EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I Prof. Mauricio V. Donadon ITA-IEA.

EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I

ESTRUTURASAEROESPACIAIS I

Prof. Mauricio V. Donadon

ITA-IEA


Bibliografia Bibliografia

1. Donadon M.V.,“Estruturas Aeroespaciais I”, Notas de Aula, Instituto Tecnológico de Aeronáutica-ITA, 2013.

2. Rizzi, P.,“Estabilidade de Estruturas Aeronáuticas”, Apostila do Curso em Análise Estrutural, Instituto Tecnológico de Aeronáutica-ITA, 2007.

Obs: O material didático completo encontra-se disponível no site do departamento de aeronáutica, ftp://161.24.15.247/Donadon/EST-15


Capítulo 1Capítulo 1

Teoria de Placas


HipótesesHipóteses

• o material é homogêneo e isotrópico

• a placa é fina; isto é, as suas dimensões laterais são muito maiores do que a espessura

• a placa está sujeita a um estado plano de tensões (z = xz = yz = 0)



• todos os deslocamentos são pequenos comparados com a espessura da placa (|u|, |v|, |w| << h)

• os deslocamentos são contínuos em toda a placa (não há descolamento das camadas)

• os deslocamentos no plano (u, v) variam linearmente ao longo da espessura (u e v, deslocamentos ao longo de x e y, respectivamente, são funções lineares de z)



• as deformações de cisalhamento transversal são negligenciáveis (xz, yz 0) – isso implica que retas normais à seção transversal continuam normais à seção transversal após a deformação

• as relações tensão-deformação e deslocamentos-deformação são lineares

• a deformação normal z é negligenciável (comparado com x ou y)


Relações cinemáticasRelações cinemáticas

x

z

y

DC

BA

x

z

yzb D´

C´

B´A´

w

u0

ubx

xzb

plano médio (xy) ou

plano de referência


• a partir das hipóteses formuladas, é possível escrever os deslocamentos de um ponto qualquer na placa em função dos deslocamento do plano médio

• os deslocamentos do plano médio são de dois tipos:

a) deslocamentos de translação (u, v e w)

b) deslocamentos de rotação (x e y)

Deslocamentos do plano médioRelações cinemáticasRelações cinemáticas



• os deslocamentos do plano médio são medidos a partir do plano médio (ou plano de referência)

• os deslocamentos do plano médio dependem apenas das coordenadas x e y (z = 0 no plano médio)

),(),(),(

00

00

00

yxwwyxvvyxuu

Deslocamentos do plano médio



• as rotações do plano médio são medidas a partir do plano médio (ou plano de referência)

• as rotações do plano médio dependem apenas das coordenadas x e y (z = 0 no plano médio)

),(),(

yxyx

yy

xx




• as rotações do plano médio dependem dos deslocamentos fora do plano w:

yyxwyx

xyxwyx

yy

xx

),(),(

),(),(

0

0

w(x)

x w0

x



Relações cinemáticasRelações cinemáticasDeslocamentos do plano médio

• das hipóteses básicas, os deslocamentos no plano, u e v, variam linearmente ao longo da espessura

• os deslocamentos nas direções x e y de um ponto arbitrário podem ser calculados a partir dos deslocamentos do plano médio

• a função resultante é linear em z



),(),(),,( 0 yxzyxuzyxu xbb

DC

BA

x

z

yzb D´

C´

B´A´

w

u0

ubx

xzb

da figura:

analogamente: ),(),(),,( 0 yxzyxvzyxv ybb




yyxwzyxvzyxv

xyxwzyxuzyxu

),(),(),,(

),(),(),,(

00

00

• os deslocamentos nas direções x e y de um ponto arbitrário podem então ser calculados a partir dos deslocamentos do plano médio:

),(),,( 0 yxwzyxw também:



• uma vez que os deslocamentos de um ponto arbitrário podem ser escritos em função dos deslocamentos do plano médio, as deformações e tensões num ponto arbitrário também podem ser escritos em função dos deslocamentos do plano médio

• dessa forma o problema que era originalmente tri-dimensional (coordenadas x, y e z) passa a ser bi-dimensional (coordenadas x e y apenas)

Deslocamentos do plano médioRelações cinemáticasRelações cinemáticas


Relações deformações-deslocamentosRelações deformações-deslocamentos

• as deformações no plano são dadas por:

xv

yu

yvxu

xy

y

x

yxyxwz

xyxv

yyxuzyx

yyxwz

yyxvzyx

xyxwz

xyxuzyx

xy

y

x

),(2),(),(),,(

),(),(),,(

),(),(),,(

02

00

20

20

20

20





• as deformações fora do plano são nulas devido às hipóteses básicas consideradas:

0

0

0

yw

yw

zv

xw

xw

zuzw

yyz

xxz

z



• agora pode-se definir:

a) deformações no plano ou de membrana

b) curvaturas do plano médio

• as deformações na placa podem ser escritas como uma combinação desses fatores



• deformações no plano ou de membrana são deformações do plano médio e portanto só dependem das coordenadas x e y:

xyxv

yyxuyx

yyxvyx

xyxuyx

xy

y

x

),(),(),(

),(),(

),(),(

000

00

00



• as curvaturas do plano médio também só dependem das coordenadas x e y:

yxyxwyx

yyxwyx

xyxwyx

xy

y

x

),(2),(

),(),(

),(),(

02

20

2

20

2

• x e y representam o inverso do raio de curvatura do plano médio da placa no ponto (x,y);

• xy representa a torção do plano médio da placa no

ponto (x,y);



• usando as definições de deformações e curvaturas do plano médio, as deformações ficam:

),(),(),,(

),(),(),,(

),(),(),,(

0

0

0

yxzyxzyx

yxzyxzyx

yxzyxzyx

xyxyxy

yyy

xxx

yxwz

xv

yu

ywz

yv

xwz

xu

xy

y

x

02

00

20

20

20

20

2



• portanto, uma importante conseqüência das hipóteses consideradas é que as deformações variam linearmente ao longo da espessura

),(),(),,(

),(),(),,(

),(),(),,(

0

0

0

yxzyxzyx

yxzyxzyx

yxzyxzyx

xyxyxy

yyy

xxx

z 0forma matricial:



• as curvaturas do plano médio multiplicadas por z fornecem deformações devido à flexão/torção da placa

• portanto, a mudança de coordenadas do tensor de curvaturas segue o mesmo procedimento usado para deformações


Tensões e Esforços em Placas Tensões e Esforços em Placas

• uma vez obtidas as deformações pode-se calcular as tensões a partir das relações tensão-deformação



x

z

y

zk

plano de referência



• a relação tensão-deformação na placa é dada por:

xy

y

x

22

22

xy

y

x

12E00

01

E1

E

01

Eν1

E

A



• substituindo a expressão obtida para as deformações:

A

z 0 AzA 0

• note que todas as tensões acima são calculadas no sistema de referência (xyz)



• as tensões variam linearmente com z

x

z

distribuição de deformações

z

distribuição de tensões

z



• os deslocamentos num ponto arbitrário foram escritos em termos de deslocamentos do plano médio

• as deformações num ponto arbitrário foram escritas em termos de deformações e curvaturas do plano médio

• as deformações e curvaturas do plano médio foram escritos em termos de deslocamentos do plano médio



• as tensões foram escritas em termos da relação tensão-deformação do material e das deformações e curvaturas do plano médio

• portanto, todas as grandezas envolvidas podem ser calculadas a partir dos deslocamentos do plano médio

• o problema foi reduzido de tri-dimensional para bi-dimensional



• as expressões obtidas para as tensões na espessura da placa

• é necessário definir as “tensões da placa” que devem ser bi-dimensionais

• essas tensões da placa devem poder ser expressas em termos das deformações e curvaturas do plano médio


• uma distribuição arbitrária de forças pode ser substituída por uma força e um momento equivalente

• analogamente, uma distribuição arbitrária de tensões pode ser substituída por esforços resultantes (esforços no plano e momentos)

• esses esforços resultantes são grandezas bi-dimensionais




• os esforços resultantes são equivalentes à distribuição de tensões

x

z

esforços resultantes

Mx

Nx


z



• Nx é a força resultante equivalente à distribuição de tensões

• Nx tem unidade de força por unidade de comprimento

2/

2/

),,(),(t

txx dzzyxyxN


Nx

tt


z



• Mx é o momento resultante equivalente à distribuição de tensões

• Mx tem unidade de momento por unidade de comprimento

2/

2/

),,(),(t

txx dzzyxzyxM


Mx

tt


z



• a direção positiva de Mx corresponde à direção do momento resultante de uma força xdz positiva para z positivo

z dzdxzxdz

direção positiva

de Mx


• definição dos esforços resultantes no plano (Nx, Ny e Nxy = Ns):

2/

2/

2/

2/

2/

2/

),,(),(),(

),,(),(

),,(),(

t

tssxy

t

tyy

t

txx

dzzyxyxNyxN

dzzyxyxN

dzzyxyxN

2/

2/

),,(),(t

t

dzzyxyxN

em forma matricial:




• definição dos momentos resultantes (Mx, My e Mxy = Ms):

2/

2/

2/

2/

2/

2/

),,(),(),(

),,(),(

),,(),(

t

tssxy

t

tyy

t

txx

dzzyxzyxMyxM

dzzyxzyxM

dzzyxzyxM

2/

2/

),,(),(t

t

dzzyxzyxM

em forma matricial:



• direção positiva dos esforços resultantes

y

z

x

NsNs Ny

My

Nx

Mx

Ms Ms

t/2

t/2

t = espessura da placa



Nomenclatura:• Nx, Ny = esforços resultantes normais por unidade de comprimento

• Nxy = Ns = esforços resultantes de cisalhamento por unidade de comprimento

• Mx, My = momentos resultantes de flexão por unidade de comprimento

• Mxy = Ms = momentos resultantes de torção por unidade de comprimento



nomenclatura:• z = coordenada ao longo da espessura da placa

• t = espessura total da placa

s

y

x

NNN

N

s

y

x

MMM

Mvetor de esfor-

ços resultantes no plano

vetor de momentos

resultantes


Rigidez de PlacasRigidez de Placas

esforços resultantes na placa:

2/

2/

),,(),(t

t

dzzyxyxN

AzA 0

2

2

0 /t

/t

dzAzAN

tensões na placa :

substituindo:



2

2

02

2

0 /t

/t

/t

/t

dzzAdzAzAN

• como a matriz [A] é constante:

• dividindo a integral em duas parcelas:

k

k

k

k

h

h

h

h

dzzdzAN11

0



• como {}0 e {} são funções apenas de x e y e independem de z:

2

2

2

2

02

2

2

2

0 /t

/t

/t

/t

/t

/t

/t

/t

dzzdzAdzzdzAN

• calculando as integrais:

220

2221

22 ttttAN



• portanto:

0 AtN

220

2221

22 ttttAN

onde t[A] é a matriz de rigidez extensional da placa



• a equação acima relaciona os esforços resultantes no plano com as deformações e as curvaturas do plano médio

• a matriz [A] depende somente das propriedades elásticas do material da placa

0 AtN



• esforços no plano

0 AtN

0

22

22

1200

011

011

xy

y

x

xy

y

x

E

EE

EE

tNNN



• esforços no plano

xyxy

yxy

yxx

EtN

EtN

EtN

12

1

100

2

002



os momentos resultantes na placa podem ser calculados de forma análoga:

2/

2/

),,(),(t

t

dzzyxzyxM

2

2

202

2

0 /t

/t

/t

/t

dzAzAzzdzAzAM

tensões na placa:

substituindo: AzA 0



k

k

h

h

/t

/t

dzzzAdzAzAzM1

202

2

20

• como a matriz [A] é constante

• dividindo a integral em duas parcelas:

2

2

22

2

0 /t

/t

/t

/t

dzzdzzAM



• como {}0 e {} são funções apenas de x e y e independem de z:

2

2

22

2

02

2

22

2

0 /t

/t

/t

/t

/t

/t

/t

/t

dzzdzzAdzzdzzAM

• calculando as integrais:

33220

2231

2221 ttttAM



• portanto:

• resultando:

33220

2231

2221 ttttAM

AttttAM 223

1223

1 3333

AtAtM 12

81

81

3

33



• a equação relaciona os momentos resultantes com as deformações e as curvaturas do plano médio

• a matriz [D] depende das propriedades elásticas do material e da espessura da placa

AtM12

3



• esforços de flexão

xy

y

x

xy

y

x

E

EE

EE

t

MMM

1200

011

011

12 22

22

3



• esforços de flexão

xyxy

yxy

yxx

EtM

EtM

EtM

124

112

112

3

2

3

2

3

xyxy

yxy

yxx

DM

DM

DM

21

2

3

112

EtD



yxyxwyx

yyxwyx

xyxwyx

xy

y

x

),(2),(

),(),(

),(),(

02

20

2

20

2

• lembrando as definições das curvaturas do plano médio

xyxy

yxy

yxx

DM

DM

DM

21

yx

wDM

yw

xwDM

yw

xwDM

xy

y

x

02

20

2

20

2

20

2

20

2

1



• resumindo, as relações entre esforços e momentos resultantes e deformações e curvaturas do plano médio são:

AtM

AtN

12

3

0


ExemploExemplo

• exemplo: tensões na parede de um cilindro de parede fina de raio r e espessura t sujeito a um carregamento hidrostático

P


ExemploExemplo

• o carregamento eqüivale ao de um cilindro infinito sujeito a uma pressão interna

• os esforços resultan-tes que agem na parede de um segmento de comprimento l são:

N

N

P

l

lNPDlF

2

r PPDN 2

0sx

NN


ExemploExemplo

• como não há flexão as tensões são constantes ao longo da espessura:

010

1trP

NNN

ts

x

s

x

tPr

0 sx


ExemploExemplo

• como não há deformações de flexão:

010

1200

011

011

22

22

rP

E

EE

EE

tNNN

s

x

s

x

01

010

1200

01

01

tErP

E

EE

EE

trP

s

x


Placas submetidas a Flexão PuraPlacas submetidas a Flexão Pura

y

z

x

dxx

MM xx

dxx

MM xy

xy

dxx

QQ xx

xyMxQxM

dyy

MM y

y

dyy

QQ y

y

dy

yM

M xyxy

xyMyQ

yM

q



• equilíbrio de forças na direção z:

0

qdxdydyQdxdyy

QQdyQdydx

xQ

Q yy

yxx

x

0

qdxdydxdy

yQ

dxdyx

Q yx 0

q

yQ

xQ yx



• equilíbrio de momentos na direção x:

0222

dyqdxdydydyQdydydxx

QQdxdydyy

QQ

dxMdydxx

MMdxMdxdy

yM

M

xx

xy

y

xyxy

xyyy

y

022

222

dyqdxdydxx

Qdydxy

Q

dxdyQdxdyx

Mdxdy

yM

xy

yxyy



• eliminando os infinitésimos de ordem superior:

0

dxdyQdxdy

xM

dxdyy

My

xyy

0

y

xyy Qx

My

M

• simplificando:

yxyy Q

xM

yM



• equilíbrio de momentos na direção y:

0222

dxqdxdydxdxQdxdxdyy

QQdydxdx

xQQ

dyMdydxx

MMdxMdxdyy

MM

yy

yx

x

xx

xxyxy

xy

022

222

dydxqdydxy

Qdydx

xQ

dxdyQdxdyx

Mdxdyy

M

yx

xxxy



• eliminando os infinitésimos de ordem superior:

0

xxxy Q

xM

yM

• simplificando:

xxyx Q

yM

xM

0

dxdyQdxdyx

Mdxdyy

Mx

xxy



• equações de eqüilíbrio:

0

q

yQ

xQ yx

yxyy Q

xM

yM

xxyx Q

yM

xM

• substituindo a segunda e a terceira equações na primeira:

02

222

2

2

q

yM

yxM

yxM

xM yxyxyx

qyM

yxM

xM yxyx

2

22

2

2

2



• equação de eqüilíbrio da placa:

qyM

yxM

xM yxyx

2

22

2

2

2

yx

wDM

yw

xwDM

yw

xwDM

xy

y

x

02

20

2

20

2

20

2

20

2

1

• equação dos momentos em função dos deslocamentos:



• substituindo:

qyM

yxM

xM yxyx

2

22

2

2

2

qyw

yxwD

yxwD

yxw

xwD

40

4

220

4

220

4

220

4

40

4

12

Dq

yw

yxw

yxw

yxw

xw

40

4

220

4

220

4

220

4

40

4

12

Dq

yw

yxw

xw

40

4

220

4

40

4

2



• cálculo dos esforços de cisalhamento:

yyxy

xxyx

Qy

Mx

M

Qy

Mx

M

yx

wDM

yw

xwDM

yw

xwDM

xy

y

x

02

20

2

20

2

20

2

20

2

1




20

2

20

20

2

02

20

2

20

2

1

1

yw

xw

xD

yxw

xDQ

yxw

yD

yw

xw

xDQ

y

x

30

3

20

3

20

3

20

3

20

3

30

3

1

1

yw

yxw

yxwDQ

yxw

yxw

xwDQ

y

x




20

2

20

2

30

3

20

3

20

2

20

2

20

3

30

3

yw

xw

yD

yw

yxwDQ

yw

xw

xD

yxw

xwDQ

y

x

• todos os esforços resultantes (Mx, My, Mxy, Qx e Qy) podem ser calculados a partir de w0(x,y).



y

z

x

a b

• condições de contorno:




• placa simplesmente apoiada em x = 0:

00 y,w

000

2

2

2

2

x

x yw

xwDy,M

1)

2)

00

2

2

0

xx yw

yw

00

2

2

xxw

• resumindo: 00 y,w 00

2

2

xxwe




• placa engastada em x = 0:

00 y,w1)

2) 00

xxw

• resumindo: 00 y,w 00

xxwe




• placa livre em x = 0:

1)

2)

• as condições de contorno para arestas livres são obtidas a partir de análise variacional

000

2

2

2

2

x

x yw

xwDy,M 0

02

2

2

2

xyw

xw

00

x

xyx y

MQ 02

02

3

3

3

xyxw

xw


Placas submetidas a Flexão Pura – Sol. NavierPlacas submetidas a Flexão Pura – Sol. Navier

• solução pelo método de Navier: D

y,xqyw

yxw

xw

40

4

220

4

40

4

2

• condições de contorno (placa simplesmente apoiada em x = 0, x = a, y = 0 e y = b): 00 y,w 0y,aw 00 ,xw 0b,xw

00

2

2

xxw 02

2

axxw 0

02

2

yyw

02

2

byyw



• metodologia:

1) assumir solução do tipo:

2) expandir o carregamento de pressão como:

• solução pelo método de Navier:

bynsin

axmsinAy,xw

m nmn

1 1

bynsin

axmsinay,xq

m nmn

1 1



3) calcular os valores de amn

4) substituir a expressão assumida para w(x,y) na equação diferencial e obter Amn


NOTA: a expressão assumida para w(x,y) obedece todas as condições de contorno do problema



• solução pelo método de Navier:• para o cálculo de amn usa-se as seguintes relações:

mma

mmdx

axmsin

axmsin

a

se 2

se 0

0

nnb

nndy

bxnsin

bxnsin

b

se 2

se 0

0




• da equação acima:

bynsin

axmsinay,xq

m nmn

1 1

dxdyb

ynsinb

ynsina

xmsina

xmsinadxdyb

ynsina

xmsiny,xqm n

a b

mn

a b

1 1 0 00 0

1 1 000 0 m n

ba

mn

a b

dyb

ynsinb

ynsindxa

xmsina

xmsinadxdyb

ynsina

xmsiny,xq

4220 0

ababaadxdyb

ynsina

xmsiny,xq nmnm

a b




• a equação acima permite calcular os coeficientes da expansão de q(x,y)

40 0

abadxdyb

ynsina

xmsiny,xq nm

a b

dxdyb

ynsina

xmsiny,xqab

aa b

nm

0 0

4



• solução pelo método de Navier:• substituindo as expressões de w(x,y) e q(x,y) na equação diferencial de eqüilíbrio:

bynsin

axmsinay,xq

m nmn

1 1

bynsin

axmsinAy,xw

m nmn

1 1

D

y,xqyw

yxw

xw

40

4

220

4

40

4

2




• o resultado da substituição fornece:

021 1

4224

bynsin

axmsin

Da

bn

bn

am

amA

m n

mnmn

• a equação acima é válida para qualquer x e y:

024224

Da

bn

bn

am

amA mn

mn




• simplificando:

024224

Da

bn

bn

am

amA mn

mn

Da

bn

amA mn

mn

222 2224

1

bn

am

aD

A mnmn




• a solução final é:

2224

1

bn

am

aD

A mnmn

bynsin

axmsin

bn

am

aD

y,xwm n

mn 1 1

2224

1



• na equação anterior, amn é calculado como:

dxdyb

ynsina

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• é importante ressaltar que a solução encontrada só é aplicável a placas uniformes simplesmente apoiadas em todas as arestas


EST 15 – ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I ESTRUTURAS AEROESPACIAIS I Prof. Mauricio V. Donadon ITA-IEA.

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