2

L


Idealização de Material Aeronáutico TípicoIdealização de Material Aeronáutico Típico

Fpr

P

f

E

pe

Efe deformação elástica

p deformação plástica com encruamento


Representação por Funções de Três ParâmetrosRepresentação por Funções de Três Parâmetros

n

Ef

CEf

1

RefRefRefRef

1

nn

Ef

CFf

Ef

FCE

Ff

FE

111

1 11

n

t

n

Ef

nCEEddf

dfEf

nCE

d

,, RefFnECC

1

RefRef

1

n

t Ef

nCFf

FEfE


Representação de Ramberg-OsgoodRepresentação de Ramberg-Osgood

F0.85

E

F0.7

f

0.7E

0.85E

1

7.0

7.07.07.07.0 7

3

7.0

nn

FE

CE

FC

E

F

E

F

1

7.07.07.0 73

1n

Ff

Ff

FE

85.0

7.0ln

717

ln1

F

Fn


Teoria do Módulo TangenteTeoria do Módulo Tangente

2 2

cr 2 2

1

0.7

'

31

7

t t

t n

E I c E IP

LL

EE

FnF

O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E.

2

2

2

2

c'

L

Ec

L

EF tt

AI

AI 2


Módulo Tangente: Uso de Ramberg-OsgoodMódulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood

17.0731

1

nt

FFnE

E


Uso do Modelo de Ramberg-OsgoodUso do Modelo de Ramberg-Osgood2

2

7.01

7.0

22

7.01

7.0

7.0

73

1

1'

73

1

1

LFEc

FFnLF

E

FFnF

Fn

c

n

c

c

7.0

c

F

F

'1 7.0 L

E

FB

Função de


Flambagem Inelástica – Formulas EmpíricasFlambagem Inelástica – Formulas Empíricas

n

co

LFF

'c

2tr

2

tr

c'

'

L

ELFF

n

co

21

tr22

21

' ;

21

2

nFEL

nFEn

E

con

con

coco

co F

EL

FE

LFFn

3' ;

'385,01 1 c

co

coco F

ELE

LFFFn

2' ;

4

'1 2 2

2

c

Parábola de

Johnson

Fórmula da Reta

3tr

21-n

tr '

2'

L

ELn


Exemplo 1Exemplo 1

A figura mostra um membro forjado de seção em I, de 30 in de comprimento, que é utilizado como um mebro em compressão. Consi-derando que o coeficiente de engastamento para flexão em torno do eixo x-x é 1 e aquele para flexão em torno do eixo y-y é 1.5, ache as tensões e cargas admissíveis se o membro é manufaturado dos seguintes materiais:

Caso 1: Liga Al 7079-T6 forjado ma- Nualmente; temp. ambiente; Caso 2: como no Caso 1, mas sujeito a ½ hora na temp. 300o F; Caso 3: como no Caso 2, mas 600o F; Caso 4: Aço Inox 17-4 PH, forjado ma- nualmente; temp. ambiente


Exemplo 1Exemplo 1

Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um

retângulo de dimensão 2,5” x 2,75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2):(no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

42

33

in 03,33

25,0375,1

2

25,025,14

25,175,012

12 - 2,75 5,2

12

1

xI

2in 375,42

25,025,1425,175,0275,25,2

A

in 83,0375,4

03,3x


Exemplo 1Exemplo 1Cálculo de Iy:

432

233

in 58,136

25,125,0

3

25,125,1

2

25,025,14-

875,075,025,175,025,112

12 - 2,5 75,2

12

1

yI

in 60,0375,4

58,1y

Para falha em torno do eixo

3683,030' in 30130' : xLcLLx

4160,06,24' in 6,245,130' : yLLy Para falha em torno do eixo

Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/ = 41.


Exemplo 1Exemplo 1Caso 1:

Fc=50,5 ksi, donde P = 220 kips

Caso 2:

Fc=40,4 ksi, donde P = 177 kips

Caso 3:

Fc=6,1 ksi, donde P = 26,7 kips

sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26,7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.

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